LGEBRA MODERNA I.

Unidad 1. Actividad 3.GRUPOS CCLICOS.

Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios y envelos para su revisin el apartado correspondiente del aula virtual.

1- Cinco grupos son dados a continuacin. Proporcione una lista completa de todas las relaciones de subgrupos, en la forma que existan entre estos grupos .

a) bajo la adicin.b) bajo la adicin.c) bajo la multiplicacin.d) bajo la adicin.e) bajo la multiplicacin.

En primer trmino, vamos a considerar dos grupos, y , que estn bajo la adicin, y analizando las propiedades, vemos que es un subconjunto no vaco de y 0 es el elemento neutro para ambos grupos; ahora, la suma de enteros es entero y la operacin cumple con la asociatividad.Para la propiedad del inverso, y Cumple.Por lo tanto, es un subgrupo de y se tiene .

Procediendo de manera similar, ahora, consideramos los grupos y , y tenemos que:

Podemos observar que, es un subconjunto no vaco de adems que pues ; el elemento neutro en ambos grupos es 0 tenemos entonces que, es un entero y al ser la suma de dos elementos de la forma , cumple con la asociatividad. Para la ltima propiedad invertiva, tenemos que: y Cumple.

Por lo tanto, es un subgrupo de y se tiene

Ahora consideramos los grupos y bajo la multiplicacin, en donde es un subconjunto no vaco de es racional y viene siendo el elemento neutro para ambos grupos.En la multiplicacin de racionales aplica la propiedad asociativa. Para la ltima propiedad, si , entonces su inverso sera y Por lo tanto,

La lista de las relaciones de subgrupos queda as:

Nota: Dado que , entonces, tambin se incluye en la lista.

2. Escriba al menos 5 elementos de cada uno de los siguientes grupos cclicos:

a) 25 bajo la adicin.Si tenemos que:

Los cinco elementos pueden ser:

b) bajo la multiplicacin.

En este caso el neutro es y el generador es Los cinco elementos podran ser:

Dado que y as sucesivamente

3. En los siguientes incisos, describa todos los elementos generados por la matriz 2x2 dada.a)

Tenemos que la matriz es elemento del grupo general lineal :

Entonces:

Observemos que para las potencias pares de , se tiene siempre la matriz y para las impares, tenemos Entonces, los elementos generados por son:

b) Reescribimos: Entonces, tenemos:

Entonces, los elementos generados por son:

4. Escriba la tabla del Grupo bajo la suma y adems realice lo siguiente:

es un grupo cclico de orden 6, con generador 1. En este grupo en que la operacin es de suma, operar un elemento consigo mismo repetidamente, quiere decir sumarlo consigo mismo repetidamente. Por tanto

que bajo la suma es el grupo aditivo de los enteros mdulo 6. Realicemos la tabla.

Tabla del Grupo

Todo subgrupo de un grupo es cclico. Por tanto , el grupo cclico de 6 elementos.Grupo trivial (Identidad).Grupo cclico de orden 2.Grupo cclico de orden 3.Grupo cclico de orden 6.

El nmero de elementos de un grupo, es el orden del grupo, aqu, coincide con 6.

a) Calcule los subgrupos del grupo .

b) Cules son los elementos generadores del grupo

Un elemento a, se dice que genera un grupo G, si son todos los elementos del grupo, entonces, decimos que a es el generador de G y G es un grupo cclico.

En este caso, tenemos que el grupo aditivo de los nmeros enteros es un grupo cclico de orden 6; su generador es el ,puesto que todos los elementos de , se pueden ver como potencias enteras del 1.

Por tanto, los generadores del grupo adems del son: y

c) Escribe un diagrama de los subgrupos de

Por definicin, tenemos que un subconjunto H de un grupo G, es un subgrupo si satisface todos los axiomas de grupo. Los subgrupos triviales de G son G y {e}.