mag.vectoriales y i cinematica

REPASOEL ESPACIO VECTORIAL

MAGNITUDES VECTORIALES

Son las que para quedar perfectamente definidas son necesarias dar:- Punto de aplicación- Dirección- Sentido- Módulo o valor del VECTOR

MODULO Y COSENOS DIRECTORES

Módulo de a ax bx cx= + +2 2 2

Los cosenos directores corresponden a las fórmulas:

ESPACIOS VECTORIAL, AFÍN Y EUCLIDEO Ángulo formado por dos vectores. Sean dos vectores libres a y b equipolentes (mismo módulo,

dirección y sentido) Se designa el ángulo formado por a y b (α) de la siguiente manera:

a) si los vectores son perpendiculares α = 90ºb) si los vectores tienen la misma dirección y sentido α = 0ºc) si los vectores tienen la misma dirección pero sentido distinto α = 180º

2.- DEFINICION DE PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORESse define el producto escalar de dos vectores libres a y b como el producto de los módulos de

cada uno de ellos por el coseno del ángulo que forma

• Consecuencias de esta definición:1.- el producto escalar es 0 si alguno de los dos vectores es nulo2.- el producto escalar es 0 cuando ambos son perpendiculares, ya que (cos 90 = 0)

• Otra definición de producto escalar: Es la que se usa cuando se dan las componentes de ambos vectores.

Msc. Alberto Pazmiño O. Página 1

cos

cos

cos

α

β

γ

=

=

=

ax

a

ay

a

az

a

a b a b• = • •cos

α

( )a b x x y y• = • + •1 2 1 2

* Consecuencia de ello el resultado del producto escalar es un escalar, es decir, un número entero. No ocurre lo mismo en el producto vectorial, del que como su propio nombre indica se obtiene un vector.Propiedades:

• Conmutativa: a · b = b · a• Distributiva: a (b+c)= a·b + a·c• Para cualquier número: (γ·a)·b = γ (a·b)

3.- DEFINICION DE PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

Como ya sabemos de su resultado se obtiene otro vector. Propiedades:

• El punto de aplicación es el mismo• Módulo de

• La dirección de c es perpendicular a la de a y b• Sentido se obtiene de la regla de MAXWELL (ijk)

VECTOR UNITARIO

Un vector es unitario cuando su módulo vale la unidad. Se definen tres vectores unitarios para definir representar los ejes:

A partir de a:

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR

El valor absoluto de (a·b) es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro vector sobre él. Demostración:

(a · b) = [a]·[b]· (cosα)

cos.

α = =OH

b

C opuesto

Hipotenusa

OH = [b] · cosα ⇔ (a · b)= [a] · OH

NORMA DE UN VECTOR

Dado un vector libre (a), se llama norma de dicho vector al producto escalar del vector por sí mismo, designándose de la siguiente manera: (a)2 = a · aConsecuencias de esa definición:

• la norma de un vector coincide con su módulo al cuadrado:


a x b = c

C a b sin= • • α

Vua

a=

(a · b) = [a]·[b] · cosα

[a] · [a] · cos (a,a) = cos 0 = 1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dados los puntos a y b: d(AB) = ( ) ( )x x y y2 1 2 12 2− + −

Propiedades:• la distancia entre dos puntos es 0 únicamente en el caso en que A = B• para cualquiera de los puntos su distancia siempre es +• Simétrica aunque estén en sentidos contrarios• Propiedad triangular: la distancia AB es siempre la suma de las distancias entre AC y BC

AUn lado es siempre menor que la suma de los otros dos.

B C

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

Utilizando la definición de producto escalar podemos calcular el cos (AB) despejando:

PARALELISMO DE RECTAS

Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales o si coinciden sus pendientes (m).. Su producto escalar es igual a 1.Para construir una recta paralela a otra se utiliza el mismo vector director y se pone el punto por donde se desea que pase la nueva recta. Se utiliza la ecuación punto pendiente.

PERPENDICULARIDAD

Dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores lo son, es decir, que sean ortogonales y que su producto escalar sea igual a 0.

Ax2 + Bx + C = 0

Vd de una ecuación = (-B,A) ⇒ Pendiente (m)= B

A(DEL VECTOR DIRECTOR)

Pendiente directamente de la ecuación en forma general: (m)= A

B−

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Dado un punto P(x1,y1) y una recta Ax + Bx + c = 0, se define la distancia entre el punto p y la recta de la siguiente forma:


[a]·[a] = [a]2

][•][

•cos

][•][

•)•(cos

ba

baarco

ba

baba =⇒= α

* La distancia desde el punto a la recta es en línea recta y es siempre perpendicular.

ECUACION NORMAL DE LA RECTA

Nos da directamente la distancia de la recta al origen de coordenadas, siendo los coeficientes de X e Y los cosenos directores.

Ec. Normal: A

A BX

B

A BY

C

A B2 2 2 2 2 2++

++

+


2

11

)(),(

BA

CByAxrpd

+++=

Unidad 1.

CinemátiCa

1. MOVIMIENTO, MAGNITUDES FISICAS DEL MOVIMIENTO

MOVIMIENTO: el movimiento es el cambio de posición de una partícula, interviniendo además dentro de ese movimiento el tiempo, la trayectoria y la causa que ha producido dicho movimiento.

1.1. Vector Posición. Para definir la posición A que ocupa una partícula en movimiento en un tiempo t, elegimos un sistema de referencia fijo Oxy, y trazamos el vector Ar

, que une el origen del sistema de

referencia con el punto A.El vector Ar

al estar definido por su módulo r y su direcci6n θ con respecto a los ejes de referencia,

determina la posici6n de una partícula respecto a dichos ejes. Este vector se llama vector posición.

Y

Ar

Trayectoria

θ 0

Matemáticamente el vector posición Ar

se expresa por: jryirxAr +=

Ejemplo:

1. Una persona se encuentra en un punto de coordenadas {-2,4) Km. con respecto a una montaña. Determinar el vector posici6n de la persona respecto de la montaña.

y ( )( )kmjiPr

kmPr

42

4,2

+−=−=

P Pr

M x

1.2. Noción de Cinemática. Todas las cosas del mundo físico están en movimiento: desde las más grandes hasta las más pequeñas. Este fenómeno ha despertado un interés natural en el hombre, desde el inicio, por entenderlo, predecirlo y controlarlo,

1.3. Definición. La Cinemática analiza el movimiento y lo representa en términos de relaciones


fundamentales. En este estudio no se toman en cuenta las causas que lo generan, sino el movimiento en sí mismo.

1.4. Partícula. En el estudio del movimiento, un cuerpo es considerado como una partícula si sus dimensiones son despreciables en relación con las magnitudes de las distancias analizadas. Por ejemplo, una pelota de fútbol en relación con la cancha, un avión en relación con un vuelo entre dos ciudades, etc.Geométricamente, una partícula asocia la idea de un punto, por lo que generalmente le denomina punto material o masa puntual.

1.5. Sistema de referencia. Es un cuerpo {partícula) que, junto a un sistema de coordenadas, permite determinar la ubicación de otro cuerpo, en un instante dado. La descripción del movimiento depende del sistema de referencia con respecto al cual se le defina. En cada análisis el sistema de referencia se considera fijo. De manera general, se hacen los estudios tomando como referencia la tierra, o sea, para un observador inmóvil en la superficie de la tierra.

1.6. Vector Desplazamiento ( )r∆

. Es la variación que experimenta el vector posición de una partícula, en un cierto intervalo de tiempo t:

y

P(t0) r

∆ 0r

P(t f) r

0

rrr

rrr

∆+=

−=∆

0

0

Esta es la ecuación que representa el objetivo del estudio de la Cinemática: Poder determinar cuál es la posición r

de una partícula en cualquier instante, para lo cual es necesario conocer de donde partió 0r

) y cuál es su desplazamiento r∆

Unidades El desplazamiento es una magnitud vectorial, cuyas unidades son las de una longitud:

En función del vector posición, se puede definir lo que significa el reposo y el movimiento de una partícula:

1.7. Reposo.- Una partícula esta en reposo durante un cierto intervalo de tiempo, cuando su posición r

permanece constante dentro de un mismo sistema de referencia.

1.8. Movimiento. Una partícula está en movimiento durante un cierto intervalo tiempo, cuando su posición (r) cambia dentro de un mismo sistema de referencia

1.9. Trayectoria Es la línea que resulta de unir las diferentes posiciones que ocupo una partícula al moverse de un lugar a otro.


y

Trayectoria

Posiciones x

1.10. Distancia Recorrida (d). Es la longitud medida sobre la trayectoria recorrida por la partícula al moverse de una posición a otra. Es conveniente aclarar que la distancia entre dos puntos, si depende de la trayectoria, a diferencia de lo que sucede con el desplazamiento, que es independiente de esta y solo depende de la posición inicial y de la posici6n final:

2. VECTOR DE POSICION

El vector posición representa la posición de la partícula en cada momento.

siendo su módulo

• Vector desplazamiento: corresponde a la variación del vector de posición con respecto al tiempo y viene dado por la fórmula:

∆r r rf= − 0

EJERCICIOS

1.

2.


r = x + y r x y= +2 2

3. VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTANEA

Velocidad es la variación de la posición de un móvil en un sentido determinado respecto del tiempo empleado en esa variación.Se distinguen dos tipos de Velocidad:• Velocidad media = la variación del vector desplazamiento respecto a la variación del tiempo

• Velocidad instantánea: es la derivada del vector de posición respecto al tiempo:

4. ACELERACION


smtotf

rorf

t

rVmedia /

−−=

∆∆=

smdt

dr

t

rVinst /=

∆∆=

Siempre que hay cambios en la velocidad existe aceleración. Al igual que en la velocidad existe una aceleración media y una instantánea:

• Aceleración media: Es el cociente entre la variación de la velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido

• Aceleración instantánea: es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

Componentes intrínsecas de la aceleración:

Dependen de la misma aceleración:

Aceleración tangencial: Atd v

dt=

→

Aceleración normal o centrípeta: anV

r=

2

La tangencial es la que empuja hacia a fuera y la centrípeta hacia dentro.

*CELERIDAD= Módulo de la aceleración

MOVIMIENTO RECTILINEO, CAIDA LIBRE, TIRO PARABOLICO, MOVIMIENTO CIRCULAR

1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME:

Se define como aquel movimiento cuya velocidad es constante en módulo, dirección y sentido. Por ello prescindimos de la notación vectorial, MAGNITUD ESCALAR, indicándose mediante signos + o - para indicar el sentido.

A partir de la fórmula de la velocidad instantánea vds

dt= obtenemos que ds vdt= por lo que al integrar:

ds v dt s s vtt

s

s

= ⇔ = +∫∫0

0

0

Así obtenemos la fórmula de la posición


a mv v

t t

v

tm s→

→

=−−

=2 1

2 12∆

∆/

22

2

/ smtd

rd

td

vda

→→→ ==

* Por lo que a a n a t2 2 2= +

S= S0+ vt

2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

En el la aceleración es constante, por lo que a partir de la fórmula de la aceleración tangencial:

⇒=⇒=⇒== ∫∫tv

v

t dtadvdtadvdt

dvaa

0

••0

A partir de ella obtenemos la ecuación desde una posición inicial:


v = v0 + a·t

s s v t at= + +0 021

2

3. COMPOSICION DE MOVIMIENTOS

Ya Galileo en el siglo XVI enuncio:

• El vector de posición del móvil es la suma vectorial de los vectores de posición.• Igualmente la velocidad resultante es la suma vectorial de las velocidades de cada movimiento

Cuando se efectúa un tiro vertical hacia arriba el valor de la aceleración es inverso, quiere decir que:v v gt= −0Es por ello que un movimiento en el espacio vectorial se puede expresar de las siguientes maneras:

( ) 22 )()(, VyVxOVyVxs +−−−−=→

EJERCICIOS

ACTIVIDAD


2.

4.


ACTIVIDAD

1.


2.

3.

4.

5.

6.

6.

Física Vectorial Vallejo - Zambrano Ejercicio 6: (1-6) Ejercicio 8: (1-30) impares

Física Universitaria Sears Zemansky Pag. 109


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