Magnitudes vectoriales

En muchos casos las magnitudes escalares no dan información completa sobre una propiedad física. Por ejemplo una fuerza de determinado valor puede estar aplicada sobre un cuerpo en diferentes sentidos y direcciones. Tenemos entonces las magnitudes vectoriales que, como su nombre lo indica, se representan mediante vectores, es decir que además de un módulo (o valor absoluto) tienen una dirección y un sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son la velocidad y la fuerza.

Según el modelo físico con el que estemos trabajando utilizamos vectores con diferente número de componentes. Los más comunes son los de una, dos y tres coordenadas que permiten indicar puntos en la recta, en el plano y en el espacio respectivamente. VECTOR QUE ES n vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida por un punto del espacio donde se mide dicha magnitud, además de un módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).1 2 3 En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos

(«flechas») en el plano o en el espacio .

Características de un vector

Coordenadas cartesianas. Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Coordenadas tridimensionales. Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

TIPOS DE VECTORES

Vectores unitarios: Son todos aquellos vectores cuya longitud es la unidad, o dicho de otra forma, su módulo es igual a 1. Por ejemplo, si sabemos que el módulo de un

vector x es |x |=1 entonces se dice que x es un vector unitario. Suelen utilizarse

para indicar una determinada dirección. Así, si por ejemplo conocemos el vector

v , u v será el vector unitario (de módulo 1) con igual dirección y sentido que v . Vectores fijos: Se dice que un vector es fijo cuando el origen del vector está aplicado a un punto fijo, de modo que basta con que cambie la posición del punto de aplicación para que cambie el vector en cuestión. Por ejemplo la velocidad de una partícula o la fuerza aplicada en un punto. Vectores libres: Se dice que un vector es libre cuando su punto de aplicación es libre o no está definido. Lo importante es su módulo, su dirección y su sentido. Por ejemplo, decimos que la velocidad de un sólido rígido es un vector libre por que puede dibujarse sobre cualquier parte del mismo. Vectores deslizantes: Pueden trasladar el origen a lo largo de su recta soporte o línea de acción sin que por ello puedan ser considerados vectores diferentes. Por ejemplo, la fuerza que se ejerce sobre un sólido rígido. Vectores equipolentes: Son aquellos vectores libres que tienen igual módulo, dirección y sentido, aunque su punto de aplicación no coincida y no sea necesario precisarlo. Sus rectas soporte son paralelas o coincidentes. Por ejemplo, los dos vectores de la figura son equipolentes pues tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vectores polares: Son aquellos vectores a los que se les puede asignar una dirección y un sentido de manera clara. No están ligados a ningún efecto de rotación o de giro. Por ejemplo la fuerza o la velocidad. Vectores axiales: Están ligados a efectos de giros y normalmente se definen mediante el producto vectorial. Su módulo representa el valor numérico de la magnitud, la dirección señala el eje de rotación y el sentido del vector se hace corresponder con el sentido de giro a través del convenio de la mano derecha. Su estudio se abordará con cierto detalle en niveles más avanzados. Por ejemplo, la velocidad angular de un cuerpo es, en realidad, un vector axial, aunque para la mayoría de los problemas de este nivel bastará considerarla una magnitud escalar. METODO PAR ASUMAR VECTORES Método del Paralelogramo (se recomienda para la suma de dos vectores) Consiste en seleccionar un punto de referencia que pudiera ser el origen de un sistema cartesiano, se lleva un vector equivalente al primer vector sumando y se hace coincidir su origen con el punto de referencia, igual se hace con el segundo vector sumando. Luego partiendo del afijo del primer vector se traza una paralela al segundo vector, y se repite el procedimiento pero esta ves partiendo del afijo del segundo y haciendo una paralela al primer vector. La intersección de esas dos paralelas se une con el punto de origen y eso representa el vector suma. (la figura que te queda al final es un paralelogramo de allí el nombre). Método del Polígono (recomendado cuando se tiene mas de dos vectores) Consiste en seleccionar un punto de referencia que pudiera ser el origen de un sistema cartesiano, se lleva un vector equivalente al primer vector sumando y se hace coincidir su origen con el punto de referencia, luego partiendo del afijo de este vector se coloca un vector equivalente al segundo vector sumando y así sucesivamente como tantos vectores hallan. La unión del afijo del ultimo vector con el origen del primero representa el vector. Componentes Rectangulares de un Vector La eficacia de una cantidad vectorial depende de la dirección en la que actúa. Por ejemplo, suponga una fuerza (cantidad vectorial) que mueve una caja grande arrastrándola por el suelo. La caja se moverá más fácil si se hala por medio de una cuerda inclinada (como se muestra en la figura) que si se empuja, debido a que la cuerda levanta la caja y la mueve hacia adelante al mismo tiempo. En forma similar, al empujar la caja, se produce el efecto de añadir peso. Esto da la idea de que una fuerza, y en general, un vector, tiene componentes verticales y horizontales que podrían reemplazar al vector.

En general, las componentes de un vector son otros vectores, en direcciones perpendiculares. El eje de referencia principal más utilizado es el plano cartesiano. Según éste marco de referencia, las componentes horizontales son vectores en dirección al eje x y las componentes verticales son vectores en dirección al eje y. Las magnitudes de las componentes se encuentran relacionadas con la magnitud del vector principal por medio del teorema de pitágoras, tomando como catetos las componentes, y como hipotenusa el vector principal. La dirección del vector principal relaciona también a las magnitudes de las componentes por medio de las relaciones trigonométricas conocidas para un triángulo rectángulo simple. Las relaciones más utilizadas son el seno, coseno y tangente. Ejemplo. Encuentre la magnitud de las componentes en x e y del vector (3.5 u,60º).

La componente en x se puede encontrar fácilmente utilizando la relación del cosena:

Resolviendo: Componente en x = (3.5 u)*cos(60º) = 1.75 u. De manera similar, se puede encontrar la magnitud de la componente en y por medio de la relación del seno; pero además se conoce la magnitud del vector principal, lo cual permite utilizar el teorema de pitágoras:

Teorema o ley del seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Teorema o ley del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.