magnitudes proporcionales

GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec

MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE

PROPORCIONALES.

MAGNITUDES DIRECTAMENTEPROPORCIONALES.

En una fábrica 12 obreros hacen 72 pares de zapatos por día, Si se aumenta el doble, triple, cuádruplo, etc. El número de obreros. ¿En qué proporción aumentará la producción de zapatos en cada vez?. Y si en vez de aumentar disminuye a la mitad, tercia, cuarta, etc. El número de obreros, ¿en qué proporción disminuirá la producción de zapatos?

Representación Esquemática

12 obreros hacen 72 pares

x 4: 48 obreros hacen 288 pares : x4x 3: 36 obreros hacen 216 pares :x3x 2: 24 obreros hacen 144 pares : x2

12 obreros hacen 72 pares

:2 6 obreros hacen 36 pares :2:3 4 obreros hacen 24 pares :3:4 3 obreros hacen 18 pares :4

En esta proporcionalidad al ser multiplicados el número de obreros por 2, también la producción en la obra ha sido multiplicado por 2; al multiplicar por 3 al número de obreros, la producción también ha sido multiplicado por 3, etc

Por ejemplo, si contamos la cantidad de panes que se pueden comprar con cierta cantidad de soles:

SOLES # PANES1 sol

2 soles

3 soles

4 soles

8 panes16 panes24 panes32 panes

Además, se cumple que el cociente de los valores correspondientes de las magnitudes es constante:¿ panessoles

= 81

= 162

= 243

= 324 = 8 (constante)

Si graficamos los valores correspondientes de las magnitudes en el plano.

Los puntos se encuentran sobre una recta que pasa por el origen.

OBSERVACIÓN:

La pendiente de la recta es igual a la constante de proporcionalidad. Este valor se puede calcular como la tangente del ángulo agudo que forma

la recta con el eje x+

.En general:

A D . P . B → Valor de AValor de B

= cons tan te


OBSERVACIÓN:

A DP B ¿ }¿¿ Se lee A es directamenteproporcional a B

¿

Se puede afirmar que el valor de una de las magnitudes depende linealmente de la otra:

Es importante observar que, al aplicar un modelo matemático para analizar una situación concreta, debemos tener en cuenta los límites de la validez del modelo.

En particular, cuando afirmamos que una magnitud A es proporcional a otra magnitud B, debemos dejar claro (explicita o tácitamente) que e3sto se da dentro de ciertos límites de variación para x e y. Por ejemplo la conocida “Ley de Hooke” dice que la deformación sufrida por un cuerpo elástico (por ejemplo, un resorte) es directamente proporcional a la (Intensidad de la) fuerza empleada.

deformación = K × ( fuerza )La validez de esta ecuación como modelo matemático para representar al fenómeno está sujeta a restricciones, la fuerza no puede ser muy pequeña porque entonces aun siendo positiva, no sería suficiente para deformar el resorte; en este caso tendríamos deformación igual a 0 con una fuerza > 0, luego no valdría el modelo d = K.F, tampoco se puede tomar F muy grande, porque el resorte se

destruiría y poco antes de eso su deformación no sería proporcional a F. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando multiplicamos a una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número y al dividir a una de ellas por un número la otra queda dividida por el mismo número.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

Si 6 obreros pueden hacer una construcción en 30 días. Si se duplica o triplica el número de obreros, o si se hacen trabajar la mitad o la tercia de obreros. ¿En cuántos días harán la construcción?.

Representación Gráfica:5 obreros lo hacen en 30 días

x3 18 obreros hacen en 10 días : 3x2 12 obreros hacen en 15 días : 2

6 obreros hacen en 30 días

:2 3 obreros harán en 60 días x 2:3 2 obreros harán en 90 días x 3

En esta proporcionalidad al duplicar el número de obreros, el tiempo para hacer la obra es la mitad; si se triplica el número de obreros se empleará la tercera parte del tiempo. Al usar la mitad del número de empleados, el tiempo se duplicará, etc.

Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de 180 km. Entre una ciudad y otra. Sea V la velocidad constante del auto y t el tiempo transcurrido en el viaje.


V(Km/h) t (H)30456090

6432

Se puede observar que al duplicar la velocidad, el tiempo se divide entre 2, y al triplicar la velocidad el tiempo se reduce a su tercera parte. Además se cumple que el producto de los valores correspondientes de las magnitudes es constante.

Vxt = 30 x 6 = 45 x 4 = 60 x 3 = 90 x 2 = constante

La gráfica de los valores correspondientes de las magnitudes en el plano es:

Los puntos se encuentran sobre una rama de hipérbola equilátera.

En general:A IP B → (Valor de A )(Valor de B) = cons tan te

Esta expresión se puede expresar:

f ( x )underbracealignl Valor de ¿⏟A ¿

= Kx

→ Cons tan te→ Valor de B

¿

Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al multiplicar a una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número y al dividir a una de ellas por un número la otra queda multiplicada por el mismo número.

EJERCICIOS RESUELTOS

1).- A es D.P con B2 e I.P a √C , cuando A=4; B = 8 y C = 16. Halla “A” cuando B = 12 y C = 36.

Solución:

A√CB2

=K

4 .√1682

=A .√36122

14

=A24

A=6

2).- X varía en razón directa a Y e inversa al cuadrado de Z. Cuando X=10; entonces Y=4 y Z=14. Halla “X” cuando Y=16 y Z=7.

Solución:

X .Z2

Y=K

10 .142

4=X . 72

16

10=X16

X=160

3).- A varía directamente a la raíz cuadrada de B e inversamente al cubo de C. Sí A = 3 cuando B = 256 y C = 2; Halla “B” cuando A = 24 y C = 1/2.

Solución:

A .C3

√B=K

3√256

.8=24√B . 8

316

×8=24√B . 8

B=4

4).-El cuadrado de A varía proporcionalmente al cubo de B; cuando A = 3 y B = 4. Halla el valor de

“B” cuando A =√33

Solución:


A2

B3=K

32

42=

(√33 )2

B3

964

=13 B3

B3=43

33

∴B=43

5).- El precio de los artículos es I.P con el número de ejemplares vendidos, si para 450 artículos el precio es de 20 soles ¿Cuántos artículos habrán de venderse para que cada uno resulte a 30 soles.

Solución:

( precio ) (¿ejemplares )=k(20 ) (450 )=x (30 )(20 ) (450 )30

=x

∴300=x 6).- Una rueda de 50 dientes engrana

con otra de 45 dientes y esta con una tercera de 35 dientes. Cuando la primera de 7 vueltas ¿Cuántas vueltas da la tercera?.

Solución:(¿Dientes ) (¿vueltas )=kluego :7 (50 )=(B ) (45 )7×5045

=B

∴B×45=35×C(7 ) (50 )45

×45=35C

∴10=C

NIVEL BÁSICO:

1.- Se sabe que “A” es D. P. a B2 cuando A = 2; B = 5. ¿Cuál será el valor de “A” cuando B = 20?

a) 16 b) 32. c) 18 d) 75 e) 25

2.- Si es D.P. con cuando “p”

es constante; además es D.P.

con cuando “n” es constante. Hallar “n” cuando p = 4; si se sabe que cuando n = 8; p = 16.

a) 1 b) 2. c) 3d) 4 e) 5

3.-Se sabe que X es D.P. al cuadrado de P y con el cubo de Y é I.P. con la raíz cuadrada de Z. En base a ésta información completar el cuadro siguiente:

X 108 324P 5 2 4Y 2 3Z 25 9 16

Dar como respuesta “X + Y”

a) 97 b) 108 c) 123.d) 136 e) 145

4.- Dividir 540 en 3 partes DP a: ;

y . La suma de las dos últimas partes es 420. Hallar el valor de “a”

a) 1 b) 2. c) 3 d) 4 e) 5

5.- 80 obreros trabajando 8 h/d construyen 480 m2 de una obra en 15 días. ¿Cuántos días se requiere para que 120 obreros trabajando 10 h/d hagan 960 m2 de la misma obra?

a) 12 b) 14 c) 16.d) 18 e) 40


NIVEL INTERMEDIO:

6.-La altura “H” que alcanza un helicóptero es directamente proporcional a la longitud “L” de su hélice y a su correspondiente velocidad angular “W” pero, inversamente proporcional a su peso “P”. Si k es una constante de proporcionalidad, entonces se verifica que:

a)H=KL2W /P b)H=KP /LW c)H=KPW /L d) H=KWL /P . e) NA

7.- El precio de un televisor varía en forma proporcional al cuadrado de su tamaño e inversamente proporcional a la energía que consume. Si cuando tiene “m” centímetros cuadrados consume “a” de energía y cuesta S/ 240 ¿Cuánto costará un televisor cuyo tamaño es 3m/2 y consume 2a/3 de energía?

a) 270 b) 720 c) 810. d) 540 e) 870

8.- De las gráficas siguientes, hallar “x/y”.

a) 0,5. b) 0,6 c) 0,7d) 0,8 e) 2

10.-El gasto de un persona es D.P. a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es de S/. 900 ahorra S/. 90. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/. 1260 ?

a) 1400. b) 1134 c) 1500

d) 1600 e) 1300

11.- Se tiene 2 magnitudes A y B que tienen una cierta relación de proporcionalidad, tales que:

A 1 2 3 4 122 1B 144 3

616 9 1 X

Hallar “x”:a) 2 b) 4. c) 5 d) 6 e) 8

NIVEL AVANZADO:

12.- Se sabe que el valor de una joya varía en forma D.P. Con el cuadrado de su peso. Si una joya se divide en 4 partes iguales. ¿A qué porcentaje de su valor inicial queda reducido el valor de dicha joya?

a) 25% b) 12,5% c) 62,5%. d) 50% e) 30%

13.- El costo unitario de un libro es inversamente proporcional al número de ejemplos editados. Si una primera tirada se vende en 33 000 ganando el 10%. ¿Cuál será el costo de cada libro de una segunda tirada de 1 500 ejemplares?

a) 18 b) 20. c) 22d) 21 e) 19

14.- Si el peso de un elefante blanco es D.P. a sus años, si un elefante tuviera 360 Kg, entonces su edad sería 32 años. ¿Cuántos años tendrá sabiendo que pesa 324 Kg?

a) 28 años, 240 días b) 28 años, 243 díasc) 28 años, 292 días. d) 27 años, 240 díase) 28 años, 192 días


15.- Si un diamante de 12 kilates cuesta S/. 39 600; y si se sabe que el precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. El peso de un diamante que cuesta S/. 110 000, es: (si un kilate es igual a 0,25 gms).

a) 2,5 g b) 5 g. c) 25 g d) 30 g e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA:

1.- Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenados, calcular cuántas vueltas habrá dado cada una en un cierto tiempo. Sabiendo que una ha dado 70 vueltas más que la otra?

a) 120 y 50 b) 130 y 60 c) 140 y 70d) 160 y 90 e) 150 y 80.

2.- El precio de un ladrillo es proporcional a su peso e I. P. a su volumen. Un ladrillo que pesa 150 gr y que tiene un volumen de 100cm3 cuesta 300. ¿Cuánto costará otro ladrillo de 400cm3

que pesa 1,6kg?

a) 600 b) 800. c) 750d) 560 e) 900

3.- Carmen descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños son D.P. al número de invitados e I. P. a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la última vez gastó S/.1200; invitó a 100 personas y ocupó 12 horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas más?

a) S/.320 b) S/.540 c) S/.720d) S/.480. e) S/.490

4.- Si “A” es el triple de rápido que “B” , y si juntos pueden hacer cierto trabajo en

12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?

a) 12 b) 16. c) 18 d) 14 e) 15

5.- El precio de una piedra es D. P. al cubo de su peso. Si una piedra de este tipo que vale S/.100, se parte en 2 pedazos, donde uno es los 2/3 del otro. ¿Qué pérdida de valor sufrió dicha piedra?

a) S/.80 b) S/.75 c) S/.72. d) S/.76 e) S/.70


PREGUNTAS PARA SEMANAL

1.- Si para arar 24m2 de un terreno se demora 15 horas. ¿Cuántas horas se demorará en arar un terreno de 32m2?

a) 18hr b) 12hr c) 21hrd) 20hr. e) 28hr

2.- Con una rapidez del 80% se puede hacer una obra en 36 horas. ¿Cuántas horas se demorará con una rapidez del 90%?

a) 32 hr. b) 24 hr c) 20 hrd) 30 hr e) 16 hr

3. A es D.P. con B2 e I.P. a√C ,cuando A = 4; B=8 y C = 16. Halla A cuando B=12 y C=36.

a) 4 b) 8 c) 9 d) 12 e) 6.

4. A es D.P. con B e I.P. con C, cuando C es igual a 3/2, A y B son iguales. ¿Cuál es el valor de B cuando A es igual a 1 y C es igual a 12?

a) 8. b) 6 c) 4 d) 12 e) 9

5. A varía proporcionalmente a B y al cuadrado de C e inversamente proporcional a D. Si cuando

A = 8, B = 5 y C = 4, entonces D es 2. ¿Cuánto valdrá B cuando A=2D, y D = 4C.

a) 40 b) 80 c) 160. d) 120 e) 130

magnitudes proporcionales

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