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Macroeconomía II

Laura D’AmatoUBA | FCE

UBA | FCE

Agosto 2015

Laura D’Amato UBA | FCEMacroeconomía II

Clase 3:Expectativas racionales (basado en McCal-lum, 1989, Cap 8)


Expectativas racionales (ER)

Los agentes económicos comenten sin duda errores alproyectar los valores de algunas variables económicas

Que lo hagan de forma sistemática nos resulta contraintuitivo,porque es costoso para ellos

Entonces suena razonable pensar que los agentes incurren enerrores, pero tienen la capacidad de corregir sus percepciones

¿Cómo formalizar esta idea?



Muth (1960, 1961) desarrolla la noción de expectativasracionales en una aplicación a finanzas

Recién en los 70’s Lucas la extiende a la economía y la aplicaa importantes problemas de macroeconomía



Las variables económicas se pueden pensar como procesosestocásticos, no determinísticos (Recordar Lucas, 1972)

yt = a+ byt−1 + et

Los agentes pueden ser capaces de:

identificar el componente sistemático de esos procesosutilizar de manera eficiente toda la información disponible paraproyectar los valores de esas variablesIdentificar errores de predicción y revisarlos



Existe un método óptimo de proyectar el valor de una variableestocástica y es calcular su esperanza condicional en elconjunto de información disponible al momento t en que serealiza el pronóstico, lo que evita incurrir en erroressistemáticos

pet,t+1 = Et(pt+1/Ωt) (1)

donde E es el operador esperanza y Ωt es el conjunto deinformación disponible en t, que incluye valores pasados de lavariable en cuestión de aquellas relevantes para explicar sudinámica (p. ej. mt y sus rezagos en el modelo de Cagan)



Trasladar este concepto a la formación de expectativas implicasuponer que la expectativas subjetivas (pronóstico) queformulan los agentes coinciden con la esperanza condicional(objetiva) en t dada por la ecuación 1Este supuesto es muy fuerte, ya que en general admitimos quepara un econometrista la distribución de probabilidad de πt esdesconocida.

Sin embargo es crucial, porque esa coincidencia tambiéngarantiza consistencia en las expectativas, concepto asimilableal de equilibrio en un mundo estático



¿De qué modo nos garantiza ER no cometer errores sistemáticos?(i) La esperanza (no condicional) del error de pronóstico es 0

E[pt+1 − pe

t,t+1]= E [pt+1 − Et(pt+1/Ωt)] = (2)

E(pt+1)− E [Et(pt+1/Ωt)] =

E(pt+1)− E(pt+1) = 0

Donde el penúltimo paso utiliza la "ley de esperanzas interadas"que, intuitivamente, postula que la esperanza de una esperanza esse corresponde con aquella que utiliza el conjunto de informacióndada la menor información posible (en este caso la esperanza nocondicional)



(ii) Los agentes utilizan eficientemente el conjunto de informacióndisponible:Dada una variable xt ∈ Ω queremos considerar E

[pt+1 − pe

t+1)xt],

la covariaza de error de pronóstico con las variables incluídas en Ω

E[pt+1 − pe

t,t+1)xt]= E [(pt+1 − Et(pt+1/Ωt))xt] = (3)

E(pt+1xt)− E [Et(pt+1/Ωt)xt]



Dado que xt ∈ Ω

Et(pt+1/Ωt)xt = Et(pt+1xt/Ωt)

por lo que usando nuevamente la ley de esperanzas iteradas tenemosque

E(pt+1xt)− E [Et(pt+1xt/Ωt)] = E(pt+1xt)− E(pt+1xt) = 0

Esto nos indica que los errores de pronóstico deberían estar incor-relacionados con las variables incluídas en el conjunto de informaciónde que disponen los agentes cuando forman su expectativa acercade pt+1, o, lo que es lo mismo, que ellos utilizan eficientemente elconjunto de información del que disponen.



Vamos a usar ahora la noción de ER para resolver el modelo deCagan (1956)Definiendo entonces a la expectativa inflacionaria en t para t + 1como

πet,t+1 = Et(pt+1/Ωt)

y recordado que la demanda de dinero de Cagan puede escribirsecomo

mt − pt = γ+ απet,t+1 + ut con α‹0 y γ›0 (4)

Donde el término ut se supone ahora puramente aleatorio, una re-alización de una distribución con media E (ut) = 0, varianza σ2

uconstante y serialmente incorrelacionado (un ruido blanco)Notar que, de no ser así, se incumplirían las condiciones de expec-tativas racionales



ER implica que los agentes conocen el funcionamiento de la economía,es decir, conocen (4 ) y la información disponible sobre pt y mt y susvalores pasados, por lo que pueden inferir ut y sus valores pasadostambién.Para ser más consistentes con la noción de expectativas racionales,vamos a simplificar la notación y reemplazar a πe

t,t+1 por Etπt+1,que además podemos escribir como Et pt+1− pt, porque pt es cono-cida para los agentes económicos. Entonces podemos reescribir laecuación de Cagan como

mt − pt = γ+ α (Et pt+1 − pt) + ut (5)



Como lo hicimos en el caso de expectativas adaptativas, vamos atratar de buscar una solución para pt, comenzando por reescribir laecuación anterior reagrupando los términos en pt

mt = γ+ αEt pt+1 + (1− α) pt + ut (6)

y despejar pt

pt =mt − γ− αEt pt+1 − ut

1− α(7)

Pero en la medida que la ecuación anterior incorpora Et pt+1, no esuna solución para pt.



Una manera de resolver para pt es aplicar el operador esperanza ala ecuación (7) y adelantarla un período

Et pt+1 =Et (mt+1 − γ− αEt+1 pt+2 − ut)

1− α(8)

que por la ley de esperanzas iteradas y teniendo en cuenta queEtut = 0 podemos escribir como

Et pt+1 =Etmt+1 − γ− αEt pt+2

1− α(9)



Y ahora podemos usarla para reemplazar Et pt+1 en la ecuación (7)y obtener

pt =mt − γ− α

(Etmt+1−γ−αEt pt+2

1−α

)− ut

1− α

que se puede reordenar para expresarla como

pt =mt − α

1−α Etmt+1 − γ+ α1−α γ+ α2

1−α Et pt+2 − ut

1− α



Si repetimos este proceso para pt+2 y le aplicamos el operador es-peranza para reemplazar en la ecuación anterior y así sucesivamente,vamos a notar que los sucesivos reemplazos nos llevan a una expre-sión en los valores esperados de la oferta monetaria hacia adelanteEtmt+i.A medida que i tiende a ∞ los términos en Et pe

t+i tienden a 0,excepto que la trayectoria de pt+i se haga explosiva, ya que

∣∣ αα−1

∣∣‹1.De este modo, se obtiene una expresión para pt, el nivel de preciosen el período corriente, que depende del sendero esperado para laoferta monetaria mt

pt =mt − γ (1− α)− ut +

(α

α−1

)Etmt+1 +

(α

α−1

)2 Etmt+2 + ....1− α



La ecuación anterior sugiere que los agentes conocen el proceso quedescribe la política monetaria. Tenemos entonces que incorporaruna ecuación que describa su comportamientoSe puede por ejemplo postular un proceso autorregresivo de or-den1,un AR(1) para la oferta monetaria, tal que

mt = µ0 + µ1mt−1 + et (10)

donde el valor de la oferta monetria en t depende de su valor pasadoy tiene un componente aleatorio et que es un ruido blanco:E (et) = 0, var (et) = σ2

e y E(eiej)= 0 ∀ i 6= j es igual a 0



Es posible entonces tener una expresión para los valores esperados ent para la oferta monetaria. Para mt+1 se tiene Etmt+1 = µ0+ µ1mt,ya que Etet+1 = 0. Para mt+2 sería

Etmt+2 = Et (µ0 + µ1mt+1 + et+2)

= µ0 + µ1mt+1 = µ0 + µ1 (µ0 + µ1mt)

Este cálculo puede repetirse para encontrar una solución para pt



Cuando se especifica un comportamiento para la oferta monetariaes posible resolver el model usando el método de coeficientes inde-terminadosComenzamos por igualar las ecuaciones de demanda (6) y oferta(10) monetarias

γ+ αEt pt+1 + (1− α) pt + ut = µ0 + µ1mt−1 + et (11)

Notamos que la variable endógena, pt, depende de mt−1, ut, et yEt pt+1, la que a su vez sabemos depende de los valores esperadospara mt. Dado su comportamiento autorregresivo, Etmt+1 no agregainformación adicional.Entonces, como el modelo es lineal, podemos conjeturar una soluciónde la forma

pt = φ0 + φ1mt−1 + φ2ut + φ3et (12)



Si la conjetura es válida pt+1 = φ0 + φ1mt + φ2ut+1 + φ3et+1 y

Et pt+1 = φ0 + φ1mt = φ0 + φ1 (µ0 + µ1mt−1 + et) (13)

Si ahora sustituimos (12) y (13) en (11) obtenemos

γ+ α [φ0 + φ1 (µ0 + µ1mt−1 + et)] (14)

+ (1− α) (φ0 + φ1mt−1 + φ2ut + φ3et) + ut

= µ0 + µ1mt−1 + et



Entonces, si la ecuación propuesta es válida, debería cumplirse paracualquier valor de mt−1, ut, et, y por lo tanto debería verificarse quelas siguientes condiciones deberían cumplirse para φ1,φ2 φ3 y φ0(14)

αφ1µ1 + (1− α) φ1 = µ1

(1− α) φ2 + 1 = 0αφ1 + (1− α) φ3 = 1

γ+ αφ0 + αφ1µ0 + (1− α) φ0 = µ0



si ahora despejamos φ1, φ2, φ3 y φ0 obtenemos

φ1 =µ1

1− α+ αµ1

φ2 =−1

1− α

φ3 =1

1− α+ αµ1

φ0 =µ0 (1− α)

1− α+ αµ1− γ



y obtenemos la siguiente expresión para pt de acuerdo a (12)

pt =µ0 (1− α)

1− α+ αµ1− γ+

µ11− α+ αµ1 1

mt−1 (15)

− 11− α

ut +1

1− α+ αµ1et

que describe la evolución de nuestra variable endógena, pt en térmi-nos de los shocks exógenos sobre la demanda y la oferta monetariay la variable predeterminada (o dada para los agentes) mt−1



¿Cómo responde el nivel de precios a shocks sobre la demanda y laoferta de dinero?

Notar en(15) que un shock positivo sobre la demanda de dinero (unvalor positivo de ut), dado que α > 0, reduce el nivel de precios. Laintució es que por alguna razón no vinculada a los determinantes dela demanda por saldos reales en la ecuación (5) los agentes estándispuestos a tener más saldos líquidos, el dinero de algún modo seencarece en relación a los bienes y esto dá sentido a la baja en pt



Un valor positivo de et, es decir, un shock positivo sobre la ofertamonetaria tiene un efecto positivo sobre el nivel de precios, lo que denuevo resulta intuitivo, porque para una dada demanda por saldosreales, una mayor oferta monetaria implica saldos reales más ele-vados que los deseados por los agentes económicos, por lo que losprecios deberían aumentar para reestablecer el equilibrio monetario.Notar también que dado que |µ1| < 1, el cambio que induce elshock monetario en los precios es menos que proporcional. Esto nocontradice la neutralidad del dinero, ya que no se trata de un shockpermanente, sino de un shock temporario. Notar que dado que estoes así porque |µ1| < 1 y por lo tanto el efecto del shocks en t sobrela trayectoria de mt decae.


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