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Bloque 2Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

L os propósitos centrales de las actividades de este bloque son:

(1) Abordar el concepto de jerarquía de las operaciones aritméticas como un recurso para construir y leer nue-vas expresiones algebraicas que den lugar a otros pa-trones numéricos.

(2) Utilizar los paréntesis como un recurso para modificar la jerarquía de las operaciones aritméticas.

(3) Iniciar el estudio de la transformación y equivalencia de expresiones algebraicas.

(4) Dotar de significado a las letras que se usan en las ex-presiones algebraicas al relacionarlas con los valores numéricos que los alumnos estudian en su paso por la educación básica.

Las actividades de este bloque se sustentan en los concep-tos que se abordaron en el bloque 1, de manera especial en los que se refieren a la construcción de un programa en la cal-culadora, la producción y lectura de expresiones algebraicas, y las nociones empíricas del concepto de valor numérico de un polinomio, los cuales se desarrollan al relacionar los valores de entrada con los valores de salida de una tabla.

En este bloque se aprovecha la experiencia adquirida en la construcción y lectura de programas en la calculadora, para entrar de manera empírica al estudio de la jerarquía de las ope-raciones aritméticas, el uso de los paréntesis en operaciones aritméticas y en expresiones algebraicas, y la transformación de expresiones algebraicas.

La jerarquía de las operaciones aritméticas es un antece-dente relevante para abordar el estudio del álgebra. Su conoci-miento y correcta aplicación permiten entender la estructura de una expresión algebraica, los términos que la constituyen, y con cuáles de ellos podemos realizar transformaciones algebraicas. Las actividades de este bloque te introducirán a ese tipo de ta-reas, y a lo largo de los bloques irás afinando tus conocimientos.

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Desarrollo del pensamiento algebraico88

Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (1)

1. Un estudiante dice que el programa b × 4 + 1 produce los mismos valo-res de salida que el programa b × 5.

¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta con un ejemplo.

2. Una estudiante construyó el programa m + 2 × 3 y dice que si el valor de entrada es 4, el valor de salida será 18.

¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta con un ejemplo.

3. Otro estudiante dice que si m = 5, el programa m + 2 × 3 le dará 21 como valor de salida. ¿Estás de acuerdo?

Justifica tu respuesta con un ejemplo.

4. Completa la siguiente tabla sin utilizar un programa en la calculadora.

El programa es el siguiente: c + 5 × 2

Valor de entrada 2 5 8 9 12

Valor de salida 65 115 150

5. Ahora introduce ese programa en tu calculadora y úsalo para completar la tabla anterior. ¿Obtuviste los mismos resultados?

Si no coinciden, explica detalladamente a qué se debió.

Hoja de trabajo 17


Bloque 2 • Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica 89

Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (2)

1. Escribe en tu calculadora el programa n + 2 × 3, y úsalo para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada 1 3 5 6 8 9 10 12

Valor de salida

2. Una vez completada la tabla observa los resultados y explica qué hace aritméticamente ese programa con cada valor de entrada.

3. Escribe ese programa en una forma más breve.

4. Un estudiante dice que ese programa hace lo siguiente con el valor de entrada: “primero suma 2 y luego multiplica el resultado por 3”. ¿Estás de acuerdo?

¿Por qué?

Si tu respuesta es negativa, ejecuta nuevamente el programa y analiza tus resultados.

5. Introduce en tu calculadora el programa (r - 1) × 3 y completa la siguiente tabla.

Valor de entrada 2 4 5 7 8 10

Valor de salida

6. Observa los resultados que obtuviste y explica qué hace ese programa.

7. Una estudiante dice que ese programa hace lo siguiente con el valor de entrada: “primero resta 1 y luego multiplica el resultado por 3”. ¿Estás de acuerdo?

Explica tu respuesta.

Hoja de trabajo 18



Uso de paréntesis (1)

Un estudiante escribió en su computadora los programas a + 1 × 5 y (a + 1) × 51. ¿Producen los mismos valores de salida?

Justifica tu respuesta.

2. Un estudiante quería escribir el programa a × 7, pero sin darse cuenta introdujo a × 11. Sin borrar a × 11, ¿qué escribirías antes o después de a × 11, para que diera los mismos valores de salida que a × 7?


3. Otra estudiante quería introducir el programa a × 5, pero sin darse cuenta escribió a × 11. Sin borrar a × 5, ¿qué teclearías antes o después de la expresión a × 11 para que dé los mismos valores de salida que a × 5?


4. Un estudiante quería introducir el programa k × 10, pero sin darse cuenta escribió k × 9. Sin borrar k × 9, ¿qué escribirías, antes o después de k × 9, de manera que se obtengan los mismos valores de salida que k × 10?

Hoja de trabajo 19



Transformación algebraica (1)

1. Escribe en tu calculadora el programa b × 5 + b × 6 y úsalo para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada 1 3 4 6

Valor de salida 37.4 50.6 71.5 88

2. Describe qué operaciones aritméticas hace ese programa con cada número de entrada.

3. Expresa más brevemente este programa, pero de modo que siga produciendo los mismos valores de salida.

4. ¿Cómo puedes comprobar que tu programa y el programa b × 5 + b × 6 son equivalentes? Explícalo de manera que no se te pueda objetar.

5. Observa el programa d × 8 + d × 5. ¿Puedes expresarlo de manera más breve de modo que siga dando los mismos resultados?

¿Obtuviste alguna expresión más breve? Escríbela a continuación.

6. Un estudiante dice que el programa 4 × n - 2 × n + 5 × n da los mismos valores de salida que el pro-grama 7 × n. ¿Estás de acuerdo?


7. Un estudiante dice que los programas 9 × n - 4 × n - 2 × n y 3 × n dan los mismos valores de salida. ¿Estás de acuerdo?


Hoja de trabajo 20



Uso de paréntesis (2)

Un estudiante creó un programa que hace lo siguiente:

Primero resta 2 y luego multiplica por 3.

Con ese programa produjo la siguiente tabla.

Valor de entrada 2 4 7 9.2 11 15.5 18.4 19.1

Valor de salida 0 6 10 21.6 27 40.5 49.2 51.3

1. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos resultados. Comprueba que funciona co-rrectamente y escríbelo en el siguiente cuadro.

2. Un estudiante dice que el programa p + 5 × 4 primero suma 5 y luego multiplica por 4. ¿Estás de acuerdo?


3. ¿Los programas (r + 2) × 3 y 3 × r + 6 dan los mismos valores de salida?

Justifica tu respuesta con argumentos inobjetables.

4. La siguiente tabla se construyó con un programa en el que se usaron paréntesis.

Valor de entrada 1 3 4 6 7 9 10 11

Valor de salida 4 8 10 14 16 20 22 24

Encuentra ese programa, pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el cuadro que sigue.

Hoja de trabajo 21



Paréntesis y jerarquía de las operaciones

1. Un estudiante dice que los programas (a × 2) + 2 y a × 2 + 2 producen valores de salida distintos para los mismos valores de entrada.

¿Estás de acuerdo? .


2. Los programas (b + 2) × 2 y b + 2 × 2 producen los mismos valores de salida. ¿Estás de acuerdo?


3. Explica para qué sirven los paréntesis en un programa. Hazlo de manera que tus compañeros entiendan fácilmente tu explicación e ilústrala con algunos ejemplos.

4. Subraya las expresiones en las que si quitas los paréntesis sigues obteniendo los mismos valores de salida. Utiliza tu calculadora para verificar que no haya ningún error.

a) (3 × b) + 5 b) 3 × (a + 5) c) (d + d ) × 3 d ) (c + 4) + c

e) (k - 2) ÷ 3 f ) z - (2 ÷ 3) g) (2 + p) - 1 h) (y + 4) ÷ 5

5. Escribe los paréntesis que hagan falta de manera que los resultados sean correctos. Usa tu calculadora para verificar que no haya ningún error.

a) 5 + 3 × 4 = 32 b) 6 × 7 + 2 - 1 = 48 c) 6 × 7 + 2 - 1 = 53 d ) 4 + 8 ÷ 4 = 3

e) 3 × 6 + 4 = 18 + 12 f ) 5 × 3 + 4 = 15 + 20 g) 7 - 4 - 2 = 5 h) 6 + 8 - 7 - 5 = 10

Hoja de trabajo 22



Actividades sugeridas para el futuro docente

1. En la presentación de este bloque se menciona el estudio de la jerarquía de las operaciones aritméticas. Indica en qué actividades de este bloque se aborda dicho tema.

2. De igual modo se hace referencia al uso de los paréntesis como un recurso para modificar la jerarquía de las operaciones aritméticas. Construye cinco ejemplos para mostrar cómo empleas los paréntesis para modificar la jerarquía de las operaciones.

3. Propón cinco ejemplos donde muestres que se pueden ignorar los paréntesis sin afectar el resultado de las operaciones.

4. Presenta cinco ejemplos donde muestres que si se ignoran los paréntesis se afecta el resultado de las operaciones.

5. Con tus propias palabras, explica la función de los paréntesis en la producción de expresiones aritméticas y algebraicas.

6. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet en qué consiste la simplificación de términos semejantes de una expresión algebraica. Indica en qué actividades de este bloque se aborda dicho concepto.

7. También se habla de transformación de expresiones algebraicas. ¿Hay alguna relación entre dicha trans-formación y la simplificación de términos semejantes en una expresión algebraica? Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

8. En la presentación de este bloque se habla de la equivalencia de expresiones algebraicas. Indica en qué actividades de este bloque se aborda tal concepto.

9. ¿Qué significado has asignado a las letras que empleas en la construcción de un programa para la cal-culadora? Explica o ejemplifica tu respuesta lo más ampliamente posible.

10. Con base en tu experiencia con las actividades de este bloque, analiza con tus compañeros y tu profesor los aprendizajes que pueden construir los alumnos de educación básica al realizar estas actividades, y redacta un resumen de lo que consideres más relevante.

11. Asimismo, analiza con tus compañeros y tu profesor las dificultades que pueden tener los alumnos de educación básica con las actividades, y las estrategias que pueden ayudarles a prevenirlas o superarlas. Elabora un documento en el que expreses lo que a tu parecer sea más importante.


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