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59PERFILESEDUCATIVOS

En el artículo se analizan, desde la noción de representación, las ideas construidas por un grupo de profesores mexicanos entrevistados siete años después de que una reforma a las matemáticas

de corte constructivista había sido introducida en la educación primaria. Las ideas previas sobre las cuales la reforma se instaló generaron representaciones distintas de las oficialmente previstas. Si bien

las representaciones construidas no son homogéneas, en el núcleo destacan las nociones de alumno sapiente y las matemáticas para la vida como elementos que unifican a casi todas ellas.

En tanto, las nociones de actividad o problema (esta última eje de la reforma) alcanzan poca claridad en el pensamiento de los profesores.

This article analyzes, beneath the concept of representation, the ideas that a group of Mexican teachers built on in an interview which was carried out seven years after the introduction in primary education

of a constructivist reform in the field of mathematics. The ideas on which the reform was based generated representations that differed of the officially foreseen ones; and although the representations

that are built are not homogeneous, the most important ones are the ideas of wise student and mathematics for life as factors that unify almost all of them; at the same time, notions such as activity or problem

(this one as the axis of the reform) don’t reach a clear definition in the teachers’ mind.

Representación social / Profesores / Reformas educativas / Educación primaria / MatemáticasSocial representation / Teachers / Educational reforms / Primary education / Mathematics

Los profesores y sus representacionessobre la reforma a las matemáticas

ALICIA ÁVILA STORER*

Los profesores y sus representaciones sobre la reforma a las matemáticas Alicia Ávila Storer (2001), vol. XXIII, núm. 93, pp. 59-86


INTRODUCCIÓN

La reforma a las matemáticas y las exigencias de un nuevo profesor

La reforma a las matemáticas introducidaen México en 1993 (SEP, 1993) implica-ba un nuevo profesor. Es decir, un profe-sor con nuevos roles, nuevos compromi-sos y, en la base de todo ello, nuevasconcepciones acerca de las matemáticas,su aprendizaje y su enseñanza. La apuestade quienes llevaron adelante la reformaera que en el marco de los nuevos vientosque las acciones oficiales generarían, ycon la preparación que se les brindaría,los profesores asumirían cotidianamentelas nuevas directrices para la enseñanza.

Empero, la cuestión no era tan simplecomo los reformadores parecen haber creí-do. El nuevo currículum buscaba que losprofesores pasaran de una práctica consis-tente en trasmitir los conceptos para luegodedicar tiempo a su aplicación –y que R.Douady (1986) ha descrito mediante laexpresión “aprendo, aplico”–, a otra quepodría expresarse mediante la fórmula “alresolver aprendo”. En efecto, según se leeen los documentos oficiales, la escuela secomprometería: “[a] brindar situaciones enlas que los niños utilicen los conocimien-tos que ya tienen para resolver ciertos pro-blemas y, a partir de sus soluciones inicia-les, hacerlos evolucionar hacia losprocedimientos y las conceptualizaciones[léase formulaciones] propias de la mate-mática convencional” (véase SEP, 1993).

Esta nueva fórmula demandaba al pro-fesor dejar de explicar y, a cambio de ello,permitir resolver para obtener, comofruto de tal actividad, el conocimiento

que no estuvo autorizado a comunicar.Tal exigencia trastocaba por completo lasformas habituales de enseñanza y, conello, los saberes, las creencias y las certe-zas acerca de lo que significa enseñar yaprender; es decir, trastocaba las represen-taciones de los profesores sobre las mate-máticas, su aprendizaje y su enseñanza.Así pues, a siete años de distancia de laincorporación de las ideas innovadoras enla escuela, es pertinente preguntarse so-bre las alteraciones ocurridas y tambiénsobre eventuales resistencias y construc-ciones divergentes de las representacionescuya constitución se buscaba impulsar.

Acerca de la noción de representación

La teoría de las representaciones socialesafirma que toda realidad es representada,esto es, apropiada por el individuo o elgrupo, reconstruida en su sistema cogni-tivo e integrada en su sistema de valores.La noción de representación social (enadelante representación) se debe a S.Moscovici. Para este autor, “La represen-tación es el producto y el proceso de unaactividad mental por la cual un individuoo un grupo reconstituye la realidad a laque es confrontado y le atribuye una sig-nificación específica” (Moscovici, 1961,cit. por Abric, 1987). La representaciónestá constituida por un conjunto deinformaciones, creencias, opiniones yactitudes conscientes o no conscientes apropósito de un objeto o fenómeno de-terminado. Así pues, agrega Abric, larepresentación es un reflejo no del objetoen sí mismo, sino de relaciones comple-jas, reales e imaginarias, objetivas y sim-bólicas que el sujeto establece con el obje-to (Abric, 1987, 1997).

Por otro lado, el conjunto de informa-ciones, actitudes, opiniones y creencias

* Investigadora de la Universidad Pedagógica [email protected]

que constituyen la representación estáorganizado y cada elemento no toma sig-nificación sino en función de su lugar endicha organización y de otros elementoscon los que se relaciona. En la represen-tación hay elementos centrales, los cualesjuegan un papel privilegiado, puesto quees en relación con ellos que se definen elpeso y el valor de los otros elementos vin-culados con el objeto o fenómeno repre-sentado (Abric, 1987 y 1997).

Ahora bien, la apropiación que unindividuo hace de la realidad es tambiéndependiente de su historia y el contextosocial e ideológico que lo rodea (véaseAbric, 1997). De hecho, la representaciónse sitúa en el punto donde se intersectanlo individual y lo social. Lo social inter-viene de varias maneras: por medio delcontexto concreto en que se sitúan losindividuos y los grupos; de la comunica-ción que se establece entre ellos; de losmarcos de aprehensión que proporcionaun bagaje cultural; de los códigos, valorese ideología relacionados con las posicionesy pertenencias sociales específicas (véaseJodelet, 1993). Por ello, los contenidos ylos procesos de constitución de las repre-sentaciones han de situarse en las condi-ciones y los contextos en los que surgen.

Finalmente, un elemento fundamentalen esta teorización es que, una vez cons-tituida, la representación es a la vez queun instrumento para filtrar y dar signifi-cado a los sucesos, un sistema que loscategoriza y que permite emitir juicios. Estambién un sistema que dirige la acción(véase Jodelet, 1993).

Los profesores y sus representacionessobre las matemáticas y su enseñanza

Si trasladamos lo anteriormente expuestoal ámbito de nuestro estudio, es posible

decir que los profesores han constituidolas representaciones sobre las matemáticasy su enseñanza no como sujetos aislados,sino en el contexto de su pertenencia a ungremio que les ha heredado modelos depensamiento y tradiciones, y por lasinformaciones de diversa índole prove-nientes de su entorno. En tal sentido, susconocimientos e ideas han sido social-mente elaborados y son al menos par-cialmente compartidos. Pero, ¿qué ele-mentos son los que se han heredado yreconstituido para configurar dichas re-presentaciones? La respuesta a tal interro-gante debe situarse en el tiempo.

En los años setenta, por ejemplo, eraidea generalizada que la concepción dematemáticas que tuviese un profesor seríala que orientaría sus formas de enseñan-za. En ese periodo era posible leer afirma-ciones del siguiente tenor:

Para ayudar a los niños a aprender matemáti-cas, un profesor debe tener una comprensióncabal de lo que son las matemáticas. Indu-dablemente, cualquier reflexión sobre la disci-plina determinará en gran medida su aproxi-mación a ella con los niños. ¿Cómo es queusted como profesor de primaria concibe lasmatemáticas? Si limita su pensamiento ma-temático al cálculo con los números, enton-ces el aprendizaje de sus alumnos será igual-mente limitado. Si usted ve las matemáticascomo un cuerpo estructurado de conoci-mientos entonces la enseñará como tal (Bauery Olsen, 1976).

Actualmente –y producto de la evolu-ción del campo de la didáctica–, las consi-deraciones son diferentes. Los elementosconstitutivos del núcleo de las representa-ciones que guían la práctica de la ense-ñanza de las matemáticas no se limitan ala concepción sobre esta disciplina, sino



que agregan otros elementos: cómo seenseña y cómo se aprende, y a ellos sesuma la consideración del papel que jue-gan el maestro y los alumnos en el procesode aprendizaje (véase Robert y Robinet,1989). Es sobre la base de todo ello que seconstituye una plataforma para filtrar einterpretar la realidad del salón de clases yun esquema categorial sobre la misma, asícomo una guía para la acción.

Ahora bien, ¿cómo es que los sujetos olos grupos elaboran una cierta representa-ción a propósito de un objeto o un fenó-meno? La representación se constituyemediante un proceso dinámico descritopor Moscovici que inicia por seleccionary descontextuar las informaciones prove-nientes del entorno, constituyendo conellas un modelo que, al tornarse activo,dirige la conducta y da significado a losacontecimientos.

Este proceso, vivido por los profesoresdurante su preparación y los primerosaños de su experiencia docente, debía servuelto a vivir para construir las represen-taciones que la nueva pedagogía requería.Sobre la base de la historia personal, ycon las informaciones y la formaciónofrecidas, habría de constituirse un nuevosistema de asignación de significados ycategorías que dirigiría la acción de ense-ñanza de las matemáticas.

Empero, diversos estudios –elaboradossobre la base de los trabajos de Moscoviciy Abric– informan acerca de la estabili-dad en las representaciones de los profe-sores sobre la enseñanza y el aprendizajede las matemáticas, y las dificultades paraalterarlas (véanse por ejemplo Robert yRobinet, 1989, y Peltier, 1996, 1999). Enefecto, a decir de Peltier, si bien las con-cepciones declaradas por los estudiantesde docencia sobre el aprendizaje y la ense-ñanza de las matemáticas evolucionan

claramente entre el inicio y el final de suformación, en realidad el impacto de éstasobre las concepciones “ocultas” de losestudiantes es claramente menor. Durantesus prácticas, los estudiantes dudan mu-cho para aplicar la pedagogía que se pre-coniza; se escudan tras los obstáculos delterreno y los hábitos del grupo. Dehecho, con frecuencia reproducen unaforma de enseñanza poco alejada delmodelo “aprendo-aplico”. Incluso, dicePeltier, si declaran que su concepción dela enseñanza de las matemáticas ha evolu-cionado, esta evolución sólo debió alcan-zar las capas más superficiales de la repre-sentación construida desde la infancia. Ensituación de clase, el concepto inicialvuelve a surgir con frecuencia (Peltier,1999, pp. 21-22).

En este mismo sentido, pero en elmarco de la experimentación de propues-tas de enseñanza innovadoras –aplicadascon la participación de profesores deenseñanza media–, A. Robert y J. Robi-net constatan modificaciones sustancialessobre los proyectos originalmente plante-ados que rayan en su desnaturalización.Estas investigadoras consideran que losmalentendidos se originan, al menos par-cialmente, en las concepciones sobre lasmatemáticas y su enseñanza que tienenlos profesores. En tal perspectiva, afirmanRobert y Robinet, lo que suele llamarseresistencia a ciertos cambios puede atri-buirse al hecho de que las concepcionesson bastante estables por simples razonesde equilibrio personal. Y suelen ser másestables mientras más tiempo han mostra-do su valor en los hechos (véase Robert yRobinet, 1989).

En principio, resulta razonable supo-ner que las alteraciones ocurridas en lasrepresentaciones de los profesores mexi-canos no serían ni homogéneas ni idénti-

Los profesores y sus representaciones sobre la reforma a las matemáticas


Alicia Ávila Storer (2001), vol. XXIII, núm. 93, pp. 59-86

cas a las previstas oficialmente. Pero laforma específica en que los cambiosocurrieron se analiza en las siguientespáginas. El análisis que se presenta–confiamos– contribuirá a explicar lamanera en que la reforma fue intelec-tualmente asumida por los profesores, lacausa de sus acciones en clase y, adicio-nalmente, las posibilidades de que elaprendizaje mediante la resolución deproblemas tenga plena o parcial cabidaen los salones de clase.

PRECISIONES METODOLÓGICAS

A continuación se analizan las representa-ciones vinculadas con las matemáticas, suaprendizaje y su enseñanza de los 16 pro-fesores (6 de segundo, 4 de cuarto y 6 desexto grado) que participaron en unestudio orientado a conocer las repercu-siones de la reforma a las matemáticassiete años después de su introducción(Ávila, coord., 2000). Dichos profesoresfueron entrevistados una vez concluidoel trabajo de observación de clases y deaplicación de exámenes que se llevó acabo durante el estudio.

Nuestros interrogados fueron considera-dos sujetos cuyas expresiones verbales nospermitirían conocer cuánto y en qué direc-ción el enfoque de enseñanza introducidohace siete años había logrado alterar las re-presentaciones docentes y, con ello, las con-diciones de posibilidad y los límites de lasideas constructivistas en la escuela.1

En el estudio se buscó que estuviesenrepresentadas distintas regiones y nivelessocioeconómicos de un estado del centrodel país. Así, se entrevistó a profesores deescuelas rurales y escuelas urbanas de dostipos: a) ubicadas en zonas marginadas dela ciudad capital, y b) reconocidas como“de prestigio”. La decisión final sobre tal

o cual profesor fue tomada conforme a ladisposición mostrada para participar en elestudio. Una variable que originalmentese pensó considerar para la selección fue lapreparación recibida por los profesorespara la instrumentación de la reforma.Empero, tal criterio no fue de utilidad, yaque en toda la entidad federativa los pro-fesores habían recibido (de manera obliga-toria) los cursos que desde la Secretaría deEducación Pública se habían preparadopara tal fin. La muestra quedó finalmenteconformada por profesores de distintasedades y preparación profesional diversa.

Para el análisis de las respuestas serecuperaron elementos que según Roberty Robinet constituyen las nociones cen-trales de las representaciones acerca de lasmatemáticas y su enseñanza y que fueronmencionados en el inciso anterior. Estoselementos no son abordados arbitraria-mente, sino porque son coincidentes conlas concepciones actuales de didáctica dematemáticas según las cuales la relacióndidáctica se establece entre maestro yalumnos alrededor de un objeto de saber(véase Chevallard, 1991).

No se presenta un análisis frecuencialde tipos de respuesta ofrecidas, más biense trató de recuperar y destacar las formasde pensar que se han configurado y que,desde nuestros supuestos, son resultadode la incorporación de la reforma a lasmatemáticas.

Conviene también señalar que, para laidentificación de los sujetos y el tipo deescuela a la que pertenecen, se utiliza unacodificación donde 2°, 4° o 6° expresan elgrado escolar correspondiente; R significaescuela rural, U significa escuela urbana,P denota una escuela prestigiada y D unaubicada en una zona urbana desfavoreci-da. Las dos últimas letras de la clave seasignaron arbitrariamente con fines de



identificación. Así, por ejemplo, la clave2°-UD-MM refiere a un grupo de segundogrado ubicado en una zona urbana desfa-vorecida y 4°-R-AD a uno de cuarto perte-neciente a una escuela rural

La exposición de los resultados se haordenado conforme a los tres grados estu-diados (segundo, cuarto y sexto), ya que–como se verá adelante– entre unos yotros hay interesantes diferencias queconviene destacar. En la parte final seofrece una perspectiva global en términosde tendencias, precisiones y diferenciasentre los tres grados. Por último, no sobraseñalar que no pretendemos llevar elámbito de validez de nuestras afirmacio-nes más allá del grupo de profesores conquienes trabajamos.

LOS PROFESORES DE SEGUNDO GRADO

Diferenciación de la nueva propuestacon el currículum previo

El nuevo enfoque de enseñanza (en ade-lante enfoque) es claramente percibidocomo distinto de los que le precedieron.Es frecuente que los maestros de estegrado lo contrapongan a la mecanizacióny memorización, que luego traen a cuen-to para referirse a las propuestas curricu-lares que antecedieron a la enseñanzamediante resolución de problemas. Mu-chos encuentran como virtudes de esteenfoque “que no es mecanicista”, “no estradicionalista” o “no es memorístico”,elementos todos que ahora sirven paracalificar a los anteriores. También elnivel de participación de los alumnosdestaca como diferenciador principal:“Antes, uno los quería tener quietos”,ahora “Deben participar”, dicen variosprofesores (2°-UP-S; 2°-R-NO; 2°-UD-G;2°-UD-AD).

Adicionalmente, y en menor medida,se aluden otras diferencias; aquí el abani-co de opiniones se divide:

• Se encuentran diferencias en un conti-nuum concreto-abstracto: “[El niño se]Hace más la idea trabajando con cosasconcretas” (2°-R-NO; 2°-UD-AD).

• La reflexión también permite diferen-ciar: “Ahora los niños reflexionan” (2°-R-JR).

• “Ahora se trata de que relacionen conla vida práctica lo que están haciendo[...] tal vez antes también pero no senos daba esa conciencia” (2°-R-MM).

• En relación con la dosis de libertad quese daba anteriormente a los alumnostambién se ofrecen elementos: “Se te-nía que llevar unos pasos, que seguir unorden; si no se llevaban esos pasos, puesregrésate y vuélvelo a hacer” (2°-R-NO);en cambio, ahora: “El niño explora,tiene más libertad” (2°-UD-AD).

Excepcionalmente, se hacen referenciasmás cercanas a las proposiciones oficiales:

Ahora el niño aprende el porqué, por quéesto es así y no nada más “se hace así y ya”(2°-UD-G)

Estas últimas opiniones muestran lasmúltiples formas en que el enfoque hasido interpretado, pero no constituyenelementos centrales en el pensar de todoslos profesores, las diferencias que destacancomo tales son la no memorización y laparticipación de los niños.

La aceptación del enfoque y disposicióna seguirlo aplicando

Sobre la base de las diferencias segura-mente ponderadas como positivas, todos



los profesores entrevistados afirman apli-carlo en sus clases y se refieren a él conexpresiones del tipo “Me ha gustadomucho”, o “Es muy bueno”.

Las razones dadas para justificar talaceptación refieren a diversas cuestiones:que esta forma de trabajo hace reflexivosa los niños y elimina el mecanicismo (2°-UP-S; 2°-R-JR; 2°-R-NO), o que los vinculacon lo cotidiano (2°-R-JR; 2°-UD-G). Conel tiempo, “Se consideran los procesospor los que están pasando los niños (2°-R-MM)”, lo cual coincidiría con la pro-puesta oficial.

Es decir, que los profesores de segun-do ven con agrado la propuesta oficialpara la enseñanza de las matemáticas;entre los argumentos que sustentan talaceptación sobresalen tanto el abandonodel mecanicismo y la posibilidad de refle-xión que ofrece a los niños, como el vín-culo con lo cotidiano.

De manera aislada, se expresa dificul-tad en la aplicación de las nuevas ideas,pues a la vez que se consideran benéficasintelectualmente, se piensa que constitu-yen un reto para los docentes. El retoremite al pasado pedagógico, pues quienexpresa esta postura dice: “estoy hecha auna escuela, de una manera que ahorahay que cambiar” (2°-R-MM).

Sin excepción, los profesores de se-gundo grado declaran estar dispuestos acontinuar realizando el tipo de trabajopropuesto oficialmente, lo aceptan sincortapisas y dan diversas razones paraello: “Para que la actividad sea más diná-mica”, “Para que los niños reflexionen”, o“Porque aprenden mejor, no de maneramecánica”.

Sin embargo, la probable distancia en-tre el pensar y el hacer se pone de mani-fiesto cuando se dice que la posibilidadestá acotada porque las seguridades se

pierden: “El asunto es que no logro con-fiar en estos enfoques, eso es lo que másme frena en determinado momento” (2°-R-MM), insiste quien ya antes ha mostra-do cautela.

Como quiera que sea, puede verse queen prácticamente todos los casos las con-sideraciones remiten a que el enfoque haentrado en los salones de segundo grado;al menos en el pensamiento docente esaidea se ha instalado. Del batallar coti-diano con el enfoque se han derivadonuevas experiencias, nuevos saberes, nue-vas creencias, también nuevas normaspara enseñar y aprender.

Cambios y permanencias en la clase conla entrada del enfoque

El discurso de los profesores de segundo–mirado de conjunto– refleja la concen-tración en la actividad como elementobásico de su interpretación de la reforma.Empero, a tal actividad se le dan distintossignificados: manipulación de material,juego, acción. “Poner situaciones enforma de juego” (2°-R-M), “Juegos, mu-chos juegos”(2°-UD-G), “Más actividad ymás participación” (2°-UP-S) son activida-des que a decir de los profesores marcanel cambio en la clase de matemáticas. Afin de cuentas, tales actividades se com-plementan con el razonamiento: “Másrazonamiento”; (2°-UP-S y 2°-UD-G) o “conel intercambio de opiniones” (2°-UD-G).

Por otro lado, las respuestas de dosprofesoras –que en este sentido se distan-cian del resto– constatan la reelaboraciónde las nuevas ideas a la luz de una con-cepción sensual-empirista del aprendizajede la cual deriva el decir que es “La mani-pulación de material” lo que hace las dife-rencias en su clase desde que entró lareforma (2°-UD-AD; 2°-R-NO). Se advierte



una idea diferente en boca de quien con-sidera que lo novedoso en su clase consis-te en “Meter a los niños a la reflexión”(2°-R-JR).

Concepciones sobre las matemáticas y utilidad de su enseñanza

Los profesores de segundo fueron pocoexplícitos en relación con la noción dematemáticas. De hecho, hubo quien nocontestó nuestra pregunta (2°-UD-AD) oquien reconoció explícitamente dificultadpara hacerlo (2°-R-MM). Quienes lo hicie-ron ofrecen respuestas bastante parcas; laidea que se expresa con más fluidez y fre-cuencia refiere a la utilidad (2°-UP-S; 2°-R-NO). Se nos dice por ejemplo: “Es elarte de saber contar, que no me hagantonta” (2°-R-MM). En el extremo tal pos-tura se expresa así: “La matemática es unarma que sirve para la vida” (2°-UD-G).Sólo el profesor 2°-R-JR ofrece una res-puesta divergente: “Las matemáticas sonuna ciencia que nos hace reflexivos”.

Cuando los maestros son interrogadosacerca de la utilidad de enseñar las mate-máticas, las respuestas son más claras yreflejan de manera unánime la concepciónque se tiene de esta disciplina y que ante lapregunta anterior no terminó de aparecer:“Una ciencia para la vida”. De manera ais-lada, se menciona la promoción del razo-namiento como rasgo característico de lasmatemáticas y en el cual se encuentra lautilidad de la disciplina. El que encuentraesta utilidad es quien sistemáticamenterefiere a la reflexión como elemento cen-tral de sus representaciones (2°-R-JR).

Los aprendizajes fundamentales

Oficialmente no se realizaron cambiossustanciales en los contenidos de ense-

ñanza más allá de la eliminación de lalógica y los conjuntos. Las modificacionesen los contenidos tocaron más bien elsentido de las matemáticas; se puso derelieve su carácter como herramienta pararesolver problemas, es decir, su carácterfuncional, no necesariamente utilitario.Sin embargo, el interés por conocer lamanera en que los profesores estuvieronpensando los saberes que debían transmi-tir a los alumnos, nos llevó a indagarsobre tal cuestión. Así, se recogieron tam-bién opiniones en relación con los apren-dizajes fundamentales del grado que seatiende y de la educación primaria. Laopinión predominante respecto a estaúltima se centra en las cuatro operacionesbásicas, aunque a veces se agregan condi-cionantes que las diferencian del formatotradicional: “Sobre todo razonadas” (2°-UP-S), o “Vistas en problemas cotidianos”(2°-UD-G; 2°-R-NO).

Las tablas de multiplicar y la multipli-cación centran la atención como conteni-do fundamental del segundo grado.Empero, en algunos profesores reaparecela idea de una cierta transposición, elinterés ya no es sólo que las tablas o lamultiplicación se mecanicen, por el con-trario, ahora se quiere que se aprendan,“Bien, bien razonadas”.

Puede verse que aun cuando siguensiendo prioridad los contenidos tradicio-nalmente centrales en la educación pri-maria y en el segundo grado, ahora seadivina –al menos en algunos profesores–la intención de una transposición distintade aquella que presenta los conocimien-tos como ejercicios no contextuados ymemorísticos para poner a los niños encontacto con las tablas y la multiplica-ción. Ahora –para algunos docentes–,estos contenidos deben adoptar unaforma que posibilite el razonamiento y,



con ello, su aplicación a los problemascotidianos. Según vimos en las clases, lasnuevas formas consisten en hacer paque-tes con objetos, en poner piedritas encontenedores diversos, también en jugarde manera que se haga necesario formar yreiterar grupos de objetos. Seguramentese piensa que con ello los niños estánrazonando.

Sólo quien consistentemente señala lareflexión como elemento básico del enfo-que, mantiene esta línea de argumenta-ción: “Que se hagan reflexivos” es lo prin-cipal. (2°-R-JR)

Concepciones sobre el aprendizaje y la “construcción del conocimiento”

El compromiso básico de la escuela intro-ducido con la reforma a las matemáticasfue ofrecer a los niños la posibilidad deutilizar sus conocimientos previos pararesolver problemas y, a partir de sus solu-ciones iniciales –mediante la puesta encomún, la discusión y la intervención delprofesor– hacerlos avanzar hacia las for-mulaciones y procedimientos convencio-nales. El planteamiento se complementócon la idea de que los conocimientoshabrían de validarse mediante recursosintelectuales puestos en juego por losniños (confrontación, argumentación, outilización de distintas estrategias de solu-ción) y no mediante decisiones del profe-sor (véase SEP, 1993).

En virtud de lo anterior, otro elemen-to constitutivo de las representacionesdocentes que en principio se vería modi-ficado con el ingreso de la reforma es lanoción de aprendizaje. De una perspecti-va tildada de tradicional (que puede sin-tetizarse con la expresión “aprendo, apli-co”) se buscó transitar a una concepciónsegún la cual los niños aprenden resol-

viendo problemas. Desde esta perspectivala producción del conocimiento resultade poner en juego los recursos intelectua-les con que el niño cuenta en el momen-to en que la interacción con una situacióndesequilibrante tiene lugar.

No es posible observar alguna ideapredominante e incluso clara acerca delaprendizaje en los profesores de segundogrado. El elemento que unifica la mayo-ría de las respuestas es la cotidianeidad,pero ésta tiene distintos estatutos en lasexpresiones construidas. Se dice porejemplo –mediante respuestas notable-mente ambiguas– que se aprende: “nosólo mecanizando, sino dominando todolo demás” (2°-R-NO), “a tropezones, resol-viendo las situaciones que se presentan acada momento” (2°-R-MM), “jugandoaquí en la escuela y aplicando en la vida”,(2°-UD-G, 2°-U-PS) o “con experienciasdentro y fuera de la escuela” (2°-R-JR).

Dos rasgos resultan relevantes en lasendebles concepciones expresadas entorno al aprendizaje:

a) la disolución de la frontera entre laescuela y la vida tradicionalmenteestablecida para pensar el aprendizaje.El “se aprende sólo en la escuela (elniño es una hoja en blanco)” se hareemplazado por “Se aprende tambiénen la vida y ese aprendizaje se trae a laescuela”;

b) la aplicación de los conocimientos enla resolución de problemas cotidianoscomo parte sustancial del proceso deaprendizaje.

Esta última idea no fue aportada por lareforma de 1993, sino que es propia delas distintas pedagogías impulsadas a par-tir de la creación de la Secretaría deEducación en México –que se verían



interrumpidas con la irrupción de lamatemática moderna (véase Ávila yGarcía, 1999), y que parece haberse revi-talizado con el ingreso de la reforma, auncuando ésta no la contuviese.

Por otro lado, la reforma a las matemá-ticas ubicó el aprendizaje en un marcoconstructivista, y con ello los procesos deaprendizaje de los niños fueron colocadosen el centro de la clase. Solicitamosentonces a los profesores expresar susideas acerca de la frase “Que los niñosconstruyan el conocimiento”, la cual hapasado a formar parte sustantiva del len-guaje escolar. Aquí las ideas vertidas sonmás abundantes que las referidas alaprendizaje y nos enfrentan de nuevo ainterpretaciones diversas, incluso a rela-tivas confusiones. Hay casi tantas formasde expresar las ideas como profesoresentrevistados y en la mayoría hay di-ficultad para responder. Encontramosincluso quien exclama: “¡Válgame Dios!...¿Qué será?”.

Como quiera que sea, en un esfuerzopor dar claridad a las respuestas recibidaslas hemos categorizado como expresión de:

• Concepciones que limitan el papel delprofesor. Se dice que se trata de “Nodarles el conocimiento a los niños”(2°-R-JR), “Que vayan aprendiendosolos” (2°-UD-AD).

• Concepciones que aluden a la resolu-ción de problemas. “Que los niñosaprendan resolviendo problemas” (2°-R-JR); “A partir de que tengan que resol-ver problemas de su vida” (2°-R-MM).

• Concepciones que incorporan la ideade hipótesis y validación. “Que vayandescubriendo poco a poco, que vayanarmando sus hipótesis. O sea que ellosmismos vayan descubriendo: ‘¡Ah, estome salió mal, lo debo de hacer así!’”

(2°-UD-G). “Que ellos puedan com-probar los conceptos, la teoría, lospuntos, primero en forma muy básicay [luego] con la realidad cotidiana. Esoes muy importante, porque si elloscomprueban se les hace más fácil, y lesgusta” (2°-UP-S).

Es importante detenerse en esta últimaafirmación pues, en apariencia, la profe-sora ha incorporado la idea de validacióno prueba en el mismo sentido en que apa-rece en el enfoque. Sin embargo, cuandodesarrolla más su discurso, notamos queno ha abandonado por completo lanoción de enseñanza ostensiva2 y la tras-lada a la comprobación. Así, nos dice:

Por ejemplo, en el material de capacidad noso-tros lo hicimos hace poco. Que ellos traiganuna cubeta, un casco, una olla, y que elloscomprueben exactamente. Si yo les digo“Miren, éste es un litro, éste es un medio litro,a esta olla le caben 5 litros, ¿creen que sí?”, lohicimos con agua. A ellos les gusta muchocomprobar y así le entienden muy bien.

Es decir que la comprobación perma-nece asociada con las acciones demostra-tivas y directivas de la profesora y no seinterpreta (conforme al nuevo enfoque)como una acción personal de los alumnospara conocer la validez de las propiasacciones.

• Concepciones que mantienen la mani-pulación en el centro del proceso cons-tructivo: “Que manipulen material.Que resuelvan problemas” (2°-UD-AD;2°-R-NO).

En suma, como se ha mostrado, sonmúltiples las interpretaciones que se hanhecho de la frase “Que los niños constru-



yan su conocimiento”. Igual se piensa quese trata simplemente de no dar el conoci-miento, que de resolver problemas o deobservar las demostraciones del profesor.Sólo una profesora –que sistemáticamen-te muestra un discurso más cercano aloficial (2°-UD-G)– ha centrado su aten-ción en la construcción de hipótesis porparte de los niños y en que éstos puedancomprobar los conocimientos sin recurriral juicio del profesor.

En fin que ni la nueva idea de apren-dizaje, ni la de construir conocimientohan tomado suficiente claridad en losprofesores de segundo grado. Sólo excep-cionalmente se han recuperado elementosimportantes de dichas nociones.

Los papeles del profesor y rasgos que definen al buen profesor de matemáticas

Conforme a la propuesta curricular cons-tructivista, el profesor ha de diseñar yplantear situaciones “que constituyan unreto”, ha de transferir a sus alumnos laresponsabilidad del propio aprendizaje,ha de promover interacciones y, llegado elmomento, ha de formalizar el saber pro-ducto de la actividad. Ante el papel ofi-cialmente impulsado, nuevamente losdocentes expresan distintas perspectivaspedagógicas; dejan ver tres formas deconcebir al profesor:

a) Un profesor que no transmite, quetampoco guía, que únicamente apoyadurante el desarrollo de la actividad.Los siguientes son ejemplos de lo quese nos dice: “Más que nada [su papelconsiste en] apoyarlos cuando lo nece-siten “ (2°-U-D-G), o en “Tratar de co-nocer a los alumnos, oírlos para adap-tarse a ellos”(2°-UP-S)

b) Hay también quienes, consistentes consu perspectiva sensual-empirista, seña-lan que el principal papel es: “Preparartodo el material, tener paciencia y sufi-ciente material” (2°-UD-AD; 2°-R-NO)

c) Aunque con escasa frecuencia, tambiénse concibe al profesor como guía ycomo promotor de reflexión: “El papelque le corresponde es de guía, quebusque la reflexión de los alumnos”(2°-R-JR).

Los argumentos sobre los cuales sedefine al buen profesor incorporan loselementos antes referidos (es bueno el queapoya, el que guía la reflexión, el que pro-vee de suficiente material). Empero, aquíno es suficiente el ámbito didáctico parapensar al profesor; entran también consi-deraciones de tipo actitudinal. Por ello seesgrime el compromiso profesional –tra-ducido, entre otras cosas, en dedicartiempo en casa a preparar las clases y elmaterial didáctico– o cuestiones vincula-das con el acontecer cotidiano talescomo, tener paciencia, estar atento a losalumnos, sentir agrado porque los alum-nos aprendan, aceptar que aprendanjugando. Todos éstos son elementos quepermiten emitir juicios sobre el profesor.

Como puede verse, no hay una ideaunánime acerca del papel que un profesordebe cumplir como enseñante de lasmatemáticas, tampoco de los elementosque permiten evaluarlo. Los puntos deatención van de las actitudes profesiona-les más globales no vinculadas con mode-lo de enseñanza alguno –pasando pordestrezas didácticas vinculadas con mode-los sensual-empiristas (el que proporcio-na el material necesario), o a la enseñanzainterrogativa (el maestro que guía paraque los alumnos reflexionen)– a las inter-pretaciones relativamente próximas al



constructivismo: “el profesor que ofreceactividad, que apoya y que permite”.

En suma, la propuesta curricular pre-coniza un profesor que en vez de explicarplantea situaciones problemáticas, que enlugar de marcar formas de resoluciónprovoca la puesta en marcha y discusiónde estrategias personales, y que en vez desancionar los conocimientos ofrece ele-mentos para validarlos. Las representacio-nes reflejadas en el discurso de nuestrosentrevistados no coinciden sino escasa-mente con tales ideas. La construcciónconceptual sobre el papel del docente alque dio lugar la reforma tomó distintasvías y no recupera de manera importantelo oficialmente previsto, al menos no ensegundo grado, donde sólo de vez encuando se alude al profesor constructivis-ta, pero éste toma forma de “profesor queayuda” y por momentos se convierte sim-plemente en “profesor que permite”.

Los roles del alumno y rasgos que definen a los buenos y los malosalumnos

Las concepciones que sobresalen respectoal papel de los alumnos se asocian con lanoción de actividad y participación: “queparticipen” (2°-UP-S; 2°-R-NO, 2°-UD-G),“que busquen soluciones” (2°-R-JR; 2°-R-MM), “que hagan las actividades que se lessoliciten”. Reaparece también –con el sus-tento del sensual-empirismo– la idea deque manipular material es una de las fun-ciones principales del alumno (2°-UD-AD

y 2°-R-NO). El que los niños enfrentensituaciones problemáticas emerge muyescasamente (2°-UD-G).

Nuestras interrogaciones acerca delpapel que deben cumplir los alumnos ylos elementos que podrían definir a unbuen alumno arrojan información com-

plementaria sobre las representacionesconstruidas. Los profesores tienen tam-bién una diversidad de respuestas en rela-ción con estos puntos. Hay quien dicedesde su visión más tradicional que elbuen alumno es el que sabe responderoralmente y por escrito (2°-UD-AD; 2°-R-NO); pero también se escuchan otrasvoces: el buen alumno es “el que lograreflexión” (2°-R-JR), “el que hace suesfuerzo, el que participa” (2°-UP-S), “elque busca alternativas” (2°-UD-G). Talesrespuestas confirman otras ideas que hastaaquí se han destacado y son coherentes conel sentido asignado al profesor: al profesorque ofrece material, lo complementa elalumno que responde; al que promueve lareflexión, el alumno que reflexiona; al quepropone juegos y actividades, el alumnoque participa.

Por otra parte, mientras una posturamuy apegada a la tradición lleva a consi-derar malos alumnos a quienes no tienencapacidad o no tienen interés (2°-R-NO);desde otra perspectiva menos clara peroque se antoja acusatoria, se señala que losmalos alumnos son quienes constante-mente preguntan cómo hacer el trabajo oque le rehúyen cuando lo encuentrandifícil (por ejemplo 2°-R-MM). Se respon-de también desde lo que parece un “cons-tructivismo radical” tomado a trozos, que“sólo quienes tienen problemas de apren-dizaje son malos alumnos” (2°-UD-AD);hay quienes parecieran sentirse inclusoimpedidos para hablar de malos alumnos:

A lo mejor no sería un mal alumno, sino unmal maestro”(2°-UD-G), y la responsabilidad seextiende hasta los padres de familia: “[El malalumno es el que] tiene baja autoestima, y esono es responsabilidad de los niños [...] es delos padres y de los maestros [...] se me hacemuy difícil esta pregunta” (2°-UP-S).



Conviene destacar un elemento res-pecto a los alumnos y las representacionesdocentes: la evolución del papel tradicio-nal asignado a los alumnos en el seno deuna enseñanza del tipo “aprendo-aplico”que se mantiene en pocos casos, haciaotro en el que predomina la idea de par-ticipación, actividad y, más escasamente,la de resolución de problemas.

Dos elementos constituyen las ausen-cias principales en relación con el alum-no y el papel asignado según la perspecti-va constructivista: la puesta en juego deestrategias personales, o la elaboración yprueba de hipótesis que no emergieroncomo elementos propios del procesoconstructivo sino muy de vez en cuando.Un exceso en las interpretaciones puedeadvertirse cuando aparece “el alumnoexculpado”, el cual es identificado inclusopor quien parece asumir con cierta con-vicción la nueva propuesta educativa ytener ideas más estructuradas al respecto.

Conclusión sobre el segundo grado

Los profesores de segundo grado, en sumayoría, dicen aplicar en sus clases elenfoque de matemáticas introducido en1993 y lo evalúan en términos favora-bles. También señalan, en general, sudisposición a seguirlo utilizando. Sólouna profesora hace público el reto quesignifica –en términos de abandono decreencias– utilizar este enfoque de ense-ñanza. Pero la aceptación generalizada nosignifica que haya una interpretación fiela la propuesta difundida. Tampoco el quelas representaciones constituidas hayanincorporado los elementos que son basa-mento de aquélla.

Los elementos centrales que parecenpresidir las nuevas representaciones do-centes son la idea de actividad y partici-

pación por parte del alumno, con su con-traparte, el profesor que propone acti-vidades y juegos, y que ayuda. Las mate-máticas, como las conceptúan hoy losprofesores son un instrumento para lavida. Por ello, las operaciones básicas y lastablas de multiplicar se mantienen a lacabeza de los contenidos importantes,sólo que ahora con una diferencia queemerge con frecuencia, deben aprenderse“bien, bien razonadas”.

Se observa también, amalgamada conalgunas nuevas ideas, la persistencia deexplicaciones sensual-empiristas confor-me a las cuales la manipulación de mate-riales es elemento fundamental del pro-ceso educativo. De acuerdo con estemodelo, el papel principal del profesor esdotar de material a sus alumnos, y el deéstos, manipularlo.

De una forma más limitada, peroconsistente, tienen presencia “el maes-tro-guía” promotor de reflexión, y sucontraparte, “el alumno reflexivo”. Estebinomio se completa con la matemáticacomo “ciencia de la reflexión”.

En este grado, como tendencia, parecehaberse desplazado la idea de construir elconocimiento y plantear situaciones pro-blemáticas para que tal proceso ocurrahacia otra donde la actividad y la partici-pación son la vía del aprendizaje. La reso-lución de problemas, la confrontación deresultados y la elaboración de hipótesistienen escasa presencia, mientras que laformalización del saber no ocupa lugar enel discurso de los profesores. Sólo quienparece asumir con más convicción a lavez que con más conocimiento el nuevomodelo parece haberlas hecho parte desus representaciones.

En otras palabras, el conjunto derepresentaciones expresadas discursiva-mente, y que parecen verse con mayor



claridad cuando se ponen en acto, refierepredominantemente a una especie deescuela activa –en la que el objetivo cen-tral es realizar actividades– y las menos delas veces se expresan preocupaciones sobrelos productos intelectuales de tales activi-dades o atención a los procesos cognitivosde los alumnos. El predominante resultaser un constructivismo ingenuo para elque al actuar se está aprendiendo.

LOS PROFESORES DE CUARTOGRADO

Diferencias percibidas entre el nuevo y los viejos enfoques de enseñanza

La memorización y mecanización reapa-recen como rasgos atribuidos a las pro-puestas de enseñanza que antecedieron ala vigente. Otro rasgo expresado unáni-memente como diferenciador es que en laactual propuesta se parte de la realidad delniño y de lo que éste lleva consigo a la es-cuela. Se ve además como opuesta a la po-sibilidad de utilizar distintas estrategias deaproximación a una situación-problema,la imposición de un único camino deresolución, y a la posibilidad de respues-tas personales diversas, como contraria alautoritarismo del profesor (4°-UP-CA: 4°-UP-CO); finalmente, se oponen la interac-ción y la participación libres a la obedien-cia y aceptación sumisa. En un solo caso(4°-UP-CO) se alude al hecho de que losniños analicen las situaciones, comoopuesto a la repetición antes imperante.

Se ve en este conjunto de opiniones laaceptación intelectual del enfoque curri-cular por razones de índole didáctica queen un cierto sentido son distintas de lasexpresadas por los profesores de segundogrado. En este último grado las ideas deestrategia o de interacción no aparecen

sino escasamente, al igual que el análisiso la validación. Se ve también que losmaestros de cuarto grado han agregadocalificativos –todos negativos– a las pro-puestas de enseñanza previas (autoritaris-mo, imposición, sumisión, entre los prin-cipales). En otro sentido, las opinionesrecabadas en cuarto grado siguen siendosemejantes a las de segundo: los profeso-res de uno y otro grados perciben elmecanicismo, la memorización y su aleja-miento de la vida como rasgos de la pro-puesta curricular vigente en el momentode irrupción de la actual.

Otro rasgo identifica los dos grupos deprofesores: ambos asumen una disoluciónde la frontera tradicionalmente estableci-da entre la vida y la clase: “Se parte de larealidad del niño, y de lo que éste traeconsigo” (4°-R-S; 4°-UP-CA; 4°-UP-CO; 4°-UD-AD). Como se verá adelante, éste esun criterio poderoso para la aceptacióndel nuevo enfoque.

Aceptación del enfoque y disposición a seguir aplicándolo

Al igual que los de segundo, los profeso-res de cuarto grado entrevistados dicenponer en marcha en sus salones de claseel enfoque de enseñanza introducido en1993, al menos parcialmente. Las razonespara hacerlo expresan distintas considera-ciones, algunas que no refieren a realeselecciones didácticas, por ejemplo lospocos años de servicio: “Porque sólo hetrabajado con este enfoque”, nos dice unaprofesora (4°-R-S). Pero dos opiniones–provenientes de quienes por momentosincorporan decididamente la propuesta–parecen coincidir en una idea: la recupe-ración de los conocimientos previos delos niños: “Porque pone a los niños encontacto directo con lo que ellos mane-



jan”(4°-UP-CA), “Porque los conocimien-tos se abordan desde las experiencias queellos traen” (4°-UP-CO).

Aparece también una postura cautelo-sa, aun ante el reconocimiento de lossaberes previos y de que con esta formade trabajo los niños comprenden lasmatemáticas: “Sigo el enfoque, pero si losdeja uno solos va a estar muy canijo. Hayque introducirlos, ver lo que saben, y par-tir de ahí” (4°-UD-A).

Se ve en esta última declaración unapeculiar interpretación del “transferir laresponsabilidad del aprendizaje a losalumnos”; de hecho, pareciera una contra-dicción adoptar el enfoque (que consisteen dejarlos poner en marcha sus propiosrecursos de solución) sin dejarlos solos,“introduciéndolos”. Empero, la contradic-ción aminora cuando paulatinamente elprofesor deja ver que su interés es “guiar asus alumnos en el proceso de aprendizaje”.

Como quiera que sea, todos estos profe-sores consideran que el enfoque curriculares bueno; en los argumentos que justificanlas afirmaciones –a pesar de su aparentevariedad– destaca el reconocimiento de lossaberes previos y la consideración de los be-neficios intelectuales que produce en losalumnos. Así, puede entenderse que de ma-nera predominante se ha incorporado lapropuesta de enseñanza en los salones declase. Por supuesto, tal incorporación es ta-mizada por las propias interpretaciones delos docentes y con la contradicciones (rea-les o aparentes) a que tales interpretaciones,en ocasiones, habrán dado lugar.

En virtud de lo anterior, todos losdocentes de cuarto grado entrevistadosdeclaran tener disposición a seguir traba-jando sus clases de matemáticas con elnuevo enfoque; aunque sólo tres maestroslo hacen sin restricciones (4°-UP-CO; 4°-UP-CA y 4-R-S), pues quien se muestra

cauteloso (4°-UD-A) señala que en ocasio-nes cae en lo tradicional y las novedadesse quedan sólo en la programación.

Cambios y permanencias en la clase con la incorporación del enfoque

Entre las cosas que antes no se hacían yahora se llevan a cabo en el salón de clases,según la visión que los profesores han cons-truido de su propia práctica, aparecen cues-tiones como: “Hacer reflexionar a los alum-nos, dejarlos hacer, promover el análisis y[...] ‘armarse de valor’ para enfrentar elreto” (4°-R-R; 4°-R-S; 4°-UP-CA; 4°-UP-CO).

Tales respuestas fueron ofrecidas porquienes parecen asumir con cierta deci-sión el enfoque de enseñanza. Curiosa-mente, quien ve “canijo dejar solos a losalumnos”, comenta: “Casi todo me gus-taba hacerlo antes: reflexionar, analizar,participar” (4°-UD-A). Es decir que, decreer en esta declaración, es posible supo-ner que no se perciben diferencias impor-tantes entre la nueva forma de trabajo yla que se desarrollaba antes de 1993. Dehecho, parecería que el enfoque se hareducido a hacer razonar, y eso siempre lohan pretendido los profesores. Es tal vezla preexistencia de tal idea la que ha con-ducido a la reelaboración observada.

En general, la opción de trabajar conel enfoque no impide a los profesoresdesarrollar ciertas actividades que antesacostumbraban realizar; por ejemplo:“Seguir repasando las tablas de multipli-car” o “en lo que estén más tambaleantes”(4°-UP-CA; 4°-UP-CO).

Concepciones sobre las matemáticasy utilidad de su enseñanza

En el cuarto grado la concepción dematemáticas es ampliada con nuevos



elementos. Para estos profesores dichaciencia es:

• “Todo lo relacionado con la medida, conel número y con el conteo”(4°-UP-CO).

• el paso de lo informal a lo formal (4°-R-S) • un campo en donde se analizan y se

comprenden los números, se razona, sereflexiona, y se aplica el conocimiento(4°-UD-A);

No obstante esta diversidad, ante lapregunta por su utilidad, reaparece la ma-temática como “ciencia de la vida y parala vida”, pues “la vida es matemáticas”(4-UD-A), o “la matemática se aprende sinmaestro [en la vida] y es sólo lo más for-mal de la matemática lo que se enseña enla escuela” (4°-UP-CA).

Es decir, algunos maestros han incor-porado a su visión de las matemáticas lossaberes que la constituyen, así como elconocimiento formal y la actividad deanálisis y reflexión que le son característi-cas. Ninguno de estos elementos aparecióen el segundo grado. Sin embargo, alponer de manifiesto el sentido de la ense-ñanza de las matemáticas en la escuela, laidea de utilidad práctica recupera prima-cía (4°-R-S; 4°-UP-CO; 4°-UP-CA); se dicecon todas las letras: “sirve para la vida” otambién que “sirve para resolver proble-mas”. Escasamente se expresa otra utili-dad: “la matemática sirve para hacer pen-sar a la persona, para que razone, paraque reflexione” (4°-UD-A). Esta ideacorresponde a quien con cierta sistemati-cidad muestra que el centro de sus repre-sentaciones lo constituye la reflexión.

Los aprendizajes fundamentales

Coherentes con sus imágenes y creenciassobre las matemáticas, los profesores

combinan lo que sea útil para la vida conlas cuatro operaciones fundamentales, alseñalar los aprendizajes que todo niñodebe adquirir. También hay quien agregala reflexión (4°-UD-A). Sólo una de entrelos cuatro entrevistados (4°-UP-CO) refie-re a cuestiones que van más allá de loanterior, agregando los ángulos, las frac-ciones y los decimales en sus considera-ciones de aprendizajes relevantes del cuar-to grado. Se trata ciertamente de un casoexcepcional pues, como se habrá visto, enlas ideas hasta aquí expuestas las cuatrooperaciones aritméticas constituyen elnúcleo de la matemática escolar.

Concepciones sobre el aprendizaje y la construcción del conocimiento

La idea que se repite en relación con elaprendizaje es que las matemáticas seaprenden en la vida, de manera informal(4°-UP-CO; 4°-UP-CA; 4°-R-S). El papelque según esta perspectiva corresponde ala enseñanza es proporcionar los aspectosformales de la disciplina o corregir lasconcepciones eventualmente erróneas delos niños (4°-UP-CA; 4°-UP-CO). Persistetambién la noción de aprendizaje sensua-lista: “Se aprende observando, tocando yaplicando” (4°-R-S), o la opinión que pri-vilegia la actividad: “[Se aprenden] po-niéndolas en práctica; si el alumno estáactivo puede aplicar y aprender las mate-máticas” (4°-UD-A).

La frase “construir conocimiento” esenriquecida con elementos adicionales alos expresados en segundo grado. Ahorase incorporan a la descripción del pro-ceso constructivo elementos como lossiguientes:

a) que los alumnos inventen, creen, re-suelvan y comparen (4°-UD-A);



b) partir de lo informal para llegar a loformal (4°-R-S);

c) partir de experiencias cotidianas, apli-car los propios recursos y razonar (4°-UP-CA);

d) que no se les diga cómo hacer, que elalumno no espere a que se le explique[...] experimentando y pensando sobrelo que hace (4°-UP-CO).

Como puede apreciarse, las ideas cons-truidas giran en torno a la creación perso-nal, el uso de recursos intelectuales perso-nales, la interacción entre pares, la reflexiónsobre las propias experiencias, así como elcontinuum informal-formal, elementos to-dos que no emergieron en el segundogrado y que –no obstante su diversidad–vienen a precisar la noción “construir elconocimiento”. Parece que en la base deesta precisión está el reconocimiento de lossaberes previos con que los alumnos lleganal proceso educativo formal.

Los roles del maestro ylas características de un buen profesor

El papel del profesor es concebido demanera más compleja que en el segundogrado. Aunque uno de los entrevistadostiene dificultad para responder y final-mente evade nuestra pregunta (4°-UD-A),los tres restantes perciben el rol deldocente como:

a) organizador de actividades, y guíapara conducir a los alumnos al logrode las mismas y a los conocimientos(4°-UP-CO);

b) orientador y facilitador de conoci-mientos (4°-UP-CA);

c) mediador entre los aprendizajes pre-vios y los formales que se pretendetransmitir (4°-R-S).

Conforme a tales declaraciones, el co-nocimiento viene a ser a la vez elementoy fin del proceso de enseñanza. Por ello,el papel del maestro está asociado a aquél.

Parece por otra parte que los docentesde este grado han construido una noción deprofesor que oscila entre el profesor-cons-tructivista y el docente guía: es facilitador,pero también orientador, es organizadorde actividades pero también es guía. Unavez más aparece la necesidad de la ruptu-ra para lograr la aceptación de tal papel:“Si no se quita primero la idea de que estodopoderoso, ya se “jaló” el asunto” (4°-UP-CA).

Ante la consideración de quién es unbuen maestro se reiteran las ideas:

• “Es un buen maestro quien aprovechalo que el niño trae de su hogar (4°-R-S);

• es el que entiende que es un facilitadorde los conocimientos, que hace que [elalumno] reflexione si se equivocó (4°-UP-CA); o

• el que encauza para que ellos mismoslleguen al conocimiento” (4°-UP-CO).

Tales argumentos denotan cierta ela-boración de las ideas constructivistas; seagregan otros de tipo actitudinal porparte de quien se muestra permanente-mente cauteloso en relación con la ense-ñanza problémica. En este caso, el buenprofesor es “a quien le gusten las matemá-ticas”, o “quien tenga disposición” (4°-UD-A), y una descripción más precisa delhacer didáctico se rehúye.

Los roles del alumno y los buenos y malos alumnos

La perspectiva dominante considera laparticipación y la iniciativa como rolesprincipales de los alumnos; todos los pro-



fesores expresan tal consideración. Sinembargo –de manera distinta que ensegundo grado–, la participación recibematices y precisiones de orden actitudi-nal: “Que sean responsables de los traba-jos que se les asignan” (4°-R-S), porque“también cuenta su actitud” (4°-UP-CO;4°-UD-A).

Sólo en un caso se agregan considera-ciones didácticas a la participación, y éstase refiere al modelo más tradicional, pueslos alumnos: “También deben ser sujetosreceptivos de la orientación que les dé elfacilitador” (4°-UP-CA).

Enfrentados a la necesidad de expresarsu valoración sobre los buenos alumnos,los profesores de cuarto se dividen.

En una postura radical, se expresa unimpedimento a considerar buenos o ma-los alumnos: “Todos son alumnos, nibuenos ni malos, sólo que habremosmaestros nefastos que catalogamos” (4°-UP-CA; 4°-UD-A).

En una perspectiva más mesurada, seseñala que “los buenos alumnos son losque tienen iniciativa aunque sean jugue-tones y los malos son los que no tieneniniciativa, desgano. Pero esto ocurre, “Talvez porque no tuvieron apoyo de lospadres, o tal vez la forma de trabajo delmaestro no les motivó” (4°-UP-CO).

También se le otorgan al alumno res-ponsabilidades tradicionales. En efecto,adhiriendo una perspectiva conservadora,una maestra (4°-R-S) agrega a sus conside-raciones iniciales el que los buenos alum-nos son los que cumplen con las partici-paciones, las tareas y en el examen sabencontestar. El caso de esta maestra resultainteresante porque por momentos parecereproducir un discurso aprendido formal-mente y, en ocasiones, parece expresarideas más personales. Entonces reapare-cen concepciones de enseñanza que se

distancian del constructivismo. Esta yux-taposición de ideas se observa también enel desarrollo de sus clases.

En suma, en el papel asignado a losalumnos emergen como nociones domi-nantes la participación, la iniciativa y laresponsabilidad; al fin y al cabo aparece el“alumno exculpado” ya que, se dice, laresponsabilidad de un cierto estatuto aca-démico corresponde a otros actores: elmaestro o los padres de familia.

Conclusión sobre el cuarto grado

Los profesores de cuarto grado entrevista-dos señalan unánimemente poner enpráctica el enfoque curricular vigente ymanifiestan su disposición a continuarhaciéndolo aunque algunos con cautela,pues a las declaraciones iniciales de adhe-sión se agregan condicionantes comoesperar que los alumnos tengan “nivel”para poder llevarlo a cabo, o se consideraun riesgo dejarlos trabajar sin direccióndel profesor; también se expresa con fran-queza la vuelta frecuente a las formas tra-dicionales de enseñar. Sea como sea, seidentifican como elementos valiosos delenfoque: el no mecanicismo, el reconoci-miento de los saberes previos con quecuentan los alumnos, o el margen delibertad que se les otorga. Estos elemen-tos lo diferencian de los currículumsanteriormente vigentes en los que ahorase observan sólo rasgos negativos, talescomo el mecanicismo o la imposición deformas de hacer y resolver.

Por otra parte, se expresan diversasnociones que es posible considerar pro-ducto del ambiente generado con laincorporación del enfoque y de la expe-riencia de ponerlo en práctica: los rolesdel alumno y del maestro, la noción deaprendizaje y de producción del saber, así



como la concepción de matemáticas,entre las principales. Algunas ideas sonpredominantes, por ejemplo:

Que los niños tienen conocimientosconstruidos en la vida y que es sobre talesconocimientos que se realiza el proceso deenseñanza. Este proceso ha de contemplarla producción de situaciones en las quelos niños utilicen recursos intelectualespersonales y luego los confronten. Seadvierte incluso el establecimiento de unvínculo entre lo informal y lo formal. Enrelación con los objetos de enseñanza hayun desplazamiento hacia la búsqueda dereflexión y la producción de una matemá-tica para la vida. Esta última es quizá laidea que se expresa con mayor fuerza enel cuarto grado.

Ahora bien, una comparación entre lasrepresentaciones expresadas discursiva-mente por los profesores de cuarto gradoy las identificadas en los de segundomuestra precisiones en la noción de acti-vidad. Por ejemplo, emergen las estrate-gias de resolución y los recursos intelec-tuales personales como elementos delproceso constructivo; también afloran lasfases de confrontación y formalización delos conocimientos. Estos elementos, sibien no acaban de generalizarse, tienenmayor presencia que en el discurso de losprofesores de segundo grado.

Según su propia voz, los profesores decuarto grado ahora tienen un papel estre-chamente vinculado con los saberes y losprocesos constructivos. El docente es crea-dor de situaciones, es mediador entre loinformal y lo formal, es promotor de aná-lisis y de reflexión. Es un papel distintodel que han construido sobre sí mismoslos profesores de segundo grado.

Por otra parte, “el alumno exculpado”ha perdido primacía y cede el espacioprincipal al alumno con iniciativa y res-

ponsabilidad. Esto guarda de nuevo cier-ta diferencia con las ideas expresadas en elsegundo grado, como ocurre con el papeldel profesor, que ahora se piensa másescasamente como “profesor permisivo”.Me parece que la idea que predomina eneste grado es la de un profesor a la mitaddel camino entre “el profesor que permi-te” y “el maestro que guía”. Quizá lamayor concentración en los contenidosmatemáticos y la conciencia acrecentadasobre la complejidad del acto constructi-vo provocan esta nueva forma de pensaral profesor.

Debe señalarse, sin embargo, que quie-nes denotan más cautela ante las propues-tas oficiales muestran también mantenercomo parte del conjunto de sus represen-taciones elementos de modelos previos deenseñanza, tales como considerar que loprincipal es la reflexión, que el maestro esguía o que resulta inconveniente dejarsolos a los alumnos en su proceso deaprendizaje; también el creer que nosiempre los alumnos reúnen las caracterís-ticas necesarias para construir por sí mis-mos los conocimientos. Tales elementosse entremezclan con otros más modernoscomo el reconocimiento de los saberesprevios, o el compromiso de llevar a losalumnos de lo informal a lo formal que,como dijimos antes, aparecen como ideasnucleares en las representaciones cons-truidas por los docentes de este grado.

LOS PROFESORES DE SEXTO GRADO

La aceptación del enfoque

Una vez más, la aceptación del enfoquecurricular predomina entre los profesoresentrevistados; excepto una docente, todoslos de este grado lo consideran positivo,aunque al igual que en los grados anterio-



res tarde o temprano se condiciona su efi-cacia: “Siempre y cuando se siga desdeprimer año hasta sexto” (6°-UP-RM), sedice. Las razones de la aceptación engeneral se refieren a los beneficios intelec-tuales que la nueva forma de trabajoaporta a los alumnos; se afirma, por ejem-plo: “El enfoque permite a los niñosconstruir su conocimiento, buscar estra-tegias y métodos para llegar por sí solos alas soluciones” (6°-R-R); “Sus errores sonpunto de referencia y aprendizaje”, (6°-R-CA) o simplemente: “Despierta la mentede los alumnos”(6°-UP-MH).

La excepción la constituye una profe-sora joven (6°-UD-MM), que puesta ante elenfoque previo y el vigente termina decla-rando que: “Antes se explicaba, ahorapara dar un tema tú empiezas a meterlosde lleno y ellos solos deben investigarhasta cierto punto qué es lo que tú quie-res que entiendan [...] Estaba mejor elenfoque anterior, porque creo que con elactual enredamos más a los niños”.

No deja de llamar la atención que laexcepción la constituya una profesora consólo ocho años de servicio, supuestamentecapacitada para poner en práctica el nuevoenfoque y que, por lo mismo, podría supo-nerse más proclive a la innovación.

Diferencias percibidas entre el enfoqueactual y los que lo antecedieron

La opinión mayoritariamente coincidenteseñala como diferencia principal queantes se daban fórmulas y pasos porseguir –en esto, dicen los profesores,había bastante mecanización–, mientrasque ahora los alumnos buscan la formade construir el conocimiento y aplicarloexponiendo sus propios argumentos (6°-R-R; 6°-UD-MM; 6°-UP-MH). Incluso unaprofesora (6°-R-CA) que señala no haber

vivido las diferencias como docente –puessólo tiene seis años de servicio– afirmasaber que antes las matemáticas se enseña-ban memorísticamente y que a los niños seles daban y enseñaban paso a paso las solu-ciones, cuestión que hoy se ha modificado.

Relativamente diferente es la opiniónde quien nos dice: “Ahora el niño tieneque investigar, todo lo va sacando de susconocimientos previos [...] sacan sus ideaspoco a poco y van llegando a conclusio-nes. Hay diferencia entre que el maestrole diga al niño todo, a que el niño tengaque resolver” con la guía del profesor (6°-UP-RM). La que se expresa en esta frase esuna noción más cercana al aprender des-cubriendo –con ayuda de las interro-gaciones del profesor– que al aprenderutilizando los recursos intelectuales per-sonales. Sólo quien tiene un discursoconstructivista más estructurado (6°-UD-MO) señala que antes se ejercitaba prime-ro el algoritmo para pasar luego a la reso-lución de problemas y que hoy se procedede manera inversa.

En fin, que hecha la excepción dequien opina que el tiempo pasado fuemejor, en las diferencias que se anotan seaprecia una valoración positiva y unaadhesión generalizada a la propuestacurricular de sexto grado. Una vez más elno-mecanicismo resulta relevante en lasconcepciones que expresan los profesores.

La disposición a continuar aplicando el enfoque

Excepción hecha de quien muestra siste-máticamente su no-aceptación del enfo-que –ya que: “Estaría dispuesta a llevarlosiempre y cuando los niños traigan lasbases que se necesitan” (6°-UD-MM)– seexpresa una intención generalizada decontinuar aplicándolo. Y quienes parecen



haber efectivamente aceptado a enseñarmediante la resolución de problemas, danrazones que reflejan las posturas pedagó-gicas constituidas:

• Sí, porque permite formar alumnosreflexivos (6°-R-R);

• Sí, mientras esté en servicio, porque deque el niño aprende, aprende (6°-UP-RM);

• Sí, con la mayor frecuencia posible,porque hay satisfacciones por los des-cubrimientos que hacen [los alumnos]y el significado que le dan a los con-ceptos (6°-R-CA y 6°-UD-MO).

Es decir que los argumentos construi-dos incorporan desde el razonamientocomo elemento básico, hasta el construc-tivismo más franco: “Por satisfacción paralos alumnos y el significado que se lograen los conocimientos”.

Modificaciones y permanencias en el quehacer cotidiano

La aceptación generalizada del enfoquecurricular, a decir de los maestros, se hatraducido en que se han dejado de haceralgunas cosas:

• Llenar el pizarrón de ejercicios y reali-zarlos de forma individual (6°-R-R);

• Dirigir todas las actividades; centrarsedemasiado en el logro del contenido;decirles las fórmulas o los procedi-mientos; dictar (6°-R-CA, 6°-UD-MO,6°-UP-RM, 6°-UP-MH).

También se hacen otras cosas que antesno se hacían:

• Poner sólo un ejercicio (no una lista deellos) y dejar que los niños expliquensus resultados; (6°-R-R);

• Trabajar en equipo; estar sobre la acti-vidad (6°-UP-RM).

• Tratar de analizar más los procesos delos niños, tratar de ponerse en sulugar; dar oportunidad de que partici-pen para resolver problemas (6°-UP-MH;6°-UD-MO; 6°-R-CA).

Sin embargo, hay actividades que –aldecir de casi todos los maestros– se siguenrealizando, por ejemplo, el repaso de lastablas de multiplicar.

Las anteriores respuestas son índicesde las concepciones y acciones que acom-pañan la aceptación de la propuestacurricular: disminuir los ejercicios me-morísticos, permitir que los alumnosexpliquen y justifiquen sus soluciones, oanalizar los procesos de los niños, entrelas principales.

En un sentido distinto, la respuesta dequien no ha aceptado el enfoque–”Explicar sólo una vez, pues ahora losmuchachos están más listos” (6°-UD-MM)– pone de manifiesto confusionestales como considerar que, manteniendoel modelo “aprendo-aplico” es posibledejar de repetir. Sobre la base de tal idea,la profesora se encuentra en riesgo de noaportar a sus alumnos la que con frecuen-cia deviene única vía segura de la ense-ñanza expositiva: la memorización.

Concepciones acerca de las matemáticas

A excepción de nuestra docente “resis-tente” que prefiere no contestar, los pro-fesores del grado consideran que lasmatemáticas son una herramienta pararesolver problemas de la vida diaria; conello destacan su carácter práctico y utili-tario, que en el extremo se asocia con laposibilidad de ser puntual (por el cono-cimiento del reloj) (6°-UP-RM). Es preci-



samente en esto que radica su valor comomateria escolar.

Es decir que, en quienes respondieronnuestra pregunta –independientementede su orientación pedagógica– se observano sólo una concepción utilitaria de lasmatemáticas, sino incluso una sobrevalo-ración de la misma. Dicho en pocas pala-bras: se trata de la ciencia de la vida.

Aprendizajes matemáticos fundamentales

En congruencia con la noción antes ano-tada, en general se mencionan las opera-ciones y la proporcionalidad como conte-nidos relevantes del sexto grado y de laeducación primaria. Se deja ver una con-cepción dominante cuando cinco denuestros profesores aluden el solucionarproblemas de la vida como aprendizajeprincipal de la educación primaria. Unprofesor rural incluso hace notar laimportancia de que los niños aprendancontenidos que permitan ayudar a suspadres en el campo.

Pos su parte, la maestra 6°-UD-MM

muestra una postura divergente a la vezque coherencia en sus representaciones aldecirnos que saber sumar, restar, multipli-car y dividir con cantidades grandes es lofundamental en la primaria y tambiénque, en su opinión, “la base son las tablasde multiplicar pero al derecho y al revés”.

En suma, puede verse que los profeso-res de sexto grado hacen mayor referenciaa la resolución de problemas que los pro-fesores de segundo y aun que los de cuar-to. Sin embargo –en coherencia con elresto de los elementos que constituyensus representaciones–, la resolución deproblemas se ve desde distintas perspecti-vas y no se observa en los contenidosmencionados una modificación de los

tradicionalmente ponderados como rele-vantes. Nuevamente, la idea principal esque los contenidos sean útiles para la vida.

Concepciones sobre el aprendizajey la construcción del conocimiento

En cuanto al aprendizaje y el construirconocimientos encontramos respuestas detres tipos:

a) Vinculadas al modelo aprendo-aplico.La maestra 6°-UD-MM señala que seaprende “por experiencia propia y porlo que se les transmite a los niños en laescuela”.

b) Con referencia a la actividad. Distintasson las respuestas de quienes afirmanque las matemáticas “Se aprendenhaciendo matemáticas, yo creo quetodo se aprende haciendo”, o “Lasmatemáticas se aprenden en la prácti-ca, haciendo, haciendo, haciendo, y enla vida diaria” (6°-UP-RM y 6°-UP-MH).

c) Con referencia al constructivismo. Lamaestra 6°-R-CA ofrece una respuestacasi idéntica a la que se lee en losmateriales oficiales: “Las matemáticasse aprenden resolviendo situacionesproblemáticas, haciendo uso de laexperiencia previa y del compartir conotros, escuchando, probando estrate-gias de solución”. Parecida es la res-puesta de quien piensa que “las mate-máticas se aprenden resolviendo retos”(6°-UD-MO).

Finalmente, con sólo un dejo de cons-tructivismo es la respuesta del profesor6°-R-R, quien se limita a decir que losniños manejan métodos aprendidos en lavida, pero que también deben aprenderlos convencionales, de los que se encargala escuela.



Como es posible advertir, nuevamenteel aprender y el construir han sido objetode interpretaciones disímbolas. Hay unainterpretación más compleja del construirconocimiento por parte de dos profesoras;cierta simplificación cuando se alude a laactividad como esencial en el proceso cons-tructivo e imprecisión en el resto de las afir-maciones: lo mismo se mencionan los pro-cedimientos informales que la transmisióncomo contraparte de la experiencia vital.

Los roles del maestro y rasgos que caracterizan al buen maestro

La diversidad de ideas construidas entorno al profesor se expresa en los tiposde respuesta que se ofrecen:

• Respuestas que se refieren al profesortradicional: el papel del maestro esplantear problemas y permitir a losalumnos identificar las operacionesútiles para resolverlos (6°-UD-MM);

• Respuestas que consideran al profesorcomo guía: “El maestro es un orienta-dor, un guía para dirigir al niño” (6°-R-R);

• Respuestas que integran elementos devarios modelos de enseñanza: el cons-tructivista, el “aprendo-aplico” y elprofesor como guía, por ejemplo: “Esde guía, es conducir, plantear los retosque son necesarios para su crecimien-to, estar atrás como soporte, si no pue-den [...] pues entonces dar las respues-tas” (6°-UP-MH);

• Respuestas que privilegian al profesor“constructivista” como creador desituaciones didácticas (6°-R-CA y 6°-UD-MO): “Plantear las situaciones másidóneas en las cuales los niños tenganoportunidad de resolver retos” es elespíritu de este tipo de respuestas.

Conforme a las declaraciones, lasideas construidas en torno al nuevopapel del profesor van desde una prácti-camente no tocada con la incorporacióndel enfoque (que se observa permanen-temente en la maestra 6°-UD-MM), a unacierta mediación entre el maestro dise-ñador de situaciones y el maestro guía(6°-UP-RM y 6°-UP-MH), hasta otras cier-tamente radicales que, sobre la base delconstructivismo, limitan la funcióndocente a plantear situaciones y, másescasamente, a formular o instituciona-lizar el saber.

La expresión de los rasgos de un buenprofesor hace reaparecer las ideas antesexpuestas; se deja ver:

• El modelo “aprendo-aplico”: “El pro-fesor que después de explicar se dacuenta realmente si el alumno absor-bió” (6°-UD-MM);

• El profesor como guía u orientador:“El que sabe orientar y dirigir al niño,explicándole o sea más bien dejándoloque realice sus trabajos bajo la guía delprofesor” (6°-R-R);

• Una integración de los dos modelos deenseñanza: “Debe tener cariño por losniños [...] no tratarlos como personasque no pueden desarrollarse, pero tam-poco tratarlos como adultos. Darlesespacio [de libertad] y dado elmomento imponer” (6°-UP-MH; 6°-UP-RM);

• El maestro constructivista: “Un buencuestionador, el que sabe elegir losretos adecuados para los alumnos; elque sabe diseñar las situaciones másidóneas”; “El que permita que lasexperiencias previas y los errores, losargumentos, las estrategias, sean unmedio de aprendizaje” (6°-R-CA y 6°-UD-MO).



El modelo “aprendo-aplico” es sosteni-do consistentemente por la profesora 6°-UD-MM, mientras el “maestro-guía” esretenido por el profesor 6°-R-R y pormomentos aparece en las profesoras 6°-UP-MR y 6°-UP-MH. Estas profesoras, en loque parecería una integración del profe-sor tradicional y el nuevo profesor, apelana la libertad a la vez que a las tareasdocentes previas a la incorporación de lareforma: apoyar, ayudar, guiar, imponer.Por otra parte, llama la atención quequienes sostienen el modelo de aprendi-zaje constructivo de una forma radicalcentran su discurso en la creación desituaciones, las estrategias y los errores;sólo en una ocasión se refiere a cuestionesvinculadas a la formulación o la institu-cionalización: “El buen maestro logratambién institucionalizar el resultado”(6°-UD-MO).

Los roles del alumno y los buenos y malos alumnos

En congruencia con las ideas sobre elprofesor, las que se han construido sobrelos alumnos reflejan tanto el modelo deenseñanza “aprendo-aplico” como elconstructivista y uno más que parece vin-cularse al aprender descubriendo o razo-nando. A nuestra pregunta de cuáles sonlos roles que hoy corresponden al alum-no, se nos dice:

• Entender y comprender lo que le plan-teamos (6°-UD-MM);

• Explicar sus resultados y poco a pococonstruir su conocimiento (6°-R-R);

• Ser participativo, dispuesto a probarsus estrategias, a argumentar sus res-puestas y a escuchar y a aprender delos demás, a trabajar en equipo y ainvolucrarse en las tareas; finalmente,

dispuesto a validar sus resultados (6°-R-CA y 6°-UD-MO).

Quienes asignan al profesor un papelintermedio entre el modelo constructivoy el tradicional conciben al alumno nosólo como constructor, sino tambiéncomo participante y hacedor: “Tiene queparticipar, es un hacedor, un construc-tor” (6°-UP-RM; 6°-UP-MH). Esto es, pare-cería que en tal perspectiva se acepta unnuevo rol para el alumno, pero pormomentos la encomienda deviene simpleactividad. La actividad es un elementoque aflora con frecuencia en el discursode estas profesoras.

Acorde con las posturas recién expues-tas, son considerados buenos alumnosdesde “Los que entienden y comprendenlo que se les explica y luego hacen lasactividades que se les solicitan” (6°-UD-MM); hasta “El que razona o reflexiona”(6°-R-R) o “El que es participativo, aun-que pueda no tener una fácil compren-sión de las matemáticas (6°-UP-RM y 6°-UP-MH)”.

Los rasgos de los malos alumnos tam-bién se expresan en congruencia con loanterior: “El que por no hacer no entien-de”; “El que no trata de razonar”. “El queestá esperando que le digan cómo hacer,que no quiere o no trata de participar”(6°-UP-RM y 6°-UP-MH), o “Al que no leinteresa trabajar” (6°-R-CA). Pero incluso,y al igual que en segundo y cuarto grados,hay negación de la existencia de buenos ymalos alumnos: “Hay alumnos flojos, nomalos, la única diferencia es que hay tra-bajadores y flojos”, o “No los consideromalos [...] tal vez los que no se involucranen la tarea [...] quizás es que el reto estálejos de su alcance” (6°-UD-MO). Es denuevo la aparición del “alumno exculpa-do”, sostenido tanto por quien muestra



un constructivismo más elaborado comopor quienes han construido un modelomás moderado sobre la enseñanza.

Conclusiones sobre sexto grado

Una vez más, la aceptación del enfoque espredominante entre los profesores entre-vistados, pero es sólo en este grado dondealguien lo rechaza decididamente. Se tratade una profesora cuyas expresiones mues-tran no haber recuperado ninguno de losprincipios del aprendizaje mediante laresolución de problemas. El alumno queatiende, el maestro que explica, formanaún los elementos nucleares de sus repre-sentaciones, también la matemática quese memoriza. Es el caso más radical entrelos profesores del estudio. Un elementoadicional lo hace llamativo: la edad de laprofesora. Con pocos años de servicio –ysupuestamente formada sobre la base deenseñanzas no excesivamente tradicio-nales– lleva al límite los principios de la en-señanza expositiva. Asimismo, ante la queparecería cerrazón, construye malentendi-dos como suponer que, sobre la base delalumno sapiente hoy reconocido en lasescuelas, la tarea del profesor que exponeconsiste en explicar sólo una vez, pues lossaberes con que cuentan sus alumnos laautorizan a no repetir. Hay que decir que,en el conjunto de las clases registradas,fue en el salón de esta profesora donde noobservamos ninguna intención de nuevasprácticas, el exponer, para luego ejercitar,era lo cotidiano. Se trata de un caso en elque la reforma parece no haber logradoalteración alguna.

También parece haberse constituidootro tipo de profesor: el “docente-guía”,con su contraparte de alumno reflexivoque expresa sus puntos de vista y quebusca soluciones con la orientación del

profesor. Es el profesor que plantea inte-rrogaciones para que los conocimientosemerjan. Es el alumno que aprende pocoa poco, y que progresivamente obtieneconclusiones.

Otros profesores parecen haber cons-truido representaciones amalgamandoelementos de las nuevas y las viejas for-mas de enseñar; el alumno es sujeto autó-nomo y activo, y se promueve su activi-dad, su participación y su expresión. Perotal papel se complementa con el deseo deque acepte orientaciones. En congruenciacon dicha percepción, el maestro plantearetos, permite, pero también apoya einforma, incluso impone su saber.

Finalmente, en el que podría llamarseconstructivismo franco, surge el profesordiseñador de situaciones, de problemas yde retos; el que transfiere la responsabili-dad a los alumnos y que está obligado ano imponer. Con este modelo reaparece el“alumno exculpado”. En cambio, el maes-tro que institucionaliza está prácticamenteausente en el discurso de quienes hanconstruido este tipo de representaciones.

Como puede verse, en el sexto gradolos profesores parecen haber recuperadomayor número de elementos de las teoríasconstructivistas para pensar sus prácticas;sin embargo, sus reinterpretaciones toma-ron vertientes disímbolas, y hoy, en suhacer, son múltiples las categorías y lasnociones que los guían; igual se ha con-figurado el maestro-guía, que el profesor“constructivista” o se han amalgamado eltradicional con el moderno. No obstantetal diversidad, una intención parece uni-ficar el pensamiento de casi todos ellos:no deben darse las fórmulas ni los proce-dimientos, los niños deben aprender aresolver problemas, porque tal es lamanera de ofrecer una “matemática parala vida”.



CONCLUSIONES

El “nuevo ambiente” que se creó con lairrupción de los materiales educativosdifundidos en 1993 –así como su puestaen práctica– generó en los profesores deeducación primaria nuevas formas de in-terpretar al alumno, al maestro y a lamatemática escolar. El aprender constru-yendo así como la noción de sujeto inte-lectualmente activo derivaron en nuevasnociones, convicciones y creencias, tam-bién en nuevas categorías para interpretarla realidad y guiar la acción. Los cambiosmás notables que se identifican tienenelementos coincidentes a la vez que inte-resantes diferencias, tanto entre los profe-sores de un mismo grado como entre losde distintos grados; hay algunos queemergen como dominantes:

El alumno trae consigo saberes que sonproducto de su experiencia vital, no existemás la tabula rasa con la cual aquél ha sidotradicionalmente identificado; hoy, elalumno es sapiente. Éste es un elementocomún en las representaciones de todos losprofesores. Al aprender en la vida –y reco-nocerse tal saber– se disolvieron los límitesentre la escuela y la experiencia vital y seacendró la creencia fuertemente arraigadade que el vínculo entre la matemática y lavida es elemento esencial del sentido yrazón de la matemática escolar.

También en torno al aprendizaje apa-recieron nuevas creencias. En el periodoprevio a la reforma, los maestros conside-raban que se aprende captando (nociónsensual-empirista del aprendizaje), o quese aprende razonando (proceso que seactiva sobre la base de la interrogación).3De creer las respuestas de los profesores,hoy también se piensa que los niñosaprenden al participar y al hacer. Talforma de interpretar el aprendizaje lleva -

a pesar de las dificultades para hacerlo- acategorizar a los alumnos según su parti-cipación en la clase: “Un buen alumno esel que busca participar”, mientras que losque no lo son, se definen de esta maneraporque “No participan ni se esfuerzanpor hacerlo”.

En el segundo grado, la noción deactividad sustituyó casi por completo a lade resolver problemas y se asocia general-mente al juego o a la manipulación dematerial. Se ve la constitución de unaconcepción más parecida a la de práctica,entendida ésta como el uso que hacen losalumnos de herramientas aprendidasexplícitamente o en términos de acción,reconocidas en el seno de la clase.4 Lanoción de actividad como fundamentodel aprendizaje se ve precisada por losprofesores de cuarto grado y aún más porlos de sexto. En estos grados, nocionescomo estrategias de resolución, elabora-ción de hipótesis, confrontación o reto,vienen a dar cuerpo a la actividad que hade realizarse para aprender matemáticas.Paulatinamente, a medida que se avanzaen la primaria, la actividad se convierteen problema.

Por lo general, el papel tradicional delprofesor que se conserva en mente estransmitir o imponer; hoy, tal papel seestigmatiza y con frecuencia es útil paradefinir cualquier cosa que se hacía antesde la introducción de la enseñanzamediante la resolución de problemas. Unrasgo sobresale en la noción de profesorconstituida a la luz de la reforma: elmaestro no debe imponer. A tal rasgo loacompañan otros que se diversifican enlos profesores de los distintos grados yque modifican y dan matices al concepto.A medida que se avanza en la primaria, lalabor del profesor deviene planteamientode situaciones y problemas y promoción



de la discusión y la confrontación. Talesconcepciones –con diferentes matices–muestran una ausencia casi sistemáticade la formalización e institucionalización delos frutos intelectuales de la acción; esascuestiones no son prácticamente conside-radas por los profesores.

Quizá no resulte sorpresivo que res-pecto a los saberes matemáticos las repre-sentaciones parecen no haber sufridomodificaciones importantes. Las cuatrooperaciones, las tablas de multiplicar, otodo aquello que sea útil en la vida, per-manecen en el pensamiento docente. Perola transposición que se tiene en menteimplica ciertas modificaciones. Se dicecon frecuencia que los contenidos debenrazonarse, o que deben vincularse con laresolución de problemas cotidianos.Porque es precisamente la utilidad poten-cial de las matemáticas la que según losprofesores justifica su presencia en lasescuelas. Hoy, en lo que vemos como unasobrevaloración de la materia y de losbeneficios intelectuales que acarrea, lamatemática se erige en “la ciencia de lavida” y se cree que en un flujo de ida yvuelta, lo que se ha aprendido en la vidaes lo que permite enseñarla de una nuevaforma en las escuelas.

También hay quienes en su pensar hancombinado elementos del nuevo y de losviejos modelos de enseñanza, y ahora elpapel del profesor consiste en dejar hacer,pero también en imponer; el alumnodebe participar, pero también debe reci-bir. Adicionalmente, y aunque en menormedida, el “nuevo ambiente” revitalizó lanoción de “maestro-guía”, el que promue-ve la reflexión mediante interrogatorioshoy potenciados a partir de situacionesque interesan a los niños. Este “nuevoprofesor”, que en realidad no lo es puestiene vieja historia en la pedagogía, busca

que sus alumnos reflexionen y que pro-gresivamente, con sus orientaciones y susinterrogaciones, obtengan conclusiones,esto es, que lleguen al saber.

Las ideas sensual-empiristas sobre lascuales vino a instalarse la reforma, genera-ron también otras connotaciones, hacien-do creer a algunos profesores que con laentrada del nuevo enfoque su funciónprincipal y la de sus alumnos está relacio-nada con la manipulación de materiales,pues ésta es el sustento del aprendizaje.

He destacado hasta este punto lasrepresentaciones docentes que, miradasde conjunto, aparecen con más fuerza.Falta hablar de quienes parecen no habercambiado. Porque también hay profeso-res cuyas ideas básicas en torno a lasmatemáticas, su aprendizaje y su ense-ñanza, no sufrieron alteración alguna ymantienen intocado, igual en el discursoque en la práctica, el modelo “aprendo,aplico” que se buscaba alterar. Este caso–ciertamente excepcional– corresponde aquien efectivamente se ve en el salón declases explicar para luego ejercitar.

Hasta aquí nuestra interpretación de laforma en que las representaciones docen-tes se vieron alteradas y reconstituidascon el ingreso de la reforma a las mate-máticas. La noción de actividad –quepaulatinamente deviene resolución deproblemas– y la de alumno sapiente pare-cen ser las incorporaciones principales.La matemática de y para la vida comple-ta la nueva forma de ver la enseñanza. Esuna visión del mundo que dejó atrás a latábula rasa y revitalizó el vínculo entre laescuela y la vida, pero que necesita acla-rar algunas nociones, como la de activi-dad constructiva y la de problema. Es lavisión que hoy orienta las acciones de unbuen número de profesores cuando ense-ñan matemáticas.



Los profesores y sus representaciones sobre la reforma a las matemáticas


NOTAS

1. Si bien el término constructivista no aparece como tal enlos materiales oficiales, muchos de los elementos en elloscontenidos permiten insertarlos en dicha corriente.

2. Basada en la mostración.3. Esta afirmación se sustenta en los resultados de un estudio

realizado en 2001; la referencia aparece en la bibliografía.4. Esta caracterización de la práctica, la hemos tomado de R.

Douady, 1986 y nos parece que refleja fielmente lo quelos profesores hacen en clase, aun cuando ellos piensanque los alumnos están construyendo.

REFERENCIAS

ABRIC, Jean-Claude (1997), “Les représentations sociales:aspects théoriques”, en Jean-Claude Abric (coord.)(1997), Pratiques sociales et représentations. Psychologiesociale, París, Presses Universitaires de France, pp. 11-36.

—, J. C. (1987), Coopération, compétition et représentationssociales, Cousset, Editions Del Val.

ÁVILA, Alicia (2001), “La experiencia matemática en la educa-ción primaria. Estudio sobre los procesos de transmisióny apropiación del saber matemático escolar”, tesis de doc-torado en Pedagogía, México, UNAM.

ÁVILA, Alicia (coord.) (2000), “Evaluación cualitativa de lasrepercusiones de la reforma a las matemáticas en la educa-ción primaria”, México, UPN/OEA, Reporte de investiga-ción no publicado.

ÁVILA, Alicia y Silvia García Peña (1999), “Paradigmas deenseñanza de las matemáticas elementales. El siglo XX

en México”, Reporte de investigación no publicado,México, UPN.

BAUER, Gregory y Linda Olsen (1976), Helping childrenlearn mathematics, California, Cummings PublishingCompany.

CHEVALLARD, Yves (1991), La transposition didactique, dusavoir savant au savoir enseigné, Grénoble, Francia, LaPensée Sauvage.

DOUADY, Régine (1986), “Jeux de cadres et dialectique outil-objet. Rechérches” en Didactique des Mathématiques, vol. 7,núm. 2, pp. 5 - 31.

JODELET, Denise (1993), “La representación social: fenóme-nos, concepto y teoría”, en S. Moscovici S. (1993),Psicología social II. Cognición y desarrollo humano,Barcelona, Paidós.

PELTIER, Marie-Lise (1996), “La formation initiale, em ma-thématiques, des professeurs d’école: ‘entre conjoncture etéternite’. Étude des sujets de concours de recrutement etcontribution á la recherche des effects de la formation surles professeurs stagiaires”, tesis de doctorado, Universidadde París.

PELTIER, Marie-Lise (1999), “Representaciones de los profeso-res de primaria sobre las matemáticas y su enseñanza”, enRevista Educación Matemática, vol. 11, núm. 3, pp. 5 - 24,México, Iberoamérica.

ROBERT, Aline y Jacqueline Robinet (1989), “Representationsdes enseignants des mathématiques sur les mathématiqueset leur enseignement”, en Cahier de DIDIREM, núm. 1,París, IREM, Universidad de París VII.

SEP (1993), Plan y Programas de Estudio para la EducaciónBásica, Primaria, México.

Alicia Ávila Storer (2001), vol. XXIII, núm. 93, pp. 59-86

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