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Los Numeros

y sus Propiedades Basicas

Efraın Soto Apolinar.

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Soto Apolinar, Efraın.Los Numeros y sus Propiedades Basicas.Primera edicion.Incluye ındice.

1. Ensenanza de las ciencias, 2. Matematicas basicas, 3. Divulgacion de las ciencias.

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Academia Gauss

Creditos:Efraın Soto Apolinar

Matematicas Educativas y de Divulgacion

Chetumal, Quintana Roo, Mexico. 2005

Indice

1 Introduccion 1

1.1 Teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Numeros naturales 5

2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Ley distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Multiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Cerradura de pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.8 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9 Primos y compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.10 Descomposicion en factores primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.11 Maximo Comun Divisor y Mınimo Comun Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.12 ¿Cuantos Numeros Primos Hay? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Numeros enteros 23

3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Propiedades de la suma y la multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Recta numerica y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

v Los Numeros...

vi

3.4 Leyes de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 1ra demostracion: − · − = + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6 2da demostracion: − · − = + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.7 3ra demostracion: − · − = + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.8 Nueva criba de Eratostenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.8.1 La nueva criba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.8.2 Construccion de la nueva criba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.8.3 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Numeros racionales 41

4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Suma de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Division por cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6 Orden de los racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.7 Numeros decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.8 Operaciones con decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.9 Periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.10 Periodos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.11 Conversion de decimal periodico a fraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.12 10/11 y 11/12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Numeros irracionales 55

5.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Dilema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Irracionalidad del numero√

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


2 +√

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.7 Aproximacion a numeros irracionales por medio de numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.8 Nocion de lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Los Numeros... vi

vii

6 Numeros complejos 65

6.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 Operaciones basicas con numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3 Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Leyes de los exponentes 69

7.1 Definiciones basicas y notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.2 Enunciacion de las leyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.3 Problemas de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8 Logaritmos 73

8.1 Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.2 Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.3 Problemas de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9 Sistemas de numeracion posicional 77

9.1 Sistema de numeracion en base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.2 Sistema de numeracion en base 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

vii Los Numeros...

UnoIntroduccion

1.1 Teorıa de conjuntos

Casi todos estamos familiarizados con el uso de los numeros naturales, enteros, racionales,irracionales y finalmente, los numeros reales, tal vez sin conocer sus nombres como conjuntosde numeros. Todos ellos surgieron, estrictamente hablando, por la necesidad del hombre mismode resolver problemas aritmeticos (que tiene que ver con los numeros), que bien pueden versecomo problemas algebraicos.

Para comenzar a ver que la necesidad llevo al hombre a construir formas de contar (sistemasnumericos, en terminos mas formales), imaginemos a una persona que empieza a recolectar frutaspara su familia. Sabe que su familia esta formada por su pareja y su crıa (hijo, en palabrasmas civilizadas). Entonces, el colector de frutas hace una correspondencia entre las frutas ylos miembros de su familia, es decir, piensa que a cada miembro de su familia (incluyendoseel) le correspondera una fruta. De esta forma reconoce que debe cortar tres frutas, una paracada uno de ellos. Notese que no fue el colector de frutas quien dijo “tres”, puesto que eltodavıa no conocıa lo que significa esa palabra. (Muy probablemente para su tiempo, todavıael lenguaje estaba basado en senas). Lo importante que se quiere hacer notar es que ya habıa,probablemente de manera innata, la nocion de cantidad en el ser humano.

Seguramente este hecho le sugirio a nuestro personaje que, cuando tuviera necesidad de contar,digamos conejos, hiciera una correspondencia entre conejos y algun otro objeto, por ejemplopiedras, una piedra por cada conejo. Sin embargo, si imaginamos que los conejos se van repro-duciendo con el paso del tiempo, vemos que en unos meses tendra que coleccionar una buenacantidad de piedras por la cantidad de conejos que poseera. De aquı surge la necesidad de crearotra forma de contar que sea mas comoda.

A alguien se le ocurrio hacer nudos a un mecate, a otra persona se le ocurrio contar con losdedos de las manos y los pies. A alguien mas se le ocurrio contar las divisiones que tenemosen los dedos menique, anular, medio e ındice (tres en cada dedo, lo que hace un total de docedivisiones, encontrandonos con las docenas y, que si vemos en la otra mano cinco dedos, vemos

1 Los Numeros...

2 Introduccion

que podemos contar ası hasta sesenta, que es igual a cinco docenas) y ası, poco a poco el hombrefue creando formas cada vez mas comodas de contar.

Los Griegos usaron un sistema de numeracion decimal (Al decir decimal nos referimos al hechode que se cuenta de diez en diez). Para cada numero asignaron un sımbolo. El numero unoestaba representado por I, el dos por II , el tres por III, el cuatro por IV, el cinco por V, el seispor VI, el siete por VII, el ocho por VIII, el nueve por IX y el diez por X. Tambien asignaronsımbolos al cincuenta L, al cien C, al quinientos D y al mil M.

Con estos sımbolos podıan formar numeros bastante grandes, para lo cual establecieron ciertasreglas. Los mayas, a diferencia de los griegos, usaron un sistema vigesimal. En otras palabras,ellos contaban de veinte en veinte. Esto se atribuye al hecho de que en nuestro cuerpo tenemosveinte dedos (diez en las manos y otros diez en los pies). Un hecho interesante es que, entre losaztecas, el numero veinte se decıa Tzontle (en Nahuatl). Tambien, de manera descriptiva a unbuen comerciante le llamaban Tzontle, queriendo indicar que usaba sus veinte dedos para hacercalculos.

Notese que si tratamos de hacer una suma en alguno de estos sistemas de numeracion es masdifıcil que en el sistema de numeracion que usamos actualmente. Evidentemente la multipli-cacion es aun mas difıcil. Esto se debe a que estos sistemas no toman en cuenta la posicion quetiene cada sımbolo para asignarles algun valor, es decir no son posicionales. En el capıtulo 7nos encargaremos de estudiar como formar numeros en distintos sistemas de numeracion y deaveriguar la forma de realizar operaciones con estos numeros.

Ademas de contar, con el paso del tiempo aparecieron otras necesidades numericas. Por ejemplo,supongamos que un filosofo griego le pregunta a su discıpulo: “¿Cuanto es cinco menos cinco?”.Si consideramos que para entonces ellos todavıa no conocıan el cero, entonces el discıpulo debiohaber respondido “... pues cinco menos cinco no es nada”. Para esa misma epoca, consideremosa un matematico maya haciendo la misma pregunta a otro. Ellos, que entonces ya conocıan elcero pueden responder: “Cinco menos cinco es cero.”

Parece que no hay diferencia, pero en realidad, poder conceptualizar resultados (es decir, darinterpretaciones con sımbolos a los fenomenos que vemos), es el gran paso que se dio en lainvencion del cero, pues de esta forma surgieron otras preguntas como “¿Que numero debosumar a 5 para obtener cero?”, lo cual dio origen a los numeros negativos.

De una forma similar surgieron seguramente tambien los numeros racionales, por ejemplo, imag-inemos que alguien se pregunto: “¿Por que numero debo multiplicar al numero dos para obtenercomo resultado el numero uno?”. Evidentemente, el numero buscado no es ni natural, ni entero,

sino racional (El numero buscado es1

2). En el Capitulo 3 se da un pequeno estudio de estos

numeros.

Se otorga a los filosofos griegos, en particular a la escuela pitagorica, con mayor frecuencia laidea de resolver el siguiente problema: encontrar la longitud del cuadrado que tiene la longitudde sus lados igual a uno. Se sabe que el resultado (es decir, la longitud de la diagonal delcuadrado), no es un numero racional, sino que da origen a una nueva familia de numeros quese denominan como irracionales, los cuales estudiaremos en el Capıtulo 4.

Los Numeros... 2

1.1 Teorıa de conjuntos 3

Para terminar esta introduccion, se da una pequena nocion de la teorıa de conjuntos. Deci-mos que un conjunto es una coleccion de objetos. No es necesario que esos objetos sean todosdefinidos de manera individual. Algunas veces bastara con mencionar algun patron que satis-facen los objetos que pertenecen al conjunto considerado. Otras veces la cantidad de objetosque existe es tan pequena que es posible listarlos uno a uno. No obstante, la mayorıa de lasveces que se presentaran a lo largo del libro, usaremos conjuntos con un numero infinito deobjetos. A los objetos que pertenecen a esos conjuntos los llamaremos elementos (del conjunto).En general, los objetos con los que trabajaremos en este libro seran numeros.

Usaremos letras minusculas cursivas para denotar numeros. Los conjuntos se denotaran pormedio de letras mayusculas. Ası, podremos escribir a para denotar algun numero cualquiera.Si algun elemento x (x representa algun objeto) se encuentra en un conjunto A, entonces,escribiremos x ∈ A para indicarlo. Para leerlo diremos: “El elemento x esta en el conjunto A”,o tambien, “x es un elemento del conjunto A”, o mas concisamente “x esta en A”.

Cuando el elemento x no se encuentre en el conjunto A se escribira x 6∈ A. De manera similaresto se leera “El elemento x no esta en el conjunto A”, o tambien, “x no es un elemento delconjunto A”, o mas concisamente “x no esta en A”.

Para indicar de una manera explıcita la condicion que deben satisfacer los elementos de unconjunto, escribiremos lo siguiente:

A = {x|x cumple con tal propiedad}

Esto se lee: “el conjunto A esta formado por todos los valores (de) x tales que x cumpla contal propiedad”.

Por ejemplo, para denotar a los numeros pares escribimos:

P = {x|x es un numero par}

y lo leemos “El conjunto P es el formado por todos los valores de x tales que x sea un numeropar”.

Cuando se tengan dos conjuntos A y B, y se cumpla que todos los elementos del conjunto Asean tambien elementos del conjunto B, diremos que el conjunto A esta incluido en el conjuntoB. Esto se denotara por A ⊂ B

Si no esta incluido el conjunto A en el conjunto B, escribiremos A 6⊂ B. Existe un conjunto queno contiene ningun elemento, al cual se denomina conjunto vacıo y se denota por ∅.

Algunas de las operaciones que se definen entre dos conjuntos son la union y la interseccion.La union de dos conjuntos A y B es otro conjunto C que contiene a todos los elementos delconjunto A como del conjunto B. La interseccion de dos conjuntos A y B es el conjunto C quecontiene unicamente a los elementos que pertenecen simultaneamente tanto al conjunto A comoal conjunto B. En las figuras 1 y 2 pueden verse graficamente estas operaciones.

3 Los Numeros...

4 Introduccion

Ademas a estas operaciones se definen otras, que en este texto no se consideran por no habernecesidad de trabajar con ellas. Solamente se hace mencion de las que se consideran necesariaspara la compresion del material expuesto en el texto.

A B

Fig. 1. Union de conjuntos.

A B

A ∩ B

Fig. 2. Interseccion de conjuntos

Finalmente se hace mencion que a lo largo del texto apareceran algunas demostraciones. Lamayorıa de ellas no son muy difıciles de entender, sin embargo al leer cada una de ellas sedebe tener en cuenta que, para entender la demostracion en sı, es requisito indispensable quese entiendan todos y cada uno de los argumentos y pasos que se siguen en la demostracion.

El autor del presente texto esta plenamente convencido de que las matematicas se aprendenmejor por medio de la practica. Por eso se sugiere que la lectura de este libro incluya laresolucion de los ejercicios que van apareciendo a lo largo del mismo. Resolver problemas ayudaa entender mejor los conceptos estudiados y solamente ası empiezan a tener sentido muchas delos conceptos que se tratan.

Los Numeros... 4

DosNumeros naturales

Podemos empezar diciendo que los numeros naturales tienen su nombre gracias al hecho de queel hombre, de manera intuitiva tuvo desde el principio de su historia, la nocion de cantidad. Dehecho, en la introduccion se trato de justificar esto por medio de ejemplos que, si bien puedenno ser ciertos, deben estar muy cercanos a la realidad.

Nota: En este y el siguiente capıtulo trabajaremos con numeros naturales y enteros respecti-vamente, a menos que se indique otra cosa.

2.1 Definicion

Se define al conjunto de los numeros naturales como todos aquellos numeros que usamos paracontar. De manera natural, el hombre los acogio para poder tener control sobre las cosas queposeıa. Notese que el cero queda excluido de este conjunto, puesto que cuando un hombre noposee ningun objeto, no siente la necesidad de contar. Por tanto, los numeros naturales son: 1,2, 3, 4, 5, 6,... donde los puntos suspensivos indican que la lista sigue infinitamente.

En lo que sigue, denotaremos a los numeros naturales por el sımbolo N. Entonces, en notacionde conjuntos podemos escribir:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, · · · }

Basandonos en este hecho, cuando digamos que x es un elemento del conjunto de los numerosnaturales entenderemos que es alguno de los numeros que aparecen en la lista dada entre llavespara N. En notacion de conjuntos esto se escribe: x ∈ N y se lee “x pertenece al conjunto delos numeros naturales”, o “x es un numero natural”.

5 Los Numeros...

6 Numeros naturales

2.2 Relaciones de equivalencia

Todos los numeros, cumplen ciertas propiedades con respecto a la igualdad. Las mencionamosenseguida, que a pesar de no ser indispensables, sirven de muestra que hemos aprendidomatematicas aun antes de haber ido a la escuela.

Reflexiva: a = a

Simetrica: Si a = b, entonces b = a

Transitiva: Si a = b y tambien b = c, entonces a = c

En palabras, la primera nos dice que un numero siempre es igual a sı mismo. Imagınese aAaron, el siempre tendra su propia edad. La segunda esta diciendo que si un numero es igual aotro, entonces el segundo debe ser igual al primero. En otros terminos dirıamos que, si Aarontiene la misma edad que Benjamın, entonces Benjamın debe tener la misma edad que Aaron.La tercera dice que si tenemos tres numeros tales que el primero es igual al segundo, y ademas,el segundo es igual a otro tercero, entonces el primero y el tercero son iguales. En terminos deedades nos dicen que, si Aaron y Benjamın tienen la misma edad y, ademas Benjamın y Carlostienen tambien la misma edad, entonces necesariamente Aaron y Carlos deben tener la mismaedad (es decir, todos tienen la misma edad).

Ahora veamoslo desde otro punto de vista: Supongamos que (solamente para este apartado) a,b y c ya no son numeros, sino lıneas rectas, y que el sımbolo “=” no indica la igualdad, sino elparalelismo entre lıneas rectas. Entonces, las tres condiciones que imponen estos argumentostambien se cumplen. Es decir, una recta siempre es paralela a sı misma. Tambien se cumpleque si la recta a es paralela a la recta b, entonces la segunda recta b debe ser paralela a laprimer recta a. Y finalmente, si las rectas a y b son paralelas y tambien se cumple que lasrectas b y c son paralelas, entonces, las rectas a y c son paralelas. Notese que para el caso deperpendicularidad, en lugar de paralelismo las condiciones no se cumplen.

Ahora, si nos volvemos a cambiar de lıneas rectas a numeros naturales otra vez, y aplicamosestas condiciones, ahora usando el sımbolo “=” como criterio de divisibilidad, veremos quetambien se cumplen, haciendo una pequena modificacion a la segunda condicion. Mas adelantese estudian algunas propiedades de la divisibilidad. Ahora, vamonos a la teorıa de conjuntos,junto con estas condiciones. Si consideramos ahora el sımbolo “=” como inclusion de conjuntos,podemos notar que se cumplen las tres condiciones haciendo una pequena modificacion a lasegunda condicion, en la cual es necesario que los conjuntos a y b sean iguales.

Lo que se quiere hacer notar aquı es que un solo conjunto de condiciones (o, mejor dicho,axiomas) se pueden aplicar no solamente a una rama especıfica de la matematica, sino a varias.Y eso es lo maravilloso de las matematicas, que usando solo la cantidad de propiedades necesaria(no mas) que deben satisfacer los objetos con los que se trabaja, se puede llegar a encontrarconclusiones que no parece tener conexion por ningun lado, que ahorramos conceptos al maximoy creamos conocimientos basandonos solamente en las condiciones impuestas por los objetos ylas operaciones con ellos (en otras palabras no realizamos operaciones que aun no se hayanespecificado como permitidas).

Los Numeros... 6

2.3 Ley distributiva 7

Las propiedades que se han mencionado que cumplen los numeros con respecto a la igualdadno son las unicas. Como muestra de que existen mas, mencionamos las dos siguientes:

• Si a = b, entonces a c = b c.

• Si a = b, y tambien c = d, entonces a+ c = b+ d.

La primera nos dice que si dos numeros son iguales, la igualdad se sigue cumpliendo si ambosnumeros son multiplicados por otro numero cualquiera. En terminos de edades dirıamos que siBenjamın y Aaron tienen la misma edad, entonces, si multiplicamos la edad de cada uno de ellospor el mismo numero, los resultados de esas multiplicaciones deben ser iguales. La segunda diceen palabras que si conocemos cuatro numeros que son iguales dos a dos, y que si los sumamospor pares (como se indica), entonces, las sumas resultan siempre ser iguales. En terminos deedades dirıamos que si Aaron y Benjamın tienen la misma edad y ademas, Carlos y Danieltienen tambien la misma edad (no necesariamente iguales a las edades de Aaron y Benjamın),entonces, si sumamos las edades de Aaron y de Carlos y, por separado las edades de Benjamıny de Daniel, los resultados deben ser iguales.

Las propiedades de los numeros son tan importantes en el estudio de la matematica porque apartir de ellas se deducen todo tipo de leyes y teoremas que nos ayudan a entender y resolverproblemas que a primera vista parecen difıciles, y que de otra forma serıan casi imposibles deresolver.

2.3 Ley distributiva

Existe un conjunto de propiedades que todos los numeros naturales satisfacen. Por ejemplo, alsumar dos numeros naturales el resultado es siempre otro numero natural, independientementede los numeros naturales que hayamos elegido como sumandos. Igualmente pasa con la mul-tiplicacion. Otra propiedad que cumplen es que si se van a sumar dos numeros, no importapor quien empezamos a sumar, siempre obtendremos el mismo resultado. Igualmente pasa conla multiplicacion. Para poder hacer mas claro el material de los siguientes artıculos se hacenecesaria la indicacion de la ley distributiva de los numeros. Esta ley esta dada por la siguienteexpresion1:

a (b+ c) = a b+ a c

Para hacer evidente esta ley se muestra el siguiente argumento por medio del calculo del areade un rectangulo:

1Recuerdese que las letras minusculas cursivas representan numeros naturales en este capıtulo. Ademas, se usaran parentesispara indicar la multiplicacion de numeros. No se utiliza el sımbolo ”×” para evitar confusion, pues aquı las letras que representannumeros. Omitiremos el parentesis en los casos que no se preste a confusion y se sobreentendera que se indica multiplicacion. Ası,a (b + c) indica la multiplicacion del numero a por el numero b + c, y ab indica la multiplicacion de los numeros a y b.

7 Los Numeros...

8 Numeros naturales

a

b c

b+ c

De la figura se observa que el rectangulo original (el mas grande) se ha dividido en dosrectangulos, uno mediano, a la izquierda, cuya base mide b unidades y altura mide a unidades,y el otro mas pequeno, a la derecha, cuya base mide c unidades y tiene a unidades de altura. Detal forma que la base del rectangulo original mide (b+ c) unidades y su altura mide a unidades.Entonces, de la figura se deduce que el area del rectangulo es a (b+ c) unidades cuadradas2.

Tambien podemos hacer el calculo de la siguiente manera: calculamos el area del rectanguloazul y el area del rectangulo amarillo por separado. Sumamos ambas areas y el resultado esel area del rectangulo original. Sabemos que el area del rectangulo azul es a b, y el area delrectangulo amarillo es a c. La suma de estas dos areas es a b+ a c. Y como ambos metodos soncorrectos, debimos haber tenido el mismo resultado. En terminos matematicos:

a (b+ c) = a b+ a c

que es en sı la ley distributiva para los numeros. Esta ley nos permitira llegar a conclusionesbastante productivas en el resto de la lectura. Un ejemplo de su aplicacion diaria es en el de lasmultiplicaciones. Por ejemplo, encontremos el resultado de multiplicar 7 por 12 usando la leydistributiva para los numeros.

Gracias a la ley distributiva podemos escribir3: (7)(12) = (7)(10 + 2) = (7)(10) + (7)(2) =70 + 14 = 84.

Los calculos se simplifican bastante y, en caso de no tener calculadora pueden hacerse mental-mente de una manera rapida.

Otra forma de justificar esta ley, ahora por medio de la aritmetica, es considerar que la multi-plicacion no es sino una forma de hacer sumas de una manera rapida y compacta. Por ejemplo,la multiplicacion (7)(12) es la forma compacta de escribir 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12, otambien 7+7+ · · ·+7+7 (doce veces). Notese que multiplicar 7 por 10 es la forma compacta desumar 7 veces 10, y que multiplicar 7 por 2 es igual a sumar el numero 7 dos veces. Si sumamoslos resultados ası obtenidos, estamos encontrando el equivalente a sumar, primero diez veces elnumero 7 y luego otras dos veces. Es decir, en total sumamos el numero 7 doce veces. Es claro

2El area de un rectangulo se calcula multiplicando la longitud de la base por su altura.3En este caso en particular a = 7, b = 10 y c = 2

Los Numeros... 8

2.4 Pares e impares 9

que esto es igual a multiplicar 7 por 12. Si se observa, se realizaron las mismas operacionesque las indicadas en la ley distributiva de los numeros y se llego, necesariamente a la mismaconclusion, ahora desde el punto de vista aritmetico.

2.4 Pares e impares

Existe una familia de numeros que es bastante conocida por todas las personas, los cuales sonde uso frecuente. En particular, los numeros pares y los numeros impares. Podemos definir losnumeros pares como aquellos que terminan (a la derecha) en alguno de los siguientes dıgitos: 0,2, 4, 6 y 8. De manera semejante diremos que los numeros impares son aquellos que terminanen los dıgitos 1, 3, 5, 7 y 9, en otras palabras, todos los que no son pares.

Aquı podemos mencionar algunas de las propiedades de estos numeros. En primer lugar, conrespecto a la suma, si se eligen dos numeros pares y se suman, el resultado es otro numeropar. Debido a esto vamos a decir que los numeros pares son cerrados bajo la suma. Lo mismoocurre cuando se multiplican dos numeros pares. Es decir, si elegimos dos numeros pares, y semultiplican, el resultado es otro numero par. Entonces, los numeros pares tambien son cerradosbajo la multiplicacion.

Consideremos los siguientes ejemplos.

2 + 12 = 14 Par + Par = Par(4)(8) = 32 (Par)(Par) = Par

Esto que hemos mostrado no es mas que evidencia de que lo que hemos dicho parece ser verdad.La demostracion de estos dos hechos se llevara a cabo en el mas adelante, cuando tengamos masherramientas para convencernos de este hecho.

Ahora volvamos la mirada a los numeros impares y averiguemos si en ellos ocurre lo mismo.Ahora iremos en sentido opuesto y consideraremos primero dos ejemplos:

3 + 5 = 8 Impar + Impar = Par(5)(7) = 35 (Impar)(Impar) = Impar

Parece que los numeros impares no son cerrados bajo la suma, pero sı lo son bajo la multipli-cacion. Consideremos otro par de casos.

13 + 21 = 34 Impar + Impar = Par51 + 75 = 126 Impar + Impar = Par(3)(21) = 63 (Impar)(Impar) = Impar

(19)(19) = 361 (Impar)(Impar) = Impar

Hasta aquı hemos visto cierta evidencia que muestra que los numeros impares no son cerradosbajo la suma, puesto que cuando sumamos dos numeros impares el resultado no es un numero

9 Los Numeros...

10 Numeros naturales

impar, sino par. Por otra parte, la multiplicacion parece ser cerrada para los numeros im-pares. Sin embargo, no podemos todavıa dar una regla general (o ley) que indique que eso escierto, puesto que solamente hemos visto que eso ocurre ası en los casos estudiados; pero nadiepuede asegurar, hasta aquı, que los casos que hemos tomado sean (o no sean) en cierto aspectoespeciales, de tal forma que si tomamos otro caso que no tenga esa caracterıstica especial, elresultado sea tal que nos sugiera otra conclusion. Para eliminar cualquier duda, los matematicosrecurren a la demostracion de la conjetura usando solamente argumentos y operaciones que sonvalidos para los objetos con los que estan trabajando.

2.5 Multiplo y divisor de un numero

Definimos como multiplo de un numero dado x, a todos aquellos que resultan de multiplicar elnumero x considerado por algun otro numero natural cualquiera4.

Para entender mejor la definicion, se dan algunos ejemplos:

Multiplos del numero 2: M2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, · · · }



Se ve inmediatamente que para saber si un numero dado y es multiplo de otro x entonces esnecesario encontrar un numero a tal que y = ax. En palabras, esta igualdad nos dice que elnumero y es el resultado de multiplicar al numero x por algun otro numero a, lo que coincidecon la definicion de multiplo que acabamos de dar.

La definicion de divisor de un numero viene dada de una forma parecida. Si nos apoyamosen la igualdad que escribimos en el ultimo parrafo, decir que un numero q divide a otro p, esequivalente a decir que existe un numero r tal que el numero q sea igual al producto de p porr. Matematicamente esto se puede escribir:

p = q r

Entonces, basandonos en la definicion de multiplo de un numero, podemos decir que el numeroq divide a otro numero p, siempre que el numero p resulte ser multiplo del numero q.

Tomando en cuenta los ejemplos que dimos para la definicion de multiplo de un numero, podemosver que el numero 2 es divisor de todos sus multiplos, es decir, el 2 es divisor de los elementosdel siguiente conjunto:

M2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, · · · }4Aquı es bastante conveniente evadir cierta falta de claridad en las definiciones y conclusiones que obtenemos con ellas. Para

esto, en el caso de los numeros enteros excluiremos al cero de entre los posibles valores que podemos dar al numero a multiplicarpor x, con el fin de que no digamos que el cero es multiplo de todos los numeros (esto es evidente del hecho de que el resultado demultiplicar cualquier numero por cero es igual a cero)

Los Numeros... 10

2.6 Cerradura de pares e impares 11

De manera similar, todos los multiplos del numero 3 tienen al numero 3 por divisor: M3 ={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, · · · }

Especıficamente podemos ver lo que significa que un numero q divide a otro p con varios ejem-plos:

27

3= 9

Aquı se puede ver que el numero 3 divide al numero 27, porque el resultado de esa operacion esun numero entero (el nueve). En este caso en particular tenemos p = 27, q = 3 y r = 9 (p = qrse aplica como 27 = (3)(9)). Otro ejemplo es:

14

2= 7

Aquı tenemos p = 14, q = 2 y r = 7.

Algo importante de mencionar: los multiplos de un numero nunca seran menores que el numeroconsiderado. Por ejemplo, el numero 3 tiene muchos multiplos. De todos ellos, el menor es elnumero 3 mismo. Todos los demas numeros son mayores que el. Ninguno es menor que el 3.De hecho, el 3 no es menor que el 3, es igual al 3, pero no menor.

Otro punto importante similar, pero en este caso para los divisores de un numero consiste enque ninguno de los divisores de un numero sera mayor que el numero considerado. Por ejemplo,consideremos el caso del numero 8. Sus divisores son: 1, 2, 4 y 8. Se ve inmediatamente queninguno de ellos es mayor que el 8. El mayor de todos es el 8 mismo y este no es mayor que 8;es igual a 8, pero no mayor que el.

Esta informacion nos ayuda a encontrar resultados que no tienen sentido cuando tratamos deencontrar un multiplo de un numero y vemos que el resultado es menor que el numero mismo, ocuando necesitamos los divisores de otro numero y el resultado es mayor que el numero mismo.

2.6 Cerradura de los numeros pares y los numeros impares

Entonces, podemos escribir de una forma muy compacta la familia de numeros que resultan sermultiplos de otro:

mq = q r

Por ejemplo, tomemos el caso del numero 2. Sus multiplos seran de la forma:

m2 = 2 r

11 Los Numeros...


En esta igualdad, r puede tomar valores desde 1, 2, 3, · · · hasta el infinito (es decir, numerosnaturales), que en terminos de notacion de conjuntos se escribe: r ∈ N. Entonces, vemos quetodos los numeros pares tienen la forma p = 2 r, donde r ∈ N.

Ahora, supongamos que tenemos dos numeros pares distintos:p1 = 2 s y p2 = 2 t, dondes, t ∈ N. Si sumamos estos dos numeros obtenemos el siguiente resultado5:

p1 + p2 = 2 s+ 2 t = 2 (s+ t)

que tambien resulta ser par.

Este resultado se puede generalizar de la manera siguiente: considere todos los multiplos delnumero q, estos tienen la siguiente forma: p = q r. Tomemos dos de esos numeros, digamosp1 = (q)(r1) y p2 = (q)(r2). La suma de estos dos numeros es p1 + p2 = (q)(r1) + (q)(r2) =(q)(r1 + r2). De aquı se ve inmediatamente que la suma de dos numeros que sean multiplos deq, es otro numero que tambien es multiplo del numero q.

En el caso de los impares, un numero impar tiene la forma: 2 k+1, es decir, a un par le sumamosel numero 1 y obtenemos un numero impar. ¿De acuerdo? Entonces continuamos. Si sumamosdos numeros impares q1 = 2 s+ 1 y q2 = 2 t+ 1 tenemos:

q1 + q2 = (2 s+ 1) + (2 t+ 1) = 2 s+ 2 t+ 2 = 2 (s+ t+ 1)

resultando ser un numero par, puesto que tiene la forma6 p = 2 r.

Sin embargo, si consideramos el producto de dos numeros impares vemos que7:

(q1)(q2) = (2 s+ 1)(2 t+ 1) = (2 t)(2 s+ 1) + 1 (2 s+ 1) =

= 4 st+ 2 s+ 2 t+ 1 = [4 st+ 2 s+ 2 t] + 1 =

= 2 (2 st+ s+ t) + 1

que en palabras nos dice que el resultado de multiplicar dos numeros impares es otro numeroimpar, puesto que al numero par 2 (2 st+ s+ t) le sumamos el numero 1, lo cual nos resulta serimpar.

2.7 Criterios de divisibilidad

Se han encontrado criterios de divisibilidad que nos ayudan a saber de una manera rapida cuandoun numero dado q es o no es divisor de algun otro numero p. Cada uno tiene su justificacion.Mencionamos solamente las justificaciones de los mas sencillos.

5Aquı se ha recurrido a la ley distributiva de los numeros.6Aquı r = s + t + 1, y es un entero, porque es la suma de tres numeros enteros.7En este caso, hemos usado la ley distributiva dos veces: (a + b)(c + d) = (a + b)(c) + (a + b)(d) = a c + a b + b c + b d.

Los Numeros... 12

2.7 Criterios de divisibilidad 13

Criterio de Divisibilidad para el 2: Si el numero termina en numero par (0, 2, 4, 6, 8), en-tonces es divisible por 2. Es bastante evidente de las definiciones de numero par y divisorde un numero.

Criterio de Divisibilidad para el 3: Si la suma de los dıgitos que forman el numero esmultiplo de tres, entonces el numero es divisible por 3.

Este no es para nada evidente. Mostramos un argumento que justifica el criterio paranumeros de tres cifras y que puede facilmente generalizarse a numeros mas grandes.

Considere el numero formado por tres cifras abc. Por ejemplo, si el numero es 237, entoncesa = 2, b = 3 y c = 7. Este numero puede escribirse como sigue:

100 a+ 10 b+ c = (99a+ a) + (9b+ b) + c =

= (99 a+ 9 b) + (a+ b+ c) =

= 3(33 a+ 3 b) + (a+ b+ c)

(Para el ejemplo anterior 100 a + 10 b + c = (100)(2) + (10)(3) + (7) = 237) Ya se habıamencionado que cuando sumamos dos multiplos de un numero dado k, el resultado tambienes un multiplo de k. Esto es, para que el numero formado por las cifras abc sea un multiplode 3, es necesario que (a+ b+ c) sea multiplo de 3, puesto que 3(33 a+ 3 b) ya es multiplode 3.

Criterio de Divisibilidad para el 4: Si el numero formado por las dos ultimas cifras de laderecha del numero dado es multiplo de 4, entonces el numero dado se divide entre 4.

Sabemos que la suma de dos multiplos de 4 es tambien un multiplo de 4. Basandonos eneste hecho, podemos buscar cual de los numeros 10, 100, 1000, 10000, etc., es multiplo de4, pues, si 1000 es el menor (por ejemplo), entonces, 10,000 tambien lo sera, puesto queresulta ser igual a sumar el numero 1000 diez veces, o dicho de otra forma, multiplicar1000 por 10, y ası sucesivamente el 100,000 tambien sera multiplo de 4 por ser igual a lamultiplicacion del numero 10,000 por 10, etc.

¿Porque buscamos este tipo de numeros? Pues sencillamente porque, como en el casodel criterio de divisibilidad del numero tres, podemos expresar cualquier numero comosumas en la forma ya expuesta. Por ejemplo, el numero 5812, puede expresarse como:(5)(1000) + (8)(100) + (1)(10) + 2. Entonces, basandonos en el hecho de que si sumamosmultiplos del numero 4, el resultado es otro multiplo de 4, entonces habra unos terminos queya son multiplos de 4, sin embargo, probablemente no todos sean y ası sabremos cuantosnumeros se necesita verificar que sean multiplos de 4 (similarmente al caso del numero 3).

Podemos verificar que el 1000 es multiplo de 4, puesto que (4)(250) = 1000. El 100 tambienes multiplo de 4, puesto que (4)(25) = 100. Ahora surge la pregunta: ¿Es el 100 el numeromas pequeno? La respuesta es sı, puesto que no hay ningun numero natural x que haga4x = 10. Entonces, si el numero 100 es multiplo de 4, tambien lo seran sus multiplos, y nohay necesidad de verificar si el 500, por ejemplo, es un multiplo de 4. ¡Por supuesto que loes!, dado que el 100 es un multiplo de 4 y el 500 es igual a (5)(100). ¿De acuerdo?

Entonces, las centenas, unidades de millar, etc., ya son multiplos de 4. Lo que hace falta esver si el numero formado por las dos cifras de la derecha (es decir, las decenas y unidades)

13 Los Numeros...


forman un multiplo de 4 porque de ser ası, entonces todo el numero sera un multiplo de 4,pues estaremos sumando dos multiplos de 4 y el resultado tambien lo sera.

En cambio, si el numero formado por las dos ultimas cifras de la derecha no es un multiplode 4, entonces el numero original no sera multiplo de 4, porque estaremos sumando a unnumero que ya es multiplo de 4 otro que no es, y por tanto la suma no sera multiplo de 4.

Criterio de Divisibilidad para el 5: Si el numero termina a la derecha en 0 o en 5, entoncesse puede dividir entre 5.

Bastante evidente, puesto que los multiplos de 5 solamente terminan en la cifra de lasunidades (por la derecha), o en cero, o en cinco.

Criterio de Divisibilidad para el 6: Si el numero es divisible simultaneamente tanto por eldos como por el tres, entonces es divisible por el numero seis.

Esto se puede justificar usando la definicion de divisor de un numero.

La definicion de divisor de un numero dice que si un numero q divide a otro p, entonces sepuede escribir: p = qr.

Supongamos que el numero p se divide entre 6. Entonces, por ser divisible por 6 podemosescribir: p = 6 r = (2)(3)r, lo que nos indica que el numero p es multiplo de dos y tressimultaneamente, y por tanto p es divisible tanto por dos como por tres.

Criterio de Divisibilidad para el 7: Se explica el algoritmo que se desarrolla cuando se de-sea verificar si un numero dado es multiplo de 7 sin dar su justificacion.

Se toma la cifra de la derecha (unidades) del numero dado. A esta cifra la multiplicamospor dos. El resultado de la multiplicacion se resta del numero que queda al quitarle (alnumero dado) la cifra de las unidades (que es precisamente el numero que multiplicamos pordos). Al resultado se aplica el mismo metodo de separar la cifra de la derecha, multiplicaresta cifra por dos, etc. hasta que tengamos un numero de dos o una cifra. Si el numeroresultante es multiplo de 7 o es el numero cero, entonces el numero dado (al principio) esmultiplo de siete. De lo contrario, el numero dado no es multiplo de 7.

La justificacion no se da por requerir de conceptos que no se estudian aquı8.

Criterio de Divisibilidad para el 8: Si el numero formado por las tres ultimas cifras de laderecha del numero dado es multiplo de 8, entonces el numero dado es divisible por 8.

La justificacion es similar a la del criterio de divisibilidad del numero 4. Notese que elnumero 100 no es multiplo de 8, pero el numero 1000 sı lo es, pues 1000 = (8)(125), y portanto es necesario verificar si las tres cifras de la derecha forman un multiplo de 8.

Criterio de Divisibilidad para el 9: Si la suma de los dıgitos que forman el numero esmultiplo de nueve, entonces el numero es divisible por 9.

Este criterio es similar al dado para el numero 3. Notese que el numero formado por lastres cifras abc puede escribirse como sigue:

100 a+ 10 b+ c = (99a+ a) + (9b+ b) + c =

= (99 a+ 9 b) + (a+ b+ c) =

= 9 (11 a+ b) + (a+ b+ c)8Mas adelante se muestran ejemplos para un mejor entendimiento de los criterios de divisibilidad.

Los Numeros... 14

2.8 Divisibilidad 15

Ya se habıa mencionado que cuando sumamos dos multiplos de un numero dado k, elresultado tambien es multiplo de k. Entonces, para que el numero formado por las cifrasabc sea un multiplo de 9, es necesario que (a+b+c) sea multiplo de 9, puesto que 9 (11 a+b)ya es multiplo de 9.

Criterio de Divisibilidad para el 10: Si el numero termina a la derecha en 0, entonces sepuede dividir entre 10.

Este criterio es evidente por el hecho de que al multiplicar un numero por diez, el resultadoes el mismo numero agregando un cero a la derecha. Entonces, si el numero dado tieneal menos un cero a la derecha, podemos imaginar que lo habıamos multiplicado por diez,siendo entonces multiplo de diez y, por tanto, divisible entre diez.

Existen todavıa mas criterios de divisibilidad, pero por el momento estos son suficientes.

2.8 Propiedades de la divisibilidad

Aquı se muestran las propiedades mas importantes de la divisibilidad entre numeros naturales.Se enlistan en orden de dificultad. Todas son relativamente faciles de entender. Esperamos quese tenga una buena nocion de las consecuencias que de ellas se deducen.

En este apartado usaremos la siguiente notacion: para indicar que un numero a divide a otronumero b escribiremos a|b, y lo leeremos el numero a divide al numero b. Recuerdese que estoimplica que el numero b es multiplo del numero a, es decir, b = a r.

• a|a ⇒ Propiedad simetrica.

• Si a|b, y tambien b|a, entonces a = b ⇒ Propiedad reflexiva.

• Si a|b, y tambien b|c, entonces a|c ⇒ Propiedad transitiva.

Para ver que las tres propiedades se cumplen se puede razonar como sigue: la primera condiciones bastante evidente de la definicion de divisor de un numero. Sabemos que a = (1)(a), dedonde se nota que es verdadera esta condicion. Notese que el numero 1 es divisor de todos losnumeros naturales, pues el numero a es arbitrario.

Antes de justificar la segunda propiedad indicamos otra propiedad que cumple la divisibilidad:

• Si a|b, entonces b ≥ a.

Esta propiedad se sigue del hecho de que si a|b, entonces b = a r. Si r es mayor a 1, entonces elproducto a r debe ser mayor que el numero a. Es claro que la igualdad de la condicion b ≥ a secumple solamente cuando r = 1. Esta conclusion es evidente del hecho de que ningun multiplodel numero a es menor que el numero a, y el menor multiplo del numero a es precisamente elnumero a.

15 Los Numeros...


Con el argumento anterior podemos probar la segunda condicion: si a|b, entonces b = am,tambien si b|a, entonces a = b r. Entonces se cumple simultaneamente b ≥ a, porque a|b, ya ≥ b porque b|a. Sin embargo, para que ambas condiciones se cumplan es necesario que a = b,pues de otra forma la simultaneidad de ambas condiciones no tendrıa sentido.

Para ver que la tercera es verdadera podemos proceder como sigue: dado que a|b, b = am.Tambien c = b r porque b|c. Pero como ya dijimos que b = am, esto nos permite escribirc = b r = (am) r = a (mr). De aquı es claro que a|c.

Todavıa hay mas propiedades que se pueden facilmente probar y que, de hecho hemos usadoalgunas ya sin recurrir a este apartado. Aquı damos otro acercamiento a los mismos resultados.

• Si a|b, entonces a|(b k)

Esto es claro de la definicion de divisor de un numero. En palabras esta condicion dice: Si adivide al numero b, entonces el numero a tambien debe dividir a cualquier multiplo del numerob. Esto se sigue del hecho de que si a|b, entonces el numero b es multiplo de a. Ademas, yasabemos que un multiplo de a multiplicado por cualquier numero resulta ser tambien multiplode a. Luego, cuando multiplicamos el numero b (que es multiplo de a) debemos obtener otromultiplo de a, de donde se puede asegurar que a divide ese numero.

• Si a|b, y tambien a|c, entonces a|(b+ c)

Tambien podemos ver que esto es cierto basandonos en la ley distributiva y en la definicion dedivisor de un numero. Puesto que a|b, se tiene que: b = am. Tambien, puesto que a|c, se sigueque: c = an. Por otra parte tenemos b + c = am + an = a (m + n). Esto nos indica que elnumero a divide al numero b+ c.

Combinando las dos ultimas propiedades podemos encontrar que:

• Si a|b, y tambien a|c, entonces a|(bm+ c n)

La demostracion de esta propiedad se deja como ejercicio.

2.9 Numeros Primos y Numeros Compuestos

Primero damos las definiciones de numero primo y de numero compuesto. Despues se explicaun metodo para enlistar los numeros primos.

Un numero primo es aquel que tiene exactamente dos divisores9 , los cuales son el numero 1 yel mismo. Un numero es compuesto si tiene al menos tres divisores.

9Recuerdese que aquı estamos trabajando solamente con numeros naturales. Si estuvieramos trabajando con numeros enteros,entonces la definicion de numero primo cambiarıa, pues tendrıa cada numero primo p, cuatro divisores, 1, −1, p y −p.

Los Numeros... 16

2.9 Primos y compuestos 17

Las definiciones de numero primo como de numero compuesto se dieron de forma tal que elnumero 1 quedara excluido de ambos conjuntos. En primer lugar se debe notar que el numero 1solamente tiene un divisor: el mismo. La razon de excluir al numero 1 es por razones practicasque mas adelante se justificaran.

Los primeros diez numeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Evidentemente existenmas numeros primos. De hecho, mas adelante probaremos que la lista de los numeros primoses infinita. Con respecto a este tipo de numeros se han hecho un sinnumero de conjeturas.Por ejemplo se ha tratado de encontrar una formula que encuentre los numeros primos, unotras otro. Tal formula todavıa no se ha encontrado y probablemente nunca se encuentre. Es loque hace mas fascinante las matematicas: conoces objetos y quieres encontrar la formula quelos enlista uno tras otro en orden. El espıritu cientıfico de los matematicos les dice que existeuna, sin embargo, nuestras mentes no han tenido la suerte de encontrar la solucion (que nonecesariamente debe ser unica o quizas no exista).

Ahora se da el metodo para enlistar, “a pie” los primeros numeros primos. Existio en Alejandrıaun hombre que se llamo Eratostenes (275 - 195). A el se le atribuye la primera medicion delperımetro de la tierra. Sin embargo aquı nos ocuparemos de otra de sus contribuciones, la cualllamaremos Criba de Eratostenes. La Criba de Eratostenes consiste en hacer la lista del numero1 hasta el que queramos. Aquı consideraremos hasta el numero 200.

La forma de encontrar los numeros primos que ideo Eratostenes es como sigue: Eratostenessabıa que los numeros compuestos tienen al menos tres divisores. De hecho, todos los numerostienen al menos dos divisores, el numero 1 y ellos mismos. Entonces, si un numero es multiplode dos numeros (no necesariamente distintos y excluyendo al numero 1) no puede ser primo,puesto que se puede dividir por 1 y por esos dos numeros. Por ejemplo, consideremos el numero6. Sabemos que 6 = (2)(3). Entonces, sus divisores son 1, 2, 3 y 6. Consideramos ahora elnumero 4. Sabemos que 4 = (2)(2). Vemos que el numero 4 tiene tres divisores: 1, 2 y 4 y, portanto, no es primo, sino compuesto.

Entonces, Eratostenes, basandose en esto sugirio escribir la lista de los numeros del 1 hasta elnumero deseado (nosotros usaremos hasta el 200), empezar a tachar los multiplos del numero 2,excepto el dos mismo, dado que el tiene el privilegio de ser primero de la lista de los multiplosde 2 (de la palabra Primero viene el adjetivo Primo de los numeros primos). Se procede deigual manera con los multiplos de 3, 5, etc.

Como sugerencia se propone empezar, si se estan tachando los multiplos del numero m, delnumero (m)(m). Esto es porque no hay necesidad de tachar el numero 2m; ya se tacho cuandoeliminamos los multiplos del numero 2. Igualmente no hay necesidad de tachar el numero 3m,pues se tacho cuando tachamos los multiplos del numero 3. Y ası sucesivamente hasta el numeroprimo que se encuentre antes del numero m.

Otra sugerencia bastante util, que de hecho, por la metodologıa dada, se utiliza, es observarque cuando tachamos los multiplos de 2, tambien tachamos los multiplos del numero cuatro (4,8, 12, 16, etc.). Esto se debe a que los multiplos de 4 tambien son multiplos de 2. Para ver queesto es ası, simplemente escribimos un multiplo de 4; este tiene la forma m4 = 4 k = (2)(2) k.De aquı vemos que ciertamente, tambien es multiplo de 2. Para ver que los multiplos de 6

17 Los Numeros...


tambien son multiplos de 2 procedemos de manera semejante: Los multiplos de 6, tienen laforma m6 = 6 k = (2)(3) k. Ciertamente, tambien es multiplo de 2. Evidentemente con losmultiplos de 3 (6, 9, 12, 15, etc.) ocurre lo mismo. La criba de Eratostenes se deja comoejercicio.

2.10 Descomposicion de un Numero Compuesto en sus Factores Pri-mos

Ahora que conocemos a los numeros primos menores que 200, podemos expresar a los numeroscompuestos como producto de numeros primos solamente. Por ejemplo el numero 54 puedeescribirse: 54 = (2)(27) = (2)(9)(3) = (2)(3)(3)(3), el numero 120 se puede expresar como120 = (2)(60) = (2)(2)(30) = (2)(2)(2)(15) = (2)(2)(2)(3)(5).

El procedimiento consiste en verificar si el numero se puede dividir por 2, luego por 3, luego por5, despues por 7, y ası sucesivamente. Notese que no hay necesidad de verificar si el numero sepuede dividir por 4, puesto que si se divide por 4 necesariamente se debe dividir entre 2, lo cualse verifico antes (porque, si un numero es multiplo de 4 necesariamente debe ser multiplo de 2,como ya se indico). Igual pasa con el 6, pues si el numero dado se divide entre seis se debiohaber dividido entre 2 primero y despues entre 3.

Consideremos ahora el numero 1210. Para empezar tiene mitad, 1210 = (2)(605). Ahora, elnumero 2 ya no se puede descomponer en factores puesto que el es un numero primo, pero elnumero 605 seguramente sı (al menos sabemos que es divisible por 5 porque termina en 5 a laderecha). Verifiquemos si se puede dividir por tres. Para esto, sumamos las cifras de las cualesesta formado: 6 + 0 + 5 = 11.

El numero 11 no es multiplo de 3, entonces el numero 605 no es divisible por 3 (verifıquese pormedio de la division). Recuerde que no hay necesidad de verificar si es divisible por 4, puestoque no es divisible entre 2. Ahora pasamos al 5 (que es el siguiente numero primo despues de3). 605 = (5)(121).

Entonces: 1210 = (2)(605) = (2)(5)(121).

Ahora, ni el numero 2 ni el numero 5 pueden descomponerse en factores puesto que estos sonprimos, veamos si el numero 121 se puede descomponer en factores primos:

¿Es divisible por 2? No, pues no termina en cifra par.

¿Es divisible por 3? Para verificarlo sumamos sus cifras: 1 + 2 + 1 = 4, el cual no es multiplode 3, lo que indica que 121 tampoco es divisible por 310.

¿Es divisible por 5? No, pues no termina ni en cero ni en cinco.

¿Es divisible por 7? Veamoslo: Tomamos la ultima cifra de la derecha (1) y la multiplicamospor 2. Este resultado (2) se lo restamos al numero que se forma quitando el 1 de la derecha alnumero 121.

10si este numero se dividiera por 3, tambien debıa dividirse el numero 605, pues 605 es multiplo de 121.

Los Numeros... 18

2.10 Descomposicion en factores primos 19

12− 2 = 10. Ya no hay necesidad de ir mas lejos. Es evidente que el numero 10 no es multiplode 7, y por tanto el numero 121 no se divide entre 7.

Ahora veamos si se puede dividir por 11, que es el siguiente primo: en efecto, se puede dividir,puesto que (11)(11) = 121.

Entonces, 1210 = (2)(5)(121) = (2)(5)(11)(11) es la descomposicion del numero 1210 en susfactores primos.

Como sugerencia, se recalca que no hay necesidad de verificar la divisibilidad de un numero masalla de su raız cuadrada para saber si es un numero primo11. En otras palabras, si queremossaber si un numero dado p es primo o no lo es, no hay necesidad de verificar si se divide porcada numero primo hasta uno antes a el.

Para ver que esto es ası, supongamos que queremos averiguar si p es un numero compuesto yque ya hemos verificado hasta el numero

√p (o, en caso de no ser natural, el inmediato superior

a el), y que no se puede dividir por ninguno de ellos. Entonces el numero p debe ser primo.Porque si fuera compuesto, deberıa existir una descomposicion en factores p = mn, donde almenos uno de m o n debe ser primo. Evidentemente al menos uno de m o n, debe ser menoral numero

√p (o, en caso de no ser natural, el inmediato superior a el). Porque si no es ası, si

tanto m como n son mayores a√p, entonces el producto no puede ser igual a p, sino que debe

ser mayor a el. Esto es evidente por el hecho de que√p√p = p, y que mientras mayores sean

los factores mayor sera el producto.

La descomposicion de numeros primos es bastante util para resolver varios tipos de problemase inclusive para realizar operaciones. Por ejemplo, considere la multiplicacion de 25 por 54.Para realizarla de manera mas rapida y sencilla descomponemos el 54 como 54 = (2)(27),entonces, multiplicar 25 por 54 es igual a multiplicar (2)(27) por 25, pero (2)(25) = 50, entonces(2)(27)(25) = (50)(27). Ahora aplicamos la ley distributiva.

(50)(27) = (50)(20 + 7) = (50)(20) + (50)(7) = 1000 + 350 = 1350.

Al primer vistazo este calculo parece involucrar mucha “talacha”. Sin embargo, si se pone enpractica, al poco tiempo su uso se hace natural y se incrementa bastante la agilidad para realizarcalculos mentalmente.

Como ejercicio se sugiere que elija varios numeros y los vaya descomponiendo en sus factoresprimos para que se vaya familiarizando con este procedimiento que sera util en el siguienteartıculo.

El teorema fundamental de la aritmetica establece que todo numero compuesto puede expresarsecomo producto de los factores primos del numero de una sola forma, salvo el orden de los factores.Aquı es donde se justifica la excepcion del numero 1 de entre la lista de los numeros primos. Puessi el numero 1 estuviera en esa lista, entonces tendrıamos mas de una forma de descomponera cada numero compuesto, por ejemplo el numero 54 se descompondrıa 54 = (2)(27), en suprimera forma, y para otra segunda tendrıamos: 54 = (1)(2)(27). Pero gracias a que el numero

11La raız cuadrada de un numero u es otro numero a tal que (a)(a) = u.

19 Los Numeros...


1 no esta entre los numeros primos solamente tenemos una descomposicion de cada numero ensus factores primos.

En este texto se omite la demostracion del teorema fundamental de la aritmetica. Para aquellos“filomatematicos” se sugiere que recurran a la lectura de un libro de algebra superior pararevisarla. En realidad no es muy difıcil de entender y, de hecho parece evidente.

2.11 Maximo Comun Divisor y Mınimo Comun Multiplo

Ahora volvemos la mirada a dos conceptos bastante sencillos y de gran aplicacion en la vidadiaria. Ya hemos definido tanto divisor como multiplo de numeros. Para poder definir divisorescomunes y multiplos comunes es necesario contar con al menos dos numeros distintos, para quelos divisores o multiplos sean comunes a ambos numeros.

Primero damos un ejemplo de introduccion para despertar el interes por el concepto de maximocomun divisor, y despues daremos la definicion junto con una metodologıa mas sencilla a ladada en el ejemplo.

Considere a los numeros 12 y 40. Los divisores del 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Por su parte losdivisores del 40 son 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40. Los divisores que son comunes tanto a 12 comoa 40 son 1, 2, y 4. Aquı la palabra “comun” indica que aparecen en la lista de divisores deambos numeros. El mayor de todos los divisores que son comunes tanto a 12 como a 40 es el4. Entonces, el 4 es el maximo comun divisor de los numeros 12 y 40. Esto se denotara comom.c.d (12, 40) = 4.

Entonces, el maximo comun divisor de dos numeros cualesquiera es el mayor numero que dividea ambos numeros, o en otras palabras, el mayor de todos los divisores comunes a ambos numeros.

Un metodo mas facil y practico de encontrar el maximo comun divisor de dos numeros escomo sigue: descomponganse los numeros en sus factores primos. Ahora, dado que queremosque el numero que buscamos divida a ambos numeros y sea el mayor de todos sus divisores,seleccionamos los factores que aparecen en las descomposiciones de ambos numeros, porqueprecisamente esos factores dividen a ambos numeros simultaneamente.

Por ejemplo tomemos los numeros 60 y 100. Sus descomposiciones en factores primos son60 = (2)(2)(3)(5) y 100 = (2)(2)(5)(5). Los factores que son comunes a ambas descomposicionesson el numero 2 dos veces y el numero 5 solamente una vez. Entonces el m.c.d.(60, 100) =(2)(2)(5) = 20.

Notese que no tomamos al numero 3 como factor del m.c.d.(60, 100), puesto que el 3 solamentedivide al 60, pero no al 100. Igualmente, el numero 5 solamente se tomo una vez como factorporque ası divide a ambos numeros. Si se hubiera tomado dos veces, entonces tendrıamos queel m.c.d.(60, 100) serıa un multiplo de 25. Luego serıa necesario que tanto el 60 como el 100 sedividieran por 25. Evidentemente eso no es cierto (el 100 sı es divisible por 25, pero el 60 no).

Notese tambien que es mas facil listar los divisores de un numero una vez que conocemos sudescomposicion en factores primos. Por ejemplo, los divisores del 60 son, ademas del 1, el 2,

Los Numeros... 20

2.11 Maximo Comun Divisor y Mınimo Comun Multiplo 21

4 = (2)(2), 5, 6 = (2)(3), 10 = (2)(5), 12 = (2)(2)(3), 15 = (3)(5), 20 = (2)(2)(5), 30 = (2)(3)(5)y el 60. Como ejercicio encuentre todos los divisores del numero 100 del mismo modo12.

El mınimo comun multiplo tambien se puede encontrar enlistando, primero los multiplos deambos numeros, localizando los multiplos que son comunes a ambos numeros y, finalmenteescogiendo el menor de todos ellos. Para el ejemplo tomamos los numeros 12 y 20.

Los multiplos del 12 son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120,...Por su parte, los multiplos del 20 son: 20, 40, 60, 80, 100, 120,...

Tenemos, hasta donde formamos la lista, dos multiplos comunes a 12 y 20, los cuales son 60 y120. Evidentemente el menor de ellos es el 60. Esto lo denotaremos como m.c.m. (12, 20) = 60

Ahora, podemos definir el mınimo comun multiplo de dos numeros como el menor numeronatural que es multiplo de ambos numeros a la vez.

Otro metodo que podemos usar para encontrar el mınimo comun multiplo de dos numeros pormedio de la descomposicion de los numeros en sus factores primos es como sigue: una vez hechala descomposicion de los numeros en sus factores primos elegimos los factores de los numerosde tal forma que no nos falte ningun factor de ambas listas. Por ejemplo, retomando el ejemploanterior, tenemos:

• 12 = (2)(2)(3)

• 20 = (2)(2)(5)

Vemos que el mınimo comun multiplo de 12 y 20 debe ser multiplo de 3, 4 y 5 a la vez. Elmenor numero que es multiplo de esos numeros es el 60 = (2)(2)(3)(5).

Aquı se muestra que el 60 es multiplo comun tanto a 12 como a 20: dado que podemos ex-presar al numero 20 como 20 = (2)(2)(5) y al numero 60 = (3)[(2)(2)(5)], es evidente que losfactores encerrados entre corchetes son en realidad el numero 20. Luego 60 es multiplo de 20.Similarmente, el numero 12 = (2)(2)(3), y el numero 60 = [(3)(2)(2)](5). Se encerraron entrecorchetes la descomposicion del numero 12 en sus factores primos. Esto indica que el numero60 es, tambien multiplo del numero 12.

Para convencernos de que es el “mınimo” comun multiplo simplemente basta mencionar que nose tomaron mas numeros como factores de los que son necesarios. Pues mientras mas pongamos,mayor producto obtendremos.

12Si necesitas saber cuantos divisores tiene un numero, primero descompon el numero en sus factores primos. Si es un numeroprimo, ya sabes que tiene dos divisores, pero si es compuesto, entonces debes tomar los exponentes de las bases de sus factores.A los exponentes sumales uno, y finalmente multiplıcalos. ¿Porque? Pues sencillamente porque, si un factor tiene exponente uno,tenemos dos opciones de utilizarlo para formar divisores del numero considerado: lo elegimos o no lo elegimos. En caso de queel exponente sea dos, tenemos tres opciones de usarlo: lo elegimos dos veces (esto es, elevado al cuadrado), lo elegimos una vez(elevado a la potencia 1), o bien no lo elegimos. Y ası sucesivamente. Entonces, si el numero k = ax · by · cz , y queremos calcularel numero de divisores que tiene k, resulta ser sencillo: sumamos 1 a cada exponente y multiplicamos los numeros que resultan. Elnumero de divisores es, entonces: (x + 1)(y + 1)(z + 1).

21 Los Numeros...


2.12 ¿Cuantos Numeros Primos Hay?

Aquı se da la demostracion de que la lista de los numeros primos en infinita.

Para empezar supongamos que la lista de los numeros primos es finita, es decir, que existe unnumero primo p que es el mayor de todos (los numeros primos).

Ahora formemos el numero n = (2)(3)(5)(7)(11)...(p) + 1, que es igual al producto de todos losnumeros primos13, y a ese numero le hemos sumado el numero 1. Es evidente que el numero nno se divide por alguno de los numeros primos, puesto que al hacer la division siempre quedade residuo 1. Entonces, este numero no tiene mas divisores que el numero 1 y el mismo, dedonde se deduce que n es primo. Pero inicialmente supusimos que la lista era finita, teniendoal numero p como el mayor de todos los numeros primos, y ahora vemos que el numero n esmayor que p, y tambien es primo.

Como hemos llegado a una contradiccion, la suposicion inicial es falsa. En otras palabras, noes verdad que exista un numero primo que sea el mayor de todos.

Por tanto, si hacemos la lista de los numeros primos hasta alguno en particular y queremosformar otro numero primo mayor a todos los de la lista, simplemente usamos la formula dadapara el numero n. En otras palabras, la lista de los numeros primos no es finita, sino infinita.

13Recuerda, aquı suponemos que la lista de los numeros primos es finita y el mayor de ellos es el numero p.

Los Numeros... 22

TresNumeros enteros

Desde la introduccion se trato de dar una forma intuitiva de crear los numeros naturales. Porejemplo, considere ahora la pregunta: ¿Que numero debemos sumar al numero 7 para obtener 2?Evidentemente la respuesta a esta pregunta no es un numero natural, porque cuando sumamosdos numeros naturales la suma es siempre mayor a cualquiera de los sumandos. En este capıtulose hace mencion de algunas propiedades de los numeros enteros.

3.1 Definicion

Los numeros enteros se definen compuestos de los numeros naturales, el cero y los numerosnaturales provistos del signo negativo. Denotaremos al conjunto de los numeros enteros por elsımbolo Z

Z = {· · · − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · }

¿De donde vino el signo negativo? Al parecer fue de la necesidad de resolver preguntas como lamencionada en la introduccion de este capıtulo. Parece ser mas claro el concepto colocamos losnumeros enteros sobre una lınea recta, a la cual llamaremos recta numerica.

Dispongamos un punto sobre esta recta, a la cual llamaremos origen, o cero de nuestra recta.Ahora tomemos una unidad de medida que elijamos a nuestro gusto e indiquemos a la derechadel origen un punto a esa distancia. A partir del origen tomaremos medidas de la mismalongitud, una detras de la otra y asignaremos a cada punto ası encontrado uno de los numerosnaturales, dejando el cero en el origen.

El mismo procedimiento se lleva a cabo ahora en la direccion contraria (hacia la izquierda).Pero ahora asignaremos numeros negativos a cada punto. A continuacion se muestra el ejemplode una recta numerica.

23 Los Numeros...

24 Numeros enteros

x−3 −2 −1 0 1 2 3

Origen

La lista de los numeros enteros es infinita tanto a la derecha como a la izquierda del origen.De aquı se deduce que el conjunto de los numeros naturales esta incluido en el conjunto de losnumeros enteros. En notacion de conjuntos esto se denota como: N ⊂ Z. En palabras, podemosdecir que todos los numeros naturales son tambien numeros enteros. Sin embargo lo opuestono es cierto. Es decir, no todos los numeros enteros son numeros naturales. Por ejemplo, elnumero -2 es un numero entero, pero no es numero natural. Esto es similar a decir que todoslos gatos son animales, pero no todos los animales son gatos. ¿Tiene sentido?

3.2 Propiedades de la suma y la multiplicacion

Las propiedades de los numeros enteros respecto a la suma y a la multiplicacion son, practicamentelas mismas que se mencionaron en el caso de los numeros naturales. Ademas se mencionan otraspropiedades que aparecen en los enteros por el hecho de tener numeros negativos y el cero.

Primero es interesante (y muy conocido por todos) que existe un numero entero que tiene lapropiedad de que siempre que se suma a otro numero, el resultado es igual al segundo numero.Estamos hablando del numero cero. Matematicamente, el parrafo anterior se expresa comosigue:

a+ 0 = a

Tambien este mismo numero cumple con la condicion de que cuando se multiplica por cualquiernumero a el resultado siempre es igual a cero. En terminos matematicos esto se escribe comosigue:

(a)(0) = 0

Podemos mencionar que el cero es el unico numero que cumple con estas condiciones. Debidoa la primera propiedad se dice que el cero es el elemento neutro con respecto a la suma. Estosignifica que cuando se suma el numero cero a cualquier numero entero, el numero no se modificao cambia, de aquı viene el nombre “neutro aditivo”. Con respecto a la multiplicacion tambienexiste un elemento neutro, es decir, un numero que tiene la propiedad que, cuando lo multipli-camos por otro, el resultado es igual al segundo numero. En particular, estamos hablando delnumero 1. Matematicamente lo anterior se expresa como:

(a)(1) = a

Los Numeros... 24

3.2 Propiedades de la suma y la multiplicacion 25

La propiedad anterior evidentemente tambien se cumple en los numeros naturales. Sin embargo,la siguiente es caracterıstica de los numeros enteros.

Para cada numero entero a existe otro numero entero con la caracterıstica que cuando se sumanambos, el resultado es igual a cero. El otro numero es −a. Matematicamente esto se expresade la siguiente manera:

a+ (−a) = 0

En palabras esto dice: “si a un numero entero sumamos el mismo numero, pero con signonegativo, el resultado es cero”. En la recta numerica esto significa que, partiendo del origen,primero nos hemos movido a unidades hacia la derecha y despues ese mismo numero de unidadeshacia la izquierda1. Evidentemente, al final estaremos en el origen, pues nos movimos primeroen una direccion y despues la misma distancia en sentido contrario, trayendonos de regreso anuestro punto de partida.

Aquı es importante hacer mencion de otras propiedades que se cumplen tanto para los numerosnaturales como para los enteros.

Primero, ya se habıa mencionado que si sumamos dos numeros naturales, el resultado siemprees igual, independientemente del orden que se le de a los sumandos. Podemos imaginar a Aarony a Carlos. Cada uno de ellos tiene una cantidad de manzanas que van a colocar en el canastode la casa. En realidad no importa quien coloque primero las manzanas, al final habra el mismomonton, supuesto que ninguno de ellos se come ninguna manzana.

Otra propiedad parecida que se cumple tanto para los numeros naturales como para los numerosenteros es la siguiente: Si se van a multiplicar dos numeros, entonces el resultado de la multi-plicacion es independiente del orden de los factores. Aquı usaremos el argumento de la multi-plicacion usado en el primer capıtulo.

Se sabe que multiplicar, por ejemplo, siete por doce es igual a sumar el numero siete, doceveces. Tambien es el equivalente a sumar siete veces el numero doce. Pues si en el primer caso,tomamos (7)(12) esto lo podemos imaginar como siete filas de doce cajas cada una. Tambienpodemos verlo en el otro orden, (12)(7) nos indica siete filas de siete cajas cada una. Con lascajas formarıamos un rectangulo de doce cajas de base y 12 cajas de altura para el primer caso,y siete cajas de base por doce de altura en el segundo caso. Evidentemente, ambos rectangulosguardan la misma cantidad de cajas. Por tanto (7)(12) = (12)(7).

En ambos casos podemos representar las multiplicaciones con arreglos rectangulares como losque se han explicado. Para cada caso el arreglo rectangular es identico en forma, salvo porla forma como se acomoda, en uno parece que esta “acostado” y en el otro parece que esta“parado”, esto es, en el primero la base es mas larga que la altura del rectangulo y en elsegundo, la base es mas corta que la altura.

Aquı se muestra el arreglo de las cajas de acuerdo a la primera multiplicacion.

1Aquı hemos supuesto que el numero a es mayor que cero.

25 Los Numeros...

26 Numeros enteros

7× 12

Enseguida se muestra el rectangulo que se forma debido al segundo arreglo de las cajas, o mejordicho, a la segunda multiplicacion.

12× 7

Algo que debemos agregar aquı es el hecho de que la primera propiedad de las enlistadas para ladivisibilidad debe recibir una pequena modificacion cuando estemos trabajando con los numerosenteros. Si a ahora representa un numero entero, entonces,

• a|a Siempre que a 6= 0 Propiedad simetrica.

La justificacion de esta nueva condicion se dara en el siguiente capıtulo.

3.3 Recta numerica y valor absoluto de un numero

Cuando colocamos los numeros enteros en la recta numerica, nosotros a nuestro antojo, decidi-mos dar la direccion “positiva” a la derecha y la “negativa” hacia la izquierda. Sin embargo esbien sabido que las distancias negativas no tienen ningun significado, puesto que siempre quenos movemos en alguna direccion especıfica medimos la distancia a partir del punto en que nosmovemos y empezamos a contar “hacia arriba”, es decir, en el sentido positivo, nunca asignamosun numero negativo a una distancia.

Los Numeros... 26

3.4 Leyes de los signos 27

Si queremos medir la distancia (con unidad de medida igual a la distancia entre el origen y elnumero uno) que hay desde el origen hasta algun numero arbitrario, digamos el 12, simplementele asignamos como distancia ese numero (el 12). Es bastante evidente de la observacion de larecta numerica que si medimos la distancia desde el numero −12 hasta el origen la distancia esigual a la que hay entre el origen y el numero 12. Sin embargo, un numero esta a la derecha (el12 positivo) y el otro esta a la izquierda (el 12 negativo).

Vamos a dar un nuevo concepto para indicar esta distancia, al cual llamaremos valor absolutodel numero. Entonces el valor absoluto del numero a sera la distancia (con unidad de medidaigual a la distancia entre el punto que corresponde al origen y el punto que corresponde alnumero uno) que existe desde el origen hasta ese numero. El valor absoluto de un numero sedenota por |a|. Notese que el valor absoluto de un numero es siempre un numero no negativo(es decir, puede ser cero o cualquier numero positivo), pues representa una distancia.

Entonces, el valor absoluto del numero -12 es igual a 12, y se representa como | − 12| = 12. Deigual manera, | − 145| = 145, y |457| = 457.

3.4 Leyes de los signos

En matematicas cada ley tiene un porque. En otras palabras, si existe una ley matematica, estaesta plenamente justificada. Esto quiere decir que no es arbitraria, sino que se dedujo de laspropiedades mas basicas que cumplen los objetos con los que esta ley tiene relacion.

Ahora hablaremos de las leyes de los signos. Estas leyes se aplican a la multiplicacion2. Laforma de exponer las leyes de los signos seran primero de una forma informal, luego lo haremosde una forma medianamente formal para no espantar a aquellos que le temen a la simbologıamatematica.

Hay 4 leyes de los signos. La primera dice que cuando multiplicamos dos numeros positivos,el resultado es tambien un numero positivo. La justificacion de esta ley se dio desde el primercapıtulo, cuando mencionamos la cerradura de los numeros naturales bajo la multiplicacion.Es claro que cuando se multiplican dos numeros naturales el resultado es siempre otro numeronatural. Y como los numeros naturales son todos mayores que cero (es decir, positivos todos),el resultado de multiplicar dos numeros naturales (que tambien son necesariamente positivos)es siempre otro numero natural (que es, como ya dijimos, positivo).

Vamos a resumir la primera ley de los signos diciendo: “mas por mas es igual a mas”.

La segunda ley dice que cuando multiplicamos un numero positivo por un numero negativoel resultado es negativo. La justificacion podemos verla de la manera siguiente. Recuerdeseque multiplicar es una forma rapida y compacta de hacer sumas. Si nos basamos en la rectanumerica, debemos recordar que los numeros negativos estan a la izquierda del origen. Entonces,multiplicar un numero positivo a por un numero negativo −b puede verse como sumar a veces elnumero −b. Pero cuando a un numero negativo le sumamos otro numero negativo, el resultado

2Las leyes de la multiplicacion se aplican tambien a la division, pero nosotros todavıa no hablaremos de ello, sino hasta el siguientecapıtulo.

27 Los Numeros...

28 Numeros enteros

es indiscutiblemente negativo, puesto que cada vez nos alejamos mas del origen de la rectanumerica viajando hacia la izquierda. Pero sumar a veces el numero −b es lo mismo quemultiplicar (a)(−b), y el resultado es, como ya vimos un numero negativo. Es decir, el resultadode multiplicar un numero positivo por un numero negativo es siempre negativo.

Vamos a resumir la segunda ley de los signos diciendo: “mas por menos es igual a menos”.

La tercera ley de los signos se justifica exactamente igual que la segunda, solamente que ahoradebemos tomar en cuenta que cuando multiplicamos dos numeros enteros, digamos (a)(b), elresultado es el mismo que si multiplicamos los mismos numeros en orden inverso. Es decir,(a)(b) = (b)(a). Entonces, el resultado de multiplicar un numero negativo (−b) por un numeropositivo (a) debe ser igual al resultado de multiplicar un numero positivo (a) por un numeronegativo (−b). En terminos matematicos esto se escribe: (a)(−b) = (−b)(a).

Entonces la tercera ley, es semejante a la segunda pero con los factores en orden inverso, la cualpuede resumirse en: “menos por mas es igual a menos”.

La cuarta ley es la menos obvia de todas. Se trata ahora de multiplicar dos numeros negativosy encontrar su resultado. Pudieramos decir que como “mas por mas es igual a mas”, entonces“menos por menos debe ser igual a menos”, pero eso serıa establecer una ley sin haber tomado encuenta las propiedades de los numeros. De hecho, aunque parezca no tener sentido, en realidadla cuarta ley de los signos dice que cuando multiplicamos dos numeros negativos el resultado espositivo! Es decir, “menos por menos es igual a mas”.

Ahora vamos a dar una justificacion basandonos en el estudio de una secuencia de numeros yconforme avancemos en el estudio de otros tipos de numeros daremos cada vez argumentos masfuertes, hasta que al final quedemos convencidos de que “menos por menos es igual a mas”.

Para la justificacion considere los multiplos del numero 5.

M5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, · · · }

Con este conjunto haremos un juego. El juego consiste en encontrar una “regla” que nos diga elnumero (elemento del conjunto) que sigue si se conoce el anterior. Existen dos respuestas a estapregunta. La primera es que a cada numero le sumamos el numero 5 y obtenemos el siguiente.Sin embargo, otra respuesta mas util para nuestra tarea, serıa considerar que cada numero dela lista es multiplo de 5, en forma consecutiva. “En forma consecutiva” se refiere a que entredos terminos consecutivos de la lista, la diferencia siempre es cinco. Entonces, para encontrarel numero siguiente (aunque es un poquito mas laborioso, nos ayudara mas), expresamos elnumero como un multiplo del numero cinco. Entonces, el numero aparecera como sigue:

m = 5 k

Al numero k le sumamos el numero uno, y despues lo multiplicamos por cinco. Ası obtenemosel siguiente numero de la lista.

Ahora, veamos la misma lista pero en sentido opuesto:

Los Numeros... 28

3.4 Leyes de los signos 29

M5 = · · · , 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5

Si aplicamos el mismo juego, la regla (mas laboriosa) de obtener el siguiente termino de la listaserıa ahora, tomar el ultimo termino, expresarlo como multiplo del numero cinco, y al segundofactor (k) restarle el numero uno y, finalmente, a este nuevo numero (k − 1) multiplicarlo porcinco.

Con esta regla podemos hacer una nueva lista de numeros, considerando los terminos de la lista,pero ahora dotados todos y cada uno de ellos de signo negativo.

· · · ,−45,−40,−35,−30,−25,−20,−15,−10,−5, · · ·

Aplicando la segunda ley de los signos, que dice que cuando multiplicamos un numero positivopor otro negativo, el resultado es siempre negativo, encontrarıamos que ahora, en lugar demultiplicar por el numero 5 como en la primera y segunda lista, debemos multiplicar por elnumero −5, si es que queremos obtener esta nueva lista (con todos los numeros negativos).

Entonces, la regla que buscamos serıa como sigue: expresamos el numero de la lista como unmultiplo del numero (−5). Al segundo factor (k) le restamos 1. A este nuevo numero (k − 1)lo multiplicamos por el numero (−5). Ası obtenemos el siguiente numero.

Entonces, usando la regla que nos dice cual numero sigue en la ultima lista de numeros, encon-tramos que, cuando llegamos a cero pasa lo siguiente:

−15 = (−5)(3) Le restamos 1 al tres y obtenemos 2.

−10 = (−5)(2) Le restamos 1 al dos y obtenemos 1.

−5 = (−5)(1) Le restamos 1 al uno obtenemos 0.

0 = (−5)(0) Le restamos 1 al cero y obtenemos −1

= (−5)(−1)

Aquı dejamos un espacio en blanco para el numero que sigue en la lista. Si nos regresamos a laprimera regla que encontramos inicialmente (en la primera lista, es decir, usamos la regla dondesumabamos 5) vemos que, tambien funciona. Pues si sumamos 5 al numero (−15) obtenemosel siguiente, que es (−10); Despues sumamos de nuevo 5 al numero −10 y obtenemos −5, y asısucesivamente.

Pero esto nos esta diciendo que el numero de la lista que sigue despues del cero debe ser cinco.En otras palabras, en la ultima igualdad debe leerse:

5 = (−5)(−1)

lo cual nos esta diciendo que un numero negativo multiplicado por otro numero negativo nosda como resultado un numero positivo. Diciendonos que la cuarta ley de los signos debe decir“menos por menos es mas”.

29 Los Numeros...

30 Numeros enteros

Si continuamos con la lista veremos que la cuarta ley de los signos se sigue cumpliendo.

0 = (−5)(0) ⇒ Le restamos 1 al cero y obtenemos −1

5 = (−5)(−1) ⇒ Le restamos 1 al (−1) y obtenemos (−2).

10 = (−5)(−2) ⇒ Le restamos 1 al (−2) y obtenemos (−3).

15 = (−5)(−3) ⇒ Le restamos 1 al (−3) y obtenemos (−4), etc.

En todos los casos tenemos “menos por menos es mas”. Si consideramos ahora los multiplos dealgun numero arbitrario, digamos el 3, y realizamos el mismo “juego” encontraremos el mismoresultado. Obteniendo cada vez mayor confianza en la evidencia que estamos encontrando.

Hasta ahora, lo que hemos mostrado es evidencia, nada mas. La demostracion de la cuarta leyno es muy complicada y de hecho, aquı presentamos tres que, gracias a las herramientas con lasque contamos, resultan ser bastante sencillas.

3.5 Primera demostracion de que − · − = +

Considere la suma:

ab+ a(−b) + (−a)(−b)

Usando la ley distributiva podemos escribirla de la siguiente forma:

a[b+ (−b)] + (−a)(−b)

dentro del corchete vemos la suma de dos numeros iguales, pero de signo opuesto, es decir, unoes positivo y el otro es negativo. Entonces, la suma dentro del corchete debe ser cero. De aquıque:

a(0) + (−a)(−b) = 0 + (−a)(−b) = (−a)(−b)

Ahora, expresemos la misma suma: ab+ a(−b) + (−a)(−b), de la siguiente forma:

ab+ [a+ (−a)](−b)

Aquı tambien, dentro de los corchetes la suma es igual a cero. Entonces, tenemos el siguienteresultado de esa misma suma:

ab+ (0)(−b) = ab+ (0) = ab

Pero, inicialmente dijimos que esta suma era igual a (−a)(−b).

Entonces, (−a)(−b) = ab = ab+ a(−b) + (−a)(−b).

¿Convencido? Aquı tenemos una segunda forma de demostrarlo.

Los Numeros... 30

3.6 2da demostracion: − · − = + 31

3.6 Segunda demostracion de que − · − = +

Ya habıamos dicho que cuando sumamos dos numeros iguales de signo contrario el resultado escero. Entonces, empezamos desde ahı:

a+ (−a) = 0

Ahora, multiplicamos ambos lados de la igualdad por el numero (-b).

(−b)[a+ (−a)] = (−b)(0)

Pero cualquier numero multiplicado por cero es cero. Entonces, el lado derecho de la igualdad esigual a cero. Del lado izquierdo haremos otra cosa: usaremos la ley distributiva de los numeros:

(−b)a+ (−b)(−a) = 0

Ahora, vamos a sumar en ambos lados de la igualdad el numero ab. Lo que nos resulta:

ab+ (−b)a+ (−b)(−a) = ab+ 0

y esto, todavıa lo podemos expresar ası:

[ab+ (−b)a] + (−b)(−a) = ab+ 0

De nuevo, la suma entre los corchetes es igual a cero3. Entonces, el resultado de la expresion es:

0 + (−b)(−a) = ab+ 0

(−b)(−a) = ab

Finalizando ası la demostracion.

3.7 Tercera demostracion de que − · − = +

De acuerdo con lo antes dicho, tenemos:

a+ (−a) = 0

3Recuerdese que (a)(−b) = (−b)(a) y tambien que x + (−x) = 0.

31 Los Numeros...

32 Numeros enteros

¿Que nos dice esto? Traducido a palabras dice: Considera algun numero arbitrario. Pues si aese numero le sumamos el mismo numero, pero con signo negativo, el resultado de esa suma esigual a cero.

Ahora, considere el numero (−a). Para este numero existe su negativo, −(−a), y este ultimotiene la propiedad que cuando se le suma al numero (−a) el resultado de esa suma es cero. Ahora,sabemos tambien que si vamos a sumar dos numeros, no importa quien sumemos primero, elresultado de la operacion es el mismo, independientemente del orden. Entonces, con esto enmente, escribiremos:

− (−a) + (−a) = 0 (3.1)

Pero ya habıamos dicho quea+ (−a) = 0 (3.2)

Por tanto,− (−a) + (−a) = a+ (−a)

Sumando el numero a en ambos lados de la igualdad, obtenemos el resultado deseado:

−(−a) + [(−a) + a] = [a+ (−a)] + a

−(−a) = a

Otra forma de argumentarlo consiste en observar las igualdades 5.1 y 5.2, podremos deducir que,para que ambas sumas resulten ser iguales, teniendo repetido uno de los numeros que estamossumando, (el numero (−a)), el otro sumando debe ser igual en ambas igualdades. Es decir:

− (−a) = a

Esto nos dice que menos por menos es igual a mas.

Ahora ya no hay necesidad de mostrar mayor evidencia de que esto es ası. Usando la cuarta leyde los signos podemos justificar el hecho de que en geometrıa se midan los angulos en direccioncontraria a las manecillas del reloj. No se preocupen, no se hara tal justificacion, solamente lamencionamos para que se den cuenta que las ramas de la matematica estan entrelazadas entresı de una forma que no hay contradicciones entre las conclusiones encontradas en cada una deellas.

Entonces, geometricamente, el signo negativo nos indica que hay que cambiar de direccioncuando nos movemos en la recta numerica, es decir, si necesitamos especificar en la rectanumerica el numero −a, y el numero a es menor que cero, entonces, en lugar de movernoshacia la izquierda (debido a que el numero a es menor que cero) tendrıamos que movernos haciala derecha, porque el numero −a resultarıa positivo (recuerdese que los numeros menores quecero tienen signo negativo, y por tanto tendrıamos que aplicar aquı la cuarta ley de los signos).

En capıtulos posteriores se mostrara mayor evidencia de que “menos por menos es mas”, a pesarde no ser necesario, esperando que esta ley parezca mas “natural”.

Aquı se hace una llamada de atencion. Es indispensable que sea honesto con usted mismo yconteste con la verdad. Si no se entendio al menos una de las demostraciones antes dadas, eso

Los Numeros... 32

3.8 Nueva criba de Eratostenes 33

significa que no ha entendido el material que se ha leıdo. Por tanto, para que se pueda continuarcon la lectura es conveniente que vuelva a iniciar la lectura del libro desde la introduccion.

Entienda bien que nadie puede subir al ultimo piso de la Torre Latinoamericana de un solosalto desde el suelo. Sin embargo, cualquier persona, aun usando muletas, puede llegar hastala azotea si sube por una escalera, escalon por escalon. De igual manera, si no se entiendenlos conceptos basicos de las matematicas, no se puede lograr entender las conclusiones que son“mas fuertes”, y que requieren de esos conceptos iniciales.

Ası que, si no se ha entendido el material lea cada parrafo del libro asegurandose de que entiendecada parte que se ha explicado. Sirve explicar el concepto o principio entendido con palabraspropias. El autor tiene la fuerte creencia de que se aprende mejor por medio de la practica.Ası que se sugiere el uso de lapiz y papel en todos los ejercicios explicados. En otras palabras,usted tambien realice los ejemplos dados en el libro, explicando cada paso. Ası se asegura queentiende cada concepto nuevo y no tendra problema con el material nuevo.

Suerte.

3.8 Nueva criba de Eratostenes

En esta seccion se muestra una forma mas eficiente de obtener la lista de los numeros primos.Para esto primero se define el concepto de congruencia de modulos, notacion inventanda porCarl F. Gauss.

Recordamos primero unos conceptos que se estudiaron en el capıtulo anterior.

Definicion 3.8.1.Cerradura Sea A un conjunto no vacıo, y sea ◦ una operacion binaria

definida para cualesquiera dos elementos α, β ∈ A. Si α◦β ∈ A para cualesquieraα, β ∈ A, entonces, decimos que el conjunto A es cerrado bajo la operacion ◦.

Definicion 3.8.2.Numero primo. Un numero natural es primo si tiene exactamente dos divi-

sores (naturales).

Ejemplo 3.8.1.Los primeros numeros naturales que son numeros primos son:

33 Los Numeros...

34 Numeros enteros

2 3 5 7 1113 17 19 23 2931 37 41 43 4753 59 61 67 7379 83 89 97 101

Nota 3.8.1. El numero 1 no es un numero primo, porque no tiene exactamente dos divisores.

Definicion 3.8.3.Numero compuesto. Un numero natural es compuesto si tiene 3 o mas

divisores.

Ejemplo 3.8.2.Los primeros numeros naturales que son numeros compuestos son:

4 6 8 9 1012 14 15 16 1820 21 22 24 2526 27 28 30 3233 34 35 36 38

Definicion 3.8.4.Divisibilidad. Sean a, b,m numeros naturales. Decimos que el numero b

divide al numero a, o de forma equivalente, que el numero a es divisible por elnumero b, si existe un numero natural m tal que a = b ·m, y se denota por: b|a.

Ahora mostramos un ejemplo para aclarar la definicion anterior.

Ejemplo 3.8.3.

3 12 es divisible por 3, porque 12 = 3× 4.





Los Numeros... 34

36 Numeros enteros

Definicion 3.8.5.Congruencias. Si a = b · m + r, se entiende que b|(a − r), y escribimos:

a ≡ r mod b para indicarlo y se lee “a es congruente con r modulo b”.

Teorema 3.8.2.Sean a, b, c, r, s numeros naturales. Las congruencias tienen las siguientes propiedades:

i. Si a ≡ r mod b, y 0 ≤ r ≤ b, entonces r es el residuo de dividir a entre b

ii. a ≡ r mod b ⇔ b|(a− r) ⇔ a = b ·m+ r

iii. a ≡ a mod b

iv. Si a ≡ r mod b, entonces r ≡ a mod b

v. Si a ≡ r mod b, y r ≡ s mod b, entonces a ≡ s mod b

vi. Si a ≡ r mod b, y c ≡ s mod b, entonces a+ c ≡ (r + s) mod b

vii. Si a ≡ r mod b, y c ≡ s mod b, entonces a− c ≡ (r − s) mod b

viii. Si a ≡ r mod b, y c ≡ s mod b, entonces a · c ≡ (r · s) mod b

ix. Si a ≡ r mod b, entonces as ≡ rs mod b

Ejemplo 3.8.5.

• 13 ≡ 1 mod 12, porque cuando dividimos 13 entre 12 el residuo es 1.





Reto: Sustituye valores para las literales del teorema anterior (donde se enuncian las propiedadesde las congruencias) y verifica que cada una de ellas se cumple.

Definicion 3.8.6.Numeros primos gemelos. Dos numeros primos son primos gemelos si la

diferencia entre ellos es 2.

Los Numeros... 36


Ejemplo 3.8.6.

3 Los numeros 3 y 5 son primos gemelos porque 5− 3 = 2.




Teorema 3.8.3.Sea p ≥ 5 un numero primo. Entonces, bien p ≡ 1 mod 6, bien p ≡ 5 mod 6.

Demostracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Un numero natural q cualquiera puede estar en alguna de las siguientes clases de congruencia:

• q ≡ 0 mod 6, con lo que serıa un divisible por 6.

• q ≡ 1 mod 6, con lo que podrıa ser primo.

• q ≡ 2 mod 6, con lo que resultarıa ser divisible por 2.



• q ≡ 5 mod 6, con lo que podrıa ser primo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nota 3.8.2. No todos los numeros naturales p que cumplen con p ≡ 1 mod 6, o bien, p ≡ 5mod 6 son primos, pero todos los primos mayores o iguales a 5, tienen esa forma.

Teorema 3.8.4.Sea P el conjunto de todos los numeros naturales p ≥ 5 (no necesariamente primos) de la forma:p ≡ 1 mod 6, o p ≡ 5 mod 6; o bien P = {p | p ≡ 1 mod 6, o p ≡ 5 mod 6; p ∈ N, p ≥ 5}.Entonces, el conjunto P es cerrado bajo la multiplicacion.

Demostracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sea a ≡ 1 mod 6, y b ≡ 5 mod 6. Es evidente que a, b ∈ P. Por las propiedades i, iv y viiide las congruencias de modulos tenemos:

• a · a ≡ 1 mod 6

• a · b ≡ 5 mod 6

• b · b ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6, porque al dividir 25 entre 6 obtenemos de residuo 1.

con lo que queda establecido el teorema.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 Los Numeros...

38 Numeros enteros

3.8.1 La nueva criba

En los estudios de nivel elemental o medio superior se ensena la criba de Eratostenes comoun metodo para encontrar todos los numeros primos hasta un numero natural finito. Con losteoremas enlistados tenemos una segunda forma (mas eficiente) de encontrar la lista de losnumeros primos.

Para este fin empezamos enlistando a los unicos dos numeros primos que no pertenecen alconjunto P = {p | p ≡ 1 mod 6, o p ≡ 5 mod 6; p ∈ N, p ≥ 5}; esos dos numeros primos son2 y 3.

Inmediatamente despues podemos hacer una tabla donde enlistemos los numeros en columnas,de acuerdo a la clase de congruencia a la que pertenezcan:

5 mod 6 0 mod 6 1 mod 65 6 711 12 1317 18 1923 24 2529 30 3135 36 3741 42 4347 48 4953 54 5559 60 61...

......

Tabla 1. Clases 5, 0 y 1 de modulo 6.

En la tabla 1 tenemos 3 columnas. La columna del centro contiene numeros que son divisiblespor 6, solamente para que nos sirva de guıa para encontrar las otras dos columnas. Las columnasde la izquierda y de la derecha son las que tienen a los elementos del conjunto P.

En la lista podemos ver algunos numeros que no son primos, e.g., 25. El teorema 1.4 explicapor que tenemos numeros compuestos en P.

La siguiente cuestion consiste en eliminar los numeros que son compuestos. Para lograr estameta haremos uso del teorema 1.4 y de la definicion de numero compuesto.

Es obvio que todo numero natural n (a excepcion del numero 1) tiene al menos dos divisores:el numero 1 y el numero n (i.e., el mismo). Entonces, si aparece un divisor mas, se entiendeque ya es compuesto.

Por el teorema 1.4 sabemos que algunos de los elementos de P tienen mas de dos divisores, porlo que no son numeros primos, sino compuestos.

Los Numeros... 38


3.8.2 Construccion de la nueva criba

La tarea ahora parece muy sencilla: tomamos el menor de todos los elementos del conjunto P(esto es posible gracias al principio del buen ordenamiento, que dice que un conjunto no vacıo denumeros naturales tiene un elemento que es menor o igual a cualquier otro elemento del conjuntoconsiderado) y lo multiplicamos por todos los elementos del conjunto P. Ası encontraremos losnumeros p ∈ P que no son primos.

Despues de haber multiplicado el primer numero primo 5 ∈ P por todos los elementos delconjunto P (incluido el 5 mismo), debemos continuar con el siguiente primo, en este caso elnumero 7. Ahora debemos multiplicar a este numero primo por todos los demas elementos delconjunto P que todavıa no han sido eliminados (en caso de no ser primos).

Es claro que no se requiere multiplicar 7×5, dado que esta multiplicacion se realizo cuando em-pezamos multiplicando el numero 5 por todos los elementos del conjunto P. Entonces, debemosempezar desde 7× 7.

Y ası sucesivamente, hasta que hayamos terminado con la lista que deseamos obtener.

Enseguida se muestra el proceso elaborado hasta el numero primo 61.

5 mod 6 1 mod 65 711 1317 1923 ��2529 31

��35 3741 4347 ��4953 ��5559 61...

...

Tabla 2. Nueva criba de Eratostenes.

5× 5 elimino al numero 25, 5× 7 elimino al numero 35, 5× 11 elimino al numero 55, etc., 7× 7elimino al numero 49, 7× 11 elimina al numero 77, etc., 11× 11 elimina al numero 121, etc., yası sucesivamente.

3.8.3 Conclusiones

Se debe recordar que esta nueva criba no considera a los primeros dos numeros naturales primos:el 2 y el 3. Por tanto, cuando se haga la lista de los numeros primos utilizando la nueva cribade Eratostenes deben incluirse estos dos numeros primos.

39 Los Numeros...

40 Numeros enteros

Este mismo procedimiento puede usarse para generar un algoritmo muy eficiente para verificarsi un numero natural dado n es o no un numero primo. En este caso se debe iniciar comparandoel numero dado n con los dos unicos numeros primos que no estan en P. En caso de que no seaası, se debe encontrar el residuo de dividir el numero n entre 6. Si este residuo es distinto a 1o 5, entonces, con certeza sabemos que el numero es compuesto. Por otra parte, si el residuode dividir n entre 6 es, bien 1, bien 5, entonces debemos verificar si se divide por alguno de losnumeros p ∈ P. No requerimos checar todos los numeros p ∈ P hasta uno antes de n, como yasabemos, basta verificar hasta el numero natural mayor o igual a

√n.

Durante mucho tiempo ha existido la pregunta (sin responder hasta el dıa de hoy) si existeun numero infinito de parejas de numeros primos gemelos. El teorema 1.3 muestra por queaparecen los numeros primos gemelos.

Muchos matematicos creen que la lista de los numeros primos gemelos es infinita, pero estorequiere demostracion.

Los Numeros... 40

CuatroNumeros racionales

Los numeros racionales surgieron, como todos los demas tipos de numeros de la necesidad de loshombres de responder a preguntas de tipo aritmetico-algebraico y resolver problemas conformeiban surgiendo. La primer idea que se viene a la mente sobre el origen de estos problemas es lareparticion de un terreno entre varias personas. Un problema mas formal serıa el de encontrarun numero tal que al ser multiplicado por un numero entero (digamos, el numero 2) resulte elnumero 1. La respuesta a esta incognita se obtuvo gracias a la creacion de otro tipo de numerosque, en este capıtulo vamos a estudiar.

4.1 Definicion

Los numeros racionales son todos aquellos numeros que se pueden expresar como el cociente dedos numeros enteros. Denotaremos al conjunto de los numeros racionales por el sımbolo Q

Aquı es importante reconocer que es necesario conocer cada una de las palabras involucradasen la definicion para poder entenderlas. Cociente es el resultado que se obtiene al hacer unadivision. Entonces, los numeros enteros son aquellos que se pueden poner como una fraccion.

En notacion de conjuntos, la definicion se escribe como sigue1:

Q =

{x|x =

p

q; p, q ∈ Z, q 6= 0

}Al numero p lo llamaremos numerador y al numero q denominador2.

Si observa, encontrara una diferencia entre la definicion dada en palabras y la definicion que sedio en notacion de conjuntos. La diferencia es que en la segunda definicion no se permite aldenominador de la fraccion ser igual a cero. La justificacion de este hecho se da mas adelante.

1Aquı, el sımbolo “/” indica la operacion division. Entonces la division del numero a entre el numero b se denotara por “a/b”.2En una fraccion, el denominador, que viene siendo el numero q, en la segunda definicion, es el numero que indica en cuantas

partes se dividio un entero, mientras que el numerador, que corresponde al numero p en la definicion, indica cuantas de esas partesse deben tomar.

41 Los Numeros...

42 Numeros racionales

Algo importante que no se debe pasar sin mencionar es que los numeros enteros, por poderser expresados en forma de una fraccion, donde tanto el numerador como el denominador seannumeros enteros, quedan incluidos en los numeros racionales. Ası, el numero entero 1, porejemplo, puede expresarse como 1/1, el numero 2 como 4/2, etc.

Evidentemente el numero 1 tambien se puede expresar como

√2√2

. Sin embargo, esto no nos

es permitido por la definicion que hemos dado, puesto que como ya hemos mencionado anteri-ormente, el numero

√2 no es un numero entero (En otras palabras, no existe ningun numero

entero k tal que al multiplicarse por sı mismo, el resultado de esa multiplicacion sea igual a 2).

Notese tambien que, como en el caso de los numeros naturales con respecto a los numerosenteros, los numeros enteros, son todos numeros racionales, pero no todos los numeros racionalesresultan ser numeros enteros. Por ejemplo, el numero 1/5, no es un numero entero. En notacionde conjuntos esto se puede escribir como sigue:

N ⊂ Z ⊂ Q

lo cual, de acuerdo con la propiedad transitiva (vease el artıculo Relaciones de Equivalencia delcapıtulo 1), indica que todos los numeros naturales son tambien racionales. Esto es evidentedel hecho de que todos los numeros naturales pertenecen (es decir, son elementos) del conjuntode los numeros enteros.

Con operaciones de conjuntos diremos:

Si x ∈ N, entonces, necesariamente x ∈ Z, pero, como toda x ∈ Z, necesariamente debe estaren Q , entonces, toda x ∈ N, necesariamente estara en Q.

Todo esto se especifica con el fin de que se tenga en cuenta el hecho de que los numeros, conformefueron surgiendo, cada vez, el conjunto con el que ya se contaba resultaba ser insuficiente pararesolver preguntas (o problemas), para lo cual fue necesario ampliar cada vez mas el conjuntocon el que se contaba. Ası, de los numeros naturales se paso a los numeros enteros, despues losnumeros enteros resultaron insuficientes para un nuevo problema, con lo que surgio la necesidadde crear un nuevo conjunto de numeros de tal forma que los enteros estuviera incluido en estenuevo conjunto, que precisamente es el de los numeros racionales (Q). Mas adelante veremosque este conjunto resulta insuficiente para expresar ciertas cantidades, i.e., existen otros tiposde numeros.

4.2 Operaciones con numeros racionales vistos desde la geometrıa

Aquı trataremos de estudiar las operaciones de suma y multiplicacion de numeros racionales(fracciones).

Para que el desarrollo parezca mas natural, trabajaremos de la manera como se puede imaginarque surgieron las operaciones con estos numeros.

Los Numeros... 42

4.2 Operaciones con fracciones 43

Imaginemos un rectangulo. Este puede ser dividido en dos, tres, etc., partes iguales. Si dividimosel rectangulo en dos partes iguales tendremos dos mitades. Entonces dos medios deben ser iguala un entero. Igualmente, si el rectangulo se dividio entres partes iguales, cada una de ellas sellama tercio y, como en el primer caso, tres tercios forman un entero, y ası sucesivamente.

Supongamos que dividimos un rectangulo en 15 partes iguales (cada una se llama quinceavo), yque tomamos tres de esas partes. Entonces habremos tomado tres quinceavos. Representaremosel numero tres quinceavos de la siguiente manera:

3

15

Evidentemente, tres quinceavos es igual a multiplicar un quinceavo por tres, puesto que tresquinceavos es tres veces mas grande que un quinceavo. Pero ya habıamos mencionado que elnumero tres puede ser representado como 3/1. Entonces, podemos definir la multiplicacion delnumero 3 por un quinceavo de la siguiente manera3:

1

15· 3

1=

3

15

donde se multiplico el numerador de la primera fraccion por el numerador de la segunda fracciony ese resultado funciono como numerador del producto de las fracciones. Por su parte el de-nominador se obtuvo como el resultado de multiplicar los denominadores de las fracciones.

Ahora veamos otro caso. Supongamos que tenemos la mitad del rectangulo que estamos con-siderando y que queremos obtener su mitad. Esto es igual a multiplicar el numero (1/2) por sımismo. Evidentemente tomar la mitad de la mitad del rectangulo es igual a obtener una cuartaparte del rectangulo original.

1

4

1

4

1

2

Si expresamos la operacion como en el primer caso veremos que el metodo usado aquı tambienfunciona.

1

2· 1

2=

1

4

Antes de ver el metodo de hacer sumas pasaremos al siguiente artıculo.3Aquı, el punto indica multiplicacion.

43 Los Numeros...


4.3 Fracciones equivalentes y reduccion de fracciones a su mınimaexpresion

Entonces, ya que conocemos lo que es un numero racional, ahora podemos definir lo que es unafraccion equivalente. Vamos a llamar, por conveniencia (didactica) a los numeros racionalescomo fracciones. Nuestra tarea ahora consistira en encontrar un metodo para encontrar unnumero en varias presentaciones distintas.

De antemano sabemos que cuando multiplicamos un numero cualquiera a por el numero 1, elresultado siempre es igual al numero a. Tambien hemos mencionado que el numero 1 puedeexpresarse como fraccion de la siguiente forma:

1 =k

k

donde k es un numero entero distinto de cero (por la definicion de numero racional). Aquıestamos diciendo otra vez que el numero entero 1 es tambien un numero racional. De hecho, deacuerdo a la definicion de divisibilidad, para cualquier numero natural k, k = (1)(k).

Entonces, si vamos a expresar una fraccion, r =p

q, en otra de sus formas, simplemente multipli-

camos esa fraccion por el numero 1, ası nos aseguramos que no estamos cambiando “el tamano”que el numero representa (es decir, las dos formas del numero son equivalentes). Entonces, el

numero r =p

qes equivalente al numero r =

p k

q k, y esto es evidente, puesto que si observamos

bien, podemos separar esta ultima expresion de la siguiente forma:

r =p

q· kk

=p

q· 1 =

p

q= r

viendo que las fracciones son dos formas distintas de escribir el mismo numero.

Esto puede verse desde otra perspectiva. Dado que ya conocemos a los numeros racionales, ahorapodremos multiplicar por un numero racional a un numero entero. Ahora si este numero enteroque estamos multiplicando por un numero racional es el numerador de una fraccion, y no quieroque esa fraccion “cambie de tamano”, tendre necesariamente que multiplicar al denominador porel mismo numero racional. Esto puede verse como una division comun cuando el numerador delnumero racional que multiplica al numerador como al denominador de mi fraccion es el numero1.

Entonces, podemos decir que para encontrar fracciones equivalentes con sus terminos (numer-ador y denominador) cada vez mas pequenos podemos simplemente dividir tanto el numeradory el denominador por el mismo numero, de tal forma que todavıa nos sigan resultando ambosterminos numeros enteros.

Esto es util en la realizacion de operaciones con fracciones, como se indica en el siguiente artıculo.

Los Numeros... 44

4.4 Suma de fracciones 45

4.4 Suma de numeros racionales

Ahora sı, podemos averiguar la forma de hacer sumas con las fracciones. Consideremos las sumade los dos numeros 1/3 y 1/4 (dos fracciones). Lo primero que sugiere la discusion anterior esconvertir estos dos numeros en fracciones que tengan el mismo denominador. Eso se consigue demanera muy sencilla: multiplicamos la primer fraccion por el numero 1 de la forma 4/4, mientrasque la segunda fraccion se puede multiplicar por el numero 1 de la forma 3/3. Enseguida seindican los calculos:

1

3· 4

4=

(1)(4)

(3)(4)=

4

12

mientras que la segunda fraccion sera:

1

4· 3

3=

(1)(3)

(3)(3)=

3

12

Ahora sumar las fracciones parece mas sencillo, puesto que estamos sumando fracciones quetienen el mismo denominador, es decir, son fracciones que se partieron en partes del mismotamano.

Entonces, volviendo a la suma, tendremos:

1

3+

1

4=

3

12+

4

12=

7

12

De manera semejante se puede proceder con cualquier fraccion para realizar sumas. Para haceruna resta se procede de la misma manera, pero en lugar de hacer la suma, hacemos la resta delas fracciones.

4.5 ¿Por que no podemos dividir por cero?

Este tema me parece bastante instructor. La mayorıa de los estudiantes de bachillerato no sabenque responder cuando se les hace la pregunta “¿Cuanto es diez entre cero?”. Las respuestasmas comunes varıan, algunos dicen cero, otros dicen diez, otros pocos mejor guardan silencio ytodavıa menos reconocen que definitivamente no lo saben.

Aquı se presenta una justificacion a este hecho.

Para poder entender porque no podemos dividir por cero empecemos por recordar la forma en laque hacemos comunmente la division. Tomemos por ejemplo el caso de la pregunta: “¿Cuantoes diez entre cinco?”

10

5=

45 Los Numeros...


Para poder responder a esta pregunta, necesitamos encontrar un numero tal que al ser multipli-cado por el numero 5 nos resulte el numero diez. El unico numero que satisface esa condiciones el numero 2.

Ahora consideremos la pregunta que nos preocupa, “¿cuanto es diez entre cero?”.

10

0=

Para responder a esta pregunta necesitamos encontrar un numero que multiplicado por cero nosresulta el numero diez. Pero todos sabemos que cuando multiplico un numero (cualquiera queeste sea) por cero, el resultado de esa multiplicacion siempre es igual a cero!!! Entonces, nuncavamos a encontrar un numero que satisfaga la condicion impuesta por la pregunta que hemoshecho. En otras palabras, no podemos dividir diez entre cero.

Ahora consideremos otro caso. Todos sabemos tambien que cuando divido a un numero por sımismo, el resultado es igual a 1. Ahora surge la pregunta: “¿Es esto valido tambien para elcero?” Para descubrir la veracidad o falsedad de esto hagamos el mismo estudio que acabamosde hacer en el caso anterior.

0

0=

La nueva pregunta es: “¿por que numero debo multiplicar al numero cero para obtener cero?”.La respuesta a esta pregunta ya la hemos dado. Cualquier numero multiplicado por cero dacomo resultado cero. Entonces, aquı no solamente tenemos una solucion, sino un numero infinitode soluciones. Es importante hacer notar que no es que la solucion sea infinito. Recuerdese lapropiedad de cerradura de los numeros. Cuando realizo una operacion con dos numeros (en estecaso, division), el resultado de esa operacion es otro numero. Infinito no es un numero, sino unaexpresion que indica que hay algo que no tiene fin. Cuando dividimos cero entre cero resulta quehay una infinidad de numeros distintos que satisfacen la pregunta inicial, y en general, cuandodividimos un numero por otro (distinto de cero, obviamente) el resultado es unico.

Por esto que se acaba de explicar, decimos que la division por cero no esta definida.

4.6 Orden de los numeros racionales

Decir que los numeros racionales son ordenados es equivalente a decir que para dos numerosracionales dados a y b, se cumple solamente una de las siguientes tres condiciones:

i. a > b

ii. a = b

iii. a < b

Los Numeros... 46

4.6 Orden de los racionales 47

Si nos vamos a la recta numerica, podemos enunciar estas mismas condiciones en terminos depuntos sobre la recta numerica. Si tomamos dos puntos sobre la recta puede ocurrir una de lassiguientes tres cosas:

i. El primer punto esta a la derecha del segundo punto.

ii. El primer punto y el segundo estan en el mismo sitio, es decir son el mismo punto, y

iii. El primer punto esta a la izquierda del segundo punto. Traduciendo esto al lenguaje alge-braico (es decir, en sımbolos matematicos), el resultado que obtendremos son exactamentelas tres condiciones que indican el orden de los numeros racionales.

La primer condicion indica: el punto (numero) a esta a la derecha del punto (numero) b (a > b).La segunda condicion nos dice: el punto a es el mismo que el punto b(a = b). La terceracondicion por su parte nos dice que el punto a esta a la izquierda del punto b(a < b).

Aquı se muestra la primera condicion. (a > b)

x0 b a

La segunda condicion es: (a = b)

x0 b

a

La tercera condicion queda como sigue: (a < b)

x0 a b

Cuando tenemos una desigualdad entre dos numeros, por ejemplo, a > b, y esta desigualdad semultiplica por algun numero negativo, el sentido de la desigualdad se cambia, esto es, resultaa k < b k, k < 0.

Esto se hace evidente cuando consideramos la multiplicacion de los numeros a y b por el numero−1 y representamos esos numeros (a, b,−a y − b) en la recta numerica.

x−b −a 0 a b

47 Los Numeros...


4.7 Numeros decimales

Desde el capıtulo dos correspondiente a los numeros enteros, particularmente cuando se estudiola divisibilidad entre numeros vimos que no siempre es posible dividir un numero dado entreotro y obtener siempre un numero entero.

Si realizamos la division de un numero por otro (distinto de cero, claro esta), en general obten-dremos un cociente (resultado de esa division), y este no sera siempre un numero entero, sinoque (algunas veces) tendra una parte decimal (el cociente se obtiene por medio del algoritmode la division que aprendimos en la primaria). Entonces surge la necesidad de estudiar estosnumeros para poder aplicarlos a la solucion de problemas puesto que su aparicion es bastantecomun en la vida diaria.

4.8 Operaciones con numeros decimales

Ahora consideraremos el caso de las operaciones que se han estudiado con los anteriores numeros,pero ahora tendremos oportunidad de ver otras operaciones que, por la naturaleza de los numerosdecimales, es posible definir en ellos.

La suma de dos numeros enteros (es decir, sus decimales son solamente ceros) se realiza de laforma “ordinaria”. Para que la suma siga siendo parecida cuando los numeros a sumar (lossumandos) tienen como parte decimal distinta de cero, ordenaremos los dos numeros como serealiza en los numeros enteros, es decir, se van tomando las unidades y se suman, luego lasdecenas y ası sucesivamente. Entonces, para el caso de los numeros decimales usaremos ademaslas partes decimales ordenadas para realizar la suma. En otras palabras, ordenaremos las partesdecimales y se llevara a cabo la suma: decimos con decimos, centesimos con centesimos, etc.Aquı se muestra un ejemplo: para sumar los numeros 123.89 y 13.57 los ordenamos como sigue:

123.89+ 13.57

137.46

El producto se realiza de forma similar. Ahora entraremos a una operacion que nos dara unaidea de la abreviacion en matematicas con respecto a los numeros. Nos estamos refiriendo alredondeo de los numeros decimales.

Aquı se hace mencion al redondeo como una abreviacion porque en realidad eso es: cuandonosotros no queremos saber exactamente el valor de un numero, simplemente lo aproximamosal decimo, centesimo, etc., mas cercano para darnos una idea de que tan grande es. Por ejemplo,si queremos redondear el numero que estudiamos en la geometrıa 3.141592654... al diezmilesimomas cercano, podemos escribirlo como 3.1416. De hecho, en la primaria generalmente lo apren-demos en esta ultima forma.

Lo que nos dice el redondeo es que el numero π esta mas cerca de 3.1416 que del numero 3.1415.Sin embargo, ocurre un problema: cuando el numero es, por ejemplo el numero 7.5 esta a la

Los Numeros... 48

4.9 Periodicidad 49

misma distancia (en la recta numerica) del numero 6 que del numero 7. Por convencion seredondea en estos casos al siguiente proximo. En este caso se redondea a 7.

Otra historia es la truncacion. En esta operacion lo que se hace es ignorar los decimales apartir de un dıgito establecido. Por ejemplo, si queremos truncar el numero π hasta milesimosobtendremos: 3.141. A la truncacion no le interesa para nada si el siguiente dıgito hace que elnumero π se encuentra mas cerca del numero 0 o del numero 2. Simplemente le importan losprimeros tres dıgitos despues del punto decimal.

Esto en algunos casos representa una desventaja: si queremos hacer aproximaciones, la trun-cacion arrojara en general un error mas grande que el que generarıa la operacion redondeo. Aquıla decision (de usar truncamiento o redondeo) depende del uso que vayamos a dar a nuestroresultado y, por tanto, decir “que tanto es tantito” resulta bastante vago por ahora.

4.9 Periodicidad

Hasta aquı hemos tenido oportunidad de trabajar con numeros racionales (es decir, fraccionesdonde tanto el numerador como el denominador son numeros enteros) y por otra parte trabajarcon numeros decimales. Ahora veremos que entre ellos existe una relacion bastante interesante.

Considere el siguiente experimento: se tienen 51 ratones en la casa de Dona Marıa y se sabeademas que en la casa hay solamente 50 huecos donde los ratones se meten. Un feliz dıa, DonaMarıa se da cuenta que todos los ratones estan en algun hueco. ¿Que se puede concluir de esto?Claro esta: en al menos un hueco hay dos ratoncitos.

Bueno, ahora vamos a estudiar la division: Supongamos que vamos a dividir algun numero aentre 7. ¿cuales son los posibles residuos que podemos obtener de la division? La respuestaa esta pregunta es: los posibles residuos que podemos obtener de la division de algun numeroarbitrario a por 7 son 0 (caso de la division exacta), 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Aquı ya no es posibleobtener 7 como residuo, porque si este fuera el caso ,entonces el cociente se deberıa aumentaren 1 (o como dicen los ninos en la primaria, cabe una vez mas el numero 7 en el numero a) yel residuo que obtendrıamos deberıa ser entonces cero.

Ahora, si vamos a expresar un numero racional (fraccion) como numero decimal, suponiendo queexistan decimales distintos de cero, cuando realicemos la division, iran apareciendo los residuos.Ahora, estos residuos no pueden ser sino los que hemos mencionado (para el caso del 7, tenemosque los residuos son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6). Entonces en algun punto de la division el residuo serepetira y con esto el cociente tambien lo hara el dıgito del cociente que le corresponde(estamossuponiendo que ya estamos en la parte decimal del denominador)

Por ejemplo, si realizamos la division 1/7 obtenemos:

49 Los Numeros...


0.142857142857 · · ·7 1.000000000000 · · ·

3020

6040

5010

3020

4050

1...

es decir,1

7= 0.142857142857142857 · · ·

Vemos que la cadena de numeros 142857 se repite una y otra vez. Diremos que el numero 1/7tiene una expresion decimal periodica infinita porque se va repitiendo la cadena de numeros142857 una y otra vez. A esta cadena de numeros que se va repitiendo lo llamaremos periodo.La longitud del periodo es el numero de dıgitos que la cadena contiene. Este caso la longituddel periodo es de 6 dıgitos. Aquı es conveniente notar que la longitud del periodo puede ser 1,2, 3, 4, 5 o 6, pero nunca sera igual a 7, puesto que si aparece el cero como residuo, la divisiondeberıa detenerse entonces.

Por ejemplo consideremos el siguiente caso:

1

2= 0.5

Aquı, si realizamos la division, veremos que como nos resulto cero en el residuo no fue necesarioseguir realizando la division. Entonces, el numero 1/2 no tiene expresion decimal infinita, sinofinita.

Ahora, se ve inmediatamente que 1/2 no tiene periodo (o si se quiere ver desde otra perspectiva,su periodo tiene una longitud igual a uno y la cadena consta de un dıgito solamente: el cero,en cuyo caso serıa un numero con expresion decimal infinita). Entonces, es natural hacer lasiguiente pregunta: ¿como podemos saber si un numero tiene expresion decimal finita (como elcaso de 1/2) o si tiene expresion final infinita (como el caso de 1/7)?

La respuesta a esta pregunta se da en el siguiente artıculo.

Los Numeros... 50

4.10 Periodos finitos e infinitos 51

4.10 Numeros decimales periodicos finitos e infinitos

Ahora consideraremos el problema de determinar cuales de todos los numeros racionales tienenexpresion decimal finita y cuales tienen expresion decimal infinita.

Primero mencionaremos la respuesta a esta pregunta, y finalmente justificaremos este hecho.

La respuesta es como sigue: los numeros racionales tienen expresion decimal finita, si y solamentesi, su expresion como numero racional en su expresion mınima (es decir, si se ha simplificadola fraccion al maximo posible) tiene en el denominador una descomposicion en factores primoscon potencias del 2 y del 5 solamente.

Para justificar este hecho simplemente debemos notar que, en caso de que esto sea cierto,entonces podemos escribir el numero racional r de la siguiente forma4:

r =p

q=

p

2m · 5n

Ahora, suponiendo que m > n, podemos multiplicar la ultima fraccion por el numero 5m−n, loque nos dara:

r =p

2m · 5n=

5m−n · p2m · 5m−n · 5n

=5m−n · p2m · 5m

=5m−n · p

10m

Ahora, es bastante evidente que cuando dividimos un numero por diez, el resultado es el mismonumero inicial, pero con el punto decimal corrido hacia la izquierda m posiciones, indicandoque el numero racional tiene una expresion decimal periodica finita.

Por ejemplo, consideremos el numero r =1

4

En este caso, r =1

4=

1

22=

1 · 52

22 · 52=

52

102=

25

100= 0.25

¿Podremos justificar que en cualquier otro caso el numero racional tendra expresion decimalinfinita?

Para ver que esto es ası, simplemente debemos considerar lo mencionado en el artıculo de laperiodicidad. Vemos que en cualquier otro caso, la division por un numero distinto de diezimplica la repeticion de la cadena de numeros a la cual hemos llamado periodo.

Ahora podemos preguntarnos, dado un numero decimal periodico, ¿es siempre posible expresarloen forma de un numero racional?

4Aquı se hace uso de las leyes de los exponentes que se estudian en el capıtulo 5.

51 Los Numeros...


4.11 Conversion de numero decimal periodico a fraccion

Para poder responder la pregunta apenas hecha, podemos considerar un par de ejemplos:

r = 0.13131313 · · ·

multiplicamos este numero r por 100.

100 r = 13.13131313 · · ·

Es claro que si restamos al numero 100 r el numero r obtenemos como resultado el numero 99 r,entonces,

99 r = 13.00000000 · · ·

Ahora simplemente dividimos por 99 ambos lados de la igualdad, resultando:

r =13

99

Aquı, el “truco” consistio en multiplicar por un numero que tuviera dos ceros (el cien), porquede esta forma podemos hacer ceros las partes decimales de los numeros al hacer la resta.

Continuamos con un segundo ejemplo:

r = 0.33333333 · · ·

Multiplicando por 10 la ultima expresion obtenemos:

10 r = 3.33333333 · · ·

Restando la primera expresion de la segunda obtenemos:

9 r = 3.00000000 · · ·

o, de forma equivalente, al dividir por 9 ambos lados de la igualdad obtenemos:

r =3

9=

1

3

Los Numeros... 52

4.12 10/11 y 11/12 53

4.12 ¿Que Numero es Mayor,10

11u

11

12?

Aquı se tienen muchas formas de resolver este problema. Usaremos el metodo de las preguntasguıa:

1. ¿Cuantos onceavos tiene un entero?

2. ¿Cuantos doceavos tiene un entero?

3. ¿Que es mas grande un onceavo o un doceavo?

4. ¿Cuantos onceavos le faltan a diez onceavos para llegar a un entero?

5. ¿Cuantos doceavos le faltan a once doceavos para llegar a un entero?

6. ¿Que numero es mayor, diez onceavos u once doceavos?

Espero que puedas encontrar la respuesta correcta.

Otra forma de atacar este problema es convertir ambos numeros racionales a otros numerosracionales equivalentes con denominador comun. Para esto, multiplicamos por doce doceavos(es decir, por uno) al numero diez onceavos y, por otra parte, multiplicamos por once onceavosal numero once doceavos.

10

11· 12

12=

120

132

11

12· 11

11=

121

132

Aquı ya es bastante evidente:121

132es mayor que

120

132, lo que nos indica que

11

12>

10

11.

53 Los Numeros...


Los Numeros... 54

CincoNumeros irracionales

5.1 Definicion y ejemplos

Ya se ha dado la definicion de los numeros racionales. De manera similar se da la definicion delos numeros irracionales.

Los numeros irracionales son todos aquellos numeros que no pueden expresarse como el cocientede dos numeros enteros. Los numeros irracionales se denotan con el sımbolo Q′

En notacion de conjuntos esto lo escribiremos de la siguiente manera:

Q′ ={x|x 6= p

q; p, q ∈ Z, q 6= 0

}

y se lee: el conjunto de los numeros irracionales esta formado por todos aquellos numeros queNO puedan ser expresados como el cociente de dos numeros enteros, y ademas, el denominadorde ese cociente debe ser distinto de cero.

Ejemplos clasicos de este tipo de numeros son,√

2 y el numero π. Eso significa que√

2 nopuede escribirse como una fraccion (siendo el numerador y el denominador numeros enteros yel denominador distinto de cero). Enseguida veremos el porque.

5.2 Dilema de Pitagoras

Este problema es bastante interesante y se da credito a la escuela pitagorica el hecho de haberprobado que la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 no se puede expresar por unnumero racional (es decir, como cociente de dos numeros enteros), dando origen a los numerosirracionales.

55 Los Numeros...

56 Numeros irracionales

Se tenıa la idea por esta escuela que todos los segmentos de recta podıan servir como unidadde medida, de tal forma que siempre era posible expresar cualquier otro segmento como unmultiplo, o submultiplo del primero. Sin embargo, cuando se dieron cuenta de que la diagonaldel cuadrado no puede expresarse como un multiplo o un submultiplo de la longitud de uno delos lados del mismo, encontraron nuevos segmentos, a los cuales les llamaron inconmensurables,a los que hoy llamamos los numeros irracionales.

Consideremos un cuadrado de lado 1. Dibujemos una de sus diagonales.

x

1

1

Por el teorema de Pitagoras se sigue que 12 + 12 = x2, donde x representa la longitud de ladiagonal. Si resolvemos esta ecuacion obtendremos que x es un numero tal que al elevarlo alcuadrado nos resulte el numero 2. Esto es, x =

√2.


2

Ahora pasaremos demostrar que el numero√

2 no es un numero racional.

Antes que nada supongamos que el numero√

2 sı es un numero racional, es decir, que sı se puedeexpresar como cociente de dos numeros enteros (con denominador distinto de cero, claro esta).Tambien podemos suponer que a este numero ya lo hemos simplificado hasta donde es posible.Esto significa que el numerador y el denominador no tienen factores comunes. Entonces, deacuerdo con estas suposiciones podemos escribir:

√2 =

p

q; p, q ∈ Z, q 6= 0

Multiplicando ambos lados de la igualdad anterior por el numero q obtenemos la siguiente:

q√

2 = p

Ahora elevamos ambos lados de la desigualdad al cuadrado

2 q2 = p2 (5.1)

Los Numeros... 56


3 57

Detengamonos un momento a meditar lo que esta igualdad nos dice: “el numero p2 es unnumero par”. Ahora, si el numero p2 es par, entonces p mismo debe ser par tambien, porquede otra forma al elevarlo al cuadrado no obtendrıamos un numero par. Para ver que esto es ası,simplemente basta considerar la descomposicion en factores primos del numero p. Pues si en ellano aparece ninguna vez el numero 2, entonces sera imposible que aparezca en la descomposicionen factores primos del numero p2. Mientras que, si p contiene al numero 2 en su descomposicionen factores primos, entonces, necesariamente aparecera en el numero p2, esto se debe a queelevar al cuadrado significa multiplicar el numero p por sı mismo dos veces. Esto indica queel numero p2 se divide por 2 el doble de veces que se divide por 2 el numero p. Se deja comoejercicio demostrar que si p es de la forma p = 2 k+ 1 (es decir, un numero impar), entonces p2

debe ser impar tambien, y que si p es par, igualmente sera p2.

Entonces, si p es un numero par, podemos expresarlo como p = 2m. De donde podemos verque p2 = 4m2. Sustituyendo este resultado en 5.1 obtenemos:

2 q2 = 4m2

Dividiendo ambos lados de la igualdad por 2, obtenemos finalmente:

q2 = 2m2

Ahora, detengamonos a meditar lo que esto implica. Habıamos dicho que el numero p debıa sernecesariamente un multiplo del numero 2. Ahora estamos viendo que la ultima igualdad nossugiere que el numero q2 (y por tanto q) debe ser tambien multiplo del numero 2. Pero de iniciohabıamos supuesto que los numeros p y q no tenıan factores comunes, por lo que hemos llegadoa una contradiccion: ambos numeros p y q tienen al numero 2 como factor (comun). Entonces,lo unico que nos queda por concluir es que el numero

√2 no puede ser expresado como cociente

de dos numeros enteros, lo que implica que este numero debe ser un numero irracional, pordefinicion.


3

Con exactamente el mismo procedimiento usado para demostrar que el numero√

2 es un numeroirracional, podemos ahora demostrar que el numero

√3 es tambien irracional.

Para ver que esto es ası, iniciemos con las mismas suposiciones: que el numero√

3 sı se puedeexpresar como cociente de dos numeros enteros. Tambien podemos suponer que el numeradorno tiene factores comunes con el denominador. Entonces, de acuerdo con estas suposicionespodemos escribir:

√3 =

p

q; p, q ∈ Z, q 6= 0

57 Los Numeros...


Ahora elevamos ambos lados de la igualdad al cuadrado:

3 q2 = p2 (5.2)

Detengamonos un momento a entender lo que esta igualdad nos dice: “el numero p2 es unnumero multiplo de tres”. Ahora, si el numero p2 es multiplo de tres, entonces p mismo debeser multiplo de tres tambien, porque de otra forma al elevarlo al cuadrado no obtendrıamos unnumero multiplo de tres. El mismo argumento usado en el caso anterior evidencia este hecho.Se deja como ejercicio argumentar este ultimo resultado de la misma manera que se argumentoen el caso anterior. Tambien se deja como ejercicio demostrar que si p es de la forma p = 3 k+1,o p = 3 k + 2, entonces p2 debe no es multiplo de tres tampoco, y que si p es multiplo de 3, esdecir, de la forma p = 3 k, entonces igualmente sera p2.

Entonces, si p es un multiplo de 3, podemos expresarlo como p = 3m. De donde podemos verque p2 = 9m2. Sustituyendo este resultado en 5.2 obtenemos:

3 q2 = 9m2

Dividiendo ambos lados de la igualdad por 3, obtenemos:

q2 = 3m2

Ahora, igual que en el caso anterior, estamos viendo que la ultima igualdad nos sugiere que elnumero q2 (y por tanto q) debe ser tambien multiplo del numero 3. Pero de inicio habıamossupuesto que los numeros p y q no tenıan factores comunes, por lo que hemos llegado a unacontradiccion: ambos numeros p y q tienen al numero 3 como factor comun. Entonces, lo unicoque nos queda por concluir es que el numero

√3 no puede ser expresado como cociente de dos

numeros enteros, lo que implica que este numero debe ser un numero irracional, al igual que elnumero

√2.


6

Aquı podemos suponer que el metodo para demostrar que el numero√

6 es un numero irracional,es exactamente igual (palabra a palabra, excepto en los casos de multiplo de 2 o 3, debe decirse,evidentemente multiplo de 6) que en los dos casos anteriores.

Lo que debemos mencionar es que en este caso, podemos elegir a 2 o 3 como el numero queusaremos en la demostracion, dado que podemos ver al numero 6 como multiplo bien del numero2, bien del numero 3.

Se dara la demostracion tomando al numero 6 como multiplo de 2. Se deja como ejerciciodemostrar el mismo resultado tomando al numero 6 como multiplo de 3.

Antes que nada supongamos que el numero√

6 sı es un numero racional, esto es, que sı se puedeexpresar como cociente de dos numeros enteros (con denominador distinto de cero, claro esta).

Los Numeros... 58


2 +√

3 59

Tambien podemos suponer que a este numero ya lo hemos simplificado hasta donde es posible.Esto significa que el numerador no tiene factores comunes con el denominador. Entonces, deacuerdo con estas suposiciones podemos escribir:

√6 =

p

q; p, q ∈ Z, q 6= 0

Multiplicando ambos lados de la igualdad por el numero q y elevar al cuadrado, obtenemos lasiguiente:

6 q2 = p2 (5.3)

Lo cual puede ser escrito como:

2 · 3 q2 = p2

Detengamonos un momento a meditar lo que esta igualdad nos dice: “el numero p2 es un numeropar”. Ya sabemos que si el numero p2 es par, entonces p mismo debe ser par. Entonces, si pes un numero par, podemos expresarlo como p = 2m. De donde podemos ver que p2 = 4m2.Sustituyendo este resultado en 5.3 obtenemos:

2 · 3 q2 = 4m2

Dividiendo ambos lados de la igualdad por 2, obtenemos finalmente:

3 q2 = 2m2

Ya habıamos dicho que el numero p debıa ser necesariamente un multiplo del numero 2. Ahoraestamos viendo que la ultima igualdad nos sugiere que el numero 3 q2 (y por tanto q) debeser numero par. Pero de inicio habıamos supuesto que los numeros p y q no tenıan factorescomunes, por lo que hemos llegado a una contradiccion: ambos numeros p y q tienen al numero2 como factor comun. Entonces, lo unico que nos queda por concluir es que el numero no puedeser expresado como cociente de dos numeros enteros, lo que implica que este numero

√6 debe

ser un numero irracional.


2 +√

3

Aquı aparece un nuevo numero. Tratemos de averiguar si el numero√

2+√

3 es o no un numeroracional. Supongamos primeramente que sı es, de tal forma que podamos escribir

√2 +√

3 = rdonde r es un numero racional. Elevando al cuadrado ambos lados de la ultima igualdadobtenemos:

r2 = 2 + 2√

6 + 3 = 5 + 2√

6

59 Los Numeros...


Pero, podemos restar 5 a ambos lados de la igualdad y despues dividir por 5, con lo queobtendremos:

r2 − 5

2=√

6

Ya no hace falta ir mas lejos. Puesto que ya sabemos que los numeros racionales son cerradosbajo la suma, la resta, la multiplicacion y la division, podemos entender que el lado izquierdode la ultima igualdad es un numero racional (dado que hemos supuesto que el numero r lo es,entonces, estamos sumado numeros racionales y el resultado debe serlo tambien). Pero acabamosde demostrar que el numero

√6 no es un numero racional. Entonces, la ultima igualdad no

puede ser cierta, por lo que tenemos una contradiccion. Esto indica que el numero√

2 +√

3 nopuede ser expresado como cociente de dos numeros enteros, lo que implica que este numero seairracional.

5.7 Aproximacion a numeros irracionales por medio de numerosracionales

Los estudiantes de las distintas carreras de ingenierıa pudieran quejarse diciendo: “Si en reali-dad, cuando hacemos mediciones de velocidades, corrientes, voltajes, etc., nunca encontramosun valor exacto, sino una mera aproximacion debida a los errores de los aparatos de medicionque usamos, entonces, ¿que caso tiene trabajar con numeros irracionales, si a final de cuentas,no queremos usar todos sus decimales?”

La justificacion a esta cuestion consiste en que algunas personas no estan conformes y quierenhacer que sus ideas sean completamente claras, de tal forma que no haya huecos en la teorıa quemanejan y de esta forma puedan resolver un mayor numero de problemas de manera exacta,aunque en la vida real nunca se puedan hacer mediciones exactas.

Ahora, para aproximar un valor irracional podemos empezar con un ejemplo bastante sencillo,digamos que queremos encontrar una aproximacion del valor

√2 expresada como un numero

racional (a pesar de que ya sabemos que este valor no es el exacto). Empezaremos haciendonotar que el valor correspondiente a

√2 debe ser mayor que 1 y menor a 2, debido a que si

a < b < c, entonces se cumple que a2 < b2 < c2, y de antemano sabemos que 1 < 2 < 4, luegose sigue que 1 <

√2 < 2.

Ok. Entonces, podemos suponer que (1 + a) es igual a√

2. Y si esto es cierto, podemos verque (1 + a)2 = 2, pero (1 + a)2 = 1 + 2 a+ a2. Ahora, sabemos que a debe ser menor que 1, deaquı se deduce que a2 debe ser menor que a. Tomando esto en consideracion, podemos ignorarel valor de a2 y encontrar el valor de a, el cual contiene un pequeno error, que podemos por elmomento despreciar.

Entonces, debemos tener: 1 + 2 a = 2, esto implica que a =1

2Ahora, podemos ver que (1 + a)

Los Numeros... 60

5.8 Nocion de lımite 61

es igual a3

2. Pero

(3

2

)2

=9

4= 2.25, entonces nuestra aproximacion es bastante pobre aun.

Podemos aproximarnos todavıa mas si suponemos ahora que3

2+ b =

√2. Al elevar ambos

lados de la igualdad al cuadrado obtenemos:9

4+ 3 b + b2 = 2. Ahora, igual que en el caso

anterior, podemos ignorar momentaneamente al termino cuadratico y resolver para b, y estare-mos seguros que la aproximacion sera aun mejor. Entonces, realizando las operaciones podemos

encontrar:9

4+ 3 b = 2, lo que implica b = − 1

12. Ahora la nueva aproximacion es:

3

2+ b =

3

2− 1

12=

18− 1

12=

17

12

Ahora, para ver que17

12es mejor aproximacion que

3

2del numero

√2, podemos calcular su

cuadrado, y este debe estar mas cerca que

(3

2

)2

=9

4= 2.25 de 2. Para esto podemos ver que(

17

12

)2

=289

144= 2.006844 aprox.

Hasta aquı llegaremos. El lector facilmente puede continuar con este proceso y calcular mejoresaproximaciones por este procedimiento. Sin embargo debe recordarse que este procedimientosolamente nos ayuda a aproximar el valor de

√2, nunca encontraremos el valor exacto... ¿Por

que? Pues por la definicion de numero irracional: no podemos expresar un numero irracionalcomo el cociente de dos numeros enteros, y ya se demostro que el numero

√2 es un numero

irracional.

Se deja como ejercicio encontrar aproximaciones de los numeros√

3,√

5,√

6,√

2 +√

3 por esteprocedimiento.

5.8 Nocion de lımite

En el artıculo anterior cada vez que encontrabamos el valor de la parte literal de la igualdadel resultado de sumar esa parte a la aproximacion anterior hacıa que el nuevo valor encontradoestuviera cada vez mas cerca del valor que se esta aproximando.

Aquı se trata de dar la nocion de lımite con varios ejemplos de la vida real.

Considere un hilo de un metro de largo. Primero definiremos una operacion sobre este objeto,”cortar”, la cual consiste en dividir el hilo en dos partes iguales, y una de esas partes separarlay quedarnos con la otra mitad. Empezamos: hacemos un ”corte”, cada uno de los nuevos hilosmedira medio metro. Dejamos uno de ellos en un lado y nos quedamos con el otro. Ahorahacemos otro ”corte”. Esta vez, cada uno de las partes mide 1/4 de metro. Otra vez dejamos

61 Los Numeros...


una de esas partes a un lado y con el nuevo hilo hacemos otro corte. Esta vez cada parte medira1/8 parte de metro. Hacemos a un lado una de esas partes y continuamos con el proceso.

Es evidente que mientras mas cortes hagamos al hilo la longitud del hilo que nos queda en lamano se acerca cada vez mas a cero. Por otra parte, la suma de las longitudes de los hilos quehemos hecho a un lado se debe estar acercando cada vez mas a uno.

Algebraicamente tendremos el siguiente esquema:

Numero de Longitud de Suma decortes cada hilo las longitudes

11

2

1

2

21

4

3

4

31

8

7

8

41

16

15

16...

......

n1

2n1− 1

2n

De aquı vemos que conforme el numero n crece, la longitud de cada hilo se acerca mucho a cero,mientras que la suma de las longitudes de los hilos que hemos dejado a un lado se acerca cadavez mas a 1.

Otro ejemplo lo tomamos del caso de la division por cero. Hacemos la pregunta: “¿que valor

adquiere el cocientex2 − 1

x− 1conforme el numero x se acerca mas al numero 1”.

No debemos apresurarnos a dar una respuesta. Aquı alguien podrıa aventurarse a sugerir: “el

cociente se acerca mucho a 1, por el hecho de que si x = 1, entonces tendremosx2 − 1

x− 1=

12 − 1

1− 1y puesto que cuando dividimos un numero por sı mismo, el resultado siempre es 1, podemos verque en efecto, el resultado es 1”.

Pero, cuidado, debes recordar que no tiene sentido dividir por cero. Alguien mas pudiera sugerir:simplemente demos valores a x que se vayan acercando cada vez mas a 1 y veamos que sucede.

Ese es un buen inicio. Enseguida se muestra una tabla con los resultados1:

1Aquı el lector debe verificar que los resultados dados en verdad son los correctos.

Los Numeros... 62

5.8 Nocion de lımite 63

xx2 − 1

x− 11.1 2.1

1.01 2.011.001 2.0011.0001 2.0001

Sin embargo, debemos aceptar que este metodo es muy tardado y por tanto poco practico(ademas de aburrido), por lo que sugerimos una revision del algebra.

NOTA: Si no entiendes el siguiente material, no te preocupes, mas adelante lo revisaras en laparte de algebra. No en este libro, sino en cursos mas avanzados.

Si tenemos suerte, podremos recordar los productos notables. Entre ellos se enlista el siguiente:

(a+ b)(a− b) = a2 − b2

Ahora, solamente falta notar que el numerador del cociente es en sı una diferencia de cuadrados,al igual que el lado derecho de la igualdad de nuestro producto notable. Usando esto como unaherramienta podemos escribir el cociente de la siguiente manera:

x2 − 1

x− 1=

(x+ 1)(x− 1)

x− 1= x+ 1 x 6= 1

Ahora, supuesto que x sea distinto de 1, este resultado es correcto (porque no podemos dividirpor cero), luego, conforme x se aproxima a 1, el valor de x+ 1 se debe aproximar a 2.

Con un poco mas de suerte puede ocurrir que alguien conozca la siguiente formula2:.

1− rk+1

1− r=rk+1 − 1

r − 1= 1 + r + r2 + r3 + · · ·+ rk r 6= 1

En este caso estamos tratando con el caso k = 1 (porque k + 1 = 2). Sustituyendo este valor,obtenemos el mismo resultado que encontramos con el uso del producto notable (a+ b)(a− b) =a2 − b2.

Espero que hasta aquı tengas una nocion de lo que significa un lımite: si una sucesion determinos se acerca cada vez mas a un numero determinado conforme realizamos pasos en sudireccion, entonces podemos decir que tenemos un lımite. ¿Para que sirven los lımites? Bueno,actualmente cualquier ingeniero estudia el Calculo Infinitesimal, una rama de las matematicasque Sir. Isaac Newton desarrollo. Con esta herramienta poderosısima podemos hacer modelosque predicen con bastante exactitud fenomenos de diversas formas: desde la velocidad de unparacaidista tomando en cuenta la resistencia del aire, la trayectoria de partıculas cargadas

2Esta formula se deduce en el estudio de las progresiones geometricas. Mas adelante las encontraras, de nuevo, no en este texto.

63 Los Numeros...


en campos electromagneticos, el crecimiento de poblaciones, el comportamiento de circuitoselectricos, la oscilacion de resortes, etc. En realidad el uso del calculo es ilimitado. La unicalimitacion que tiene es la incapacidad del usuario de apreciar su amplitud y las ventajas querepresenta conocer sus tecnicas.

Los Numeros... 64

SeisNumeros complejos

Ya se menciono que los numeros reales estan formados por todos los numeros racionales y todoslos numeros irracionales. Sin embargo, si tratamos de encontrar un numero (real) tal que alelevarlo al cuadrado nos resulte un numero negativo, digamos, x2 = −1, jamas encontraremosalguno. Geronimo Cardano fue el primero que considero que la solucion a esta expresion estadada por objetos matematicos que ahora llamamos numeros complejos, que aquı se discutebrevemente.

6.1 Definicion

Un numero complejo es un numero que tiene la forma:

z = a+ i b

Donde a y b son numeros reales y, ademas, i tiene la siguiente propiedad:

i2 = −1

Hasta aquı pareciera que no tiene sentido asignar esta propiedad al numero i, sin embargo,esta es la unica forma posible en que se pueden solucionar todas las expresiones del tipo x2 =−k; (k > 0).

6.2 Operaciones basicas con numeros complejos

En este apartado mencionaremos solamente las operaciones de los numeros complejos en suforma rectangular, es decir, en la misma forma en que se han definido. Aquı se hace mencionde que los numeros complejos pueden expresarse de distintas formas, pero no se estudian aquı.

65 Los Numeros...

66 Numeros complejos

Antes de definir las operaciones, veamos un poco mas de cerca de estos objetos para poderconocerlos un poco mejor.

Es evidente que el conjunto de los numeros reales estan incluidos dentro del conjunto de losnumeros complejos. Puesto que si hacemos b = 0 en z = a + i b, entonces, la parte que estamultiplicada por el objeto i se hace cero, quedandonos solamente un numero real.

De aquı, diremos que la parte real de un numero complejo z = a + i b es el numero real a.Denotaremos lo anterior de la siguiente manera: Re(z) = a.

Para no dejar a la otra parte del numero complejo sin nombre diremos que la parte imaginariadel numero complejo z = a+ i b es el numero real b. Esto se escribira: Im(z) = b.

La suma de dos numeros complejos z1 = a1 + i b1 y z2 = a2 + i b2, se define como sigue:

z1 + z2 = (a1 + a2) + i (b1 + b2)

Entonces, la parte real de la suma de dos numeros complejos es igual a la suma de las partesreales de cada numero complejo, y la parte imaginaria de la suma de dos numeros complejos esigual a la suma de las partes imaginarias de los dos numeros complejos. Esto es:

Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2), y Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)

Definiremos el producto de dos numeros complejos de acuerdo a la ley distributiva, con el fin deque parezca algo natural1. Entonces, si z1 = a1 + i b1 y z2 = a2 + i b2 son dos numeros complejos,tendremos:

(z1)(z2) = (a1 + i b1)(a2 + i b2) =

= (a1)(a2) + (a1)(i b2) + (i b1)(a2) + (i b1)(i b2) =

= (a1)(a2) + (a1)(i b2) + (i b1)(a2) + i2 (b1)(b2)

Pero, tomando en cuenta que i2 = −1, tenemos:

= [(a1)(a2)− (b1)(b2)] + i [(a1)(b2) + (b1)(a2)]

De aquı, vemos que:

Re((z1)(z2)) = (a1)(a2)− (b1)(b2)

y que:

Im((z1)(z2)) = (a1)(b2) + (b1)(a2).

1En el sentido de que cumple con las propiedades de los numeros reales.

Los Numeros... 66

6.2 Operaciones basicas con numeros complejos 67

Ahora, de acuerdo a la multiplicacion, podemos definir el negativo de un numero complejo.Para esto, tomamos a uno de los factores igual a −1. Entonces, de acuerdo con la definicion denumero complejo, el numero −1 puede escribirse como:

z = a+ i b = −1 + i 0 = −1

y usando la regla de multiplicacion de los numeros complejos obtenemos:

(z1)(z2) = [(a1)(a2)− (b1)(b2)] + i [(a1)(b2) + (b1)(a2)]

−z2 = (−1)(z2) = (−1 + i 0)(a2 + i b2) =

= [(−1)(a2)− (b1)(0)] + i [(−1)(b2) + (0)(a2)]

= −a2 + (−b2) = −a2 − b2

En palabras, este resultado nos indica que el negativo de un numero complejo es igual a cambiarel signo de las partes real e imaginaria del numero complejo considerado.

La division de los numeros complejos no es tan facil de definir, de hecho, es necesario resolverun sistema de ecuaciones lineales2 para poder encontrar el cociente de dos numeros. Primerodefiniremos la division como se espera sea definida (para que este de acuerdo con lo expuestopara los numeros reales) y despues verificaremos que esta definicion es correcta.

Para esto consideremos los numeros complejos z1 = a1+i b1 y z2 = a2+i b2, entonces, definiremosel cociente de estos numeros complejos como sigue:

z1

z2

=a1 · a2 + b1 · b2

a22 + b2

2

− i b1 · a2 − a1 · b2

a22 + b2

2

Como ya mencionamos que no es posible dividir por cero, es evidente que z2 necesariamentedebe ser distinto de cero para que la division tenga sentido.

Nota: Aquı debemos tener cuidado porque no todas las propiedades que poseen los numerosreales se les pueden asignar a los numeros complejos, aunque lo mas obvio es que, por estarincluido el conjunto de los numeros reales en el conjunto de los numeros complejos, tambieneste ultimo posea esas propiedades.

Para muestra, dejamos como ejemplo el caso del orden. Para el caso de los numeros racionales,sabemos que estos son ordenados, en el sentido de que para dos numeros racionales dados a yb, se cumple solamente una de las siguientes tres condiciones:

i. a > b

ii. a = b2Esto lo puede resolver cualquier estudiante de tercer ano de secundaria.

67 Los Numeros...

68 Numeros complejos

iii. a < b

Esto no tiene sentido en los numeros complejos. Es claro3 que i 6= 0. Ahora, si suponemos quei > 0, entonces (i)(i) > 0. Pero (i)(i) = i2 = −1, y como todos sabemos, es falso que −1 > 0.

Por otro lado, supongamos que i < 0, entonces (−1)(i) > 0. Pero (−1)(i) = (−i), luego, debeser que −i > 0, o lo que es equivalente (−i)(−i) > 0. Sin embargo, podemos ver claramenteque (−i)(−i) = i2 = −1, y llegando a la misma conclusion que en el primer caso: es falso que−1 > 0. Esto indica que no podemos definir las desigualdades entre los numeros complejos.

6.3 Ejemplos de aplicacion

Encuentre las soluciones de la siguiente ecuacion: x2 + 12 = 0Solucion:Primero debemos notar que esta ecuacion puede escribirse ası: x2 = −12. Ahora debemosreconocer que no hay ningun numero real tal que al elevarlo al cuadrado nos resulte un numeronegativo (esto se debe a la cuarta ley de los signos, porque menos por menos es mas).

Entonces, nos damos cuenta de que las soluciones de esta ecuacion no son numeros reales, sinocomplejos.

Si x2 = −12, entonces, x =√−12 =

√(−1)(12) =

√−1√

12 = i√

12

Pero tambien debes notar que si x = −i√

12, entonces, este numero tambien sirve de solucionde la ecuacion4. De hecho, si sustituimos este ultimo valor de x en la ecuacion, obtenemos:

(−i√

12)2

+ 12 = (−i)2 (√12)2

+ 12 = (−1)(12) + 12 = −12 + 12 = 0

Aquı lo importante es la traduccion en palabras de la ecuacion que inicio este problema: “Penseun numero, lo eleve al cuadrado, al resultado le sume doce y finalmente obtuve cero”. Pues silo elevaste al cuadrado, tienes dos opciones de solucion: el numero que elevaste al cuadrado enrealidad, y la otra opcion es el mismo numero pero con signo cambiado, porque ambos daran elmismo resultado cuando lo eleves al cuadrado.

3Esto se debe a que i2 = −1, mientras 02 = 0. Tambien se tiene que recordar que cuando multiplicamos una desigualdad por unnumero negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

4Esto se debe a la cuarta ley de los signos.

Los Numeros... 68

SieteLeyes de los exponentes

En este apartado se hara la deduccion de las propiedades de los numeros cuando se multiplicanvarias veces, o bien se dividen varias veces por un mismo numero.

Aquı estamos en la frontera entre la aritmetica y el algebra. Con un poco de buena gana sepuede ensenar este tema a los ninos de primaria de quinto o sexto ano.

7.1 Definiciones basicas y notacion

Diremos que un numero p es una potencia siempre que resulte de multiplicar un numero por sımismo varias veces. Por ejemplo, si multiplicamos el numero a por sı mismo cuatro veces, esdecir (a)(a)(a)(a), entonces, el resultado de esa multiplicacion se llama potencia. El numero ase llama base y el numero de veces que se multiplico la base se conoce como exponente.

Para facilitar las cosas, ahorrar trabajo, tiempo y tinta se acostumbra escribir la multiplicacionde la siguiente manera:

a4 = p

Entonces, el numero a se llama base, el numero 4 es el exponente (indica cuantas veces vamosa multiplicar por sı misma a la base) y el resultado p es la potencia. Si tratamos de generalizarpodemos escribir:

an = p

donde hemos reemplazado al numero 4 por el numero n. Entonces, el numero n nos indicaracuantas veces debemos multiplicar al numero a por sı mismo. En otras palabras, el exponentenos indica cuantas veces debemos tomar como factor a la base.

69 Los Numeros...

70 Leyes de los exponentes

7.2 Enunciacion de las leyes

Es facil notar la siguiente propiedad:

(am)(an) = am+n

y esto es evidente del hecho de que la expresion am nos indica que debemos multiplicar al numeroa por sı mismo m veces, mientras que la expresion an nos indica que debemos multiplicar almismo numero n veces. Tambien vemos que los resultados se estan multiplicando, de dondededucimos que en total estamos multiplicando, primero m veces y luego n veces, es decir, entotal multiplicamos m+ n veces al numero a. Lo cual se denota como am+n.

Otra propiedad que es facil de deducir es la siguiente:

am

an= am−n

Para justificarla simplemente debemos notar que am nos indica que debemos multiplicar alnumero a por sı mismo m veces, mientras que la expresion an nos indica que debemos multiplicaral mismo numero n veces; pero en este caso, los resultados no se van a multiplicar, sino se dividirael primero por el segundo. Ahora, ya sabemos que si a 6= 0 nos es permitido dividir. Mas aun,como en el numerador aparece el mismo factor varias veces (no necesariamente igual) que en eldenominador, al ir haciendo la division varios de los que estan en el numerador “desapareceran”cuando hagamos las divisiones correspondientes.

Resulta claro que si m > n debemos tener m − n > 0, esto indica dos cosas: primero, que

la potencia que resulte deam

an= am−n tendra un exponente positivo. Segundo, la potencia

permanecera en el numerador, porque tenemos mayor cantidad de factores en el numerador queen el denominador.

Por otra parte si se tiene que m < n, entonces el exponente que tendra el cociente de laspotencias sera negativo. Otra forma de interpretar esto es dejar la potencia resultante en eldenominador con el exponente positivo. En terminos matematicos esto es:

1

ak= a−k

Ahora supongamos que m = n. Entonces, m− n = 0. Si consideramos que estamos dividiendoun numero multiplicado por sı mismo m veces y esta potencia dividida por sı misma, debemosentender que el resultado de esa division sera 1, supuesto que a 6= 0. En terminos matematicosesto se denota:

a0 = 1

Una tercera propiedad tambien facil de deducir es considerar ahora la siguiente expresion:

Los Numeros... 70

7.3 Problemas de aplicacion 71

(am)n = am·n

Es claro que el numero n nos indica que debemos multiplicar el numero que aparece entreparentesis por sı mismo n veces. Pero por la primera propiedad, que nos dice que cuandose estan multiplicando potencias con la misma base los exponentes se suman, el exponenteresultante debe ser el producto de m por n. Esto es:

(am)n = am · am · · · am︸︷︷︸n veces

= am·n

Todavıa podemos encontrar mas propiedades bastante utiles a la hora de hacer calculos o sim-plificar expresiones algebraicas. Por ejemplo, si consideramos el caso:(a

b

)mpodemos ver que el numero m nos indica que multipliquemos el numero que aparece entreparentesis m veces. El resultado de esta operacion tendra en el numerador al numero a mul-tiplicado por sı mismo m veces, por la misma razon que el denominador tendra al numero bmultiplicado por sı mismo m veces. Para ver que esto es ası simplemente debemos recordarcomo se realizan las multiplicaciones de los numeros racionales. Entonces, el resultado debeleerse como: (a

b

)m=a

b· ab· · · a

b︸︷︷︸m veces

=am

bm

De manera semejante podemos deducir el resultado de la siguiente operacion:

(a · b)m = (a · b) · (a · b) · · · (a · b)︸︷︷︸m veces

= am · bm

Se deja como ejercicio encontrar argumentos que te convenzan de que:

• (a · b · c)m = am · bm · cm

• am · an · ap = am+n+p

7.3 Problemas de aplicacion

Aquı se daran algunos ejemplos de aplicacion de todas esas formulas para que no se empiece aformar la idea de que las matematicas son una teorıa que se explica a sı misma en sı misma yque no tiene el mınimo uso practico.

71 Los Numeros...

72 Leyes de los exponentes

Supongamos que queremos calcular la siguiente multiplicacion: (25)(16). Sabemos de antemanoque 52 = 25 y que 42 = 16. Entonces, de acuerdo con la propiedad de los exponentes quedice (a · b)m = am · bm, podemos expresar la anterior multiplicacion de la siguiente manera:(25)(16) = (52)(42) = ((5)(4))2 = (20)2. Evidentemente es mucho mas facil realizar esta ultimamultiplicacion. (20)2 = 400, entonces, (25)(16) = 400.

Otro ejemplo podemos tomarlo del siguiente calculo.

81

27

Podemos expresar al 81 de la siguiente forma: 81 = 92, pero 9 = 32, luego podemos escribir:81 = (9)2 = ((3)2)

2. Por otra parte podemos expresar al numero 27 como 27 = (3)(9) = (3)(3)2,

la cual es igual a 27 = (3)3. Entonces, podemos escribir el cociente como sigue:

81

27=

34

33

el cual puede ser simplificado con la segunda propiedad de los exponentes:

81

27=

34

33= 34−3 = 31 = 3

Otro ejemplo podemos verlo en el siguiente caso:

125

100

el cual puede expresarse como sigue:

125

100=

53

102=

5 · 52

(2 · 5)2=

5 · 52

22 · 52=

5 ·��52

22 ·��52=

5

4= 1.25

Se recomienda que se verifique cuales propiedades se usaron en cada paso de la simplificacionde la fraccion.

Los Numeros... 72

OchoLogaritmos

Para motivar el estudio de los logaritmos estudiaremos el siguiente problema: ¿cuantas vecesdebemos multiplicar el numero 2 por sı mismo para obtener el numero 8 como resultado? Se-guramente se encuentra la solucion sin necesidad de meditar tanto. Evidentemente el resultadoes 3, es decir 23 = 8. De problemas de esta ındole surge la necesidad de definir el logaritmo delos numeros.

8.1 Definiciones basicas

El logaritmo del numero k en la base a es x si ax = k.

Compare esta definicion con el problema que se dio en la introduccion. Ahora podemos decirque el logaritmo del numero k en la base a es el exponente al cual debemos elevar la base (a)para obtener el numero k.

Podemos retomar el ejemplo que se dio en la introduccion de este capıtulo. Por la definicionque acabamos de dar podemos decir que 3 es el logaritmo del numero 8 en la base 2, puesto que23 = 8, es decir, el exponente al cual debemos elevar la base (en este caso el numero 2) paraobtener el numero 8 es 3.

En terminos matematicos esto se denota: log2(8) = 3

En el siguiente artıculo se exponen las propiedades mas basicas de los logaritmos.

8.2 Propiedades de los logaritmos

1. loga(u · v) = loga(u) + loga(v)Para verificar que esta propiedad se cumple podemos proceder como sigue: primero supong-amos que u = ar, y que v = as. De aquı se sigue que:

73 Los Numeros...

74 Logaritmos

loga(u) = r y loga(v) = s.

Ahora podemos considerar el numero u · v = ar · as = ar+s, lo cual indica:

loga(u · v) = r + s,

Pero ya habıamos dicho que loga(u) = r y loga(v) = s, por tanto:

loga(uv) = loga(u) + loga(v)

2. loga

(uv

)= loga(u)− loga(v)

De manera similar a la anterior, podemos verificar que esta propiedad es verdadera suponiendoque u = ar, y que v = as. Entonces,

loga(u) = r y loga(v) = s.

Ahora consideramos el numero:

u

v=ar

as= ar−s,

lo cual indica que:

loga

(uv

)= r − s

pero ya sabemos que loga(u) = r y tambien que loga(v) = s, por tanto:

loga

(uv

)= loga(u)− loga(v)

3. loga(uc) = c loga(u)

Aquı podemos definir u = ar, de donde se sigue que uc = (ar)c = ar·c = ac·r. Por otraparte sabemos que loga(u) = r de donde, sustituyendo obtenemos:

loga(uc) = loga (ac·r) = c loga(u)

Esta tercera propiedad de los logaritmos puede razonarse tambien de la siguiente manera: ob-serve bien la primera propiedad que hemos mencionado de los logaritmos:

loga(u · v) = loga(u) + loga(v)

Si tenemos buena vista y nuestro cerebro esta bien amueblado, podremos ver que si escribimosuna sola letra en lugar de dos, digamos, escribimos solamente la letra u, entonces tendremos:

loga(u · u) = loga(u2) = loga(u) + loga(u) = 2 loga(u)

Ahora consideremos el caso:

Los Numeros... 74

8.3 Problemas de aplicacion 75

loga(u3) = loga(u

2 · u) = loga(u2) + loga(u) = 3 loga(u)

Y en general,

loga(uc) = loga

(u · u · · ·u︸︷︷︸c veces

)= loga(u) + loga(u) + · · ·+ loga(u)︸︷︷︸

c veces

= c loga(u)

Quedando ası demostradas nuestras tres principales propiedades.

8.3 Problemas de aplicacion

Dona Juana tiene en su casa un tanque de agua. Cuando se vacıa la primera mitad del aguatarda 15 minutos. Del resto, toma otros 15 minutos que se vacıe la mitad de lo que queda. Delo que resta toma de nuevo otros 15 minutos vaciarse la mitad, y ası sucesivamente. ¿Cuantotardara en quedar solamente un sesenta y cuatroavo del tanque?

En este problema lo que requerimos encontrar el tiempo necesario para que queden en el tanqueun sesenta y cuatroavo de la capacidad. Ahora, podemos encontrar la formula que nos da lo queresta. Primero podemos notar que cada 15 minutos se vacıa la mitad de lo que resta. Entonces,para encontrar lo que resta simplemente multiplicamos el resto por un medio cada 15 minutos.Entonces,

R =

(1

2

)n

C

donde R es el resto de agua en el tanque, C es la capacidad del tanque y n es el numerode periodos de 15 minutos que han pasado desde que se empezo a vaciar el tanque. Ahora,nuestro problema requiere que encontremos n, para esto hacemos uso de las propiedades de loslogaritmos.

Recordamos algo basico de las igualdades: si realizo una operacion valida en ambos lados dela igualdad, esta no se pierde. Entonces, podemos obtener el logaritmo en base un medio deambos lados de la igualdad, de lo que se obtiene:

log1/2(R) = log1/2

[(1

2

)n

C

]o bien,

log1/2(R) = log1/2

[(1

2

)n]+ log1/2 (C)

log1/2(R) = n log1/2

(1

2

)+ log1/2 (C)

75 Los Numeros...

76 Logaritmos

pero, log1/2

(1

2

)= 1, por tanto, al sustituir este resultado en la igualdad anterior, obtenemos:

log1/2(R) = n+ log1/2 (C)

es decir,

n = log1/2 (R)− log1/2(C)

o bien,

n = log1/2

(R

C

)Ahora, nuestro problema se ha reducido a sustituir los valores que nos han dado. Es decir,

sustituir R =1

64y C = 1. Entonces obtenemos:

n = log1/2

(1

64

)= 6

es decir, se requieren 6 periodos de 15 minutos, que es igual a una hora y media (puesto que 6periodos de 15 minutos cada uno hacen un total de 90 minutos).

Los Numeros... 76

NueveSistemas de numeracion posicional

En este apartado se explicara la importancia del sistema de numeracion que usamos comunmenteque es un sistema decimal posicional.

Para empezar debe hacerse notar que un sistema de numeracion posicional tiene enormes ven-tajas sobre los sistemas de numeracion no posicionales. Para ver que esto es cierto bastaconsiderar el sistema de numeracion que usaban los romanos. Es bien sabido que este sistemade numeracion es decimal, sin embargo no es posicional, es decir, el valor de cada sımbolo usadopara formar numeros no depende de la posicion donde se encuentre. Ahora, si tratamos demultiplicar 45 por 12, en el sistema de numeracion decimal posicional, esto es una tarea que unnino de tercero de primaria realiza facilmente, sin embargo, en el sistema de numeracion griego,esta tarea se convierte en un problema difıcil aun para estudiantes universitarios. Desde luego,conforme empecemos a considerar numeros cada vez mas grandes, la dificultad crece tambien.

Resulta claro que nuestro sistema de numeracion decimal posicional tiene ciertas ventajas quenos han permitido avanzar en el conocimiento de todas las ciencias.

9.1 Sistema de numeracion en base 10

Cuando nosotros debemos escribir un numero, generalmente lo hacemos sin vacilar porque yasabemos exactamente que significa decir, por ejemplo 1674, y en general tenemos una idea ”deltamano del numero” que estamos considerando.

Cuando escribimos 1674, nosotros estamos queriendo decir 1000 + 600 + 70 + 4, que es elequivalente a decir que estamos sumando mil mas seis cientos mas siete decenas mas cuatrounidades.

Tambien es facil notar que este numero puede escribirse de la siguiente forma:

1674 = 1000 + 600 + 70 + 4 = (1)(103) + (6)(10)2 + (7)(10) + 4

77 Los Numeros...

78 Sistemas de numeracion posicional

Ahora, ya mencionamos que podemos cambiar la base del sistema de numeracion que usamos,es decir, el 10 podemos cambiarlo por el numero que deseemos. En este caso, podremos escribir:x3 +6x2 +7x+4. Aquı se hace evidente que el estudio de los polinomios es una generalizacion delos sistemas de numeracion posicionales. Puesto que se ha generalizado la base 10 del numero1674 a alguna arbitraria x.

Es un problema interesante preguntarse, si los seres humanos hubieramos tenido 8 dedos (4 encada mano), en lugar de diez (cinco en cada mano), muy probablemente, en lugar al de usar elnumero diez como base para nuestro sistema de numeracion, usarıamos al numero 8. En otraspalabras, el hecho de que usemos al numero diez como base de nuestro sistema de numeracion es(en opinion del autor) un accidente anatomico del que la naturaleza (Dios, la Suerte, el destinoo lo que el lector crea mas conveniente) nos doto.

En el siguiente artıculo se estudia el problema de convertir un numero de base diez a la base 8.

9.2 Sistema de numeracion en base 8

Para empezar con la conversion de un numero en base diez a la base 8 tomaremos un ejemplobastante sencillo.

Problema: Convertir el numero 1210 a la base 8.SolucionSi consideramos la forma usual para escribir los numeros en nuestro sistema de numeracion(decimal) podemos ver que si enumeramos los dıgitos que forman ese numero de izquierda aderecha, por ejemplo el numero 327, el numero 7 lo multiplicamos por 1 = 100, el numero 2 lomultiplicamos por 101 y al numero 3 lo multiplicamos por 102. Procediendo de igual manera,podemos imaginarnos que el numero 1210, para convertirlo a la base 8 debemos encontrar losdıgitos que debemos ir multiplicando de manera ordenada (de izquierda a derecha, como en elcaso de la base 10) por 80, 81, 82, etc., respectivamente.

Entonces, para empezar haremos una lista de las potencias del 8: 80 = 1, 81 = 8, 82 = 64, 83 =512, etc. Por lo pronto solamente habra necesidad de trabajar con estos. Entonces, buscamoslos dıgitos a, b y c, que debemos colocar en el nuevo numero de forma que a 82 + b 81 + c 80 =10 + 2 = 12.

Inmediatamente nos damos cuenta de que a debe ser cero, porque si a fuera 1, entonces de-berıamos sumar 64 al numero, lo cual es mayor a 12, el numero que queremos expresar en base 8.Por otra parte b debe ser igual a 1, porque ası ya tendremos 8 unidades, faltandonos solamente4 unidades, lo cual serıa igual a c. Es decir,

1210 = 148.

Puede observarse que 710 = 78 y que 810 = 108 (justificar porque esto es ası).

Esto nos indica que al expresar un numero en base 8 jamas podra aparecer el 8 mismo comoun coeficiente, de la misma forma que el diez no aparece como coeficiente de los numeros en

Los Numeros... 78

9.2 Sistema de numeracion en base 8 79

la base diez. Ası, podemos esperar que cuando expresemos un numero en alguna base dada,los coeficientes del numero siempre seran menor que el valor de la base, pero nunca mayor oigual al valor de este. Es decir, los numeros que escribamos en la base 8 tendran por posiblescoeficientes los numeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

Aquı resulta pertinente hacer una observacion: el numero 1210 sı puede leerse“doce base diez”(que es una abreviacion del numero doce expresado en la base diez), pero el numero 148 nopuede leerse como “catorce en la base ocho”. Esto se debe a que nosotros conocemos quecatorce unidades no son (y nunca seran igual a doce). Si nosotros tenemos, por ejemplo elnumero 16348, no podremos leerlo “mil seiscientos treinta y cuatro”. Esto es claro porque eltercer coeficiente (de izquierda a derecha) ya no esta multiplicado por el numero 100 = 102,puesto que la base en la que estamos trabajando no es la base diez, sino la base 8. Entonces,¿como vamos a leer tales numeros? El numero 16348 se leera “uno - seis - tres - cuatro enla base ocho”. Otra forma de leerlo (mas correcta, pero mucho mas larga) sera: “una octenade octenas de octenas, seis octenas de octenas, tres octenas y cuatro unidades”. Esta formade lectura de los numeros es el equivalente al que aprendimos en la primaria: 185610 es “unaunidad de millar, ocho centenas, 5 decenas y seis unidades”, o lo que es igual, “una decena dedecenas de decenas, ocho decenas de decenas, cinco decenas y seis unidades”.

79 Los Numeros...

Indice alfabetico

CerraduraImpares

Generalizacion, 12Pares

Generalizacion, 11

DesigualdadPropiedades, 47

DivisionPor cero, 46

DivisibilidadCriterio del 10, 15Criterio del 2, 13Criterio del 3, 13Criterio del 4, 13Criterio del 5, 14Criterio del 6, 14Criterio del 7, 14Criterio del 8, 14Criterio del 9, 14Criterio primo, 19Propiedades, 15

DivisorDefinicion, 10Ejemplos, 11Maximo comun, 20

Metodo, 20

Eratostenes, 17Criba, 17

Estructura

Relacion de equivalencia, 6

IgualdadPropiedades, 6, 7

LeyesSignos

Demostracion, cuarta ley, 30, 31Signos, cuarta, 28Signos, primera, 27Signos, segunda, 27Signos, tercera, 28

MultiploMınimo comun

Metodo, 21Multiplos

Definicion, 10Ejemplos, 10

NumeroCompuesto

Definicion, 16Decimal

Adicion, 48Conversion a racional, 52Redondeo, 48Truncado, 49

EnteroDefinicion, 23Propiedades, 24

Primo

Los Numeros... 80

INDICE ALFABETICO 81

Definicion, 16Descomposicion en factores, 18Descomposicion en factores, Aplicacion

de, 19Ejemplos, 17Lista infinita, 22

RacionalAdicion, 45Definicion, 41Equivalencias, 45Equivalente, 44Multiplicacion, 43Notacion, 43Orden, comparacion, 53Periodo, 50Representacion geometrica, 43Simplificacion, 44

NumerosNaturales, 5

PrincipioDe las casillas, 49

PropiedadCero, 24Cerradura, 9

Impares, 9Pares, 9

Conmutativa, 25Distributiva, 7

Aplicacion, 8Interpretacion geometrica, 8

InversoAditivo, 25

NeutroAditivo, 24Multiplicativo, 24

Simetrica, 26

TeoremaFundamental de la aritmetica, 19

Tricotomıa, 46Interpretacion geometrica, 47

Valor absolutoDefinicion, 27

81 Los Numeros...

los números y sus propiedades básicas · 7.2 enunciaci on de las leyes ... los numeros reales,...

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