los matemáticos de · 2020-06-11 · capítulo 39.a. 11723 para hacer todos juntos reglas del...
TRANSCRIPT
Losmatemáticos de
Claudia Broitman Horacio ItzcovichAndrea NovembreMónica Escobar Verónica Grimaldi Héctor Ponce Inés Sancha
Los matemáticos de 6.º es una obra colectiva, creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Mónica Pavicich, por el siguiente equipo:
Coordinación general: Claudia BroitmanCoordinación pedagógica: Claudia Broitman y Horacio ItzcovichAutores: Mónica Escobar, Verónica Grimaldi, Héctor Ponce e Inés SanchaLectura crítica: Andrea Novembre
Editora: Paula SmulevichJefa de edición: María Laura LatorreGerencia de gestión editorial: Patricia S. Granieri
Losmatemáticos de
SANTILLANA y los autores ceden los derechos de reproducción parcial
de la obra en el marco de la cuarentena por el Coronavirus.
Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2020, en Triñanes Gráfica S.A., Charlone 971, Avellaneda, Buenos Aires, República Argentina.
Los matemáticos de 6 / Mónica Escobar ... [et al.]. - 1a ed . 12a reimp. - CiudadAutónoma de Buenos Aires : Santillana, 2020. 160 p. ; 28 x 22 cm.
ISBN 978-950-46-4432-3
1. Matemática. 2. Educación Primaria. 3. Libro de Texto. I. Escobar, Mónica. CDD 372.7
Jefa de arte: Silvina Gretel Espil.
Diseño de maqueta: Adrián Shirao y Silvina Gretel Espil.
Diseño de tapa: Adrián Shirao.
Diagramación: Alejandro Pescatore.
Corrección: Juan Sosa.
Ilustración: Héctor Borlasca.
Documentación fotográfica: Leticia Gómez Castro, Cynthia Romina Maldonado y Nicolas Verdura.
Fotografía: Archivo Santillana.
Preimpresión: Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez.
Gerencia de producción: Gregorio Branca.
La presente publicación se ajusta a la cartografía oficial establecida por el Poder Ejecutivo Nacional de la República Argentina a través del IGN -Ley22.963- y fue aprobada por el expediente GG15 2105/5 del 12 de noviembre de 2015.
© 2015, EDICIONES SANTILLANA S.A.Av. Leandro N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.
ISBN: 978-950-46-4432-3 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: septiembre de 2015.Duodécima reimpresión: enero de 2020.
Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.
La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el siguiente equipo:
Leer, escribir y ordenar números I...............6Leer, escribir y ordenar números II .............7Problemas y cálculos I .....................................9Problemas y cálculos II ................................. 11Problemas para estudiar ................... 13
1capítulo
RepasaR quinto .............................. 5
Cálculos de multiplicaciones y divisiones ......54Problemas para combinar ................................55El funcionamiento de la división ......................57Factores que se repiten .....................................59Estimación ..............................................................61Orden de los cálculos ..........................................63Problemas para estudiar ....................65
5capítulo opeRaciones ii ............................. 53
Leer, escribir y ordenar números de diferentes tamaños I ............................... 16Leer, escribir y ordenar números de diferentes tamaños II .............................. 17El funcionamiento del sistema de numeración I ............................................. 19El funcionamiento del sistema de numeración II ............................................ 21Problemas para estudiar ................... 23
2capítulo
numeRación ................................. 15
Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones ...................................................... 26Problemas y cálculos I .................................. 27Relaciones entre la multiplicación y la división ..................................................... 29La multiplicación y sus propiedades ......... 31La división y sus propiedades ..................... 33Problemas y cálculos II ................................. 35Problemas para estudiar ....................37
3capítulo
opeRaciones i .............................. 25
Reproducir figuras ......................................... 40Relaciones entre circunferencias y triángulos ..................................................... 41Alturas de los triángulos .............................. 43Construir cuadriláteros I .............................. 45Construir cuadriláteros II ............................. 47Propiedades de los paralelogramos .......... 49Problemas para estudiar ....................51
4capítulo
FiguRas geométRicas ..................... 39
Fracciones y divisiones ................................. 68Fracciones y medida ..................................... 69Comparación y recta numérica .................. 71Operaciones con fracciones I ...................... 73Multiplicaciones entre fracciones ............... 75Cálculos con fracciones ................................ 77Operaciones con fracciones II ..................... 79Problemas para estudiar ....................81
6capítulo
FRacciones .................................. 67
7capítulo
DivisibiliDaD ................................ 83
¿Cuántas veces un número entra en otro? ................................................ 84Múltiplos y divisores I ................................... 85Múltiplos, divisores y cálculos ..................... 87Múltiplos y divisores II .................................. 89Saber si un número es divisible por otro ............................................................ 91Problemas para estudiar ....................93
Usar expresiones decimales ........................ 96Comparar y ordenar decimales .................. 97Fracciones y decimales en la recta numérica .......................................... 99Componer y descomponer decimales .....101Relacionar fracciones y decimales ...........103Expresar proporciones ...............................105Problemas para estudiar ..................107
8capítulo
FRacciones y Decimales i ................ 95
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
Índice
Uso de íconos
En varios capítulos encontrarán este dibujo , que indica que se sugiere usar la calculadora para resolver o para verificar.
En los capítulos de geometría encontrarán dibujos que indican qué instrumentos geométricos están habilitados para resolver cada problema.
Regla
Transportador
Compás
Escuadra
Regla no graduada
Además, en algunos problemas geométricos se incluye este dibujo , que indica que esa actividad puede resolverse también con la computadora usando el programa GeoGebra.
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
Proporcionalidad directa I..........................110Proporcionalidad directa II ........................111Proporcionalidad y porcentaje ..................113Representaciones gráficas .........................115¿Relaciones de proporcionalidad directa? ..........................................................117Proporcionalidad inversa ...........................119Problemas para estudiar ..................121
9capítulo
pRopoRcionaliDaD ....................... 109
Proporciones ......................................................138Sumas y restas con fracciones y decimales .........................................................139Cálculos con 10, 100 y 1.000 .......................141Cálculos con fracciones y decimales I .........143Cálculos con fracciones y decimales II ........145Problemas para estudiar ..................147
11capítulo
FRacciones y Decimales ii ............. 137
Múltiplos y submúltiplos del metro I .......124Múltiplos y submúltiplos del metro II ......125Múltiplos y submúltiplos del gramo ........127Múltiplos y submúltiplos del litro .............129Estimar medidas ..........................................131Más sobre medidas .....................................133Problemas para estudiar ..................135
10capítulo
longituD, capaciDaD y peso .......... 123Medir áreas .....................................................150Transformaciones de perímetros y áreas ..............................................................151Medir y estimar áreas ..................................153Áreas, fracciones y decimales .....................155Áreas de diversas figuras ............................157Problemas para estudiar....................159
12capítulo
ÁRea y peRímetRo ....................... 149
FIGURAS GEOMÉTRICAS 4capítulo
39
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
Para hacer todos juntos
Reglas del juego:Se juega en grupos de 3 o 4 integrantes.Un grupo juega contra otro.Por turnos cada grupo elige una figura, sin decir cuál.El otro grupo debe hacerle preguntas que solo pueden responderse por “sí” o por “no”.Cuando el grupo que pregunta cree estar seguro, dice de qué figura se trata. Si acierta, gana un punto. Si no acierta, el punto es para el otro grupo.
La siguiente es una partida del juego. ¿Es posible estar seguros de qué figura se trata a partir de estas preguntas y sus respuestas?
• –¿Tiene un ángulo recto? –No.
• –¿Tiene 2 pares de lados iguales? –Sí.
• –¿Tiene 2 pares de lados paralelos? –Sí.
Para hacer todos juntos
40
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
1. Copiá esta figura.
2. Construí una figura según estas instrucciones:
– Dibujá una circunferencia de 3 cm de radio.
– Trazá uno de sus diámetros y llamá A a uno de los puntos donde el diámetro corta la circunferencia, y B al otro.
– Trazá otro de sus diámetros y llamá C a uno de los puntos donde el diámetro corta la circunferencia, y D al otro.
– Construí el cuadrilátero ACBD uniendo los puntos que marcaste.
3. Redactá un instructivo que permita reproducir esta figura.
Reproducir figuras
41
Capí
tulo
4: F
igur
as g
eom
étric
as©
San
tilla
na S
.A. P
rohi
bida
su
foto
copi
a. L
ey 1
1.72
3
1. Esta es una circunferencia de centro S. Decidí sin medir si se puede estar seguro de que el triángulo dibujado es isósceles.
S
Al considerar la medida de los lados de un triángulo, puede ocurrir que:• Los tres lados sean iguales. Esos triángulos se llaman
equiláteros.• Dos lados sean iguales. Esos triángulos se llaman isósceles.• Todos los lados sean distintos. Esos triángulos se llaman
escalenos.
Al considerar la medida de los ángulos de un triángulo puede ocurrir que:
• Todos sean agudos. Esos triángulos se llaman acutángulos.
• Uno sea recto. Esos triángulos se llaman rectángulos.• Uno sea obtuso. Esos triángulos se llaman
obtusángulos.
Para leer juntos
2. En la figura de la derecha se tienen estos datos:
– Radio de la circunferencia de centro A: 3 cm.– Radio de la circunferencia de centro B: 2 cm.
Averiguá, sin medir, la longitud de los tres lados del triángulo ABC.
BA
C
3. a) Construí un triángulo isósceles que tenga un lado de 5 cm y otro de 8 cm.
b) ¿Es posible construir más de un triángulo distinto con estos datos?
Relaciones entre circunferencias y triángulos
42
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
4. a) Construí un triángulo isósceles que tenga un lado de 3 cm y otro de 8 cm.
b) ¿Es posible construir más de un triángulo distinto con estos datos?
En todos los triángulos, la suma de la medida de dos de sus lados debe ser mayor que la del tercer lado, para todos los pares de lados. Esta característica se conoce como propiedad triangular.
En todos los triángulos, la suma de la medida de sus ángulos interiores siempre es 180º.
Para leer juntos
Para hacer de a dos
5. Calculen la medida de los ángulos W y Z sin usar el transportador.
A70º
120º
B
C
^W
^Z
Para hacer de a dos
6. El triángulo ACD es rectángulo. Averigüen, sin usar el transportador, la medida de los ángulos C y A.
120º30º
D C
B
A
Para hacer todos juntos
a) ¿Es posible construir un triángulo equilátero que tenga un ángulo obtuso?
b) ¿Es posible construir un triángulo isósceles con un ángulo obtuso?
c) ¿Cuántos triángulos equiláteros se pueden construir con lados de 5 cm?
d) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir con ángulos de 40º, 110º y 30º?
43
Capí
tulo
4: F
igur
as g
eom
étric
as©
San
tilla
na S
.A. P
rohi
bida
su
foto
copi
a. L
ey 1
1.72
3
Se llama altura de un triángulo a la longitud del segmento que se inicia en uno de sus lados y es perpendicular a él (o a su pro-longación), y llega hasta el vértice opuesto.
Como los triángulos tienen tres vértices y tres lados, tienen tres alturas que se representan con segmentos.
En el triángulo ART se trazaron sus alturas: TF es la altura correspondiente al lado AR; AB es la altura correspondiente al
lado RT, y RQ es la altura correspondiente al lado AT. Como las alturas son perpen-diculares a los lados, se pueden trazar con escuadra.
T
R
A
BF
Q
En el triángulo ABC se prolongaron los lados AC y BC para poder trazar los segmentos que representan las alturas correspondientes a esos lados.
B
C
A
E
D
F
Para leer juntos
1. Trazá las alturas de este triángulo.
2. a) Trazá en este triángulo la altura correspondiente al lado AC.
b) ¿Es cierto que la altura correspondiente al lado AB está “afuera” del triángulo?
3. En este triángulo, que tiene un ángulo recto, se trazaron sus tres alturas. Dos de ellas coinciden con los lados que forman el ángulo recto. ¿Es posible encontrar un triángulo rectángulo en el que dos de las alturas no coincidan con dos de sus lados?
Alturas de los triángulos
AB
C
44
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
Para hacer de a dos
4. a) Construyan un triángulo que tenga un lado igual al segmento AB, en el que la altura correspondiente a ese lado sea de 2 cm.
A Bb) ¿Cuántos triángulos distintos
podrían construir con las condiciones anteriores?
Para hacer de a dos
5. a) Construyan un triángulo que tenga un lado igual al segmento AB, la altura correspondiente a ese lado de 2 cm y un lado BC de 3 cm.
b) ¿Cuántos triángulos distintos podrían construir con las condiciones anteriores?
A B
Para hacer todos juntos
Esta es la altura del lado diferente de un triángulo isósceles.
¿Cómo construirían el triángulo?
¿Habrá un único triángulo? A B
C
A B
C C C C C
45
Capí
tulo
4: F
igur
as g
eom
étric
as©
San
tilla
na S
.A. P
rohi
bida
su
foto
copi
a. L
ey 1
1.72
3
1. Este triángulo es la mitad de un rectángulo en el que una de sus diagonales es AC. Construí el rectángulo usando compás y regla no graduada.
A
C
B
2. Este triángulo es la mitad de un paralelogramo en el que una de sus diagonales es AC. Construí el paralelogramo usando regla y escuadra.
B
C
A
3. Estos son los lados de un rombo. Construilo usando los instrumentos que necesites.
D
A
B
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos. El rectángulo, el rombo y el cuadrado son paralelogramos particulares porque poseen esa
propiedad y también otras. Por ejemplo, el rectángulo tiene sus cuatro ángulos rectos, el rombo tiene sus cuatro lados iguales y el cuadrado tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos rectos.
Rectángulo Rombo Cuadrado
Para leer juntos
Construir cuadriláteros
Una regla no graduada es la que no tiene indicadas las medidas y solo se utiliza para trazar líneas rectas.
Para leer juntos
46
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
4. Estos son dos de los lados de un paralelogramo. A C
a) Construilo usando los instrumentos que necesites. A B
b) ¿Cuántos paralelogramos distintos es posible construir con estos datos?
5. a) Construí un paralelogramo que tenga un lado AB de 5 cm, otro lado AC de 4 cm y la diagonal CD de 7 cm.
b) ¿Cuántos paralelogramos distintos es posible construir con los datos de la actividad a)?
6. a) Construí un paralelogramo que tenga un lado AB de 5 cm y otro lado AC de 4 cm, en el que el ángulo que forman esos lados sea de 60º.
b) ¿Cuántos paralelogramos distintos es posible construir con los datos de la actividad a)?
Para hacer todos juntos
El triángulo equilátero ABC es la mitad de un rombo. ¿Será posible construir el rombo de manera que cualquiera de los tres lados del triángulo sea una de sus diagonales? Si la respuesta es “no”, expliquen por qué, y si creen que “sí”, investiguen si en los tres casos se trata del mismo rombo.
A C
B
47
Capí
tulo
4: F
igur
as g
eom
étric
as©
San
tilla
na S
.A. P
rohi
bida
su
foto
copi
a. L
ey 1
1.72
3
1. a) Esta es la diagonal de un rectángulo. A B Construilo usando los instrumentos que necesites.
b) ¿Es posible construir más de un rectángulo distinto con esa diagonal?
2. Esta es la diagonal de un cuadrado. A B Construilo usando los instrumentos que necesites.
En los paralelogramos, las diagonales se cortan en su punto medio.
En los rectángulos, las diagonales se cortan en su punto medio y son iguales.
En los rombos, las diagonales se cortan en su punto medio y son perpendiculares.
En los cuadrados, las diagonales se cortan en su punto medio y son perpendiculares e iguales.
Para leer juntos
3. Usando los instrumentos que necesites construí A C un rombo que tenga estas dos diagonales. B D
Construir cuadriláteros
cuadriláteros en cuestión.
48
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
4. Construí un paralelogramo que tenga estas dos diagonales.
Para hacer de a dos
5. Usando los instrumentos que necesiten, construyan un paralelogramo que tenga estas dos diagonales, que al cruzarse formen un ángulo de 60º.
A C B D
Para hacer de a dos
6. a) Construyan un paralelogramo ABCD que tenga un lado AD de 5 cm y la diagonal AC de 7 cm.
b) ¿Es posible construir más de un paralelogramo con esos datos?
Para hacer de a dos
7. a) Construyan un paralelogramo ABCD que tenga un lado AD de 5 cm, la diagonal AC de 7 cm y el ángulo que forma el lado con la diagonal, de 30º.
b) ¿Es posible construir más de un paralelogramo con esos datos?
Este es el lado de un paralelogramo. A B
¿Cómo construirían ese paralelogramo si las diagonales fueran de 8 cm y de 4 cm?
Para hacer todos juntos
A C B D
49
Capí
tulo
4: F
igur
as g
eom
étric
as©
San
tilla
na S
.A. P
rohi
bida
su
foto
copi
a. L
ey 1
1.72
3Propiedades de los paralelogramos
1. El cuadrilátero ABCD es un cuadrado. Al trazar una de sus diagonales quedan determinados dos triángulos.
a) ¿Es posible saber qué tipo de triángulos son?
b) Sin medir, calculá la amplitud de los ángulos M y N.
2. Sabiendo que los rombos están compuestos por dos triángulos isósceles iguales, averiguá la medida de los ángulos interiores de este rombo, pero sin medirlos.
40°
3. ABCD es un paralelogramo que tiene trazados dos segmentos que pasan por los puntos medios de los lados opuestos, y determinan, de esta manera, 4 paralelogramos iguales. Averiguá, sin medir, la amplitud del ángulo H.
D
^H
A
C
B
80°
A B
CD
^M
^N
50
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
En esta figura hay 4 paralelogramos iguales. Una propiedad de los paralelogramos es que dos ángulos consecutivos suman 180º.
Una manera de demostrar esta afirmación puede ser la siguiente: ^A = ^I porque es el mismo ángulo en los dos paralelogramos.
Además, ^B + ^I = 180° y como ^A = ^I , entonces ^B + ^A = 180°.
El mismo razonamiento puede hacerse para ^D y ^C; ^A y ^D; ^B y ^C.
^A ^I
^E
^B
^F
^C
^G
^D^J
^H
Otra propiedad de los paralelogramos es que los ángulos
opuestos son iguales. Una forma de demostrar esto puede ser la siguiente: ^̂H = ^J porque es el mismo ángulo en los dos paralelogramos; ^J + ^C = 180° y ^F + ^C = 180°, entonces ^J + ^C = ^F + ^C. La única manera en que estas dos sumas sean iguales es si ^J = ^F.
Como ^̂H = ^J , entonces ^̂H = ^F.El mismo razonamiento puede
hacerse para demostrar que ^G = ^E.
Para leer juntos
4. Calculá la medida de todos los ángulos interiores de este paralelogramo.
60º
B C
DA
5. En el paralelogramo AEIO puede verse dibujado el paralelogramo KMRT. A partir de los datos que aparecen en la figura, averiguá la amplitud del ángulo W sin medir.
80º
K
A E
O I
M
T
R
50º 110º
^W
En esta imagen pueden verse los paralelogramosABCD y el MTRD.
Calculen, sin medir, la amplitud de los ángulos B y F.
A
BC
DM
T R40º
Para hacer todos juntos
^F
Capí
tulo
4: F
igur
as g
eom
étric
asProblemas para estudiar
51Nombre: .................................................................................. Curso: ...................... Fecha: .........................................
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
1. En la figura de la derecha se tienen estos datos:
- Radio de la circunferencia de centro A: 2 cm.
- Radio de la circunferencia de centro B: 1 cm.
¿El triángulo ABC es isósceles o escaleno?
BA
C
2. Construí un triángulo isósceles y rectángulo, que tenga dos lados que midan 5 cm.
3. Sin utilizar el transportador, calculá la medida de cada uno de los ángulos que faltan.
A
DC
B
40º 20º
40º
4. Este es un triángulo isósceles rectángulo. ¿Es cierto que dos de los segmentos que representan sus alturas son iguales? Si la respuesta es sí, trazalos. Si pensás que no, explicá por qué.
A C
B
5. Trazá las tres alturas de este triángulo. C
BA
52
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
6. Este triángulo es la mitad de un paralelogramo en el que una de sus diagonales es AC. Completá el paralelogramo usando regla y escuadra.
A
CB
7. Estos son los lados consecutivos de un paralelogramo. Completalo usando compás y regla no graduada.
8. Estos son los lados consecutivos de un paralelogramo. Completalo usando regla no graduada y transportador.
9. De un cuadrilátero se sabe que tiene sus diagonales iguales, que se cortan en sus puntos medios y que no son perpendiculares. ¿Es posible estar seguro de qué cuadrilátero se trata?
10. Averiguá, sin usar transportador, la medida de todos los ángulos marcados con letras en esta figura. Tené en cuenta que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. 60º
B
A
C
D
^R
60º ^F
^T
11. Calculá la medida del ángulo T en esta figura formada por un paralelogramo y un triángulo dibujado en su interior.
35º
^T110º
35º
OperaciOnes 5capítulo
53
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
para hacer todos juntos
1. En 2015, en la Argentina las patentes de los autos usaban 3 letras y 3 números.
a) ¿Cuántos autos permite registrar este sistema?
b) ¿Cuántos autos más se podrá registrar si se agrega solo una letra?
c) ¿Cuántos autos más se podrá registrar si se agrega solo un número?
d) ¿Cuántos autos más se podrá registrar si se agrega una letra y un número?
2. El representante de una banda de rock tiene que agendar las cuatro fechas de las presentaciones del nuevo disco que se harán en un teatro, un club, un estadio y una plaza.
a) Si quiere usar de jueves a domingo de la misma semana y realizar solo un show por día, ¿de cuántas maneras podría organizarlo?
b) Si agregara una presentación más en un centro cultural y un día más, el miércoles, ¿de cuántas maneras podría organizar todas las presentaciones?
c) Si deciden suspender la presentación en el estadio y usaran de viernes a domingo, ¿de cuántas maneras podrían organizarlo?
para hacer todos juntos
053-066_MateBroitman6_C05.indd 53 25/11/15 16:37
54
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
1. Calculá mentalmente.
150 × 5 = 480 : 5 =
75 × 50 = 4.200 : 50 =
40 × 500 = 6.000 : 500 =
2. ¿Cómo se podrán resolver estos cálculos con una calculadora en la que no funcione la tecla 5 ?
173 × 5 = 340 : 5 =
240 × 50 = 600 : 50 =
116 × 500 = 3.000 : 500 =
para hacer de a dos
3. Cecilia dice que puede saber cuánto será el resto de estas divisiones sin hacer las cuentas. ¿Cómo creen que hará para averiguarlo?
203 : 2 = 302 : 5 = 4.444 : 4 =
Cálculos de multiplicaciones y divisiones
053-066_MateBroitman6_C05.indd 54 25/11/15 16:37
55
capí
tulo
5: O
pera
cion
es
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
1. Manuel recibió la tarjeta de débito de su nuevo trabajo y tiene que inventar una clave de 4 números sin repetirlos. Si decide usar 1 , 6 , 7 y 4 , ¿cuántas claves distintas puede armar?
2. Para armar la clave de 4 caracteres que necesita para ingresar al aula virtual, Sandra eligió usar algunos o todos estos números y letras: S , E , 4 y 1 . Como puede repetir letras y números, las claves pueden ser como estas: SE41, SSEE, 44EE, etc. ¿Cuántas claves distintas puede armar?
para hacer de a dos
3. Una banda de rock se saca fotos para la tapa de su nuevo disco. Los cinco integrantes quieren salir sentados uno al lado del otro en un sillón. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar?
Problemas para combinar
053-066_MateBroitman6_C05.indd 55 25/11/15 16:37
56
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
para hacer de a dos
4. a) Los 5 participantes de un certamen de canto tendrán que presentarse formando dúos con todos sus compañeros. ¿Cuántos dúos se formarán si cada participante tiene que cantar con cada uno de sus compañeros?
b) ¿Cuáles de estos procedimientos permitirían responder la pregunta?
Participantes A B C D E
A - X X X XB - - X X XC - - - X XD - - - - XE - - - - -
5 × 4 4 + 3 + 2 + 1 (5 × 5 – 5) : 2 (5 × 4) : 2 4 + 4 + 4 + 4 + 4
En los problemas en los que hay que contar la cantidad que resulta de combinar elementos de una colección o de varias, la manera de organizar la información es muy importante para considerar todas las posibilidades, analizar que ninguna se repita e identificar qué cálculos son convenientes. Para no tener que contar o sumar todos los casos, es posible utilizar multiplicaciones, pero es muy útil controlar los resultados con distintas formas de resolución.
para leer juntos
para hacer todos juntos
Verónica fue a comprar 12 kilo de helado de agua. El heladero le dice que solo puede incluir 3 gustos de los 5 que hay en la heladería. ¿De cuántas maneras puede armar el pedido?
ABCD
B, C, D, EC, D, ED, EE
053-066_MateBroitman6_C05.indd 56 25/11/15 16:37
57
capí
tulo
5: O
pera
cion
es
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
1. Stéfano empaquetó 24 docenas de sorrentinos y le sobraron 5. ¿Cuántos sorrentinos tenía preparados?
2. a) Se dividió un número por 8 y se obtuvo 16 como cociente y resto 4. ¿Qué número se dividió?
b) Y si se obtuvo resto 6 y el mismo cociente, ¿qué número se dividió?
3. ¿Cuál o cuáles de estos pares de números permiten completar esta cuenta?
24 2
a) Divisor 12 y resto 0.
b) Divisor 8 y resto 8.
c) Divisor 9 y resto 6.
d) Divisor 10 y resto 4.
e) Divisor 6 y resto 12.
f) Divisor 7 y resto 10.
/
El funcionamiento de la división
053-066_MateBroitman6_C05.indd 57 25/11/15 16:37
58
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
4. A partir de la información que brinda la cuenta ya resuelta, encontrá dos dividendos para los que al dividir por 12 el resto sea 0.
178 12 12 12
10 14 0 0
5. ¿Es posible encontrar tres cuentas distintas que tengan divisor 24 y resto 6? Si la respuesta es “no”, explicá por qué. Si es “sí”, proponé los números que podrían ser los dividendos y los cocientes en cada caso.
6. Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay más de una posibilidad?
6 8
/ / /
/
para hacer todos juntos
Jerónimo utilizó la calculadora para resolver 390 : 24 y en el visor apareció 16.25. Usando la calculadora, averigüen cuál es el resto de esa división.
053-066_MateBroitman6_C05.indd 58 25/11/15 16:37
59
capí
tulo
5: O
pera
cion
es
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
1. Un camión que transporta botellas de agua mineral distribuye en partes iguales el cargamento entre dos clubes de fútbol. Cada club reparte en partes iguales las botellas entre las divisiones infantiles y juveniles, que a su vez las reparten en partes iguales para entregar a los equipos visitantes y a los locales. ¿En cuántas partes se va a repartir el cargamento?
2. Patricia tiene que hacer varias pizzas. Tomó la masa y la dividió en dos partes. Luego partió en dos cada una de esas partes. Y finalmente partió en dos cada una de esas partes. ¿Cuántos bollos de masa obtuvo?
3. Guadalupe diseñó un afiche para difundir sus clases de yoga para niños. Envió el afiche por correo electrónico a 10 personas, a las que les pidió que cada una lo reenvíe a otras 10 personas. ¿A cuántas personas les habrá llegado el afiche al cabo de 4 envíos? ¿Y al décimo envío?
Factores que se repiten
053-066_MateBroitman6_C05.indd 59 25/11/15 16:37
60
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
4. El entrenador de fútbol organizó una cadena de mensajes de texto para avisar a los 30 jugadores cuando un partido se suspende por lluvia. El que recibe el mensaje sabe que lo tiene que reenviar a dos de sus compañeros. ¿Cuántos reenvíos hay que hacer para que todos queden avisados?
Se llama potencia a un producto de factores iguales. Se trata de una manera corta de escribir ese producto. Por ejemplo: 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4. En este caso la expresión se lee “cuatro a la quinta”.
base exponente
El factor que se repite es la base de la potencia, y la cantidad de veces que se repite es el exponente. A las potencias que tienen exponente 2 se las llama “cuadrado” y a las que tienen exponente 3, “cubo”. Por ejemplo, 42 se lee “cuatro al cuadrado”, y 43 se lee “cuatro al cubo”.
para leer juntos
5. a) En este panel se exponen 9 obras. ¿Cuántas obras se podrán incluir en una muestra si se arma un panel cuadrado colocando 8 obras de igual tamaño en cada fila?
b) ¿Y si se colocan 10 obras en cada fila?
para hacer todos juntos
a) Exploren en una calculadora científica qué teclas es preciso usar para encontrar los resultados de 72, 43 y 25.
b) Intenten obtener el número 25.643 usando la calculadora científica, las operaciones de suma y multiplicación, y las potencias de 10.
053-066_MateBroitman6_C05.indd 60 25/11/15 16:37
61
capí
tulo
5: O
pera
cion
es
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
1. Sin hacer los cálculos, señalá entre qué números va a estar, aproximadamente, el resultado de cada uno de ellos. Comprobá luego con la calculadora.
Menos de 1.000 Entre 1.000 y 10.000 Más de 10.000
350 × 99
71 × 29
2. Sin hacer la cuenta, seleccioná el resultado que creés que puede ser el correcto. Luego comprobá con la calculadora.
2.042 × 19 8.798 18.798 38.798
3.999 × 21 14.979 83.979 105.979
7.536 : 4 884 1.884 6.884
5.520 : 24 3 23 230
3. Sin hacer las cuentas, completá el cuadro indicando entre qué números creés que estarán los cocientes de estas divisiones. Luego comprobá con la calculadora.
Cociente aproximadoEntre 1 y 10 Entre 10 y 100 Entre 100 y 1.000 Más de 1.000
Divis
ión
6.405 : 5
5.326 : 21
950 : 11
Estimación
053-066_MateBroitman6_C05.indd 61 25/11/15 16:37
62
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
4. Sin hacer las cuentas, completá el cuadro indicando cuántas cifras va a tener el cociente en cada caso. Luego comprobá con la calculadora.
1 cifra 2 cifras 3 cifras
492 : 12
6.944 : 56
3.564 : 99
5. Charo tiene $5.000 para comprar 25 pelotas de vóley para su club y quiere que sean todas iguales. ¿Para cuáles de estas le alcanza?
6. Los 20 chicos del equipo de fútbol quieren regalarle a su entrenador un buzo, una visera y un silbato. ¿Alcanza justo, falta o sobra si cada uno pone $20?
Sin hacer las cuentas, decidan con cuál de los cálculos se obtiene un resultado mayor.
1.230 × 25 1.230 × 20 + 1.230 × 4 567 × 16 567 × 8 × 3
para hacer todos juntos
053-066_MateBroitman6_C05.indd 62 25/11/15 16:37
63
capí
tulo
5: O
pera
cion
es
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
1. Para resolver 4 + 8 × 9 : 3, Tomás usó una calculadora común y obtuvo 36 como resultado. En cambio, Cecilia usó una calculadora científica y le dio 28. Explicá cómo resuelve la cuenta cada calculadora. ¿Cuál es la forma que conduce al resultado correcto?
2. a) ¿Alcanzan $600 para comprar 4 cucuruchos, 5 vasos de 1
4 kg y 6 vasitos?
b) Valentino cree que no alcanza porque hizo en la calculadora 35 × 4 + 5 × 40 + 6 × 25 y obtuvo 145.150. ¿Qué pudo haber pasado?
3. a) ¿Qué resultados obtendrías con cada calculadora?
3 × 7 + 2 × 3 + 2 × 9
Calculadora común:
Calculadora científica:
2 × 9 + 2 × 10 + 3 × 5
Calculadora común:
Calculadora científica:
b) ¿Cuál de los resultados es el correcto?
Los matemáticos se pusieron de acuerdo en seguir un orden en las operaciones para no obtener resultados diferentes de un mismo cálculo. Si en un cálculo en el que intervienen distintas operaciones no aparecen paréntesis, se deben resolver primero las multiplicaciones y las divisiones. Por ejemplo, en 8 × 5 + 24 : 4, primero deben resolverse 8 × 5 y 24 : 4, y por último se sumarán ambos resultados. Si se quiere alterar el orden de resolución de los cálculos, se utilizan paréntesis para indicar qué parte del cálculo se resuelve primero.
para leer juntos
Orden de los cálculos
053-066_MateBroitman6_C05.indd 63 25/11/15 16:37
64
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
4. Resolvé estos cálculos. Luego comprobá el resultado con la calculadora científica o usando la calculadora común haciendo los cálculos parciales.
a) 23 × 45 + 24 × 17 =
b) 13 + 2 × 6 + 8 =
c) 13 + 42 × 2 + 50 : 10 =
5. ¿Cuál o cuáles de estos cálculos dan como resultado 500?
a) 300 + 50 × 2 + 100 × 2
b) 1.000 – 250 × 2
c) 350 × 2 + 25 × 8 – 100 × 4
d) (100 + 100) × 2 + (25 + 25) × 2
6. Colocá paréntesis donde sea necesario para que cada igualdad sea verdadera.
a) 50 – 10 + 5 × 3 = 5
b) 13 + 3 × 4 + 8 = 72
c) 80 – 8 × 5 + 5 = 720
d) 8 + 7 × 6 – 2 = 36
e) 30 – 10 + 5 × 10 = 250
para hacer todos juntos
¿Cuál o cuáles de estos cálculos dan como resultado 600?
a) 100 × 22 + 50 × 23 – 100 × 2
b) 300 + 50 × 2 + 100 × 2
c) (102 + 102) × 2 + (50 + 50) × 2
d) 1.200 – 300 × 2
053-066_MateBroitman6_C05.indd 64 25/11/15 16:37
capí
tulo
5: O
pera
cion
es
problemas para estudiar
65Nombre: .................................................................................. Curso: ...................... Fecha: .........................................
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
1. Calculá mentalmente.
120 × 5 = 520 : 5 =
85 × 50 = 4.200 : 50 =
30 × 500 = 6.000 : 500 =
2. ¿Cuál será el dividendo de una cuenta si el resto es 3, el divisor es 7 y el cociente es 121?
3. Manuel se inscribió en un concurso musical. Le pidieron que envíe un CD con 4 canciones. No se decide en qué orden grabarlas, ¿cuántas posibilidades tiene?
4. Algunas de estas cuentas tienen errores. Revisalas y corregilas.
144 5 4.074 8 277 23
4 28 10 508 24 11
5. Buscá diferentes cuentas con cociente 14 y divisor 8.
/ / /
053-066_MateBroitman6_C05.indd 65 25/11/15 16:37
66
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
6. a) Resolvé estos cálculos usando una calculadora común, pero controlando los cálculos intermedios.
19 × 46 + 30 × 66 – 128 : 2 =
129 + 320 : 2 – 16 × 9 =
b) Escribí los cálculos parciales que hiciste.
7. Resolvé.
42 = 33 = 52 = 24 =
8. ¿Cómo pueden resolverse estos cálculos sin usar la tecla 8 de la calculadora?
735 × 28 =
234 × 8 × 2 =
9. Los alumnos de 6.° B están diseñando el buzo de egresados. La tela puede ser de algodón, jersey o lycra. Pueden tener capucha o no. El color puede ser rojo, azul, verde o amarillo. ¿Cuántas posibilidades hay para elegir?
10. Sin hacer las cuentas, completá el cuadro indicando cuántas cifras va a tener el cociente en cada caso.
1 cifra 2 cifras 3 cifras
585 : 15
4.067 : 49
2.626 : 101
053-066_MateBroitman6_C05.indd 66 25/11/15 16:37
