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Los Inicios de la Fısica Cuantica

Alfredo Vega

Departamento de Fısica y Centro Cientıfico Tecnologico de Valparaıso

(CCTVal), Universidad Tecnica Federico Santa Marıa, Casilla 110-V,

Valparaıso, Chile

E-mails: alfredo.vega@usm.cl

Abstract: Esta parte del curso esta dedicada al estudio de los experimentos que

permitieron asentar las ideas que dieron forma a la Mecanica Cuantica. Se estudia

el problema de la radiacion de cuerpo negro y la solucion de Planck, ademas de

estudiar la propiedades corpusculares de la radiacion y las propiedades ondulatorias

de la materia.

Keywords: Apuntes del curso “ Fısica Moderna” para estudiantes de la

licenciatura en Fısica de la Universidad de Valparaıso.

Contents

1. Radiacion Termica y el Postulado de Planck 1

1.1 Radiacion Termica 1

1.2 Teorıa Clasica de la Radiacion de Cavidad 4

1.3 Teorıa de Planck de la radiacion de cavidad 7

1.4 El uso de la ley de radiacion de Planck en termometrıa 8

1.5 El postulado de Planck y sus implicaciones 8

2. Propiedades Corpusculares de la Radiacion 9

2.1 El efecto fotoelectrico 9

2.2 Teorıa de Einstein del Efecto Fotoelectrica 10

2.3 El efecto Compton 10

2.4 La naturaleza dual de la radiacion electromagnetica 13

2.5 Fotones y produccion de rayos x 13

2.6 Produccion de pares y aniquilacion de pares 15

2.7 Seccion eficaz para la absorcion de fotones y scattering 15

1. Radiacion Termica y el Postulado de Planck

El 14 de Diciembre de 1900, en una reunion de la Sociedad Alemana de Fısica, Max

Planck presento su trabajo titulado ”Sobre la teorıa de la ley de distribucion de

energıa del espectro normal”. El correspondiente artıculo al comienzo llamo poco la

atencion, pero hoy la fecha es considerada como el nacimiento de la Fısica Cuantica,

aunque pasarıa casi un cuarto de siglo hasta tener la Mecanica Cuantica moderna.

En esta parte del curso revisaremos las piedras angulares de la Fısica Cuantica,

en lo que hoy se conoce como la teorıa cuantica antigua.

Ası como la relatividad especial extiende la fısica a la region de velocidades altas,

la fısica cuantica nos lleva a la region de dimensiones pequenas.

1.1 Radiacion Termica

La radiacion que emite un cuerpo como resultado de su temperatura es llamada

radiacion termica. Todos los cuerpos emiten esta radiacion a su alrededor, y la

absorben del medio, y cuando el cuerpo se encuentra en equilibrio termico, ambas

tasas son iguales.

– 1 –

En estado condensado la materia emite un espectro de radiacion contınuo. Los

detalles del espectro son casi independientes del material, dependiendo fuertemente

de la temperatura.

A temperaturas ordinarias, la mayora de los objetos son visibles pos la luz que

reflejan, de hecho para que sean autoluminiscentes deben estar a temperaturas muy

altas, si consideramos solo radiacion termica.

La relacion entre la temperatura de un objeto y su espectro de frecuencias de

la radiacion emitida es usada en artefactos como los pirometros opticos, que son

espectrometros que permiten estimar la temperatura de un cuerpo caliente, como

una estrella, observando su color.

En general la forma detallada del espectro de radiacion termica emitida depende

de por ejemplo la composicion del objeto. Sin embargo, experimentos muestran que

hay un tipo especial de cuerpos que emiten raiacion termica de forma universal.

Estos son llamados cuerpos negros, los que poseen superficies que absorben toda

la radiacion que incide sobre ellos.

Sin importar los detalles de su composicion, se observa que todos los cuerpon

negros a la misma temperatura emiten radiacion termina con el mismo espectro. La

forma del espectro no puede ser obtenida usando solo termodinamica.

La distribucion espectral de radiacion en un cuerpo negro esta especificada por

la llamada radiancia espectral RT (ν), que esta definida de modo que RT (ν)dν

sea igual a la energıa emitida por unidad de tiempo en el intervalo de frecuencias

radiadas entre ν y ν + dν desde una unidad de area en la superficie a temperatura

absoluta T.

Nota: Las funciones de distribucion, de las que la radiancia espectral es un

ejemplo, son bastante comun en fısica.

La integral de la radiancia espectral sobre todos los ν es la energıa total emitida

por unidad de tiempo por unidad de area de un cuerpo negro a temperatura T, es la

llamada radiancis RT

RT =

∫ ∞0

RT (ν)dν

RT = σT 4 (Ley de Stefan)

donde σ = 5, 76 ∗ 10−8W/m2 K4 es la constante de Stefan-Boltzmann.

La figura tambien muestra la llamada Ley de desplazamiento de Wien

νmax α T

donde νmax es la frecuencia ν en la que RT (ν) tiene su maximo para un valor partic-

ular de T. Cuando T aumenta, νmax se desplaza hacia frecuancias mayores.

Un importante ejemplo de cuerpo negro corresponde al pequeno agujero que

conecta una cavidad con el exterior en un cuerpo.

– 2 –

Figure 1: Radiancia espectral de un cuerpo negro a diferentes temperaturas.

Si consideramos que las paredes de la cavidad son uniformente calentadas a una

temperatura T, entonces las paredes emitiran radiacion, la que llenara la cavidad, y

una pequena fraccion pasara a traves del agujero. Ası el agujero se comporta como

un emisor termico. Como el agujero se comporta como un cuerpo negro, la radiacion

emitida debe poseer el espectro de un cuerpo negro. Pero lo que sale del agujero es

solo una nuestra de lo que hay adentro, ası es que claramente la radiacion al interior

de la cavidad debe poseer un espectro tipo cuerpo negro.

El espectro emitido por el agujero en la cavidad se especifica en terminos del

flujo de energıa RT (ν). Es mas util, especificar el espectro de radiacion al interior

de la cavidad, llamada radiacion de cavidad, en terminos de una densidad de

energıa ρT (ν), definida como la energıa contenida en una unidad de volumen de la

cavidad a temperatura T en el intervalo de frecuencias de ν a ν + dν. Claramente

ρT (ν) α RT (ν)

Figure 2: Un pequeno agujero que conecta una cavidad de un cuerpo con el exterior, se

comporta como un cuerpo negro.

– 3 –

1.2 Teorıa Clasica de la Radiacion de Cavidad

Rayleigh y ademas Jeans hicieron calculos de la densidad de energıa de la radiacion

de cavidad que colocaba en conflicto los resultados de la fısica clasica y los resultados

experimentales.

Consideremos una cavidad con paredes metalicas calentadas uniformemente a

temperatura T. Las paredes emiten radiacion electromegnetica en el rango de las

frecuencias termicas. Esto sucede por el movimiento de los electrones, sin embargo,

no es necesario estudiar el comportamiento de los electrones en las paredes. En vez

de esto nos focalizamos en el comportamiento de las ondas electromagneticas en el

interior de la cavidad.

Rayleigh y Jeans procedieron de la siguiente forma.

• Primero, se usa la teorıa electromagnetica para mostrar que la radiacion al

interior de la cavidad deben existir en forma de ondas estacionarias con nodos

en la superficie metalica.

• Usando argumentos geometricos, se hace una cuenta del numero de estas ondas

estacionarias en el intervalo de frecuencias ν a ν + dν, para determinar como

este numero depende de ν.

• Luego un resultado de la teorıa cinetica clasica es utilizado para calcular la

energıa total de estas ondas cuando el sistema esta en equilibrio termico. El

numero total promedio depende solo de la temperatura en la teorıa clasica.

• El numero de ondas estacionarias en el intervalo de frecuencias veces la energıa

promedio de las ondas, dividida por el volumen de la cavidad, da la energıa

promedio por unidad de volumen en el intervalo de frecuencias de ν a ν + dν.

Esta el densidad de energıa ρT (ν).

Por simplicidad consideraremos una cavidad metalica cubica de lado a. Y para

empezar discutiremos el caso 1D.

El campo electrico para ondas estacionarias unidimensionales se puede describir

matematicamente por la funcion

E(x, t) = E0 sen (2πx/λ) sen (2πνt)

Las amplitudes son cero (para todo t) para posiciones que satisfacen la relacion

2x/λ = 0, 1, 2, 3, .... Para satisfacer el requerimiento de que estas ondas tienen nodos

en ambos extremos de la cavidad unidimensional. Elegimos el origen del eje x un

extremo de la cavidad (x = 0) y el otro esta en (x = a).

2x

λ= n (n = 1, 2, 3, .... y para x = a)

– 4 –

Figure 3: Los valores permitidos del ındice n, determinan los valores permitidos para las

frecuencias, en una caja unidimensional de lado a.

Esta condicion determina el conjunto de valores permitidos para la longitud de

onda. Pero es conveniente continuar la discusion en t’erminos de las frecuencias

permitidas en vez de las longitudes de onda.

ν =cn

2a(n = 1, 2, 3, .... y para x = a)

Es posible representar los valores permitidos de las frecuencias en terminos de

un diagrama sobre un eje en el que dibujamos un punto para cada valor dee n

entero. Sobre este diagrama, los valores permitidos de frecuencias corresponden a

un valor particular de n, igual a c/2a veces la distancia d desde el origen a el punto

adecuado. Este diagrama es de utilidad en el calculo del numero de valores permitidos

de frecuencias en el rango que va desde ν a ν + dν, que llamaremos N(ν)dν.

Para evaluar esta cantidad simplemente contamos en numero de puntos sobre el

eje n que estan entre los lımites que corresponden a ν y ν + dν. Como los puntos se

distribuyen uniformemente sobre el eje n, se ve que el numero de puntos que caben

entre los dos lımites sera proporcional a dν, pero sin depender de ν. De hecho se tiene

N(ν)dν = (2a/c)dν, pero esta debe ser multiplicada por 2, pues por cada frecuencia

permitida, hay dos ondas independiente que corresponden a dos posibles estados de

polarizacion de las ondas electromagneticas. Ası tenemos

N(ν)dν =4a

cdν (Caso 1D)

De modo analogo, para una caja cubica de lado a se obtiene

N(ν)dν =8πV

c3ν2dν (Caso 3D)

donde V = a3 es el volumen de la cavidad.

Ahora que tenemos el numero de las ondas estacionarias, el siguiente paso en

la teorıa clasica de Raileigh-Jeans de la radiacion de cuerpo negro es la evaluacion

de la energıa promedio total contenida en cada onda estacionaria de frecuencia ν.

Segun la fısica clasica, la energıa de alguna onda particular puede tener valores que

van desde cero a infinito. El valor es proporcional al cuadrado de E0. Sin embargo,

para un sistema con un gran numero de entidades fısicas del mismo tipo que esan en

– 5 –

Figure 4: Las predicciones de Rayleigh-Jeans (lınea segmentada) comparada con el resul-

tado experimental (lınea solida) para la densidad de energıa un cuerpo negro, mostrando

la seria discrepancia llamada catatrofe ultravioleta.

equilibrio termico a temperatura T, la fısica clasica hace predicciones bien definidas

sobre el valor promedio de las energıas de estas entidades. Esto se aplica a nuestro

caso.

La prediccion viene de la teorıa cinetica clasica y la llamada ley de equipar-

ticion de la energıa. Esta ley establece que para un sistema un gas de moleculas

en equilibrio termico a temperatura T, la energıa promedio por grado de libertad es

kT/2, donde k = 1, 38 ∗ 10−23 Joule/K es la constante de Boltzmann. La ley

se aplica a cualquier sistema clasico en equilibri, que contenga un gran numero de

entidades del mismo tipo.

De modo que cada onda estacionaria en la cavidad tiene, de acuerdo al teorema

de equiparticion, una energıa promedio total

E = kT

Lo importante de notar aquı es que la energıa promedio total tiene el mismo

valor para todas las ondas estacionarias en la cavidad, sin importar sus frecuencias.

La energıa por unidad de volumen en el intervalo de frecuencias ν a ν + dν

del espectro de cuerpo negro de una cavidad a temperatura T es el producto de la

energıa promedio por onda estacionaria veces el numero de ondas estacionarias en el

intervalo de frecuencias, dividido por el volumen de la cavidad. Con esto se obtiene

la fomula de Raileigh-Jeans para la radiacion de cuerpo negro.

ρT (ν)dν =8πν2kT

c3dν

– 6 –

1.3 Teorıa de Planck de la radiacion de cavidad

En un intento por resolver la discrepancia entre teorıa y experimento, Planck con-

sidero la posibilidad de una violacion de la ley de equiparticion de la energıa, sobre

la que se basa el resultado clasico. Es claro que dicha ley funciona a bajas energıas,

asi es que asumimos que

E → kT (ν → 0)

La discrepancia a altas frecuencias puede ser eliminada si, por alguna razon, hay

un corte

E → 0 (ν →∞)

Si miramos el origen del teorema de equiparticion, esta surge de la distribucion de

Bolztmann. Aquı consideramos

P (E) =e−E/kT

kT

donde P (E)dE es la probabilidad de hallar una parte del sistema con elergıa en

el intervalo entre E y E + dE , cuando el numero de estados de energıa para las com-

ponentes en el intervalo es independiente de E . El sistema se supone que contiene un

gran numero de constituyentes del mismo tipo en equilibrio termico a temperatura

T, y k es la constante de Boltzmann.

La distribucion de Boltzmann da informacion de las entidades en nuestro sistema,

incluyendo la energıa promedio

E =

∫∞0EP (E)dE∫∞

0P (E)dE

= kT

La gran contribucion de Planck vino cuando noto que el corte mencionado antes si

ontenıa si modificaba P (E) tratando E como una variable discreta

E = 0,∆E , 2∆E , 3∆E , ...

considerando

∆E = hν

donde h es la constate de Planck, cuyo valor es h = 6, 63 ∗ 10−34J s.

La fomula de Planck obtenida para E es

E =hν

ehν/kT − 1

como ehν/kT → 1 + hν/kT para hν/kT → 0, vemos que E = kT y en el lımite

hν/kT →∞, ehν/kT →∞, y E = 0.

Ası, el spectro de cuerpo negro de Planck es

– 7 –

ρT (ν)dν =8πν2

c3hν

ehν/kT − 1dν

Note que Planck no altero la distribucion de Boltzmann, ”todo” lo que hizo fue

tratar la energıa de las ondas electromagneticas estacionarias como discretas (en vez

de contınua).

Nota: La ley de Stefan y la ley de desplazamientos de Wien pueden ser obtenidas

de la formula de Planck.

1.4 El uso de la ley de radiacion de Planck en termometrıa

La radiacion emitida desde un objeto a alta temperatura puede ser usado para medir

su temperatura. Como es difıcil medir la radiacion total de la mayorıa de las fuentes,

en vez se mide la radiancia sobre una banda finita de longitudes de onda (idealmente

monocromatica).

Tarea.

Investigue sobre el describrimiento Dicke, Penzias y Wilson.

1.5 El postulado de Planck y sus implicaciones

La contribucion de Plank puede ser establecida como sigue:

Cuanquier entidad fısica con un grado de libertad, cuya ”coordenada” es una funcion

sinusoidal del tiempo (es decir, ejecuta oscilaciones armonicas simples) puede poseen

una energıa total que satisface la relacion E = nhν, con n = 0, 1, 2, ... y donde ν es

la frecuencia de la oscilacion y h es una constante universal.

La energıa de una entidad que obedezca al postulado de Planck se dice esta

cuantizado, los estados de energıa permitidos son llamados estados cuanticos y

el entero n es llamado numero cuantico.

– 8 –

Nota: (i) El pequeno valor de h hace que no se detecte discrepancias con un

espectro contınuo en sistemas macroscopicos.

(ii) El trabajo inicial de Planck fue hecho tratando en detalle el comportamiento

de los electrones en la pared de la cavidad y su acoplamiento con la radiacion elec-

tromagnetica. Posteriormente se acepto la idea que las ondas electromagneticas en

si estan cuantizadas.

2. Propiedades Corpusculares de la Radiacion

Examinamos procesos en los que la radiacion interactua con la materia, con los que

se obtuvo evidencia de la naturaleza corpuscular de la radiacion.

2.1 El efecto fotoelectrico

La ejeccion de elctrones desde la superficie por la accion de luz es llamado efecto

fotoelectrico. Este es el fenomeno subyacente en la operacion de celdas solares.

Figure 5: Aparato para estudiar el efecto fotoelectrico.

Si V es lo suficientemente grande, la corriente fotoelectrica alcanza cierto lımite

de los electrones que salen de A y colectados en B.

Si se invierte el signo de V, no cae inmediatamente a cero. Hay un valor V0llamado potencial de frenado, que es el potencial que lleva la corriente fotoelectrica

a cero.

Kmax = eV0

Hay tres hechos del efectofotoelectrico que no pueden ser explicados en terminos

de la teorıa ondulatoria de la luz:

• Kmax es independiente de la intensidad de la luz.

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• Para cada superficie existe una frecuencia de corte caracteıstica ν0. Para fre-

cuencias menores que ν0, el efecto fotoelectrico no sucede, sin importar cuan

intensamente sea iluminado.

• Cuando se produce el efecto, no se observa un retardo.

2.2 Teorıa de Einstein del Efecto Fotoelectrica

Originalmente Planck retringio el concepto de cuantizacion de la energıa al electron

que irradia en las paredes de la cavidad. Einstein propuso que la emnergıa radiante

es la que esta cuantizada en pequenas entidades llamadas fotones, cuya energıa se

relaciona con su frecuencia ν por la ecuacion

E = hν

Adicionalmente considero que en el proceso fotoelectrico el foton es completamente

absorbido por un electron de la superficie. Cuando el electron es emitido desde la

superficie del metal, su energıa sera

K = hν − w

donde hν es la energıa del foton incidente absorbido y w es el trabajo requerido para

remover al electron del metal. El electron emergera con energıa cinetica maxima

Kmax = hν − w0

donde w0 es la funcion de trabajo.

Nota: La hipotesis del foton de Einstein da cuenta de los tres hechos carac-

terısticos del efecto fotoelectrico mencionados antes.

Note que los fotones son absorbidos en el proceso fotoelectrico. Esto requiere

que los electrones esten ligados a ’atomos, o solidos, para un electron libre un foton

no puede ser absorbido y conservar energıa y momentum en el proceso.

Adicionalmente note que en el esquema de Einstein un fot00on de frecuencia ν

tiene exactamente una energıa hν; su energıa no es un multiplo de ν. Por supuesto

podemos tenerr n fotones de frecuencia ν, ası la energıa sera nhν.

2.3 El efecto Compton

La naturaleza corpuscular de la radiacion recibio una confirmacion dramatica en 1923

de los experimentos de Compton.

Este problema lo hemos estudiado con anterioridad cuando estudiamos relativi-

dad. El corrimiento Compton ∆λ = λ′−λ varıa con el angulo en el que los rayos

x escatereados son observados.

– 10 –

Figure 6: Espectro electromagnetico.

La presencia de este λ′ no puede ser entendido si la radiacion incidente es una

onda electromagnetica clasica.

Compton (e independientemente Debye) interpreto el resultado de este experi-

mento postulando que los rayos x incidentes son fotones con energıa E = hν, que

chocan con electrones libres del blanco

∆λ = λC(1− cos θ)

donde λC es la llamada longitud de onda Compton.

Nota: Algunos fotones son dispersados por electrones libres en la colision, estos

fotones modifican su longitud de onda. Otros fotones son escatereados por electrones

que permanecen ligados en la colision, estos fotones no modifican sus longitudes de

onda.

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Figure 7: Arreglo experimental del experimento de Compton. La longitud de onda es-

catereada es medida observando reflexion de Bragg en un cristal.

Figure 8: Resultados experimentales del experimento de Compton.

El proceso que escaterea fotones sin cambiar la longitud de onda es llamado

scattering de Rayleigh.

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2.4 La naturaleza dual de la radiacion electromagnetica

La necesidad de una interpretacion de ciertos procesos de interaccion de radiacion

con materia usando fotones es clara, pero al mismo tiempo necesitamos de la teorıa

ondulatoria de la radiacion para entender los fenomenos de interferencia y difraccion.

2.5 Fotones y produccion de rayos x

De acuerdo con la fısica clasica, el frenado de electrones, llevados hasta el reposo en

un material que actua de blanco, resulta en la emision de un espectro contınuo de

radiacion electromagnetica.

El aspecto mas notable es que hay una longitud de onda mınima bien definida y

segun la teorıa electromagnetica no hay razones para esto.

El hecho de la longitud de onda mınima se puede explicar si consideramos los

rayos x como fotones.

Como se ve en la figura, el electron de energıa K reduce su velocidad al encontrarse

con un nucleo, y la energıa perdida aparece aparece en forma de radiacion.

El electron interactua con el nucleo por medio del campo de Coulomb, trans-

firiendo momentum al nucleo. La desaceleracion del electron conduce a la emision

del foton.

hν = K −K ′ → hc

λ= K −K ′

Los electrones del haz incidente pueden perder diferentes cantidades de energıa

en tales encuentros y lo usual es que el electron llegue al reposo despues de muchos

encuentros. Ası los rayos x producidos por muchos electrones forman el espectro

Figure 9: Tubo de rayos x. Los electrones se emiten de un catodo C calentado y son

acelerados por una diferencia de potencial hacia el blanco. Los rayos x se emiten cuando

los electrones son frenados bruscamente.

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Figure 10: Tubo de rayos x. Los electrones se emiten de un catodo C calentado y son

acelerados por una diferencia de potencial hacia el blanco. Los rayos x se emiten cuando

los electrones son frenados bruscamente.

contınuo. La longitud de onda mas corta se produce cuando un electron pierde toda

su energıa cinetica si se detiene de una.

eV =hc

λmin

El espectro contınuo de rayos x es frecuentemente llamado bremsstrahlung.

Nota: El proceso de bremsstrahlung no solo sucede en tubos de rayos x, tambien

se da con electrones rapidos chocando con materia como con rayos cosmicos en el

cinturon de van Allen o en el frenado de electrones provenientes de aceleradores de

partıculas.

Figure 11: El proceso de Bremsstrahlung es el responsable de la produccion de rayos x.

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2.6 Produccion de pares y aniquilacion de pares

Este es un excelente ejemplo de energıa en masa y energıa cinetica, que se debe

abordar con la dinamica relatista estudiada antes.

2.7 Seccion eficaz para la absorcion de fotones y scattering

Cuando un haz de fotones uncide sobre un trozo de material, los fotones pueden

interactuar de diversas formas con los atomos (efecto fotoelectrico, produccion de

pares, Rayleigh y Compton), los que remueven electrones de la direccon horizontal.

La probabilidad de que un foton de cierta energıa sea absorbido, por ejemplo por

efecto fotoelectrico esta especificado por la seccion eficaz fotoelectrica σFE.

Nota: Para los restantes procesos, se tendran las respectivas secciones eficaces,

esto es de interres para el fısico medico que disena una maquina de rayos x, o para

el ingeniero nuclear que disena las protecciones para un reactor.

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