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CAPTULO I. Longitud Efectiva para columnas en compresin.

La longitud efectiva de una columna es la distancia entre los puntos de

inflexin en su posicin deformada al momento del pandeo. En otras palabras,

es la longitud en curvatura simple que adopta el elemento debido a la carga de

compresin que provoca la inestabilidad, o la bifurcacin del eje longitudinal.

Esta longitud efectiva depende de las condiciones de borde que existan en los

nudos de la columna; mientras mayor sea el grado de restriccin provisto por los

apoyos, menor ser la longitud efectiva.

Para casos sencillos como columnas articuladas o empotradas, con

desplazamiento o sin desplazamiento lateral de sus nudos, es relativamente

sencillo determinar su longitud efectiva; ya que la misma se puede evaluar a

travs de un equilibrio interno en la posicin deformada del elemento. Sin

embargo, cuando se trata de las columnas que pertenecen a un marco, cuyas

restricciones en los nudos estn dadas por las rigideces relativas de vigas y

columnas, la determinacin de la longitud efectiva se torna en una tarea ms

compleja. Para columnas de marcos arriostrados lateralmente, la longitud

efectiva es menor que la longitud real de la columna, y es conservador tomarla

igual a la altura real. Por otro lado, las columnas de marcos no arriostrados

lateralmente, tendrn valores de longitud efectiva mayores que las longitudes

reales, en cuyo caso ser necesario la evaluacin de este parmetro.

3

El concepto de longitud efectiva es un mtodo para evaluar la estabilidad

de un marco, el cual estima los efectos de interaccin del marco total sobre un

elemento a compresin considerado. Este concepto utiliza un factor (K) que

multiplica a la longitud real del elemento (L), para obtener una longitud efectiva

(KL), equivalente a la de un miembro doblemente articulado sujeto solamente a

carga axial.

Existen varios mtodos racionales para estimar la longitud efectiva de las

columnas con suficiente exactitud. Uno de ellos hace uso de nomogramas para

encontrar de forma grfica el factor K, a partir de las rigideces relativas de las

columnas y vigas que convergen en los nudos del elemento. Estos nomogramas

estn basados en suposiciones ideales, que raramente existen en estructuras

reales. Estas suposiciones son las siguientes:

- Comportamiento puramente elstico.

- Todos los miembros tienen seccin transversal constante.

- Todos los nudos son rgidos.

- Para marcos arriostrados, las rotaciones en los extremos opuestos de

las vigas son iguales en magnitud, produciendo flexin en simple

curvatura.

- Para marcos no arriostrados, las rotaciones en los extremos opuestos

de las vigas son iguales en magnitud, produciendo flexin en doble

curvatura.

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- Los parmetros de rigidez de todas las columnas EI

PL son iguales.

- Las restricciones nodales se distribuyen a las columnas arriba y abajo

del nudo en proporcin a I / L de las dos columnas.

- Todas las columnas se pandean simultneamente

- La carga de compresin de las vigas no es significante.

El nomograma es una solucin grfica de las siguientes ecuaciones

trascendentales:

Marcos Arriostrados:

1/

)2/(2

)/(

/1

24

2

b

b

b

bBA

b

BA

k

ktan

ktan

kGG

k

GG

Marcos no arriostrados:

)/(

/

)(6

36)/( 2

s

s

BA

sBA

ktan

k

GG

kGG

en donde:

vigas

columnas

LEI

LEIG

/

/

La hoja electrnica Nomograma.xls, es una solucin numrica de estas

ecuaciones. Contiene una base de datos con la informacin correspondiente a

5

todos los perfiles de acero estndares: secciones W, canales, secciones T,

ngulos simples y dobles, tubos cuadrados, rectangulares y circulares. Adems,

posee un programa en Visual Basic que aproxima la solucin de las ecuaciones

del nomograma aplicando el mtodo de la falsa posicin (Regula Falsi).

El siguiente flujograma esquematiza el funcionamiento del archivo

Nomograma.xls.

Inicio

Condicin del nudo A Empotrado : CA = 1 Articulado : CA = 2

Conexin Viga Columna: CA = 3

CA GA = 10 GA = 0.11 2

3

Columna Superior: ICAS, LCAS Columna Inferior: ICAI, LCAI Viga Izquierda: IVAI, LVAI Viga Derecha: IVAD, LVAD

1

Figura N 1-1. Flujograma del archivo Nomograma.xls

6

Condicin del nudo B Empotrado : CB = 1 Articulado : CB = 2

Conexin Viga Columna: CB = 3

CBGB = 0.1 1 2

3

Columna Superior: ICBS, LCBS Columna Inferior: ICBI, LCBI Viga Izquierda: IVBI, LVBI Viga Derecha: IVBD, LVBD

1

Avigas

columnas

ALI

LIG

/

/

Bvigas

columnas

BLI

LIG

/

/

Fin

Rutina de Regula Falsi Kb Ks

GB = 10

Figura N 1-1. Flujograma del archivo Nomograma.xls

7

Rutina de Regula Falsi Kb Ks

KI, KD, GA, GB

For I = 1 To 100

)()(

)()(

ID

IDDIW

KfKf

KfKKfKK

0)()( DI KfKf KI = KW KD = KW

001.0

001.0)(

ID

W

KK

or

Kf

No S

S K = KW

C

No converge

Retornar

Figura N 1-2. Flujograma de la Rutina Regula Falsi

8

Ejemplo:

Determinar las longitudes efectivas de las columnas del marco

presentado.

Aplicando el programa Nomograma.xls se pueden obtener los siguientes

resultados:

Columna N Seccin GA GB K

AB W8 x 35 0.43 10.00 1.77

BC W8 x 24 0.31 0.43 1.12

DE W8 x 40 0.37 10.00 1.76

EF W8 x 35 0.48 0.37 1.14

GH W8 x 24 0.37 0.10 1.08

10

12

30 20

W21x62 W16x36

W18x50

W8x35

W8x24 W8x35

W8x40 W8x24

A

B

C F

G

E

D

H

Figura N 1-3. Ejemplo del archivo Nomograma.xls

Tabla N 1-1. Resultados del archivo Nomograma.xls

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Fig. N 1-3. Ejemplo del archivo Nomograma.xls