7/24/2019 longitud de un arco

1/13

1

LONGITUD DE UN ARCO

: longitud del arco comprendido entre y La longitud del arco, de la curva

, comprendido entre las abscisas

= y

=

viene dado por la integral definida:

= 1 DEMOSTRACIN DE LA FRMULA:

= == 1

=1

7/24/2019 longitud de un arco

2/13

2

lim = lim 1

=lim 1 lim =1

=1 =1

= 1 EJEMPLOS:1) Hallar la longitud del arco de la funcin: = en el intervalo , .

Grfica: Derivando:

= 1= 1

Integrando: = 1 = 1 1 = 2

=2

=2 20 =22 0 = 22

7/24/2019 longitud de un arco

3/13

3

Comprobacin:1.- Geometra Analtica0;1 2; 1

= =

=2 01 1 =4 4 =8 = 22 2.- Trigonometra =

=2 2 =8 = 22

2) Hallar la longitud del arco de la funcin = en el intervalo para ;.Grfica: Derivando:

= =23 = 23

Integrando: = 1 = 1 23

= 1 49

7/24/2019 longitud de un arco

4/13

4

= 9 4

9

= 13 9 4 = 9 43

= 3

6

= 118 = 118 23 271

= 9 4

= 9 23 = 6 =6

= 127 9 4 271 = 127 927 4

127 91 4

= 127 783,66 46,87 =736,7927 = 27,29

7/24/2019 longitud de un arco

5/13

5

3) Hallar la longitud de la curva = del punto donde = hasta el punto donde = .Grfica: Derivando:

= 1= 1 =1

=23 1

23

=1 Integrando: = 1

= 1 1

= 1 1

= 1 1 = 1 1 1

=

1

7/24/2019 longitud de un arco

6/13

6

=

=32 118 =32 132 18

=3238

=98

4) Obtenga la longitud de la curva = del punto donde = hasta elpunto donde = .Grfica: Derivando: =13 3 1

=32 16

Integrando: = 1

=

1 32

16

7/24/2019 longitud de un arco

7/13

7

= 1 94 12 136

= 94 12 136 Factorando: 2 32 16 =12 = 32 16

= 32 16 =32

32 16

1241

= 13

4

1

=4 13 4113 1 = 8 23 1 13 = 7 13

=223

7/24/2019 longitud de un arco

8/13

8

5) Halle la longitud de la curva: = desde el punto ; hasta el punto ; .NOTA: Este ejercicio no se puede resolver como los dems, entonces se procede a

despejar y se resuelve, para hallar la longitud de la curva: 6 = 3desde = 1hasta = 2.Grfica: Derivando:6 = 3

= 36

= 6 36 =16 12 =16 312 1

=

2 1

2

Integrando: = 1

= 1 2 12 = 1 12 = 1 2 14

= 4 2 14

7/24/2019 longitud de un arco

9/13

9

= 2 14 Factorando: 2 1 = 1 = 14 = 12

=12 =12 13 121 =12 {13 212 13 1 11}

=12 831213 1 =12 176 =1712

6) Hallar la longitud de la curva

= si

;

.

Grfica: Derivando:= = 2

Integrando: = 1

= 1 2

7/24/2019 longitud de un arco

10/13

10

= 1 4 Cambio de variables:

= 1 4 tan2 sec 2 = 1 4 tan 4 sec 2

=12 1 tan sec

= 0 tan = 20 = tan0 = 0 tan = 2 =tan 2 sec = 2sec

2 =

=12 t a n = 2 12 = tan1 =4

=12 sec sec =12 sec

Calculamos la integral:sec

=sec sec = sec = sec

= sec tan

= sec

= tan.= tan sec tan sec tan = tan sec tan sec

= tan sec sec

1 sec

= tan sec sec sec sec = tan sec sec secsec sec = tan sec sec

2 sec = tan sec ln|tan sec |

7/24/2019 longitud de un arco

11/13

11

sec =12 tan sec ln|tan sec |Reemplazando:

=12 sec =1212 tan sec ln|tan sec |40

=14 (1 2) ln1 2 0 1 ln|0 1|

=14 2 ln1 2 0,5738967873

Observacin:

7) Hallar la longitud de la curva = si ; .Grfica: Derivando:=

=

Integrando: = 1 = 1

= 1

Cambio de variables:

= 1 +

= 1 + Dividiendo:

= 1 = 12 = 2

= 1 =

= 0 = 1 = 1 1 =2 = 1 = 1 = 1 =1

7/24/2019 longitud de un arco

12/13

12

= 1 1 1 +

= 1 1

1 1 +

Fracciones Parciales:

= 1 12 1 12 1 + = 12 1+ 1+

= 12 ln 1 ln 1 1

2

= ln 1 1 1 2

1 1 1= 1 11 1 1= 1 1 1 1

1 1 1= 12 1 12 1

1 1 1= 12 1 12 1

1 = 1 1 = 1 1 = 0 1 1 = 12

= 1 1 = 1 1 0 = 12

= 1 2 ln 1 11 1 ln 2 12 1 2,003497112

8) Demostrar que la longitud de la circunferencia es =

=

= = = =

=

=12 2=

= 1

= 4 1 2 2 = 4 1 22 2 = 4 2 2 22 2

7/24/2019 longitud de un arco

13/13

13

= 4 2 2 Cambio de variables:

= 4

2 2sen2 cos

= 4 1sen cos = 4 coscos

cos =

= cos = cos

= 0 0 = sen =sen10 = 0

= = sen =sen11 =2

= 4 = 4 20 = 4 2 0 = 4 2 = 2