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Universidad Distrital Francisco José de Caldas Maestría en Educación
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ANEXOS
Anexo A: DISEÑO DE ENTREVISTA A DOCENTE
Tarea Criterios Hipótesis de hallazgos
1. ¿Qué significado
tiene para usted la
integral definida?
Badillo, Azcárate y Font (2011)
propone esta tarea para explorar los
significados que tiene el docente
sobre la integral, conduciendo a
identificar el conocimiento común y
global.
Información asociada al significado
o significados que otorga al objeto
matemático, generará datos en torno
al significado Institucional de
referencia, el conocimiento común,
y el elemento de significado:
Situaciones Problema.
2. ¿Qué tipo de
situaciones-
problemas-tareas-
ejercicios considera
útiles para introducir
en la enseñanza de la
Integral?
En Godino (2013) se presentan las
resolución de situaciones problema
como centro de la actividad
matemática, además es la “tarea” o
factor desencadenante de acciones,
representaciones y en general las
prácticas del estudiante y por ende
preocupación inicial del docente.
Evidencia del conocimiento
didáctico-matemático, es la
selección y/o adaptación de
situaciones problema pues allí se
caracterizan los significados
pretendidos, no aislados de la
dimensión epistémica del proceso de
estudio entorno a los fundamentos
de la integral: Aproximación y tasa
de acumulación.
3. ¿Son para usted
importantes los
problemas extra
matemáticos para la
enseñanza de la
integral?
La pregunta busca determinar si el
docente involucra contextos de uso y
situaciones problema que
condicionan el significado que se le
da a los objetos matemáticos
(integral), además se vinculan el tipo
de representaciones, procedimientos
y demás elementos validos en el
contexto enunciado.
4. ¿Qué
procedimientos
involucra y/o espera
de los estudiantes
cuando enseña la
integral definida?
Se espera obtener información respecto a los elementos primarios de
significado institucional pretendido, en particular del lenguaje, propiedades
y procedimientos que el docente espera que los estudiantes desarrollen. Así
mismo caracteriza el tipo de prácticas que desencadenarán las tareas
propuestas, enmarcadas en el contexto real de la institución, se infiere que se
informará sobre la adecuación del diseño al tiempo disponible y a los saberes
previos de los estudiantes.
5. ¿Qué conceptos
(Temas) están
relacionados con la
integral?
5.1. ¿qué deben saber
sus estudiantes para
afrontar las
(actividades)* que
usted le propone?
Este ítem está orientado a reconocer
el significado parcial de la integral,
partiendo de los conceptos
involucrados. Así mismo indaga
sobre elementos del diseño, como lo
son los saberes previos del estudiante
según la consideración del docente.
Aporta elementos entorno al saber
común y el saber especializado del
docente, en particular a lo que
relaciona el conocimiento del
contenido en relación con los
estudiantes y con el currículo,
generando información sobre la
relación: Docente-Saber y Docente-
Estudiante.
¿Qué idea (definición)
de integral definida
debe resultar en los
estudiantes de grado
Un décimo tras el
El ítem indaga por el conocimiento
didáctico-matemático del docente,
quien debe involucrar sus saberes de
la historia y epistemología de la
integral, así como la didáctica del
Se espera encontrar información
respecto al conocimiento
especializado del contenido en
relación con los estudiantes; con la
enseñanza; y con el currículo y el
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desarrollo de la
secuencia propuesta?
cálculo para develar desde los
significados de referencia, los
significados pretendidos.
contexto en el que se desarrolla la
práctica de enseñanza y aprendizaje.
Particularmente indicará elementos
(No solo la definición) de
significado institucional Pretendido.
¿Cómo se logra
convencer e invitar al
estudiante a defender
sus procesos,
definiciones y
conclusiones?
Es pertinente indagar sobre la
argumentación y validez de las
prácticas tanto del docente como del
estudiante.
Información relativa a uno de los
elementos de significado
(Argumentos) que reflejará su
relatividad al contexto de uso y
procesos que vinculan los
fundamentos aproximación y tasa de
acumulación. También informará la
dimensión cognitiva del
conocimiento didáctico al indagar
sobre la concepción que tiene el
docente de las manifestaciones del
estudiante.
¿Qué errores son
habituales en los
estudiantes cuando
(aprenden la integral
definida) abordan las
tareas alrededor de la
integral definida?
El diseño dado por el docente hace
parte de un proceso de estudio que
debe estar en coherencia con el
currículo e intereses de la institución,
así mismo debe basarse en la
consideración cognitiva donde se
prevén errores y dificultades.
Frente a la Dimensión cognitiva, el
docente describirá elementos
asociados a las prácticas esperadas
de los estudiantes (aciertos/errores)
involucrando todos los elementos de
significado que se enmarcan en el
significado institucional pretendido.
¿Qué estrategias,
materiales o recursos
involucra en la
enseñanza de la
integral?
Desde la perspectiva del EOS, se
considera la relevancia de los
materiales y recursos puesto que
condicionarán las prácticas de quien
se involucra con la tarea, entre otras
cosas, movilizará un tipo de
representaciones particulares y
determina la situación problema. El
libro de texto en particular orienta el
proceso de diseño, disponiendo de
tareas de contextualización,
ejercitación, aplicación,
profundización o priorizará algunos
de ellos.
Los conocimientos didáctico-
matemático ampliado, se relaciona
directamente con el significado
institucional de referencia y
pretendido; los libros de texto
informaran sobre elementos de
significado que se identificaran y
describirán desde el análisis
documental. Respecto al
conocimiento didáctico-matemático
especializado, este ítem brindará
información sobre la dimensión
mediacional.
¿Qué libros de textos
formales y de
matemática escolar
utiliza?
¿Qué papel juegan
esos textos en la
enseñanza de la
integral?
¿Qué rol desempeña el
docente y los
estudiantes en la
enseñanza de la
integral según lo que
ha dispuesto?
Lurduy (2009) señala que dentro del
sistema didáctico, adicional al diseño,
se presentan dos macro-categorías:
gestión y evaluación, las cuales están
interrelacionadas directamente, por lo
que es pertinente indagar sobre como
el docente piensa los roles, tiempos y
prácticas de los que participan en el
proceso de estudio.
Las consideraciones del docente
frente al diseño, anteponiéndose a
fenómenos que ocurren durante la
gestión, brindarán información
respecto a la Dimensión
interaccional y la relación docente-
estudiante y docente-contexto.
*Entre paréntesis son señalados algunos términos que favorecen la contextualización de las
preguntas.
Instrumento 1: Guía de entrevista (INESE 1)
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Anexo B: SIGNIFICADOS DE REFERENCIA PARCIALES DE LA INTEGRAL
Situaciones Lenguaje Procedimientos Proposiciones Conceptos Argumentos
Intu
itiv
a
Hallar el área de regiones
planas a través de
procedimientos que
requieren la utilización
implícita de la idea de
integral (Determinar el
área de un segmento
parabólico; de un circulo
por medio de las
sucesivas
aproximaciones de
polígonos regulares [de n
lados inscritos] cuya
cantidad de lados
aumenta infinitamente.
Parte del
lenguaje
común y
recurre al
lenguaje
geométrico,
aritmético y
algebraico
Utilización de métodos
intuitivos.
Procesos estáticos centrados
en cálculo actuales.
Propiedades de las series
y sucesiones.
Propiedades de las
operaciones de los
números reales
asociados a la medida.
El área de las sumas
inferiores o superiores
son aproximadas (tanto
como se quiere)
El concepto de integral
no ha sido formalizado
(o estudiado),
implícitamente se
manejan las nociones
de infinito y de limite.
Área de figuras planas
comprendidas entre
curvas, de polígonos;
partición, sumas de
cuadrados y cubos.
Suma de áreas. Sumas
inferiores y superiores.
Inductivos
[comprobación
de fórmulas
(suma de
cuadrados,…)]
Deductivos
(demostrar
resultados de
problemas con
ayuda de
propiedades
aritméticas, de
series y
limites)
Geo
mét
rica
De naturaleza
geométrica con
orientación al uso
implícito o explícito de
la integral.
Hallar el área de regiones
planas, hallar el volumen
de sólidos (de
revolución), calcular la
longitud de arco de una
curva, calcular el área de
una superficie de
revolución.
Predomina
el lenguaje
geométrico,
algebraico
y
simbólico.
- Análisis de propiedades
geométricas de las curvas
involucradas;
Reinterpretación del área
como suma de Riemman; -
Deducción de la integral,
como valor numérico de la
medida de la magnitud;
- Desarrollo de técnicas de
integración para encontrar
una primitiva;
- Desarrollo de métodos y
construcción de regiones
planas, discos y láminas,
sumas de muchas/infinitas
particiones. - Acumulación.
Caracterizar las curvas
desde sus propiedades
geométricas y su
interpretación como
familia de ordenadas.
Visualización de
relaciones geométricas.
Teorema fundamental
del cálculo, Regla de
Barrow, principio de
Cavalieri.
Límite de las sumas de
los infinitos rectángulos
en un intervalo cerrado
para hallar el área de una
región plana.
Áreas de regiones
planas, volumen de
sólidos, longitud de
arco de curva, área de
superficie en
revolución.
Recurrencia de
conceptos previos
como área del
rectángulo, volumen
del cilindro, teorema de
Pitágoras, limite, suma
de Riemman, derivada
y primitiva.
Deductivos
(justificar los
desarrollos
analíticos
sobre los
problemas
geométricos).
Cadenas
deductivas de
relaciones
geométricas
entre la curva y
las
construcciones
realizadas
sobre ellas.
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SIGNIFICADOS DE REFERENCIA PARCIALES DE LA INTEGRAL
Situaciones Lenguaje Procedimientos Proposiciones Conceptos Argumentos
Sum
ato
ria
Surge de los
problemas
geométricos desde
una representación y
tratamiento formal y
generalizado del
cálculo de áreas y
volúmenes.
De carácter
analítico,
simbólico y
algebraico.
Determinación del
límite de las
sumas de
Riemman.
Deducción de la
integral definida.
El límite de las sumas
de partes
infinitesimales
permite encontrar el
área de una superficie.
Acercamiento
intuitivo de una
sucesión que “Se
acerca a […]”.
Integral como el límite de una
suma; función (Familia de
ordenadas), limite,
infinitesimal, continuidad,
convergencia de series,
diferencial y derivada;
Infinitésimo (sucesión
convergente que tiene por
limite cero); Variabilidad de
la función. Limite como una
noción aritmética. La derivada
de una función continúa como
un límite.
Deducción formal
de propiedades y
expresiones
analíticas.
Fundamentados en
el rigor matemático.
Acu
mu
lad
a
Estudio del cambio y
del movimiento;
Calcular el cambio
acumulado de una
función que
representa una tasa de
variación en un
determinado intervalo
de tiempo.
Uso de la
representación
gráfica para
explicar la
variación;
Predomina el
lenguaje gráfico y
algebraico.
Cuantificar el
cambio
acumulado
Deducción de las
propiedades de la
integral. Teorema del
valor medio
Cambio acumulado, función,
partición, tasa de cambio,
limite, derivada, área y
volumen, trabajo, velocidad,
etc.
Uso del álgebra
geométrica para
visualizar las
proposiciones.
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL
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SIGNIFICADOS DE REFERENCIA PARCIALES DE LA INTEGRAL
Situaciones Lenguaje Procedimientos Proposiciones Conceptos Argumentos
Pri
mit
iva
Establecer la
relación inversa
entre la
integración y la
diferenciación.
Hallar la primitiva
de una función
calcular la
primitiva a partir
de las técnicas de
integración.
Algebraico y simbólico.
Secuencias de fórmulas y
relaciones con notación
simbólica, incluyendo las
alongada, limites superior
e inferior y “dx” como
notación del estudio de la
variación sobre la variable
“x”; Condicionado por las
primitivas inmediatas
cada función (expresión
simbólica); Algebra de los
infinitamente pequeños.
Desarrollos de cálculos
aritméticos.
Cálculo de integrales
como operación inversa
de las derivas
(Primitiva inmediata)
Uso y desarrollo de
técnicas de integración
(por Partes, por
sustitución, de
funciones racionales,
…)
Función primitiva
muestra la
correspondencia
entre dos funciones
para la integración.
Propiedades de la
integral, Teorema
fundamental del
Cálculo,
Propiedades de las
líneas curvas.
Conceptos previos
asociados a
polinomios,
funciones,
operaciones con
expresiones
algebraicas,
trigonometría,
simplificación, etc.
Primitiva, derivada,
función.
Partiendo de procesos
deductivos para la
demostración del
teorema fundamental del
cálculo y las
propiedades de la
integral indefinida,
permitiendo utilizar
estos resultados para
desarrollar cuestiones y
encontrar primitivas.
Extr
a-M
ate
mát
ica
Incluyente con la
conf. Primitiva. Aplicación de la
integral (hallar
primitivas) y
propiedades de
ésta en contextos
extra
matemáticos.
Lenguaje algebraico,
analítico y simbólico,
conjugado con el juego de
lenguaje impuesto por el
contexto (trabajo, fuerzas,
etc.)
Análisis de los datos del
problema.
Identificación de
fórmulas asociadas al
problema,
interpretación como
una suma de Riemman,
deducción de la integral
(Primitiva y el valor
numérico).
Teorema
fundamental del
cálculo, Sumas de
Riemman, Regla de
Barrow.
F es la primitiva de
g, si g es una de las
derivadas de f.
Emergentes del
contexto: Presión,
fuerza hidrostática,
momento, centro de
masa, función de
densidad de
probabilidad.
Heurísticos y deductivos
desde el comportamiento
de los conceptos
asociados.
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SIGNIFICADOS DE REFERENCIA PARCIALES DE LA INTEGRAL Situaciones Lenguaje Procedimientos Proposiciones Conceptos Argumentos
Tecn
oló
gica
Resolución de
problemas matemáticos
y extra matemáticos
desde la utilización de
software.
Uso predominante
de lenguaje
tecnológico,
algebraico,
simbólico y gráfico,
con especial
consideración del
lenguaje asociado a
la simulación del
movimiento y
cambio.
1. Manipulación manual del
problema para determinar la
función a integrar, llevada a
un desarrollador de
expresiones algebraicas. 2.
Exploración de problemas
mediante una secuencia lógica
de construcciones en el
software con cálculos
auxiliares. 3. Construcción
auxiliar de cuerpos
geométricos por exceso y por
defecto.
Teorema
fundamental del
cálculo, Sumas
de Riemman,
Regla del valor
medio.
Asociado a los
contextos
matemáticos y
extra-
matemáticos en
juego. Área,
volumen, cambio.
Corroboración de
propiedades con ayuda
de las herramientas del
software. Comparación
entre distintas
representaciones
incluyendo la gráfica y
los cálculos numéricos.
Interacción intuitiva
con la tecnología y los
conceptos.
Ap
roxi
mad
a
Encontrar el valor exacto de la integral
definida para problemas cuando no
se puede encontrar la
primitiva o no hay una
fórmula para la
función, una vez que
los datos se han
recogido desde
experimentos
científicos o lectura de
instrumentos.
Integración
numérica desde la
evaluación de
funciones en puntos
fijos.
Analítico,
algebraico, Tabular
y gráfico.
Integración numérica desde la
construcción de una función
escalonada considerando la
suma de rectángulos
construidos
Regla del punto
medio, regla de
Simpson, Regla
del Trapecio.
Aproximación
por extremidad
media, izquierda
y derecha. Error.
Área de
polígonos
(rectángulos,
triángulos y
trapecios)
Corroboración
procedimientos
numéricos con
expresiones analíticas
para el área de
rectángulos.
Deducción,
interpretación y
corroboración de
relaciones entre
representaciones
Tabla N° 2: Configuraciones parciales de la Integral desde los Elementos de Significado
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL
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Anexo C:
Configuración Global e intermedia de la Integral en el Libro de Texto
Matemático
Estructura del Texto indagado para identificar el Significado Institucional de
Referencia
El texto “Calculus” de Apóstol (1999) esta subdividido en partes en las que aborda
ejes temáticos asociados al cálculo, como se muestra a continuación: Parte 1.
Introducción histórica al Cálculo-, Parte 2. Conceptos básicos de la Teoría de
Conjuntos. Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistema de números Reales. Parte
4. Inducción Matemática, símbolos sumatorios y cuestiones relacionadas. Capítulo 1.
Los conceptos del cálculo integral. Capítulo 2. Algunas aplicaciones de la integración.
Capítulo 3. Función continúa. Capítulo 4. Cálculo Diferencial. Capítulo 5. Relación
entre integración y Derivación. Capítulo 6. Función Logaritmo, función exponencial y
funciones trigonométricas inversas. Capítulo 7. Aproximación de funciones por
polinomios. Capítulo 8. Introducción a las ecuaciones diferenciales. Capítulo 9.
Números Complejos. Capítulo 10. Sucesiones, series e integrales impropias. Capítulo
11. Sucesiones y series de funciones. Capítulo 12. Álgebra vectorial. Capítulo 13.
Aplicaciones del álgebra vectorial a la geometría analítica. Capítulo 14. Cálculo con
funciones vectoriales. Capítulo 15. Espacios lineales. Capítulo 16. Transformaciones
lineales y matrices.
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CONFIGURACIONES INTERMEDIAS De acuerdo a lo señalado dentro del EOS y por Crisóstomo (2012), las configuraciones
epistémicas y los significados son emergentes de sistemas de prácticas que resultan de
la resolución de problemas, la comunicación de resultados y la extrapolación de los
mismos, de allí que las unidades de contexto (Reconocidas como configuraciones
epistémicas intermedias), resultan de la enunciación del concepto, propiedades y
operaciones aplicadas al área vista como la función de un conjunto, donde S es una región
plana, para la cual se le asigna un área (a(S)). Se enunciarán los problemas referidos a
la integral dentro del texto a continuación:
A. La interpretación analítica y representación geométrica de la suma de secciones de
una función escalonada; B. Determinación de integrales para funciones, donde se
considera la función como una familia de ordenadas1, acudiendo el tratamiento analítico y
simbólico de las magnitudes y de las variables que se relacionan funcionalmente en la
construcción de rectángulos o sucesiones de polígonos en consideración de un sistema
de coordenadas (La determinación del área del circulo desde su representación como
sistema de coordenadas cartesianas), hasta acá se asocian las configuraciones parciales
de la noción matemática señaladas por Crisóstomo (2012) como Intuitiva, geométrica y
analítica. C. El cálculo del volumen de sólidos cuya área superficial es prefijada partiendo
de la integración del área seccional. De esta aplicación de la integral y el tratamiento
analítico sugerido, emerge la aplicación de la integral a conceptos de la Física, por ejemplo
en la determinación del trabajo desde la integración de una función de fuerza para el
desplazamiento de una partícula de un punto “a” a un punto b.
Ya en el desarrollo analítico de las propiedades del área e integración de funciones, se
habla de “Integral definida” para funciones continuas, partiendo de la construcción o
inscripción de una función escalonada de límite inferior en un determinado intervalo, que
implica el desarrollo de nociones intuitivas hacia su formalización.2
1
Si bien se habla de un tratamiento intuitivo, geométrico y analítico asociado a los problemas de áreas, los contextos sobre los cuales se
desarrolla esta noción matemática, incluyen cuerpos geométricos como curvas o polígonos, hasta incorporar regiones planas que se comportan según patrones escalonados de rectángulos; Todo esto lleva al estudio de regiones encerradas por funciones (entendidas como familias de
ordenadas). 2Se vinculan nociones de continuidad y límite de una función, se da un tratamiento simbólico y la demostración de propiedades y teoremas
analíticos.
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL
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En el último apartado, se asume el estudio previo del cálculo diferencial, desde el cual se
contextualiza la relación entre integración y derivación. Así y con un vasto cuerpo de
representaciones, propiedades, teoremas y expresiones analíticas se constituye el
problema de integración de funciones definidas e indefinidas desde la manipulación de las
derivadas y anti-derivadas. Como un apartado específico de problemas se busca la
derivada de una función integrada y viceversa, de manera tal que desde una manipulación
formal de la noción matemática sean evidenciadas las propiedades y operaciones con
anti-derivadas, teoremas fundamentales del cálculo y métodos de integración, como la
integración por partes. Este último campo de problemas devela una configuración
epistémica intermedia que según Crisóstomo (2012) se determinaría como una
“configuración epistémica formal de la integral”.
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Anexo D: Guia del Estudiante
Momento 1: Lea cuidadosamente la siguiente situación e intente dar respuesta a las preguntas
planteadas, apoyese en representaciones gráficas u otras, según considere necesario:
Situación 1:
El comprador de un lote esquinero de forma rectangular sabe que el valor de
éste se determina por la superficie o área. El dato que busca no está disponible
en el documento que acredita al propietario, sin embargo se sabe que la
longitud de la cerca implementada para encerrar (el frente y uno de los lados)
es 24.5 metros. Es necesario encontrar las medidas del lote, su área y precio.
¿Cuál podría ser el valor del lote si cada metro cuadrado tiene un valor de un millón de pesos?
¿Aumentaría el valor del lote si tuviese una forma de trapecio como en la figura?
Momento 2: De manera individual, realiza una lectura de la situación, intentando dar
repuesta/solución a las cuestiones planteadas:
Situación 2: La empresa El Roble,
trabaja por contrato en la elaboración
de estructuras en madera según
medidas y necesidades de sus
clientes, cobra $87.000 por metro
cuadrado procesado. El último cliente
solicita la construcción de una puerta
cuya forma y medidas se
especificaron en el siguiente
bosquejo:
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL
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Los encargados de medir y construir la puerta han presentado un inconveniente respecto a
los materiales, cuentan solo con una máquina que realiza cortes rectos, por lo que es imposible
obtener de manera inicial la curva superior de la puerta.
¿Cuántos retazos de madera (tablas de borde recto) se requieren para la construcción? Explique su respuesta
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Teniendo en cuenta que el cobro se realiza por la cantidad de metros cuadrados, ¿Qué cantidad de madera se necesita para la construcción de la puerta con tablas de bordes rectos?
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
¿Cuál será el costo de la puerta?
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Momento 4: Teniendo en cuenta los procesos realizados en las actividades anteriores, da lectura y
respuesta a la siguiente situación:
Situación 3: “El proceso de reestructuración de un tunel requiere de compuertas en sus extremos por
seguridad ambiental y laboral, el Arquitecto ha determinado que la forma de la entrada corresponde a
medio círculo, cuyo diametro es 4 metros , además ha determinado que cumple con las propiedades de
una sección cónica expresada por (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 4,
¿Cuál es la superficie de la entrada al tunel?
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Momento 3: Describa el proceso que usted considera óptimo para construir la puerta con las herramientas que se tienen.
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Anexo E: Transcripción de la entrevista al docente
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
ENTREVISTA a P1: Profesor Instituto Clara Fey Gestor del Proceso de Estudio: Acercamiento a la enseñanza de la integral definida
Instrumento: INESE 1 Duración: 50 Minutos
I: Investigador P1: Entrevistado
INTRODUCCIÓN
I: Buenas tardes: Inicialmente quisiera agradecerte por participar y colaborar en el desarrollo de este proyecto, entiendo que es complicado articular las actividades que habitualmente se deben desarrollar en la institución con este tipo de trabajos…. Espero que los resultados de este trabajo no solo me permitan desarrollar la investigación, sino que nos permita reflexionar y aprender conjuntamente sobre la enseñanza del cálculo. P1: Aunque en verdad por estas fechas hay bastante trabajo y por la cantidad de actividades programadas en la institución se ha perdido muchas clases, en especial con las chicas de once. Creo que puedo participar en tu trabajo, igual según lo que me comentas, las clases las tengo que hacer normalmente y no debo aprenderme algo adicional, ¡Porque no hay tiempo! I: Exacto, yo te buscare en algunos momentos para acordar aspectos acerca del diseño, la grabación y las entrevistas que te comentaba. P1: O.k. I: Comencemos, la idea de este trabajo es estudiar lo sucedido con la enseñanza de la integral definida, en particular con los conceptos y procesos asociados, quisiera saber ¿Cómo vez este año el proceso de enseñanza de la integral y los otros conceptos del cálculo? P1: Mmm, bueno, con grado once siempre se dificulta por el tiempo ver todos los temas que aparecen en la malla (Malla Curricular de la Institución), con los límites y las derivadas, la verdad fue que se abordaron desde las propiedades y las formulas, con talleres y ejercicios, ahí lo importante es que manejen el álgebra bien, los casos de factorización, la simplificación… Todos esos temas de noveno y octavo. Para la integral, normalmente se inicia con las integrales indefinidas, se trabaja con las anti-derivadas y se resuelven ejercicios para los distintos tipos de funciones. I: ¿Ya iniciaste con las integrales este año? P1: Bien, como le comentaba, se debe ajustar la programación de clases a las actividades de once, el retiro, la salida pedagógica y ellas organizan otras actividades casi todas las semanas. La próxima semana (29/09/2014 a 03/10/2014) inicio ya con eso y voy a aprovechar para relacionar algunas cosas con Física (asignatura también dirigida por P1), la notación y algunos problemas al final. Pretendo iniciar con problemas de áreas, después las propiedades y problemas y terminar con lo de las anti-derivadas. I: ¿Qué significado tiene para usted la integral definida? P1: Si, bueno normalmente los libros y la malla muestran son las anti-derivadas, colocan tipos de funciones y distintos métodos y reglas para deducir las integrales de distintas funciones, ahí a los estudiantes les va mal porque no manejan la factorización y comenten muchos errores. Yo personalmente desde que estaba en la universidad he visto que hay varias definiciones de la integral: aplicaciones a problemas, las anti derivadas y el área bajo la curva, esa sería la misma que las sumas de Riemman…. I: ¿Qué significan cada una de esas? P1: Con las anti-derivadas lo que se sabe es que hay funciones que son integrables y dependiendo el tipo de función que sean, se puede utilizar la propiedad de la derivada de una Función, es decir, uno cuando deriva va desde “f de x a la derivada” [f(x) -› f´(x)], ahora es al revés, vamos de esa derivada a la función inicial, la primitiva [f´(x) -› f(x)], solo que se le llama primitiva, entonces para una función buscamos su anti-derivada, y si cogemos esa anti derivada y la derivamos nos va a dar la función que se está integrando, de hecho si le colocamos más uno, más dos, cualquier número acá, esa derivada va a ser la misma. Con lo de los problemas y aplicaciones, lo que se hace es que dependiendo de la pregunta, se pueden utilizar las anti derivadas y evaluarla en los dos valores o limites que nos pidan, depende del tipo de problemas, por ejemplo cuando se integran funciones de la velocidad de un objeto, se puede encontrar el recorrido que ese objeto ha realizado. I: ¿Esas son las formas comunes de enseñar la integral? P1: si, bueno lo de las áreas es que la integral también es el área debajo de la curva, si yo tengo una función o una figura en el plano cartesiano, puedo determinar el área que queda encerrada entre dos líneas
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14
52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
perpendiculares que son los limites inferior y superior, arriba la curva o la función y abajo el eje de las equis. Se puede resolver de varias maneras, yo me acuerdo que para el círculo no se utiliza todo lo de la integral, pero se hacen procesos con triángulos para tratar de medir el área, y si se hace en el plano cartesiano más aproximado o exacto se puede con las sumas de Riemman, que es armando debajo de la curva una serie de rectángulos con las bases “pequeñitas” y la unión de todos ellos, hace que se aproxime su área al área de la curva, ahí también se necesitan artos conocimientos de álgebra, de sumatorias, de límites para que no quede solo en cosas intuitivas de la medida a donde se acerca la suma de rectángulos. I: Bien, ¿esa última manera de ver la integral es cómo vas a iniciar a ver las integrales? P1: si, inicialmente vamos a dar un tiempo para eso y al final trabajamos las anti derivadas y reglas de integración. I: ¿Qué tipo de situaciones-problemas-tareas-ejercicios considera útiles para introducir en la enseñanza de la Integral? P1: Mmmm Depende, depende de lo que uno quiera lograr con los estudiantes, por ejemplo si la idea es cumplir con la malla y los temas a veces toca pasar directamente a las anti-derivadas y proponer unas aplicaciones, ya que las reglas son artas y para que las manejes los estudiantes se deben hacer ejercicios con cada tipo de funciones y trabajar las propiedades. Pero, para enseñar lo mejor es iniciar con problemas de distintos tipos de áreas de figuras curvas, volúmenes, problemas del cálculo del área bajo la curva por sumas y aplicaciones como tal, para que le den sentido de que son y ara que sirven las integrales y todas esas fórmulas. Ahorita tenemos casi un mes para trabajar las integrales así que voy a proponer más o menos dos semanas con problemas de áreas, primero las figuras geométricas en problemas o aplicaciones, que ellos hallen el área. Después yo creo que lo más apropiado sería trabajar con problemas de áreas bajo la curva, con métodos más específicos, usando las sumas de Riemman, el método de aproximación con rectángulos e ir formalizando para utilizar cálculos concretos y más aproximados. Cuando se vaya a profundizar en el tema para pasar a las propiedades y anti derivadas, se vinculan eso problemas de áreas con límites y cálculos hasta llegar poco a poco a la definición formal. ¿Son para usted importantes los problemas extra matemáticos para la enseñanza de la integral? P1: Realmente sí, no siempre hay tiempo para trabajarlos con la profundidad necesaria, pero son esos problemas extra matemáticos los que le dan sentido al porqué de la integral, ayudan a los estudiantes a tomar decisiones sobre los procesos que se deben aplicar para resolver el problema. Para uno como profesor también permiten explicar y socializar tanto la situación, como los distintos procesos que se quieren aclarar, depende del problema y de los conocimientos que ya tienen los estudiantes, pues si se coloca un contexto, pero no es del todo clara la relación con la integral, las chicas pueden confundirse aún más. Por ejemplo, en un problema de física sobre el “trabajo”, no es inmediato que los estudiantes comprenden que se debe utilizar la integral. I: ¿Qué procedimientos involucra y/o espera de los estudiantes cuando enseña la integral definida? P1: Puntualmente, en la manera como estoy pensando abordar esa temática este año, esperaría que los estudiantes iniciaran reconociendo y ejecutando los procedimientos necesarios para calcular el área de figuras a partir de las básicas, es decir, rectángulos y triángulos, no solo que los dibujen, sino que también puedan escribir las cantidades y deducirlas de manera sistemática. Posteriormente esperaría que los estudiantes utilicen esos procedimientos para hallar áreas de figuras encerradas por curvas, por ejemplo en el círculo que utilicen triángulos y cuadrados de distintas dimensiones para agotar la superficie. Conforme iniciemos el trabajo más formal con la integral, lo ideal es que los estudiantes partan del tipo de curva para organizar las secuencias de figuras o rectángulos que harán parte de la suma. Al finalizar esa parte los estudiantes deben reconocer que no hay una respuesta inmediata para el área bajo la curva, y que dependiendo de la aproximación, cantidad y tamaño de los rectángulos se obtendrán valores que nos sirvan como solución para el problema. I: ¿Qué Temas están relacionados con la integral? P1: Cuando los estudiante desarrollen la actividad, ellos deben tener en cuenta y usar procesos relacionados con el área y problemas de álgebra geométrica, no solo que el área del rectángulo es base por altura, sino que dependiendo de las propiedades de las figuras, va a haber unos procedimientos específicos. También deben saber simplificación de expresiones algebraicas, factorización, cosas de límites, cómo varían las magnitudes de las figuras, por ejemplo al fijar el perímetro, funciones para caracterizar las curvas, sumas y series para facilitar el cálculo de sumas de rectángulos que se comportan según un patrón. I: ¿Qué deben saber sus estudiantes para afrontar las actividades que usted le propone? P1: Aparte de los temas que le mencione y algo que es una dificultad casi siempre con ellas, es que sepan leer los problemas, por lo general no comprenden y preguntan ¿Qué hay que hacer?, es importante que utilicen el razonamiento lógico para comprender lo que les pide el problema, pero bueno, en esa parte inicial del cálculo también se necesita que los estudiantes manejen bien la aritmética, las operaciones, las propiedades, eso hace ruido cuando se necesita operar o relacionar cosas, magnitudes. Por ejemplo, cuando ellos tienen un segmento con longitud fija k, y un segmento l contenido en él desde uno de los extremos, se les dificulta reconocer cuánto mide el segmento restante, es decir k menos l.
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL
15
109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 152 153 154 155 156 157 158 159
I: ¿Qué idea (definición) de integral definida debe resultar en los estudiantes de grado Un décimo tras el desarrollo de la secuencia propuesta? P1: pues, mmm… básicamente espero que después de estas primeras actividades se logre que los estudiantes hablen de la integral como un concepto y como un proceso, por un lado digan que la integral definida se asocia al cálculo del área bajo la curva y delimitada por un eje del plano cartesiano y dos limites, uno superior y otro inferior, resultando una cantidad que mide esa cantidad de superficie. Y en cuanto al proceso, yo esperaría que para calcular esas áreas, los estudiantes comprendan la dificultad para inscribir los rectángulos y encontrar con esos cálculos iniciales una cantidad exacta para la integral, pero si logren reconocer que se acerca o que si se incorporan otros métodos o conceptos como el límite, se llega a respuestas de otro tipo. I: ¿Cómo se logra convencer e invitar al estudiante a defender sus procesos, definiciones y conclusiones? P1: Lo ideal es que el estudiante resuelva las situaciones, puede llegar a una respuesta correcta al final, como puede que presente dificultades, por eso es que el estudiante para defender sus procesos comunicará sus decisiones y los demás contrastaran con sus propios procesos, siempre está abierta la posibilidad de refutar o estar de acuerdo con las posturas o procesos de los compañeros. La idea es que todos sus argumentos se soportes en los procesos que realicen y que se apoyen en la visualización, ese es el aporte del problema con las áreas. I: ¿Qué errores son habituales en los estudiantes cuando (aprenden la integral definida)? P1: Comúnmente los estudiantes tienen dificultades al confundir las reglas que aplican en cada problema; los casos de factorización ya se les han olvidado, incluso hay muchos que comenten errores con los cálculos básicos, operaciones, despejes y cuando remplazan las variables. Con los problemas del cálculo de áreas, ellos hacen los cálculos esenciales, pero algunos no ven la necesidad de hacer por ejemplo rectángulos cada vez más pequeños para recubrir la superficie y se conforman con aproximaciones no muy buenas. En eso mismo, encuentran los rectángulos pero no logran representarlos de una manera formal para hallar los valores buscados. I: ¿Qué estrategias, materiales o recursos involucra en la enseñanza de la integral? P1: Algunas veces se les presenta diapositivas con imágenes que explican la integral, pero casi siempre la ayuda visual la da el tablero. I: ¿Qué libros de textos formales y de matemática escolar utiliza? P1: ese es otro recurso que tenemos los profesores del colegio, se usa el libro matemáticas 11° de Santillana para apoyar las explicaciones y retomar ejercicios; para planear las clases, por lo general necesito retomar algunas cosas que se me han olvidado, para saber al que quiero llegar cuando se resuelvan los problemas, para eso utilizo el Cálculo de Apóstol, ahí es claro la manera como lo presentan y contiene desde lo esencial hasta lo formal, además aparecen tanto los problemas de área, aplicaciones y propiedades y teoremas formales. I: ¿Qué rol desempeña el docente y los estudiantes en la enseñanza de la integral según lo que ha dispuesto? P1: Al comienzo es necesario empezar a revisar o retomar ejercicios de álgebra, ecuaciones, casos de factorización, por eso yo propongo unos ejercicios o problemas básicos sobre áreas, los estudiantes lo ideal es que los resuelvan para suplir dudas. Después de eso, se les propone un problema y se aclaran las dudas iniciales para que ellos trabajen por grupos y yo paso por cada grupo mirando avances, vigilando el trabajo, solucionando dudas, que si son importantes se aclara en ese momento para toda la clase y si veo que los grupos van desorientados les hago preguntas o doy pistas que los ubique en la solución de problemas. Cuando todos los grupos han avanzado y algunos ya llegan a conclusiones sobre el problema, se les propone socializar los procesos, entre ellos se van corrigiendo o complementando y cuando vea conveniente se va formalizando y dando las conclusiones y definiciones finales. I: Muchas Gracias profesora, con esta información y su ayuda yo creo que la investigación va a avanzar, por ahora eso es todo, pero cualquier cosa yo acudo nuevamente en búsqueda de tu ayuda. P1: no se preocupe, desde que haya posibilidad de colaborar, cuente con eso. En el transcurso de la próxima semana nos contactamos para gestionar lo de la grabación. …
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16
Anexo F: Distinción y transcripción de video grabaciones de la gestión de clase [FRAGMENTO]
Unidad Trascripción-
Práctica discursiva
Prácticas operativas (Acciones) Prácticas normativas (teoría)
1 E: ¿Cuál de esas
para tener en
cuenta?
Señala la gráfica y el enunciado
2 P: Para marcar las
tablas, esta es la
puerta que les va a
ayudar
3 E: Si esta es la
puerta
P y E señalan el borde de la puerta
delimitando la curva y los limites,
incluyendo la base (eje x)
4 E: primero
necesitamos saber
cuántas tablas
necesita para la
puerta
5 P: A simple vista
cuantas tablas se
necesitan para
construir la puerta.
4 E: dos Señalando dos rectángulos inscritos
uno sobre otro dentro de la puerta
5 P: Recuerden que
solo se pueden sacar
cortes rectos. O sea
que con solo dos
tablas ya le salió la
puerta
P señala las dos tablas desde los
bordes, dejando ver que sobran unos
espacios o que las tablas no coinciden
con el borde de la puerta. La docente
va a la guía, lee la situación problema
y las condiciones que allí se
especifican, para así refutar o validar
la afirmación de las estudiantes.
6 P:
¿Entonces cómo
hacemos para que
quede bien?
7 E: Acá vamos a
colocar otras más
pequeñas.
E señalan los lugares y formas que van
a tener las tablas para rellenar la
puerta
8 P: o sea que para no
perder la forma
curva de la puerta,
van a colocar más y
más pequeñas tablas
por ahí.
Resume la idea de la estudiante de
agotar la superficie de la puerta sin
secuencia u orden alguno.
9 E: E: Marca Tablas dentro de la puerta
tratando de acaparar toda la superficie
de la puerta y armando agrupándolas
de manera que se formen tablas más
grandes.
Buscan simplificar el cálculo del
área
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL
17
10 E: Intenta abordar la situación
problema desde la segunda pregunta:
desde los cortes que se necesitan, para
ello señala rectas secantes que se
acerquen a la curva.
11 E: Ella lo que está
haciendo es
cogerlos por tramos
así [Rectángulos de
base pequeña],
siguiendo las líneas
[cuadricula de la
guía]
Con el Lápiz señalan, marcan y
delimitan los rectángulos o tablas
construidas, hablan de las propiedades
de la curva, [aquí es más difícil,
porque el corte no coincide con el
borde, es más curvo]
12 E: Cuando se hace
la línea acá [señala
una secante en la
curva], se mantiene
el corte recto, es en
diagonal pero sigue
siendo recto
E: Cuando se hace la línea acá
[señala una secante en la curva], se
mantiene el corte recto, es en
diagonal pero sigue siendo recto
14 E: yo lo que digo es
que se quieren hacer
los cortes, acá
podría ir un corte,
no necesariamente
los cortes son
horizontales.
[Remarcan otras líneas formando
trapecios y dejando ver que ocupan
más espacio, eliminan la conjetura de
que los cortes deben ser horizontales
siempre]
15 E: Acá podemos
partir este segmento
en dos y hacer
[Marcan lugares donde la tabla
construida genera mayor sobrante o
espacio no ocupado, allí hacen más
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18
cortes más
pequeños, con eso
se acerca ahí más a
la curva.
cortes], [No todas las tablas deben ser
de la misma base], [Camino hacia una
secuencia en los cortes solo de la base]
16 E: Si mira, acá esta
la puerta es desde A
hasta B, a los lados
es fácil el corte.
Marca y recorre el borde de la puerta
con la mano.
17 E: Abajo es más sencillo, porque
podemos hacer una tabla como
cuadrado. [Uso de las definiciones
de área para delimitar el problema
al área bajo el segmento de
parábola]
18 E: ¿Esto viene en
centímetros o
Metros?, mmmm,
metros
19 E: esta tabla viene
de aquí a acá. E2: de
A hasta B.
[señala en la gráfica los extremos en la
base y altura de las tablas construidas,
acude al lenguaje geométrico al
nominar los puntos vértice]
21 E2: No podemos
construir una sola
tabla más grande
acá que reúna estas
otras
[Como estrategia asume que puede
agrupar varias tablas y armar una sola
de mayor tamaño], propiedad de la
magnitud superficie, aditivita un
conjunto y sus partes. Conservación de
la magnitud.
24 E: No, la idea es
hacer la puerta
completa, pero acá
por más pequeño
que sea el corte, va
a ser más o menos
curvo, o sea ¿Cómo
hacer esas curvas?
Ahí tocaría hacerlo
manual o hacer
muchas tablas
pequeñitas para que
casi no se note.
[reconocimiento de un problema con
los infinitesimales, acercarse a la
curva, aproximar la superficie de un
polígono a la de la gráfica, …]
25 E: Se supone que la
puerta debe abrir
P: Por la mitad o por
un costado
Las estudiantes indagan sobre los
cortes necesarios para abrir la puerta y
detectan una propiedad adicional, la
simetría desde el corte vertical por el
punto medio de la base que coincide
con el vértice de la puerta. Así es
necesario construir media puerta,
contar el número de cortes, de tablas y
multiplicar por dos, han simplificado
la cantidad de procedimientos.
26 P: si ustedes quieren
esa puerta ara el
apartamento de sus
[La docente valida los procedimientos
de las estudiantes, quienes para
perfeccionar los bordes de la puerta,
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL
19
sueños y les
entregan la puerta
así, la aceptarían,
que sobrará eso.
[allí está añadiendo
un argumento
asociado a la
belleza, perfección y
exactitud con el que
las estudiantes
identificaran que
entre mejor sea la
aproximación, más
óptima será la
respuesta que
buscan]
recurren a argumentos empíricos como
“coger la máquina y seguir el borde de
la puerta o lijar los bordes puntudos”]
29 P: efectivamente
para que no
devuelvan las tablas
necesitamos hacer
unos cortes
estratégicos.
E: Acá tomamos dos
tablas de 2,5 por 1
metro y hacemos 6
cortes a cada lado,
entre más cerca a la
cima, más pequeños.
32 P: ¿Cuánto valdría
la puerta entonces?,
pero el señor no se
va a llevar este
excedente de
madera, ¿o sea que
pagaría más de lo
que se lleva, no?
Simultáneamente las estudiantes
determinan que los 5 metros
cuadrados valen proporcionalmente
$435.000 [proporcional al precio de un
metro cuadrado]
37 E: acá no estaría el
metro completo
porque ya le
cortamos, entonces
¿cuál sería el precio
aproximado?
Muestran los cálculos parciales.
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20
Anexo G: Organización y reducción de la información: Significado I. Implementado
Nivel de
expresión
Icónico Indicial Simbólico
Situación
problema
Hallar el área de la
puerta
Cuantas tablas
caben en la puerta
Todos intentaron
realizar la puerta sin
entrar en perdidas,
ni estafar al cliente,
es decir, siendo
justos.
A simple vista cuantas tablas se
necesitan para construir la puerta
P: Recuerden que solo se pueden
sacar cortes rectos. O sea que con
solo dos tablas ya le salió la puerta
P señala las dos tablas desde los
bordes, dejando ver que sobran unos
espacios o que las tablas no
coinciden con el borde de la puerta.
La docente va a la guía, lee la
situación problema y las condiciones
que allí se especifican, para así
refutar o validar la afirmación de las
estudiantes.
: No sé cuál sea la mejor respuesta,
“La menor cantidad de tablas
E: Es que el problema es como hacer
la curva como tal.
P: Ese es el problema, eso es lo que
estamos buscando, hasta ahí vamos
bien, pero falta algo para terminar la
puerta.
P: Ya sea la cantidad de tablas o la
cantidad de cortes que van a hacer
para que quede la puerta
P: Si usted desperdicio todo este
pedazo, el cliente le debe pagar por
eso. Llevan bien la construcción, la
cantidad de cortes y de tablas, falta
medir, no toda la tabla que se usó o
corto, sino la que quedo en la puerta.
Al leer el enunciado nos damos
cuenta que el señor que va a
construir la puerta, no la puede hacer
de un solo corte porque la maquina
solo hace cortes rectos.
E: Acá vamos a colocar otras más
pequeñas
E: Pero es que tiene que ser más
pequeña, al llegar arriba hay un
problema, debe haber algo que haga
la forma [Los cortes rectos no se
asemejan a la curva]
E: No, la idea es hacer la puerta
completa, pero acá por más pequeño
que sea el corte, va a ser más o
menos curvo, o sea ¿Cómo hacer
esas curvas?
Ahí tocaría hacerlo manual o hacer
muchas tablas pequeñitas para que
casi no se note. [reconocimiento de
un problema con los infinitesimales,
acercarse a la curva, aproximar la
superficie de un polígono a la de la
gráfica, …]
ha obtenido 60 Mts. de Malla con la
que pretende encerrar la zona de
cultivo, tiene las opciones A y B
ilustradas a continuación – Gráfica
1 - (La primera dispone la malla
para encerrar toda la zona de cultivo
y en la segunda se ayuda del cercado
de la finca para encerrar el cultivo).
La intención de Jacinto es
determinar la Zona más grande
posible para el cultivo. (Buscar la
zona más apta, la zona más grande
para el cultivo.)
E: nos toca acercarnos a la forma de
la puerta [Los bordes de las tablas
deben acercarse al borde para
garantizar que se está recubriendo la
superficie de la puerta], también es
difícil encontrar la cantidad de cortes
[Una situación problema que no es
de inmediata respuesta, promueve la
exploración y lleva a un choque con
el tamaño de cada tabla vs la
cantidad de tablas]
Lenguaje P y E señalan el
borde de la puerta
delimitando la
curva y los limites,
incluyendo la base
(eje x)
E: Acá vamos a colocar otras más
pequeñas
los cortes que se necesitan, para ello
señala rectas secantes que se
acerquen a la curva
E: Marca Tablas dentro de la
puerta tratando de acaparar toda
la superficie de la puerta y
armando agrupándolas de manera
que se formen tablas más grandes
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL
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primero
necesitamos saber
cuántas tablas
necesita para la
puerta
señala en la gráfica
los extremos en la
base y altura de las
tablas construidas,
acude al lenguaje
geométrico al
nominar los puntos
vértice
¿Cómo podría distribuir esos 60
metros de alambre?, ¿Cómo lo
harían ustedes? (de la expresión a la
representación tabular)
E: Obvio si uno las saca así, da muy
sencillo, pero si uno se pone a mirar
las dimensiones del cultivos eso no
va a dar 10, ni arriba 20. [Confusión
en la interpretación del bosquejo,
pues asume que el dibujo es
proporcional y fijo, por lo que
tendría que buscarse una medida
especifica que coincida con las
dimensiones del dibujo, omitiendo
que es una simulación manipulable
de la realidad]
Base Altura Área
20 10 200 𝑥2
25 5 125 𝑥2
15 15 225 𝑥2
5 25 125 𝑥2
Manipulación de la
representación
P: Si ustedes buscan optimizar el
terreno, coger el mejor para el
cultivo, ¿Cuál creen ustedes que
es el mejor? (relacionado
directamente con la
aproximación a la mejor de las
opciones)
Definiciones Unidad de Medida,
E: ¿Esto viene en
centímetros o
Metros?, mmmm,
metros (propiedad
del plano y la
gráfica, escala y
unidad de medida)
Geometría, áreas,
parábolas, la
función, punto
máximo.
P y E señalan el borde de la puerta
delimitando la curva y los limites,
incluyendo la base (eje x)
(caracterización de la curva a estudiar)
E: Cuando se hace la línea acá [señala
una secante en la curva], se mantiene el
corte recto, es en diagonal pero sigue
siendo recto (define secante, corte recto e
infiere sobre la definición de plano
cartesiano)
E: Acá podemos partir este segmento en
dos y hacer cortes más pequeños, con
eso se acerca ahí más a la curva.[Marcan
lugares donde la tabla construida genera
mayor sobrante o espacio no ocupado,
allí hacen más cortes], [No todas las
tablas deben ser de la misma base],
[Camino hacia una secuencia en los
cortes solo de la base] (Aproximación)
Es proporcional el área con
respecto a la base y la altura. Hay
una opción más óptima que las
demás, pese a que el perímetro es
el mismo. (Definición del caso
más óptimo para el área.)
E: nos toca acercarnos a la forma
de la puerta [Los bordes de las
tablas deben acercarse al borde
para garantizar que se está
recubriendo la superficie de la
puerta], también es difícil
encontrar la cantidad de cortes
[Una situación problema que no
es de inmediata respuesta,
promueve la exploración y lleva
a un choque con el tamaño de
cada tabla vs la cantidad de
tablas]
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22
E: Si mira, acá esta la puerta es desde A
hasta B, a los lados es fácil el corte.
(definición a partir de la señalización de
los objetos y procesos en la gráfica)
E: Abajo es más sencillo, porque
podemos hacer una tabla como cuadrado.
[Uso de las definiciones de área para
delimitar el problema al área bajo el
segmento de parábola](Definición de
área a partir de unidades cuadradas)
Si es una parábola, entonces hallemos el
área de esa parte. [Identifica que la curva
corresponde a una función o cónica]
Todos intentaron realizar la puerta sin
entrar en perdidas, ni estafar al cliente, es
decir, siendo justos.
El área bajo una curva, encerrada
así como en la puerta por un eje,
unos límites, una curva y así
mismo tiene muchas
aplicaciones.
Propiedades E con intervención,
interpretación y
registro de P: se le
dio 20 arriba, 10 a
los lados,20 abajo y
10 al otro lado
[Propiedad
explorada, pero no
validada, en
adelante solo
mencionan base y
altura] (propiedad
de equivalencia en
los lados opuestos
de las rectángulos)
Cuando es 15 y 15.
P: ¿Qué quedaría
ahí?, E: Un
cuadrado
[Propiedad] (Se
abordan
propiedades en
general de las
figuras geométricas)
E: Acá vamos a colocar otras más
pequeñas(se pueden partir y mantener la
magnitud más y más pequeñas)
Con el Lápiz señalan, marcan y
delimitan los rectángulos o tablas
construidas, hablan de las propiedades de
la curva, [aquí es más difícil, porque el
corte no coincide con el borde, es más
curvo](propiedades de la curva, los
polígonos y el plano cartesiano-
cuadricula)
E: nos toca acercarnos a la forma de la
puerta [Los bordes de las tablas deben
acercarse al borde para garantizar que se
está recubriendo la superficie de la
puerta], también es difícil encontrar la
cantidad de cortes [Una situación
problema que no es de inmediata
respuesta, promueve la exploración y
lleva a un choque con el tamaño de cada
tabla vs la cantidad de tablas]
P: efectivamente para que no devuelvan
las tablas necesitamos hacer unos cortes
estratégicos.
E: Acá tomamos dos tablas de 2,5 por 1
metro y hacemos 6 cortes a cada lado,
entre más cerca a la cima, más pequeños.
(Razón de cambio y secantes)
E: si, haciendo los cortes en trapecios
tendríamos que cobrarle menos al señor.
P: pero sin dejar "mochita" la puerta, y
nos vamos acercando. No era justo con
el pobre señor que iba a comprar la
puerta porque miren todo lo que iban a
desperdiciar. (la exhaución como
propiedad que lleva a la aproximación)
E: Marca Tablas dentro de la
puerta tratando de acaparar toda
la superficie de la puerta y
armando agrupándolas de manera
que se formen tablas más grandes
(agrupación, aditividad,
distributiva la los números
medida)
Buscan simplificar el cálculo del
área
[Como estrategia asume que
puede agrupar varias tablas y
armar una sola de mayor
tamaño], propiedad de la
magnitud superficie, aditivita un
conjunto y sus partes.
Conservación de la magnitud.
E: Acá podemos partir este
segmento en dos y hacer cortes
más pequeños, con eso se acerca
ahí más a la curva.[Marcan
lugares donde la tabla construida
genera mayor sobrante o espacio
no ocupado, allí hacen más
cortes], [No todas las tablas
deben ser de la misma base],
[Camino hacia una secuencia en
los cortes solo de la base]
Base Altura Área
20 10 200 𝑥2
25 5 125 𝑥2
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL
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E: entre más poquito le ponga a la base,
más le tenemos que colocar a la altura.
(Variación de la altura, la base, cuando
los rectángulos se hacen con el límite
inferior o superior)
Yo creo que debemos buscar una
proporción entre la base y la altura. (Idea
de propiedad para la aproximación
cuando se fija el perímetro )
Al leer el enunciado nos damos cuenta
que el señor que va a construir la puerta,
no la puede hacer de un solo corte
porque la maquina solo hace cortes
rectos.
Si es una parábola, entonces hallemos el
área de esa parte. [Identifica que la curva
corresponde a una función o cónica]
: El propósito era conseguir esta forma,
entonces hicimos los cortes laterales,
pero arriba como era curva nos tocó
hacer cortes en diagonal, sabemos que es
simétrica porque se puede partir en dos
secciones iguales. [Linealizar la curva a
partir de secantes que aparentemente
estuviesen cerca a la curva] y donde
cortan las secantes con la curva era el
lugar para cortar verticalmente y sacar la
tabla.
15 15 225 𝑥2
5 25 125 𝑥2
Acude a una ecuación
B*H=A
Y la generaliza para ver el
cambio del área
: que se reduce el área (estudio de
la relación entre las magnitudes
de un polígono a partir del
estudio de la representación
tabular para buscar una
regularidad)
Se unían y se sumaban.
Procedi-
mientos
E: Necesitamos
saber cuántas tablas
se necesitan para la
puerta, miren 1, 2,
3, 4, 5, van a salir
muchas
E: así utilizando las
dos tablas grandes
sería 2.5 por 2
metros, o sea 5
metros cuadrados.
Señalando dos rectángulos inscritos
uno sobre otro dentro de la puerta
(Procedimiento inicial
desencadenante de razonamientos y
procedimientos auxiliares)
E: Acá vamos a colocar otras más
pequeñas
E: Marca Tablas dentro de la puerta
tratando de acaparar toda la
superficie de la puerta y armando
agrupándolas de manera que se
formen tablas más grandes
E: Acá vamos a colocar otras
más pequeñas (Resume la idea de
la estudiante de agotar la
superficie de la puerta sin
secuencia u orden alguno.)
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Contando lo que
sobra.
los cortes que se necesitan, para ello
señala rectas secantes que se
acerquen a la curva
Entonces podemos hacerlas más
bonitas, hagamos 12 [Número par de
tablas – por la simetría de la puerta]
cortes [de la base], acá si es
necesario hacemos los cortes en
diagonal [generando trapecios]
cálculos parciales
E: Se supone que la puerta debe abrir
P: Por la mitad o por un costado
(Las estudiantes indagan sobre los
cortes necesarios para abrir la puerta
y detectan una propiedad adicional,
la simetría desde el corte vertical por
el punto medio de la base que
coincide con el vértice de la puerta.
Así es necesario construir media
puerta, contar el número de cortes,
de tablas y multiplicar por dos, han
simplificado la cantidad de
procedimientos.)
E: Acá podemos partir este
segmento en dos y hacer cortes
más pequeños, con eso se acerca
ahí más a la curva.[Marcan
lugares donde la tabla construida
genera mayor sobrante o espacio
no ocupado, allí hacen más
cortes], [No todas las tablas
deben ser de la misma base],
[Camino hacia una secuencia en
los cortes solo de la base]
la ordenación de los datos
permite realizar inferencias sobre
la aproximación)
Base Altura Área
25 m 5 m 125 𝑚2
20 m 10 m 200 𝑚2
18 m 12 m 216 𝑚2
16 m 14 m 224 𝑚2
15 m 15 m 225 𝑚2
13 m 17 m 221 𝑚2
5 m 25 m 125 𝑚2
: El propósito era conseguir esta
forma, entonces hicimos los
cortes laterales, pero arriba como
era curva nos tocó hacer cortes
en diagonal, sabemos que es
simétrica porque se puede partir
en dos secciones iguales.
[Linealizar la curva a partir de
secantes que aparentemente
estuviesen cerca a la curva] y
donde cortan las secantes con la
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL
25
P: efectivamente para que no
devuelvan las tablas necesitamos
hacer unos cortes estratégicos.
E: Acá tomamos dos tablas de 2,5
por 1 metro y hacemos 6 cortes a
cada lado, entre más cerca a la cima,
más pequeños.
En la parte de abajo tenemos las
medidas, hasta la mitad de la base es
un metro, entonces los partimos o
medimos cuanto da cada base
pequeña, hasta acá hay un metro y
medio [Hasta el punto donde inicia
la curvatura de la puerta], ahí
hallamos el área de los rectángulos.
En la parte de arriba es más
complicada, nos toca aplicar la
fórmula para el área del trapecio.
[Las alturas se determinan por la
escala de la gráfica, ausencia de un
patrón o técnica para hallar con
precisión una altura buscada
curva era el lugar para cortar
verticalmente y sacar la tabla.
Nosotras lo que hicimos, fue
hallar la mayor cantidad posible
de tablas rectangulares, así
[Muestra la gráfica]
Acá lo que hicimos fue organizar
la mayor cantidad de tablas
horizontales en toda la puerta y
después recurrir a triángulos para
completarla.
Se unían y se sumaban.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas Maestría en Educación
26
Algo así se busca con la integral,
una suma de todos esos pedacitos
pequeños como estrategia para
hallar el área de esas superficies
encerradas por curvas.
“Acumulación”
Argumentos A simple vista
cuantas tablas se
necesitan para
construir la puerta.
(Asocia los
procedimientos
matemáticos con los
de un carpinteros)
E: Necesitamos
saber cuántas tablas
se necesitan para la
puerta, miren 1, 2,
3, 4, 5, van a salir
muchas
Señalando dos rectángulos inscritos uno
sobre otro dentro de la puerta
(Comparación entre construcciones para
verificar la más óptima)
P: si ustedes quieren esa puerta para el
apartamento de sus sueños y les entregan
la puerta así, la aceptarían, que sobrará
eso. [allí está añadiendo un argumento
asociado a la belleza, perfección y
exactitud con el que las estudiantes
identificaran que entre mejor sea la
aproximación, más óptima será la
respuesta que buscan][La docente valida
los procedimientos de las estudiantes,
quienes para perfeccionar los bordes de
la puerta, recurren a argumentos
empíricos como “coger la máquina y
seguir el borde de la puerta o lijar los
bordes puntudos”]
P: desde lo que se percibe es una buena
aproximación, tendríamos que ver
cuando ya estuviera la puerta grande si
esos cortes si quedan sobre la curva.
E: No porque por ejemplo [argumento]
en la segunda y en la cuarta las bases son
distintas pero el área es igual: [, (5x25),
(25x5)] (Contraejemplo como argumento
para verificar las regularidades en la
variación de las aproximaciones)
E: No es tan cierto eso, porque
[contraejemplo] por ejemplo cuando la
base baja de 20 a 15, el área aumenta,
pero cuando baja de 15 a 5 aumenta.
(Argumentos a partir de ejemplos
buscando un patrón y contraejemplos)
E: Pero es que tiene que ser más
pequeña, al llegar arriba hay un
problema, debe haber algo que
haga la forma [Los cortes rectos
no se asemejan a la curva]
(Corroboración de
procedimientos)
Entre más rectángulos, más
pequeños serán.
Al colocar unidades más
pequeñas, se rellenará y se
aproximara a la superficie de la
puerta
Base Altura Área
25 m 5 m 125 𝑚2
20 m 10 m 200 𝑚2
18 m 12 m 216 𝑚2
16 m 14 m 224 𝑚2
15 m 15 m 225 𝑚2
13 m 17 m 221 𝑚2
5 m 25 m 125 𝑚2