lÓgica matemÁtica
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-diego hidalgo burneo- CURSO DE APTITUD NUMÉ[email protected] | 0981158237 | agosto de 2015
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SALIR
LÓGICA MATEMÁTICA | 1UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
Figura 1:Discourse into te night de William Blades.
Nota. Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Discourse-into-the-night.jpg
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EXPLICACIÓNA
SITUACIÓN INICIALB
ACTIVIDADESC
ACTIVIDAD DE CIERRED
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
REFERENCIASE
a.
exp
licació
nvolver
Utiliza adecuadamente la nomenclatura matemática y los cuantificadores.1
Elabora tablas de verdad.2
Aplica las definiciones, características y propiedades de la lógica matemática a la resolución de problemas.3
1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
diego hidalgo burneo | agosto de 2015
Realiza demostraciones directas, por contrapositiva y por reducción al absurdo.4
b.
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uació
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lvolver
«La que opera utilizando un lenguaje simbólico artificial y haciendo abstracción de los contenidos».1
lógica matemática
1 http://buscon.rae.es/drae/srv/search?id=lh6ixBvbVDXX2Hbd69K02 Parte de una anécdota atribuida a Bertrand Russell.
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
«Si 2 + 2 = 5, entonces yo soy el papa de Roma».2
Figura 2:Bertrand Russel en 1938.
Nota. Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3a/Russell_in_1938.jpg
c.
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Exposición de fundamentos teóricos.C.1. ANTICIPACIÓN
Resolución de ejercicios en clase.C.2. CONSTRUCCIÓN
Resolución de tarea.C.3. CONSOLIDACIÓN
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
C.1
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Nomenclatura matemática1.1.
Cuantificadores1.2.
Operadores (o conectivas)1.3.
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
Tablas de verdad1.4.
Demostración matemática1.5.
1.1
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
http://bit.ly/1MsyHXY
1.2
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cad
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Para todo… ∀
Establecen cuántos elementos de un conjunto cumplen con cierta propiedad.
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Existe al menos un… ƎCUANTIFICADOR
EXISTENCIAL ÚNICO
Existe un único… Ǝ!
∀x A : P(∈ x)Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x)
Ǝx A : P(x)∈Existe al menos un x en A que cumple P(x)
Ǝ!x A : P(x)∈Existe una única x en A que cumple P(x)
1.3
. op
era
dore
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o c
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ecti
vas)
volver
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
Son palabras (o símbolos) que se utilizan para enlazar dos o más proposiciones atómicas.
CONJUNCIÓN ʌP ʌ Q
Está lloviendo o la calle está mojada.
P QDISYUNCIÓN INCLUYENTE v
P V Q
DISYUNCIÓN EXCLUYENTE v
P V Q O bien está lloviendo o bien la calle está mojada.
P Q
siguiente
Está lloviendo y la calle está mojada.1
P Q
1 Los seis ejemplos fueron tomados de https://es.wikipedia.org/wiki/Conectiva_l%C3%B3gica
1.3
. op
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dore
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ecti
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
Si está lloviendo, entonces la calle está mojada.
P QCONDICIONAL →P → Q
Está lloviendo si y solo si la calle está mojada.
P QBICONDICIONAL ↔P ↔ Q
NEGACIÓN ¬¬P | ¬Q No está lloviendo. | La calle no está mojada.
P Q
anterior
1.4
. ta
bla
s d
e v
erd
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volver
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
NEGACIÓN
P ¬QV F
F V
CONJUNCIÓN
P ʌ QP QV VV FF VF F
VFFF
DISYUNCIÓN INCLUYENTE
P V QP QV VV FF VF F
VVVF
DISYUNCIÓN EXCLUYENTE
P V QP QV VV FF VF F
FVVF
CONDICIONAL
P → QP QV VV FF VF F
VFVV
BICONDICIONAL
P ↔ QP QV VV FF VF F
VFFV
1.5
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em
ostr
ació
n m
ate
máti
ca
volver
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
DIRECTA Se obtiene la conclusión luego de combinar lógicamente axiomas, definiciones y teoremas.
«… o prueba es un argumento deductivo para una afirmación matemática».1
1 https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
demostración matemática
Se obtiene la conclusión probando que las consecuencias de su contraria son falsas (para la premisa).
CONTRAPOSITIVA
INDIRECTA
REDUCCIÓN AL ABSURDO
Se obtiene la conclusión (absurda) luego de negar la premisa (considerada verdadera).
1.5
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
La suma de dos enteros pares es siempre par.
Considere dos enteros pares x y y
x = 2a y y = 2b definición de número par
x + y = 2a + 2b utilizando las igualdadesx + y = 2(a + b) extrayendo el factor común
Como la suma “x + y” tienen como factor 2, entonces esa suma es par.
1.5
. d
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
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Si x2 es par, entonces x es par; x ∈ ℤ.
Considere x impar
x = 2a + 1 definición de número imparx2 = (2a + 1)2 elevando al cuadrado
x2 = 4a2 + 4a + 1 realizando las operaciones
Como “4(a2 + a)” es par, la suma “4(a2 + a) + 1” es impar. Habiendo considerado x impar, su cuadrado también lo es. Es decir, si se considera x2 par, x lo debe ser.
x2 = 4(a2 + a) + 1 extrayendo el factor común
1.5
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n m
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ca
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
volver
Si x2 es par, entonces x es par; x ∈ ℤ.
Considere x impar
x2 + x es impar la suma de un par y un impar es impar
x2 + x = x(x + 1) extrayendo el factor comúnx (x + 1) es par porque “x + 1” es par
Como un número no puede ser al tiempo par e impar, se muestra el absurdo de haber considerado x impar. Es decir, si se considera x2 par, x lo debe ser.
x2 + x es par reemplazando según la igualdad
C.2
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volver
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
ENUNCIADODesarrolle los ejercicios contenidos en el documento “1. LÓGICA MATEMÁTICA (ejercicios propuestos)” enviado a su correo electrónico.
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RESOLUCIÓN DE TAREAC
.3.
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
ENUNCIADODesarrolle los ejercicios contenidos en el documento “1. LÓGICA MATEMÁTICA (ejercicios propuestos)” enviado a su correo electrónico.
D.
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Contenidos teóricos. Resolución de ejercicios y tarea.
EVALUACIÓN
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1. LÓGICA MATEMÁTICAcurso de aptitud numérica
E.
refe
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cia
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DE LOS CONTENIDOS Colaboradores de Wikipedia. (22 de mayo de 2015). Demostración matemática.
Wikipedia, la enciclopedia libre. Recuperado el 29 de julio de 2015 dehttps://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
Colaboradores de Wikipedia. (16 de junio de 2009). Símbolos matemáticos. Wikipedia, la enciclopedia libre. Recuperado el 27 de julio de 2015 de https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos
Grupo Salazar Montiel (2013). Tablas de verdad y su construcción [vídeo]. Disponible en https://www.youtube.com/watch?v=4K5rBPZ5A-g
Morales, C. (2008). Los métodos de demostración en matemáticas. Tesis previa al grado de máster en investigación. Universidad de San Carlos de
Guatemala. Recuperado el 29 de julio de 2015 de http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:MHYgNeRwK3YJ:biblioteca.usac.edu.gt/tesis/07/07_1914.pdf+&cd=3&hl=es&ct=clnk&gl=ec
Real Academia Español. (2001). Lógica matemática en Diccionario de la lengua española [versión electrónica]. Recuperado el 23 de julio de 2015 de http://buscon.rae.es/drae/srv/search?id=lh6ixBvbVDXX2Hbd69K0
Suppes, P. & Hill, S. (1988). Primer curso de lógica matemática. Bogotá: Editorial Reverté Colombiana.
¿CÓMO CITAR ESTA PRESENTACIÓN? Hidalgo Burneo, D. (2015). Lógica matemática [diapositivas]. En Curso de
fortalecimiento de aptitud numérica, desarrollado entre el 30 de julio y el 7 de agosto de 2015. Loja: Universidad Técnica Particular de Loja.
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