ALGEBRA

BOOLEANAOrlando Javier Camargo Garcia

Jesus Alberto Ramirez

Carlos Andres Lamarca

Guillermo Rojas Martinez

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A

DISTANCIA (UNAD).

LOGICA MATEMATICA

Se interpreta con la siguiente simbología:

A: Es todo los subconjuntos del conjunto “U”

Operaciones Binarias: U que es la Unión

∩ Esta es la Intersección

Relación de Equivalencia: = Son las Igualdades

Sean B,C y D Subconjunto de A

Primer Caso CERRADURA.

B U C aquí vemos unidos a B y C donde

estos dos son un subconjunto de A.

Segundo Caso CONMUTIVA.

Aquí el orden no es importante y un

ejemplo claro es B U C=C U B o

B ∩ C = C ∩ B.

Tercer Caso ASOCIATIVA.

El resultado es independiente del

agrupamiento de los símbolos y números

involucrados Ejemplo de Ello es :

(B U C) U D = B U (C U D)

(B ∩ C) ∩ D = B ∩ (C ∩ D)

Cuarto Caso DISTRIBUTIVA.

Indica una operación que es independiente

de si se lleva a cabo antes o después de

otra operación Ejemplo de Ello es:

B U (C ∩ D) = (B U C) ∩ (B U D)

B ∩ (C U D) = (B ∩ C) U (B ∩ D)

Quinto Caso IDENTIDAD.

Es una igualdad entre dos expresiones

que es cierta sean cuales sean los valores

de las distintas variables empleadas por

ejemplo:

B U A = A O B ∩ ɸ = ɸ

Donde los Conjuntos A y ɸ se denominan

elementos neutros .

Sexto caso: COMPLEMENTACION.

Esto quiere decir que el subconjunto B en

el conjunto A tiene un subconjunto B` que

también hace parte de este conjunto A

Un ejemplo claro es:

B U B`=A y B ∩ B`= ɸ. B` se denomina

complemento de B

Su simbología es la siguiente:

A= conjunto de todas las preposiciones.

Operaciones Binarias: v Disyunción.

□ Conjunción.

Relación de equivalencia: ↔

Elemento neutro: La contradicción (0) para la disyunción

La tautología(1) para la conjunción

Elemento inverso(a’): La negación de una proposición.

La demostración del algebra Booleana

en la Lógica corresponde a la siguientes

propiedades:

Sean p, q y r proposiciones del conjunto A.

Son casos parecidos a la dela algebra

Booleana de los conjuntos con la diferencia

que cambia su simbología.

Caso 1 CERRADURA: que ambos

elementos van a hacer parte del conjunto A

ejemplo: p v q es una proposición de A

p ʌ q es una proposición de A

Caso 2 CONMUTATIVA

El orden no cumple ninguna función.

Ejemplo

p v q ↔ q v p

p ʌ q ↔ q ʌ p

Caso 3 ASOCIATIVA.

Sea cual sean los elementos van

asociados entre si.

Ejemplo: (p v q) v r↔ p v (q v r)

(p ʌ q) ʌ r↔ p ʌ (q ʌ r)

Caso 4 DISTRIBUTIVA

Si sumamos dos números y luego

multiplicamos el resultado por otro

número, obtenemos el mismo resultado

que si multiplicamos cada uno de los

sumandos por un mismo número y

después sumamos los productos

obtenidos.

Ejemplo:

p v (q ʌ r) ↔ (p v q) ʌ (p v r)

p ʌ (q v r) ↔ (p ʌ q) v (p ʌ r)

Caso 5 IDENTIDAD.

Aquí van a existir dos proposiciones una

verdadera y una negativa; la verdadera se

llama tautología simbolizada por 1 y la

negativa contradicción simbolizada por 0

Ejemplo: p v 0 ↔ p y p ʌ 1↔ p

La tautología corresponde a los elementos

neutros de la disyunción y la contradicción a

los elementos neutros de la conjunción.