logica matem cont 2015- iii
DESCRIPTION
LÓGICA MATEMATICATRANSCRIPT
-
DOCENTE: Mgt. Hermitao Ayala Huillca
Universidad Andina del CuscoMATEMTICA GENERAL
C.P. CONTABILIDAD
-
Definicin.- La lgica es el conjunto de los mtodos y principios usados para distinguir
el razonamiento correcto del incorrecto.
Es decir que la lgica es la ciencia del pensamiento racional, adems es de aclarar que
la lgica no se ocupa del contenido de los pensamientos sino la manera o forma de los
pensamientos.
Existen dos tipos importantes del razonamiento: El inductivo y el deductivo.
El razonamiento inductivo es el razonamiento por el cual una persona en base a sus
experiencias especficas, decide aceptar como vlida un principio general.
El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio segn el cual dicha persona utiliza
el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea,
que a su vez habr de determinar el curso de su accin.
Al ser la lgica el punto de partida de las matemticas, en ella se deben introducir
nociones primarias tales como proposicin, valor de verdad, conectivo lgico.
-
Proposiciones y valor de verdad
Una proposicin es un enunciado u oracin que tiene la propiedad de ser
verdadero (V) o falso (F) sin ambigedades, pero nunca ambas a la vez.
Las proposiciones lgicas sern denotadas con letras minsculas como por
ejemplo p, q, r, ..
Como por ejemplo:
Los enunciados
p: 5+2=7
q: Lima es la capital de Per
r: Vargas Llosa gano el premio nobel de Literatura en el ao 2014
s: El polgono que tiene 3 lados es un triangulo
t: 18+3=25, es una proposicin, pues, es un enunciado falso.
Son proposiciones, ya que cada una de ellas es verdadera o falsa sin ninguna duda.
-
Por el contrario, los enunciados:
Estudia matemticas
Qu poder
por tanto
No son proposiciones porque no es posible establecer su verdad o su falsedad.
Luego enunciados como:
abre la ventana
Levntese
Haga la tarea
No son proposiciones, ya que no son ni verdaderas ni falsas, en todos los casos se da
una orden.Adems, enunciados como:
El partido entre Cienciano y Universitario estuvo expectante.
New York es la capital ms importante y limpia del mundo
Tampoco son proposiciones, por que el ser verdadero o falso depende del gusto o las circunstancias
-
La matemtica lgica adopta como reglas fundamentales del pensamiento los
dos siguientes principios:
1) Principio de no contradiccin.- Una proposicin no puede ser verdadera
y falsa al mismo tiempo.
2) Principio del tercio excluido.- Una proposicin o es verdadera o es falsa,
es decir, se verifica siempre uno de estos casos y nunca un tercero.
En la matemtica es de uso frecuente las llamadas proposiciones
fundamentales, estos son:
Axioma o postulado
Teorema
Corolario
Lema
Escolio u observacin
-
Axioma o postulado.- Un axioma o postulado es una proposicin que es
evidente por s misma y no requiere demostracin. Por ejemplo:
Existen infinitas rectas
Por un punto pasan infinitas rectas
Teorema.-Es una proposicin que para ser vlida requiere demostracin, a
su vez los teoremas tienen hiptesis y tesis.
Para demostrar la valides del teorema se utiliza axiomas o postulados que
vienen hacer la hiptesis.
Corolario.- Son proposiciones que vienen a ser consecuencia de algunos
teoremas.
Lema.- Son proposiciones previas a la demostracin de los teoremas.
-
Escolio u observacin.- Son proposiciones que
permiten aclarar los resultados ya demostrados.
Valores lgicos de las proposiciones
Se llama valor lgico de una proposicin, y son:
VERDAD si la proposicin es verdadera y FALSEDAD si
la proposicin es falsa.
Los valores lgicos de VERDAD Y FALSEDAD de una
proposicin se designan abreviadamente por las letras
V y F, respectivamente.
-
Clasificacin de las proposiciones
Las proposiciones se clasifican en:
-
Proposiciones simples o atmicas.
Proposiciones compuestas o moleculares.
-
Proposicin simple.- Se llama proposicin simple o proposicin atmica o elemental aquella que
ya no puede descomponerse en dos expresiones que sean proposiciones, es decir, proposiciones
que no contienen ningn conectivo lgico. Las proposiciones simples son generalmente
designadas por letras minsculas como por ejemplo:
p: La ballena es roja
q: La raz cuadrada de 16 es 4
r : 1+4=5
s: Pepe va a la escuela
-
Proposicin compuesta.- llamado tambin proposicin molecular, es
aquella proposicin que contiene al menos un conectivo lgico, es decir,
proposicin formada por la combinacin de dos o ms proposiciones.
Las proposiciones compuestas son habitualmente designadas por las letras
maysculas. Por lo general dichas proposiciones estn ligadas por los
trminos gramaticales como: no, o, y, si entonces (implica), si y solo si,
como por ejemplo:
P: 5 es un numero primo y 2 es par
R: Pepe lleg a la escuela o se qued en el parque
S: 4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10
T: 1 es el primer nmero primo y es mayor que 0
U: Si Giovana es estudiosa entonces pasar el examen
W: Aprender matemtica si y solo si estudio mucho
X: 9 es mltiplo de 3 y es un nmero par.
-
Nota: Se les llamar trminos de enlace o conectivos lgicos a los trminos:
no, o, y, si entonces, si y solo si
Observemos que los conectivos se usan para enlazar proposiciones y que
dicho conectivo lgico no acta sobre una sola proposicin.
Cules son los Conectivos lgicos?
-
Conectivos lgicos
Los conectivos lgicos permiten relacionar dos o ms proposiciones
atmicas y obtener as una proposicin compuesta, as tenemos:
Conjuncin ( )
Disyuncin dbil ( ) ( inclusiva), disyuncin fuerte ( ) (exclusiva)
Condicional ( )
Bicondicional ( )
Negacin ( )
-
As por ejemplo las siguientes proposiciones:
P: el nmero 6 es par y el nmero 8 es un cubo perfecto
Q: El tringulo ABC es rectngulo o es issceles
R: Si Jorge es ingeniero, entonces sabe matemtica
S: El tringulo ABC es equiltero si y solamente si es equingulo
T: Jorge es profesor o mdico
U: Christian tiene 17 o 18 aos
Son conectivos lgicos en Matemtica las palabras siguientes:
Y, o, no, sientonces, .si y solamente si..
-
Para proposiciones compuestas, el valor lgico depende nicamente de los
valores de las proposiciones simples componentes.
Entonces para poder determinar la cantidad de valores que toma una
proposicin compuesta est dado por: n de proposiciones simples2 , esto es:
Sean las proposiciones simples "p" y "q " que conforman una proposicin
compuestas, entonces los valores de verdad que se consideraran ser:
p q
V V
V F
F V
F F
q
V
F
F
V
p
q
V
F
-
Sean las proposiciones simples "p" y "q " que conforman una proposicin
compuestas, entonces los valores de verdad que se consideraran ser:
p q
V V
V F
F V
F F
q
V
F
F
V
p
q
V
F
-
En forma equivalente si se trata el caso de tres proposiciones compuestas,
esto es:
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
q
V
F
F
V
p
q
V
F
r
V
F
F
V
r
r V
F
r V
F
-
Notacin
El valor lgico de una proposicin simple "p" denotada por V(p) , es aquel
valor que se determina de la veracidad o falsedad del enunciado, por
ejemplo:
Sean las proposiciones:
p : el sol es verde
q : un hexgono tiene 9 diagonales
r :
2 es una raz de la ecuacin x x 2 3 4 0
Tenemos que V(p) F , V(q) V , V(r) F
-
EJERCICIOS
Determinar el valor lgico (V o F) de cada una de las siguientes
proposiciones:
a) El nmero 2 es primo
b) ( ) 2 2 25 4 5 4
c) El valor aproximado de es /22 7
d) 1 7
e) Las diagonales de un paralelogramo son iguales
f) El producto de dos nmeros impares es un nmero impar
g) El nmero 125 es un cubo perfecto
-
Operaciones lgicas sobre proposiciones
Cuando pensamos, efectuamos muchas veces ciertas
operaciones sobre proposiciones, llamadas
operaciones lgicas. Estas obedecen a reglas de un
clculo, denominado calculo proposicional.
A continuacin estudiaremos las operaciones lgicas
fundamentales:
-
Negacin
Dada una proposicin "p" , llamaremos la Negacin de "p" a otra
proposicin denotada por " p" y cuyo valor lgico es verdadero (V) cuando
"p" es falso (F) y es falso (F) cuando "p" es verdadero (V)
As " p" tiene el valor lgico opuesto a "p"
El valor lgico de la negacin de una proposicin est definido por la
siguiente tabla de verdad:
-
La forma enunciativa de " p" permite simbolizar un enunciado de la
forma:
No "p"
No es cierto que "p"
Es falso que "p"
Ejemplo
Sea la proposicin:
p : (V) p : (F)1 3 4 1 3 4
V( p) V(p) V F
-
O sea la proposicin:
q : Roma es capital de Francia (F)
q : Roma no es capital de Francia (V)
V( q) V(q) F V
-
La forma enunciativa de p q simboliza los enunciados de la forma:
p y q
p pero q
p no obstante q
p sin embargo q
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p : la nieve es blanca (V)
q : dos es menor que cinco (V)
p q : la nieve es blanca y dos es menor que cinco (V)
O tambin se puede realizar como: V(p q) V(p) V(q) V V V
-
O como por ejemplo:
p : 4 (F)
q : sen
1
2 (V)
p q : y sen
4 1
2 (F)
Lo cual V(p q) V(p) V(q) F V F
-
Disyuncin " "
Se llama disyuncin de dos proposiciones p y q a la proposicin denotada
por p q , y se lee p o q en el sentido inclusivo y/o, cuyo valor lgico es
verdadero (V) cuando al menos una de las proposiciones es verdadera y es
falsa (F) cuando ambas proposiciones son falsas.
El valor lgico de la disyuncin de dos proposiciones est definido por la
siguiente tabla:
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
V(p q) V(p) V(q)
-
La forma enunciativa de p q simboliza enunciados de la forma:
p o q
Al menos p o q
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: Paris es la capital de Francia (V)
q: 9 4 5 (V)
p q: Pars es la capital de Francia o
Equivalentemente V(p q) V(p) V(q) V V V
-
O por ejemplo:
Sean las proposiciones:
p : Roma es la capital de Rusia
q :5
7 es una fraccin propia
p q : Roma es la capital de Rusia o 5/7 es una fraccin
V(p q) V(p) V(q) F V V
-
Disyuncin Exclusiva " " En el lenguaje comn la palabra o tiene dos sentidos, como por ejemplo:
p: Carlos es mdico o profesor (conector inclusivo disyuncin dbil)
q: El bebe nacer varn o mujer (conector exclusivo)
Como se puede observar en la primera proposicin Carlos puede tener como
profesin ser mdico o profesor o ambas profesiones a la vez, pero en la
segunda proposicin el bebe puede nacer varn o mujer mas no puede tener
ambos sexos.
-
De modo general llmese disyuncin exclusiva de dos proposiciones p y q
a la proposicin denotada por p q , que se lee o p o q , cuyo valor lgico
es verdadero (V) cuando solo uno de ellos es verdadera, y es falsa (F) cuando
p y q son ambas verdaderas o ambas falsas.
Luego el valor lgico de la disyuncin exclusiva de dos proposiciones es
definido por la siguiente tabla de verdad:
-
p q pq
V V F
V F V
F V V
F F F
V(pq) V(p)V(q)
-
Condicional " "
Se llama proposicin condicional o simplemente condicional a una
proposicin representada por p q y se lee
"si p entonces q", cuyo
valor es falso (F) en el caso en que " p " es verdadero (V) y " q " es falsa (F),
y es verdadera en los dems casos.
Cuya tabla de verdad es la siguiente:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
V(p q) V(p) V(q)
-
La forma enunciativa de "p q" simboliza enunciados de la forma:
Si "p" entonces "q "
Si "p", "q "
"p" implica "q "
"p" suficiente para "q "
"q " si "p"
"q " siempre que "p"
En la condicional "p q" , se dice que "p" es el antecedente y "q " el
consecuente.
-
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: el mes de mayo tiene 31 das (V)
q: la tierra es plana (F)
p q: si el mes de mayo tiene 31 das, entonces la tierra es plana (F)
Equivalentemente se tiene:
V(p q) V(p) V(q) V F F
-
O por ejemplo, sean las proposiciones
p: es un numero natural (F)
q: Cantor creo la teora de conjuntos (V)
p q: Si es un numero natural, entonces Cantor creo la teora de
conjuntos (V)
Equivalentemente se tiene:
V(p q) V(p) V(q) (F V) V
-
Bicondicional (doble implicancia) "p q"
Se llama proposicin bicondicional o simplemente bicondicional a la
proposicin representada por "p q" y se lee "p si y solamente si q"
cuyo valor lgico es verdadero (V) cuando p y q son verdaderas o ambas
falsas, y es falsa (F) en los dems casos.
Simblicamente la bicondicional de dos proposiciones es definida por la
siguiente tabla:
-
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Equivalentemente V(p q) V(p) V(q)
La proposicin p q denota enunciados de la forma:
"p" si y solo si "q "
"p" necesario y suficiente para "q "
Por lo tanto una bicondicional es verdadera solamente cuando tambin lo
son las condicionales p q y q p .
-
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: Espaa queda en Europa (V)
q: Lisboa es la capital de Portugal (V)
p q: Espaa queda en Europa si y solamente si Lisboa es capital de
Portugal. (V)
Equivalentemente V(p q) V(p) V(q) V V V
-
O por ejemplo:
Ahora consideremos las proposiciones:
p: Hernn Cortez fundo Lima (F)
q: la Paz es la capital de Bolivia (V)
p q: Hernn Cortes fundo Lima si y solamente si la Paz es la capital de
Bolivia (F)
Equivalentemente se tiene:
V(p q) V(p) V(q) F V F
-
Construccin de tablas de verdad
Tablas de verdad de una proposicin compuesta
Dadas varias proposiciones simples p, q, r, podemos combinarlas por los
conectivos lgicos:
, , , ,
Luego para la construccin prctica de la tabla de verdad de una proposicin
compuesta se comienza por contar el nmero de proposiciones simples que
la integran, de tal manera que la cantidad de valores que se le asigna a la
proposicin compuesta est dado por n(proposiciones simples)2 , luego se analiza
cada uno de estos valores con el conectivo lgico correspondiente.
-
Ejemplo:
Hallar el valor de verdad de la siguiente proposicin:
P(p,q) (p q)
Solucin
Como la proposicin compuesta est formada por dos proposiciones simples
entonces se tendr 22 4 valores lgicos de verdad esto es:
-
p q q p q (p q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
Cuya representacin grfica mediante un diagrama es de la forma siguiente:
VV P
VF
FV
FF
F
V
-
2. Construir la tabla de verdad de la proposicin:
P(p,q) (p q) (p q)
Solucin
p q p q q p (p q) (q p) (p q) (p q)
V V V V F F F
V F F F V V V
F V F F V V V
F F F V V F V
-
Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:
a) P(p,q,r) (p r) (q r)
b) P(p,q,r) (p q) (q r) (p r)
c) P(p,q,r) p ( q r) q (p r)
-
Valor lgico de una proposicin compuesta
Dada una proposicin compuesta P(p,q,r,...) se puede determinar siempre
el valor lgico (V o F) cuando son dados o conocidos los valores lgicos
respectivos de las proposiciones componentes p,q,r,...
Ejemplo
1) Sabiendo que los valores lgicos de las proposiciones p y q son
respectivamente V y F, determinar el valor lgico (V o F) de la
proposicin:
P(p,q) (p q) p q
-
1) Sabiendo que los valores lgicos de las proposiciones p y q son
respectivamente V y F, determinar el valor lgico (V o F) de la
proposicin:
P(p,q) (p q) p q Solucin
Tenemos sucesivamente:
V(P) (V F) V F V F V F
2) Sean las proposiciones:
p: 3
q: 02
Determinar el valor lgico (V o F) de la proposicin:
P(p,q) (p q) (p p q)
-
1) Sean las proposiciones:
p: 3
q: 02
Determinar el valor lgico (V o F) de la proposicin:
P(p,q) (p q) (p p q)
Solucin
Las proposiciones componentes p y q son ambas falsas, esto es:
V(p) F , V(q) F , por tanto:
V(P) (F F) (F F F) V (F F) V V V
-
1) Sabiendo que V(p) V , V(q) F , V(r) F , determinar el valor
lgico (V o F) de la proposicin:
P(p,q,r) q (r p) ( q p) r
Solucin
-
1) Sabiendo que V(p) V , V(q) F , V(r) F , determinar el valor
lgico (V o F) de la proposicin:
P(p,q,r) q (r p) ( q p) r
Solucin
V(P) F (F V) ( F V) F
F (F F) (V V) F
(F V) (V F)
F F
F
-
1) Sabiendo que V(r) V , determinar el valor lgico (V o F) de la
proposicin:
p q r
-
1) Sabiendo que V(r) V , determinar el valor lgico (V o F) de la
proposicin:
p q r
Solucin
Como V(r) V , la disyuncin q r es verdadera (V). Luego, la
condicional dada es verdadera (V), pues, su consecuente es verdadero
(V)
-
1) Sabiendo que V(q) V , determinar el valor lgico (V o F) de la
proposicin:
(p q) ( q p)
-
1) Sabiendo que V(q) V , determinar el valor lgico (V o F) de la
proposicin:
(p q) ( q p)
Solucin
Como V(q) V , entonces q es falsa (F). Luego la condicional
( q p) es verdadera (V), pues su antecedente es falso (F). Por
consiguiente la condicional dada es verdadera (V), pues, su
consecuente es verdadero (V)
-
1) Sabiendo que las proposiciones "x " "x y" 0 son verdaderas y
que la proposicin "y z" es falsa, determinar el valor lgico (V o F)
de la proposicin:
x x y y z 0
-
1) Sabiendo que las proposiciones "x " "x y" 0 son verdaderas y
que la proposicin "y z" es falsa, determinar el valor lgico (V o F)
de la proposicin:
x x y y z 0
Solucin
Tenemos sucesivamente:
( V V F) (F F V) (F V) V
-
Uso de parntesis y jerarqua de los conectivos lgicos
Es importante la necesidad de usar parntesis en la simbolizacin de las
proposiciones, que deben ser colocados para evitar cualquier tipo de
ambigedad. As la expresin p q r da lugar, colocando parntesis a las
siguientes proposiciones:
(p q) r p (q r)
Que no tienen el mismo significado, pues para la primera el conectivo
principal es la disyuncin y para la segunda el conectivo principal es la
conjuncin.
Cuando en una proposicin compuesta se tienen varios conectivos lgicos,
las operaciones se realizan luego de colocar los parntesis adecuadamente
comenzando con las proposiciones que se encuentran dentro de los
parntesis interiores. Siguen todas las negaciones y luego se avanza de
izquierda a derecha.
-
Ejemplo
Sean p,q,r,s,n cinco proposiciones lgicas. Si el valor de verdad de cada
una de las proposiciones compuestas siguientes es falsa:
a) (p q) r (s r)
b) p q
Cul es el valor de:
c) (n p) r p
d) s (p r)
Solucin
-
Tautologas, contradicciones y contingencias
Definicin
Se llama tautologa a toda proposicin compuesta cuya ltima columna de
su tabla de verdad encierra solamente el valor de verdadero V.
En otras palabras, tautologa es toda proposicin compuesta P(p,q,r,s....)
cuyo valor lgico es siempre verdadero, para cualesquiera que sean los
valores lgicos de las proposiciones simples compontes p,q,r,s,.....
Es inmediato ver que las proposiciones p p , p p son tautologas.
-
1. La proposicin (p p) (principio de la no contradiccin) es
tautologa, conforme se ve en la siguiente tabla:
P p p p (p p)
V F F V
F V F V
Por tanto, quiere decir que una proposicin no puede ser
simultneamente verdadera y falsa, por consiguiente es siempre
verdadero.
-
Contradiccin
Definicin
Se llama contradiccin a toda proposicin compuesta cuya ltima columna
de su tabla de verdad encierra solamente el valor de falso (F).
En otros trminos, contradiccin es toda proposicin compuesta
P(p,q,r,...) cuyo valor lgico es siempre FALSEDAD (F), para cualesquiera
que sean los valores lgicos de las proposiciones simples componentes
p,q,r,s....
Como una tautologa es siempre verdadera (V), la negacin de una tautologa
es siempre falsa (F), o sea es una contradiccin y viceversa.
-
Contingencia
Definicin
Se llama contingencia a toda proposicin compuesta en cuya ltima
columna de su tabla de verdad figuran tanto los valores de VERDAD Y
FALSEDAD cada una por lo menos una vez.
En otros trminos, contingencia es toda proposicin compuesta que no es
una tautologa ni contradiccin.
-
1. Verificar que las siguientes proposiciones son una tautologa
a) p (p q)
b) p q (p q)
c) p (q q) p d) p r q r
e) ((p q) r) (p (q r))
f) p p
g) (p q) (p q)
h) p (p q) i) p p
j) p q p
k) x (x y x ) 3 3
-
Equivalencia Lgica
Definicin
Se dice que una proposicin P(p,q,r,s...)
es lgicamente equivalente a una
proposicin Q(p,q,r,s...)
, si las tablas de verdad de estas dos proposiciones
son idnticas.
Se indica que la proposicin P(p,q,r,s...)
es equivalente a la proposicin
Q(p,q,r,s...) con la siguiente notacin:
P(p,q,r,s...) Q(p,q,r,s...)
Como caso particular, si las proposiciones P(p,q,r,s...)
y Q(p,q,r,s...)
son
ambas TAUTOLOGIA o son ambas CONTRADICCIONES, entonces son
equivalentes.
-
Propiedades de la equivalencia lgica
Es inmediato que la relacin de equivalencia lgica entre proposiciones
cumple con las siguientes propiedades:
1) P P (propiedad reflexiva)
2) P Q Q P
(propiedad simtrica)
3) P Q Q R P R
(propiedad transitiva)
Como por ejemplo, las siguientes proposiciones son equivalentes:
a) ( p) p regla de la doble negacin
b) p p p
c) p p q p q
d) p q p q
e) p q (p q) (q p)
f) p q (p q) ( p q)
-
Algebra de las proposiciones
Se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedades de la conjuncin
p p p .....Idempotencia
p q q p ....Conmutativa
(p q) r p (q r) .Asociativa
Propiedades de la disyuncin
p p p .. Idempotencia
p q q p .Conmutatividad
(p q) r p (q r) Asociatividad
-
Propiedades de la conjuncin y de la disyuncin
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
..Ley de la distributividad
p (p q) p
p (p q) p
p ( p q) p q
p ( p q) p q
Leyes de la absorcin
(p q) p q
(p q) p q
Ley de Morgan
p q p q ...Ley de la condicional
p q (p q) (q p)
p q ( p q) ( q p)
Ley de la bicondicional
p T T
p C C
.Ley de dominacin
p T p
p C p
Leyes de identidad
-
( p) pLey de la doble negacin
p q q p .. Ley de la contra reciproca
Como por ejemplo:
1) Demostrar que (p q) (p q) ( p q) ( p q)
Solucin
-
1) Establecer las siguientes equivalencias simplificando las proposiciones
del lado izquierdo
A) (p q) p T
B) ( (p q) p) C
C) (q p) ( p q) (q q) p
D) (p p) ( p p) C
2.
-
Solucin
A) En efecto:
(p q) p (p q) p implicacion
p q p ley de morgan
( p p) q asociatividad y conmutatividad
T q ley de domin acion
T
-
1) Determinar que las proposiciones siguientes son equivalentes:
a) p (r q)
b) (q p) ( r p)
Solucin
Una primera forma se realiza construyendo sus tablas de verdad
correspondientes, y se observara que ambas proposiciones tienes los
mismos valores en la tabla de verdad.
Otra forma, utilizando las leyes lgicas:
5.
-
Formalizacin de proposiciones
Formalizar una proposicin significa abstraer su forma lgica, es decir
formalizar una proposicin equivale a representarla simblicamente.
Toda proposicin tiene su forma lgica y su frmula.
La tcnica de formalizacin de proposiciones comprende los siguientes pasos:
1) Se escribe en forma explcita la proposicin, empleando las conectores no ,
y, o, si,entonces, si y solo si, en sustitucin de sus expresiones
equivalentes
2) Se halla su frmula reemplazando cada proposicin simple por una
variable proposicional al igual que las conjunciones gramaticales.
3) Los signos de agrupacin se usan para establecer la jerarqua entre los
operadores de una formula lgica.
-
Ejemplo
Formalizar las siguientes proposiciones:
1) No iremos al teatro a menos que venga Ral
Cuya forma lgica es:
Si viene Ral, entonces iremos al teatro
Donde
p : Ral viene
q: Iremos al teatro
Luego la forma simblica ser:
p q
-
2. Euclides no es mdico ni fsico
Su forma lgica es:
Euclides no es mdico y Euclides no es fsico
Dnde:
p: Euclides es medico
q: Euclides es fsico
Luego su forma simblica es:
p q
-
3. Sin carbono, oxigeno, nitrgeno e hidrogeno, no hay vida.
Cuya forma lgica es:
Si no hay carbono y no hay oxgeno y no hay nitrgeno y no hay
hidrogeno, entonces no hay vida.
Donde:
p:hay carbono
q:hay oxigeno
r :hay hidrogeno
s:hay nitrgeno
t :hay vida
Entonces:
( p q r s) t
(p q r s) t
-
Inferencia lgica o argumento lgico
Se llama inferencia lgica o argumento lgico a toda condicional de la forma:
k(p p p ... p ) q 1 2 3 ..(*)
Donde las proposiciones kp p p ... p 1 2 3 son llamadas premisas y
originan como consecuencia otra proposicin denotada q y llamada
conclusin.
Una inferencia puede ser una tautologa, una contradiccin o una
contingencia, es decir:
Si la condicional (*) es una Tautologa, es decir es verdadera entonces
recibe el nombre de argumento vlido o inferencia valida.
Si la condicional (*) no es una tautologa entonces se denomina
falacia.
-
Formalizacin de inferencias
Una inferencia es una operacin lgica que consiste en derivar a partir de la
verdad de ciertas proposiciones conocidas como premisas la verdad de otra
proposicin conocida como conclusin.
Las premisas de una inferencia son proposiciones que ofrecen las razones
para aceptar la conclusin.
Anteceden a las premisas, en inferencias desordenadas las palabras:
Puesto queYa quePuesPorque
Siempre queSi
-
La conclusin de una inferencia es la proposicin que se afirma sobre la
base de las premisas. Anteceden a la conclusin las palabras:
Luego
Por tantoPREMISAS CONCLUSION
Por consiguiente
En consecuencia
Adems en inferencias desordenadas, la proposicin inmediatamente
anterior a las palabras que preceden a las premisas es la conclusin.
-
a) Ningn metaloide es metal, puesto que todos los metales son cuerpos
brillantes y ningn metaloide es cuerpo brillante (INFERENCIA
DESORDENADA)
Solucin
Premisa
Todos los metales son cuerpos brillantes
Ningn metaloide es cuerpo brillante
Conclusin
En consecuencia, ningn metaloide es metal
-
a) Si esta figura tiene cuatro lados, es un cuadriltero. Si esta figura
tiene tres lados, es un triltero. Esta figura tiene cuatro lados o tiene
tres lados. Por tanto, esta figura es un cuadriltero o es un triltero.
Solucin
Premisas
Si esta figura tiene cuatro lados, es un cuadriltero
Si esta figura tiene tres lados, es un triltero
Esta figura tiene cuatro lados o tiene tres lados
Conclusin
Por tanto, esta figura es un cuadriltero o es un triltero.
-
Ejemplos:
Formalizar las siguientes inferencias
1) Los congresistas representan a la nacin, pero no estn sujetos a
mandato imperativo. Luego, los congresistas representan a la nacin.
Solucin
Forma lgica:Los congresistas representan a la nacin y los congresistas no estn
sujetos a mandato imperativo.
Luego, los congresistas representan a la nacin
Formula:
p: Los congresistas representan a la nacin
q: Los congresistas estn sujetos a mandato imperativo
p q
o (p q) p
p
-
1) Felipe no ser expulsado del club a menos que el cometa actos de
traicin e inmoralidad. No ha sido expulsado. En consecuencia, no ha
cometido actos de traicin ni de inmoralidad.
Solucin
Forma lgica Si Felipe comete actos de traicin y actos de inmoralidad, entonces
ser expulsado del club.
Felipe no ha sido expulsado del club
Luego, Felipe no ha cometido actos de traicin y no ha cometido actos
de inmoralidad
Formula
p: Felipe comete actos de traicin
q: Felipe comete actos de inmoralidad
r : Felipe ser expulsado del club
-
Formula
p: Felipe comete actos de traicin
q: Felipe comete actos de inmoralidad
r : Felipe ser expulsado del club
(p q) r
r
o (p q) r r ( p q)
p q
-
1) Sin mandato judicial ni autorizacin de la persona que lo habita, no
se puede ingresar en el domicilio, tampoco efectuar investigacin. Pero
se ingres al domicilio y efectu investigacin. En consecuencia, hubo
mandato judicial y autorizacin de la persona que lo habita.
Solucin
Forma lgica
Si no hay mandato judicial y no hay autorizacin de la persona que lo
habita, entonces no se puede ingresar en el domicilio y no se puede
efectuar investigacin.
Se ingres al domicilio y se efectu la investigacin.
Luego, hubo mandato judicial y hubo autorizacin de la persona que
lo habita.
Formula
p:Hay mandato judicial
q:Hay autorizacin de la persona
r :Se puede ingresar en el domicilio
s:Se puede efectuar la investigacin
-
Formula
p:Hay mandato judicial
q:Hay autorizacin de la persona
r :Se puede ingresar en el domicilio
s:Se puede efectuar la investigacin
( p q) ( r s)
r s
( p q) ( r s) (r s) (p q)
p q
-
1) Ral viajara a Londres, puesto que obtuvo la beca y habla
correctamente el ingls.
Solucin
En este caso se trata de una inferencia desordenada, ordenando la
inferencia se tiene:
Si Ral obtuvo la beca y habla correctamente el ingls, entonces
viajara a Londres.
-
Anlisis de inferencias a travs de tablas de verdad
La tabla de verdad es un algoritmo o procedimiento decisorio porque a travs
de la aplicacin de un conjunto de reglas permite decidir la validez o
invalidez de las inferencias.
En efecto, una inferencia es vlida, mediante la tabla de verdad, si y solo si
al ser formalizada y evaluada su frmula condicional es tautologa, es
invalidad si la formula condicional es consistente o contradictoria.
Procedimiento:
-
Ejemplos
Analizar la valides de las siguientes inferencias:
1) El tringulo se llama issceles si tiene dos lados iguales. No se llama
issceles. En consecuencia, no tiene dos lados iguales.
Solucin
Forma lgica
Si el tringulo tiene dos lados iguales, entonces el tringulo se llama
issceles.
El tringulo no se llama issceles.
Luego, el tringulo no tiene dos lados iguales
Formula:
-
Formula:
p: el tringulo tiene dos lados iguales
q : el tringulo se llama issceles
p q
q
p
FORMULA CONDICIONAL (p q) q p
Evaluacin
-
Evaluacin
p q (p q) q p
V V V F F V F
V F F F V V F
F V V F F V V
F F V V V V V
La inferencia analizada es vlida porque su frmula condicional es
una tautologa.
-
1) El pueblo es una masa pasiva que sigue bien las ideas de un gran
hombre o bien los preceptos de la idea absoluta. Sigue los preceptos
de la idea absoluta. Por lo tanto no sigue las ideas de un gran hombre.
Solucin
Forma lgica
Forma lgica
El pueblo es una masa pasiva que sigue las ideas de un gran hombre
o el pueblo es una masa pasiva que sigue los preceptos de la idea
absoluta.
El pueblo es una masa pasiva que sigue los preceptos de la idea
absoluta.
Luego, el pueblo es una masa pasiva que no sigue las ideas de un
gran hombre.
Formula:
-
Formula:
p : el pueblo es una masa pasiva que sigue las ideas de un gran
hombre.
q : el pueblo es una masa pasiva que sigue los preceptos de la idea
absoluta. p qq
p
FORMULA CONDICIONAL (p q) q p
Evaluacin
p q (p q) q p
V V V V V F F
V F V F F V F
F V V V V V V
F F F F F V V
La inferencia analizada no es vlida porque su formula condicional es
consistente (contingencia)
-
1) Sin variables ni operadores no hay lenguaje formalizado. Ocurre que
no hay variables ni operadores. Luego, no hay lenguaje formalizado.
Solucin
Forma lgica
Si no hay variables y no hay operadores, entonces no hay lenguaje
formalizado.
No hay variables y no hay operadores.
Luego, no hay lenguaje formalizado.
Formula
p : hay variables
q : hay operadores
r : hay lenguaje formalizado
-
( p q) r
p q
r
FORMULA CONDICIONAL ( p q) r ( p q) r
Evaluacin
p q r ( p q) r ( p q) r V V V F F F V F F F V F
V V F F F F V V F F V V
V F V F F V V F F F V F
V F F F F V V V F F V V
F V V V F F V F F F V F
F V F V F F V V F F V V
F F V V V V F F F V V F
F F F V V V V V V V V V
Por consiguiente la inferencia es vlida pues su frmula es
tautolgica.