Antología

Unidad 1. La Lógica como ciencia filosófica

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1. El primer texto es una presentación ppt en donde se resume con claridad ysimplicidad las características fundamentales de la Lógica como ciencia delpensar. Además podrá encontrar los conectores que se utilizan en el lenguajecomún para construir proposiciones que sirvan de premisas o conclusión. Todoello con el fin de que vaya familiarizándose con el lenguaje propio de lamateria.

2. El segundo texto está tomado de la Universidad de Guatemala. Nosotros parala actividad utilizaremos las primeras 9 páginas, pero se le propone a ustedcompleto como apoyo para las actividades posteriores que tienen comofundamento otros textos. Centre su atención en las definiciones de Lógica y enla caracterización de los principios lógicos supremos.

3. El tercer material de aprendizaje es un video en el que se explicará lascategorías lógicas fundamentales, a saber: verdad, corrección, validez y suscontrarias. Repase el video tantas veces como sea necesaria para que puedafamiliarizarse con su contenido.

4. El Cuarto texto presenta los diferentes tipos de lógica. Usted deberádiferenciarlos, identificarlos y realizar el glosario que se pide en la guía deactividades, de modo que pueda tener una visión en conjunto de lo que lamateria se verá, incluidos elementos que se utilizarán en la unidad III.

5. El quinto texto nos presenta las formas mentales en las cuáles se basa lalógica para su desarrollo y estudio y el proceso de conocimiento, así como ladiferencia entre conocimiento sensible e intelectual. Con él terminaremos laintroducción a la Lógica

1. Villaseñor Pineda, “Lógica ¿Qué es?”. Presentación ppt, Instituto deInvestigaciones Filosóficas, UNAM, México, S/A enwww.filosoficas.unam.mx/~Tdl/EIDL9Huauchinango/Papers/Atocha.pps . Recuperado 7 de enero de 2014.

2. S/A, “Lógica General”, Guatemala, S/A, enhttp://biblio3.url.edu.gt/Publi/Libros/Logica-Juridica/02.pdf.Recuperado el 10 de enero de 2014

3. “Introducción a la Lógica”, video del Colegio de Alcántara dePeñalolén, 2010, enhttp://www.youtube.com/watch?v=0Y5g49moRrE. Recuperado el 6 deenero de 2014

4. Muñoz Gutiérrez, Carlos, “Introducción a la Lógica”, UniversidadComplutense de Madrid, enhttp://pendientedemigracion.ucm.es/info/pslogica/cdn.pdf.Recuperado el 7 de enero de 2014.

5. S/A “Pensamiento Lógico y Argumentación”. Universidad TecMilenio,Monterrey, 2006, enhttp://cursos.tecmilenio.edu.mx/cursos/at8q3ozr5p/prof/hp/hp04003/apoyos/9.pdf . Recuperado el 8 de enero de 2014.

Lógica

¿Qué es?Adaptado de Copi, I. M. & Cohen, C. Introducción a la Lógica

Inteligencia ArtificialLuis Villaseñor Pineda

¿Qué es la lógica? 1er intento

La ciencia de las leyes del pensamiento Pensamiento es “materia” de los psicólogos No todos los pensamientos son “materia” de la lógica Todo razonamiento es un pensamiento pero no todo pensamiento es un

razonamiento Recordar, lamentarse, imaginarlo Asociación libre – una imagén remplaza a otra sin orden lógico El sueño

¿Qué es la lógica? 2do intento

La ciencia del razonamiento Gracias a un razonamiento se resuelve un problema, a través de un proceso

que extrae conclusiones a partir de premisas

Este proceso es : Extremadamente complejo Emotivo Compuesto de un ciclo de prueba-error “Iluminado” por momentos de comprensión o intuición

¿Qué es la lógica? 3er intento

Es el estudio de los métodos y principios que se usanpara distinguir el razonamiento bueno (correcto) delmalo (incorrecto)

¿Un arte o una ciencia? La práctica llevará al perfeccionamiento Análisis de las falacias errores frecuentes del razonamiento

La lógica ¿Tiene solución el problema? ¿Se sigue la conclusión de las permisas que se han afirmado o supuesto?

Si el problema queda resuelto, si las premisas proporcionan las basesadecuadas para afirmar la verdad de la conclusión, entonces elrazonamiento es correcto. De lo contrario es incorrecto.

La distinción entre razonamiento correcto e incorrecto es el problema centralcon el que trata la lógica

Términos esenciales

Proposición es el contenido de una oración el cual puede serverdadero o falso Difieren de las preguntas, órdenes y exclamaciones

Éstas no pueden ser verdaderas o falsas Dos oraciones pueden emplearse para afirmar la misma proposición

Juan ama a María María es amada por Juan

Usamos el término proposición para referirnos al contenido que ambasoraciones afirman

Términos esenciales

Una proposición se interpreta en un contexto El presidente actual es panista

Dependiendo del momento, esta oración corresponde a unenunciado verdadero (Vicente Fox) o a un enunciado falso(Ernesto Zedillo)

Los términos enunciado y proposición no son exactamentesinónimos

Términos esenciales

Inferencia es el proceso por el cual se llega a unaproposición y se afirma sobre ella en base de una omás proposiciones aceptadas como punto inicial delproceso

Argumento

En correspondencia a cada inferencia existe unargumento

Un argumento es cualquier conjunto de proposicionesde las cuales se dice que una se sigue de las otras, quepretenden apoyar o fundamentar su verdad

Premisa-Conclusión

Un argumento tiene una estructura: premisa-conclusión

La conclusión de un argumento es la proposición quese afirma con base en las otras proposiciones delargumento

Las otras proposiciones afirmadas o supuestas paraaceptar la conclusión son las premisas del argumento.

Ejemplos de argumentos Como las sensaciones son esencialmente privadas, no podemos saber cómo

es el mundo para otras personas.

Una superficie gris se ve roja si antes hemos visto una azul verdosa; unahoja de papel se siente muy suave si hemos tocado antes una lija, o rugosasi antes hemos tocado una suave superficie de cristal; el agua de la llavesabe dulce si hemos comido antes alcachofas. Por tanto, una parte de lo quellamamos rojo, suave o dulce debe estar en los ojos, los dedos o la lenguadel que ve, toca o prueba.

Ejemplos de argumentos

Enfriar los átomos equivale a retardar su movimiento,puesto que la temperatura es una medida de qué tanrápido se están moviendo los átomos o las moléculas(el cero absoluto es la inmovilidad total)

Sobre premisas y conclusión

Ninguna proposición por sí misma, en forma aislada, es unapremisa o una conclusión

Una premisa solamente aparece como supuesto en unargumento

Una conclusión solamente aparece en un argumento y sefundamenta en las otras proposiciones del argumento

Son términos relativos: Como “empleador” y “empleado”: dependen de un contexto

El orden no es relevante

Puesto que la libertad y el bienestar son las condicionesnecesarias de la acción y en general de la acción exitosa, cadaagente debe reconocer estas condiciones como bienesnecesarios para sí mismo, puesto que sin ellas no sería capazde actuar para conseguir un propósito determinado, sea enabsoluto o con las oportunidades generales de lograr el éxito.

Identificando premisas y conclusión

¿Cómo puede uno decir cuál es la conclusión y cuáleslas premisas?

Una posibilidad Marcadores sintácticos, colocaciones léxicas

MarcadoresIndicadores de CONCLUSIÓN

por lo tanto por estas razonesde ahí que se sigue queasí podemos inferir quecorrespondientemente concluyo queen consecuencia lo cual muestra queconsecuentemente lo cual significa quelo cual prueba que lo cual implica quecomo resultado por esta razónlo cual nos permite inferir que lo cual apunta hacia la conclusión de que

Marcadores

Indicadores de PREMISA

puesto que como es indicado por

dado que la razón es que

a causa de por las siguientes razones

porque se puede inferir de

pues se puede derivar de

se sigue de se puede deducir de

como muestra en vista de que

Ejemplos de argumentos

Enfriar los átomos equivale a retardar su movimiento,puesto que la temperatura es una medida de qué tanrápido se están moviendo los átomos o las moléculas(el cero absoluto es la inmovilidad total)

sin embargo…

Dentro de 20 años, la única hoja de maple que quedeen Canadá podría ser la del emblema nacional. Lalluvia ácida está destruyendo los árboles de maple dela zona central y oriental de Canadá, lo mismo que deNueva Inglaterra.

Construcción gramatical

Tiempos verbales Lo que se acepta o supone son las premisas En tiempo presente o pasado

Lo que se concluye En condicional o subjuntivo o futuro

sin embargo…

Un pequeño descuido puede ocasionar un granproblema... por falta de un clavo se perdió laherradura; por falta de herradura se perdió el caballoy por no haber caballo se perdió el jinete.

y lo que es más… No todo lo que se dice en el curso de un argumento es una

premisa o la conclusión del mismo

El glaucoma no tratado es causa principal de una cegueraprogresiva sin dolor. Se dispone de métodos para la detecciónoportuna y el tratamiento efectivo. Por esta razón, la ceguerapor glaucoma es especialmente trágica.

La reformulación

Un método para distinguir las premisas y conclusiones Reformular cada premisa por separado (inclusive si se enunciaron en una sola

oración) Reformular la conclusión con una frase declarativa

PREMISA: Existen métodos para la detección oportuna y el tratamiento eficazdel glaucoma crónico

CONCLUSIÓN: La ceguera por glaucoma es especialmente trágica.

EJERCICIO Ethan Nadelmann, profesor asistente en la Escuela de relaciones públicas e

internacionales Woodrow Wilson, de la Universidad de Princeton,argumenta que la prohibición (de las drogas fuertes) ha sido un error. Citalas oleadas de asesinatos por motivos de narcotráfico en ciudades comoWashington y Nueva York, el congestionamiento de los tribunales yprisiones federales y estatales con prisioneros acusados de narcotráfico, losdisturbios políticos en Colombia provocados por traficantes de drogas y lacorrupción relacionada con el narcotráfico en todo el mundo.

CAPÍTULO I LÓGICA GENERAL

CAPÍTULO 1 , LOGICA GENERAL

Esta lógica también es conocida con los nombres de lógica aristotélica, lógica tradicional, lógica clásica, lógica fonnal o lógica de los enunciados. Esta ciencia fue obra de Aristóteles (384-322 antes de Cristo), quien la sistematizó y la estructuró, y le confirió el carácter de instrumento para la investigación y el conocin1iento científico, reflejando desde sus inicios la utilidad de la lnisma en las diversas ciencias.

Lo que a continuación se expone no es en su totalidad fruto del trabajo intelectual de dicho filósofo, porque esta disciplina ha progresado a través de los años con las aportaciones, producto de las reflexiones, de muchos otros lógicos.

A. DEFINICIÓN

1. Definición nominal etimológica 12

Mario Moro, Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes señalan que el término "lógica" viene del griego lagos, que significa, para el primero: palabra o expresión del pensan1iento13, y para el segundo y el tercero: "palabra, tratado, razón, etc. 1/

14•

12 Juan José Sanguineti expresa que las definiciones pueden ser nominales, si expresan el significado de un término, o reales, si expresan la esencia de la cosa. Sanguineti, Juan José. Op. cit., páginas: 85-88.

13 Moro, Mario. Pensamiento, lenguaje y acción. Guatemala, Impresos Industriales, 19781. página: 13.

14 Benlloch !barra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 23.

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El contenido de la palabra griega aludida es lnás mnplio según el diccionario de la lengua española, el cual determina que la palabra logos 1/ •• • equivale a palabra, concepto, expresión, razón, inteligencia, etc. 11

15•

De las nociones que integran los contenidos de las tres definiciones nOlninales etimológicas indicadas, sólo 11 concepto" constituye parte del objeto material de la lógica general, no obstante que en sus orígenes, según r. Durin, citado por Francisco Larroyo, el término lógico se inclinó a su raíz de logos-palabra por las reflexiones sobre el uso y sentido del lenguaje utilizado por los sofistas y retóricos16•

2. Definición real

La lógica aristotélica se ha concebido como ciencia y / o arte por diversos filósofos y/o lógicos, en efecto:

a. Jaime Balmes indica que la lógica es arte en cuanto prescribe las reglas para dirigir el entendimiento al conocimiento de la verdad, y es ciencia al justificar o fundamentar dichas reglas17

;

b . Juan José Sanguineti determina que la lógica es arte y ciencia a la vez; como arte tiene un fin práctico: instrumento para conocer rectmnente, y como ciencia tiene un fin especulativo: describir la manera de pensar del hombre, cuyo objeto son las propiedades o las relaciones lógicas, que las reputa como entes de razón 18;

c. Antonio González expresa que la lógica es /J • • • la disciplina que estudia las leyes que rigen el razonamiento correcto"19;

d. Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes manifiestan que la lógica como ciencia estudia las formas generales del pensamiento (concepto, juicio y raciocinio), y COlno arte estudia las normas para pensar rectamente20

;

15 Diccionario de la lengua espaiiola. España, Grupo Editorial Océano, 1989. 16 Aristóteles. El organon (tratados de lógica). Estudio introductorio, preámbulos a los

tratados y notas al texto por Francisco Larroyo, México, Editorial Porrua, Sociedad Anónima, 1982, séptima edición, página: XLII (del estudio introductorio).

17 Balmes, Jaime. Op. cit., páginas: 5 y 6. 18 Sanguineti, Juan José. Op. cit., páginas: 18-20. 19 González, Antonio. Introducción a la práctica de la filosofía. El Salvador, Editores UCA,

1995, octava edición, página: 108. 20 Benlloch Ibarra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 23.

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1 /( ~ . n .R\ . I¡\ Pt) f ·II ' /U ,; l~ tIS ,\ U', , :1<. \/1./ ,1 /(.1

e. Mario Moro expresa que la lógica es parte de la filosofía (ciencia) que estudia las normas para razonar rectamente y evitar el error21

; y,

f. Sergio Custodio afirnla que la lógica " ... es una ciencia que estudia las formas del pensar, razonar o argumentar"22.

Las diferencias en las concepciones de la lógica general son claras:

a. Jaime Balmes, Juan José Sanguineti, Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes la definen como ciencia y arte; y,

b. Antonio González, Mario Moro y Sergio Custodio la definen única­mente como ciencia.

En la concepción de la lógica clásica como ciencia, también existe divergencia sobre su objeto de estudio, porque o es fundamentar las reglas para dirigir el entendimiento al conocimiento de la verdad (Jaime Balmes), o las normas para razonar correctamente (Antonio González y Mario Moro), o las formas generales del pensmuiento (Juan José Sanguineti, Sergio Custodio, Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes).

Se considera, ante las diferencias señaladas, que la lógica general:

a. Es una ciencia y no arte, porque esta última es menos comprensiva de todo su objeto de estudio: la lógica clásica no son sólo normas para razonar correctamente, éstas son consecuencia del estudio reflexivo y sistemático de los elementos generales del pensamiento;

b. Tiene por objeto de estudio (objetolnaterial) los pensaluientos, desde la perspectiva (objeto formal) de su estructura: concepto, juicio y raciocini023• La lógica aristotélica se ocupa de todos y cada uno de los elementos (o formas) generales del pensan1iento, y no sólo de uno,

21 Moro, Mario. Op. cit., página: 13. 22 Es notorio el error de esta definición: no son una sola y misma cosa: a. las formas del

pensar, que se refieren al concepto, al juicio y al raciocinio; b. razonar, que es el acto complejo por el cual de varios juicios conocidos inferimos otro desconocido; y, c. ar­gumentar, que es la manifestación verbal del raciocinio. Custodio, Sergio. Introducción a la lógica. Guatemala, Editorial Oscar de León Palacios, 2003, segunda reimpresión de la segunda edición, página: 18.

23 Aristóteles, el padre de la lógica como ciencia, estudió todos y cada uno de los ele­mentos generales del pensamiento: el concepto en su tratado denominado Categorías, la proposición (que se refiere al juicio) en el tratado Peri hermeneias y el silogismo (que:; alude al razonamiento) en su tratado Primeros analíticos.

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verbigracia: el razonamiento, el cual se integra -de todos lnodos- de juicios, y éstos de conceptos; y,

c. Su finalidad es que el pensamiento sea válido, es decir, que el 111islno sea congruente o coherente en sí il1islno, porque la conforu1idad de éste con la realidad es el significado del ténnino "verdad" que interesa a otra ciencia: teoría del conocilnient024

•

B. PRINCIPIOS LÓGICOS SUPREMOS

Aristóteles afirmó en su tratado de Segundos analíticos, que versa sobre la prueba y la ciencia, que los primeros o primitivos principios son términos cuya existencia no puede demostrarse, existen sin demostración25

•

En lógica general se conciben como principios lógicos supremos, que existen sin demostración, los siguientes:

1. Principio de identidad

Mario Moro lo expresa de la siguiente manera: "Todo sujeto puede ser predicado de sí mismo "26.

Eduardo Carda Máynez lo formula así: "El juicio que afirma la identidad de un objeto consigo mismo es necesariamente verdadero "27.

24 Antonio Conzález, al discernir entre lógica y teoría del conocimiento, afirma que am­bas se ocupan de la corrección del pensamiento: la gnoseología desde la perspectiva de su verdad, la relación entre la inteligencia humana y la realidad, y la lógica desde la perspectiva de su validez, porque prescinde de los contenidos de la inteligencia humana para atender las leyes formales que rigen los razonamientos. Lo anterior constituye el fundamento para sostener que en la actualidad la lógica general, como disciplina formal, no busca dirigir el entendimiento al conocimiento de la verdad, entendida ésta como la conformidad del pensamiento con la realidad. Conzález, Antonio. Op. cit., páginas: 109 y 113.

25 Aristóteles. Op. cit., página: 167. 26 Mario Moro manifiesta que la forma ontológica de este principio es: liTado ser es lo que

es". Moro, Mario. Op. cit., página: 6l. 27 Eduardo Carda Máynez, jurista, estudia paralelamente a cada forma del pensamiento

jurídico los elementos que constituyen el objeto de estudio de la lógica clásica, y ex­presa que la forma ontológica de este principio es: "Todo objeto es idéntico a sí mismo ". Carda Máynez, Eduardo. Introducción a la lógica jurídica. México, Editorial Fondo de Cultura Económica, 1951, primera edición, página: 168.

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I .J! . I!. / ~ /\¡( \ N I l() I \V ll'g I<U':': . lIY<) (;1': · \ ·\.J· if ( )

La referencia de Mario Moro no establece la veracidad del juicio, sin elnbargo es evidente. Y aun cuando los ténninos de Jos autores en consideración son diferentes, semánticalnente son lo mismo.

Solmnente algunos filósofos aluden a la "idealidad" del principio de identidad, verbigracia: a. Luis Alberto Padilla, quien sostiene que: 11 ••• ningún proceso o concepto ... puede ser considerado como absolutamente idéntico a sr mismo, es decir, como absolutamente constante en medio de la mutabilidad de los demás ... 1f28; y, b. Antonio González, quien en uso de la lógica simbólica expresa: " .. . en un sistema formal hay que presuponer siempre que p ~-7 P (se lee: /lp" equivale "p"29). Pero en el mundo real, aquello que puede ser representado por p no es nunca algo fijo e inmutable, sino algo dinámico, sujeto a cambio, que puede llegar a ser algo totalmente distinto de lo que era ... la lógica formal ... es insuficiente si se pretende que representa el mundo real"30.

Las observaciones de Antonio González son razonables, las de Luis Alberto Padilla tienen un error de generalización, ya que si bien no se puede suponer que el concepto de un ser existente en el plano de la realidad material será idéntico siempre, sí lo será aquellos conceptos de objetos o relaciones formales de una determinada ciencia -como la matemática- que estudian seres fijos e inmutables que existen únicamente en el plano de la realidad mental.

2. Principio de no-contradicción

Mario Moro determina que este principio consiste en: "Dos juicios, de los cuales uno afirma lo que el otro niega, no pueden ser simultáneamente verdaderos "31.

28 Padilla M., Luis Alberto. Introducción a la lógica jurídica. Guatemala, Editorial Univer­sitaria, 1984, reimpresión de la edición de 1980, página: 17.

29 La letra "p" es una variable proposicional, por lo que representa una proposición determinada en dicha fórmula que simboliza el principio de identidad. Este tipo de expresiones se estudiarán en la lógica matemática.

30 Gonzáles, Ani.onio. Op. cit., página: 141. 31 El mismo filósofo dice que la formulación ontológica de este principio es la siguiente:

"El serl en cuanto ser, no puede no ser". Moro, Mario. Op. cit., página: 61.

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Por su parte, Eduardo Carcía Máynez lo expresa en los siguientes términos: "Dos juicios contradictorios no pueden ser verdaderos ambos " 32.

De la definición del principio aludido se infiere que solamente uno de los dos juicios es falso.

En la lógica general la ausencia de contradicción, o la concordancia del pensaJniento consigo mislno, es la base de la verdad lógica.

3. Principio de tercio excluso (tercero excluido)

Mario Moro enuncia este principio de la siguiente manera: "Entre dos juicios contradictorios, no se da un término medio " 33.

Eduardo García Máynez expone el principio de tercero excluido así: "Dos juicios contradictorios no pueden ambos ser falsos " 34.

Las definiciones relacionadas se complementan, porque la primera explícitamente indica lo que la segunda rinde implícitamente: solamente uno de los dos juicios es verdadero.

4. Principio de razón suficiente

Este principio, según Mario Moro, fue enunciado por primera vez por Leibnitz y estudiado a fondo por Schopenha~er, y lo enuncia así: "Todo ser tiene en sí mismo o fuera de sí la razón de ser " 35.

La formulación anterior corresponde a una perspectiva ontológica (habla del ser). Eduardo García Máynez, que también lo estudia, lo expresa de la siguiente 111anera desde la perspectiva lógica: "Todo juicio, para ser verdadero, ha menester de un fundamento suficiente"36.

32 Eduardo Carda Máynez manifiesta este principio con uso de ciertos elementos del lenguaje simbólico, desde la perspectiva ontológica, de la siguiente forma: IINingún objeto puede serl al mismo tiempol P y no PII. Carda Máynez, Eduardo. Introducción a la lógica jurídica. Op. cit. Página: 168.

33 Moro, Mario. Op. cit., página: 62. 34 Eduardo Carda Máynez, con algunos elementos del lenguaje formal, afirma que el

principio de tercero excluido en su formulación ontológica es: ITodo objeto tiene que ser necesariamente P o no P". Carda Máynez, Eduardo. Introducción a la lógica jurídica. Op. cit., página: 168.

35 Moro, Mario. Op. cit., página: 62. 36 Dicho filósofo del derecho formula este principio, de manera ontológica, aSÍ: liTado

tiene su razón suficiente". Carda Máynez, Eduardo. Introducción a la lógica jurídica. Op. cit., página: 168.

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L/(' , I'J ,/,,\ .. \ ¡\J I )( i f .' \v /r j( /,O"; \ /I' ,'i c /,' .. \ ,\ 'I \ /()

Este principio talnbién ha sido objeto de observaciones por algunos filósofos: Francisco Romero y Eugenio Pucciarelli, citados por Luis Alberto Padilla, afirman que " .. . el principio lógico de razón suficiente no es por completo un principio lógico: se refiere demasiado concretamente a la verdad del juicio para que lo sea, y el problema de la verdad es gnoseológico y 110 lógico ... Aquellos tres principios (identidad, contradicción y tercero excluido) estatuyen algo sobre la verdad del juicio, pero constantemente, según sus relaciones puramente lógicas: nunca aluden a los objetos a los que los juicios se refieren. En el principio de razón suficiente entra en juego la correspondencia entre el juicio y la situación al que el juicio se refiere ... "37.

Lo valioso de las observaciones de Francisco Romero y Eugenio Pucciarelli radica en el análisis que efectuaron al principio lógico supremo de razón suficiente, del cual evidencian que el mismo se refiere a la "verdad gnoseológica" del juicio, consistente en la correspondencia entre dicho elemento del pensamiento y la situación que alude, por lo que no es un contenido estrictamente lógico. y en efecto, el principio en consideración busca la razón del juicio fuera de las relaciones puramente lógicas de los elementos que lo integran, y la aclaración de Eduardo Carda Máynez lo constata: " .. . Por razón de un juicio debe entenderse lo que es capaz de abonar lo enunciado en el mismo. "Esta razón es 'suficiente' cuando basta por sí sola para servir de apoyo completo a lo enunciado, cuando, por consiguiente, no hace falta nada más para que el juicio sea plenamente verdadero. La razón es 'insuficiente', cuando no basta por sí sola para abonar lo enunciado en el juicio, sino que necesita ser complementada con algo para que éste sea verdadero. Así, por ejemplo, en el juicio positivo universal: Todos los dramas de Schiller son históricos " el hecho de que los dramas Guillermo Tell y Wallenstein sean históricos, es una razón, porque puede servir de apoyo al juicio; pero no es suficiente, porque no basta por sí sola para hacerlo verdadero en todo lo que enuncia"38 (lo resaltado en negrillas y con subrayado es propio).

Se resaltó el término "hecho" porque denota que el fundamento del juicio se busca en la realidad, es decir, en los objetos a que el juicio se refiere.

37 Padilla M., Luis Alberto. Op. cit., página: 24. 38 García Máynez, Eduardo. Introducción a la lógica jurídica. Op. cit., páginas: 130 y 131.

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C. ESTRUCTURAS DEL PENSAMIENTO

En la definición real de la lógi.ca general se estableció que la ll1isll1a tiene por objeto material los pensamientos, los cuales se analizan desde la perspectiva de su estructura: concepto, juicio y raciocinio; elementos generales del pensallliento que se desarrollarán a continuación.

1. Concepto

Previo a establecer una definición de concepto se seguirá ellnétodo utilizado por varios filósofos y / o lógicos, consistente en detenninar lo que no-es dicha forma del pensalniento, para discernir su naturaleza o esenCIa.

Los filósofos y / o lógicos en general, entre ellos Benlloch Ibarra, Tejedor Campomanes39, y Mario Mor04u, están de acuerdo en que el concepto no es:

a. El acto de concebir, porque el concepto es el producto del pensar y no el pensar mism041

;

b. La palabra o el ténnino, porque son la expresión verbal del concepto y no el concepto misll10; son un signo artificial de éste42

; y,

c. La imagen sensitiva (o representación) de un objeto, porque este es un tipo de conocÍlniento derivado de los sentidos caracterizado por ser concreto (contiene todos los caracteres -esenciales y accidentales-) y singular (la imagen mental corresponde únicamente a un objeto), y no abstracto y universal como los conceptos. Además, no siempre se puede

39 Benlloch !barra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., páginas: 25, 26 Y 33. 40 Moro, Mario. Op. cit., página: 2l. 41 El acto de concebir se denomina concepto formal, y es objeto de estudio de la psicología,

en tanto que lo aprehendido en dicho acto se llama concepto objetivo, y es objeto de estudio de la lógica. Millán Puelles, Antonio. Fundamentos de filosofía. España, Editorial Rialp, 1981, onceava edición, página: 95.

42 Los signos, que representa algo distinto de sí, se suelen clasificar en naturales y artifi­ciales. Los primeros son definidos como aquellos en los que la relación del signo con el objeto significado resulta de la naturaleza misma del signo, y los segundos, como aquellos en los que la relación del signo con el objeto significado es convencional. De estas definiciones se afirma que el término es signo artificial del concepto, porque el lenguaje es convencional, y el concepto es signo natural del objeto, por la naturaleza de aquél. Benlloch !barra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 33.

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formar la in1agen o representación del objeto de conocimiento, porque en D1uchos casos éstos no son seres corporales.

Eduardo Carda Máynez43 y Luis Alberto Padilla44, quien sigue la línea

de pensamiento del priInero, agregan que el concepto no es:

a. El objeto al cual se refiere, porque éste, el correlato objetivo, es distinto del concepto, verbigracia: el objeto 11 casa" se encuentra en el plano de la realidad luaterial (correlato objetivo) y el concepto "casa" radica en el plano de la realidad mental; y,

b. La suma de las notas esenciales del objeto, porque el objeto al que se refiere el concepto y las cualidades de aquél no se confunden con los elementos del contenido conceptual. Además, aún si se dice que el concepto es la suma de las "referencias mentales" de esas notas, faltaría, según Eduardo Carda Máynez, el elemento que se refiere al objeto mismo del cual se predican las notas45• Lo afirmado en la literal "e." se entenderá con la definición de "concepto" y su "comprensión", porque el concepto es el concepto de algo y no solamente las referencias mentales de las características que revisten al objeto de conocimiento.

a. Definición

Los filósofos cuyas doctrinas se han analizado conciben al concepto de la siguiente luanera:

a.lo Benlloch Ibarra, Tejedor Campomanes46 y Mario Mor047

manifiestan que el concepto es la representación intelectual de un objeto, abstracta y universal; y,

43 García Máynez, Eduardo. Lógica del concepto jurídico. México, Editorial Fondo de Cultura Económica, 1959, páginas: 13-22.

44 Padilla M., Luis Alberto. Op. cit., páginas: 26 y 27. 45 Sergio Custodio sí reputa el concepto como la suma de las notas esenciales o comunes

de la cosa con las demás de su especie, porque lo define como " ... el producto mental de un proceso lógico que consiste en sintetizar las características comunes de una clase de objetos, relaciones, procesos o fenómenos ... ". Custodio, Sergio. Op. cit., página: 21.

46 Benlloch Ibarra, E., y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., páginas: 25 y 26. 47 Moro, Mario. Op. cit., página: 21.

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a.2. Eduardo Carda Máynez, en aplicación de la teoría de Edmund Husserl y Alejandro Pfander48

, y Luis Alberto Padilla49, que sigue la

línea de pensamiento del primer filósofo citado en esta literal, definen al concepto como la significación elemental referida a objetos.

Ambas definiciones son correctas, pero la prÍlnera es más explícita que la segunda, porque comprende las notas de "abstracto" y "universal", las cuales están implícitas en el siguiente elemento de la segunda definición: "significación elemental" .

El juicio también es una significación en la que un concepto se afirma o niega a otro, pero en el elemento del pensamiento objeto de estudio en este sub-apartado no existe tal conexión (denominada apofántica) porque es una significación" elemental" .

Como resultado de las doctrinas analizadas, el concepto es un elemento general del pensamiento que representa intelectualmente un objeto en forma abstracta, sin afirmar ni negar algo del mismo.

b. Comprensión y extensión

La comprensión del concepto también es denominada por Mario Moro como" contenido" o por Sergio Custodio como "intensión".

Benlloch Ibarra, E. y Tejedor Campomanes definen la comprensión del concepto como el conjunto de notas o propiedades que constituyen la esencia representada por un concepto50. Ejemplo: el concepto referido por el término "hombre" contiene las notas "substancia", "cuerpo", "animado", "sensitiva", "animal" y "racional"51. En este punto Eduardo Carda Máynez52, siguiendo a Wundt, y Luis Alberto Padilla53 agregan que el concepto tiene otra característica esencial, que es su conexión con otros conceptos, la cual se evidencia con su comprensión. En el ejemplo citado: "substancia", "cuerpo", "viviente", etc., son palabras que aluden otros conceptos.

48 Carcía Máynez, Eduardo. Lógica del concepto jur(dico. Op. cit., páginas: 22 y 23. 49 Padilla M., Luis Alberto. Op. cit., página: 27. 50 Benlloch Ibarra, E. y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 27. 51 Las notas que contiene un concepto son el género supremo, géneros subalternos,

género próximo y diferencia específica. Ver árboles lógicos en la página 24. 52 Carcía Máynez, Eduardo. Lógica del concepto jur(dico. Op. cit., páginas: 32 y 33. 53 Padilla M., Luis Alberto. Op. cit., página: 28.

12

La extensión d el concepto es, C01UO afi rn1an Benlloch Ibarra, Tejedor Calnpomanes54

, Mario Mor055 y Sergio Custodi056, el conjunto

de individuos, sujetos u objetos a los que se aplica el concepto. Por lo anterior, el concepto de "hoD1bre" se aplicará únicamente a los seres que cumplan las notas que el mismo comprende. Sin embargo, y si se añade otra característica al concepto manifestado con la expresión "hombre", por ejemplo: el concepto de "blanco", únicamente se predicará a los individuos que cumplan las notas aludidas con los vocablos "substancia", "cuerpo", "animado", "sensitiva", "animal", "racional" y "color blanco". En virtud de lo anterior se habla de la relación inversa entre la comprensión y la extensión del concepto, porque a mayor comprensión del concepto corresponde menor extensión, y, a mayor extensión, menor comprensión. En el ejemplo citado, es claro que el concepto significado por las palabras "hombre blanco" tiene mayor comprensión pero menor extensión que el concepto indicado por el término "hombre", porque se aplicará únicamente a los hombres con tez blanca, excluyendo a cualquier otro con distinto tipo de color de piel.

c. Propiedades

El concepto es una representación intelectual de un objeto, abstracta y universal. De esta definición se resalta que una de las propiedades del concepto es su universalidad, por la cual el concepto se cumple o realiza en varios individuos. Y de esta propiedad surge la segunda: su predicabilidad, por la cual el concepto puede predicarse, decirse o atribuirse de cada uno de los individuos en que se cumple. Los modos de predicación son varios, tal y como se analizará en el título denominado "los predicables" -numeral 3.1.5. de este capítulo-o

d. División

Los conceptos se dividen por razón de su extensión, comprensión y relaciones entre sí57•

54 Benlloch Ibarra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 27. 55 Moro, Mario. Op. cit., página: 22. 56 Custodio, Sergio. Op. cit., página: 23. 57 Algunos filósofos dividen al concepto también por razón de su perfección en: é:l.

oscuro, si no permite distinguirlo de los demás (verbigracia: el concepto de "león" simplemente como el concepto de "animal", ya que éste comprende más especies); b.

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d.l. Por su exteJlsión

d.l.l. Universales: son los conceptos que se refieren a todos los individuos de una especie, genero o clase5H

, verbigracia: los conceptos lnanifestados con las palabras "todos los h01nbres", "la D1ujer" y "los árboles" son universales a pesar de sus diferencias: al primero lo antecede el adjetivo cuantitativ059 "todos", el segundo por el artículo que concuerda con el sjngular de su sustantivo: "la", y el tercero por el artículo que concuerda con el plural de su sustantivo: "los"; lo anterior debido a que la extensión del concepto no resulta modificada aún por términos o palabras en singular. sin que exista otro concepto que sí la cambie.

Los conceptos universales se clasifican en:

i. Unívocos: el concepto universal se predica o atribuye de modo idéntico a varios conceptos-sujetos. Por ejemplo: el concepto aludido con las palabras 11 animal irracional" se dice de modo idéntico a los conceptos

confuso, si el concepto se distingue de los demás a bulto (el concepto de "león" como el concepto de "cuadrúpedo"); y, c. distinto, si se conoce a perfección (el concepto de "león" como el concepto de "animal irracional"). Benlloch Ibarra, E. y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 29.

58 Los conceptos universales han generado profundas discusiones filosóficas en torno a su existencia. Varias corrientes filosóficas han tratado el tema de la siguiente manera: a. el realismo exagerado, iniciado por Platón, sostiene que las palabras y conceptos universales son naturalezas eternas, inmutables e inteligibles que subsisten con in­dependencia de los individuos que pueden poseerlas; b. el realismo moderado, que inició Aristóteles, afirma que los conceptos universales son una propiedad de nuestros conceptos, y que existen de manera individualizada en las cosas; c. el nominalismo predica la universalidad únicamente de los términos o palabras, negando tal carácter a los conceptos y a las esencias, porque solo existen seres o propiedades individuales; y, d. el conceptualismo admite que los universales son conceptos aplicables a la expe­riencia para unificarla pero sin que implique una estructura inteligible de las cosas. Sanguineti, Juan José. Op. cit., páginas: 50 a 55. Este problema ha sido compilado por José Antonio Robles, desde la postura del realismo y la de sus críticos. Robles, José Antonio (compilador). El problema de los universales (el realismo y sus críticos). México, Editorial de la Universidad Nacional Autónoma de México, 1980, primera edición.

59 Mario Moro clasifica los términos por razón de su significación en categoremáticos, si tienen significado propio, y sincategoremáticos, si tienen significado sólo si están unidos a otro término. Entre los términos sincategoremáticos están los artículos, los adjetivos y los pronombres. Moro, Mario. Op. cit., página: 26. A dicha clasificación también corresponde otra de los conceptos por el mismo criterio, las cuales son denominadas por Edmund Husserl, citado por Eduardo García Maynez, como sig­nificaciones categoremáticas y sincategoremáticas. García Máynez, Eduardo. Lógica del concepto furídico. Op. cit .. páginas: 107-112.

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expresados con los vocablos "león", "leopardo" y "ballena", porque tienen lamislna naturaleza.

ii. Análogos: el concepto universal se atribuye de un modo que no es totahnente idéntico ni diferente, sino análogo. Verbigracia: el concepto significado con la expresión "saludable" se predica de un ll10do análogo a los conceptos indicados con ] os térlllinos "hombre", "comida" y "hábito", porque no se dice en una fonna totalmente diferente (los tres son saludables) ni idéntica (ya que el hombre es sano, el alimento es bueno para la salud y el hábito es ll10tivo de salud).

No existen conceptos universales equívocos, sólo las palabras o los tén1linos pueden entenderse en varios sentidos porque son signos artificiales de los conceptos, y estos son signo natural de un objeto, no existe en ellos ambigüedades.

d .1.2. Particulares: son los conceptos que expresan a muchos o varios individuos de una especie, género o clase, por ejemplo, de lnanera indeterminada: los conceptos referidos con las palabras" algún hOlnbre", "varios vehículos", "algunas lnujeres", y de ll10do deterlllinado: el concepto expresado con los ténninos "estos anÍlnales".

d.1.3. Singulares: son los conceptos que se refieren a un individuo o ser, verbigracia: los conceptos indicados con las expresiones" Aristóteles", "esta mesa" y "el carro de Javier".

N o existen, en oposición a lo que dice Juan José Sanguineti, conceptos singulares en modo indeterminaddo. Dicho filósofo cita como ejemplo el concepto de "algún hOlnbre", sin elnbargo, tal forma del pensaIniento también la emplea COlno concepto sujeto de un juicio particular afirmativ061

• Es incongruente afinnar que el concepto indicado con las palabras "algún hombre" por su extensión es singular, y a la vez decir que el mismo es un concepto sujeto de un juicio particular afirmativo: se diría que es un concepto singular y particular al mismo tiempo.

Sobre este tipo de concepto se ha generado en la lógica clásica discusiones sobre la validez de los miSlllOS: i. Benlloch Ibarra y Tejedor CampOlnanes, afirman que el concepto singular es un "concepto universal

60 Sanguineti, Juan José. Op. cit., páginas: 47, 112 Y 113. 61 Ver páginas 26, 27, 30.

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muy complejo acompaiiado de ulla imagen sellsible"62; y, ii. Mario Moro duda la existencia de conceptos singulares partiendo de la definición de concepto (es un elelnento abstracto)63.

La solución del problema indicado corresponde a la filosofía de la lógica, por lo que sólo se indicará que la denominación "concepto singular" es incompatible, ya que por definición el "concepto" es universal, no singular.

d.2. Por su comprensión

d.2.1. Simples: Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes detenninan que son simples los conceptos que expresan "una sola esencia"64. Un ejemplo de concepto simple por su cOlnprensión es el referido con el vocablo "hombre". Tal elemento general del pensamiento, a pesar que contiene varias notas, los conceptos declarados con los términos "substancia", "cuerpo", "animado", "sensitiva", "animal" y "racional", todas y cada una de ellas constituyen una esencia, la representada por el concepto de "hombre".

Por su parte, Mario Moro establece que son simples los "términos" que "comprenden" una sola propiedad65.

d.2.2. COlnpuestos: Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes afirman que son compuestos los conceptos que "comprenden" varias esencias66, verbigracia: el concepto aludido con las palabras "hombre blanco". En dicho ejemplo, el concepto significado con la expresión "hombre" representa una esencia, y el concepto indicado con el término "blanco" la otra, no obstante que cada uno contiene varias propiedades.

y Mario Moro precisa que son cOlnpuestos aquellos "términos" que "comprenden" varias propiedades67.

Las divisiones desarrolladas por los filósofos indicados no son iguales:

62 Benlloch Ibarra, E. y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 28. 63 Moro, Mario. Op. cit., página: 26. 64 Benlloch Ibarra, E. y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 29. 65 Moro, Mario. Op. cit., página: 26. 66 Benlloch Ibarra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 29. 67 Moro, Mario. Op. cit., página: 26.

16

I.IL. ID, I\¡ ,V'·I IJL! l. \ \' 1 U, 1,( »: ... \ I../'S (;)(\\ ¡l/U

i. Benlloch Ibarra y Tejedor Campo111anes tratan de una división de los "conceptos", en caInbio Mario Moro de una de los "términos"; y,

ii. Benlloch Ibarra y Tejedor CaInpomanes versan sobre "esencias de los conceptos", pero Mario Moro lo hace de "propiedades de los

'" . " termInos .

No son una sola y misma cosa: i. el concepto y el término, porque éste es la manifestación verbal de aquél; y, ii. la propiedad y la esencia, ya que ésta es una especie de propiedad Inás no a la inversa, porque existen también propiedades accidentales.

Las divisiones estudiadas y comparadas reflejan un constante problema en las obras que versan sobre la lógica, ya que tratan indistintamente los elementos generales del pensamiento (que son el objeto material de la mencionada disciplina) con las formas mediante las cuales se manifiestan. Es importante resaltar que la división del concepto por su comprensión puede dar lugar a muchas imprecisiones lógicas, pero es un problema que se deriva de una equivocada definición de la cOInprensión del concepto, ya que algunos filósofos y/o lógicos la reputan simplemente COlno el conjunto de propiedades que contiene, y, si esta división alude a la cantidad de esencias que expresan o contienen los conceptos, erróneamente se puede inferir que casi ningún concepto es simple porque la mayoría comprende más de una nota que es esencial. Por tanto, es una determinación primordial en la definición de la comprensión del concepto que todas las notas que contienen "constituyen la esencia representada por el concepto", porque así definida resulta clara esta división.

d.3. Por sus relaciones

d.3.1. Idénticos: son conceptos que significan lo mismo, verbigracia: el concepto referido con la palabra "hombre" significa lo mismo que el concepto aludido con las expresiones "animal racional", o el concepto de "pentágono" significa lo mismo que el concepto de "polígono de cinco lados".

d.3.2. Subordinados: en la relación entre conceptos, uno está contenido en la extensión de otro, por ejemplo: el concepto representado con el vocablo "hombre" está contenido en la extensión del concepto indicado con la palabra" animal", o el concepto de "número par" en la extensió~ del concepto de "número".

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d.3.3. Coordinados: en la relación entre conceptos, hay unos cuyas extensiones están igualmente contenidas a un mismo nive1 en un concepto con mayor extensión, verbigracia: el concepto expresado con los vocablos "nÚlnero par" y el concepto declarado con las palabras "número in1par", son conceptos coordinados, y están contenidos en el concepto representado con el término "número", o el concepto de "animal racional" y el concepto de "animal irracional" son conceptos coordinados, y están contenidos en el concepto de "animal".

d.3.4. De esferas cruzadas68: en la relación conceptual las extensiones

de los mismos se incluyen parciahnente, por ejemplo: el concepto lnanifestado con la palabra "justo" y el concepto expresado con la expresión "hombre", son conceptos cuyas extensiones se comprenden parcialmente porque algún hombre es justo.

d.3.5. Conceptos que se excluyen lnutuamente: entre los conceptos sus extensiones no se cruzan, abarcan, cOlnprenden o contienen, por ejemplo: entre los conceptos significados con los vocablos "número par" y "número impar", sus extensiones no se incluyen. En este ejemplo en particular los conceptos son también coordinados, porque están comprendidos en la extensión del concepto de "número".

e. Los predicables

Los filósofos definen de la misma manera "los predicables": Benlloch Ibarra, Tejedor Campomanes69 y Juan José SanguinetFO afirman que son los 11 distintos modos de atribuir un concepto a un sujeto".

Los predicables han sido estudiados desde Aristóteles, quien en su tratado de las Categorías, que versa sobre el concepto, desarrolla -entre otras- las nociones y relaciones entre género, especie y definición: " ... La relación entre las sustancias primeras y todas las demás es precisamente la de la especie al género; porque los géneros se atribuyen a las especies; y las

68 El nombre de esta relación entre conceptos se deriva de su representación gráfica: cada concepto se representa con una circunferencia, y cada área de los círculos (que son sus extensiones) se contienen parcialmente.

69 Benlloch Ibarra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 30. 70 Sanguineti, Juan José. Op. cit., página: 75.

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especies no se atribuyen recíprocamente a los géneros, y por esto la especie sirve de fundamento al género ... "71.

Con Porfirio, en su libro La isagoge, los predicables adquieren lnás perfección, pues el contenido de dicho tratado, que tiene por objeto hacer comprensible el texto de las Categorías de Aristóteles, es una doctrina de los predicables: género, diferencia específica, especie, propio y accidente. Dichos predicables, detallados y desarrollados minuciosamente por Porfirio, se estudian en la actualidad, y se dividen y definen de la siguiente manera:

e.l. Predicables esenciales: atribuyen a un ser una característica, nota o propiedad esencial:

e.l.l. Género: es un concepto universal que representa la esencia común con otras especies. Como afirma Juan José Sanguineti, el género es un concepto que se ha obtenido por abstracción de muchas especies que convienen en algo en común72• Por ejemplo: el concepto aludido con el término "animal" se predica al expresado con la palabra "Héctor", ya que Héctor es un animal, pero el concepto de "animal" también se puede atribuir a otros significados con las siguientes expresiones: "leopardo", "delfín" y "elefante".

e.1.2. Diferencia específica: es un concepto universal que representa la parte de la esencia que diferencia a esa especie de las demás del mismo género. Porfirio ya había indicado que la diferencia específica se emplea para dividir los géneros y para formar las definiciones73• Verbigracia: el concepto indicado con el vocablo "racional" es lo que diferencia esencialmente al hombre de los demás animales, y se utiliza junto con el concepto de "irracional", para dividir al género de "animal" en los conceptos referidos con los términos "animal racional" y "animal irracional".

e.1.3. Especie: es un concepto universal que representa la esencia total o completa de un ser74

• Por ejemplo: la esencia total de "Javier" está representada por el concepto significado con el vocablo "hombre".

71 Aristóteles. Op. cit., página: 25. 72 Sanguineti, Juan José. Op. cit., página: 77. 73 Aristóteles. Op. cit., página: 11. 74 Porfirio definió la especie de varias maneras, pero todas hacen alusión al mismo pre­

dicable: a. la forma de cada cosa; b. lo que está colocado bajo un género dado; y, c. lo que está clasificado bajo el género. Por ejemplo: la especie expresada por el concepto de "hombre" esta colocada o clasificada bajo el género expresado por el concepto dé "animal". Ibid., página: 7.

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C01l10 se puede apreciar el concepto de "hOlnbre" es, idéntico ', al del género y al de la diferencia específica: hombre (significa la especie) es un anÍlnal (representa el género) racional (expresa la dife~encia específica). Esta fónnu1a de definición (real), ya había sido determinad~ por Áristé>te1es, quien afirmó que para definir es neces~rio eXI?r~s'~r e~ g,~n,ero (10 que es la cosa) y la diferencia específica75

. , '

e.2. Predicables no esenciales o accidentales: dicen de un ser una taracteríStiéa ,o nota no-esencial o accidental:

e.2.1. Propiedad: es un concepto universal que se refiere a una cara:ae~ rística que no es esencial, pero sí necesaria76 para la especie pórque \se deriva de su esencia. Por ejemplo: el concepto de "capaz de reírse({ ,es un pre~Ucable que se atribuye al concepto de "Aníbal" porque s:e ,!d~~iv:a de lq ~s~nci9- de su especie . • ' ! '. ' . " .

; " , i. Clases de propiedad

:! ' i~i" Propiedad genérica: corresponde a todas las especies 'delllúin{ú g:éherb; y, i.2. Propiedad específica: conviene solo 'a una' espé'cieHe'Í m'ú:,tno 'g~iiéfo.

. e.2.2. Accidente: es un concepto universal que representa u~a (:ualidad b;tatacterística de un ser que no es esencial ni necesarlásino :s6nHngent~ '(puede : o no estar en el ser). Por ejemplo: el con~ep'to ref~,ridó pb:J~l térmIno "cabello castaño claro" es un predicable qué se "ptÍed'e/' dé¿H del concepto de "Luis".

, : :' ;, i

, ,' ;', ,Qe lo anterior es notorio que entre los predicables existan relé;l.ciones: ,Y-J;l. )géhero ,FHnprende varias especies, divididas s~gú:n lqsdifer~Ps\as específicas entre éstas, partición que se puede segllir forIl)~lapd<?: bqp'~q lélS especies ínfimas, las cuales ya no admiten división porque sólo ~omprenden 'ihdividuos (no existe otra especie inferidr :o 'de in~~os ~~ténsion). Pero el inicio de los géneros no es infinito~ e'xist~rl 'géhérds

75 Aristóteles no sólo estableció la forma de definir, ya queindic.::ó. además queja misma no está bien formulada si: a. se extiende más de lo necesario, porque~l excesoes.inútil; y, b. se emplean expresiones oscuras. Estas observaciones constituyen en¡ la , a~tualidad

r.eglas para definir correctamente el definiendum (concepto definido)"Ibid.j ,páginas,: 289,.290 Y 295. ',: ', :"

.76 No es lo mismo una característica esencial que una necesaria: por :la,primera:un ser e~ laque es, y la segunda es una característica que está presente en el ser, pero no por ella es el ser. Benlloch !barra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., 'página.; ao.

generalísimos finitos77, sobre el cual no hay género ll1ás extenso, es decir,

que no están contenidos en un concepto superior. De estas relaciones surgen los árboles lógicos, que a continuación se analizarán.

f Árboles lógicos

El árbol lógico es unconjunto de conceptos relacionados entre sí por su comprensión y extensión. Esta estructura lógica surgió del estudio del tratado' de 'Pórfirio, denominado La isagoge, ' porque en el mismo, dicho filós'(jfo neoplatónico del siglo tres ' después de Cristo, expresa la relación entre los predjGables esenciales de la siguiente manera: " ... En cada categoría hay dertos té.rminos que son generalísimos, otros especialísimos; luego, entre estos dos extremos, los más genéricos y los más específicos, hay 'otros 'Mrm,inos que son a la vez gen eros' y ,especies. El término generalísimo es aquel por 'encima del cual no púede habér 'género que le supere; el término especialísimo es aquel p@r bajo del cual no puede haber especie que le sea inferior ... La sustancia es género. Por bajo de ella está el cuerpo; por bajo del cuerpo, el cuerpo animado bajo el cual está el animal; por bajo del animal, el animal racio1(al bajo e~ pual está el hombre; bajo elhombfe, Sócrates, Platón, y todos los }zombn!.s ,en particular ... "78. : ,:'; " " ,

" - " . . '(

La división efectuada por Por,fiho es denominada dicqtQmica, porque el género se fragmenta en dos (Úf~r,encias específicas. ", '

Al analizar los predicables se evidenció las relaciones entre los mismos, los cuales, al estar estructurados en un árbol lógico, demuestran que sus conceptos por sus relaciones son subordinados (el conc.~pto de "cuerpo" está subordinado al de "sustancia"), coordinados (el concepto de'/clietpo anirhadb~'J est'á' coo'rdinádó al de : ~I cuerpo inanimado") o excluyentes recíprdcainent~ ' (el concepto de,, "animal tacional'''' pcirsu ext~nslql!l ,;se, ~),( ,Gl~ye~utuamente , c~n.: el de ~I al;limal irraciQnal") ~ ' :

'La' repré~ei1tación 'gráfica del árbol de Porfiri079: es la siguiente': : . : ·1 :- ! !.

. " "

\ : f \ .. ' ,;

77 Porfirio afirma que los géneros generalísimos son diez: sustancia, cantidad, cualidad, relación, acción, pasión, lugar, tiempo, situación y hábito. Estos géneros son las cate­gorías que desarrolla Aristóteles en su tratado designado Categorías. Aristóteles. Op.

'! ' 't" á ' 8 I " , ,',al ,., 'p "glrta: , ¡ ,f!': ,', .. ' J'" ', " , '1:' ' J,' , ' , ,

78 .!lbid;; página:7. ,,' ,,:,,; " "i ,";' ,, ', ,; , ;' ,

79,' ;;E<léiboradó 'del estudio de La 'isagbge' de 'Porfirio y la representación del árbol1ógico _ ,,' ! Pol:l '~enIlochlbarra y Tejedor Campomanes, Fuentes: a .. Aristóteles ~ Gp, cit., páginaS: '

5-18; y, b. Benlloch !barra, E., y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 32. '

21

J,! )(;/( .. \ JI/lO! l/! ', \ I\SI 'I\(/ ,\ 11 ,\ /'() 1 ,\ l>I"'/)I 'i\~"I /:} , 1 I ~ \/-: \ 1,1 1111 / ) 1.1 \I:! 1(, 111() 11 f'k: , \ \/'I e

f HOMBRE (especie)

2. Juicio

CORPÓ\EA (diferencia genérica)

SUBSTANC IA (género supremo)

I

• CUERPO

INCORPÓ'tEA (diferencia genérica)

(género subalterno) I

ANIMAtO (diferencia genérica)

---------::1., ANIMADO

NO ANIMADO (diferencia genérica)

(género sU9alterno) .. SENSIBLE

(di ferencia .!o::g_en_é_ri_c-,a ):.-.-__ ---::1. • ANIMAL

.. RACIONAL

(diferencia genérica)

(género próximo)

• MUJER (especie)

I

NO SENSIBLE (diferencia genérica)

IRRACIONAL (diferencia genérica)

Del mismo modo que el concepto, antes de definir el juicio se establecerá lo que no es dicha forma del pensamiento:

a. Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes manifiestan que el juicio no es el acto por el cual el entendimiento une o separa dos ideas o conceptos, mediante la afirmación o la negación, porque el juicio es el producto de dicho acto y no el acto luism080;

80 El acto por el cual el entendimiento une o separa dos ideas o conceptos, mediante la afirmación o la negación, se denomina "juicio psicológico", y es objeto de estudio de la psicología, pero el pensamiento que resulta de dicho acto se designa "juicio lógico", y es objeto de estudio de la lógica. Benlloch !barra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 37.

22

I,}( ', J'l. 1'i\¡: IN l hl j.IVlr/, 1\()'-. , \l I ' ,C; L,'J<,I.\J· \ /U

b. Benlloch Ibarra y Tejedor Canl pOlnanesR1 y Mario MoroR2 están de acuerdo en que el juicio no es la enunciación o la proposición, porque ésta son la expresión verbal o lingüística del juicio; y,

c. Alejandro Pfander, citado por Eduardo Carda Máynez83, y Luis Alberto Padilla84 agregan que el juicio no es la situación o el contenido objetivo al cual se refiere el juicio, porque éste corresponde al plano de la realidad mental.

a. Definición

Esta forma del pensamiento ha sido definida de la siguiente manera:

a.1. Mario Moro: "Juicio es la operación mental con la cual afirmamos o negamos algo "85;

a.2. Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes: "Juicio lógico es el pensamiento en el cual se afirma o niega algo "86;

a.3. María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti: "El juicio es una representación más compleja, es la unión entre dos o más conceptos, que compone al afirmar y divide (o descompone) al negar"87; y,

a.4. KurtJoachim Crau, citado por Eduardo Carda Maynez: "El juicio consiste en afirmar de un objeto, como sujeto lógico, algo que de algún modo le conviene como predicado lógico"88.

De las definiciones citadas, la de Benlloch Ibarra y Tejedor Campo­manes, así como la de María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti, comprenden los mismos elementos, empero, la de Mario Moro confunde el juicio con el acto mediante el cual se formula (ver literal "a.1." que

81 Ibid., página: 38. 82 Moro, Mario. Op. cit., página: 29. 83 Pfander distingue tres planos en los juicios enunciativos: a. el de las proposiciones; b.

el de los juicios; y, c. el de los contenidos objetivos a que los juicios se refieren. García Máynez, Eduardo. Lógica del juicio jurídico. México, Editorial Fondo de Cultura Eco­nómica, 1954, página: 19.

84 Padilla M., Luis Alberto. Op. cit., página: 38. 85 Moro, Mario. Op. cit., página: 29. 86 Benlloch Ibarra, E. y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 37. 87 Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Lógica, argumentación y retórica,

Argentina, Editorial Biblos, 1998, primera edición, página: 45. 88 García Máynez, Eduardo. Lógica del juicio jurídico. Op. cit., página: 26.

23

L.OC /C '\ I U 1\ /1 .I/<": / \: / N" /'1, LI,\H, N ro / N U l:'; rf.N,'i / \I3U, e¡'lf\A /:J. J LlJ j y H / lHUC/lPU UIIG,'\ \ 'Jf

identifica lo que "no-es" el juicio), y la de Kurt Joachim Grau únicamente reputa el juicio de un lnodo: la afirmación o conveniencia de un concepto a otro, sin considerar la negación.

El juicio es, sin incurrir en confusiones u omisiones, un elémento general del pensamiento que se constituye de conceptos, en el que uno se afirma o niega a .otro..

b. Elementos

El juicio se compone de los siguientes elemento.s:

, ; I b.1. Concépto~sujeto:es elco.n~epto. del que se afirma o: se 'niega alg089 . ' ¡ ! '

" b.i ;' Cóncepto~predicado: ' es 'eiconcepto ' queée 'atribuye o niega al co.ncepto.-sujeto.90• ' " ' ''': :':

, 'b.3. C6ncepfo.:.cópula: es el-conéepto que determín~ la' telación de conveniencia o no. co.nveniencia: entre' elcoric~ptC~)~sujkt6) y' el :cortéeptd~ ' pre di cad O-c (los une :'oios segJi'ega);' La,cópulaLse ; e~¡i>resa Iport el.:verbo se:r.,:" Este . elemento denQta¡ como. , afirma Eduafdo' García ,Máynez~I, las relaciones entre concepto.-sujeto y concepto-predicado desde.el punto, ,de , vistél5ie su ext~n~ión y ,coPlp'rens~ó.n. Pes.4e;el prime~q~ el co.n<;:~ptplsujeto

, " \ I l' • ' • '. • • , : . ' , ' ._ ' 1 I ¡ , I . . I ! . . ~ . .

~stá c~l1}prendido ~n l,él, '~xte~sión. del cot;l;ceptC?,~'pr~di~a?9, p,~ro.; ~,e~d~ el segundo el conce'pto-predicado. está co.ntenid() , e~ ,el co.D;cepto-suNto." '

j' , ., • , '

Enu.lllera~os y ~xpli.cadqs los elemento.s ,ciel juic:io, é~to.s se . ' \ I ~ 1 , :" ~ I • .. ! ! . 1 , ' . .' ,':. , ." • 1 , ' • ,,' :, ' ' ..' , •

es:qtlelllatizaIl: d~: la sig~~e~te manera:, " , ,l. ,: ' " , "1 . ' : ' .. ' ",' ,: .. • 1':.. :" .' • I .' . . . " , ,

' .. b:l En eljúici01'eferido por la proposición '~Femando. es' esttidioso",la palabra ,~'Fernando" alude 'el concepto-sujeto (S), el vocablo "es'{ expresa­el concepto.-cópula, y el término "estudioso" representa el concepto­predicado. (P). En el ejemplo. citado., co.n la forma "S es P", el mismo., po.r la cópula, es afirmativo.. ,. , ,

89 Juan José Sanguineti expresa en diversos órdenes el concepto-sujeto: a. en el orden lógico-gramatical es el término que recibe)a atribución; y, b. en el orden .real es un individuo, una parte suya, una especie, un grupo, un accidente sustantivado (adjetivo), etc. Sanguineti, Juan José., Op, cit., página: 99. ' ,! : I " .;.

90 Juan José Sanguineti manifiesta que en el orden real el predicado puedeco,nsistir en una esencia, cualidad, acción, movim1ento, u otro. Loe. cit. ,: : i. ; l ' j

91 García Máynez, Eduardo. Lógica del juicio jurfdíco. Op. cit., págínatB.7.

24

/./l' UJU\¡ :\Nl J( .1/ '\\/1),: /<U "· \I ./ 'S l :/': \:\ I 'i/ ¡ )

,b.2 En el juicio expresado por el enunciado "Ulises no es imprudente'(, el vocablo '~Ulises" alude el concepto-sujeto (P), el ténnino "no es" expresa el concepto-cópula, y la palabra "ilnprudente" representa el concepto­p,~~dic;:pdo (P). En el ejemplo relacionado, con la fonna "S no es P", el misrnp, por la relación de no conveniencia del concepto-predicado al

'11 , '1

Cml<;~pto-sujeto, es negativo.

Como ' se -puede apreciar, el concepto-cópula determina la relación entre lasatros conceptos, es por ello que la misma constituye el elelnento fonnal · del juicio, y el concepto-sujeto y el concepto-predicado su n~ateria .' ..

:',. "'Además de ' la · función del concepto-cópula de unir o s'epatar 'él codce'pto-sujeto y el concepto-predicado, los filósofos y/o lógicos señalan que la misma tiene una función enunciativa, la cual consiste, como expresan Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes92

, en la correspondencia entr,e lq, q~~ d,i~e el juicio y la realidad. Es por esta última función del cOJ,1;t~p~o-:~?pllla; ,que motiva la calificación del juicio en verdadero y falso, por la que algunos lÓgicos modernos señalan que la lógica clásica:b.l. ha estudia la verdad en el sentido que interesa a la teoría del conocimiento; y, b.2. se le vincula con la ontología y la grmnática, debido al uso de un L~ngHqj~:ll.ptura.l, por ~l cual se clasifica los juicios en base aun moQ.elo gr;~~ti.cat. y, p~ pretende que los lnismos reflejan la estructura , de }a, r~,aHd.ad93~ , ;Enefecto( como se estableció al definir la lógica gen~ra~ , y. al d.esa'rrollar los principios lógicos supremos de no-contradjc.ción y"d~! : r,a,zó:n suficiente, la verdad lógica no es la correspondencia o .la conformidad del pensamiento con la realidad de las cosas, no o1:Jstapt~ que tal fue su acepción, ya que la lógica, como ciencia formal, encuentra 81.1 ve'rdad en la congruenCia, coherencia o ausencia de contradkción en el peh$aini~rltó' mismo. . ,

,'. " 1 : 1'.' ,\' , !

" Lqs . ~.1,ementos del juicio no siempre figurarán íntegros en 1.lna proposición, a veces no estará presente alguno de los componentes se'l1~laads~ ' Juan José Sanguineti94, desde una perspectiva gramatical, ~~pr~sa la ex'cepción a la integridad del juicio, el cual se producé en las' "fra:ses" ~ con verbO' impersonal (verbigracia, los juicios significados con los enunciados "hace mucho calor" y "está oscuro"), las cuales no contienen

92 Benlloch !barra, E. y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 38. 93 "González, Antonio. Op. cit., página: 109. 94 Sanguineti, Juan José. Op. cit., páginas: 100 y 101.

25

1. ()G1C.·\ I WUfJll , \: / /\/ -; nW,\ II .NIO / ¡\j / )/ ..; /J/-:N." ·¡ /11./ /',W '\ /:1. I Ll/ j Y t:I . ... \ I3UC:Af.lU U//Gi \Y /T

concepto-sujeto e indican la producción de un acto o un fenómeno, pero en ellas, o el acto o el fenólneno, figuran como concepto-sujeto.

La relación de los elementos del juicio desarrollados constituyen lo que se denomina juicio simple: integrado por un concepto-sujeto, un concepto-cópula y un concepto-predicado. Y la relación de varios juicios simples, por Inedio de otros conceptos, denominados gramaticalmente como" conjunciones", constituyen los juicios denominados" compuestos", por ejemplo el juicio indicado con la proposición "si Juan estudia para su examen entonces Juan ganará su evaluación", es un juicio compuesto, ya que está integrado por dos simples: el juicio referido por el enunciado "Juan estudia para su examen" y el juicio aludido por la proposición "Juan ganará su evaluación", relacionados entre sí por la conjunción condicional "si ... entonces .. . " .

c. División

Los juicios se dividen por razón de su cantidad, cualidad, el concepto­cópula o forma de relación entre concepto-sujeto y concepto-predicado, y su modalidad.

c.l. Por su cantidad

c.l.l. Universales: son los juicios que tienen por concepto-sujeto un concepto universal. Aristóteles simplemente expresó que son universales aquellos que l/por su naturaleza puede atribuirse a muchos ... 11

95• Por ejemplo, los juicios manifestados por los enunciados: "todos los hombres" son sabios, "la mujer" es bella y "los árboles" eliminan el dióxido de carbono.

c.1.2. Particulares: son los juicios que tienen por concepto-sujeto un concepto particular, verbigracia, los juicios representados con las proposiciones: "algunos paisajes" son hermosos, "algún hombre" es honesto, "varios libros de lógica" son útiles y "estos lápices" no sirven.

c.1.3 .. Singulares: son los juicios que tienen por concepto-sujeto un concepto singular96• Lamentablemente Aristóteles no fue preciso al definir este tipo de juicios, porque expresa que son aquellos en los que no puede

95 Aristóteles. Op. cit., página: SI. 96 Mario Moro no desarrolla los juicios singulares por el problema que expresa sobre la

validez de los conceptos singulares. Ver página 16.

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atribuirse del mismo modo que los universales97. Si no son universales

o pueden ser particulares o singulares, la definición no es clara, pero a través de su ejemplo apunta la naturaleza del juicio, ya que el mismo tiene por concepto-sujeto el expresado con el término "Callias", el cual alude a un concepto singular. Ejemplo de juicios singulares son los declarados con los enunciados: "Aristóteles" es el padre de la lógica, "esta mesa" es redonda y "el avión de Javier" es muy rápido.

c.2. Por su cualidad

c.2.1. Afirmativos: son los juicios en los que el concepto-predicado se dice, predica o atribuye al concepto-sujeto mediante el concepto-cópula referido con la palabra "es". Aristóteles definió la afirmación como " .. . la enunciación que atribuye una cosa a otra "98. Por ejemplo, los juicios indicados con las proposiciones: Todos los carros" son" medios de transporte y la lógica "es" un instrumento indispensable para dotar de validez a los razonamientos.

c.2.2. Negativos: son los juicios en los que el concepto-predicado se niega o no se predica al concepto-sujeto a través del concepto-cópula expresado con la palabra "no es", o mediante un concepto que antecede al concepto-sujeto referido con la palabra "ningún", que gramaticalmen­te es un adjetivo cuantitativo. Aristóteles definió la negación como: "la enunciación que separa una cosa de otra"99. Son ejemplos de juicios negativos los representados con los enunciados: la lógica "no es" solo para eruditos y "ningún" ser humano es inmortal.

Sergio Custodio además de dividir el juicio por su cualidad en afirmativos y negativos agrega el tipo "indeterminado", denominando así a los juicios que " .. . no afirman ni niegan algo específico, sino que dejan la relación, de un concepto con otro que pertenece a una esfera ilimitada de conceptos, indeterminada. Hace uso del complemento ... "100. Tal filósofo cita como ejemplo el juicio indicado con la proposición" algunos cuerpos son no-sólidos", justificándolo con que el mismo no especifica algo porque el concepto de "no-sólidos" no señala con claridad a qué se refiere, más que a una clase con una cantidad de elementos indeterminada. Sergio

97 Aristóteles. Op. cit., página: 51. 98 Loe. cit. 99 Loe. cit. 100 Custodio, Sergio. Op. cit., páginas: 31 y 32.

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Custodio no se percata que su ejemplo es de tipo afirmativo porque el concepto-predicado, a pesar del modo en que se expresa, se atribuye al concepto-sujeto.

c.3. Por el concepto-cópula o forma de relación101

c.3.1. Categóricos: son los juicios en los que el concepto-predicado se atribuye o excluye del concepto-sujeto mediante el concepto-cópula manifestado con el término" es" o "no-es", respectivamente (la afirmación o negación es absoluta). Por ejemplo, los juicios aludidos con los enunciados: la computadora "es" una máquina creada por el hombre y el dinero "no-es" la felicidad.

c.3.2. Hipotéticos: son los juicios compuestos en los que un juicio está unido o vinculado a otro por el concepto que gramaticalmente es la conjunción condicional "si ... entonces ... ". Verbigracia, los juicios manifestados con las proposiciones: 11 si" los estudios de la ciencia cesan 11 entonces" el conocimiento humano se paraliza.

c.3.3. Disyuntivos: son los juicios compuestos en los que un juicio se relaciona con otro por medio del concepto que gramaticalmente es la conjunción disyuntiva "0", por ejemplo, los juicios significados con los enunciados: María es una genio "0" María es muy constante en los estudios, los cuales son equivalentes a los juicios declarados con las proposiciones: María es una genio "0" es muy constante en los estudios.

101 Algunos filósofos y/o lógicos, como Benlloch !barra y Tejedor Campomanes, efectúan otra división de los juicios en: a. simples; y, b. compuestos. Son simples los juicios en los que se atribuye un concepto-predicado a un concepto-sujeto, e incluye los juicios categóricos. Y son compuestos los juicios siguientes: b.l. copulativos, en los que el concepto que une los dos juicios gramaticalmente es la conjunción copulativa /ly"; b.2. disyuntivos, en los que el concepto que une los dos juicios gramaticalmente es la conjunción disyuntiva "o"; y, b.3. condicionales, en los que el concepto que une los dos juicios gramaticalmente es la conjunción condicional "si ... entonces .. ". Esta división es más completa, empero, se utiliza la clásica que los divide en categóricos, hipotéticos y disyuntivos porque se estudiarán los silogismos con el mismo nombre, ya que utilizan por premisa mayor proposiciones que significan juicios de esos tipos. Benlloch !barra, E. y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 39.

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cA Por la modalidad

Esta división del juicio hace alusión, como manifiesta Alejandro Pfander, citado por Eduardo Carda Máynez, a la manera de la enun­ciación, la expresión del grado de certeza del juicio102

• Por el modo los juicios pueden ser:

c.4.l. Apodícticos: son los juicios en los que el concepto-predicado necesariamente se atribuye o se separa del concepto-sujeto (por naturaleza). En este tipo de juicios el grado de certeza está potenciado, o como afirma Alejandro Pfander, citado por Eduardo Carda Máynez: el juicio tiene una pretensión exaltada de verdad103

• Por ejemplo, los juicios representados con las proposiciones: el hombre" es necesariamente" un ser racional y todo animal "no es" cuadrúpedo, necesariamente.

c.4.2. Asertóricos104: son los juicios en los que el concepto-predicado efectivamente se predica o se excluye del concepto-sujeto. En este tipo de juicios el grado de certeza es pleno. Verbigracia, los juicios aludidos cop los enunciados: Homero "es efectivamente" el autor de la Ilíada y los aviones "no son efectivamente" medios de transporte sin fallas técnicas.

c.4.3. Problemáticos: son los juicios en los que el concepto-predicado posiblemente conviene o no al concepto-sujeto. En estos juicios el grado de certeza no es pleno, sino atenuado. Por ejemplo, los juicios expresados con las proposiciones: Mario" es acaso" arquitecto y Mario "no es acaso" ingeniero.

d. Formas típicas del juicio categórico

Los diversos aspectos de los juicios señalados en su división pueden combinarse para formar otros juicios. Si se disponen dichas formas del pensamiento, según su cantidad y su calidad, se forman los siguientes juicios:

d.l. Universal afirmativa: son los juicios en los que el concepto­predicado se dice, predica o atribuye al concepto-sujeto que por su cantidad es universal, mediante el concepto-cópula manifestado con el

102 Carda Máynez, Eduardo. Lógica del juicio jurídico. Op. cit., página: 152. 103 Ibid., página: 154. 104 Luis Alberto Padilla designa a esta forma del pensamiento como "juicios de existencia" I

porque en los mismos se verifica una simple constatación. Padilla M., Luis Alberto. · Op. cit., página: 50.

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término "es". Por ejemplo, el juicio declarado con el enunciado "todos los leopardos son animales" .

d.2. Universal negativa: son los juicios en los que el concepto­predicado se niega o no se predica del concepto-sujeto que por su cantidad es universal, a través del concepto-cópula expresado con las palabras "no es", o mediante un concepto que antecede al concepto­sujeto manifestado con el término "ningún", que gramaticalmente es un adjetivo cuantitativo. Verbigracia, el juicio aludido con la proposición "ningún hombre es un mineral".

d.3. Particular afirmativa: son los juicios en los que el concepto­predicado se dice, predica o atribuye al concepto-sujeto que por su cantidad es particular, mediante el concepto-cópula indicado con el vocablo "es". Ejemplo, el juicio expresado con el enunciado "algunos carros son perjudiciales para el ambiente" .

dA. Particular negativa: son los juicios en los que el concepto-predicado se niega o no se predica del concepto-sujeto que por su cantidad es particular, a través del concepto-cópula declarado con los términos "no es". Verbigracia, el juicio indicado con la proposición "algunos seres humanos no son honrados" .

Los juicios indicados se identifican con vocales: el juicio universal afirmativo y el juicio particular afirmativo con las letras "A" e "1", respectivamente, y el juicio universal negativo y el juicio particular negativo con las vocales "E" y "O", respectivamente. Dicha asignación surge, como señalan Benlloch !barra, Tejedor Campomanes105 y Mario Moro106 de las palabras latinas Mfirmo y nggo (se resaltó con negrillas y subrayado las letras mediante las cuales se identifican los juicios desarrollados) .

e. Oposición entre juicios

Aristóteles en su tratado denominado Peri hermeneias desarrolló la oposición contradictoria entre juicios de diverso tipo: " .. . Luego, si de una cosa universal se enuncia de una manera universal que es o que no es, las enunciaciones serán contrarias ... por ejemplo: todo hombre es blanco, ningún hombre es blanco . .. . No es posible que estas dos enunciaciones sean ambas

105 Benlloch Ibarra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 40. 106 'Moro, Mario. Op. cit., página: 31.

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verdaderas al mismo tiempo ... y lo mismo sucede respecto a las contradictorias individuales: Sócrates es blanco, Sócrates no es blanco . .. . de esta proposición: todo hombre es blanco, es la proposición opuesta; algún hombre no es blanco; y de és ta: algún hombre es blanco, la proposición opuesta es: ningún hombre es blanco; y, por último de ésta: el hombre es blanco, la proposición opuesta es: el hombre no es blanco ... "107.

De lo expresado por Aristóteles se infiere que:

e.l La oposición de juicios universales, en el que uno afirma lo que el otro niega, se llama contraria. Esta conclusión se deriva del siguiente extracto: " ... si de una cosa universal se enuncia de una manera universal que es o que no es, las enunciaciones serán contrarias ... ". Actualmente esta oposición contradictoria entre juicios se designa con el mismo término.

e.2 La oposición de juicios individuales (singulares), en el que uno afirma lo que el otro niega, se llama contradictoria individual. Este enunciado resulta de lo siguiente: " .. . y lo mismo sucede respecto a las contradictorias individuales: Sócrates es blanco, Sócrates no es blanco ... ". Actualmente este tipo de elementos del pensamiento no se desarrollan en el estudio de la oposición entre juicios. Una razón lógica es que el concepto-sujeto del juicio individual (singular) está comprendido en la extensión del concepto-sujeto del juicio universal.

e.3 Existe también oposición entre los juicios que difieren por su cantidad y cualidad, siendo uno afirmativo y el otro negativo respecto a la misma cosa. Esto se infiere del siguiente pensamiento de Aristóteles: " ... de esta proposición: todo hombre es blanco, es la proposición opuesta; algún hombre no es blanco; y de ésta: algún hombre es blanco, la proposición opuesta es: ningún hombre es blanco ... ". Esta oposición de juicios señalada por el padre de la lógica se denomina 11 contradictorias" .

En suma, dos juicios son opuestos si teniendo los mismos concepto­sujeto y concepto-predicado, difieren en cualidad, en cantidad o en · ambas.

107 Aristóteles. Op. cit., páginas: 51 y 52.

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De la doctrina de Aristóteles y la de filósofos y / o lógicos de la actualidad: Benlloch !barra, Tejedor Campomanesl 08

, Mario Morol 09 y Juan José SanguinetillO los juicios opuestos pueden ser:

e.lo Contradictorios. Son los juicios que se oponen tanto en la cantidad como en la cualidad: el juicio universal afirmativo con el juicio particular negativo (A - O), Y el juicio universal negativo con el juicio particular afirmativo (E - 1).

e.2. Contrarios. Son los juicios universales que difieren por su cualidad: el juicio universal afirmativo y el juicio universal negativo (A - E).

e.3. Sub-contrarios. Son los juicios particulares que se oponen por la cualidad: el juicio particular afirmativo y el juicio particular negativo (1 - O).

e.4. Sub-alternos. Son los juicios que teniendo la misma cualidad (ambos afirmativos o negativos), difieren por la cantidad (uno es universal y el otro particular): el juicio universal afirmativo y el juicio particular afirmativo (A - 1), Y entre el juicio universal negativo y el juicio particular negativo (E - O).

La oposición entre los juicios se ha representado mediante el siguiente cuadro, cuya autoría se atribuye a Boecio (matemático romano del siglo seis después de Cristo)1l1:

Todo hombre es bueno A

Contra Subalternas

Contra

1 Algún hombre es bueno

Contrarias

Sub-contrarias

Ningún hombre es bueno E

dictorias Subalternas

dictorias

o Algún hombre no es bueno

108 Benlloch Ibarra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., páginas: 41 y 42. 109 Moro, Mario. Op. cit., páginas: 34 y 35. 110 Sanguineti, Juan José. Op. cit., página: 113. 111 Loc. cit.

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Al comparar dos juicios opuestos resulta que no siempre pueden ser ambos verdaderos o falsos, por lo que la solución a tal problema lógico (de la verdad o falsedad de los juicios opuestos) se funda en los principios lógicos supremos de no-contradicción y de tercero excluido, así como los siguientes112

:

e.1. De la verdad de la universal se deduce la verdad de la particular, pero de la verdad de la particular no se sigue la verdad de la universal; y,

e.2. De la falsedad de la universal no se deduce la falsedad de la particular, pero de la falsedad de la particular se saca la falsedad de la universal.

En efecto, con la aplicación de dichos principios se han formulado las siguientes reglas sobre la verdad o falsedad de los juicios opuestos:

e.1. En el caso de los juicios contradictorios, uno de los dos juicios tiene que ser verdadero y el otro falso, ya que por aplicación del principio lógico supremo de no-contradicción no pueden ser ambos verdaderos ni falsos.

e.2. En el caso de los juicios contrarios, los dos juicios pueden ser ambos falsos, o uno verdadero y el otro falso, pero no ambos verdaderos, porque si fuera verdadero el juicio universal afirmativo entonces sería verdadero el juicio particular afirmativo (por aplicación del principio 11 de la verdad del universal se deduce la verdad de la particular") pero tendría que ser falso el juicio contradictorio universal negativo (por aplicación de la regla estatuida en la literal anterior que se funda en el principio lógico supremo de no-contradicción).

e.3. En el caso de los juicios sub-contrarios, los dos juicios pueden ser verdaderos, pero no los dos falsos, porque en el caso que fuera falso el juicio particular negativo, su juicio contradictorio, el universal afirmativo, sería verdadero (por aplicación de la regla estatuida en la literal "e.l~' que se funda en el principio lógico supremo de no-contradicción) , y en consecuencia sería verdadero el juicio particular afirmativo (por aplicación del principio" de la verdad del universal se deduce la verdad de la particular").

112 Hermanos maristas. Introducción a la filosofía. Guatemala, Editorial Textos E.H.M., 1971, séptima edición, página: 17.

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e.4. En el caso de los juicios sub-alternos, en base a los principios enunciados en las literales "e.l" y "e.2." que constituyen el fundamento para solucionar el problema lógico de la verdad o falsedad de los juicios opuestos, si el juicio universal es verdadero, también lo será el respectivo juicio particular, pero no por ser éste verdadero aquél también lo será, y, si el juicio particular es falso, también lo será el respectivo juicio universal, pero no por ser éste falso aquél también lo será 113.

3. Razonamiento

Es la forma del pensamiento más compleja, y la misma también se deferencia de otras nociones:

a. Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes manifiestan que el razonamiento no es el acto de la inteligencia por el cual de uno o varios juicios conocidos inferimos otro desconocido, porque el razonamiento es el producto de dicho acto, llamado razonar, y no el acto mismo114;

b. José A. Diez Calzada, a pesar que no le interesa discernir entre razonamiento, argumentación o inferencia, expresa que argumento es un tipo especial de acto de habla, de carácter pragmático, con una determinada pretensión: una secuencia de proposiciones115; a partir de dicha definición es claro que el argumento no es lo mismo que razonamiento, porque éste es un elemento del pensamiento y no un acto del habla; y,

c. Juan José Sanguineti define la inferencia como el " ... paso de las premisas a la conclusión 11

116, ese paso no es más que "la derivación" de un juicio de otros, pero el razonamiento no es solamente eso, sino que es un complejo pensamiento compuesto de varios juicios.

113 Algunos filósofos resumen estas reglas de la siguiente manera: a. en materia necesaria los juicios afirmativos son verdaderos y los negativos falsos; b. en materia imposi­ble los juicios negativos son verdaderos, los afirmativos son falsos; y, c. en materia contingente los universales son falsos y los particulares verdaderos. Ibid., páginas: 18 y 19.

114 Razonar es objeto de estudio de la psicología y el razonamiento de la lógica. Benlloch Ibarra, E., y, C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 44.

115 Diez Calzada, José A. Iniciación a la lógica. España. Editorial Ariel, Sociedad Anónima, 2002, primera edición, página: 14.

116 Sanguineti, Juan José. Op. cit., página: 128.

34

a. Definición

La naturaleza del razonamiento se ha determinado de la siguiente manera:

a. Luis Alberto Padilla: "El razonamiento es una operación lógica por medio de la cual, a partir de uno o más juicios, se deriva la verdad o falsedad ... de otro distintol/

117;

b. María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti: "El razonamiento es la operación en la que, a partir de dos o más proposiciones, se afirma, se infiere otra proposición a modo de conclusión 1/

118;

c. Mario Moro: "El razonamiento es el acto con el cual el entendimiento parte de unos conocimientos, para llegar a otros nuevos 1/

119; y,

d. Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes: "El razonamiento es un pensamiento complejo que consta de juicios ya conocidos para obtener otro nuevo "120.

Las diferencias en las definiciones en consideración son las siguientes: a. en la denominación de sus elementos: María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti afirman que el razonamiento se integra de proposiciones; Luis Alberto Padilla, Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes de juicios; y Mario Moro de conocimientos. Es evidente que juicio y proposición no son una sola y misma cosa: la proposición es la manifestación verbal del juicio, por lo que radica en otro plano y no puede integrar una forma del pensamiento. Además, el juicio sí es un conocimiento, pero no es algo tan genérico, sino un elemento general del pensamiento que se constituye de conceptos, en el que uno se afirma o niega a otro; y, b. en la designación del juicio resultante de la relación formal de los que le sirven de fundamento: María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti son las únicas que llaman "conclusión" al juicio que se infiere de los que le anteceden, empero tal nombre se atribuye a dicho juicio en la enunciación del razonamiento.

117 Padilla M., Luis Alberto. Op. cit., página: 52. 118 Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 55. 119 Moro, Mario. Op. cit., página: 37. 120 Benlloch Ibarra, E., y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 44.

35

En consecuencia, el razonan1iento es un elelnento general del pensamiento conformado de juicios, de los cuales uno es inferido de otros que le sirven de fundamento por su relación.

La relación o el enlace lógico entre todos los juicios que integran el razonamiento constituyen la forma dellnismo, y su materia los juicios y los conceptos.

b. Clases o tipos

Aristóteles en su obra llamada El organon ya había desarrollado dos tipos de razonamientos, el deductivo y el inductivo.

b .1. Deductivo

Es el tipo de razonamiento que de una verdad universal se infiere una particular o singular, o que del género se deriva algo respecto a la especie o el individuo, o que del todo se infiere algo respecto a sus partes, en fin, es un tipo de razonamiento que parte de algo general para concluir algo menos general. Se citarán ejemplos al estudiar el silogismo, en la literal 11 c" de este capítulo.

Aristóteles afirmó válidamente que los primeros principios de las ciencias, que sirven para la demostración, se obtienen por inducción, que es el otro tipo de razonamiento.

b.2. Inductivo

Es el tipo de razonalniento que Aristóteles describe así: " ... De la experiencia o sea de todo lo universal que se ha depositado en el alma, unidad que subsiste siempre, además de los objetos múltiples, y que es una e idéntica en todos estos objetos, viene el principio del arte y de la ciencia; del arte, si se trata de producir las cosas; la ciencia, si se trata de conocer las cosas que existen ... Por tanto, estos conocimientos de los principios no están en nosotros completamente determinados; no proceden tampoco de otros conocimientos más notorios que ellos; vienen únicamente de la sensación ... Desde el momento en que una de estas ideas, entre las que no hay ninguna diferencia, se detiene en el alma, en seguida ésta concibe lo universal; hay sensación del ser particular, pero la sensibilidad se eleva hasta lo general. .. 11

121•

De lo anterior se observa que este tipo de razonamiento es inverso al deductivo, porque de lo concreto o singular de los seres se abstrae lo que

121 Aristóteles. Op. cit., página: 215.

36

LIC. rFR,\,II',;n(.l j-\V/E/< !,()SilLES C;/?.A/\f..\/U

es común entre ellos, conformando un conocimiento universal o general. y una vez obtenido dicho pensamiento, se puede aplicar o predicar de modo deductivo a los individuos contenidos en el mismo, por ende, los tipos de razonamientos aludidos se complementan.

Por ejemplo:

b.2.1. Los ángulos interiores del triángulo equilátero SUlnan dos rectos (180 grados);

b.2.2. Los ángulos interiores del triángulo isósceles suman dos rectos (180 grados); y,

b.2.3. Los ángulos interiores del triángulo escaleno suman dos rectos (180 grados).

De los juicios singulares referidos por los enunciados anteriores, se abstrae lo común entre ellos, y se concluye el siguiente juicio universal declarado con la proposición:

Los ángulos interiores de todos los triángulos suman dos rectos (180 grados).

El juicio significado en la conclusión anterior constituye el punto de partida en un razonamiento deductivo, porque se puede aplicar a cualquier triángulo en particular, y predicar del mismo que sus ángulos interiores suman dos rectos (180 grados).

b.2.1. División

El razonamiento inductivo se suele dividir, COfilO afirma Juan José SanguinetF22, en esencial o experimental: esencial (o inducción en materia necesaria o inducción abstractiva) si el intelecto con la experiencia evidencian un vínculo necesario y universal entre un sujeto y una propiedad, porque ésta conviene por naturaleza al sujeto; y experilnental si tal vínculo no es evidente ni la conexión entre el sujeto y la propiedad es necesario, sino contingente, ya que se basa más en la repetición de un fenómeno que en la comprensión de una esencia. El filósofo en relación comprende en este último tipo de razonamiento inductivo, la división

. efectuada por muchos otros filósofos, entre ellos Benlloch Ibarra, Tejedor

122 Sanguineti, Juan José. Op. cit., páginas: 148-157.

37

Calnpomanes123 y Mario Moro124, en cOll1pleto o incoll1pleto, ya sea que

se observen la totalidad de casos, verdades o individuos particulares, o algunos que se consideren suficientes para inferir -evitando la casualidad­un juicio de carácter general, respectivamente.

El ejelnplo de la suma de los ángulos de los triángulos es un razonamiento inductivo esencial, porque se evidencia un vínculo necesario y universal entre un sujeto y su propiedad. A continuación se formulará un ejemplo de un razonamiento inductivo experimental incompleto, que se funda en la repetición de algunos fenómenos para formular un juicio universal:

i. Una piedra sumergida en el agua experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja;

ii. Un pedazo de hierro sumergido en el agua experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja;

iii. Un perro sumergido en el agua experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja; y,

iv. Un ser humano sumergido en el agua experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja.

De los juicios singulares referidos por los enunciados anteriores, se abstrae lo común entre ellos, y se concluye el siguiente juicio universal declarado con la proposición:

Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja.

El juicio significado en la conclusión anterior es la expresión de la ley de hidrostática, formulada por Arquímedes de Siracusa (matemático, físico, ingeniero e inventor griego que vivió en los años doscientos ochenta y siete a doscientos doce antes de Cristo).

123 Benlloch Ibarra, E., y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., páginas: 51 y 52. 124 Este filósofo, como nota histórica, expresa que el razonamiento inductivo completo

se desarrolló con Aristóteles, pero el incompleto desde Francis Bacon. Moro, Mario. Op. cit., páginas: 48 y 49.

38

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b.2.2. Objeciones

Lo que se objeta de los conocünientos obtenidos por el razonaJniento inductivo es su lin1itada validez, pues a pesar de que filósofos como Stuart Mill, citado por Mario Moro125

, justifican o fundan la inducción en el principio de la "uniformidad de la naturaleza" (que equivale, según Mario Moro, al postulado de la existencia de un orden natural y de leyes naturales), los científicos día a día muestran que lo que se creía que era ley, o lo que suponía que una cosa era por esencia, resulta siendo algo distinto de lo concebido. Esta realidad ha generado, como indica el último filósofo citado, el reconocimiento de: i. la relatividad de las leyes científicas; ii.los alcances del método inductivo como el medio para aproximarse al "orden objetivo de la naturaleza"; y, iii. la tarea filosófica de resaltar los límites del método y el conocimiento científico.

La discusión filosófica que se genera con los señalamientos adversos u objeciones al empleo del razonamiento inductivo como método para formular leyes y determinar la esencia de las cosas, tiene un fondo que concierne a la metodología o lógica especial y la teoría del conocimiento, y no a la lógica general, porque corresponde a la primera perfeccionar el método científico, y a la segunda, el conocimiento mismo: su origen, su posibilidad, su esencia, así como su correspondencia con la realidad de las cosas.

c. Silogismo

col. Definición

El silogismo se ha definido de diversos modos:

c.1.1. Aristóteles, su autor, precisó su naturaleza como JI ••• una enunciación, en la que, una vez sentadas ciertas proposiciones, se concluye necesariamente en otra proposición diferente, sólo por el hecho de haber sido aquéllas sentadas. Cuando digo sólo por el hecho de haber sido sentadas las primeras proposiciones, quiero decir que a causa de ellas resulta probada la otra proposición ... //126;

c.1.2. Mario Moro lo define como la formulación lógica del razonamiento ded ucti V0127

;

125 Ibid., páginas: 49-5l. 126 Aristóteles. Op. cit., páginas: 71 y 72. 127 Moro, Mario. Op. cit., página: 37.

39

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c.1.3. Benlloch Ibarra y Tejedor Canlpomanes expresan que es u ••• la expresión verbal de un razonamiento deductivo " 128; y,

C.1.4. Otros filósofos lo definen como: " ... un conjunto de tres juicios, el último de los cuales se saca la relación que existe entre los otros dos"129.

Entre las primeras tres definiciones citadas existen similitudes, y entre éstas con la última hay diferencias: i. similitudes: i.l. Aristóteles, Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes afirman que el silogismo es una enunciación o expresión verbal de un razonamiento de tipo deductivo, aunque Aristóteles no manifieste explícitamente el último elemento en su definición, pero del estudio de su tratado de Primeros analíticos es obvio que se refiere a dicha especie de razonamiento; y, i.2. Mario Moro también coincide, aunque con otros términos, con la definición de los filósofos citados en la literal"i.l." de este párrafo, porque al expresar el razonamiento deductivo se le está formulando y dotando de estructura lógica; y, ii. diferencias: ii.1. en la denominación de los elementos del silogismo: Aristóteles es el único que acierta en nombrarlos como proposiciones, porque si el silogismo es la enunciación, formulación o expresión verbal del razonamiento deductivo, el mismo no está integrado de juicios; y, ii.2. en la cantidad de proposiciones que integran el silogismo: La última definición es limitada, ya que por el basto contenido y formas del razonamiento deductivo es absurdo reducir el mismo a sólo tres juicios, y en consecuencia es equivocado generalizar que el silogismo consta solamente de tres proposiciones.

Analizado lo anterior, se define el silogismo como la enunciación o expresión del razonamiento de tipo deductivo, el cual está conformado de varias proposiciones, de las cuales una es inferida de las otras que le sirven de fundamento por su relación; la primera se llama conclusión y las otras premisas.

c.2. Clases o tipos

Los primeros tres silogismos a desarrollar se denominan según el tipo de juicio que constituye el fundamento o punto de partida del raciocinio que manifiestan.

128 Benlloch !barra, E., y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 45. 129 Hermanos maristas. Op. cit., página: 20.

40

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c.2.1. Categórico

Es el silogismo que se conforma de tres proposiciones que representan juicios de tipo categórico; las primeras dos proposiciones se llaman premisas, en ellas está la explicación o el fundamento de la últil11a proposición, denominada conclusión.

Así C01110 el juicio está constituido de conceptos, las proposiciones están integradas de términos. El término o palabra ya se había definido como la expresión verbal del concepto, y Aristóteles 10 puntualiza como: " ... elemento de la proposición; es decir, al atributo al sujeto a que aquél se atribuye, ya se una a él, ya se separe, la idea de ser o de no ser ... 11

13°. A pesar que existen tres proposiciones, en todo el silogismo

únicalnente hay tres términos, que representan a tres conceptos, que figuran como sujeto o predicado en los enunciados. Los términos se llaman por la extensión de los conceptos que significan: término mayor, término medio y término menor. En efecto, Aristóteles explica la denominación de los términos en el silogismo de la siguiente manera: " ... tres términos están entre sí en tal relació11, que el último esté en la totalidad del medio, y el medio esté o no en la totalidad del primero, es de necesidad que se forme silogismo completo con los extremos. Llamo medio al término que, estando él mismo encerrado en otro, encierra él igualmente otro término, y se hace entonces medio por su misma posición. Los extremOs son el término que está contenido en otro término y el término que contiene igualmente otro término ... 11

131• Lo que el creador de la lógica da a entender con la frase

" ... encerrado en ... ", es la extensión del concepto representado por el término.

Una vez determinados los términos ya se puede explicar la designación de las premisas. La premisa mayor es la que comprende el término mayor, y la premisa menor es la que contiene el término menor. En ambas proposiciones se relaciona dichos ténninos con el medio.

Para la representación esquemática del silogismo usualmente se utilizan en la actualidad las letras P, M Y S, según simbolizan el término mayor, el término medio y el término menor, respectivamente. Tal asignación se hace en función de la conclusión: porque en ella el sujeto es representada por el carácter liS", Y el predicado con la letra "P" (Aristóteles

130 Aristóteles. Op. cit., página: 7l. 131 lbid., páginas: 73 y 74.

41

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usaba las letras A, B Y C, para representar el término lnayor, el término medio y el ténnino menor, respectivamente).

Un ejemplo del silogismo de tipo categórico es el siguiente:

Premisas: Mayor: Menor: Conclusión:

Los números son seres de razón. El siete es un número. El siete es un ser de razón.

Con base en las letras expresadas para representar los términos del silogismo, éste tiene la siguiente forma o estructura: .

Premisas: Mayor: MesP Menor: S es M Conclusión: S es P

Algunos filósofos, como Benlloch Ibarra y Tejedor Campomanes, expresan que el silogismo categórico se funda en los siguientes principios: " ... 1. Principio lógico de identidad: Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí ... 2. Principio lógico de discrepancia: Dos cosas, una de las cuales es idéntica a una tercera y la otra no, son distintas entre sí ... 3. Principio "Dictum de omni, dictum de nullo 1/: Todo lo que se dice del universal hay que afirmarlo de cada individuo; y todo lo que se niega del universal hay que negarlo de cada individuo ... 1/

132•

El primer principio, el de identidad, no se tiene que entender literalmente, porque en el silogismo categórico, que es expresión de un razonamiento deductivo y que tiene por términos representaciones de conceptos (unos con más extensión que otros), es claro que no hay identidad entre los mismos ("ser abstracto", "número" y "siete" no son términos que aludan a conceptos idénticos), pero sí la hay en cuanto que un concepto se atribuye a los otros dos (el concepto de "ser abstracto" se atribuye o predica a los de "número" y "siete"). El segundo principio también ha de entenderse con la aclaración del primero, porque si el concepto de "ser abstracto" se predica o atribuye al de "número", pero el de "número" no al de "este escritorio", entonces el concepto de "ser abstracto" no se dice del de "este escritorio". Y el tercer

132 Benlloch Ibarra, E. y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., página: 46.

42

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principio es el (mico que es claro literalmente, y que representa perfectmnente el razonamiento de tipo deductivo.

1. Reglas del silogismo

Del estudio del silogismo y sus elementos se han forn1ulado reglas. Las mismas harán alusión a los términos y las premisas del silogismo, pero a la vez también de las formas del pensamiento que representan, porque no son una sola y misma cosa, y así se evitan imprecisiones en las que han incurrido varios filósofos y / o lógicos al tratar tales elementos como idénticos.

i.1. Referente a los términos

i.l.l. Los términos, que aluden a conceptos, en todo el silogismo sólo son tres: mayor, medio y menor. En caso de que un mismo término se utilice en sentido o significado diverso (términos equívocos) en las proposiciones se incurriría en un razonamiento inválido.

i.1.2. Los conceptos representados por los términos menor y mayor no deben tener más extensión en la proposición denominada ,conclusión que en las premisas, porque este tipo de silogismo es la expresión verbal de un razonamiento de tipo deductivo: de lo universal a lo particular, por lo que no puede ir en otro sentido.

i.1.3. El concepto significado por el término medio debe tomarse universalmente o en toda su extensión al menos en uno de los juicios representados por las premisas, para determinar que en él está o no contenido el concepto referido como término menor.

i.l.4. El concepto representado por el término medio no debe figurar en el juicio designado en el silogismo como conclusión, porque el mismo desempeña la función en los juicios significados por las premisas de establecer una relación (de conveniencia o no conveniencia) entre los conceptos simbolizados con el término mayor y el término menor.

i.2 Referente a las premisas

i.2.1. Si los juicios que sirven de fundamento en el raciocinio son de tipo afirmativos, expresados mediante proposiciones denominadas premisas en el silogismo, no puede derivarse un juicio de tipo negativo, proposición llamada conclusión en el silogismo.

i.2.2. Si los juicios que sirven de fundamento en el raciocinio son de, tipo negativos, que se representan mediante proposiciones llamadas

43

premisas en el silogismo, no se infiere algún juicio, proposición designada conclusión en la enunciación del raciocinio, porque no hay relación en ninguno de los conceptos referidos por los términos del silogismo.

i.2.3. Si en el silogismo una premisa representa un juicio de tipo particular, la conclusión significará un juicio de tipo particular, y si en el silogismo una premisa representa un juicio que por su cualidad es negativo, la conclusión significará un juicio que por su cualidad será negativo.

i.2.4. Si los juicios de los que se derivan otro juicio, llamadas premisas en el silogismo, son por su cantidad de tipo "particular", de los mismos no se infiere otro juicio, llamado conclusión en la enunciación del raciocinio, porque este representa un razonamiento de tipo deductivo.

c.2.2. Hipotético

Tanto el silogismo hipotético como el disyuntivo no fueron tratados por Aristóteles, sino, tal y como indica Mario Moro, por los estoicos133•

El hipotético es el tipo de silogismo que tiene por premisa mayor una proposición que representa un juicio de tipo hipotético: la enunciación del primero de los juicios unidos mediante la cópula "si ... entonces . .. ", se llama antecedente, condición o prótasis, y la expresión del segundo juicio se le designa consiguiente, condicionado o apódosis. La premisa menor es una proposición que significa un juicio en el que se afirma o se niega la condición.

Un ejemplo de este tipo de silogismo es el siguiente:

Premisas: Mayor:

Menor: Conclusión:

Si Pedro estudia lógica, entonces Pedro es capaz de argumentar. Pedro estudia lógica. Pedro es capaz de argumentar.

Las reglas para el silogismo de tipo hipotético son las siguientes:

i. Si se afirma el juicio representado por el antecedente, entonces se debe afirmar el juicio significado por el consiguiente.

133 Moro, Mario. Op. cit., página: 16.

44

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ii. Si se niega el juicio simbolizado por el antecedente, entonces no se debe negar el juicio figurado por el consiguiente.

iii. Si se afirma el juicio silnbolizado por el consiguiente, entonces no debe afirmarse el juicio representado por el antecedente.

iv. Si se niega el juicio significado por el consiguiente, entones se debe negar el juicio figurado por el antecedente.

c.2.3. Disyuntivo

Es el tipo de silogismo que tiene por premisa mayor una proposición que significa un juicio de tipo disyuntivo. Y la premisa menor es una proposición que representa un juicio que afirma una de las alternativas contenidas en el juicio de tipo disyuntivo, o niega todas las alternativas menos una.

Un ejemplo de este tipo de silogismo es:

Premisas: Mayor: Menor: Conclusión:

Aristóteles estudió la lógica, la química o la economía. Aristóteles estudió la lógica. Aristóteles no estudió la química ni la economía.

Para este tipo de silogismo se han formulado las siguientes reglas:

i. El juicio cuya representación constituye la premisa lnayor es de tipo disyuntivo.

ii. Si se afirma en el juicio que constituye la premisa menor una de las alternativas contenidas en el juicio de tipo disyuntivo, expresada como premisa mayor, entonces en el juicio denominado en el silogismo como conclusión hay que negar las otras alternativas.

iii. Si se niega en el juicio que constituye la premisa menor todas las alternativas contenidas en el juicio de tipo disyuntivo menos una, entonces en el juicio denominado en el silogismo como conclusión hay que afirmar la alternativa no negada.

c.2.4. Entinema

El entinema es el tipo de silogismo que se conforma de dos proposiciones que representan juicios de tipo categórico; la prime~a proposición es una premisa, ya sea la mayor o la menor, y la otra es ra

45

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conclusión. Es una especie de silogisn10 categórico abreviado, en el que no es explícita, pero sí implícita, la relación entre los tres términos que integran el silogislno. Verbigracia:

Premisa: Conclusión:

Las ciencias son construcciones del intelecto humano. La lógica es una construcción del intelecto humano.

En el silogismo expuesto como ejemplo no existe un juicio, el expresado con la proposición denominada como prelnisa menor que establecería la relación de conveniencia entre el término medio que alude al concepto de "ciencias", y el término menor que significa el concepto de "la lógica" , empero, es una conexión implícita reflejada en la conclusión.

c.2.5. Epiquerema

Es el tipo de silogismo que se integra de tres proposiciones que representan juicios de tipo categórico, las primeras dos proposiciones son las premisas, y la última proposición la conclusión. Este silogismo se caracteriza porque una o las dos premisas están explicadas o razonadas. Por ejemplo:

Premisas: Mayor:

Menor: Conclusión:

c.2.6. Dilema

Un bien escaso es costoso, porque la oferta es menor a la demanda. El combustible es un bien escaso. El combustible es costoso.

Es el tipo de silogismo que se integra de cuatro proposiciones: la primera es una proposición que representa un juicio de tipo disyuntivo; la segunda y la tercera juicios de tipo hipotético, que tienen por prótasis cada una de las alternativas contenidas en el juicio de tipo disyuntivo, y por apódosis otro juicio distinto con el mismo significado; y la cuarta, la conclusión, que es el consiguiente de los juicios hipotéticos. Las primeras tres proposiciones son las premisas. Verbigracia:

Premisas:

Tu hermano está sano o está enfermo.

Si tu hermano está sano, entonces que agradezca a Dios por darle salud.

46

lA' IE, /,Ni \ N /JU f,\\ i'JLR /, ( )C; , \LLS Cg '\.\L"tjU

Si tu hennano está enfenno, entonces que agradezca a Dios por darle la oportunidad de acercarse a él en esa condición.

Conclusión:

Tu hermano sien1pre debe agradecer a Dios.

Este silogismo se rige con base en las siguientes reglas:

i. El juicio disyuntivo representado por la primera prelnisa debe presentar una división completa, es decir, que no admita otra opción.

ii. Los juicios hipotéticos representados por la segunda y la tercera premisas deben tener por consiguiente el mismo juicio.

iii. El juicio denominado en el silogismo como conclusión comprenderá el consiguiente o apódosis de los juicios hipotéticos significados en las segunda y tercera premisa.

d. Figuras

Aristóteles en su tratado Primeros analíticos estudió las figuras del silogismo y las describió aSÍ:

d.1 La primera figura: " ... Cuando tres términos están entre sí en tal relación, que el último esté en la totalidad del medio y el medio esté o no en la totalidad del primero, es de necesidad que se forme silogismo completo con los extremos. Llamo medio al término que, estando él mismo encerrado en otro, encierra él igualmente otro término, y se hace entonces medio por su misma posición. Los extremos son el término que está contenido en otro término y el término que contiene igualmente otro término ... "134 (lo resaltado en negrillas es propio).

d.2 La segunda figura: "Cuando un mismo término se atribuye de una parte a todo el primer término, y de otra no se dice en manera alguna del segundo, o bien cuando a la vez se atribuye a los dos por entero, o no se dice de ninguno de los dos, tiene lugar lo que llamo la segunda figura. Llamo medio en esta figura al término que se atribuye a los otros dos. Llamo extremos a los términos a que el medio es atribuido; extremo mayor el que está colocado cerca del medio, y extremo menor el que está más distante del medio ... "135 (lo resaltado en negrillas es propio).

134 Aristóteles. Op. cit., páginas: 73 y 74. 135 Ibid., página: 75.

47

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d .3 La tercera figura: "Cuando, respecto a un mismo término, los demás términos son, el uno atribuido universalmente, y el otro negado en igual forma, o cuando ambos son o no son universalmente atribuidos a este mismo término, llamo a es ta figura la tercera. Denomino aquí medio el término a que atribuimos los otros dos; extremos, a los términos atribuidos; extremo mayor, el que está más distante del medio, y extremo menor el que está más próximo ... "136

(lo resaltado en negrillas es propio).

Como se puede apreciar, las figuras son las diferentes formas o estructuras del silogismo categórico por la función que desempeña el término medio en cada una de las premisas: d.l. COlno concepto~sujeto en el juicio expresado por la proposición llamada premisa mayor y como concepto-predicado en el juicio manifestado por el enunciado denominado premisa lnenor; d.2. como concepto-predicado en los juicios referidos por las proposiciones designadas como premisa mayor y premisa menor; y, d.3. como concepto-sujeto en los juicios aludidos por los enunciados llamadas premisa mayor y premisa menor.

Aristóteles no desarrolló la cuarta figura del silogismo categórico, en la cual el término medio figura como concepto-predicado en el juicio representado por la proposición denOlninada "prelnisa mayor" y como concepto-sujeto en el juicio indicado por el enunciado designado "pre­misa menor".

Las figuras descritas se representan de la siguiente forma:

Premisas: Premisas: Premisas: Premisas: Mayor: M- P Mayor: P- M Mayor: M-P Mayor: P-M Menor: S - M Menor: S - M Menor: M - S Menor: M- S Conclusión: Conclusión: Conclusión: Conclusión:

S - P S - P S-P S-P

e. Modos

Aristóteles al desarrollar cada una de las tres figuras del silogismo que estudió, aplicó en éstos variantes atendiendo a la cantidad y cualidad de las proposiciones que los integran. En la actualidad esta noción lógica

136 [bid., página: 77.

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/ .Ie JUU·.j'\NIIU f" \ \" / L'l~ /W:-. .· \L.L'.'1 C/U \.\O[·4jO

se mantiene: Benlloch Ibarra, Tejedor Campolnanes137, Mario Moro13R

y Juan José Sanguinetj139, definen los modos del silogismo como las combinaciones que pueden hacerse con las premisas y conclusión de cada figura del silogismo por razón de su cantidad y su cualidad.

Considerando que son cuatro las formas típicas del juicio categórico atendiendo su cantidad y su cualidad (las representadas con las letras A, E, 1, O), Y son tres las proposiciones en cada figura: cuatro elevado al cubo, resultan sesenta y cuatro posibles cOll1binaciones por una sola figura, por lo que tal cantidad multiplicada por las cuatro figuras existentes resultan doscientos cincuenta y seis combinaciones posible en totalidad. N o obstante lo anterior, solo diecinueve combinaciones en las cuatro figuras producen silogismos válidos, porque están de acuerdo a las reglas.

Las diecinueve combinaciones válidas en las cuatro figuras son las siguientes:

AAA, EA E, Alt EIO

EA E, AEE, EIO, AOO

AAI, EAO, IAI, AH, OAO, EIO

AAI, AEE, IAI, EAO, EIO

Cada literal representa una de las tres proposiciones del silogismo, y las mismas desde la época medievap40 han sido representadas mediante las siguientes palabras nemotécnicas:

BARBARA CELARENT DARII FERIO

CESARE CAMESTRES FESTINO BAROCO

DARAPTI FELAPTON DISAMIS DATISI BOCARDO FERISON

BAMALIP CALEMES DIMATIS FESAPO FRESISO

137 Benlloch Ibarra, E. y C. Tejedor Campomanes. Op. cit., páginas: 48 y 49. 138 Moro, Mario. Op. cit., página: 39. 139 Sanguineti, Juan José. Op. cit., páginas: 138 y 139. 140 Ibid., página: 138.

49

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Ejemplos:

Del modo DARII (primera figura):

Premisas Mayor: Menor: Conclusión:

Todos los argumentos lógicos son válidos. Algunos argumentos jurídicos son argumentos lógicos. Algunos argulnentos jurídicos son válidos.

Del modo CESARE (segunda figura):

Premisas Mayor: Menor: Conclusión:

Ningún acto del juez es un acto de parte procesal. Todo acto del demandante es un acto de parte procesal. Ningún acto del demandante es un acto del juez.

Del modo FERISON (tercera figura)141:

Premisas Mayor: Menor: Conclusión:

Ningún sofista es creíble. Algún sofista es abogado. Algún abogado no es creíble.

D. APLICACIONES DE LA LÓGICA GENERAL

El estudio de esta disciplina no concierne únicamente a eruditos o expertos en la misma, ya que sirve a varias personas como instrumento para diversas aplicaciones de gran utilidad, por ejemplo:

1. De la doctrina del concepto: a. el concepto en sí proporciona claridad del objeto de conocimiento; b. las características del concepto (comprensión y extensión) tienen íntima relación con la interpretación del lenguaje, porque una vez determinada la comprensión del concepto referido por el signo a interpretar, se podrá establecer los alcances de éste por la extensión de dicha forma del pensamiento; y, c. la división del concepto por sus relaciones entre sí, los predicables y los árboles lógicos facilitan el entendimiento y proporcionan claridad de los nexos o vínculos

141 Tomado literahnente de Juan José Sanguineti. Sanguineti, Juan José. Op. cit., página: 138.

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que se producen entre las nociones que integran el objeto ll1aterial de todas las ciencias o entre conocimientos estructurados y sistemáticos que no constituyen ciencia;

2. De la doctrina del juicio: a.los elelnentos del juicio y sus divisiones por la cantidad, la cualidad y la cópula facilitan su análisis para establecer los alcances del concepto-sujeto, su relación con el concepto-predicado, y la forma del juicio, 10 cual coadyuva a una correcta interpretación de una proposición, que es el modo como se manifiesta dicho elemento del pensamiento; y, b. La oposición entre juicios así como el conocimiento de los principios para determinar su verdad o falsedad, agudizan el intelecto para evitar oposición entre dichas significaciones y determinar si es válido o no inferir un juicio de otro atendiendo a la extensión de su concepto-sujeto; y,

3. De la doctrina del razonamiento: a. los diferentes tipos de silogismos, que son la enunciación de un razonamiento deductivo, son de gran utilidad en las discusiones o en las argulnentaciones para demostrar que la postura que se defiende es válida, ya que la proposición que la representa es producto de la relación de las que le sirven de apoyo; b. las reglas de las diversas formas de los silogismos constituyen criterios para juzgar, en los debates o en las reflexiones sobre cualquier tema, si la enunciación de un razonamiento deductivo es válida o inválida; y, c. el razonamiento inductivo válido permite demostrar en las deliberaciones que un juicio universal o general tiene fundamento suficiente para considerarse verdadero o correcto, evitando de tal forma argumentaciones en contra que tiendan a señalar defectos de generalización.

Las aplicaciones señaladas no son las únicas, y las lnis1l1as no quedan reducidas a una enunciación teórica derivadas de un estudio comparativo, analítico y sintético de diversas doctrinas sobre las formas del pensamiento que estudia la lógica general. Como muestra de la afirmación anterior, se cita las siguientes opiniones de Luis Enrique Pérez, publicadas en un diario de Guatemala:

1. La denominada "Confusión mental de un político hiperversátil", la cual tiene por objeto señalar las falacias en que incurrió el columnista Edgar Gutiérrez en su artículo designado "Entre el criterio y el dogma", en el que ataca a Armando de la Torre. Luis Enrique Pérez expresa: " ... Mi propósito es delatar la profunda confusión mental y la fecundll,4

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ignorancia que Edgar Gutiérrez exhibe cuando, en un ridículo alarde de rigor conceptual, distingue entre" criterios y principios ", y "principios y dogmas ". Afirma, por ejemplo, que Armando de La Torre "encarna ... la contradicción entre criterio y dogma", y que la "batalla de Armando de La Torre no es de principios, sino de dogmas . Estrictamente una contradicción es la oposición entre una proposición universal afirmativa (por ejemplo, "Todos los diputados son ignorantes") y la correspondiente proposición particular negativa (es decir, "Algún diputado no es ignorante"). No toda oposición es contradicción ... Un "criterio" es una norma que sirve para juzgar, por ejemplo, sobre aquello que es verdadero o falso, bueno o malo, útil o inútil. Un principio es el fundamento hipotéticamente original a partir del cual se derivan otras cosas, que son consecuencias del principio ... "142; y,

2. La llamada "Confusión conceptual de un magistrado", en la que destaca el desorden conceptual de un magistrado de la Corte de Constitucionalidad en los siguientes términos: " ... magistrado de la Corte de Constitucionalidad, suministró un lúcido ejemplo de confusión conceptual sobre una simple cuestión esencial: la distinción entre Estado y municipio. El magistrado ... afirmó que el Estado es una unidad; "pero para atender toda la problemática estatal, encarga a las municipalidades cierta cosa, de tal manera que las municipalidades son el Estado". Esta afirmación es absurda porque el Estado de Guatemala es un todo, y el municipio es una parte, y por implacable definición e imperativa evidencia axiomática, el todo no puede ser igual a la parte ... Si el Estado fuera el municipio, entonces el Estado sería, no un ente que tiene instituciones, una de las cuales es el municipio, sino que él mismo sería una institución, y hasta una institución autónoma. ¿No sería absurdo? ... El municipio es, pues, una parte territorial. Si el Estado fuera el municipio, entonces el Estado residiría en una parte de su propio territorio ¿No sería absurdo? ... Precisamente el artículo 134 (se refiere de la Constitución Política de la República) declara que el municipio actúa "por delegación del Estado". Empero, la delegación de funciones no crea una identidad entre el ente que delega y el ente en el cual se delega, sino que necesariamente presupone la diferencia entre ambos ... "143.

142 Pérez, Luis Enrique. "Confusión mental de un político hiperversátil". Siglo Veintiuno. Guatemala, 5 de junio de 2004, página: 11. Ver anexo 1.

143 Pérez, Luis Enrique. "Confusión conceptual de un magistrado". Siglo Veintiuno. Guatemala, 16 de julio de 2005, página: 15. Ver anexo 2.

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L/e. FFR,\ '. \NO(J f /\ \.'l E1~ I?OSilLES GJ\AJ\:/A. /O

Como se puede apreciar, Luis Enrique Pérez en la primera opinión se funda en las definiciones de los conceptos de criterio, principio y dogma; ­para aclarar las diferencias entre los mismos, y la oposición de juicios para demostrar que, en términos de lógica, no toda oposición entre dichas formas del pensamiento es contradicción; y en la segunda opinión se basa en el concepto de Estado y de municipio, y la relación entre los mismos: no son conceptos idénticos.

Lo anterior resalta la importancia de la lógica clásica, y en consecuencia de su objeto de estudio: concepto, juicio y razonamiento, como instrumento para argumentar correctamente.

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“Introducción a la Lógica”, video del Colegio de Alcántara de Peñalolén, 2010

D:\Introducci+¦n a la l+¦gica.mp4

Introducción a la Lógica

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Introducción a la Lógica.

Carlos Muñoz Gutiérrez

1. Pensar y Razonar

Pensar es un complejo proceso que se inicia con la creación de imágenesmentales en nuestro cerebro. Estas imágenes las integramos, emparejamos, pro-yectamos o asociamos con nuestros conceptos o esquemas que tenemos memoriza-dos, representándonos las situaciones del mundo y de nosotros mismos en un pro-ceso simbólico que necesitamos estructurar en secuencias sintácticamente, esto es,lógicamente, organizadas. Tras ello podemos prever lo que sucederá, evaluar lasconsecuencias de nuestros actos, anticipar para evitar episodios desfavorables ypromocionar los que más nos beneficien. Naturalmente este curso de pensamientopuede verse influido por nuestras emociones y por factores físicos o sociales quemodulan, habitúan, prejuzgan nuestras maneras de representarnos las cosas delmundo.

Constantemente pensamos. Eso significa que construimos secuencias tempo-ralizadas de imágenes o conceptos que representan simbólicamente cosas o eventosy que podemos poner en movimiento para producir -simbólicamente- lo que aún noha acontecido. Ese poner en movimiento, que necesita naturalmente no sólo unamemoria en funcionamiento, sino también una conciencia de lo que estamos pen-sando, es a lo que podemos denominar razonamiento. De esta manera, razonarconsiste en producir juicios. Un juicio tiene la forma de una proposición, es decir,de una oración. Por ejemplo 'esta mesa es verde' es un juicio. En él están conteni-dos los conceptos: 'mesa', 'lo verde'; también hay imágenes que singularizan nues-tros objetos o que emparejamos con los conceptos y hay una estructura lógica, sin-táctica, que nos permite en una secuencia expresar un estado de cosas del mundo.Para incorporar esa estructura lógica nos servimos de elementos de enlace como elverbo 'ser' o de conjunciones o cuantificadores que nos indican el dominio del quehablamos, etc. Estos elementos tienen un origen en nuestros esquemas de imágenesque contienen una lógica implícita, pero los hemos exteriorizado en ciertos ele-mentos del lenguaje para facilitar nuestro pensamiento. Esos elementos, que nospermiten razonar, también nos permite ir de lo dado a que todavía no sabemos o noha ocurrido. Pues una vez creado un juicio podemos conectarlo con otro y produciruna secuencia causal o deductiva√ entre ellos. Por ejemplo:

Supongamos que hemos obtenido un juicio tal como:

(1) Todos los hombres son mortales

√ Deducción: Fundamentalmente este tema trata de la deducción, por ahora, pode-mos decir que deducir es obtener consecuencias no conocidas a partir de algo general cono-cido. Lo inverso es la Inducción, que naturalmente consiste en obtener algo no conocido detipo general a partir de la consideración de muchos casos singulares conocidos.

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Y que posteriormente conocemos a Juan y construimos el siguiente juicio(2) Juan es un hombre

¿Necesitamos esperar a la muerte de Juan para deducir(3) Juan es mortal?

Razonando, es decir, encadenando juicios conocidos podemos llegar a obte-ner nuevos conocimientos, prever situaciones, tomar decisiones, etc. Pues bien, esaes la idea de Razón. Visto así, la Razón no es una facultad o una parte que poda-mos encontrar en el cerebro, no es nada sustantivo, como tampoco lo es la memoriao, en general, cualquier proceso cognitivo humano, mejor, es una característica queadopta el pensamiento cuando compone, relaciona y asocia juicios respetando lasestructuras lógicas contenidas en los juicios mismos.

Pero con la idea de Razón va asociado además un componente adicional desuma importancia. Analicemos el siguiente texto:

La razón no es una facultad especial: es un proyecto de la in-teligencia, decidida a saber si hay evidencias más fuertes que las priva-das, a evaluarlas y a aceptarlas si llegara el caso. Por eso es más co-rrecto usar el adjetivo «racional». Hay una inteligencia racional, que esun paso más en la larga historia que comenzó con una inteligencia com-putacional capaz de autodeterminarse.

Pero ya he dicho que el conocimiento de la realidad es sólo una delas funciones de la inteligencia. También es tarea suya inventar nuevasposibilidades y también en esta tarea se deja seducir desde la lejanía porla idea de racionalidad. Recordará el lector que la inteligencia se definíapor sus proyectos y que su proyecto de mayor envergadura era el de unsujeto inteligente o de una vida inteligente. Pues bien, ese proyecto seconcreta en un sujeto universalizado por la razón dispuesto a plegarseante el argumento más poderoso o ante el valor más alto que no sería si-no la mejor posibilidad pensable.

José Antonio Marina. Teoría de la Inteligencia Creadora. Anagra-ma. Barcelona, 1993.

¿Qué quiere decir aquí J.A. Marina? J. A. Marina considera dos dimensionesen la inteligencia humana. Una sería semejante a la capacidad de computo de unordenador. Efectivamente el ser humano puede procesar información, lo hace, porejemplo, cuando percibe. El hombre transforma una señal luminosa en una percep-ción, después de un largo proceso (aunque muy breve en el tiempo) que realiza elcerebro y del que no somos conscientes. Pero además hay que admitir otro nivel deinteligencia que se le abre al ser humano con la conciencia. Y es la capacidad paracrear planes y proyectos, la capacidad de prever el futuro y evaluar las consecuen-cias de sus actos; esto le va permitir autodeterminarse. Es decir, establecer lo quedesea hacer y elaborar estrategias para llevarlo a cabo. Ahora bien esta capacidadcreadora de inventar posibilidades mediante el razonamiento nos lleva directa-mente a desear la mejor de las alternativas posibles. La razón tiene que ver con esa

Introducción a la Lógica

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idea de lo mejor: con el mejor argumento y con el máximo valor. Es efectivamenteun proyecto, pero un proyecto de la humanidad, pues hace falta unanimidad paradeterminar qué es lo mejor de lo posible y esa unanimidad sólo se puede conseguirsi la propia estructura lógica de la secuencia de razonamiento es evidente en símisma, esto es, si nadie que analice el argumento puede negar su validez. Esteproyecto, que ha seducido a la humanidad desde siempre, sólo se ha concretadocon rotundidad en las ciencias formales, matemáticas y lógica; y aunque sería muydeseable concretarlo en otros campos, por ejemplo en la ética, la dificultad es ma-yor y todavía no se ha logrado por completo. Posiblemente sea imposible, pero sinduda a la humanidad le gustaría construir la mejor vida de las posibles y conven-cerse de ello. A eso, tanto en la práctica como en la teoría, Kant lo llamó el Idealde la Razón.

Pues bien, en lo que sigue nos vamos a ocupar del razonamiento lógico, decómo relacionar juicios de tal manera que si fueran verdaderos los juicios de losque partimos, no nos podríamos equivocar nunca en los nuevos juicios que obtu-viéramos. Pues la propia estructura de los juicios y de la relación que establecemosentre ellos asegura la validez y la evidencia.

2.- El Razonamiento Lógico

El razonamiento lógico es entonces un conjunto de juicios que mantienenentre sí relaciones lógicas de tal forma que partiendo de algunos juicios dados a losque denominados premisas podemos llegar deductivamente a un juicio que no te-níamos y que denominamos conclusión. La obtención de la conclusión, si proce-demos lógicamente, asegura la validez de la misma por la propia estructura lógicade los juicios que componen las premisas. Por ejemplo, si partimos como premisasde los siguientes juicios:

Si llueve entonces me mojoy llueve

¿Qué podemos concluir?

Evidentemente, que me mojo.

Esto es una inferencia o razonamiento deductivo, en el cual si las premisasfueran verdaderas, la conclusión también lo sería. La ciencia que estudia qué tiposde esquemas de inferencia aseguran la validez de las conclusiones es la Lógica

3.- La Lógica Formal

La lógica podemos definirla como la ciencia de los principios de la validezformal de la inferencia. Analicemos esta definición. Ya sabemos lo que es unainferencia o razonamiento deductivo, no debemos confundir ahora el proceso psi-

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cológico con el resultado de este proceso. Ahora sólo nos interesa el resultado,independientemente de quién lo piense o de cómo se haya producido. La lógicasolamente se ocupa de razonamientos como productos o resultados.

¿Qué significa eso de la validez formal? En parte ya ha sido explicado ante-riormente, usemos ahora algunos ejemplos:

(1)Si llueve entonces se me seca la ropa y llueve.Luego, se me seca la ropa(2)Si llueve entonces me mojoy me mojo.Luego, llueve.

El razonamiento (1) parece falso, pues no ocurre en la experiencia quecuando llueva se seque la ropa, por el contrario (2) parece verdadero, pues efecti-vamente si me mojo puede ser porque llueva. Sin embargo este análisis respondea lo que denominamos Verdad material. La verdad material es un asunto de ex-periencia, podría ser que efectivamente cuando llueva se nos seque la ropa, peroen este mundo ocurre lo contrario. La verdad material es un asunto que investigalas ciencias empíricas o experimentales que necesitan acudir a la experiencia paradeterminar la verdad de sus teorías. La Lógica no se ocupa de este tipo de verdad,sino de la validez o verdad formal. En ese sentido prescinde de los contenidos delos juicios para ocuparse de la mera forma lógica. Eliminemos mediante un pro-ceso de formalización el contenido de (1) y de (2). Este proceso de formalizaciónva a consistir en asignar a cada proposición u oración una letra minúscula a partirde la letra p, por convención. De esta manera, vamos a tratar con variables pro-posicionales. Una variable proposicional, como la 'x' o la 'y' de las ecuacionesmatemáticas, es algo que puede estar por cualquier oración, con cualquier conte-nido. La noción de variable es precisamente algo que admite instancias de susti-tución dentro de un dominio especificado. En este caso, si vamos a tratar convariables proposicionales, será porque el dominio de sustitución será el conjuntode las oraciones. Procedamos entonces a formalizar nuestras inferencias:

(1)sea p: lluevesea q: se me seca la ropay simbolicemos la relación condicional si...entonces mediante el signo →,que usaremos de forma infija

Entonces:p→ qp

q

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La Lógica

(2)sea p: lluevesea q: me mojoEntonces la formalización quedaría

p→ qq

p

Visto así la lógica nos dirá que (1) es un esquema de inferencia válido,mientras (2) no lo es. Es decir, que todo razonamiento que tenga la estructuralógica de (1) asegura la validez de las conclusiones obtenidas, o como lo expre-sábamos anteriormente, si las premisas fueran verdaderas, la conclusión tambiénsería verdadera. A esto es a lo denominamos validez formal de las inferencias.

3.1. División de la Lógica

La lógica se estructura en cálculos. Un cálculo -luego lo veremos con másdetalle- es una mera estructura sintáctica. Un primer criterio de clasificación de lalógica viene determinado en función de cómo sean estos cálculos. La lógica for-mal moderna puede caracterizarse como una especie de cebolla, en donde sobreun cálculo base se monta otro que contiene más recursos expresivos y que nece-sita de nuevos elementos, sobre esta segunda capa se puede montar otras nuevassegún sigamos ampliando recursos o quitando restricciones del uso de estos re-cursos. Teniendo esto presente la Lógica se estructura de la siguiente manera:

(1) Lógica de Proposiciones o de Enunciados: el cálculo básico de la ló-gica formal es el cálculo de enunciados o proposicional, cuyas fórmulas son pro-posiciones, oraciones o enunciados sin analizar internamente. La relación lógicaa estudiar es la que se establece entre oraciones que constituyen la unidad míni-ma de significación lógica. Este cálculo es un cálculo hipotético, porque la de-ducción se establece en una relación condicional entre las premisas y la conclu-sión (si ocurren las premisas, entonces ocurre la conclusión)

(2) Lógica de Predicados o Cuantificacional: Sobre este cálculo básicose desarrolla el siguiente nivel que serán los cálculos de predicados o cuantifica-cionales, que se caracterizan por analizar las oraciones en sus componentes, su-jeto y predicado, y porque se puede cuantificar sobre individuos, es decir pode-mos tratar con todos o con algunos de los elementos que pueden ser sujetos deuna oración. Es fundamentalmente una lógica de clases donde la relación lógicaque se estudia es la pertenencia a un conjunto o la posesión de propiedades porlos distintos individuos de los que se habla. De esta manera, a diferencia de lalógica de proposiciones, la lógica de predicados es una lógica categorial, porque

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El Conocimiento

la deducción se efectúa según se puedan establecer o no relaciones de pertenenciao de posesión de propiedades de los individuos con las categorías en lo que seagrupan. Pongamos un ejemplo, si

Todos los hombres son mamíferos, yLos mamíferos tienen pelo,entonces ¿Tendrán los hombres pelo?

Con un simple dibujo podemos dar lasolución:

Cuando comprendemos que la clase delos hombres está incluida en la de losmamíferos y ésta en las cosas con pelo esfácil aceptar que los hombres tienen pelo. Siaceptamos que las propiedades de una clasegeneral se heredan en las subclases que formanparte de ella.

Cuando decíamos que se puede cuantificar

Los que tienen pelo

Mamíferos

Hombres

sobre los individuos que forman parte de las clases,nos referimos a que esta lógica tiene recursos para hablar de Todos o de Algunosde los individuos que están dentro de un conjunto. 'Todos' y 'Algunos' son cuan-tificadores y por este motivo hablamos también de Lógica Cuantificacional

(3) Lógica de Primer Orden: A la unión del cálculo proposicional y delcálculo de predicados es a lo que llamamos lógica de 1er orden. Este cálculo tie-nen la restricción de que sólo podemos utilizar los cuantificadores con elementosindividuales. Es decir, no podemos hablar de todas o de algunas de las clases dealgún tipo

(4) Lógica de 2º (3º,4º...n) Orden: Sobre la lógica de primer orden, segúnadmitamos cuantificar sobre propiedades o predicados, o predicados de predica-dos, iremos subiendo de orden. Por ejemplo, si permitimos utilizar oracionescomo "Hay un rasgo que todos los problemas filosóficos tienen en común", en-tonces, porque estamos cuantificando sobre una propiedad, estaríamos en unalógica de 2º orden y así sucesivamente.

Resumamos gráficamente esta estructura de cálculos anidados con la quese organiza la lógica. Esto debe interpretarse de una forma monótona ascendente,es decir, que todo lo que vale en un nivel inferior vale para el nivel superior aun-que no al revés:

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La Lógica

Lógica de n-orden

Lógica de 2º Orden

Lógica de 1er Orden

Lógica de Predicados oCuantificacional

Lógica deenunciados oproposicional

Todo sistema lógico tendrá esta estructura de cebolla que hemos visto, pe-ro, desde el punto de vista semántico, podemos establecer otro criterio de clasifi-cación dentro de los sistemas lógicos.

Un segundo criterio de clasificación será el número de valores de verdadque se acepten en los cálculos:

Hablamos de Lógica clásica cuando los cálculos lógicos son bivalentes, esdecir, que sus fórmulas pueden ser verdaderas o falsas y no puede ocurrir que losean a la vez. Si en los cálculos lógicos se contemplan más valores de verdad quelo verdadero y lo falso u otros recursos expresivos entonces hablamos de Lógicano-clásica.

Respecto a las lógicas no clásicas podemos decir, introductoriamente, quesurgen por la limitación expresiva de la lógica de 1er orden. Esto es, el cálculo de1er orden es un cálculo construido con muchas restricciones para poder satisfacerciertas propiedades metalógicas, que veremos más tarde, y en consecuencia sucapacidad expresiva también resulta muy limitada. Se han desarrollados estosotros cálculos lógicos como herramientas de análisis de ámbitos temporales, mo-dales, probabilísticos o inciertos. Por ejemplo:

- La Lógica trivalente contempla tres valores de verdad, lo verdadero, lo falsoy lo que no es verdadero ni falso, por desconocido o incierto.

- Las lógicas polivalentes son fundamentalmente lógicas probabilísticas en lasque los valores de verdad se corresponden con el intervalo [0,1].

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El Conocimiento

- La lógica modal incorpora como operadores los modificadores lo necesarioy lo posible.

- La Lógica temporal incorpora parámetros temporales. Para muchas oracio-nes su verdad depende del momento en que se produce.

- La lógica epistémica es una lógica intensional que pretende formalizarenunciados de creencia, opinión, etc.

- La lógica nomonotónica pretende formalizar situaciones reales en las quedecidimos sin una total información y que posteriormente admite, conformese prueben o refuten creencias, revisar el sistema total de creencia.

Existen muchas otras lógicas que pretenden estudiar los razonamientos entodos los ámbitos de la vida humana, pero en este curso fundamentalmente va-mos a ocuparnos de la lógica de proposiciones.

• LógicaClásica

• Verdad

• Falsedad

Lógica

• Lógicano-Clásica

• NoBivalentes

• MásRecursos

Expresivos

• Lógica Trivalente• Lógicas Polivalentes• Lógicas Probabilísticas• Lógicas Difusas

• Lógica Modal• Lógica Temporal• Lógica Epistémica• Lógica Deóntica• Lógica Nomonotónica

3.2. La Noción de Cálculo

Si, como hemos definido, la Lógica intenta establecer un catálogo de es-tructuras o esquemas de razonamiento que no nos lleven a error a la hora de ob-tener una conclusión a partir de una premisas, cabe preguntarse cómo se puedehacer esto. Una forma podría ser hacer una lista de razonamientos y ver si sonformalmente válidos. Esta estrategia sería mala, ya que no sería ni completa, nieconómica. Ante cualquier nuevo razonamiento no contemplado tendríamos quecomprobar su validez, pero sobre todo siempre quedará el desconocimiento deotros muchos razonamientos que pueden ser válidos y que todavía no están en lalista, resultando así una tarea así infinita. La estrategia de la lógica como cienciaes la inversa. Lo que la lógica diseña es un método general de prueba de razona-

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La Lógica

mientos, un mecanismo efectivo que responde sí o no ante la pregunta ¿es esterazonamiento válido? Esta manera de proceder recibe el nombre de Cálculo.Observemos que en este sentido es semejante a la noción matemática de cálculo.Para saber el valor de la suma de dos números, podemos sumar todos los númeroentre sí, pero esta tarea es imposible porque el sistema numérico es infinito. De lamisma manera, lo que hacen los matemáticos es proporcionarnos un cálculo quepodemos usar cuando queremos sumar dos números. Si se quiere, una calculado-ra es un artefacto que realiza cálculos. ¿Qué debe entonces contener un artefactopara realizar cálculos? Analicemos ahora la noción de cálculo.

Un cálculo es una mera estructura sintáctica, un sistema de relaciones. Noconstituye un lenguaje hasta que no aportamos una interpretación semántica desus elementos. Un cálculo es como la estructura de un juego y la interpretaciónde esa estructura es lo que hace que sea el ajedrez o el parchís, o una calculadora.Visto así preguntémonos de qué se compone todo juego, todo cálculo.(1) Lo primero que encontramos en el juego son sus piezas, sus elementos bási-

cos. A esto lo denominaremos vocabulario básico o elementos primitivos.En un cálculo lógico necesitamos una definición exhaustiva que determinetodos y cuáles son los elementos primitivos. Del mismo modo que en el aje-drez sabemos cuáles piezas son del ajedrez y cuáles no.

(2) Una vez que sabemos que elementos componen el juego, necesitamos unasreglas que nos permitan ordenarlas y disponerlas para empezar a jugar. Así,en el ajedrez la reina va en su color o las torres en las esquinas del tablero. Aeste elemento del cálculo lo denominamos Reglas de Formación. Estas re-glas establecen cuáles son las combinaciones correctas posibles de los ele-mentos primitivos. El conjunto de reglas de formación ha de proporcionaruna definición de fórmula bien formada (fbf), de manera que ante cualquiercombinación de elementos se pueda determinar si la expresión resultante es ono un fbf.

(3) Finalmente necesitamos unas reglas que definan cómo transformar una posi-ción inicial para desarrollar el juego. En el ajedrez, por ejemplo, disponemosde unas reglas de movimiento de las piezas que nos permite transformar ladisposición inicial en otra, es decir, jugar. A estas reglas las denominaremosReglas de Transformación y tienen que definir cómo podemos pasar de fbfsa otras que estén igualmente bien formadas. Estas reglas deben tener un ca-rácter efectivo o algoritmico√ , de manera que sea posible decidir si una trans-formación de unas fórmulas en otras se ha realizado correctamente.

En consecuencia, tal y como se diseñan los cálculos no es posible equivo-carse, es decir, su estructura inferencial asegura siempre la validez formal. A lahora de construir un cálculo debemos de cuidar que, en todo momento, todo paso

√ Algoritmo: Un algoritmo en un procedimiento mecánico y efectivo que aseguraen una secuencia de pasos finitos llegar a un estado final del proceso. Las operacionesmatemáticas son algoritmos. Sumar dos número es un proceso que, aplicadas las reglasde la suma adecuadamente, finaliza inevitablemente con un resultado. También el pro-grama de una lavadora es un algoritmo.

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El Conocimiento

que se dé, mantenga la validez del cálculo. Esto se consigue, aceptando sólo co-mo elementos del cálculo, fórmulas bien construidas y reglas de inferencia quesean lógicamente válidas, así cada nuevo paso deductivo tendrá que ser inevita-blemente también válido, bien porque sea una premisa, o un supuesto hipotéticoo el resultado de la aplicación de una regla. Afrontemos ahora entonces el juegode la lógica. Un juego que consiste en ver si podemos llegar a una fórmula a par-tir de un conjunto de fórmulas dadas aplicando reglas de transformación.

4. La Lógica Proposicional o de Enunciados

Como hemos visto ya, el cálculo de proposiciones o de enunciados tomacomo elementos primitivos o vocabulario básico, por un lado variables proposi-cionales que usaremos para referirnos a oraciones sin analizar tomadas comooraciones completas y los símbolos lógicos que formalizaran a los elementos queindican la estructura y relaciones lógicas que se establece entre las proposiciones,en el lenguaje natural esto lo suele cumplir las conjunciones.

4.1. Variables y valores de verdad

El contenido de una proposición lo representamos mediante una variable.Para lo cual emplearemos letras consonantes minúsculas a partir de p,q,r,s,... Sifuera necesario pondremos subíndices p1, p2, p3....pn.

Las proposiciones que interesan a la lógica son siempre proposicionesenunciativas o aseverativas, y como es una lógica bivalente, sus proposicionesserán siempre y sólo verdaderas o falsas. Por tanto, una proposición formalizadapor la variable p podrá tener el valor verdadero o falso. Simbolizaremos estosvalores con (1,0). 1 para lo verdadero y 0 para lo falso. Si lo expresamos en for-ma de tabla, obtendremos lo siguiente:

p10

Para dos variables las posibles combinaciones de sus valores de verdad quese pueden dar entre ellas serían:

p q1100

1010

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La Lógica

En general dado un número n de proposiciones, el número de combinacio-nes posibles de sus valores de verdad sería 2n. Así para n=3, sus combinacionesserán 8, para n=4, 16. Por ejemplo:

p q r11110000

11001100

10101010

Ejercicio 1

Desarrolla la tabla para 4 proposiciones de las posibles combinaciones de valoresde verdad.√

4.2. Conectivas y sus interpretaciones semánticas

El resto de nuestros elementos primitivos del cálculo o vocabulario básicoson las conectivas u operadores, que son las encargadas de establecer las cone-xiones lógicas entre las oraciones, de igual manera que en el lenguaje naturalhacen las conjunciones.

√ Una estrategia para no perderse a la hora de desplegar la tabla de las posiblescombinaciones de valores de verdad, sería asignar a la primera variable la mitad de todoslos valores como verdaderos y la otra mitad como falsos, para la segunda la mitad de lamitad de todos los valores como verdaderos y la otra mitad como falsos y del mismomodo para la otra mitad. Y así sucesivamente, de suerte que la última variable recibiríaalternativamente valores verdaderos y falsos.

El Conocimiento

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Las conectivas se comportan como funciones u operadores. ¿Qué es unafunción? Pensemos, por ejemplo, en la suma. La suma es una función que tomados argumentos y arroja un valor, habitualmente expresamos esto de la siguientemanera 2 + 2 = 4 o 3 + 2 = 5. Si lo expresáramos como en las matemáticas seexpresan las funciones quedarían estas operaciones de la siguiente manera:

+(2,2) = 4; o +(3,2) = 5.La función 'más' toma dos argumentos (2,2) y arroja un valor (4).La idea de función la podemos comprender también si miramos una má-

quina expendedora de bebidas, por ejemplo. Una máquina de este tipo se puededescribir como una función que toma como argumentos una determinada canti-dad de dinero y la selección de un producto y arroja como valor la lata o la bote-lla de la bebida solicitada

Las conectivas lógicas se comportan de igual manera sólo que sus argu-mentos van a ser proposiciones y su valor un valor de verdad. Más concretamenteveremos que podemos considerar a las conectivas lógicas como funciones verita-tivas. Una función veritativa es una función cuyos argumentos son valores deverdad y su resultado es igualmente un valor de verdad. ¿Cómo podemos enten-der esto?

Una proposición expresa un hecho y decimos de ella que es verdadera, siel hecho ocurre; si no ocurre decimos que es falsa. Como la lógica formal es ex-tensional√ , no entra a analizar el significado de las proposiciones, sino que sola-mente atiende a los estados del mundo a los que se refieren las oraciones. Vistode este modo cualquier oración se refiere a lo verdadero o a lo falso. Pues todaoración aseverativa, que nos hable del mundo, expresa si un hecho ocurre o si noocurre en el mundo. La referencia de una oración es uno de los dos posibles valo-res de verdad que admite la lógica clásica.

Así pues, dado que la verdad de una oración compuesta depende del valorde verdad de las oraciones simples que se conectan para formarla (principio decomposicionalidad), los elementos que permiten componer oraciones atómicas√

en oraciones moleculares son funciones veritativas.Veamos un ejemplo: Una oración como 'llueve y me mojo' expresa la ocu-

rrencia de dos acontecimientos a la vez, si es verdadera, en otro caso decimos deesa oración que es falsa. Así, la conjunción 'y' es una función que produce elresultado de lo verdadero, si los argumentos, es decir, las oraciones que une, son

√ Extensión e Intensión son dos términos técnicos que sustituyen las ideas de re-ferencia y significado. En el tema sigiente se explica con más detalle. La extensión oreferencia del nombre 'mesa' es el conjunto de objetos del mundo que son mesas. Mien-tras que la intensión o significado es, por ejemplo, la de un mueble consistente en untablero con patas que puede soportar peso en su superficie. En lógica sólo atendemos a larelación entre los signos y sus extensiones.

√ Proposición atómica: Al igual que en el lenguaje el significado de una oracióndepende del significado de las palabras que la componen. Cuando componemos fórmulasmoleculares o compuestas en lógica el valor de verdad depende de las proposicionesatómicas o simples que la componen.

La Lógica

las dos verdaderas. Sobre esta idea para el caso más simple: las conectivas moná-dicas√ , las funciones que toman un único argumento de entre los dos que manejala lógica, {1,0} tendríamos cuatro posibles conectivas monádicas:

p c1 c2 c3 c410

10

01

11

00

Reflexionemos sobre esta tabla. Si, como hemos dicho, una oración, p,puede ser verdadera o falsa, tendríamos cuatro operaciones monádicas que to-mándola como argumento ofrecieran distintos valores. c1 arroja como valor elmismo valor del argumento, c2 cambia el valor del argumento, c3 opera dejandoel caso verdadero como está y cambiando el valor de lo falso y c4 a la inversaque c3. A la lógica, y al lenguaje en general, le interesa especialmente la funciónc2 ¿Qué conectiva podría ser c2?

Efectivamente si operamos sobre una oración de tal manera que alteramossu posible valor inicial lo que estamos haciendo es negarla.

Si, por ejemplo, 'llueve' es verdad, 'no llueve' será falso y si es falso que'llueve', será verdadero que 'no llueve'. Podemos, entonces, considerar a la Nega-ción como una función veritativa que arroja como valor lo contrario del valor desu argumento.

Ejercicio 2

¿Cuantas conectivas de dos argumentos (diádicas) pueden darse si los ar-gumentos de entrada pueden ser lo verdadero y lo falso? Desarrollar la tabla detodas las posibles funciones veritativas de dos argumentos (diádicas).

√ Por monádico entendemos que sólo tiene un argumento, por ejemplo, un opera-dor monádico en matemáticas es el factorial de un número. Decimos que un operador esdiádico si requiere de dos argumentos, la suma o la resta son operadores diádicos. Engeneral hablamos de operadores poliádicos si requieren de más de dos argumentos.

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El Conocimiento

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De entre todas las conectivas lógicamente posibles, en nuestro cálculo va-mos a usar cinco. Una monádica, esto es, que toma un único argumento y el restodiádicas, es decir, que toman dos argumentos.La negación: ¬

La negación es una conectiva monádica, toma como argumento una propo-sición y arroja como valor lo contrario de la proposición. La expresaremos me-diante el signo ¬, y la usaremos prefija a la variable proposicional a la que seaplica, ¬p. Evidentemente simboliza al 'no' o a cualquier forma de negación dellenguaje natural. Opera invirtiendo el valor del argumento. Si p es verdadera,entonces ¬p es falsa y al revés. En forma de tabla:

p ¬p10

01

La Conjunción: ∧

Sean p y q dos proposiciones cualesquiera podemos unirlas conjuntiva-mente mediante 'y' o cualquier otra forma de unión conjuntiva del lenguaje natu-ral, en la notación lógica usaremos el siguiente signo ∧ y la colocaremos de for-ma infija entre las dos variables proposicionales que conecta, p ∧q.

La conjunción de dos proposiciones atómicas es verdadera cuando lo son asu vez las dos proposiciones componentes. Por ejemplo decíamos que: 'llueve yme mojo' es verdadera cuando ocurre que 'llueve' y ocurre que 'me mojo'. Lainterpretación semántica de la conjunción es entonces:

p q p ∧q1100

1010

1000

La Disyunción: ∨

Sean dos proposiciones cualesquiera, p, q. Podemos unirlas mediante ladisyunción 'o' y la simbolizaremos mediante el símbolo ∨, que colocaremos demanera infija entre las dos variables proposicionales que conecta, p∨q.

La disyunción puede interpretarse de dos maneras distintas:- Disyunción exclusiva: si se da una de las alternativas no se da la otra.- Disyunción inclusiva: se puede dar una u otra de las alternativas o las

dos a la vez.

La Lógica

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Desde el punto de vista lógico es mayor la importancia de la disyuncióninclusiva, es decir, o p o q o ambas a la vez. Será ésta, la interpretación que use-mos. En forma de tabla:

p q p ∨ q1100

1010

1110

El Condicional:→

El condicional 'si...entonces' es también una partícula para formar fórmulasde suma importancia en lógica pues formaliza la estructura deductiva entre dospremisas. Podemos entonces relacionar p y q condicionalmente, si p entonces q,y lo simbolizaremos mediante el símbolo →, que expresaremos en lógica de lasiguiente manera: p→ q. Aquí hay que tener en cuenta el orden de colocación delas variables. En castellano, no tenemos problemas si alteramos el orden de apa-rición en la secuencia del antecedente y del consecuente de un condicional. Po-dremos decir, y es igualmente correcto, 'si llueve, me mojo' y 'me mojo, si llue-ve'. En la formalización lógica ambas oraciones deben simbolizarse como p → q,pues lo inverso, q→ p, produce otra proposición completamente distinta.

Un condicional tal como 'si llueve entonces me mojo' es verdadero cuando:

- Su antecedente y su consecuente son verdaderos: Ocurre que llueve y ocurreque me mojo.

- Su antecedente es falso, pero su consecuente es verdadero: No ocurre quellueve, pero me mojo. En este caso es verdadero porque lo que afirma uncondicional, su consecuente, ocurre. Dicho de otra manera, si yo sé queexiste una relación entre el hecho de llover y el hecho de mojarme, el mojar-me aunque no llueva no niega la relación anterior. Todavía sería verdad que'si lloviera, me mojaría'

- Su antecedente y consecuente son falsos: La relación condicional 'si llueve,me mojo' no deja de ser verdadera cuando no llueve y, en consecuencia, nome mojo. Naturalmente cabe seguir aceptando que 'si lloviera me mojaría'.El planteamiento es semejante al caso anterior.

- Solamente el condicional es falso cuando su consecuente es falso y su ante-cedente es verdadero. Pues si llueve debería mojarme tal y como se enuncia.

En forma de tabla quedaría de la siguiente manera:

El Conocimiento

16

p q p→q1100

1010

1011

El Bicondicional:↔

El Condicional expresa la condición suficiente, pero no la necesaria. Deahí la tabla de verdad del condicional. Por ejemplo, es suficiente para mojarmeque llueva, pero me puedo mojar por otros motivos. Para expresar la condiciónsuficiente y necesaria utilizamos el bicondicional, si y sólo si, que simbolizare-mos mediante ↔, y que simbolizaremos como p ↔ q. En realidad un bicondi-cional es la conjunción del condicional con su inverso:

p q p→ q q→ p (p→q) ∧ (q→p) p↔q1100

1010

1011

1101

1001

1001

En realidad, como podemos apreciar en la tabla, esta conectiva se puededefinir en función del condicional y no tendríamos que incluirla en nuestro voca-bulario básico. Sin embargo, dado que el bicondicional expresa la relación deequivalencia y dado que este relación se usa mucho en lógica, para abreviar loscálculos y para establecer definiciones fácilmente es tradicional incluirla dentrode las conectivas básicas

Analizando su tabla de verdad, diremos que un bicondicional es verdaderocuando sus proposiciones atómicas coinciden en su valor de verdad. Ahora nosólo me tengo que mojar sino que tengo que hacerlo porque llueva o bien si noocurre que me mojo será porque no llueve. Dicho de otra manera, sólo me mojosi llueve y sólo es el caso que esté lloviendo si me mojo.

4.2.1. Reducción de Conectivas

Podemos probar para nuestro cálculo que nos basta exclusivamente condos conectivas, pudiendo definir las restantes en función de las dos elegidas. Esdecir, que toda la expresividad de nuestro cálculo se puede lograr usando sólodos conectivas, definiendo el resto en función de las dos elegidas. De las cuatroconectivas que acabamos de definir -si tenemos en cuenta que el bicondicional esla conjunción del condicional en una dirección con el mismo condicional en la

La Lógica

17

otra- podremos elegir entre los siguientes conjuntos de conectivas {¬, ∧};{¬,∨};{¬,→}. Es decir: la negación con la conjunción o con la disyunción o conel condicional. Según el conjunto de conectivas elegidas las definiciones del restoquedarían de la siguiente manera:

Negación yConjunción

Negación yDisyunción

Negación yCondicional

Conjunción - ¬(¬ X ∨ ¬ Y) ¬(X→ ¬Y)Disyunción ¬(¬ X ∧ ¬ Y) - ¬X→ YCondicional ¬(X ∧ ¬Y) ¬X ∨ Y -

4.3. Las Reglas de Formación

Una vez que conocemos nuestro vocabulario básico: variables proposicio-nales y conectivas; el siguiente elemento que tenemos que definir son las reglasde formación que nos permitirán determinar si una fórmula cualquiera perteneceo no a nuestro cálculo, es decir, si es una fórmula bien formada (fbf).

Definimos la noción de fórmula bien formada recursivamente√ :

RF1. Una variable proposicional sola es una fbf del cálculo.RF2. Si X es una fbf, entonces ¬X también lo es.RF3. Si X e Y son fbfs, entonces X ∧ Y, X ∨ Y, X→ Y son también fbfs.RF4. Estas son todas las reglas de formación del cálculo.

√ Recursivo: Un proceso o una definición recursiva es algo que se resuelve enfunción de interpretaciones o procesos más simples del mismo proceso. Pongamos unejemplo: supongamos una telefonista en una centralita que atiende una llamada A, en esemomento recibe una nueva llamada B, deja en espera a A y atiende B, en ese momentoentra una nueva llamada C, deja en espera B y atiende a C. Al terminar con C, retoma lallamada B, si no hay otra llamada D, podrá terminar con B y regresar a A, si no ha colga-do aburrido de esperar, termina con A y la telefonista se podrá tomar un descanso. Sianalizamos, atender una centralita consiste en responder llamadas telefónicas. Lo quehace la telefonista es responder llamadas, pero lo agiliza bajando niveles que despuésvuelve a subir. Eso es un proceso recursivo. En este caso una definición es recursivacuando para ir definiendo elementos se apoya en elementos ya definidos.

Pensemos en otro ejemplo procedente de las matemáticas. ¿Cómo podríamos defi-nir un proceso recursivo general que resolviera el factorial de un número? El factorial deun número es el número multiplicado por su números precedentes.

Así el para el número 5, 5! = 5*4*3*2*1.La definición de un proceso general recursivo podría ser:

Factorial X1 = Factorial 1F! = X * Factorial X -1

El Conocimiento

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Observemos:

1. Que nuestra definición está formulada en un metalenguaje√ .2. La recursividad de la definición. RF2 y RF3 se apoyan para su definición en

RF1 que también forma parte de la definición, pero en un orden de compleji-dad menor, esta es la razón por la que una definición o proceso recursivo noentre en un bucle sin salida.

3. RF4 da exhaustividad a la definición. De tal forma que ahora ante una fór-mula podremos determinar siempre si está bien formada o no.

4. Como vemos el operador monádico de la negación lo colocaremos de maneraprefija, mientras que los operadores diádicos los pondremos de forma infijaentre las proposiciones que conectan.

Ejercicio 3

Formaliza en el lenguaje del cálculo de enunciados las siguientes oracionesdel lenguaje natural:

1. Llueve.2. Llueve detrás de las ventanas de mi casa.3. Llueve torrencialmente en toda España.4. No llovió ayer5. Los meteorólogos no se equivocan nunca.6. Si llueve o nieva, entonces no es cierto que los meteorólogos no se equivocan

nunca y que la televisión da buenos pronósticos del tiempo.7. Llueve y me mojo8. Los meteorólogos no se equivocan nunca y hoy llueve en Andalucía.9. No es cierto que llueva y me moje10. Llueve o nieva y a nadie le importa.11. Si llueve entonces habrá buena cosecha.12. Veo la lluvia caer

√ Lenguaje y Metalenguaje: Advierte que en la definición de las reglas de for-mación hemos usado letras mayúsculas a partir de X. ¿A qué se debe este cambio? Enlógica no puede haber ambigüedades y a menudo para hablar de la notación que usamosen el cálculo necesitamos otra notación de nivel superior, para evitar equívocos. A esanotación superior que habla de la del cálculo que estamos usando lo denominamos Me-talenguaje y lenguaje-objeto a la que es referida por el metalenguaje. En concreto aquí Xe Y son metavariables, es decir variables que pueden sustituirse por cualquier fórmula delcálculo del que hablamos, en este caso del cálculo proposicional. Así por ejemplo, Xpuede ser p, ó ¬q ó p∧q ó (p ∨ ¬q)→ r, etc.

Esta distinción es fundamental a la hora de analizar las propiedades de los cálculoslógicos. Tarea de la que se encarga la Metalógica

La Lógica

19

13. Llueve, nieva y graniza.14. Habrá buena cosecha si nieva.15. Si no es cierto que llueva y me moje, entonces los meteorólogos no se equi-

vocan nunca.16. Si aprendes bien la lógica seré feliz.17. Si no es cierto que apruebe el curso y saque un sobresaliente en lógica, en-

tonces esto no tiene sentido.18. Si y solo si llueve, entonces iremos al cine o a bailar19. Seré feliz si aprendes bien la lógica20. Llueve, nieva o graniza21. No llueve, pero nieva.22. Si no llueve y no nieva entonces o hace sol o hay niebla.23. No es cierto que si llueve y me mojo, entonces me resfriaré.24. Normalmente las proposiciones unidas con comas son copulativas.25. No llueve o me mojo.26. Si nieva y hace sol, podremos esquiar magníficamente.27. Juan y Pedro esquían cuando nieva.28. Juan esquía si y sólo si hay nieve.29. Si Pedro va al cine o Juan al teatro, entonces llamaremos a un taxi.30. Esto es todo por ahora.

4.4. Reglas de transformación.

Hasta ahora hemos visto los elementos que constituyen el lenguaje de lalógica, pero todavía no sabemos qué podemos hacer con ellos. Si la lógica estu-dia los principios de la inferencia válida, entonces un cálculo lógico nos podrádecir qué esquemas de inferencia son válidos y cuáles no. Entremos ahora en laparte fundamental del cálculo, aquella que constituye un método para decidir queinferencias son válidas y cuales no los son.

En general hay dos maneras de constituir los cálculos. Bien como un sis-tema de leyes o bien como un sistema de reglas. Éste exige un razonamiento porobjetivos, pues se nos propone un razonamiento y mediante la aplicación de re-glas hay que determinar si ese razonamiento propuesto es válido o no lo es. Estetipo de sistemas parecen convenir mejor al modo en que razonamos normalmen-te, por eso se denominan sistemas de deducción natural. En ellos se parte nor-malmente de enunciados cuyo valor de verdad está indeterminado y el objetivo esdeterminar su validez o no. Aquél, al contrario consiste en encontrar todas lasleyes lógicas que pueden derivarse de un conjunto reducido de leyes, a los quedenominamos axiomas, y que aceptamos como verdaderos sin prueba por suautoevidencia. Estos tipos de sistemas se denominan sistemas axiomáticos y enellos todo lo que se deriva es válido, porque el sistema asegura la validez de ladeducción.

El Conocimiento

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Profundizaremos en la lógica de enunciados como sistema de deducciónnatural y posteriormente introduciremos un sistema axiomático.

4.4.1. El cálculo de enunciados como sistema de deducción natural.

Como sistema de deducción natural, el juego de la lógica, o la puesta enfuncionamiento del cálculo, consiste en ver si la conclusión de un razonamientose deriva de las premisas mediante transformaciones de éstas según las reglas detransformación del cálculo. A este proceso le vamos a denominar derivación.Una derivación es una secuencia de transformaciones desde las premisas de lasque partimos a la conclusión que queremos obtener. Las transformaciones posi-bles que se pueden realizar vienen delimitadas por el conjunto de reglas de trans-formación del cálculo. Diremos que un argumento es lógicamente válido si existeuna derivación de la conclusión a partir de las premisas, empleando las reglas delcálculo, en otro caso diremos que el argumento es lógicamente incorrecto. ¿Cuá-les son las reglas de transformación de nuestro cálculo proposicional?

Si lo que tenemos que hacer es transformar fórmulas, estas transformacio-nes, teniendo en cuenta el vocabulario del que disponemos, consistirán en produ-cir fórmulas más complejas a partir de tras más simples introduciendo nuevasconectivas entre ellas, o simplificarlas eliminando las conectivas que estén pre-sentes en las fórmulas dadas. Lógicamente entonces, para cada conectiva delcálculo existirán dos reglas una de introducción de la conectiva y otra de elimi-nación de la misma.

Las reglas expresan las condiciones que tienen que ocurrir para pasar deunas fórmulas a otras. Estas condiciones quedan por encima de la raya que sim-boliza la transformación, la nueva fórmula se coloca por debajo de la raya. Esdecir, una regla de transformación se puede leer de la siguiente manera: "si en elcurso de una derivación, me encuentro con u obtengo las fórmulas que aparecenpor encima de la raya, entonces en el siguiente paso de la derivación puedo escri-bir la fórmula que aparece debajo de la raya". Las reglas básicas son las siguien-tes:

Reglas de la Negación

IN: Introducción de la Negación

X...Y ∧ ¬Y¬X

Esta regla recoge un procedimiento básico de infe-rencia lógica que se denomina reducción al absurdo, esun procedimiento indirecto de prueba. Consiste en que siun supuesto nos lleva a una contradicción, tiene que serfalso y, si es falso, lo contrario será verdadero. Una con-tradicción la expresamos mediante la conjunción de unavariable proposicional con su negación , Y ∧ ¬Y.

La Lógica

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Suponer significa que introducimos una fórmula en nuestra derivación sinser el resultado del uso de una regla, aunque, naturalmente, existe una regla quenos lo permite. Es una hipótesis que realizamos, como tal su verdad no está esta-blecida, y precisamente lo que deseamos es ver si podemos verificarlo o ver adónde, deductivamente, nos puede llevar. Es una forma muy natural de razonar.Imaginemos que queremos encontrarnos con alguien que conocemos bien y quesabemos de sus hábitos y costumbres, pero en ese momento no sabemos dóndepuede estar. Posiblemente supongamos que se puede encontrar en su casa, enton-ces iríamos a su casa y llamaríamos, si nadie nos contesta, deduciríamos que locontrario del supuesto inicial, es decir, que no está en casa. Entonces podríamossuponer que haya ido a comprar donde él suele ir a comprar y así sucesivamente

El hecho de la suposición lo vamos a expresar abriendo una llave a la iz-quierda de la fórmula introducida que prolongaremos a lo largo de la derivaciónhasta que podamos cerrar el supuesto. Cerrar el supuesto significará volver a laderivación principal y, en este sentido, lo que escribamos tendrá que ser valido,es decir, justificado por una regla de transformación.

EN : Eliminación de la Negación.

¬¬ X

X

Si tenemos una fórmula doblemente negada, en-tonces resulta estar afirmada, luego si tenemos una fór-mula de esta manera podremos simplificarla eliminandola negación.

Reglas de la Conjunción

IC: Introducción de la Conjunción.

XY

X ∧ Y

Si en el proceso de nuestra derivación tenemos ohemos obtenido dos fórmulas cualesquiera, X e Y, enton-ces podemos en un paso posterior unirlas conjuntivamente.Dado que todo lo que escribimos en la derivación es fruto

del uso adecuado de nuestras reglas y como éstas aseguran la validez, en-tonces si sabemos que X es lógicamente válida y sabemos que Y también lo es,por la interpretación semántica de la conjunción, sabemos también que X ∧ Y esuna fórmula igualmente válida.

EC: Eliminación de la Conjunción.

X ∧ Y

X

X ∧ Y

Y

El Conocimiento

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Si tenemos dos formulas unidas conjuntivamente en nuestra derivación,entonces sabemos que esa fórmula es lógicamente válida, pero si lo es, lo es por-que cada una de las fórmulas atómicas que componen la conjunción son igual-mente válidas, en consecuencia, podemos así mismo afirmarlas tanto por separa-do. Es decir, si sabemos que es verdad X ∧ Y, también que sabemos que pode-mos afirmar X y que podemos afirmar Y.

Reglas de la Disyunción

ID: Introducción de la Disyunción.

X

X ∨ Y

Y

X ∨ Y

En este caso la regla es autoevidente, pues si una disyunción es verdaderacuando lo es alguno de sus miembros, siempre podremos unir disyuntivamente auna fórmula dada cualquier otra, tanto por la derecha como por la izquierda. Esdecir, si es verdad X, como una disyunción es verdadera con que lo sea uno desus elementos, también será verdad X o Y, independientemente de la verdad deX. Y si es verdad Y también lo será X ∨ Y.

ED: Eliminación de la Disyunción.

X ∨ YX.

. ZY.

. Z

Z

Esta regla también se denomina procedimiento porcasos. Puesto que en una disyunción no sabemos cuál desus componentes es verdadero, recordemos que nos bastacon que lo sea sólo uno de ellos, para eliminar la conectivatendremos que probar con cada uno de ellos. Esta reglaexige suponer consecutivamente la verdad de cada uno delos elementos de la disyunción para ver a dónde nos lleva.Si de ambos supuestos podemos obtener la misma fórmula,esa será la fórmula que podamos afirmar.

Ciertamente, en el uso de esta regla eliminamos la disyunción en la medidaen que podemos afirmar una consecuencia lógica que se deriva de esa disyun-ción; más bien, probamos que una fórmula Z, la misma para los dos supuestos,(que puede ser distinta a X y a Y), se deduce tanto de la suposición de la verdadde X, como del supuesto de la verdad de Y.

La Lógica

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Reglas del Condicional o Implicación Material

II: Introducción del Implicador o del Condicional.

X..

. Y

X→Y

La regla de introducción del condicional, -usamosaquí el sinónimo 'implicador' para no confundir en siglascon la conjunción-, resume la idea de lo que es una deduc-ción lógica. Nos exige también un proceso indirecto, con-sistente en suponer el antecedente del condicional quequeremos probar y ver si en el curso de la derivación po-demos probar el consecuente. En este caso queda probadala relación entre las dos proposiciones y podemos ya afir-marla más allá de la hipótesis.

EI: Eliminación del Implicador.

X→YX

Y

Esta regla, también conocida como Modus Ponens,Establece que si tenemos un condicional y tenemos suantecedente entonces podemos obtener su consecuente.Intuitivamente parece evidente y nos devuelve al ejemploque usábamos al explicar la noción de validez formal. Si

sabemos que si llueve entonces me mojo y sabemos también que llueve eviden-temente podemos afirmar que me mojo.

Reglas del Bicondicional

IB y EB: Introducción y Eliminación del Bicondiccional.

X↔Y

(X→Y) ∧ (Y→X)

Esta regla tiene una doble lectura, que es lo quequeda simbolizado por la doble línea. Es decir podemosemplearla de arriba abajo y viceversa. Naturalmente laregla se basa en la definición del bicondicional comoun condicional en las dos direcciones. Así que cuandotengamos un bicondicional podemos transformarlo enla conjunción de los condicionales que lo componen yal revés.

Estas son las reglas básicas de transformación del cálculo. Como están ex-presadas en forma de esquemas de inferencia podemos ir ampliándolas segúnvayamos probando como válidos otros nuevos esquemas a partir de estas reglas.Tradicionalmente existen otras reglas derivadas que por su utilidad forman partetambién del sistema de reglas. Vamos a ir conociéndolas, pero según seamos

El Conocimiento

24

capaces de probarlas. De esta manera nos servirán de ejemplo de cómo poner enfuncionamiento nuestro cálculo lógico.

Reglas Derivadas

Modus Tollens: M.T.

X→Y¬Y

¬X

Explicación:

Prueba:

1. X→Y Premisa2. ¬Y Premisa3. X Supuesto4. Y EI 1,35. ¬Y∧Y IC 2,46. ¬X IN 3-5

Esta regla es muy interesante, pues es otra forma de eliminar el condicio-nal. Como vemos el cálculo parte de unas premisas que nos son dadas y pretendemediante la transformación de estas fórmulas llegar a la conclusión que se pro-pone. Una vez dispuestas las premisas, tenemos que preguntarnos cuál es la co-nectiva principal o estructura de la formula a obtener, indudablemente para con-seguir dicha fórmula tendremos que introducir en primer lugar su conectiva prin-cipal, en este caso la negación. Haciendo uso de la regla de introducción de lanegación, IN, suponemos lo contrario de lo que queremos probar y vemos si estonos conduce a una contradicción, como es el caso, podemos negar lo contrario delo que hemos supuesto, lo que coincide con la fórmula a probar. Adviértase quecerramos el supuesto cuando podemos justificar el uso de la regla que lo originó.

De suma importancia es la columna de la derecha donde justificamos loque escribimos en la derivación, indicando por qué regla y entre qué líneas de laderivación llegamos a lo que escribimos en la línea correspondiente.

La Lógica

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Silogismo disyuntivo: SIL DISY.

X ∨ Y¬X

Y

Prueba:

1. X ∨ Y Premisa.2. ¬X Premisa.3. ¬X→ Y Def. D. 14. Y EI 3,4

X ∨ Y¬Y

X

1. X ∨ Y Premisa2. ¬Y Premisa3. ¬X Supuesto4. ¬X→ Y Def. D. 15. Y EI 4,36. Y ∧ ¬Y IC 5,27. ¬¬X IN 3-68. X EN 7.

Explicación:La regla intuitivamente es evidente si tenemos una disyunción y sabemos

la invalidez de uno de sus términos, inmediatamente podemos afirmar el otro. Laprueba hace uso de la interdefinición de las conectivas (según en el punto 4.2.1Reducción de Conectivas), que son definiciones de unas conectivas a partir deotras, son también reglas de inferencia derivadas del sistema. Además en la apli-cación de la regla por la izquierda, procedemos por reducción al absurdo, lo quees habitual cuando la fórmula a probar es una fórmula atómica.

Transitividad del Condicional: TRANS C.

X→YY→Z

X→Z

Explicación:

Prueba:

1. X→Y Premisa2. Y→Z Premisa3. X Supuesto4. Y EI 1,35. Z EI 2,46. X→Z II 3-5

En este caso puesto que lo que queremos probar es un condicional tendre-mos que emplear la regla de introducción del condicional. Esta regla nos dice quesupongamos el antecedente del condicional a probar y veamos si podemos llegaral consecuente. Así lo hacemos, suponemos X. Ahora necesitamos poder escribirZ. Z podríamos obtenerlo eliminando el condicional en 2. Para ello necesitamos

El Conocimiento

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Y. ¿Podemos obtener Y? Podemos hacerlo aplicando la regla de eliminaciónentre 1 y 3. Después se cierra el supuesto y se introduce el condicional entre X yZ, que era lo que se pedía.

Contraposición del Condicional: CONT C.

X→Y

¬Y→ ¬X

Prueba:

1. X→Y Premisa2. ¬Y Supuesto3. X Supuesto4. Y EI 1,35. Y ∧ ¬Y IC 4,26. ¬X IN 3-57. ¬Y→ ¬X II 2-6

Explicación:El proceso nos es ya conocido, advirtamos el doble supuesto que nos exige

la introducción del condicional en primer lugar, y después como el consecuentedel condicional a probar esta negado, la necesidad de suponer lo contrario delconsecuente como nos indica la regla de introducción de la negación.

Ejercicio 4

A partir de ahora se exponen nuevas reglas derivadas, pero ahora las prue-bas de su validez pueden ser un buen ejercicio.Identidad: I

XX

Conmutatividad de la Conjunción: CONM C.

X ∧ Y

Y ∧ X

Conmutatividad de la Disyunción: CONM D:

X ∨ Y

Y ∨ X

La Lógica

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Asociatividad de la Conjunción: AS C.

X ∧(Y ∧ Z)

(X ∧ Y) ∧ Z

Asociatividad de la Disyunción: AS D.

X ∨ (Y ∨ Z)

(X ∨ Y) ∨ Z

Ex Contradictione Quolibet: ECQ

X ∧ ¬X

Y

Leyes de De Morgan

¬(X ∧ Y)

¬X ∨ ¬Y

¬(X ∨ Y)

¬X ∧ ¬Y

Ejercicio 5

Formaliza y prueba la validez de los siguientes argumentos:

1. Si llueve entonces me mojo. Me llevo el paraguas o no llueve. Luego, si llue-ve entonces me mojo y saco el paraguas.

2. O no estudio lógica o el examen era conocido de antemano. Si el examen eraconocido de antemano, entonces aprobaré lógica. Si apruebo lógica, apruebofilosofía. Luego si estudio lógica, apruebo filosofía.

3. O bien la Tierra es redonda y los hombres no lo saben, o bien la Tierra esredonda y los extraterrestres lo saben hace tiempo. Si los hombres no lo sa-ben, entonces la Tierra no es redonda. En conclusión, los extraterrestres losaben hace tiempo.

4. Si Ana estudia, sacará el curso. Si no estudia, se divierte en clase. Si no sacael curso, no se divierte en clase. Así pues, Ana sacará el curso.

5. A los gallegos les gustan los berberechos, pero no les gusta la carne o bebenginebra. Si beben ginebra, entonces se emborrachan o toman flan de postre.

El Conocimiento

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Por tanto, si a los gallegos les gusta la carne, entonces si no se emborrachantoman flan de postre.

6. O vamos al cine, o no nos quedamos en casa. Si vamos en coche, no vamosal cine. Por consiguiente, si nos quedamos en casa, no vamos en coche.

7. Si Jaime lleva pareja de ases, lleva poker o gana; si lleva poker, no lleva pa-reja de ases; si no sabe jugar al poker, no gana. Luego, si Jaime lleva parejade ases, sabe jugar al poker.

4.4.2. La Lógica proposicional como Sistema Axiomático

Como adelantábamos, la otra manera de construir un cálculo lógico es me-diante un sistema axiomático. Los sistemas axiomáticos se conocen desde la an-tigüedad y uno de los mejores ejemplos son los Principios de Geometría de Eu-clides. Euclides desarrolló lo que conocemos hoy como Geometría Euclídea apartir de un conjunto de axiomas, lo más sencillo posible. Los axiomas recogíannuestras intuiciones espaciales básicas. A partir de ellos y valiéndose de un me-canismo inferencial desplegó todo el conocimiento geométrico que podía obte-nerse de esos axiomas. Cuando en el siglo XIX y XX se puso en cuestión uno delos postulados de Euclides, a saber, el postulado de las paralelas, se crearon otrasgeometrías, a las que denominamos no-euclídeas.

En general, un sistema axiomático procede deduciendo todas las verdades,a las que llamamos teoremas, de un conjunto lo más sencillo e independiente deaxiomas, que aceptamos como verdaderos sin prueba, por su autoevidencia. Elsistema posee también un mecanismo de inferencia en forma de reglas, pero mu-cho más simplificado que en los sistemas de deducción natural.

Los sistemas axiomáticos son de suma importancia porque constituyen elideal de estructura lógica y deductiva de toda teoría científica. Las teorías cientí-ficas deben asegurar la validez de sus deducciones, por lo que normalmente seríadeseable que se estructuran como sistemas axiomáticos. Para ver como el cálculode enunciados se puede estructurar como un sistema axiomático, vamos a utilizarun sistema clásico, el sistema de los Pricipia Mathematica (1910-13), que escri-bieron Russel y Whitehead y que significó una de las primeras fundamentacionesde la matemática a partir de la lógica.

El Sistema de los Principia Mathematica (PM) de Russell y Whitehead.

Nuestros símbolos primitivos van a ser los mismos que hemos visto en elsistema de deducción natural, pero reduciremos las conectivas a la negación y ladisyunción. Esta reducción no resta capacidad expresiva, pues las conectivas

La Lógica

29

pueden interdefinirse entre ellas, de acuerdo con la reglas derivadas que hemosvisto con anterioridad. Las reglas de formación también serán las ya vistas.

El conjunto de axiomas será el siguiente:

Axiomas

A1. (p ∨ p)→ pA2. p→ (p ∨ q)A3. (p ∨ q)→ (q ∨ p)A4. [p ∨ (q ∨ r)]→ [q ∨ (p ∨ r)]A5. (q→ r)→ [(p ∨ q)→ (p ∨ r)]

Reglas de Transformación

R1. Regla de Sustitución: Dada una tesis (cualquier fórmula verdadera del cál-culo, axioma o teorema) del cálculo, en la que aparecen variables proposicio-nales, el resultado de sustituir una, algunas o todas las apariciones de esas va-riables por fbfs del cálculo será una tesis del cálculo. Con la restricción deque cada variable ha de ser sustituida siempre que aparezca y siempre por elmismo sustituto.

R2. Regla de Separación (Modus Ponens): Si 'X' es una tesis del sistema, y loes también la expresión 'X→Y', entonces 'Y' es una tesis del sistema.

¿Cómo se pone en funcionamiento el sistema axiomático? En el sistemaaxiomático debemos comenzar, en vez de con un conjunto de premisas, con unaxioma o teorema ya demostrado. El axioma o el teorema ya probado de partidadebe ser aquél que tenga la estructura lógica más parecida al teorema a probar.Ver que sustituciones de variables nos convienen para, si aún es necesario, reali-zar alguna transformación que nos lleve al teorema a probar.

Veamos algunos ejemplos.

Teorema 1. p→ (p ∨ p)

1.- q→ (p ∨ p) A2.2.- p→ (p ∨ p) RT1[q/p], 1.

Teorema 2. (p→(q→r))→ (q→ (p→ r))

1.- (p ∨ (q ∨ r))→ (q ∨ (p ∨ r)) A4.2.- (¬p∨ (¬q∨ r))→ (¬q ∨ (¬p ∨ r)) RT1[p/¬p, q/¬q], 1.3.- (p→(q→r))→ (q→ (p→ r)) Def. Condicional, 2.

El Conocimiento

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Teorema 3. (q→ r)→ ((p→ q)→ (p→r))

1.- (q→ r)→ [(p ∨ q)→ (p ∨ r)] A5.2.- (q→ r)→ [(¬p∨ q)→ (¬p∨ r)] RT1[p/¬p], 1.3.- (q→ r)→ [(p→ q)→ (p→ r)] Def. Condicional, 2.

Ejercicio 6

Probar los siguientes teoremas.

Teorema 4. (p→ q)→ ((q→ r)→ (p→r)).Teorema 5. p→ pTeorema 6. ¬p∨ pTeorema 7. p ∨ ¬pTeorema 8. (p→ ¬p)→ ¬p

4.5. Lógica y Semántica

Por Semántica entendemos la disciplina que se ocupa de las relacionesentre los signos y aquello que éstos designan, entre los signos y aquello de lo cualhablamos por medio de ellos. En lógica, la semántica recibió un fuerte avancegracias a la labor de un lógico polaco A. Tarski y la teoría clásica de modelos, enlos años 50. La manera clásica de describir la tarea de la teoría de modelos con-siste en decir que en ella se estudian las relaciones entre los lenguajes formales,por un lado, y las realidades de que hablan dichos lenguajes, por otro.

Hasta ahora hemos estudiado los sistemas lógicos como el proceso de ins-cribir fórmulas o estructuras deductivas en un determinado armazón formal. Des-de el punto de vista semántico nos interesa atribuir significados a las fórmulas yaceptar como integrantes del sistema aquellas fórmulas o estructuras deductivascuyo significado cumple determinadas condiciones.

La atribución de significado, que no es más que ofrecer las condicionesque debe cumplir una fórmula para que sea verdadera, se realiza mediante la ideade interpretación.

En la lógica proposicional, la interpretación de una fórmula viene dada porla interpretación semántica de las conectivas que contiene. Es decir, en la medidaen que nuestras conectivas son funciones veritativas, una interpretación para elcálculo proposicional consiste en atribuir un valor de verdad a cada una de lasvariables proposicionales que componen una fórmula y evaluar según la inter-pretación semántica de las conectivas el valor final de la fórmula.

La Lógica

31

Dicho de otro modo, la relación semántica básica entre el lenguaje de pro-posiciones y el mundo o universo del que habla es la valoración veritativa. Unavaloración veritativa sobre el lenguaje proposicional es una aplicación que asignaa cada fórmula del lenguaje un valor de verdad, esto es, uno de los dos elementosdel conjunto {V,F} de valores de verdad.

En nuestro sistema de lógica de enunciados tenemos un método de pruebasemántico que nos permite decidir si una fórmula es o no una verdad lógica. Estemétodo de prueba es la tabla de verdad. Como recordaremos, el método es bas-tante limitado, pues imaginad una fórmula con seis variables proposicionales. Lasposibles combinaciones sería 26 = 64 lo que su confección resulta sumamentelarga e incómoda, aun así la validez del método no queda disminuida.

Tomemos como ejemplo una de la regla de inferencia que hemos demos-trado, el Modus Tollens que en su formato de ley sería ((p → q) ∧ ¬q )→ ¬p), yconstruyamos su tabla de verdad, veamos qué resultado arroja:

p q ¬q p→q (p→ q) ∧ ¬q ((p→q) ∧ ¬q)→¬p)1100

1010

0101

1011

0001

1111

¿Qué es lo que hemos hecho? Primero asignamos un valor de verdad a lasdos variables proposicionales que compomen la fórmula de la que queremosobtener sus posibles valores de verdad. Como tenemos dos valores, obtendremoscuatro (22) combinaciones posibles de valores de verdad. Después, en las si-guientes columnas vamos evaluando cómo se modifican estos valores inicialesconforme las variables entrar a ser argumentos de conectivas, para ello tenemospresente la interpretación semántica de las conectivas. Así, por ejemplo, cuandoq=1, ¬q = 0 y viceversa. Y si p = 1 y q = 1, entonces p → q = 1. Procedemos deesta forma hasta que debajo de la conectiva principal√ de la fórmula obtenemos lacolumna de todos los posibles resultados para la fórmula que estamos estudiando.

¿Qué fórmulas interesan a la lógica desde el punto de vista semántico?

√ La Conectiva Principal de una fórmula es la conectiva más externa y la que de-fine la estructura de la fórmula. Como nuestras conectivas son o monádicas o diádicas,cada una dependiendo de su tipo conectará dos cosas, si es diádica o actuará sobre una sies monádica. Por eso, debemos considerar la fórmulas moleculares como una composi-ción de, como máximo, dos elementos:

Por ejemplo, la formula (p ∧ q) → r tenemos dos conectivas la '∧' une a 'p' y a 'q'y compone (p ∧ q). Posteriormente, el condicional une a '(p ∧ q)' con 'r'. Es pues, estecondiconal la conectiva principal pues es la conectiva más externa cuyos argumentos noson a su vez argumentos de ninguna otra. Es bajo esta conectiva donde recae el valorfinal del proceso de construcción de la tabla de verdad.

El Conocimiento

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Evidentemente aquellas fórmulas que arrojen como resultado en la colum-na final de su tabla de verdad en todas sus filas el valor de 'verdadero'. A estasfórmulas las denominaremos, tautologías o verdades lógicas.

Por el contrario, si todos los resultados en la columna final de la tabla son'falso', estas fórmulas serán contradicciones y si encontramos tanto 'verdadero'como 'falso', diremos que son fórmulas satisfacibles, es decir, que en algunavaloración veritativa la fórmula resulta verdadera.

Lo importante de las tautologías es que toda interpretación posible satisfa-ce a la fórmula, esto es, la hace verdadera, eso significa que son razonamientoscorrectos o formalmente válidos.

Como vemos, la columna final de la tabla de verdad del Modus Tollens entodas sus filas arroja el resultado de 'lo verdadero', luego sabemos que esta fór-mula es una tautología y en consecuencia que toda valoración veritativa la haceverdadera lógicamente.

Ejercicio 7

1. Probar la verdad lógica de las reglas derivadas que obtuvimos en el sistemade deducción natural.

2. Construir la tabla de verdad de los teoremas del sistema PM, que se recogenen el ejercicio 6, y verificar si son todos tautologías

3. Construir las tablas de verdad de los razonamientos del ejercicio 5 y decirqué tipo de fórmulas son desde el punto de vista semántico (tautologías, con-tradicciones o fórmulas satisfacibles).

4.6. Metalógica

Una cuestión fundamental en lógica es estudiar las relaciones que se esta-blecen en los cálculos entre las estructuras sintácticas y sus interpretaciones se-mánticas que se establecen en los cálculos. Este estudio nos dará una visión de lautilidad del cálculo como herramienta deductiva. Imaginemos que queremosformalizar una teoría científica, por ejemplo la física, y que para ello tenemosque elegir un mecanismo deductivo que desarrolle toda la teoría. ¿Qué le pedi-ríamos al cálculo deductivo a emplear?

A simple vista parecería importante que:1. Todo lo que se derivase en el cálculo fuera una verdad lógica.2. Toda verdad pudiera derivarse en el cálculo3. Ante cualquier fórmula que pueda construirse pudiera determinarse si es

o no verdadera.

La Lógica

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TLFLV

Dicho de otra manera, si denominamosteoremas lógicos (TL) a lo que se deduce

en un cálculo y fórmulas lógicamenteverdaderas (FLV) a las que quedansatisfechas por cualquier interpretación,

un cálculo será de interés si TL ⊆ FLVpor un lado, y por el otro si FLV ⊆ TL. Es

decir, que el conjunto de teoremas lógicos sea un subconjunto propio de las fór-mulas lógicamente verdadera y viceversa, o lo que es lo mismo que en la inter-sección de estos dos conjuntos queden todos los elementos de los conjuntos.

Pues bien, la disciplina que estudia a los cálculos lógicos se denominaMetalógica y las propiedades importantes que pretende establecer para estos cál-culos son:a) Consistencia: Un cálculo es consistente si toda fórmula que se deriva en el

cálculo es una verdad lógica.Formalmente el teorema de consistencia se expresa de la siguiente forma:Interpretando: ├ como 'se deduce lógicamente de' y ╞ como 'es conse-

cuencia semántica de'Si ├ A, entonces ╞ A.

O si lo consideramos como consecuencia de un conjunto de fórmulas, Γ :Si Γ ├ A, entonces Γ ╞ A.

b) Completud: Un cálculo es completo si toda verdad lógica puede deducirseen el cálculo. El teorema se expresa formalmente de la siguiente manera:

Si ╞ A, entonces ├ A.O si lo consideramos como consecuencia de un conjunto de fórmulas, Γ :

Si Γ ╞ A, entonces Γ ├ A.Como vemos el teorema de completud es lo inverso de la consistencia y en

ambos se establece la equivalencia entre la sintaxis y la semántica de un cálculológico.c) Decibilidad: Finalmente la tercera propiedad de interés es la decibilidad.

Diremos que un cálculo es decidible si existe un procedimiento finito y algo-rítmico que permite decidir si una fórmula o deducción es demostrable en elcálculo.

En 1930 Kurt Gödel probó el Teorema de Completud para el cálculo lógi-co de 1er orden. Pero en 1931, estableció un resultado absolutamente sorprendentey de graves consecuencias para la ciencia y la racionalidad en general, el Teore-ma de Incompletud, que expresaba:

(1) Todos los sistemas formales de la matemática clásica son incompletos-entre ellos toda la lógica de primer orden-, es decir, puede construirse unasentencia verdadera, pero indecidible, tal que ni ella ni su negación sondeducibles en el sistema. Por lo tanto, la incompletud es irremediable.

El Conocimiento

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(2) Es imposible probar la consistencia de un sistema formal de la matemáticaclásica usando todos los recursos y razonamientos incorporados al siste-ma, es decir dentro del mismo. Para poder probar la consistencia debere-mos ampliar los recursos propios del sistema

Estos resultados arruinaron el optimismo imperante en la primera mitad desiglo sobre la capacidad de la ciencia para explicar los fenómenos del mundo,sobre la capacidad de la razón humana y en general puso en evidencia las nocio-nes de progreso científico y de verdad propiamente dicha. De hecho, el conceptode verdad dio paso al de demostrabilidad y esto ocasionó el importante desarrollode las ciencias de la computación y con ellas del ordenador digital.

5. Introducción al cálculo de Predicados

Observemos el siguiente razonamiento:

Ningún fósil puede estar traspasado de amorUna ostra puede estar traspasada de amor

Las ostras no son fósiles.

Intuitivamente el razonamiento parece válido. Si ningún fósil puede estartraspasado de amor y las otras sí pueden, entonces podemos concluir que las os-tras no son fósiles. Formalicemos nuestro argumento, sea:

Ningún fósil puede estar traspasado de amor: ¬ pUna ostra puede estar traspasada de amor: qLas ostras no son fósiles: ¬ rEntonces tendríamos:

¬pq

¬r

Lo que evidentemente, en el cálculo proposicional que conocemos, no re-sultaría demostrable. ¿Qué falla aquí?

Lo que ocurre en este argumento es que el proceso deductivo se realizaentre los elementos que conforman las oraciones, esto es, entre las relacioneslógicas que se establecen entre los sujetos y los predicados de la oración. De ma-nera general lo que afirma el argumento es

Si Ningún A es BPero C es BEntonces, C no es A.

La Lógica

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Al predicar la misma propiedad a dos tipos de entidades, pero al hacerlo demanera negativa en uno de los tipos de entidad, entonces deducimos que C noforma parte de la clase de los A.

Pues bien, para estudiar estos tipos de argumentos donde las relaciones ló-gicas se establecen entre las estructuras internas de las oraciones, necesitamosmás recursos expresivos que los que proporciona la lógica proposicional. Enconcreto, ¿qué nuevos recursos?

Ampliemos nuestro vocabulario básico. Parece claro que necesitamos po-der referirnos a individuos y a predicados. Para designar formalmente a los indi-viduos, y entendemos por individuos cualquier nombre común, usaremos varia-bles de individuos. Denotemos a las variables de individuos con las letras mi-núsculas x, y, z, con subíndices si fuera necesario. Si alguna de nuestras oracionesmencionara a individuos concretos (nombre propios), como pudiera ser Pedro oJuan, usaremos constantes individuales que denotamos mediante las letras mi-núsculas, a,b,c,... Para referirnos a las propiedades o a los predicados usaremosvariables predicativas. Estas variables predicativas las entenderemos comofunciones que toman como argumentos individuos y arrojan como valor proposi-ciones. Dependiendo del número de argumentos que tomen, diremos si son mo-nádicas -un argumento-, diádicas -dos argumentos- o, en general n-ádicas -nargumentos-. Denotemos a las variables predicativas mediante letras mayúsculas.Pensando la relación de atribución de propiedades a individuos como una funciónque asigna individuos a propiedades y arroja como valor una proposición, forma-lizamos las relaciones entre sujetos y predicados de la siguiente manera: Px, Fy,Rxy. Por ejemplo:

- 'Juan es alto' sería : Aa.- 'x ama a y': Axy. (Si no conocemos quien es x y quien es y)

Sin embargo, si observamos la última proposición veremos que su formali-zación no permite decidir sobre su verdad, es decir, no es estrictamente una pro-posición, porque no sabemos a quién nos estamos refiriendo. x puede estar por unhombre, un perro, una mariposa, etc. Cuando esto ocurre decimos que x e y sonvariables libres. Para que podamos decidir sobre la verdad de la proposicióntenemos que ligar estas variables de tal manera que quede estrictamente delimi-tado el dominio de búsqueda de instancias de sustitución de las variables. Pode-mos ligar estas variables asignando constantes, como en el caso de 'Juan es alto'.Pero también existe otro método que es cuantificando la variable. Es decir, ligan-do la variable al alcance de un cuantificador. Por ejemplo en nuestro ejemploinicial, 'ningún' es un cuantificador que expresa que todo elemento de la claseespecificada por el predicado 'ser fósil' no cumple una determinada propiedad,'estar traspasada de amor'. Visto así necesitamos otro recurso expresivo quepermite construir proposiciones, los cuantificadores. Estos pueden ser, en lógicade predicados, de dos tipos:

- Universales: Todo, Los, Todos, etc. Lo denotaremos mediante el símbolo: ∀

El Conocimiento

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- Particulares: Uno, Alguno. Denotado por: ∃

Los cuantificadores indican el alcance de las variables a las que cuantifi-can. Pongamos un ejemplo de esto. Analicemos los siguientes predicados:

- 'x es idéntico a sí mismo'. En principio no sabemos a qué se refiere x, peroevidentemente sea lo que sea x tendrá esa propiedad. Por eso, podemos ce-rrar esta fórmula mediante un cuantificador universal: 'Todo x es idéntico así mismo'. Está oración será satisfecha por cualquier sustitución que hagamosde la x.

- 'x es un corsario'. Aquí x puede sustituirse por John Silver, Barbarroja o Patapalo, pero también podríamos cerrar la fórmula, convertirla en una proposi-ción, refiriéndonos a todos o algunos de los corsarios a la vez, mientras quelos distinguimos de los bucaneros, los panaderos o las avestruces: 'Algunos xson corsarios'. Esta oración será entonces verdadera si encontramos una ins-tancia de sustitución de la x que satisfaga a la oración, es decir, que sea uncorsario.

Resumiendo, nuestro lenguaje debe ampliarse con:

1. Términos individuales: que denotan a individuos y serán nuestras varia-bles o constantes individuales.

2. Letras Predicativas n-ádicas: que denotan predicados o propiedades.3. Cuantificadores: Que serán universales y particulares, que delimitan los

dominios de los términos individuales y también generalizan nuestrasfórmulas para tratar con conjuntos indefinidos, lo que naturalmente esimportante para cualquier actividad de carácter científico.

De la misma manera nuestras reglas de formación deberán ampliarse paraincluir como construir las nuevas fbfs que contengan los nuevos elementos delvocabulario.

Finalmente, necesitaremos dos nuevas reglas de transformación para cadauno de los cuantificadores.

No entraremos en la ampliación del cálculo, pero, para terminar resolva-mos el argumento con el que iniciábamos esta breve introducción a la lógica depredicados. Su formalización sería:

∀x (Fx→ ¬Px)∀x (Ox→ Px)

∀x (Ox→ ¬Fx)

Lo que podríamos leer de la siguiente manera:Para todo x, si x es un Fósil, entonces no Puede estar traspasado de amor.

La Lógica

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Para todo x, si x es una Ostra, entonces Puede estar traspasada de amor.Luego, para todo x, si x es una Ostra, entonces no es un Fósil.

La demostración de su validez como argumento sería:

1. ∀x (Fx→ ¬Px) Premisa2. ∀x (Ox→ Px) Premisa3. Fa→ ¬Pa EU, 14. Oa→ Pa EU, 25. Pa→ ¬Fa CONT C, 36. Oa→ ¬Fa Trans. C, 4,57. ∀x (Ox→ ¬Fx) IU, 6.

Explicación: A simple vista, las pruebas en lógica de predicados consistenfundamentalmente en eliminar los cuantificadores. Para ello sustituimos las va-riables por constantes, pues, si algo ocurre a todos, ocurrirá también a uno quepertenezca al conjunto referido. Procedemos después como si fueran proposicio-nes y finalizamos introduciendo los cuantificadores, en este paso debemos res-petar ciertas restricciones, que en este momento y para nuestro propósito nomencionaremos.

Dejemos aquí esta breve introducción a la lógica de predicados, que yafuera desarrollada por Aristóteles en su Silogística, y aprovechando algunas delas nociones aprendidas, reflexionemos para qué puede servir todo esto.

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Comentario de Texto

Lee atentamente el siguiente texto y contesta las preguntas que se formulan:

"Por fortuna hay otra manera de establecer la verdad de unafórmula, y de determinar si una fórmula es consecuencia de otras, queno es la verificación directa de las condiciones de verdad; se trata deinferir o deducir la fórmula en un cálculo deductivo utilizando las otrasfórmulas como premisas o hipótesis: de establecer una cadena de razo-namiento entre hipótesis y conclusión. Por supuesto, si el cálculo de-ductivo nos va a ser de alguna ayuda es porque no nos permitirá equi-vocarnos nunca; no nos va a conducir jamás de hipótesis verdaderas aconclusiones falsas: será un cálculo consistente.

Además, con sus reglas obtendremos como teoremas todas lasconsecuencias de un conjunto dado de hipótesis: será un cálculo com-pleto."

María Manzano. Teoría de Modelos.

1.- ¿Qué significa establecer la verdad de una fórmula a partir de la

verificación directa de sus condiciones de verdad?

2.- Explica las nociones de consistencia y completud.

3.- Comenta la oración "establecer una cadena de razonamiento entre hipóte-sis y conclusión" y concreta su sentido en el ámbito de un sistema de de-ducción natural y en el de un sistema axiomático.

6. ¿Razonar Correctamente o Equivocarnos?

La lógica es una norma para el razonamiento correcto. Como hemos visto,un cálculo lógico es una herramienta que nos permite decidir si un razonamientoes formalmente correcto o no. Es verdad que las limitaciones metalógicas de loscálculos debilitan la eficacia de esta herramienta, que termina siendo útil sólopara un fragmento pequeño del razonamiento humano, el pensamiento deductivo.Para solucionar esto se han desarrollando otras lógicas que exploran otro tipo dediscurso y otras formas de razonamiento.

Por otro lado, la lógica es el fundamento de la matemática y resulta fun-damental a la hora de producir teorías elaboradas como pueden ser las teoríascientíficas.

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También la lógica es el lenguaje de los circuitos electrónicos y suponen elarranque de todos los ordenadores digitales tan presentes en nuestras sociedades.

Pero, para lo que nos interesa en nuestro curso de filosofía, la lógica es unanorma para pensar, para producir nuevo conocimiento y hacerlo de manera co-rrecta. Esto, que puede parecer sencillo, no lo es tanto y, a menudo, resulta su-mamente difícil distinguir los razonamiento válidos de los incorrectos, sobre todosi no disponemos de una herramienta tan eficaz como puede ser un cálculo lógi-co.

Por ejemplo, el siguiente argumento ¿es válido o incorrecto?

Si París es la capital de Italia, Madrid es la capital de España; pero, Parísno es la capital de Italia. En consecuencia, Madrid no es la capital de España.

Muchas veces un argumento parece válido, pero un análisis lógico detalla-do puede desenmascararlo y mostrarlo como incorrecto. Muchas veces un argu-mento no válido, pero que parece válido, se usa con intención de engañar o con-vencer. La lógica puede prevenir estas situaciones.

Efectivamente, la lógica ha realizado un catálogo de argumentos de este ti-po, argumentos que no válidos, pero lo parecen. A estos argumentos los denomi-namos falacias o sofismas.

6.1. Falacias

Hay muchos tipos de falacias, algunas lo son por su forma lógica y en esesentido coinciden con argumentos incorrectos o falso argumentos, como el quemencionábamos arriba. Estas son sencillas de detectar utilizando un cálculo lógi-co. Pero hay otro tipo de falacias que lo son no tanto en virtud de su forma lógicasino en virtud de su contenido material. Una clasificación de las falacias puedeser la siguiente:

Falacias

Formales

Informales

Ambigüedad

Materiales

• Por equívoco• Anfibología

Datos insuficientes

• GeneralizaciónInadecuada

• Falsa prueba• Falsa causa

Pertinencia• Ad Hominen• Ad Baculum• Ad Populum• Ad verecundiam• Ad ignorantian• Tu quoque

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Las falacias de ambigüedad

Son argumentos deductivos que parecen válidos pero que no lo son porque hayuna modificación en el significado de alguno de los términos. Hay de dos tipos:

Por equívoco:

El término se usa dentro del mismo argumento con dos significados dis-tintos, por ejemplo:

Sólo el hombre es racionalNinguna mujer es un hombre

Luego, Ninguna mujer es racional

Anfibología:

La anfibología se origina por una ambigüedad estructural o por una ambi-güedad semántica al interpretar un elemento que determina la estructuralógica. Por ejemplo:

Todo Hombre ama a una mujerRomeo ama a Julieta

Luego, Todo hombre ama a Julieta

Falacias materiales

Las falacias de datos insuficientes

Son razonamientos inductivos incorrectos, porque en ellos se presentan laspremisas como base para la generalización, cuando en realidad no la tie-nen. Este tipo de falacias son muy comunes cuando generalizamos a partirde sólo varios casos conocidos."Todos los hombres son iguales", es un ejemplo. A menudo, este tipo degeneralizaciones resultan ser meros prejuicios.

La falsa causa y la falsa prueba

Son razonamientos que apelan a una causa o a una prueba para concluir al-guna conclusión con la que no hay una verdadera conexión causal. Porejemplo:

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El fumar es malo para la salud,me duele un pie,

Eso es por el tabaco

Las falacias de pertinencia

A menudo, son meros argumentos retóricos o entimemas, que tienen elobjetivo de convencer a alguien apelando a argumentos o razones que no sonlógicamente pertinentes. Entre las más comunes podemos destacar lss siguientes:

• Ad hominem : Podemos atacar o desprestigiar la capacidad argumenta-tiva del que presenta la opinión, pero sin presentar razones contra laopinión en sí . Por ejemplo cuando decimos en tono despectivo aquellode 'si tú lo dices...'

• Ad Baculum: Las que apelan al poder o la autoridad para fundamentaruna opinión. ¿Por qué? Porque lo digo yo.

• Ad populum: Éstas apelan a emociones que conmueven no por su fuer-za lógica sino por su capacidad retórica.

• Ad verecundiam: También resultan falaces las que se aprovechan de laautoridad intelectual o del prestigio de alguien para derivar una conclu-sión. Éstas tienen la siguiente estructura: A afirma p, por tanto p.

• Ad ignorantiam: Se basan en el desconocimiento o en la carencia derefutación para afirmar una aserción, que, en estas circunstancias, noresultaría confirmada. Por ejemplo, Nadie ha podido refutar la existen-cia de Dios, por tanto tiene que existir.

• La falacia tu quoque es un tipo de argumento muy utilizado, no sóloen deducción lógicas sino también en excusas del deber o en defensade la culpa. Tu quoque significa 'tú también' y es la idea de poder excu-sarse, acusando a quien acusa. Produce tomas de decisión tan singula-res como cuando todos hablan en clase, por ejemplo, yo también mecreo en el derecho de hablar.

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6.2. Paradojas

M.C. Escher: Manos dibujando

Observemos el dibujo y preguntémonos ¿Qué mano dibuja qué? Si segui-mos el trazo de una mano nos encontramos que anda dibujando otra mano, perocuando seguimos el trazo de ésta descubrimos que es ella la que pinta a aquélla.¿Quién pinta qué? Esto ilustra la idea de una paradoja.

Una paradoja, a veces también llamada aporía, es algo, dibujo, oración, ar-gumento, que no tiene una solución definitiva. Si optamos por una posible solu-ción entonces parece transformarse y convertirse en lo contrario. Si afirmamosque la mano derecha pinta a la izquierda, entonces vemos que es al contrario.

Como hemos visto en la sección de metalógica, los sistemas lógicos equi-valentes a la aritmética elementas resultan indecidibles, es decir, existen verdadesque no se pueden demostrar. De algún modo esto subvierte la intuición de sentidocomún de que las oraciones o razonamientos son o verdadero o falsos. Una para-doja es un tipo de argumento que si es verdadero entonces es falso.

Existen muchos tipos de paradojas, que no son triviales sino que suponenserios problemas a teorías tan aparentemente sólidas como la matemática o lalógica. En el tema sobre la verdad estudiaremos la famosa paradoja de Epiméni-des, un buen y antiguo ejemplo de paradoja semántica, que podemos formularcomo: 'Esta oración es falsa' o 'Estoy mintiendo'. ¿Es verdad que la oración esfalsa, es verdad que miento? Pero, si es verdad que miento, entonces no miento.Luego si es verdad esta aseveración, entonces es falsa. Estas paradojas semánti-

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cas se producen cuando nos referimos en la misma afirmación a dos mundosdistintos, de tal manera, que en uno la oración es verdadera y en el otro falsa.

Otra famosa paradoja, minó desde sus orígenes la teoría de conjuntos. Laformula Russell de la siguiente manera: Un conjunto es una colección de cosas.Normalmente el conjunto entero no forma parte de sí mismo. Pero si decidimosunir en un conjunto a todos los conjuntos que no forman parte de sí mismo, ob-tendríamos el conjunto de todos los conjuntos que no forman parte de sí mismo,pero este conjunto , ¿forma parte de sí mismo o no?. No debería, pero si es elconjunto de todos los conjuntos de este tipo, entonces debería estar incluido en símismo.

Pero, ¿qué pasa con los barberos que no se afeitan a sí mismos? Si existenestos barberos habrá alguien que los afeite. Imaginemos que es uno solo. El bar-bero de todos los barberos que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo?Si no lo hace estará dentro del grupo al que afeita y entonces se afeitará a sí mis-mo, y si no está, entonces no se afeita a sí mismo y debería, por consiguiente,formar parte del conjunto. Difícil tarea tiene este barbero, quizá fuera mejor de-jarse barba.

Otra famosa paradoja es la de Zenón, aunque en este caso quizá sea unaporía, es decir, un argumento problemático, pues pareciendo perfectamente co-rrecto y sin tacha, produce un resultado completamente inadmisible.

Zenon de Elea: (aprox. 490-420 a.C.) discípulo de Parménides es conoci-do fundamentalmente por su aporías o paradojas sobre el movimiento. Fiel a sumaestro Parménides intentaba negar la posibilidad del movimiento, para lo cualconstruyó sus aporías. La más famosa es la de Aquiles y la Tortuga.

Si Aquiles retara a una carrera a una tortuga, dándola ventaja, Aquiles nola alcanzaría nunca. Porque para cuando Aquiles llegara al lugar alcanzado por laTortuga, ésta ya se habría desplazado hacia delante, y para cuando Aquiles llega-ra al nuevo lugar alcanzado por la Tortuga, ésta de nuevo habría avanzado otrotanto. En esta persecución, la tortuga alcanzaría la meta siempre antes que Aqui-les, aunque fuera por poco.

En principio este argumento contra el movimiento y otros semejantes quese le ocurrieron parecen definitivos y sólo hasta que la matemática moderna hacomprendido la idea de límite de una sucesión decreciente ha podido disolversela aporía. Comprendemos que la noción de aporía es un problema que se presentaal comparar lo que debería ocurrir según la razón y lo que ocurre en los hechosreales.

Para terminar de ejemplificar la noción de paradoja, podemos mencionarotra de un tipo distinto. La relata Proclos (aprox. 450 d.C). Proclos contaba queProtágoras, un sofista ilustre de la Atenas democrática, había enseñado a un dis-cípulo lo que era justo para que fuera un buen abogado y había pactado con élque no tenía que pagarle los estudios hasta que hubiera ganado un proceso. Pero,el discípulo al acabar los estudios no se hace cargo de ningún proceso para noganarlo. Protágoras razona y decide demandarlo. Si pierde -piensa Protágoras- eldiscípulo le tendrá que pagar según el acuerdo, y si gana cobrará por mandato deljuez. El discípulo, curiosamente, piensa que en ningún caso tendrá que pagar el

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coste de los estudios: Bien por el acuerdo tomado, o bien por la sentencia judi-cial.

Aunque los seres humanos tienen otras formas de producir nuevos cono-cimientos y razonan en muchas otras circunstancias para las que la lógica clásicano dispone de recursos, sin duda la existencia desde los tiempos de Aristóteles deun canon del razonamiento que produce una aceptación por su propia fuerza haconducido las maneras de hacer ciencia, de argumentar y convencer, en fin, depensar. La razón, esa propiedad del pensamiento humano, se construye y se em-plea argumentando y lo hace de tal manera que la propia fuerza del argumentoaúna posturas y convence, si somos racionales. La filosofía usa la lógica no sólopara articular o estructurar sus conocimientos, sino, sobre todo, para crearlos.Así, filosofía y lógica han ido históricamente de la mano.

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Pensamiento lógico y argumentación

Tema 9. Conceptos y juicios

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3 tipos de pensamiento• La lógica Aristotélica distingue:• El concepto: es una representación mental de un

objeto, sin afirmar ni negar nada de éste; normalmente lo expresamos a través de unanormalmente lo expresamos a través de una palabra. Ej. Árbol, amor, etc.

• El juicio: es la afirmación o negación de una idea respecto a otra. Es una frase con un verbo. Ej. El árbol es viejo, el amor es un sentimiento valioso, etc.

• El raciocinio: es la obtención de un conocimiento nuevo a partir de otros ya establecidos. Ej. En esta clase estoy nuevamente con Clara, por lo tanto va a ser una clase amena. Característico es que hay una partícula como “por lo tanto”, “en consecuencia”, etc.

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Operaciones mentales•Cuando un sujeto abstrae o aprehende un objeto a través de sus sentidos, entonces obtiene un concepto; cuando juzga obtiene un juicio;juzga, obtiene un juicio; cuando razona, obtiene un raciocinio.•La primera operación mental, de abstracción mental de un estímulo sensorial, ha sido muy estudiada por la psicologíapsicología.•¿Cómo puede el cerebro interpretar en conceptos mentales lo que sus sentidos perciben?

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Imagen tomada de: http://www.belairmusicstudios.com/images/neuroscience.jpg

¿5 sentidos?•Normalmente decimos que tenemos 5 sentidos (esto también nos viene de Aristóteles), pero algunos neurocientíficos hablan de 9 (sentido del equilibrio, del dolor, etc.) y de otros animales que tienen 2 más diferentes a los nuestros (detectar campos magnéticos de pájaros abejas etc y detectar campos eléctricos comopájaros, abejas, etc. y detectar campos eléctricos como los tiburones).

•Un “sentido” implica que tenemos un sistema con células sensoriales que responden a un tipo específico de energía física y que corresponde a una región definida e e g a s ca y que co espo de a u a eg ó de dadentro del cerebro donde las señales son recibidas e interpretadas. Por ej. El sentido de la visión implica que en el área que puede cubrir un ojo se detecta energía electromagnética y que el cerebro lo interpreta como una visión. Y aquí hay controversia de si esto es uno o 3 sentidos (color, brillantez, profundidad). 4

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Sentidos y lenguaje• La operación mental de abstraer un concepto de la

percepción sensorial de un objeto nos remite a considerar cómo los humanos adquirimos lenguaje.

• Parecería como si los bebés nacen con una capacidad innata para abstraer, ordenar por categorías y adquirir lenguaje; el lingüista Noam Chomsky propone hablar

Imagen tomada de: http://www.brainconnection.com/topics/?main=fa/language-acquisition

lenguaje; el lingüista Noam Chomsky propone hablar de una “Gramática Universal” como una capacidad común de todos los humanos de comprender un lenguaje de forma tal que la mayoría de los niños aprenden sin dificultad su lengua madre y pueden adquirir otras lenguas a través del estudio. 5

Esencia y accidente

•Llama la atención que la operación mental de abstraer conceptos, implica que la mente puede distinguir entre lo esencial de un objeto (es decir, lo necesario para que un objeto sea ese objeto y no otro) y sus accidentes (es d i l i i ddecir las cuestiones contingentes que pueden estar o no estar sin dejar de perder su esencia). •De manera que aunque la vista capta a un caballo negro y otro pinto, a uno grande y otro chico, a uno con 4 patas y a otro cojo, etc. Los niños pronto aprenden a utilizar el concepto “caballo” independientemente del caballo preciso que su ojo esté percibiendocaballo preciso que su ojo esté percibiendo.

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Imagen tomada de: http://www.horses.co.uk/images/horses_0688.html

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10 Categorías• Aristóteles distinguió que hay 10 categorías o formas

de comprender todos los conceptos que la mente puede aprehender. Una es una sustancia y las otras 9 son accidentes que pueden describir todos los seres posibles.

1. Sustancia. Todo aquello que existe en sí mismo y no en otro. Es lo que permanece a través de los cambios ocurridos; la esencia de algo. Ej. Un hombre específico, por decir, Juan Pérez

2. Accidente. Es todo aquello que pare ser necesita estar en otro. Son las modificaciones que ocurren en la sustancia. Y son de 9 tipos según Aristóteles.p g

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9 Accidentes1) Cantidad. Es aquello que puede dividirse de la

sustancia. Ej. 70 kilogramos.2) Cualidad. Es lo que hace a la sustancia estimable o

desestimable. Ej. Amable.3) Relación. Nos muestra cómo es la sustancia frente a )

otros. Ej. El hijo del carpintero.4) Acción. Es la actividad de la sustancia. Ej. Trabajando5) Pasión. Es lo que recibe la sustancia. Ej. Es aplaudido.6) Tiempo. Nos muestra cuánto ha permanecido la

sustnaci en la existencia. Ej. 20 años.7) Lugar. Espacio que ocupa o puede ocupar la sustancia.

Ej. Salón de clases.j8) Situación. Disposición de las partes de la sustancia en

un lugar. Ej. Sentado en la primera fila frente a la puerta.

9) Pertenencia o hábito. Es la posesión externa de un objeto por parte de la sustancia. Ej. Pantalón de mezclilla.

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Extensión y comprensión• Aristóteles también notó que nuestros conceptos

abarcan diferente número de objetos; por ejemplo, el concepto animal, abarca a más objetos que el

íconcepto carnívoro y por lo tanto tiene mayor extensión.

• La comprensión se refiere a las características necesarias para que un concepto se distinga de otro; por ejemplo, el concepto carnívoro tiene más características propias que lo distingan de otro tipo de animales como los ovíparos que la descripción delde animales como los ovíparos que la descripción del concepto animal.

• De aquí surge una ley lógica “a mayor extensión menor comprensión y viceversa”. Esto se comprende muy bien en lo que es conocido como “el árbol de Porfirio”. 9

Mayor extensión

menor comprensión

Árbol de Porfirio

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menor extensión

Mayor comprensión

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Más clasificaciones sobre los conceptos

• Con el árbol de Porfirio nos damos cuenta del tipo de clasificaciones que han hecho los lógicos; a partir de la impresión inmediata que dan los objetos a través de nuestros sentidos la mente las clasificaa través de nuestros sentidos la mente las clasifica en decenas de distintas maneras de acuerdo a cómo los aprehendemos, cuál es su extensión, su comprensión, su perfección, su relación con otros conceptos, etc.

• Por Ej., si los conceptos los aprehendemos de manera directa, indirecta o arbitrariamente. Hay conceptos universales, particulares, singulares, colectivos, universal, particular, complejos, abstractos, concretos, unívocos, ambiguos, contradictorios, idénticos, etc., etc., etc.

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Juicios• La mente forma conceptos, pero casi inmediatamente

pasamos a juzgar, lo que consiste en captar en un acto de conciencia dos percepciones, dos representaciones o relacionar dos conceptos.

• Traten de explicar esta frase: “sin juicios, no hay conocimiento”. Y por supuesto que lo que busca la mente es conocer, para poder manipular el medio ambiente y satisfacer sus deseos…

• Hay también muchas divisiones lógicas sobre los tipos de juicios por ejemplo: afirmativo y negativo; universalde juicios, por ejemplo: afirmativo y negativo; universal y particular; verdadero o falso; necesario o contingente; analítico o sintético; a priori o a posteriori; simple o compuesto. Estudiaremos algunas de estas divisiones.

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Racionalistas y empiristas• Todos los filósofos se han interesado por saber si hay

algún tipo de conocimiento que sea fundamental e independiente de nuestra experiencia particular, es decir, conocimiento a priori. Por ejemplo, si la creencia de que Dios existe nos viene desde que nacemosde que Dios existe, nos viene desde que nacemos…

• Los filósofos llamados racionalistas, piensan que sí. Por ejemplo, Descartes creía que la idea que le vino como una revelación: “pienso, por lo tanto existo” (en Latín cogito ergo sum) no le vino de ninguna experiencia anterior sino que fue un hallazgo mental.

• Los empiristas por otro lado proclaman que “no hay• Los empiristas, por otro lado proclaman que no hay nada en la mente que no haya pasado antes por los sentidos”. Es decir, que todo el conocimiento es a posteriori.

• La discusión sigue abierta… ¿tú qué piensas al respecto? 13

Juicios necesarios y contingentes

•El filósofo alemán Kant argumenta que los juicios a priori son necesariamente verdaderos, mientras que l j i i i i i d i

Imanuel Kant (1724-1804)

los juicios a posteriori son contingentes, es decir dependen de condiciones externas que pueden cambiar a través del tiempo y por lo tanto, algunos juicios que son verdaderos pueden volverse falsos de acuerdo a las circunstancias del momento.•Por ejemplo, si decimos “El Presidente de México es Vicente Fox”, esto será verdad entre el 2000 y el 2006, ypero no antes y no después. •Así, Kant añadió la idea de que los juicios pueden ser analíticos o sintéticos

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Juicios analíticos y sintéticos•Un juicio o afirmación es analítico cuando la verdad de esta afirmación se puede determinar a través del análisis del significado de sus palabras, sin necesidad de nada más. La negación de dicho juicio en sí mismo supone una contradicción; de manera que un juicio analítico es un juicio verdadero por definición, verdadero j p ,necesariamente, verdadero en cualquier mundo posible.•Por ejemplo: “Todos los gatos blancos son blancos”, y decir “No todos los gatos blancos son blancos” sencillamente no tiene sentido. Lo mismo con “La suma interna de los ángulos de un triángulo son 180 grados”•Los juicios que no son analíticos, y que por tanto su verdad o falsedad no puede establecerse con tan solo estudiar el significado de sus palabras se les llamaestudiar el significado de sus palabras se les llama “juicios sintéticos”.

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Imagen tomada de: http://www.thecatgallery.com/white_cats.html

En la siguiente diapositiva viene un cuadro que explica algunas distinciones hechas por Kant sobre los juicios.Reflexionen sobre la forma en que estas distinciones permitió a Kant establecer una teoría muy original sobre cómo conocemos la realidad. Según él no podemos conocer las cosas como son enSegún él no podemos conocer las cosas como son en realidad (noumenon), sino sólo como aparecen a nuestra percepción (fenómeno); esto es porque nuestra mente percibe a través de ciertas categorías (como la categoría que implica que todo objeto tiene un espacio y un tiempo). De manera que el contenido de la física de N t ( l hé d K t) l t áti bj t

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Newton (el héroe de Kant) y las matemáticas, son objetos de posible experiencia (fenómenos y sintéticos) pero al mismo tiempo conocibles a priori haciéndolos por tanto necesariamente verdaderos. Podemos entonces tener “juicios sintéticos a priori”.

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TIPOS DEJUICIOS

criterio utilizado

si el concepto predicado se incluye o no se incluye en el concepto sujeto

modo de averiguar su verdad o tipo de fundamentación

tipos

analíticosel concepto predicado se incluye en el concepto

sujeto

sintéticosel concepto predicado no se

incluye en el concepto sujeto

a priorise basan en el ejercicio

de la razón pura

a posteriori se basan en la experiencia

universales y necesarios

los a priori: universales y necesarios;

l l universales y necesarios particulares y contingentes

consecuencias

universales y necesarios los a posteriori: particulares y contingentes

universales y necesarios particulares y contingentes

no dan información nueva, son explicativos más que informativos

dan información nueva; son informativos más que

explicativos

los sintéticos: dan información nueva;

los analíticos: no dan información nueva

dan información nueva; son informativos más que

explicativos

ejemplos “el triángulo tiene tres ángulos” “los cuerpos son pesados” “3+4 = 7” “los perros son fieles”

juicios científicos juicios sintéticos a priori

fundamento tienen su origen en el ejercicio de la pura razón

legitimidad se refieren al ámbito de los fenómenos

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características universales y necesarios

ejemplo en geometría “la línea recta es la línea más corta entre dos puntos”

ejemplo en aritmética “3 + 4 = 7”

ejemplo en Física “acción y reacción son siempre iguales”

ejemplos en Metafísica“el hombre es libre”, “los hombres tienen un alma inmortal”; pero sus juicios sintéticos

a priori no son legítimos pues no se refieren a la realidad fenoménica sino a la nouménica

Cuadro tomado de: http://www.e-torredebabel.com/Historia-de-la-filosofia/Filosofiamedievalymoderna/Kant/Kant-JuiciosPriori.htm

Conclusión• Decir que nuestro pensamiento parte de conceptos,

construye juicios y después pasa a razonamientos, parecía una sugerencia bastante sencilla.

• Sin embargo, en esta sesión pudimos darnos cuenta que desde Aristóteles hasta Kant (por no mencionar los (plógicos del siglo XX como Frege, Gödel, Russell) esta sugerencia ha supuesto un análisis riguroso de todas las operaciones mentales mostrando divisiones específicas que nuestra mente lleva a cabo para poder razonar.

• Un razonamiento sencillo como “Si no estudio la clase, seguramente reprobaré el examen” puede ser desmenuzado lógicamente a tal punto que este análisis

t l ió t í d l i i tmuestre su relación con una teoría del conocimiento (epistemología), una teoría sobre lo que podemos o no podemos conocer (metafísica), una teoría sobre cómo la mente funciona (psicología, neurociencia). La cuestión puede ser tan profunda como uno esté dispuesto a entretenerla

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BibliografíaGutiérrez Saénz. Introducción a la lógica. México:

Esfinge,1981.

http://www.ilustrados.com/publicaciones/EpyZElVVplZhttp://www.ilustrados.com/publicaciones/EpyZElVVplZgdUlieI.php

http://www.e-torredebabel.com/Historia-de-la-filosofia/Filosofiamedievalymoderna/Kant/Kant-JuiciosPriori.htm

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http://plato.stanford.edu/entries/kant-judgment/

http://clientes.vianetworks.es/empresas/lua911/kantpre/Critica/Introducion/introdu4.html

Créditos:Créditos:

Dra. Martha Sañudo

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