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LOGICA

El estudio de la lógica es el estudio de los métodos y los principios usados para distinguir el

razonamiento correcto del incorrecto.

PROPOSICIONES

Una proposición es una oración o una sucesión de palabras de la cual tiene sentido afirmar

que sea verdadera o que sea falsa.

Ejemplos

(a) El sol es cuadrado

(b) Un triángulo tiene tres lados.

(c) Napoleón bebió 128gs de agua el 15 de julio de 1799.

Estas son proposiciones; (a) es falsa; (b) es verdadera y (c) no sabemos si es verdadera o

falsa (es algo desconocido) pero tiene sentido poder afirmar que es verdadera o falsa.

En cambio

(d) ¿Qué hora es?

(e) Avance

(f) ¡Adiós amigo!

(g) La cuchara sirve para

No son proposiciones, pues no tiene sentido decir que sean verdaderas o falsas

El carácter fundamental de una proposición es que o bien es verdadera, o bien es falsa, en

esto difieren de las preguntas, las ordenes y las exclamaciones. Solo es posible afirmar o

negar proposiciones.

La verdad o falsedad de una proposición se llama valor de verdad.

Si la proposición en cuestión es verdadera, diremos que su valor de verdad es V, si es falsa

diremos que su valor de verdad es F

Las proposiciones, se denotaran por las letras etc. y estas son proposiciones simples a

partir de las cuales es posible generar proposiciones compuestas

Así, por ejemplo, son proposiciones compuestas

(h) El sol es verde y 3 es un número primo

(i) El agua es incolora o es azul

(j) Si estudio entonces apruebo

Las proposiciones simples que las conforman son:

2

(h) p: El sol es verde q: 3 es un número primo

(i) p: El agua es incolora q: : El agua es azul

(j) p: Si estudio q: apruebo

es decir, las proposiciones compuestas están formadas de proposiciones simples conectadas

lógicamente por “y”, “o”, “entonces”, etc.

La propiedad fundamental de las proposiciones compuestas es que su valor de verdad está

determinado por completo por el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples y

por el modo como se reúnen para formar la proposición compuesta.

Una manera de analizar este valor de verdad es a través de una tabla que muestre todas las

posibilidades de las proposiciones simples y deducir así el valor de verdad de la proposición

compuesta.

OPERACIONES ENTRE PROPOSICIONES

CONJUNCION

Dos proposiciones cualesquiera se pueden combinar por medio de la letra “y” para formar una

proposición compuesta, que se llama conjunción. Simbólicamente se denota la conjunción de

dos proposiciones y por

El valor de verdad de la proposición compuesta satisface la condición:

“Si p es verdadera y q es verdadera, entonces es verdadera; en otro caso es

falsa”.

Es decir la conjunción de dos proposiciones es verdadera solamente si cada una de ellas

es verdadera

Ejemplo Sean las cuatro proposiciones siguientes:

1. París está en Francia y

2. París está en Italia y

3. París está en Italia y

4. Paris está en Francia y

De acuerdo a lo anterior solamente (4) es verdadera. Todas las demás son falsas porque al

menos una de las componentes es falsa.

La tabla de verdad es

3

V V V

V F F

F V F

F F F

DISYUNCION

Dos proposiciones cualesquiera se pueden combinar por medio de la letra “o” (en el sentido

de y/o) para formar una nueva proposición que se llama disyunción. Simbólicamente se

denota la disyunción de dos proposiciones y por

y se lee p o q.

Ejemplo Sea : él estudió francés en la universidad y sea ·: él vivió en Francia, entonces

es la proposición compuesta “El estudió francés en la universidad o él vivió en Francia”

El valor de verdad de la proposición compuesta satisface la condición:

Si p es verdadera o q es verdadera o si ambas p y q son verdaderas, entonces es

veradera; en otro caso es falsa.

Por tanto la disyunción de dos proposiciones es falsa solo si ambas proposiciones son

falsas, es decir, la disyunción de dos proposiciones es verdadera si al menos una de las

proposiciones es verdadera.

Ejemplo Sean las cuatro proposiciones siguientes:

1. París está en Francia o

2. París está en Italia o

3. París está en Italia o

4. París está en Francia o

Solo (3) es falsa, ya que ambas proposiciones simples son falsas. Todas las demás son

verdaderas.

La tabla de verdad es:

4

V V V

V F V

F V V

F F F

NEGACION

Dada una proposición , se puede formar otra proposición, que se llama negación de ,

escribiendo “Es falso que …” o “no es cierto que ...” insertando cuando es posible antes de

la palabra “no”. Simbólicamente se denota la negación por y se lee no

Ejemplos

1. Consideremos los cuatro enunciados siguientes

(a) París está en Francia

(b) Es falso que París está en Francia

(c) París no está en Francia

(d) En Francia no está Paris

(b) (c) y (d) son negación de (a)

2. Sea la proposición : “Todo hombre es honesto”

La negación de es

: No todo hombre es honesto

: No es cierto que todo hombre es honesto

: Hay hombres que no son honestos

: Existen hombres deshonestos

Ejercicio: Negar la proposición : “Existen números enteros impares”

El valor de verdad de la negación de una proposición depende de la siguiente condición

Si es verdadera, entonces es falsa, si es falsa, entonces es verdadera.

Es decir el valor de verdad de la negación de una proposición es siempre opuesto al valor

de verdad de la proposición.

V F

F V

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Equivalencia Lógica

Dos proposiciones se dicen lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son

idénticas. Se denota la equivalencia lógica de y por

Proposición

(a) ( )

(b) ( ) (leyes de De Morgan)

(c) ( ) (leyes de De Morgan)

Demostración

(a) El valor de verdad de y de ( ) es el mismo, por tanto son lógicamente

equivalentes

(b)

( )

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

(c) Demostración ejercicio.

IMPLICACION O CONDICIONAL

Muchos enunciados, principalmente en matemática, son de la forma “Si ”. Tales

enunciados se llaman condicionales y se les denota por ⇒

El condicional ⇒ se puede también leer:

( ) ( )

( ) ( )

( )

El valor de verdad de la proposición condicional resulta de:

( )

V F V

F V F

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El condicional ⇒ es falso solo si, es verdadero y es falso.

Es decir una proposición verdadera no puede implicar una falsa.

A la proposición se la denomina antecedente y a consecuente.

⇒

V V V

V F F

F V V

F F V

Ejemplos

1. ⇒ ( )

Esta implicación es verdadera por ser el antecedente falso

2. Intentar deducir la verdad o falsedad de la implicación siguiente en términos de la verdad o

falsedad de las proposiciones componentes

“Si apruebo el examen, entonces, te presto el apunte”

Sea : “apruebo el examen” y : “te presto el apunte”

Si es F, es decir, si no apruebo el examen entonces quedo liberado del compromiso de

prestar el apunte. Entonces preste o no preste el apunte la implicación es V. Es decir si el

antecedente es falso, la implicación es verdadera

Si es V, es decir, si apruebo el examen, y no presto el apunte, el compromiso asumido no se

cumple, y la implicación es F.

Si y son V, entonces la implicación es V porque el compromiso se cumple.

Proposición ⇒ .

Las tablas de verdad de ⇒ y muestran que son lógicamente equivalentes

⇒

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

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ENUNCIADOS CONDICIONALES

Sea la proposición condicional ⇒ y otras proposiciones condicionales simples que

contienen a , esto es ⇒ , ⇒ y ⇒ , que se llaman respectivamente,

recíproca, contraria y contrarrecíproca.

Las tablas de verdad de estas cuatro proposiciones son

Observamos que un enunciado condicional y su recíproco o su contrario no son, lógicamente

equivalentes. Sin embargo de acuerdo a la tabla podemos afirmar que

Teorema Un enunciado condicional ⇒ y su contrarrecíproco ⇒ son lógicamente

equivalentes, esto es ⇒ ⇒

Corolario ⇒ ⇒

Ejemplos

1. Sea A un triángulo, consideremos los siguientes enunciados

⇒ : Si A es equilátero, A es isósceles

⇒ : Si A es isósceles, A es equilátero

Notemos que es verdadero, pero es falso.

2. Demostrar que “Si es impar entonces es impar”

Sea : impar y sea impar

Lo demostraremos por la contrarrecíproca ⇒ , es decir “Si es par entonces es

par”.

Sea par, entonces , por tanto ( ) es también un número

par.

⇒ ⇒

Recíproca

⇒

Contraria

⇒

Contrarrecíproca

V V V V V V

V F F V V F

F V V F F V

F F V V V V

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Luego la contrarrecíproca ⇒ es verdadera, por tanto el condicional es

verdadero.

CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE

Si ⇒ es siempre V (verdadero), diremos que ⇒ es una implicación y que

es condición suficiente para y es condición necesaria para

Ejemplo Sea la proposición “si un número es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 3”

Si queremos inducir la verdad o falsedad de la implicación en términos del valor de verdad de

las proposiciones

: Si un número es múltiplo de 6

: Si un número es múltiplo de 3

Observamos que nunca se puede dar el caso en que sea V y sea F, por tanto la implicación

o condicional ⇒ es siempre V y se lee:

Si un número es múltiplo de 6 implica que es múltiplo de 3

Que un número sea múltiplo de 6 es condición suficiente para ser múltiplo de 3

Que un número sea múltiplo de 3 es condición necesaria para ser múltiplo de 6

Un número es múltiplo de 6 solo sí es múltiplo de 3

DOBLE IMPLICACION O BICONDICIONAL

Otro enunciado corriente es de la forma “ ” o más brevemente “ ”, tales

enunciados se llaman bicondicionales y se les denota ⇔

El valor de verdad de las proposiciones bicondicionales ⇔ obedece a la condición:

Si y tienen el mismo valor de verdad, entonces ⇔ es verdadera.

Es decir si y tienen valores de verdad opuestos, entonces ⇔ es falsa.

La tabla es

⇔

V V V

V F F

F V F

F F V

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Cuando la doble implicación es V, podemos leer ⇔ como: “ es condición necesaria y

suficiente para ”

La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca,

debido a que ( ⇒ ) ( ⇒ ) ⇔

TAUTOLOGIAS y CONTRADICCIONES

Definición Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera cualquiera sea el

valor de verdad de las proposiciones simples que la forman

Definición Una proposición compuesta es una contradicción si es falsa cualquiera sea el valor

de verdad de las proposiciones simples que la forman.

Ejemplos

(a)

Podemos comprobar realizando la tabla de verdad que la proposición compuesta es una

tautología, es decir el valor de verdad de es siempre V cualquiera sea el valor de

verdad de y de .

V F V

F V V

(b)

Podemos comprobar realizando la tabla de verdad que la proposición compuesta es una

contradicción, es decir el valor de verdad de es siempre F cualquiera sea el valor de

verdad de y de .

V F F

F V F

⇒ ⇒ ( ⇒ ) ( ⇒ ) ⇔

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

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(c) ⇒ Comprobar que es una tautología

(d) Un principio fundamental del razonamiento lógico, la ley del silogismo, dice que: “Si p

implica q y q implica r, entonces p implica r”.

*( ⇒ ) ( ⇒ )+ ⇒ ( ⇒ )

Es una tautología como podemos observar a través de la tabla

q r ⇒ ⇒ ( ⇒ ) ( ⇒ ) ⇒ *( ⇒ ) ( ⇒ )+ ⇒ ( ⇒ )

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Se necesitan 8 filas para abarcar todas las combinaciones de V y F para las tres proposiciones

simples

(e) *( ⇒ ) + ⇒ Modus Ponens

La tabla de verdad es

⇒ ( ⇒ ) *( ⇒ ) + ⇒

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Es una tautología.

Estos dos últimos ejemplos de tautologías, también llamadas leyes lógicas se usaran

habitualmente a la hora de realizar razonamientos.

Como una tautología es siempre verdadera, la negación de una tautología será siempre falsa,

es decir será una contradicción; y viceversa. En otras palabras

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Observación: Si es una tautología, entonces es una contradicción.

Observemos que si dos proposiciones son lógicamente equivalentes tienen los mismos

valores de verdad, luego teniendo en cuenta la doble implicación podemos afirmar

son lógicamente equivalentes si y solo si ⇔ es una tautologia

ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes

Teorema

Prop. lógicamente equivalentes Tautología Propiedad

( ) ⇔

⇔

Idempotencia

( ) ( )

( ) ( )

( )⇔( )

( ) ⇔ ( )

Conmutativa

( ) ( )

( ) ( )

( ) ⇔ ( )

( ) ⇔ ( )

Asociativa

( ) ( )⇔ Involución

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ⇔( ) ( )

( ) ⇔( ) ( )

Distributiva

( )

( )

( )⇔

( )⇔

Leyes de De

Morgan

⇒ ( ⇒ )⇔ ( ) Implicación

⇒ ⇒ ( ⇒ )⇔( ⇒ ) Contrarrecíproco

[( ) ]

[( ) ]

[( ) ] ⇔

[( ) ] ⇔

Ley de Absorción

⇔

⇔

⇔

⇔

Leyes de

Identidad

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Este teorema se puede demostrar construyendo las tablas de verdad correspondiente.

Demostración ejercicio.

Estas propiedades nos permiten demostrar que dos proposiciones son lógicamente

equivalentes sin necesidad de realizar las tablas de verdad.

Ejemplos

1 Mediante los resultados del teorema anterior, simplificar las siguientes expresiones

(a) ( )

( ) ( )

1 Ley de De Morgan 2 Involución

(b) ( ⇒ )

( ⇒ ) ( ) ( )

1 Implicación 2 Ley de De Morgan 3 Involución

(c) ⇒( )

⇒( ) ( ) ( ) ( ⇒ )

1 Implicación 2 Asociativa 3 Implicación

2 Simplificar los siguientes enunciados escribiéndolos en forma simbólica y expresándolos

verbalmente.

(a) No es verdad que las rosas son rojas implica que las violetas son azules

(b) No es verdad que él es bajo o pelado

Solución

(a) Sea “las rosas son rojas” y sea “las violetas son azules”. El enunciado dado se puede

simbolizar como ( ⇒ ).

Por el ejercicio anterior 1 (b) sabemos que ( ⇒ ) .

Luego el enunciado es lógicamente equivalente a “las rosas son rojas y las violetas no son

azules”

(b) Sea “él es bajo” y sea “él es pelado”. El enunciado dado se puede simbolizar como

( ) y ( ) . Luego el enunciado es lógicamente equivalente a ´él

no es bajo y no es pelado”

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3 Demostrar sin hacer uso de tablas las siguientes equivalencias lógicas

(a) ⇒ ⇒

⇒ ⇒

(b) ( )⇒ ( ⇒ ) ( ⇒ )

( )⇒ ( ) ( ) ( ) ( ⇒ ) ( ⇒ )

CUANTIFICADORES

FUNCIONES LOGICAS

Sea un conjunto dado, una función lógica sobre es una expresión que se denota por ( )

que tiene la propiedad que ( ) es verdadera o falsa para todo .

Ejemplos

1. En los números naturales , sea ( )

( ) es una función lógica sobre el conjunto de los números naturales

2. En los números naturales ( ) .

( ) es una función lógica sobre

3. En los números naturales , sea ( )

( ) es una función lógica sobre todo los números naturales

Podemos observar a través de los ejemplos que si ( ) es una función lógica definida sobre

un conjunto A, entonces ( ) puede ser verdad para todos los , para algunos o

para ningún .

Para cada asignación de dicho enunciado se convierte en una proposición

Ejemplo Sea ( ) entonces

( ) es una proposición verdadera

( ) es una proposición falsa

( ) es una proposición verdadera

A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones mediante un proceso

llamado de cuantificación.

Los cuantificadores asociados a la indeterminada son el cuantificador universal que lo

indicaremos (para todo ) y el cuantificador existencial (existe )

Una función proposicional ( ) sobre un conjunto cuantificada universalmente

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( ) ( ) o ( )

Es verdadera si y solo si todas las proposiciones asociadas a ( ) son verdaderas

Una función proposicional ( ) sobre un conjunto cuantificada existencialmente

( ) ( ) o ( )

Es verdadera solo si es verdadera para al menos una de las proposiciones asociadas a ( ) .

Ejemplos

(a) La proposición es verdadera porque se verifica para todo número

natural.

(b) La proposición ( ) es falsa, pues no se cumple para

(c) La proposición ( ) es verdadera porque se cumple para

(d) La proposición ( ) es falsa, pues no se cumple para ningún numero natural

NEGACION DE PROPOSICIONES QUE CONTIENEN CUANTIFICADORES

La negación de la proposición “Todo hombre es mortal” es “No todo hombre es mortal”

o bien “No es verdad que todo hombre es mortal”; o “existe al menos un hombre que no es

mortal”.

Sea M el conjunto de los hombres, simbólicamente la proposición se puede escribir

( )

La negación seria

( ) ( )

Si ( ) significa “ ” se puede escribir

( ( )) ( )

En general se cumple el siguiente

Teorema Sea un conjunto

1. ( ( )) ( ( ))

2. ( ( )) ( ( ))

Es decir que el enunciado 1. “No es verdad que, para todo de , ( ) es verdadero” es

equivalente al enunciado “existe un de tal que ( ) es falso”

De igual modo el enunciado 2. “No es verdad que existe un de tal que ( ), es

verdadero” es equivalente al enunciado “para todo de , ( )es falso”

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Ejemplos

(a) La negación de “Para todo número natural , es equivalente a existe un tal

que ”, es decir

( )

(b) La negación “existe un planeta habitable” es “Todo los planetas son inhabitables”

Sea P el conjunto de los planetas, entonces en símbolos

( )

(c) Sea ( ) , consideremos las proposiciones

( )

Es falsa porque no existe ningún número real

( )

Es verdadera porque existe el complejo tal que ( ) (también existe

el complejo tal que ( ) ).