UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS

FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

Ecuaciones Diferenciales MAT 525223

Practico No 8

Problema 1.

Caracterizar le movimiento de los siguientes modelos y esbozar el grafico de x(t):

a. x(t) + 5x(t) + 4x(t) = 0, x(0) = 1, x(0) = 1.

b. Una masa que pesa 16 libras se une a un resorte de 5 pies de largo. En equilibrioel resorte mide 8,2 pies. Si al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto2 pies arriba de la posicion de equilibrio, encuentre los desplazamientos x(t) si sesabe ademas que el medio circundante ofrece una resistencia numericamente igual ala velocidad instantanea.

En el caso que corresponda utilizar las funciones hiperbolicas.

Problema 2.

Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies un resorte. Suponiendo que ua fuerza amortiguadaque es dos veces la velocidad instantanea actua sobre el sistema, determine la ecuacion delmovimiento si la masa inicial se libera desde la posicion de equilibrio con una velocidadascendente de 3 [pies/seg]. Esbozar la grafica del desplazamiento en todo tiempo.

Problema 3.

Demuestre que la corriente i(t) en un circuito LRC en serie satisface la ecuacion diferencial:

L

d

2

i

dt

(t) +R

di

dt

(t) +1

C

i(t) = E

0(t)

donde E

0(t) es la derivada de E(t) el voltaje aplicado. Escribir la solucion general ho-mogenea en la forma de una sinusoide general amortiguada. Identificar el coeficiente deamortiguacion.

1

Guıa de Ejercicios N

o

7

a. Construir la solucion general de las siguientes EDOL:

a) 6x2y00(x) + 5xy0(x)� y(x) = 0.

b) 2x3y000(x) + 19x2y00(x) + 39xy0(x) + 9y(x) = 0.

c) x

2

y

00(x)� 4xy0(x) + 6y(x) = 2x4 + x

2

.

d) x

2

y

00(x)� xy

0(x) + y(x) = x

3

.

b. Construir la solucion del PVI:

y

00(t) + w

2

y(t) = 2 cos2(wt

2

), y(t0

) = y

0

, y

0(t0

) = y

1

c. Resolver el sistemas de ecuaciones resolviendo dos ecuaciones de segundo orden:

dx

dt

= 2x� y

dy

dt

= x

d. La temperatura u(r) es el anillo circular 0 < a < r < b se determina a partir delPVC:

r

d

2

u

dr

2

(r) +du

dr

=d

dr

✓r

du

dr

◆(r) = 0, u(a) = u

a

u(b) = u

b

.

Establecer que

u(r) =u

a

ln(r/b)� u

b

ln(r/a)

ln(a)� ln(b).

e. Considere un sistema masa resorte libre no amortiguado, con constante de resorte,k = 10[ libras

pie

]. Determine la masa m que puede sujetarse al resorte de manera quecuando se libere en la posicion de equilibrio en t = 0 con velocidad inicial v

0

, pasepor la posicion de equilibrio en t = 1 segundo. ¿Cuantas veces atravesara la masa laposicion de equilibrio en el intervalo de tiempo 0 < t < 1?

f. Determinar el valor de m tal que el desplazamiento de la masa pase por el punto deequilibrio en t = 1 segundo si consideramos el sistema masa resorte amortiguado:

mx

00(t) + 2x0(t) + 10x(t) = 0, x(0) = 0, x

0(0) = v

0

.

g. Considere dos esferas de radios r = a y r = b con 0 < a < b. En la region localizadaentre las esferas, la temperatura, u(r), se determina a partir del PVC:

ru

00(r) + 2u0(r) = 0, u(a) = u

0

, u(b) = u

1

Resuelva para u(r) multiplicando la ED previamente por r.

13/10/14FMC/FPV/fpv

2