1oLista de exercıcios de calculo C

1. Calcule

∫∫D

f(x, y) dxdy, se:

(a) f(x, y) = x2y3 e R = [0, 1]× [0, 1]

(b) f(x, y) = (x+ y)2(x2 − y2) e R = [0, 1]× [0, 1]

(c) f(x, y) = x2 + 4 e R = [0, 2]× [0, 3]

(d) f(x, y) =x2

y2 + 1e R = [−1, 1]× [−1, 1]

(e) f(x, y) = exy(x2 + y2) e R = [−1, 3]× [−2, 1]

(f) f(x, y) = 2x+ k2y e R = [−2, 2]× [−1, 1]

(g) f(x, y) = x2 − y2 e R = [1, 2]× [−1, 1]

2. Calcule o volume do limitado superiormente pelo grafico da funcaoz = f(x, y) e inferiormente pelo retangulo dado.

(a) z =√

9− y2 e R = [0, 4]× [0, 2]

(b) z = x2 + y2 e R = [−2, 2]× [−3, 3]

(c) z = acos(x) + bsen(2y) e R = [0, π2]× [0, π

2]

(d) z = xsen(y) e R = [0, π]× [0, π]

3. Calcule as integrais a seguir sabendo que regiao D e limitadas pelascurvas dadas:

(a)

∫∫D

y dxdy, y = 2x2 − 2 e y = x2 + x

(b)

∫∫D

xy dxdy,x2

a2+y2

b2= 1 e x, y ≥ 0

(c)

∫∫D

ydxdy

1 + x2, y = x2 e y = 1

(d)

∫∫D

y dxdy, y = 2x2 − 2 e y = x2 + x

(e)

∫∫D

ex+y dxdy, y = 0, y = x− 1, x = 1 e x = 0

(f)

∫∫D

xcos(y) dxdy, y = 0, y = x2 e y = 1

(g)

∫∫D

(x2 + 2y) dxdy, y = 2x2 e y = x2 + 1

1

(h)

∫∫D

sen(y)

ydxdy, y = x, y = 1, x = 0 e x = 1

(i)

∫∫D

cos(y3) dxdy, y =√

(x), y = 2 e x = 0

4. Determine o volume do solido limitado por z = 2x + 1, x = y2 ex− y = 2.

5. Calcule o volume do solido que esta acima do plano xy e e limitado porz = x2 + 4y2 e x2 + 4y2 = 4.

6. Calcule o volume do solido pela intersecao dos cilindros x2 + y2 = a2 ex2 + z2 = a2.

7. Considere a aplicacao definida por

x = uv e y = v − u

(a) Determine a imagem D do plano xy do retangulo R no plano uvde vertices (0, 1), (1, 1), (1, 2) e (0, 2).

(b) Calcule a area de D.

8. Utilizando a mudanca de variaveis x = u+ v e y = u− v, calcule:∫ 1

0

[∫ 1

0

(x2 + y2)dx

]dy

9. Utilizando a mudanca de variaveis x+ y = u e x− y = v, calcule:∫∫D

(x+ y)2(x− y)2)dxdy,

Onde D e limitado pelo triangulo de vertices (1, 0), (2, 1) e (0, 1).

10. Utilizando a mudanca de variaveis u = x− y e v = x+ y, calcule:∫∫D

(x2 − y2)sen2(x+ y)dxdy,

Onde D = {(x, y)/− π ≤ x+ y ≤ π,−π ≤ x− y ≤ π} .

11. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas

(a)

∫∫D

e(x2+y2)dxdy, D = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}.

2

(b)

∫∫D

ln(x2+y2)dxdy, D = {(x, y)/x > 0, y > 0, a2 ≤ x2+y2 ≤ b2}.

(c)

∫∫D

sen√

(x2 + y2)√(x2 + y2)

dxdy, ondeD e limitada pelas curvas x2+y2 =

π2

4e x2 + y2 = π2.

12. Mostre usando a integral dupla que o volume de uma esfera de raio a

e V =4πa3

3.

13. Mostre usando a integral dupla que area da regiao limitada pela curvax2 + (y − 1)2 = a2 e πa2.

14. Determine o centro de massa da lamina plana R, no plano xy e densi-dade dada f :

(a) R e limitada por x2+y2 = 1 no primeiro quadrante e f(x, y) = xy.

(b) R e limitada por y = x e y = x2 e f(x, y) = x2 + y2.

15. Calcule o valor medio da funcao f(x, y) = x2 + y2 na regiao R dadapor R = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 4}.

16. Calcule o valor medio da funcao f(x, y) = ln(x2 +y2) na regiao R dadapor R = {(x, y)/1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.

17. Calcule as seguinte integrais triplas:

(a)

∫∫∫W

zdxdydz, onde W e a regiao do primeiro octante limitada

pelos planos y = 0, z = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 e o cilindrox2 + z2 = 4.

(b)

∫∫∫W

xy2z3dxdydz, onde W e a regiao do primeiro octante limi-

tada pela superfıcie z = xy e os planos y = x, x = 1 e z = 0.

(c)

∫∫∫W

zdxdydz, onde W e a regiao limitada pelas superfıcies z =√x2 + y2, y = x2, z = 0 e y = 1.

(d)

∫∫∫W

ycos(x+z)dxdydz, onde W e primeira regiao limitada pelo

cilindro x = y2 e os planos x+ y = π2

e z = 0.

18. Calcule o volume dos solidos W descrito abaixo.

3

(a) W e limitado pelo cone z =√x2 + y2 e o paraboloide z = x2 +y2.

(b) W e limitado pelas superfıcies z = 8− x2 − y2 e z = x2 + 3y2.

(c) W e limitado pelas superfıcies z = 4−x2−y2 e z = y, esta situadono interior do cilindro x2 + y2 = 1 e z ≤ 0.

19. Calcule as integrais a seguir, usando o teorema de mudanca de variaveis.

(a)

∫∫∫W

zdxdydz, onde W = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥

0, x2 + y2 ≥ 1

4}.

(b)

∫∫∫W

xyzdxdydz, onde W = {(x, y, z) ∈ R3/x2

a2+y2

b2+z2

c2≤

1, x ≥, y ≥ 0, z ≥ 0}.

(c)

∫∫∫W

zdxdydz, onde W e o solido limitado pelas superfıcies z =√x2 + y2, z =

√3(x2 + y2) e z2 + x2 + y2 = 4.

(d)

∫∫∫W

dxdydz

x2 + y2 + z2dxdydz, onde W = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 +

z2 ≤ 2y, z ≥√x2 + y2, y ≥ x, x ≥ 0}.

(e)

∫∫∫W

xdxdydz, onde W = {(x, y, z) ∈ R3/4 ≤ x2 + y2 + z2 ≤

9, z ≥ 0, x ≥ 0}.

(f)

∫∫∫W

dxdydz

z2, onde W e o solido limitado pelas superfıcies z =√

x2 + y2, z =√

1− x2 − y2 e z =√

4− x2 − y2.

20. Calcule

∫∫∫W

√x2 + y2 + z2dxdydz, onde W e o solido limitado supe-

riormente pela esfera x2 + y2 + (z − 12)2 = 1

4e inferiormente pelo cone

z =√x2 + y2.

21. Determine o volume do solido limitado por z = 9 − x2 − y2 e z =1 + x2 + y2.

22. Sabendo que a densidade em cada ponto de um solido W e dada por

f(x, y, z) =1

x2 + y2 + z2, determine a massa de W quando

W = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 ≤ 9, x2 + y2 + z2 ≥ 2y}.

4