UniversidadeFederaldeSergipe-UFSCentrodeEnsinoSuperior`aDist ancia-CESADC alculoIII-Exerccios-Aula5ProfessorLeandroFavacho1. Utilize as coordenadas cilndricas para calcular a integral tripla_ _ _E_x3+ xy2_dV ,onde Ee o solido do primeiro octante que est a abaixo do paraboloide z= 1 x2y2.Solucao Aintersecc aodoparaboloidez=1 x2 y2comoplanoxyeocrculox2+ y2= 1,eassim,D =_(x, y) R2|x2+ y2 1_.Emcoordenadaspolares,podemosrepresentarDcomosegueD =_(r, ) |0 2, 0 r 1_Note que 0 2pois a projec ao do solido Eno plano xyest a no primeiro octante.Logo,usandocoordenadascilndricas,podemosrepresentarEcomosegue:E=_(r, , z) |0 2, 0 r 1, 0 z 1 r2_.Portanto_ _ _E_x3+ xy2_dV =_/20_10_1r20_(rcos)3+ (rcos) (rsen)2rdzdrd=_/20_10_1r20r4cos3 + r4cossen2dzdrd=_/20_10_r4_cos3 + cossen2_zz=1r2z=0drd=_/20_10r4_cos3 + cos_1 cos2_ _1 r2_drd=_/20_10r4(cos)_1 r2_drd=_/20_10cos_r4r6_drd=_/20_cos_r55 r77__r=1r=0d=_/20cos_15 17_d=_235sen_/20=235.12. Utilizeascoordenadascilndricasparacalcularovolumedaregi aoElimitadapelosparabol oidesz= x2+ y2ez= 36 3x23y2SolucaoOsparaboloidesseintersectamquandox2+ y2= 36 3x23y24x2+ y2= 36 x2+ y2= 9Logo,D= {(x, y) |x2+ y2 9},que,emcoordenadaspolares,podeserrepresentadoporD = {(r, ) |0 2, 0 r 3}AssimE=_(r, , z) |0 2, 0 r 3, r2 z 36 3r2_PortantoV(E) =_ _ _E1dV=_20_30_363r2r2rdzdrd=_20_30[rz]z=363r2z=r2drd=_20_30r_36 3r2_r3drd=_20_3036r 3r3r3drd=_20_18r2r4r=3r=0d=_20162 81d = 162.3. Utilizeascoordenadasesfericasparacalcularovolumedos olidoEqueest aacimadoconez=_x2+ y2eabaixodaesferax2+ y2+ z2= 1.Solucao Escrevendoaequac aodaesferaemcoordenadasesfericas,obtemos2= x2+ y2+ z2= 1 = 1Alemdisso,aequacaodoconepodeserescritacomocos =_2sen2cos2 + 2sen2sen2=_2sen2= sen cos = sen =4.2Logo, podemos representar o s olido E, em coordenadas esfericas, da seguinte maneira:E=_(, , ) |0 2, 0 4, 0 1_PortantoV(E) =_ _ _E1dV=_20_/40_102senddd=_20_/40_33sen_=1=0dd=_20_/40sen3dd=_20_cos3_=/4=0d=_2026+13d =_2 23_.ExercciosPropostos1-Acheovolumedos olidonoprimeirooctante,limitadopelocilndrox2+ y2= 1epeloplanoz= x.2 - Ache o volume do s olido limitado pelo parabol oide x2+y2+z= 12 e pelo plano z= 8.3- Ache ovolume dos olidointerno` aesferax2+y2+z2=4z e acimadoconex2+ y2= z2.SugestoesParaositens1e2,usecoordenadascilndricasenoitem3coordenadasesfericas.Bibliograa-Stewart,James. Calculo,volume2,EditoraCengageLearning,SaoPaulo,2008.- Pinto, Diomara. Calculo diferencial e integral de func oes de varias vari aveis./ DiomaraPintoeMariaC andidoFerreiraMorgado. 3ed. RiodeJaneiroEditoraUFRJ,2008.3