1

CAPÍTULO I La Línea Recta

Problema 1:

(i) Si se tiene seis puntos colineales, A, B, C, D, E, F. ¿Cuántos segmentos determinan estos puntos?

Solución: Se trata de seis puntos A,…F, distintos, dispuestos “de izquierda a derecha” en una recta. Recordamos que cada par de puntos distintos define un segmento. El punto A se combina con los demás para constituir los segmentos AB, AC, AD, AE, AF, en total 5 segmentos. Análogamente B se combina con C, D, E, F, para dar 4 segmentos, C conjuntamente con D, E, F da 3 segmentos, D con E y F da 2 y finalmente E con F da 1 segmento. Tenemos pues en total 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 segmentos.

(ii) Si en vez de 6 puntos colineales se tiene un número arbitrario n. ¿Cuántos

segmentos pueden formarse? 2

)1( nn −

(iii) Ídem, si en vez de ser colineales los puntos A,…F, están dispuestos al azar

en el plano. OBSERVACIÓN (1): Nada de especial tiene en este caso el número 6, podría igualmente bien pensarse en n puntos dispuestos arbitrariamente en el plano. Al nombrarlos, tendremos el polígono P1 P2,…, Pn. Si llamamos “diagonales” a los segmentos que no son lados del polígono, o sea distintos de P1 P2,…,Pn P1, ¿cuántas diagonales tiene el polígono de n lados? NOTA: Los polígonos se distinguen según el número de sus lados. Para el menor número posible, n = 3, se tiene el triángulo; para n = 4 el cuadrilátero; para n = 5 el pentágono, etc. Si A,…, F (en ese orden) son puntos concíclicos, (sobre una circunferencia). ¿Cuántos arcos AB,… pueden formarse? La pregunta es más sutil ya que los “segmentos” son ahora arcos de círculo, que notaremos por AB,…, pero los “segmentos” AB y BA son distintos. Los n puntos concíclicos definen un n-ágono inscrito.

2

PROBLEMA 2: Dado un segmento AB, se pide otro segmento, CD igual a AB.

SOLUCIÓN: Existe una infinidad de segmentos iguales o congruentes con AB: basta tomar un punto cualquiera C del plano y elegir un punto D de la circunferencia de radio AB y centro C. En particular, si se quiere que el segmento CD sea colineal con AB, tómese C sobre la recta AB, D estará a la izquierda o a la derecha de C. OBSERVACIÓN (2): Si AB = CD, ambos segmentos poseen una medida común, es decir, ambos tienen la misma longitud. Si m es el patrón de medida, a AB y CD podemos atribuirles el mismo múltiplo, mx, de m. Por ejemplo, x centímetros, o x metros. OBSERVACIÓN (3): La suma de dos segmentos colineales, AB y BC está definida por la identidad: AB + BC = AC Nótese que ambos segmentos coinciden en el extremo B. Además que la anterior definición obliga a la convención siguiente: AB + BA = AA = 0 AA no es ningún segmento, por eso es natural convenir en que BA = -AB. Por lo tanto, podemos escribir la primera identidad en la forma: AB + BC + CA = 0, O en general: AB + BC + … + YZ + ZA = 0, AB + BC + … + YZ = AZ

3

Todavía, conocida la identidad AB = BC, podemos sumar dos segmentos iguales: AB + AB = AB + BC = AC = 2AB, en general: AB + AB + … + AB = nAB Si los segmentos quedan representados por sus magnitudes, las cuales cumplen las reglas del álgebra; el lector reconoce las identidades a + a + … + a = na, a + (-a) = 0 PROBLEMA 3: Dibuje sobre una recta los segmentos AB = BC = CD = DE y compare AC y BE con AB, AD y AE.

SOLUCIÓN “Comparar” significa resolver, por ejemplo, las ecuaciones: AC = x1AB = y1AD = z1AE La solución de estas ecuaciones es evidente si se mira el gráfico: EJERCICIO 1 Dado el segmento MN, se pide dibujar los segmentos: 2MN/7, MN/3, 3MN/5. EJERCICIO 2: El álgebra de los segmentos que hemos introducido es paralela al álgebra de los números. Así las ecuaciones pueden plantearse en el lenguaje de los segmentos. El lector no tendrá dificultad en resolver la siguiente cuestión planteándose las ecuaciones correspondientes. Si A, B, C, D son colineales (cada punto a la derecha del anterior), BC excede a AB en 3 cm y CD excede a AB en 2 cm. Se pide los largos de AB, BC y CD sabiendo que AD mide 16 cm. No estamos todavía en condiciones de abordar el siguiente problema, por otra parte muy natural.

4

¿Cómo dividir un segmento dado en cierto número de partes iguales?. No obstante, podemos resolver los dos problemas que siguen. EJERCICIO 3: Sean 0, A, B, con A entre 0 y B colineales. Demuestre que el punto M definido por 0M

=( )

2

00 BA + es el punto medio de AB. (Es decir que AM = MB).

EJERCICIO 4

Si 0M = ( )

3

020 BA +, muestre que la longitud de AM es la tercera parte de la de AB.

OBSERVACIÓN (4): Una recta en la cual se ha destacado un punto 0 con el objeto de decidir si un punto cualquiera se encuentra “a la izquierda” o “a la derecha” de 0, se dice orientada. Si la longitud del segmento 0A es a, se dice que a es la abscisa del punto A sí A se encuentra “a la derecha” de 0. El punto A1 de abscisa –a es entonces el simétrico de A con respecto al punto 0. En términos de las abscisas a de A y b de B la longitud del segmento AB es:

| a – b | = a – b sí a > b b – a sí a <b o sí a = b

Se reconoce la noción de “valor absoluto” de un número que se puede interpretar aquí como medida o tamaño. Sobre la base de la observación anterior puede resolverse el siguiente ejercicio. EJERCICIO 5: A1 es el simétrico de A con respecto al punto I si I es el punto medio del segmento A1A. Calcúlese la abscisa a1 del punto A1 en términos de las de A e I. ¿Qué definición daría del punto A2 = (A1)1, el simétrico del simétrico de A? EJERCICIO 6: Sobre un eje orientado de origen O, se da dos puntos A y B de abscisas a = 3 y b = 5, calcúlese la abscisa x de un punto X del eje que satisface la relación: XA + 40A - 2BX = 0 (En términos de abscisas XA es a – x, etc.) EJERCICIO 7: Sí A1, B1, C1 son respectivamente los simétricos de los puntos A, B, C con respecto al punto I, el punto medio de OA, calcúlese a1, b1, c1 sí a = -15, b = 12, c = -2.

Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.