limites imp
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Lmites de funciones reales de variable real
Cesar Asensio, Luis M. Esteban y Antonio R. Laliena
Dpto. Matematica Aplicada
E.U.P.L.A.
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Lmites 1 / 20
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Indice
1 El concepto de lmite
2 Calculo de lmites
3 Tecnicas de eliminacion de indeterminaciones
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Definicion
Un mnimo de lenguaje topologico
Entorno de x0: cualquier conjunto que contenga a (x0, x0+).
x( )x0
Entorno reducido de x0: conjunto obtenido al eliminar x0 de unode sus entornos.
x( )x0
Semientorno por la derecha de x0: cualquier conjunto que contengaa [x0, x0 + ).
x)[
x0
Semientorno por la izquierda de x0: cualquier conjunto quecontenga a (x0 , x0].
x](x0
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Definicion
Un mnimo de lenguaje topologico (2)
Semientorno reducido por la derecha o izquierda.
x)
x0 x(
x0
Entorno de : cualquier conjunto que contenga a (a,),respectivamente (, a).R = R {,}.
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Definicion
Definicion
f : D R R, D al menos entorno reducido de x0 R.lmxx0 f(x) = l RPara cualquier entorno Vl de l hay un Ux0 , entorno reducido de x0,cumpliendo
f(Ux0) Vl
y
x( )x0
^
_
l La grafica de la funcion esta en la zona coloreada
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Definicion
Primeras propiedades
NOTAS:1 En lenguaje menos tecnico, la definicion de lmite nos dice que
cuando nos acercamos a x0 (por el eje de abcisas) las imagenes seacercan a l (por el eje de ordenadas).
2 No importa lo que suceda en x0, solo en sus alrededores.
3 Notacion f(x)xx0 l.
PROPIEDADES:1 Unicidad.
2 Existencia de lmite = acotacion.
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Definicion
Lmites laterales
f : D R R, D al menos semientorno reducido de x0 R por laderecha (izquierda).
lmxx+0 f(x) = l R (lmxx0 f(x) = l R)Para cualquier entorno Vl de l hay un Ux0 , semientorno reducido de x0por la derecha (izquierda), cumpliendo
f(Ux0) Vl.
NOTAS: Con mnimos cambios, las del lmite.
PROPIEDADES:1 Con mnimos cambios, las del lmite.2 El lmite existe si y solo si existen los laterales y son iguales.
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Definicion
Lmites infinitos y en el infinito
Analogamente (ejercicio)
lmxx0
f(x) = ,
lmxx0
f(x) = ,
lmx f(x) = l R,
lmx f(x) = .
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Calculo de lmites
Aritmetica de lmites
f, g : D R R, D al menos entorno reducido de x0 R.Teorema
Si existen lmxx0 f(x) = l R y lmxx0 g(x) = m R, entoncesexisten y valen
1 lmxx0(f(x) + g(x)
)= l +m, salvo el caso ,
2 lmxx0(f(x)g(x)
)= lm, salvo el caso 0,
3 lmxx0(f(x)/g(x)
)= l/m, salvo los casos / y 0/0,
(g(x) 6= 0),4 lmxx0
(f(x)g(x)
)= lm, salvo los casos 1, 00 y 0,
(f(x) > 0).
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Calculo de lmites
Aritmetica de lmites (2)
Observaciones:
1 Lo que el anterior Teorema dice es que, a efectos practicos, loslmites se pueden calcular sustituyendo x0 en la expresion de la quehay que calcular el lmite.
2 Ejemplo:lmxpi
(x2 + sinx
)= pi2 + sinpi = pi2.
3 Indeterminaciones: , 0, /, 0/0, 1, 00 y 0.4 Ejemplo:
lmx0
x2
sinx=?,
ya que aparece un 0/0.
5 Aparecen operaciones que involucran infinitos,...
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Calculo de lmites
Aritmetica de infinito
SUMA
+ a ?b a+ b ?
Ejemplo:lmx
(x+ 3
)=+ 3 =.
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Calculo de lmites
Aritmetica de infinito (2)
PRODUCTO a, b > 0
* a 0 a ? b ab 0 ab 0 ? 0 0 0 ?
b ab 0 ab ?
Ejemplo:
lmx
(x2 3x) = lm
x(x 3)x = =.
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Calculo de lmites
Aritmetica de infinito (3)
COCIENTE x/y. a, b > 0
y \ x a 0 a ? 0 0 0 ?b a/b 0 a/b 0 * * ? * *
b a/b 0 a/b ? 0 0 0 ?
Ejemplo:
lmx
x2 3x2x+ 1
= lmx
x23xx
2x+1x
= lmx
x 32 + 1/x
= 32 + 0
=.
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Calculo de lmites
Aritmetica de infinito (4)POTENCIA xy. a, b > 0
y \ x 0 0 < a < 1 1 a > 1 ? 0 0b ab 1 ab 00 ? 1 1 1 ?
b 0 ab 1 ab 0 0 ?
Ejemplo:
lmx0+
(x+ 12
) 1x =
(12
)= 0.
Nota: Para calcular estos lmites puede ser util la identidad
f(x)g(x) = eg(x) ln f(x).
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Calculo de lmites
Calculo de lmites con wxMaxima
wxMaxima permite calcular lmites con la orden (accesible desde lapestana Analisis) limit.
Por ejemplo,
limit((x+1/2)^(1/x), x, 0,plus);
calcula el lmite del ultimo ejemplo.
Ejercicio: Calcular con wxMaxima los lmites
lmx
(x+ 3
), lm
x(x2 3x), lm
xx2 3x2x+ 1
.
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Equivalencias
Ordenes de infinitos
OBJETIVO: Comparar infinitos.
Ordenes de infinitos: ord xx0 [f(x)] > ord xx0 [g(x)]
significa
f(x), g(x)xx0 con f(x)/g(x) xx0 .
Se cumple (x)
ord [(lnx)p] < ord [xq] < ord [rx] < ord [xtx]
para p > 0, q > 0, r > 1, t > 0.
Ejemplo:
lmx
lnx
x= 0.
Cuanto vale lmxln(lnx)x ?.
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Equivalencias
Equivalencias
f(x) g(x) para x x0g(x)
f(x)
xx0 1.
Por ejemplo,x+ 1 1 x/2 para x 0 ya que
lmx0
x+ 1 1x/2
= lmx0
x+ 1 1x/2
x+ 1 + 1x+ 1 + 1
= lmx0
x12x(x+ 1 + 1)
= 1.
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Equivalencias
Utilidad de las equivalencias
Principio de sustitucion
Si f(x) g(x) para x x0 entonces
lmxx0
f(x)(x) = lmxx0
g(x)(x),
lmxx0
(x)
f(x)= lm
xx0(x)
g(x),
siempre que los lmites de la derecha existan.
En lenguaje menos tecnico, en un lmite se puede sustituir una expresionpor otra equivalente si la parte sustituida multiplica (divide) a todo elresto del lmite, es decir a la parte no sustituida.
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Equivalencias
Ejemplo de utilizacion de equivalencias
Se sabe que sinx x para x 0 y as podemos sustituir
lmx0
(x+ 1) sinxx+ 1 1 = lmx0
(x+ 1)xx+ 1 1 ,
por aplicacion del Principio de sustitucion.
En el lmite
lmx0
x+ sinxx+ 1 1
no se puede sustituir sinx por x invocando el Principio de sustitucion.
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Equivalencias
Unas cuantas equivalencias
u(x)xx0 1
lnu u 1.
(x)xx0 0
ln(1 + ) ,a 1 ln a, (a ln a+ 1),sin tan arcsin arctan ,1 cos 2/2, (cos 1 2/2).
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El concepto de lmiteClculo de lmitesTcnicas de eliminacin de indeterminaciones