Límites y continuidad de funciones de varias variables El espacio euclídeo Rn

– 243 –

Límites y continuidad de funciones de va-rias variables

10

10.1 El espacio euclídeo Rn 243 10.2 Funciones de varias variables 246 10.3 Límitefuncional 248 10.4 Continuidad 249 10.5 Extremos absolutos 250 10.6 Ejerci-cios 251

10.1 El espacio euclídeo Rn

(a,b)

aa

bb

Figura 10.1 Coor-denadas cartesian-das en dos dimen-siones

El espacio euclídeo Rn es el producto cartesiano de n copias de R, o sea,

Rn =�(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1,2, . . . , n

�= R×R×

n����. . . ×R

10.1.1 Estructura de espacio vectorial

Tenemos definidas una suma y un producto por escalar en Rn de la manera siguiente:

(x1, x2, . . . , xn)+ (y1, y2, . . . , yn) = (x1 +y1, x2 +y2, . . . , xn +yn),λ (x1, x2, . . . , xn) = (λx1,λx2, . . . ,λxn),

para cualesquiera (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn, λ ∈ R.

Observación 10.1. Usaremos la notación x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Es común en algunos textosutilizar negrita, x, o una flecha, �x para indicar elementos de Rn y distinguirlos de los elementosdel cuerpo base R. Sólo usaremos esa notación en caso de que, por claridad, sea necesario.

Propiedades

Si x,y, z ∈ Rn, λ, µ ∈ R, se verifican las siguientes propiedades.a) Propiedad conmutativa: x +y = y + x.b) Propiedad asociativa: x + (y + z) = (x +y)+ z.c) Existe elemento neutro, 0: x + 0 = x.d) Existe elemento opuesto: dado x, x + (−x) = 0.

El espacio euclídeo Rn Límites y continuidad de funciones de varias variables

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e) λ(x +y) = λx + λy .f) (λ+ µ)x = λx + µx.g) λ(µx) = (λµ)x.h) 1x = x.

En definitiva, (Rn,+, ·) es un espacio vectorial.

10.1.2 Norma, distancia y producto escalar

El papel del valor absoluto en la recta real o el módulo en el plano complejo lo juega la normade un vector en dimensiones superiores.

Definición 10.2. Se define la norma o módulo de x ∈ Rn comoNorma o módulo

�x� =�x2

1 + x22 + . . .+ x2

n =n�

i=1

x2i

1/2

.

La norma de un vector es la longitud de dicho vector o, si se prefiere así, la distancia al origen.En general, la distancia entre dos elementos del espacio euclídeo es el módulo de la diferenciaDistancia

dist(x,y) =��x −y

��.La siguiente proposición recoge alguna de las propiedades de la norma.

Proposición 10.3.a) �x� ≥ 0, para cualquier x ∈ Rn.b) �x� = 0 ⇐⇒ x = 0.c) �λx� = |λ| �x�, para cualquier λ ∈ R y x ∈ Rn.d)

��x +y�� ≤ �x�+

��y��, para cualesquiera x, y ∈ Rn.Desigualdad

triangular

Definición 10.4. El producto escalar de dos vectores x e y de Rn está definido comoProducto escalar

�x,y� = x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn =n�

i=1

xiyi.

Observación 10.5. El producto escalar y la norma o la distancia si se prefiere así, están relacio-nados mediante la igualdad �x,x� = �x�2.

Proposición 10.6. El producto escalar es una aplicación bilineal: si x,y, z ∈ Rn, λ, µ ∈ R, entoncesBilinealidad

�λx + µy, z� = λ�x, z�+ µ�y,z�,�z,λx + µy� = λ�z,x�+ µ�z,y�.

x

y

x +y

x +y

x −y

Figura 10.2 Identidaddel paralelogramo

Límites y continuidad de funciones de varias variables El espacio euclídeo Rn

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Proposición 10.7. Sean x,y ∈ Rn, entonces se cumple que Identidad del parale-

logramo��x +y��2 +

��x −y��2 = 2

��x�2 +

��y��2�.

El producto escalar mide el ángulo entre dos vectores.

Teorema 10.8. Sean x e y dos vectores de Rn. Entonces

�x,y� = �x���y�� cos(θ),

donde θ es el ángulo de la Figura 10.3.

x

yθ

Figura 10.3 Ángulo entre vecto-res

De este resultado se deduce que la definición de ángulo entre dos vec-tores no nulos x e y es

θ = arccos

��x,y��x�

��y��

�. (10.1)

Definición 10.9. Dos vectores x e y de Rn son ortogonales sisu producto escalar es cero. Utilizaremos la notación x ⊥ y paraindicarlo.Diremos que un conjunto de vectores es un conjunto ortogonal

si sus elementos son ortogonales entre sí. En el caso de que losvectores estén también normalizados hableremos de un conjunto Ortogonalidad

ortonormal.

El siguiente resultado es consecuencia directa del Teorema 10.1 y laacotación de la función coseno.

Proposición 10.10. Sean x,y ∈ Rn. Se cumple que���x,y�

�� ≤ �x���y��. Además, la igualdad se Desigualdad de

Cauchy–Schwarzda si, y sólo si, x e y son linealmente dependientes.

Proposición 10.11. Dos vectores no nulos x e y de Rn son ortogonales si, y sólo si,��x +y

��2 = Teorema de Pitágo-

ras�x�2 +��y��2.

10.1.3 Un poco de topología

El papel de los intervalos en R lo van a jugar las bolas abiertas y cerradas en dimensionessuperiores. La bola abierta centrada en a y de radio r es Bola abierta

B(a, r) =�x ∈ Rn : dist(a,x) < r

�,

y la bola cerrada es B(a, r) = {x ∈ Rn : dist(a,x) ≤ r}. Bola cerrada

Definición 10.12. Sea A ⊂ Rn.a) Diremos que a ∈ A es un punto interior del conjunto A si existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. Punto interior

b) Diremos que A es un conjunto abierto si coincide con su interior: Conjunto abierto

A = {a ∈ A : a es un punto interior de A} ,

equivalentemente, si todos los puntos de A son puntos interiores.c) Diremos que x ∈ Rn es un punto adherente si para cualquier r > 0, B(x, r)∩A ≠∅. Punto adherente

Funciones de varias variables Límites y continuidad de funciones de varias variables

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d) El cierre o la adherencia de un conjunto A es

A =�x ∈ Rn : x es un punto adherente de A

�.

Diremos que A es cerrado si coincide con su adherencia.Conjunto cerrado

e) Diremos que x ∈ Rn es un punto de acumulación de A si para cualquier r > 0 se cumplePunto de acu-

mulación que (B(x, r) \ {x})∩A ≠∅. Notaremos A� al conjunto de todos los puntos de acumulaciónde A.

f) Diremos que a ∈ A es un punto aislado si existe r > 0 verificando que B(a, r)∩A = {a}.Punto aislado

A

aa

r bb

Interior, adherencia y frontera

A

M

Conjunto acotado

Figura 10.4

En la figura 10.4, el punto a pertenece al interior del conjun-to A puesto que la bola centrada en a y de radio r se quedacontenida en A. En cambio, el punto b no pertenece al inte-rior. Por pequeño que tomemos el radio, hay una parte dela bola centrada en b que está fuera de A. Ambos puntos, ay b sí son puntos adherentes: las bolas centradas en dichospuntos siempre tienen intersección no vacía con A.

Definición 10.13. Un subconjunto A de Rn está aco-Conjunto acotado

tado si existe M ∈ R tal que �a� ≤ M para cualquiera ∈ A.

Ejemplo 10.14.a) Cualquier subespacio afín del espacio euclídeo es un con-

junto cerrado y, si es propio, tiene interior vacío.b) Las bolas abiertas son conjuntos abiertos y las bolas ce-

rradas son conjuntos cerrados. En particular los intervalosabiertos son conjuntos abiertos y los cerrados son conjun-tos cerrados.�

La siguiente proposición recoge cómo se comportan es-tas propiedades con respecto a las operaciones usuales deconjuntos.

Proposición 10.15.a) Un conjunto es abierto si, y sólo si, su complementario es

cerrado.b) La intersección de dos conjuntos abiertos es un conjunto

abierto.c) La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.d) La intersección de conjuntos cerrados es un conjunto ce-

rrado.e) La unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

10.2 Funciones de varias variables

Definición 10.16. Llamaremos función real de n-variables reales, función real de variablevectorial o campo escalar a cualquier aplicación f : A ⊂ Rn → R. Como es usual, llamamosCampo escalar

dominio al conjunto A y llamaremos imagen o recorrido al conjunto

f(A) =�y ∈ R : ∃x ∈ A tal que f(x) = y

�

Límites y continuidad de funciones de varias variables Funciones de varias variables

– 247 –

Si f : A ⊂ R→ R, la gráfica (también llamado grafo) de la función es el conjunto�(x,y) ∈ R2 : y = f(x)

�,

que automáticamente asociamos con el dibujo de la gráfica de la función.

1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

0

Si f : A ⊂ R2 → R es una función de dos variables, la gráfica de f se puede definir de maneraanáloga

�(x,y, z) ∈ R3 : z = f(x,y)

�,

y podemos seguir representándola aunque ahora en R3.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

Figura 10.5 Gráfica y curvas de nivel de una función de dos variables

Definición 10.17. La gráfica de una función f : A ⊂ Rn → R es el conjunto�(x,y) ∈ Rn+1 : y = f(x)

�.

Las curvas de nivel de una función son los cortes de la gráfica de la función con planos de la Curvas de nivel

forma z = c con c real, o sea, son los conjuntos

{x ∈ Rn : f(x) = c}.

Límite funcional Límites y continuidad de funciones de varias variables

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Definición 10.18. Una función de variable vectorial con valores vectoriales o campo vectorialCampo vectorial

es una aplicación f : A ⊂ Rn → Rm.Si f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)) ∈ Rm, llamaremos funciones componentes de f a las mComponente

funciones fi : A ⊂ Rn → R, i = 1, 2,...,m.

Ejemplo 10.19. Las funciones componentes de la función

f(x,y) =��

cos(x +y), x3

y

�, si y ≠ 0

(0,0), en otro caso

son

f1(x,y) = cos(x +y), ∀(x,y) ∈ R2

f2(x,y) =x3

y , si y ≠ 0

0, en otro caso.�

10.3 Límite funcional

Si f : A ⊂ Rn → Rm es una función entre espacios euclídeos, y x ∈ A� podemos definir límitede una manera similar a como lo hacíamos para funciones de una variable pero ahora sustituimosvalor absoluto por norma. Formalmente al menos, no hay más diferencias.

Definición 10.20. Sean f : A ⊂ Rn → Rm y a ∈ A�. Diremos que f tiene límite en a y queLímite

vale L si dado un número positivo ε existe δ positivo de forma que si

0 < �x − a� < δx ∈ A

�=⇒

��f(x)− L�� < ε.

La definición de la norma de un vector en términos de sus coordenadas permite comprobar quela existencia de límite de una función con valores vectoriales se puede reducir al estudio del límitede las funciones componentes.

Proposición 10.21. Sean f : A ⊂ Rn → Rm y a ∈ A�. Entonces

limx→af(x) = L ⇐⇒ lim

x→afi(x) = Li, i = 1,2, . . . ,m.

En virtud de esta proposición, podemos restringirnos a estudiar funciones escalares.

Proposición 10.22. Sean f , g : A ⊂ Rn → R y a un punto de acumulación de A. Supongamos queÁlgebra de límites

ambas funciones tienen límite en a. Entonces se verifican las siguientes afirmaciones:a) lim

x→a(f + g)(x) = limx→af(x)+ lim

x→ag(x),

b) limx→a(fg)(x) =

�limx→af(x)

� �limx→ag(x)

�,

c) si limx→ag(x) ≠ 0, lim

x→a

�fg

�(x) = limx→a f(x)

limx→a g(x),

d) si limx→af(x) = +∞ y g está minorada, entonces lim

x→a(f + g)(x) = +∞, y

e) si limx→af(x) = 0 y g está acotada, entonces lim

x→a(fg)(x) = 0.

10.3.1 Límites dobles

En general, el cálculo de límites de funciones de varias variables es mucho más difícil que elcorrespondiente para funciones de una variable. En dimensión dos nos podemos hacer una ideade las técnicas y de los problemas que se pueden presentar.

Límites y continuidad de funciones de varias variables Continuidad

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La definición de limite de una función en un punto implica que sea cual sea la forma de acercarsea dicho punto, la función converge al valor del límite. Los siguientes resultados juegan con estapropiedad para demostrar que una función no tiene límite. En otras palabras, en cuanto encontre-mos una manera de acercarnos al punto de forma que la función no tienda al posible límite, setiene que el límite no existe. Tres ejemplos de este tipo de razonamiento son los límites reiterados,los límites según rectas o los límites según parábolas.

Proposición 10.23. Sea A ⊂ R2, A ≠ ∅ y sea f : A → R. Supongamos que existen los primerospasos para los límites reiterados, es decir, para cualquier (x,y) ∈ A existen los límites:

limy→0

f(x,y), limy→0

f(x,y)

Entonces

∃ lim(x,y)→(0,0)

f (x,y) = L =⇒ ∃ limx→0

( limy→0

f(x,y)) = limy→0

( limx→0

f(x,y)) = L

Proposición 10.24. Sea A ⊂ R2, A ≠∅ y sea f : A→ R. Entonces

∃ lim(x,y)→(0,0)

f (x,y) = L =⇒ ∃ limx→0

f(x,mx) = L, ∀m ∈ R

Proposición 10.25. Sea A ⊂ R2, A ≠∅ y sea f : A→ R. Entonces

∃ lim(x,y)→(0,0)

f (x,y) = L =⇒ ∃ limx→0

f(x, kx2) = L, ∀K ∈ R

Ejemplo 10.26. Vamos a calcular lim(x,y)→(0,0)

x2 −y2

x2 +y2 .

Para ello, calculemos los límites reiterados.

f1(x) = limy→0

x2 −y2

x2 +y2 =x2

x2 = 1.

Hemos supuesto que x ≠ 0. De aquí tenemos que L1 = 1.De la misma forma obtenemos que

f2(y) = limx→0

x2 −y2

x2 +y2 =−y2

y2 = −1 = L2

Como los límites reiterados son distintos, esta función no tiene límite en (0,0). �

Un cambio de variable permite, en algunas ocasiones, transformar el límite en uno más sencillode calcular. Un ejemplo es el cambio a coordenadas polares.

Proposición 10.27. Sea A ⊂ R2, A ≠∅ y sea f : A→ R. Entonces

∃ lim(x,y)→(0,0)

f (x,y) = L ⇐⇒ ∃ limρ→0

sup�|f (ρ cosθ,ρ senθ)− L|; θ ∈ [0,2π]

�= 0.

Ejemplo 10.28. Calcular lim(x,y)→(0,0)

x3 y3

x2 +y2

Cambiando a coordenadas polares,

limρ→0

ρ6 cos3(θ) sen3(θ)ρ2 = lim

ρ→0ρ4 cos3(θ) sen3(θ) = 0.�

10.4 Continuidad

Definición 10.29. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y sea a ∈ A. Diremos que f es continua en a si Función continua

existe limx→af(x) = f(a).

Extremos absolutos Límites y continuidad de funciones de varias variables

– 250 –

Proposición 10.30. Sea A ⊂ Rk,A ≠∅, y sea f : A→ Rm y a ∈ A. Entonces:

f es continua en a ⇐⇒ f i es continua en a, ∀i = 1,2, ...,m.

Proposición 10.31. Sea f : Rn → R y a ∈ R. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.a) f es continua en a.b) La imagen inversa de un abierto que contiene a f(a) es un abierto.c) La imagen inversa de un cerrado conteniendo a f(a) es un cerrado.

Con este resultado es fácil comprobar si conjuntos definidos mediante ecuaciones son abiertos,cerrados,... Por ejemplo,

A =�(x,y) ∈ R2 : 2x2 + 3y2 ≤ 1

�

es cerrado por ser la imagen inversa por la función continua f(x,y) = 2x2 + 3y2 del intervalocerrado ]−∞,1].

10.4.1 Propiedades

Dado que la continuidad de una función es equivalente a la continuidad de sus funcionescomponentes, es suficiente enunciar las propiedades para funciones con valores escalares.

Proposición 10.32. Sean f , g : A ⊂ Rn → R funciones continuas en a ∈ A y sean λ y µ dosnúmeros reales.a) λf + µg es continua en a.b) La función producto fg es continua en a.

c) Si g(a) ≠ 0, fg es continua en a.

Con respecto a la composición de funciones, la regla de la cadena sigue siendo cierta.

Proposición 10.33. Sean f : A ⊂ Rn → Rm continua en a ∈ A y g : B ⊂ Rm → Rp continua enRegla de la cadena

b = f(a) ∈ f(A) ⊂ B. Entonces la composición g ◦ f es continua en a.

10.5 Extremos absolutos

Dado que no hemos hablado de orden en espacios euclídeos de dimesión dos o más, tampocopodemos hablar de funciones monótonas. Sí podemos hablar de acotación al igual que hemoshecho para subconjuntos de Rn.

Definición 10.34. Una función f : A ⊂ Rn → Rm es una función acotoda si su imagen es unFunción acotada

conjunto acotado o, lo que es lo mismo, si existe M ∈ R tal que��f(a)

�� ≤ M para cualquiera ∈ A.

De la misma forma podemos definir los extremos absolutos de una función como los extremosabsolutos de su imagen. Eso sí, tenemos que poder hablar de extremos absolutos y para ello esnecesario que la función tome valores escalares.

Definición 10.35. Una función f : A ⊂ Rn → R alcanza su máximo (resp. mínimo) absolutoen a ∈ A si f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)) para todo x ∈ A.

Aunque en la definición de extremo absoluto no interviene para nada la continuidad de lafunción, en el caso de que la función lo sea, es más fácil probar la existencia de dichos extremos.El Teorema 4.33 tiene una extensión a funciones de varias variables. De hecho, la versión que

Límites y continuidad de funciones de varias variables Ejercicios

– 251 –

enunciamos a continuación es algo más general que la correspondiente para una variable ya queno exigimos que el dominio sea un intervalo.

Teorema 10.36. Sea A un subconjunto cerrado y acotado de Rn y f : A → R una función Teorema de Weiers-

trasscontinua. Entonces f alcanza su máximo y su mínimo absoluto.

10.6 Ejercicios

10.6.1 El espacio euclídeo

Ejercicio 10.1. Describir el interior, la adherencia, la acumulación y la frontera de los siguientessubconjuntos de números reales.a) N,b) Z,c) Q,d) R \Q,

e) A = [0,1]∪ {2}, y

f) A =�

1n : n ∈ N

�.

Solución 10.1.a) N =∅, N = N, N� =∅ y Fr(N) = N.b) Z =∅, Z = Z, Z� =∅ y Fr(Z) = Z.c) Q =∅, Q = R, R� = R y Fr(Q) = R.

d)˚� �� �

R \Q =∅, R \Q = R, (R \Q)� = R y Fr(R \Q) = R.e) A =]0,1[, A = A, A� = [0,1] y Fr(A) = {0,1,2}.f) A =∅, A = A∪ {0}, A� = {0} y Fr(A) = A∪ {0}.

Ejercicio 10.2. Dígase cuáles de los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados o compactos:

a)�(x,y) ∈ R2 : x2 +y2 < 1

�

b)�(x,y) ∈ R2 : x2 +y2 ≥ 1

�

c)�(x,y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 3

�

d)�(x,y) ∈ R2 : y = 3x

�

e)�(x,y) ∈ R2 : y = x2

�

f)�(x,y) ∈ R2 : y ≤ cos(x)

�

g)�(x,y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x

�

Solución 10.2.a) El conjunto es abierto.b) El conjunto es cerrado.c) El conjunto es compacto.d) El conjunto es cerrado.e) El conjunto es cerrado.f) El conjunto es cerrado.g) el conjunto es compacto.

Ejercicio 10.3. Describir el interior, la adherencia, la acumulación y la frontera de los siguientesconjuntos.

a) A =�(x,y) ∈ R2 : 1 ≤ x, 1 ≤ y

�,

b) A =�(x,y) ∈ R2 : x = 0, 0 < y < 1

�,

c) A =�(x,y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ó x = 2

�,

d) A =�(x,y) ∈ R2 : y < x2 + 1

�,

Solución 10.3.