Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular   porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular , porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D=   − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

1Calcular los siguientes límites:

1  

2  

3

4 En los puntos x = -1 y x =1

5  

6  

7

2Calcular los límites cuando x tiende a menos infinito:

1  

2  

3

4

3Calcular los límites de funciones exponenciales:

1  

2  

3

4

5  

4Calcular los límites de funciones logarítmicas:

1

2

3

4

5

5Calcular, por comparación de infinitos, los siguientes límites:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

6Hallar los siguientes límites:

1

2

3

4

7Calcular los límites:

1

2

3

4

5

6

8Hallar los límites:

1

2

3

4

5

9Hallar los siguientes límites:

1

3

2

4

5

6

7

10Calcular los siguientes límites:

1

2

3

11Calcular:

1

2

3

4

5

6

7

8

12

1

2

3

4

1Para el calcular un límite primero se realiza una sustitución ingenua para comprobar si el límite esta indeterminado o no. Por ejemplo el límite no está indeterminado y se puede encontrar su solución fácilmente.

1.

2Si nos encontramos con una indeterminación 0/0, deberemos usar trucos algebraicos tales

como factorizar. Así pues:

3

Si los límites tienen una indeterminación infinito/infinito se procede casi de la misma manera pero factorizando la mayor potencia del numerador y denominador y aplicando el criterio de 1/infinito es igual a 0.

En matemáticas, el límite de una función es el número al que se acerca la función mientras la variable dentro de la expresión se acerca a otro número. Las reglas para el uso de límites se denominan leyes de límite. Las leyes básicas de límites incluyen la adición, sustracción, cociente, producto y leyes constantes. La ley de la adición establece que el límite de una suma de dos funciones es igual a la suma del límite de cada función. Las leyes de sustracción, el producto y el cociente se definen de la misma manera que sus operaciones respectivas. La ley de límites para constantes establece que el límite de un término constante es ese mismo término.

Nivel de dificultad:

Moderada

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Instrucciones

Sustitución directa

1. 1

Anota las operaciones que se usan dentro del límite y elige la ley apropiada de límite para resolver la expresión. Por ejemplo, para la expresión límite (límite como as x ---> 1) (2x - 1 / x) las leyes de límite relevante son las leyes de cociente, sustracción y constante.

2. 2

Aplica la ley de límite y establece la ecuación para mostrar esta aplicación. Por ejemplo (límite como x ---> 1) (2x - 1 / x) es igual: (Límite como x ---> 1) (2x) – (límite como x ---> 1) (1) / (límite como x ---> 1) (x).

3. 3

Sustituye el número de límite en la ecuación de límite y resuelve. Por ejemplo, (Límite como x ---> 1) (2x) – (límite como x ---> 1) (1) / (límite como x ---> 1) (x) es igual: 2(1) - 1 / (1) = 1 / 1 = 1.

Resolución por simplificación

1. 1

Usa álgebra para simplificar la expresión antes de tomar el límite si la sustitución directa llena a un número indefinido. Por ejemplo, (límite como as x ---> 0) (2x - 1 / x) no se puede resolver por una sustitución directa porque un 0 no estaría en el denominador. La simplificación del límite encuentra: (Límite como x ---> 1) (2x – 1/x)= (límite como x ---> 0) (2 - (1/x)).

2. 2

Aplica la ley de límite y establece la ecuación para mostrar esta aplicación. Por ejemplo, para la expresión límite (límite como as x ---> 1) (2x - 1 / x) las leyes de límite relevante son las leyes de cociente, sustracción y constante. (Límite como x ---> 0) (2x) – (límite como x ---> 0) (1) / (límite como x ---> 1) (x).

3. 3

Resuelve el límite. (Límite como x ---> 0) (2) - (límite como x ---> 0) (1) / (límite como x ---> 0) (x) = 2 - 0 =2.

Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos 

 

 

de una función

En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.

 

  Teorema 4

 

Sea f una función continua en un intervalo cerrado  , que es derivable

en todo punto del intervalo abierto  . 

Sea c en   tal que   o   no existe.

a.

Si   es positiva para todo  , y negativa para todo  ,

entonces   es un valor máximo relativo de  .b.

Si   es negativa para toda  , y positiva para toda  ,

entonces  es un mínimo relativo de  .c.

Si   es positiva para todo   y también lo es para todo  ;

o si   es negativa para todo   y a su vez para todo  ,

entonces   no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo

relativo de  .Prueba: Al final del capítulo.

 Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:

Máximo relativo en 

 

Mínimo relativo en 

   

 

En no hay ni máximo ni mínimo relativo. 

  

En los siguientes ejemplos determinaremos los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los valores críticos y por último se aplica el  teorema anterior.1.

 

Note que f está definida para   

Como   entonces   si y solo si  , ó  . 

Los valores críticos son  , y , x=-2. 

Determinemos ahora cuándo   y cuándo  . 

Como  , se deben resolver las

desigualdades:  ,  . Nos ayudamos con la tabla siguiente: 

 

Como   para   y   para   entonces es un valor mínimo. 

Como   para   y   para   entonces   es un valor máximo. 

La representación gráfica de la función es la siguiente:

 

Note que   es un mínimo relativo y que   es un máximo relativo, en el dominio de la función.

2.

En este caso  (¡Compruébelo!) 

Luego,   si y solo si  , ó,   

Además,   no existe si  . 

Los valores críticos de  f son  ,  ,  . 

Como   es positivo para todo   entonces para determinar

cuando , y cuando  , basta con analizar la expresión . 

Utilizamos la siguiente tabla:

i.

Como   para   y como f es continua sobre ese intervalo,

entonces   es creciente sobre   por lo que   si

. 

Por lo tanto   en un valor mínimo relativo de f.ii.

Como   para   y   para  , entonces

.   es un valor máximo relativo de f. iii.

Como   si   y como f es continua sobre   

entonces fes decreciente sobre  , y por tanto   

cuando  . Luego   es un valor mínimo relativo de f. 

3.

,   

Se tiene que   (¡Compruébelo!) 

Ahora,   si y solo si   es decir, si  . 

Los valores críticos de f son  ,  ,  , estos últimos por ser extremos del intervalo. 

Como  , y,  ,  , y,   son expresiones

positivas para todo   entonces el signo de   estará determinado por la variación de x. 

Luego se tiene: 

i.

Como   para   y f es continua en   entonces f es

decreciente sobre  . Luego   para  , y 

es un máximo relativo de f. ii.

Como   para   y   para  , entonces es un mínimo relativo de f. 

iii.

Como   para   y f es continua en   entonces f es creciente

en  . Luego   para   y   es un máximo relativo de f. 

Ejercicio:

Hacer un estudio similar para:

 

a.

 b.

  ,

 

c. ;