limites

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1

1 Límites infinitos

En el curso anterior se estudió el concepto de límite (finito) para funciones.Concretamente, el símbolo lim

x→af (x) = L representa un cierto buen compor-

tamiento para la función f cerca del punto a. Esto es, cuanto más se acerca x alpunto a (x �= a), su imagen f (x) se aproxima más al valor L.

Se puede interpretar también en el sentido que f presenta cierta estabilidad entorno al punto a : las imágenes de los puntos x cercanos al punto a (x �= a) sontodos cercanos al valor L.

La interpretación geométrica de este concepto aparece en el siguiente gráfico parala función f , cerca del punto a. La curva y = f (x) se acerca al punto (a, L) ,tantodesde la derecha como de la izquierda.

1

1

L

a

L-ε

L+ε

a-δ a+δ

y = f(x)

Dado ε > 0

E x is te δ> 0

Sin embargo, hemos encontrado situaciones en que la función f no tiene un buencomportamiento en torno a un punto a, donde ella está definida. No existe unnúmero real L para el cual se tenga lim

x→af (x) = L.

Estos límites divergentes pueden ocurrir de varias formas. Una de ellas, queestudiamos a continuación corresponde a los llamados límites infinitos. A modo de

ejemplo consideramos la función f (x) =1

xdefinida para x �= 0. Estudie lim

x→0

1

x.

Una primera idea, más numérica que analítica, la podemos obtener de la siguientepequeña tabla de valores para imágenes de f correspondientes a puntos x positivoscercanos a cero

x 0.1 0.07 0.0001 10−10 10−100 10−100000

f (x) = 1x10 100

710000 1010 10100 10100000

Esta tabla sugiere que, cuanto más se acerca x a cero por la derecha, las imágenesde x crecen sin cota superior.


Formalmente, como para x > 0 se tiene:

x < δ ⇔ 1

x>1

δ

Dado cualquier número realM > 0 (tan grande como quiera) puedo elegir un númeropositivo δ < 1

Mtal que

∀x : 0 < x < δ ⇒ f (x) =1

x>1

δ> M

Esto muestra que las imágenes de f (x) = 1xpueden ser tan grande como uno quiera,

a condición de elegir x > 0 suficientemente próximo de 0. Por esto se escribe

limx→0+

1

x= +∞

Debe entenderse que el límite de arriba diverge a +∞.Esto se produce porque en la fracción el denominador se hace cero, por valores

positivos, mientras el numerador se mantiene constante.Geométricamente, la recta x = 0 (eje y) es una asíntota vertical del gráfico de

y = 1x

1 2

1

2

3

4

5

6

x

y

En general, se tienen las definiciones:

1. limx→a+

f (x) = +∞ ⇔

Dado M > 0, existe δ > 0 tal que

∀x : a < x < a+ δ ⇒ f (x) > M

2. limx→a+

f (x) = −∞ ⇔

Dado M < 0, existe δ > 0 tal que

∀x : a < x < a+ δ ⇒ f (x) < M


y las análogas para límite lateral por la izquierda (queda de tarea escribir cadauna de ellas).

En cualquiera de los 4 casos, la recta x = a es una asíntota vertical del gráficode y = f (x) .

Ejemplo 1 La función f (x) =1

x, x �= 0, verifica

limx→0+

1

x= +∞ , lim

x→0−

1

x= −∞

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

x

y

El eje y es asíntota vertical.

Ejemplo 2 Para a ∈ R fijo, se define f (x) =1

x− a , x �= a, y se tiene

limx→a+

1

x− a = +∞ , limx→a−

1

x− a = −∞


Con respecto a límites infinitos se tienen las propiedades siguientes:

Teorema 3 a) limx→a+

f (x) = +∞, limx→a+

g (x) = +∞ ⇒ limx→a+

[f (x) + g (x)] = +∞limx→a+

[f (x) g (x)] = +∞b) lim

x→a+f (x) = L, lim

x→a+g (x) = +∞ ⇒ lim

x→a+[f (x) + g (x)] = +∞

limx→a+

[f (x) g (x)] = +∞ , cuando L > 0

limx→a+

[f (x) g (x)] = −∞ , cuando L < 0

Ejercicio 1 Determine las asíntotas verticales de f (x) =x2 + 4x

x3 + x2 − 2x , donde eldominio es D = {x ∈ R : x3 + x2 − 2x �= 0}.Como f es el cuociente de dos polinomios, ella es continua en todo punto de su

dominio. Esto es, para cada a ∈ D : limx→a

f (x) = f (a) y luego x = a no es asíntota

vertical.Sólo pueden ser asíntotas rectas determinadas por puntos que anulan el denom-

inador.Considerando que

f (x) =x2 + 4x

x3 + x2 − 2x =x (x+ 4)

x (x+ 2) (x− 1)

resulta:

• limx→0

f (x) = limx→0

x+ 4

(x+ 2) (x− 1) = −2, implica que x = 0 no es asíntota verti-cal.

• limx→1+

f (x) = limx→1+

[x+ 4

x+ 2

1

x− 1

]= +∞

y limx→1−

f (x) = limx→1−

[x+ 4

x+ 2

1

x− 1

]= −∞. Luego, x = 1 es asíntota vertical.

• limx→−2+

f (x) = limx→−2+

[x+ 4

x− 11

x+ 2

]= −∞

limx→−2−

f (x) = limx→−2−

[x+ 4

x− 11

x+ 2

]= +∞. Luego, x = −2 es asíntota verti-

cal.

A partir de aquí se puede describir geométricamente el comportamiento asin-tótico del gráfico de f.


1.250-1.25-2.5

2.5

0

-2.5

x

y

x

y

2 Límites al infinito

Ahora estudiaremos el comportamiento de f : R→R en el infinito. Esto es, cómoson las imágenes f (x) para x “muy grande”, o bien para x grande en valor absolutopero negativo. Esta característica de la función se representa por lim

x→+∞f (x) y por

limx→−∞

f (x). Más formalmente, se tiene:

Definición 4 limx→+∞

f (x) = L, L ∈ R ⇔ Dado ε > 0, ∃M > 0 tal que∀x : x > M ⇒ |f (x)− L| < ε

limx→−∞

f (x) = L, L ∈ R ⇔ Dado ε > 0, ∃M < 0 tal que∀x : x < M ⇒ |f (x)− L| < ε

En cualquiera de los casos anteriores se dice que y = L es asíntota horizontaldel gráfico de f.

Ejemplo 5 Queda de ejercicio demostrar que con la función f (x) = 1xse tiene

limx→+∞

1

x= 0 y lim

x→−∞

1

x= 0

lo que muestra que la recta y = 0 (eje x) es asíntota horizontal del gráfico de f .

La gráfica de f (x) = 1xes:

420-2-4

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y


Observación.- Se puede probar que los teoremas sobre límites vistos anteri-ormente también son válidos para límites al infinito. Como aplicación de éstos setiene:

• limx→+∞

[1x2

]= lim

x→+∞

[1x· 1x

]= lim

x→+∞

[1x

]· limx→+∞

[1x

]= 0

y por inducción, ∀n ∈ N : limx→+∞

[1xn

]= 0.

• Ahora, para c constante, limx→+∞

[cxn

]= 0, ∀n ∈ N

• Con el mismo razonamiento se obtiene también limx→−∞

[cxn

]= 0, ∀n ∈ N

• limx→+∞

[2x3 + 5x2 − 4−6x3 + 7

]= lim

x→+∞

[2 + 5

x− 4

x3

−6 + 7x3

]= 2

−6= −1

3

La misma idea se aplica para el cuociente de dos polinomios del mismo grado.

• limx→+∞

[2x3 + 5x2 − 4−6x4 + 7

]= lim

x→+∞

[ 2x+ 5

x2− 4

x4

−6 + 7x4

]= 0

−6= 0

El mismo resultado se obtiene en cualquier cuociente de polinomios donde elgrado del numerador es menor que el grado del denominador.

• limx→+∞

[√x2 + x− x

]= lim

x→+∞

[(√x2 + x− x

)√x2 + x+ x√x2 + x+ x

]

= limx→+∞

[x√

x2 + x+ x

]= lim

x→+∞

1√1 + 1

x+ 1

=1

2

Utilizando los límites al infinito se define el concepto de asíntota oblicua para elgráfico de una función f : R→R

Definición 6 La recta L : y = mx+ b es asíntota oblicua de la gráfica de y = f (x)cuando

limx→∞

[f (x)−mx− b] = 0 o bien limx→−∞

[f (x)−mx− b] = 0

Un ejemplo importante son las asíntotas oblicuas y = ± bax de la hipérbola

x2

a2− y

2

b2= 1


Como

limx→∞

[f (x)−mx− b] = 0 ⇔ limx→∞

[f (x)−mx] = b

⇒ limx→∞

[f (x)

x−m

]= 0

⇔ limx→∞

[f (x)

x

]= m

se concluye que la gráfica de y = f (x) tiene asíntota oblicua y = mx+ b ssi existenlos límites:

limx→∞

[f (x)

x

]= m ∧ lim

x→∞[f (x)−mx] = b

3 Límites infinitos en el infinito

La última situación a considerar está precisada en la siguiente definición.

Definición 7 limx→+∞

f (x) = +∞ ⇔

Dado N > 0, existe M > 0 tal que

∀x : x > M ⇒ f (x) > N

Queda de ejercicio escribir las definiciones análogas para

limx→+∞

f (x) = −∞ , limx→−∞

f (x) = +∞ y limx→−∞

f (x) = −∞

En este contexto se puede mostrar que:

• limx→+∞

[x] = +∞ , limx→+∞

[x2] = +∞ y en general limx→+∞

[xn] = +∞, ∀n ∈ N

• También, limx→+∞

[c · xn] = +∞, ∀n ∈ N, donde c > 0 es una constante.

• Cuando c < 0, limx→+∞

[c · xn] = −∞, ∀n ∈ N.

• Para un polinomio f (x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0 , con an �= 0

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

[xn(an +

an−1x

+ ...+a1xn−1

+a0xn

)]

=

{+∞ si an > 0−∞ si an < 0


• El caso de una función racional donde el grado del numerador es mayor que elgrado del denominador se trata en un ejemplo particular

limx→+∞

[4x3 − 5x2 + 2x− 7−3x2 + 5x+ 3

]= lim

x→+∞

[x · 4x

2 − 5x+ 2− 7x

−3x2 + 5x+ 3

]

= limx→+∞

[x · 4−

5x+ 2

x2− 7

x3

−3 + 5x+ 3

x2

]

= −∞

Queda de ejercicio rehacer todos los items anteriores para limx→−∞

.

4 Continuidad

Se nos pide calcular el área de una región circular. Para ello medimos, con unahuincha, su diámetro y a partir de esto obtenemos su radio. La huincha indica quesu radio es r = 30 cm. Con este resultado calculamos el área de la región obteniendoA = π (30)2 = 2827. 43 cm2.

¿Es este resultado correcto? Mejor dicho, ¿es este resultado exacto?La huincha, como cualquier instrumento de medida, no es exacta. Quizás el

valor exacto del radio sea 29, 985 cm. y por lo tanto el valor exacto del área esA = π (29.985)2. Sin embargo nos damos por satisfechos con el resultado inicial,porque al menos asumimos que su valor es aproximado al valor exacto.

Esta idea está formalizada en la siguiente definición.

Definición 8 Sea f : I → R y a ∈ I. Se dice que f es continua en a si y sólo silimx→a

f (x) = f (a)

Las condiciones de la definición se pueden detallar en:

• f está definida en a.

• limx→a

f (x) = L existe

• L = f (a)Ejemplo 9 Según vimos anteriormente, para una función polinomial f (x) = anx

n+... + a1x+ a0 se tiene

limx→a

f (x) = limx→a

[anx

n + ...+ a2x2 + a1x+ a0

]

= an (a)n + ...+ a2 (a)

2 + a1a+ a0

= f (a)

Esto muestra que f es continua en todo punto a ∈ R.


Ejemplo 10 Lo mismo resulta para la función f (x) = xr, con r exponente racional.Ya que vimos que

limx→a

f (x) = limx→a

xr = ar = f (a)

Definición 11 Se dice que f : I → R es una función continua, en el intervaloabierto I, cuando f es continua en todo punto a de dicho intervalo.También al considerar una función f : [a, b] → R, definida en un intervalo

cerrado. Se dice que ella es una función continua cuando es continua en todo puntodel intervalo abierto ]a, b[ y además es continua por la derecha en a y continua porla izquierda en b.Continua por la derecha en a significa que lim

x→a+f (x) = f (a) .

Ejemplo 12 f (x) = sinx , x ∈ R.Ya vimos que lim

x→0f (x) = lim

x→0sin x = 0 = sin 0 = f (0). Luego, f es continua en

a = 0.En a �= 0 :

limx→a

f (x) = limx→a

sin x

= limh→0

sin (a+ h)

= limh→0

[sin a cosh+ cos a sinh]

= sin a = f (a)

Luego, f es continua en a.Así, f (x) = sin x es una función continua.

Observe que en el ejemplo anterior se usa el hecho que

limx→a

f (x) = L⇔ limh→0

f (a+ h) = L

Queda de ejercicio mostrar que f (x) = cosx es una función continua.Los teoremas sobre límites permiten probar las siguientes afirmaciones:

• Si f y g son funciones continuas en el punto a, entonces (f + g) , (c · f) , (f · g)son funciones continuas en el punto a. También en el caso que g (a) �= 0, lafunción

(f

g

)es continua en el punto a.

Debe entenderse que f y g están definidas en una vecindad de ]a− r, a+ r[ dea.

Este resultado puede enunciarse de forma global para dos funciones f, g : I →R continuas, indicando que las funciones f + g, cf y f · g son continuas.Además, f

ges continua en su dominio: {x ∈ I : g (x) �= 0}.


Por ejemplo, la función tanx =sin x

cosxes continua en todo punto de su dominio.

Lo mismo es válido para las restantes funciones trigonométricas.

En general, cualquier combinación de funciones continuas resulta una funcióncontinua: por ejemplo:

f (x) = 2 sin x cosx+5x+ 1

x2 + 4

es continua en todo punto x ∈ R.

• Si f es continua en el punto a y g es continua en el punto f (a), entonces lacompuesta g ◦ f es continua en a. En efecto:

limx→a

g (f (x)) = limy→f(a)

g (y) = g (f (a))

Debe entenderse que la compuesta está definida en una vecindad de a.

En forma más general, la compuesta de dos funciones continuas es una funcióncontinua. Por ejemplo, las funciones

f (x) =

√x4 + 2

√x , x > 0

g (x) = sin (2x+ 5) , x ∈ R

son continuas.

Los siguientes ejemplos discuten casos de discontinuidad de una función.

Ejemplo 13 Se define la función f

f (x) =

{sin x

xsi x �= 0

1/2 si x = 0

¿Es f continua en a = 0?Como lim

x→0f (x) = lim

x→0

sinxx= 1 �= f (0) , la función f no es continua en a = 0.

Sin embargo, dado que limx→0

f (x) existe se puede redefinir f en 0 poniendo

f (0) = 1 y la función resultará continua en a = 0. Por esto se dice que a = 0 esuna discontinuidad evitable de f.Por otra parte, note que la función f es continua en todo punto a �= 0.


Ejemplo 14 Se define la función f

f (x) =

x2 − 1x− 1 si x < 1

−2x+ 5 si x ≥ 1

¿Es f continua en a = 1?Se calculan los límites laterales

limx→1+

f (x) = limx→1+

(−2x+ 5) = 3

limx→1−

f (x) = limx→1−

(x2 − 1x− 1

)= 2

y se concluye que limx→1

f (x) no existe. Luego, la función no es continua en a = 1.

En este caso la discontinuidad no es evitable. Como los límites laterales existen (sondistintos) se dice que a = 1 es una discontinuidad de salto.¿Es f continua en un punto a �= 1?Gráfica de f .-

-2 2 4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Ejemplo 15 f : R→ R definida por

f (x) =

{sin(1x

)si x �= 0

0 si x = 0

¿Es f continua en a = 0?Al analizar el límite lateral por la derecha se tiene que cuando x → 0+, su

recíproco 1xdiverge a +∞ y por tanto f (x) = sin

(1x

)va asumiendo todos los

valores entre −1 y 1. Esto indica que las imágenes de los puntos cercanos a 0 por laderecha no se están acercando a un valor L fijo. Lo mismo vale para el límitelateral por la izquierda. Este comportamiento se refleja en el siguiente gráfico:


0.50.250-0.25-0.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

El hecho que (al menos uno de) los límites laterales en a = 0 no existen, deter-mina que la discontinuidad se denomine de tipo esencial.

Por último mencionaremos uno de los teoremas importantes sobre funciones con-tinuas.

Teorema 16 (del valor intermedio) Si f : [a, b]→ R es continua y d es un númeroreal entre f (a) y f (b), entonces ∃ c ∈ [a, b] tal que

f (c) = d

La demostración de este teorema está por sobre el nivel de este curso. Sinembargo la interpretación geométrica de él es muy simple. El teorema establece quela función f , por ser continua, alcanza todos los valores comprendidos entre f (a) yf (b) .

1

1

a b

f(a)

f(b)

d

Es claro que al trazar la gráfica de f , la cual es una curva continua que va de(a, f (a)) hasta (b, f (b)) , ella debe cortar la recta horizontal y = d (al menos en unpunto) lo que determina un punto c ∈ [a, b] tal que f (c) = d.

Como caso particular, para f continua en [a, b], con f (a) y f (b) de signos difer-entes, debe existir un punto c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0. Esto es, la ecuación

f (x) = 0


tiene (al menos) una solución en [a, b] .Este resultado conduce a un simple método para determinar en forma aproximada

una solución de la ecuación f (x) = 0, llamado método de la bisección; el cualpasamos a describir:

Siendo f (a) y f (b) de signos distintos, hacemos x1 =a+b2

y evaluamos f (x1) .En el caso que f (x1) = 0, hemos encontrado de forma exacta la solución.Si f (x1) �= 0, escojemos a1 igual a a o a b de manera que f (a1) y f (x1) tengan

signos diferentes. Ahora hacemos x2 =a1+x12. y repetimos el procedimiento anterior.

Esencialmente, en cada etapa, se divide el intervalo en dos partes iguales (sebisecta) y se escoje el subintervalo que contiene a la solución de la ecuación.

Este es un algoritmo que en cada iteración reduce a la mitad la longitud delintervalo donde se encuentra la solución. Así entonces como el intervalo inicial tienelongitud b− a, en la primera iteración el siguiente intervalo tiene longitud b−a

2y al

cabo de n iteraciones el intervalo tendrá longitud b−a2n

, la cual tiende a cero, cuandon (natural) crece.

Esto indica que se puede aproximar tanto como se quiera la solución a condiciónque se haga un número suficiente de iteraciones.

Tarea.-Mostrar que la ecuación x3 − 4x + 2 = 0 tiene tres raíces (soluciones) distin-

tas entre [−3, 3] . Ubíquelas entre enteros consecutivos y mediante el método dela bisección encuentre en forma aproximada una de ellas con dos cifras decimalesexactas

Respuesta.- Las soluciones aproximadas de la ecuación x3 − 4x + 2 = 0 sonx = 0.53919, x = −2.2143 y x = 1.6751 como se aprecia en el gráfico de la funcióncontinua f (x) = x3 − 4x+ 2

-3 -2 -1 1 2 3

-10

-5

5

10

15

x

y

Obs.- El estudiante que tiene algunos conocimientos de programación puede in-tentar escribir un programa para implementar este algoritmo.

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