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Inicio Prefacio Cap 1: Segmento y angulo Cap 2: Figuras Planas Comunes Cap 3: Figuras Solidas Comunes

Capitulo 1: Segmento de linea, arco y angulo

En la primera parte de este captulo, estudiaremos la nocin de segmento de recta asociada con su longitud y con la idea de distancia entre dos puntos sobre una lnea recta. Resolveremos problemas que tratan sobre longitudes o distancias entre dos puntos, en ellas las longitudes o distancias entre dos puntos permanecen estticas o bien cambian en el tiempo o con respecto a otra longitud o cantidad fsica de manera lineal o no lineal.En la segunda parte, trabajaremos con la nocin de ngulo, veremos su clasificacin segn su medida y por su relacin con otros ngulos. Adems de deducir propiedades entre parejas especiales de ngulos, deduciremos dos propiedades importantes sobre ngulos las cuales tienen amplia aplicacin en la resolucin de problemas sobre tringulos y relacin de tringulos semejantes: (i) ngulos entre paralelas y una transversal y (ii) suma de los tres ngulos internos de una regin triangular. Resolveremos problemas sobre clculo de la medida de ngulos en situaciones estticas o dinmicas cuyas medidas varan en funcin de otras magnitudes geomtricas o fsicas variables de manera lineal o no lineal. En su resolucin ilustraremos el uso de una o ambas propiedades.

SegmEnto

1.1 Segmento. Como en la Figura 1.1.1, sobre la recta L, seleccionemos un punto de referencia O, movamos un punto M sobre L de tal manera que podamos acercarlo, alejarlo (en cualquier lado de O)Para una posicin fija cualquiera de M respecto a O (en cualquier lado de O), al conjunto de puntos sobre L entre O y M inclusive los mismos O y M, le llamamos segmento lineal o segmento de recta de extremos O y M (o simplemente segmento) y lo simbolizamos con OM2.

Figura. 1.1.1 Generacin del segmento OM sobre la recta LSi admitimos, el caso extremo, posicionar M sobre O diremos que se trata de un segmento degenerado en un punto.Con el fin medir que el tamao o largo de un segmento, debemos asociarle un valor numrico no negativo, para ello es necesario recurrir a la nocin de semirrecta graduada. Consideremos la semirrecta S con punto inicial O. Asociemos a cada punto de S un nico nmero real no negativo como el la Figura 1.1.2.

Figura 1.1.2. Semirrecta graduadaAsociemos a O el 0 y le llamamos origen. Tomamos otro punto arbitrario A distinto de O sobre S y le asociamos el 1 y decimos que OA tiene longitud 1 que le llamamos unidad de longitud. Decimos tambin que la distancia de O a A es 1. Al punto B situado sobre S a dos unidades de longitud de O le asociamos el 2. Al punto sobre S situado a tres unidades de longitud de O le asociamos el 3, y as sucesivamente. Tambin se puede asociar puntos con nmeros racionales positivos, tales como situado a media unidad de longitud de O. Se puede inducir que los nmeros irracionales positivos tambin se pueden asociar con puntos de S. Suponemos que el lector ya conoce procedimientos intuitivos para su construccin. En el Captulo 2 esbozaremos un procedimiento informal e intuitivo para aclarar su proceso de construccin.Longitud de un segmento. Consideremos el segmento OM y una semirrecta graduada S que tomamos con patrn de medida. Para medir OM desplacemos S de tal manera que su origen coincida con cualquiera de los extremos de OM y todo punto de OM sea punto de S. Como en la Figura 1.1.3, si hacemos coincidir el origen con O, M coincidir con P de S, entonces, si P tiene asociado el nmero r, decimos que la longitud de OM mide o es de r unidades de longitud, o que la distancia de O a M mide o es de r unidades de longitud3.

figura 1.1.3 Medicin de la longitud de un segmento. OM mide r unidades de longitud.En otras palabras, la longitud de un segmento es el nmero de unidades de longitud (no necesariamente entero) que caben en el. Notemos que la distancia de O a M la medimos sobre la semirrecta S4 tomando como punto de referencia su extremo O.En ingeniera existen varios sistemas y respectivas unidades de longitud. Por ejemplo, para el sistema mks., los patrones unitarios pueden ser; 1nanom, 1cm, 1m, 1km, 1ao luz, etc., segn sean ms cmodos de usar.Para expresar que el segmento OM mide x unidades de longitud, escribimos OM = x, es decir, igualamos el smbolo del segmento con su longitud. Este tipo de ecuaciones las usaremos en lo sucesivo para otros elementos geomtricos y sus medidas.Segmento de longitud variable. En la figura 1.1.1, al desplazar M continuamente sobre L, podemos interpretar que generamos un segmento cuya longitud vara de manera continua tomando un intervalo de valores reales.5Segmento de longitud cero e infinita. En la Figura 1.1.1, Como ya lo mencionamos ms arriba, si ubicamos M sobre O el segmento se reduce a un punto, le asociamos longitud cero y le llamamos segmento nulo. Si admitimos que M se aleje infinitamente de O, OM se transforma en una semirrecta, decimos OM tiene longitud infinita.Segmentos congruentes. Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen igual longitud independientemente de su posicin en el plano o espacio. Como en la Figura 1.1.4 comnmente se dibujan con ciertas marcas o seas para describir su igualdad.

Figura 1.1.4 Las barritas describen que el segmento AB es congruente con al segmento CD, es decir que tienen la misma longitud.

Segmentos en aplicaciones. En aplicaciones geomtricas de ingeniera, no interesa en s, el propio segmento, sino su longitud o medida considerada como la distancia entre sus dos puntos extremos, puede representar la longitud de algn atributo lineal de un objeto: una altura, una profundidad, un espesor, el radio de una circunferencia, etc. Por otro lado, en algunas aplicaciones el punto de referencia O puede tambin desplazarse sobre alguna trayectoria.Las longitudes de segmentos lineales o distancia entre dos puntos se presentan en procesos o situaciones donde sus longitudes son constantes fijas, o varan continuamente al variar o hacer variar otras magnitudes. La variacin (crecimiento o decrecimiento) de una distancia puede ser lineal (con rapidez6 constante). Existe una variedad de problemas geomtricos asociados a tales procesos en los que necesitamos conocer, describir o predecir distancias entre dos puntos sobre una recta. Veamos algunos ejemplos.Ejemplo 1.1.1 Crecimiento de una distancia con rapidez constante. Un mvil parte de un punto ubicado a 50 m. de un punto de referencia y se desplaza sobre una lnea recta alejndose del punto de referencia durante 6 segundos con velocidad constante de 2m/s, Exprese la distancia del mvil al punto de referencia en funcin del tiempo.Resolucin. Primeramente, vemos que si el mvil avanza 2 m/s, entonces la distancia de recorrida aumenta 2 m/s. Denotemos con t (seg.) al tiempo transcurrido y con L (m) la distancia recorrida en el tiempo t. Puesto que L crece con velocidad constante, usando el modelo de crecimiento lineal, Ecuacin (1.1.1), y segn Figura 1.1.5(1.1.1)

Figura. 1.1.5 La distancia recorrida crece linealmente en el tiempotenemos que L es funcin lineal de t,(1.1.2)Dejamos al lector el trazo de su grfica cartesiana e interpretacin fsica de la pendiente y punto intercepto en y del segmento de recta Hay situaciones en las que cierta longitud vara cuando hacemos variar otra longitud, estableciendo as que la primera es funcin de la segunda,Ejemplo 1.1.2 Relacin entre longitudes de segmentos. El punto C est sobre AB=10. Si CB=x, Exprese AC en funcin de x y determine su dominio.Resolucin. En la Figura. 1.1.6 se presentan los segmentos,

Figura 1.1.6 AB=10, CB=xSi denotamos como AC=f(x). Del dibujo tenemos la funcin lineal (1.1.2) Si hacemos que x aumente (en su dominio), f(x) disminuye en la misma cantidad, as AC es funcin lineal decreciente de CB

Bajo ciertas circunstancias se puede considerar a una longitud, aproximadamente, como funcin lineal de una magnitud fsica variable, este es el caso de un termmetro ambiental.Ejemplo 1.1.3 La altura en funcin de la temperatura. La escala de un termmetro de mercurio marca aproximadamente 1C a cada 1.5mm. Cuando la temperatura es de 0 C la altura del mercurio medida desde la escala de 30C mide 45mm. Exprese la altura del mercurio en funcin de la temperatura, y determine la altura cuando la temperatura es de 10C.Resolucin. Denotando con T la temperatura en C y con h la altura en mm que le corresponde, si suponemos que h es funcin lineal de T7, entonces, h crece a razn constante de 1.5mm/C. Con la ecuacin punto pendiente obtenemos,(1.1.3)La altura del mercurio cuando T=10, es h(10)=60mm.Su grfica cartesiana se muestra en la Figura 1.1.7

Figura 1.1.7 Grfica lineal de la altura h en mm del mercurio en funcin de la temperatura T en C. La pendiente del segmento es 1.5 y el punto intercepto en el eje vertical es 45.En algunos problemas geomtricos, el clculo de una distancia fija se basa en la construccin de ecuaciones a partir de las condiciones explicitas o que se inducen del problema.Ejemplo 1.1.4 Ancho de un ro. Dos botes cruzan un ro recto de aguas tranquilas partiendo simultneamente en lados opuestos a velocidades constantes pero diferentes sobre lneas paralelas. Se encuentran por primera vez a m metros de uno de lados, y de regreso se encuentran a n metros del otro lado. Exprese el ancho del ro en trminos de m y n.Resolucin. Primeramente leamos, entendamos, imaginemos lo descrito en el enunciado del problema y hagamos un dibujo de la situacin. La Figura 1.1.8 es una ilustracin apropiada del problema.

Figura 1.1.8 Un dibujo nos ayuda a mejorar nuestra comprensin del problema y descubrir relaciones para plantear ecuaciones. En ella debemos incluir datos y la incgnita principal.Denotemos con x el ancho del ro. Esta es nuestra incgnita principal. A es primer punto de encuentro ubicado a m metros del lado de partida del bote 2, B es el segundo punto de encuentro ubicado a n metros del lado de partida del bote 1. Los recorridos se expresan segn se muestran en la Figura 1.1.8.Nuestra estrategia ser, construir un sistema de ecuaciones y resolverlo para x. Esta estrategia ser de uso comn en la resolucin de muchos problemas sucesivos de este texto.Construyamos, pues, ecuaciones que contengan x. Puesto que los botes viajan a velocidad constante, usamos un caso particular de la ecuacin (1.1) con distancia inicial igual a cero.(1.1.4)Notemos que, el tiempo que emplea cada bote en su respectivo recorrido desde que parte hasta llegar a A, es el mismo para ambos. Si denotemos con t1 a este tiempo, y con v la velocidad del bote 1 y con w la velocidad del bote 2, tenemos segn la ecuacin (1.4)(1.1.5)(1.1.6)As tambin, notemos que el tiempo que emplea cada bote en su respectivo recorrido desde A, llegar al otro lado del ro y regresar para llegar a B, es el mismo para ambos (si no se detienen en ningn momento). Si denotemos con t2 a este tiempo, tenemos, (1.1.7)(1.1.8)En el sistema de ecuaciones (1.1.5), (1.1.6), (1.1.7) y (1.1.8); t1, t2, v y w, son incgnitas auxiliares. En algunos problemas es necesario introducir incgnitas auxiliares para plantear un sistema consistente de ecuaciones que contenga la incgnita principal. Habiendo construido o planteado el sistema de ecuaciones, debemos resolver el sistema para la incgnita principal x. Para ello usemos tcnicas de resolucin de sistema de ecuaciones, a fin de eliminar las incgnitas auxiliares y determinar la incgnita principal, As por ejemplo, para eliminar la v, dividamos lado a lado de (1.1.5) y (1.1.7),(1.1.9)De (1.1.6) y (1.1.8) tratemos de eliminar w y obtener el cociente t1/t2. Esto se logra tambin al dividir lado a lado de (1.1.6) y (1.1.8),(1.1.10)Ahora, claramente para eliminar el cociente t1/t2 , igualemos (1.1.9) con (1.1.10), para obtener una ecuacin con solamente la incgnita principal x,(1.1.11)De la cual obtenemos,(1.1.12)Finalmente, antes dar nuestra respuesta, es aconsejable comprobar e interpretar la consistencia de (1.1.12) con la situacin fsica del problema para algunos casos particulares o extremos. As, si m=n, los botes se encontraran la primera vez en el punto medio del ancho del ro, es decir el ancho del ro debe ser el doble de las distancias recorridas. Ahora, de (1.1.12) el ancho del ro es x=2m, la cual es coherente con que se encuentran en el punto medio. Si n=0, implica que la segunda vez que se encuentran sucede en el punto de partida del bote 1, es decir el bote 1 recorre el doble de distancia que del bote 2, entonces, al encontrarse en el punto A, el bote 1 debe haber recorrido el doble de distancia que el bote 2, as que si la distancia que recorri el bote 2 es m, el bote 1 recorri es 2m, y por tanto, el ancho del ro es de 3m; el mismo resultado que se obtiene al sustituir n = 0 en (1.1.12). Al menos para estos tres casos particulares se comprueba la validez de (1.1.12). Por tanto, afirmamos que el ancho de ro es de 3m-n metros con 3m > nHay problemas geomtricos en los que una distancia es funcin no lineal de otra distancia que vara o se hace variar en cierto dominio fsico. La construccin de su frmula requiere conocimientos y procedimientos geomtricos que estudiaremos en los prximos captulos. Sin embargo, an sin conocer su frmula se pueden estudiar y describir muy bien por medio de programas de geometra dinmica. Veamos el problema del ejemplo 1.1.5Ejemplo 1.1.5 Distancia variable entre dos mviles. En la Figura 1.1.9, el mvil M parte de A hacia B sobre AB. Al mismo tiempo el mvil N parte de B hacia C sobre BC. Si los mviles se desplazan con igual velocidad (constante o variable)

Figura 1.1.9 M se desplaza de A a B y N se desplaza de B a C, ambos con la misma velocidad, MN es la distancia entre ambos.Denote AM=x y MN=y , se ve que al hacer variar x en su dominio, y vara en consecuencia, es decir y es funcin de x, y=f(x) Describa cmo cambia la distancia y con respecto al distancia x, trace la grfica cartesiana y=f(x). Determine la distancia mnima entre los mviles, cul es su valor y cuando sucede.Resolucin. Para percibir como va cambiando la distancia entre los mviles, al avanzar M sobre AB ejecute la Simulacin 1.1 Distancia Una copia de pantalla de esta actividad, adjunta una tabla de valores, se muestra en la Figura. 1.1.10 Arrastre M desde A hasta B, (repita las veces que sean necesarias), observe los valores numricos que van tomando las longitudee AM = BN = x, y la longitud MN=y, observe la grfica cartesiana que se va generado al lado derecho. Establezca las siguientes observaciones y afirmaciones a fin de responder las preguntas planteadas. Las longitudes de AM y de BN siempre son iguales8, pues los mviles M y N se desplazan con la misma rapidez. La distancia entre M y N denotada con y, depende de la distancia recorrida por M denotada con x, percibimos as que y es funcin de x. Al crecer la distancia x de 0 a 6 la distancia y inicia decreciendo desde 6, toma un valor mnimo, luego crece hasta 6. En el intervalo donde y decrece, lo hace cada vez menos con respecto a x; y en el intervalo donde crece, lo hace cada vez ms con respecto a x. y toma un valor mnimo de aproximadamente 4.23 y sucede cuando x = 3. Esto es, la distancia menor que habr entre los mviles es de 4.23 y suceder cuando el mvil M ha recorrido 3, en el punto medio de su recorrido total. El dominio de f es [0. 6] y el rango de f es [4.24, 6]Suponiendo que AB y BC son perpendiculares, ms adelante, construiremos la frmula y=f(x), la graficaremos, y comprobaremos las observaciones y respuestas obtenidas en esta simulacin

Figura 1.1.10 Copia de una pantalla de la Simulacin 1.1.1 Distancia. Ilustra la naturaleza de cambio de la distancia de y respecto a la distancia x, y la existencia de un valor mnimo en y.Comentario 1.1.1. Observemos la grfica cartesiana de la Figura 1.1.8, imaginemos lo que sucede en las proximidades del, y en el valor mnimo de y=f(x) (3, 4.24). Viene decreciendo cada vez menos, en el mnimo deja de decrecer, e inicia a crecer cada vez ms; podemos decir, en este caso, que en exactamente el mnimo, y=f(x) no decrece ni crece, se dice que la rapidez o razn de cambio de y con respecto a x debe ser igual a cero! Este hecho importante se formaliza y estudia en clculo diferencial, y se utiliza en la resolucin de problemas de mximos y mnimos con la metodologa del clculo.

1 Algunos objetos geomtricos y relaciones geomtricas, tales como plano, regin, punto, recta, semirrecta y paralelismo entre rectas, los usaremos sin definirlos, creemos que el lector posee nociones intuitivas visuales de los mismos.2 En clculo se estudian algunos segmentos que no contienen sus extremos.3 En la prctica, S puede ser una regla graduada, una cinta graduada o algn mtodo indirecto para medir longitudes o distancias entre dos puntos segn algn sistema de medidas.4 En general la distancia entre dos puntos puede medirse sobre una trayectoria cualquiera no necesariamente sobre una lnea recta. En particular, como estudiaremos en el Captulo 2, si se mide sobre una circunferencia tenemos lo que se llama longitud de arco. En clculo se estudian los conceptos de distancia entre dos puntos y longitud de arco sobre una trayectoria no lineal en el plano y el espacio. Aqu, cuando no se especifique, entenderemos como distancia entre dos puntos como aquella medida sobre una lnea recta.5 Informalmente, decimos que la longitud vara continuamente en [a, b] si ella toma continuamente todos los valores en dicho intervalo. 6 Tambin se usan los trminos de: velocidad, razn o tasa, como equivalentes al trmino rapidez.7 En la realidad la relacin entre la altura y la temperatura no es lineal, en ciertos termmetros, para bajas temperaturas la altura crece con ms rapidez que para altas temperaturas. Es decir se trata de una funcin creciente cncava hacia abajo.8 Debido a caractersticas de clculo propias del CABRI, para algunas posiciones de M y N las distancias la presenta aproximadamente iguales. Esta situacin de clculo aproximada puede suceder o darse en otras simulaciones sucesivas.

Problemas 1.1

1. Construccin de f(x). (i) Sobre AB de longitud x se ubica el punto M. Si AM mide 2/3 de x y f(x) denota la longitud de MB. Construya la frmula de f(x) y establezca su dominio ideal.(ii) Sobre el segmento AB se ubica el punto M. La razn con 0 < a < 1. Si MB=x y MA=f(x) . Construya f(x) en trminos de a.(iii) Sobre el segmento AB se ubica el punto M. Si AM=x , MB=f(x) y .Construya f(x).2. Distancia recorrida. Dos mviles partiendo de A se desplazan sobre AB manteniendo velocidades constantes de 25 y 30 metros por segundo. El ms rpido llega a B un segundo antes que el ms lento. Determine la longitud de AB.3. Contraccin de una barra. Una barra metlica con longitud inicial de 30 pulgadas, se pone a enfriar en un medio ambiente. Si se sabe que su longitud disminuye a razn de 0.1 pgs/min., durante 7 minutos. Exprese su longitud en funcin del tiempo y su dominio.4. Dilatacin de una barra. Una barra metlica se dilata a razn constante de 0.2 cm./C. Si su longitud es de 60 cm. cuando su temperatura es de 60C. Determine a los cuantos minutos su longitud es de 62 cm.5. Niveles en depsitos. Las alturas iniciales del nivel de agua de dos depsitos son de 2 m. y 3.5 m. Simultneamente se inicia a verter agua y drenar en el segundo, en el primero el nivel sube a razn constante de 0.2 m/min., mientras que en el segundo baja a razn constante de 0.15 m/min. Cundo y a qu altura estarn al mismo nivel?6. Alejndose y acercndose. Un mvil parte a 10 m. de un punto A alejndose en lnea recta con velocidad constante de 2 m./seg. durante 7 segundos, luego cambia de direccin y se acerca al punto A sobre la misma recta con velocidad constante de 3 m./seg. a los cuntos segundos estar en su posicin inicial? Trace la grfica de su posicin en funcin del tiempo.7. Distancia entre mviles. Dos mviles parten del mismo punto desplazndose sobre una misma lnea recta, uno con velocidad v y otro con velocidad w = 2v. Exprese la distancia entre los mviles en funcin de la distancia recorrida por el primero.8. Largo del tnel. Un tren viajando a velocidad constante de 20 k/h. tarda 5 minutos en recorrer completamente un tnel desde que ingresa la locomotora hasta que sale el ltimo vagn. Si el tnel tiene el mismo largo que el tren, determine el largo del tnel.9. Punto de encuentro. Sobre una recta un mvil M deja el punto A a velocidad constante . A una distancia d de A sobre dicha recta, un mvil N deja el punto B a velocidad constate , k horas despus que el mvil M dejara el punto A. En trminos de las variables del problema, Dnde se encontraran los mviles?10. El ciclista y el desfile. Un ciclista inicia conduciendo en la cola de un desfile que tiene 4 k. de largo y se dirige en la direccin del desplazamiento del desfile. Al cabo de cierto tiempo el ciclista alcanza la punta inicial del desfile y regresa al punto de la cola cuando el desfile se ha movido 6 k. Suponiendo que el ciclista y el desfile se movieron el lnea recta a velocidades constantes (pero diferentes) y que el desfile mantiene su mismo largo, Qu distancia recorri el ciclista?11. Duelo de candelas. Dos candelas de longitudes L y L + 1 fueron encendidas a las 6:00 y 4:30 respectivamente. A las 8:30 tenan la misma longitud. La candela ms larga se consumi a las 10:30, y la ms corta se consumi a las 10:00. Determine L.12. La hormiga sobre la tira de hule. Una hormiga camina sobre una tira de hule que se estira. La hormiga parte de un extremo y se desplaza a velocidad constante de 6 cm./min. La longitud inicial de la tira de hule es de 24 cm. y es estirado a razn constante de 12 cm./min. Suponga que hule se estira uniformemente. Lograr llegar la hormiga al otro extremo? Si su respuesta es afirmativa, aproxime el tiempo que tarda. Apyese de una hoja electrnica para sus clculos.13. Longitud de la sombra. Una lmpara se ubica a 3m. del suelo horizontal. Un nio de 1m de estatura, caminando en lnea recta se aleja del punto A sobre el suelo exactamente debajo de la lmpara. Al alejarse la distancia x de A a la posicin del nio aumenta, aumentando en consecuencia la longitud s de su sombra que proyecta sobre el suelo. Ejecute la Simulacin 1.1 Sombra de los valores numricos induzca la frmula s = f(x) y trace su grfica. De la frmula y los datos, si el nio se aleja con velocidad constante de 1m/seg. con qu velocidad se alarga su sombra?14. La escalera que resbala. Imagine una escalera recostada (en una posicin casi vertical) sobre una pared Suponga empujar la base de la escalera alejndola de la pared cierta distancia, luego la vuelve a empujar alejndola la misma distancia, luego nuevamente vuelve alejarla la misma distancia, y as sucesivamente. Suponga que cada vez que se hace esto se mide la distancia que recorre la parte superior de la escalera sobre la pared. (a) Las distancias que recorren la parte superior son iguales; son cada vez ms grandes o cada vez ms pequeas? EXPLIQUE. (b) Suponga que se conecta un motor en la parte inferior de la escalera que la aleja a velocidad constante. La parte superior de la escalera se mover a velocidad constante? EXPLIQUE. (c) Esboce una grfica que represente la relacin entre la distancia del suelo a la parte superior de la escalera y, y la distancia de la parte inferior de la escalera y la pared x cuando la escalera resbala alejndose de la pared, iniciando en la posicin vertical y finalizando cuando la escalera quede sobre el suelo. EXPLIQUE. Compruebe sus respuestas realizando Simulacin 1.1 Escalera (d) Aproximadamente para que valor de x, la velocidad con que resbala la parte inferior es igual a la velocidad con que resbala la parte superior. (e) Para qu intervalo de x aproximadamente la velocidad con que resbala la parte superior es menor que la velocidad con que resbala la parte inferior?

Angulo

1.2 ngulo. Sobre un plano, consideremos las semirrectas L y M con punto inicial en O, como en la Figura 1.2.1. En principio supongamos que M coincide con L (posicin inicial de M). Tomando como pivote a O, giremos sobre el plano a M con referencia a L en cualquier sentido. Para cualquier giro de M, a la abertura entre L y M le llamamos ngulo. A las semirrectas L y M les llamamos lado inicial y lado terminal del ngulo respectivamente, al punto O se le llamamos vrtice del ngulo. Si A y B son puntos cualesquiera sobre L y M pero distintos de O, al ngulo lo simbolizaremos refiriendo a dichos puntos y su vrtice . Tambin es habitual utilizar letras griegas para simbolizar o nombrar ngulos (alpha), (beta), (gamma), (theta), etc.

Figura 1.2.1 Generacin de ngulos. El sentido de giro lo sealamos dibujando una flecha-arco. Podemos nombrar Mencionemos dos casos extremos, si no giramos M y lo dejamos sobre L, el ngulo es una semirrecta que le llamaremos ngulo nulo, si giramos M una vuelta completa hasta ubicarlo sobre L tenemos un ngulo llamado completo. En trigonometra se estudia ngulos ms generales, de ms de una vuelta, sentidos y ngulos negativos, estos no los consideraremos aqu.Visto de una manera ms esttica, ya generado, un ngulo se define como la unin de dos semirrectas con su punto inicial comn (sus lados y su vrtice) contenidos en un plano.En problemas de ingeniera los ngulos se pueden presentar de diversas maneras; como ya generados estticos, no distinguiendo su lado inicial o terminal; con segmentos como lados de diferente longitud, con segmentos y/o rectas como lados, formados en el espacio. Ver Figura 1.2.2. Tambin pueden presentarse o concebirse en movimiento en un plano, con su vrtice desplazndose sobre una recta, o con su vrtice fijo pero ambos lados giratorios sobre un plano cerrando a abriendo la abertura (por ejemplo, el ngulo variable entre las agujas de un reloj) etc.

__entre segmentos___en el espacio_____en el espacio entre rectas L y M

Figura 1.2.2. Algunas representaciones y simbolizaciones de ngulos.Si los lados de un ngulo son semirrectas a la regin comprendida entre sus lados le llamaremos regin angular. Si uno o los dos lados de un ngulo son segmentos, para determinar su regin angular asociada prologuemos el o los segmentos sobre semirrectas coincidentes a los mismos. Segn esta definicin, la regin angular no depende de la longitud de los lados del ngulo; adems, claramente toda regin angular es no acotada, no limitada.Medicin. Al grado de abertura entre lados de un ngulo se le asocia una medida. La medida de la abertura es independiente de la longitud de los lados del ngulo. Bsicamente existen tres sistemas de medicin, (i) fraccin de vuelta o vuelta, (ii) grados sexagesimales y (iii) radianes.En el sistema de vuelta se dice por ejemplo, que el ngulo mide media vuelta, de vuelta, de vuelta, una vuelta o una revolucin, etc.En el sistema de grados sexagesimales, un ngulo de una vuelta completa se divide en 360 ngulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 grado sexagesimal denotado con 1, por tanto un revolucin tiene 360. Un ngulo de 1 se divide en 60 ngulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 minuto denotado con 1, por tanto 1 tiene 60. Un ngulo de 1 se divide en 60 ngulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 segundo denotado con 1, por tanto 1 tiene 60. Un ngulo de 1 se divide en 10 ngulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide una dcima de segundo. En la prctica este sistema ya no acepta ms subdivisiones de ngulos. En este sistema es comn usar la notacin decimal en grados, as por ejemplo, un ngulo que mida 304518 se equivale a .En el sistema de radianes, a un ngulo de una vuelta se le asocia una medida de radianes, de manera que un ngulo de de vuelta se le asocia una medida de un radin. Ms adelante precisaremos su definicin.Factores de conversin. Puesto que en sus definiciones los sistemas establecen proporciones entre s, para convertir medidas de un sistema a otro usaremos los factores de conversin (1.2.1) o sus recprocos, segn nuestras necesidades de conversin.(1.2.1)La Tabla 1.2.1 presenta algunas equivalencias comunesFraccinDe vueltaGradossexagesimalesRadianes

000 rads.

1/1230/6 0.5236 rads.

1/845/4 0.785 rads.

1/(2)57.291 radin

1/660/3 1.047 rads.

90/2 1.578 rads.

1/114.592 radianes

180 3.1416 rads.

2703/2 4.71 rads

13602 6.2832 rads.

Tabla 1.2.1. Equivalencias entre medidas de ngulos comunes. Es conveniente saberlos de memoria para su transformacin inmediata. Vea si su calculadora posee teclas o comandos para realizar transformaciones entre medidas Comentario 1.2.1. (a) Usaremos indistintamente el nombre del ngulo y su medida. Escribimos para denotar que el ngulo denotado con mide 87.22, (b) generalmente, en geometra los ngulos tienen medidas entre 0 y 180. (c) independientemente de la longitud de sus lados, dos o ms ngulos con la misma medida les corresponden regiones angulares iguales.Atendiendo a su medida o a su relacin con otros ngulos u objetos geomtricos los ngulos se clasifican y se nombran.ngulos congruentes. Dos o ms ngulos se llaman congruentes si tienen la misma medida independientemente de su disposicin en el plano o espacio. Brevemente diremos que los ngulos son iguales. Como en la Figura 1.2.3, se utilizan diversas marcas o seas para referirse a esta relacin en su dibujo.

Figura. 1.2.3 Los ngulos con barritas tienen la misma medida. Los ngulos con dobles arcos tienen la misma medida.Clasificacin y nombres segn su medida. Ver Figura 1.2.4

Figura 1.2.4 Dibujos y nombres de ngulos segn su medida.Pares de ngulos adyacentes. Dos ngulos (no nulos) son adyacentes si tienen el mismo vrtice, uno de sus lados en comn, y sus regiones angulares correspondientes no se traslapan Ver Figura 1.2.5

Figura 1.2.5 Los ngulos y son adyacentes con lado comn OC. Los ngulos y no son adyacentes pues sus regiones se traslapan aunque tengan lado comn OE.Pares de ngulos complementarios. Dos ngulos se llaman complementarios si su suma es igual a 90 (o /2 radianes) Es decir, como en la Figura 1.2.6, si al disponerlos adyacentes (o aparecen dispuestos ya as) sus otros dos lados forman un ngulo recto. Se induce que en un ngulo recto se pueden formar una infinidad de pares de ngulos complementarios.

Figura 1.2.6 y son complementarios pues + = 90 = /2 y se pueden disponer adyacentes formando un ngulo recto.Note que aunque un ngulo nulo y un recto son complementarios, este caso no tiene inters prctico.Pares de ngulos suplementarios. Dos ngulos se llaman suplementarios si su suma es igual a 180 (o 2 radianes) Es decir, como en la Figura 1.2.7 si se disponen adyacentes (o aparecen dispuestos ya as) sus otros dos lados quedan sobre una recta formando un ngulo llano.

Figura 1.2.7 y son suplementarios pues + =180. Sus dos lados no comunes OA y OC quedan sobre una recta. Notemos que segn definicin, un ngulo nulo y un llano son suplementarios.Pares de ngulos opuestos por el vrtice. Dos ngulos son opuestos por su vrtice si tienen en comn a un ngulo adyacente que es suplementario a cada uno de ellos. En la Figura 1.2.8, y son opuestos por el vrtice, pues o es adyacente suplementario comn a y . Por otro lado y son opuestos por el vrtice, pues tienen como adyacente suplementario comn a o a .

Figura 1.2.8 Los pares de ngulos y y y son opuestos por el vrtice. Notemos que un llano tiene como opuesto por el vrtice a otro llano.Igualdad de ngulos opuestos por el vrtice. De la definicin de ngulos opuestos por el vrtice se sigue que los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes, es decir tienen la misma medida. DemuestrePares de ngulos formados entre dos paralelas y una transversal. Como en la Figura 1.2.9, consideremos dos rectas paralelas, y una tercera recta que las corta, llamada transversal.

Fig. 1.2.9 Cuando una recta corta a dos paralelas se forma ocho ngulos no nulos menores que 180Observamos que se forman ocho ngulos menores que 180, cuatro en la regin interior entre paralelas: , y , llamados internos; y cuatro fuera de dicha regin: y , llamados externos. De acuerdo a su disposicin en los lados de la transversal y sin son alternos o internos sus nombres se presentan en la Tabla 1.2.2

Tabla 1.2.2 Nombres de ngulos formados entre dos paralelas y una transversal. Propiedad 1.2.1. Igualdad de pares de ngulos entre paralelas y transversal.Las parejas de ngulos formados por dos paralelas y una transversal, tienen la propiedad de tener igual medida. Por ejemplo, una pareja de alternos internos son iguales, una pareja de correspondientes tienen igual medida, etc. Deduzcamos y aceptemos estas igualdades apoyndonos en argumentos intuitivos; as por ejemplo, con relacin a la Figura 1.2.9, es fcil convencerse (convnzase Usted mismo por si slo) que el par de ngulos correspondientes y cumplen = , y como = por ser opuestos por el vrtice, luego entonces, el par de ngulos alternos internos y , deben ser iguales. Con razonamientos similares podemos deducir y aceptar las igualdades de parejas de ngulos entre paralelas y transversal presentadas en la Tabla 1.2.3.

Tabla 1.2.2 Nombres y propiedades de ngulos formados entre dos paralelas y una transversal.

Una manera de evidenciar las igualdades de la propiedad 1.2.1 la podemos realizar ejecutando una simulacin por computadora. Verifique que se cumplen las igualdades de pares de ngulos presentadas en la Tabla 1.2.3 realizando la Simulacin 1.2.3 Paralelas. Una copia de tal simulacin se presenta en la Figura. 1.2.9

Figura 1.2.9 Copia de pantalla de la Simulacin 1.2.1 Paralelas. Si mantenemos fijas las paralelas y giramos la transversal los ngulos varan pero se mantienen las igualdades de la Tabla 1.2.2. Si dejamos fija una de las paralelas y la transversal, y desplazamos paralelamente la otra paralela los ngulos no cambian y se mantienen las igualdades de la Tabla 1.2.2, etc. etc.Comentario 1.2.2. Las igualdades de la propiedad 1.2.1 debemos aprenderlas pues son importantes, en el sentido de que por medio de ellas podremos deducir propiedades, tambin importantes, en otros objetos geomtricos (como se ver en seguida) y por que mediante su aplicacin podremos resolver algunos problemas. Propiedad 1.2.2. La suma de tres ngulos internos es igual a 180. Como en la Figura 1.2.10, considere tres rectas concurrentes que se intersecan dos a dos en tres puntos diferentes. Muestre que la suma de los tres ngulos formados dentro de la regin limita por las tres rectas es igual a 180.

Figura 1.2.10 Tres rectas concurrentes con tres puntos de interseccin dos a dos diferentes forman tres ngulos internos, y . Debido a los tres ngulos internos a la regin limitada por las tres rectas le llamaremos regin triangular.Demostracin. Con referencia a la Figura 1.2.10. Sean L, M y N tres rectas concurrentes, P, Q y R los tres puntos diferentes de interseccin dos a dos, y , y los tres ngulos internos.Seleccionemos cualquier punto de interseccin de dos rectas concurrentes, digamos el punto P, interseccin de L y M, y tracemos una recta paralela a la tercera N que pase por P. Ahora usando igualdades de ngulos entre dos paralelas y transversales, notamos que debe cumplirse con (1.2.2)Es decir, la suma de dichos ngulos internos es igual a uno llano. Dejamos al lector los procedimientos, trazos y razonamientos intermedios para convencerse por si mismo de la afirmacin en (1.2.6Consecuencias de la Propiedad 1.2.2(i) En la Figura 1.2.11, las rectas L, M y N forman una regin cerrada limitada por los tres segmentos PQ, PR y QR , los cuales tomados dos a dos, forma tres ngulos. A esta regin le llamaremos regin triangular en los otros captulos le llamaremos tringulo. Segn (1.2.6) se dice que la suma de tres ngulos internos en una regin triangular es igual a 180.(ii) Segn (1.2.6) siempre es posible expresar (despejando) uno de los tres ngulos en trminos de los otros dos, en particular, podemos determinar uno de ellos si conocemos los valores de los otros dos.(iii) Si en (1.2.6) uno de los tres ngulos es recto, entonces la suma de otros dos agudos es 90 = .(iv) Si dos o mas regiones triangulares tienen dos pares de ngulos, cada par con igual medida, entonces el tercer par de ngulos deben tener igual medida. Comentario 1.2.3 (i) Tambin se llega a (1.2.6) si traza una paralela a M que pase por Q, o bien una paralela a L que pase por R. (ii) Como en la resolucin de este problema, en algunos problemas, la medida o relaciones entre medidas de ngulos que se requieren en el proceso de resolucin, se obtienen al trazar paralelas a ciertas rectas o segmentos apropiadas con el fin de usar las igualdades de ngulos entre paralelas y una transversal. Tenga en mente este hecho y selo cuando considere de utilidad, (iii) como lo veremos ms adelante, las propiedades 1.2.1 y 1.2.2 junto con sus consecuencias, tienen amplia aplicacin en la solucin de una variedad de problemas.Habiendo descrito brevemente definiciones y propiedades ms importantes de ngulos, estudiemos algunas situaciones para mejorar su comprensin e ilustremos su uso o aplicacin en la resolucin de algunos problemas.Ejemplo 1.2.1. ngulos complementarios. Un ngulo en radianes crece en el tiempo a partir de 0.1 radianes con una rapidez de 0.5 radianes/minuto, durante 2 minutos. Determine el intervalo de variacin de su complementario.Resolucin. Denotemos con t el tiempo, con el ngulo dado y con su complementario. De los datos tenemos,(1.2.3) de las dos primeras relaciones de (1.2.3) tenemos,(1.2.4) despejando la tercera ecuacin en (1.2.3), sustituyendo en (1.2.4) y simplificando queda(1.2.5) Claro que en este proceso, decrece en el intervalo especificado en (1.2.4) Ejemplo 1.2.2 Agujas del reloj. A qu hora por primera vez despus de la 1:00 la aguja horaria y la aguja minutera de un reloj formarn un ngulo de 91?Resolucin. Sea los minutos transcurridos despus de que las agujas marcaron la 1:00. Sabiendo que la horaria gira /minuto, y que la minutera gira 6/minuto y segn los ngulos sealados en la Figura 1.2.11

Figura 1.2.11. Un dibujo apropiado del problema es fundamental para comprender el problema y ayuda en su resolucin. El lado inicial (de referencia adecuado) de los ngulos es el segmento formado cuando las agujas marcan las 12:00 en punto.Tenemos, que el ngulo generado por la horaria, el ngulo generado por la aguja minutero y el ngulo agudo formado por ellas, se escriben, (1.2.6)Segn requerimiento, al hacer y resolver el sistema (1.2.6) obtenemos t=12. Por lo que a las 1:22 las agujas forman un ngulo de 91 Comentario 1.2.3 En esta resolucin, t es la variable principal, son variables auxiliares que se introducen para construir un sistema de ecuaciones consistente en el sentido de que se puede eliminar algebraicamente las auxiliares y determinar el valor de la principal. Este procedimiento, bsico y comn, ya lo hemos empleado en la resolucin de problemas anteriores y lo seguiremos usando en sucesivas resoluciones.Como ya lo mencionamos, la Propiedad 1.2.2 y sus consecuencias tienen aplicaciones en resolucin de muchos problemas que involucran regiones triangulares que se estudian en precalculo y clculo. Veamos el siguiente problema. Ejemplo 1.2.3 Como una sencilla y directa aplicacin de la Propiedad 1.2.2, mostremos que en la Figura 1.2.12.

Figura 1.2.12 Las dos regiones triangulares ABC y ADE tienen en comn el ngulo con vrtice en A y cada uno tiene un ngulo recto.Resolucin. Si denotamos con al ngulo con vrtice en A (variable auxiliar). De la consecuencia (iii) de (1.2.6) para las regiones triangulares ABC y ADE, tenemos respectivamente,(1.2.7)Inmediato, en (1.2.7) notamos que En algunos problemas aplicados geomtricos de precalculo y clculo se requiere el estudio de la naturaleza de variacin de ngulo cuando se hace variar una longitud de la cual el ngulo se hace depender. El ejemplo 1.2.5 ilustra uno de estos problemas. Ejemplo 1.2.4 El ngulo de mayor medida. En la Figura 1.2.13, una estatua de 2 metros de altura est sobre su pedestal de 3 metros de alto. Una persona de 2 metros de estatura la observa. Llamemos ngulo de visin al sealado. A qu distancia aproximadamente debe pararse la persona para que el ngulo de visin sea el mayor posible? Suponga que sus ojos estn a 2 metros sobre suelo.

Figura 1.2.13. Al observar la estatua, el movimiento giratorio del enfoque de visin de los ojos del observador entre la parte inferior y superior de la estatua forma el ngulo llamado de visin.Resolucin. Iniciemos entendiendo que se trata de un problema que involucra dos magnitudes variables en el que una es funcin de otra (es decir es un problema de variacin). A distancias cercanas a la estatua los ngulos de visin son pequeos y para distancias alejadas tambin los ngulos de visin son pequeos, mientras que a distancias intermedios los ngulos son un poco mayores. Inducimos que el ngulo de visin es variable y es funcin de la distancia de la persona a la estatua (que tambin variable) y que debe tener un valor mximo. As que si denotemos con x>0 la distancia, con el ngulo la funcin = f(X) debe tener un valor mximo en su dominio. Para percibir el comportamiento descrito, y resolver el problema ejecutemos la Simulacion 1.2 Vision. Al desplazar el punto P sobre la recta horizontal, desde x=0 hasta valores relativamente grandes observamos. Si x = 0 entoncea = f(0) = 0 ,al aumentar x. = f(x) tambin crece hasta alcanzar un valor mximo, luego a partir del valor mximo, si x aumenta, = f(x) decrece y, finalmente, inducimos que cuando , (y = 0 es asntota horizontal de la grfica) De la simulacin, el valor mximo de es 30 aproximadamente y se alcanza cuando la persona est a una distancia x entre 1.7 y 1.8 metros de la estatua, aproximadamentePreguntas: Cuando la persona se aproxima a la estatua, Qu ngulos tienden a cero y qu ngulo tiende a 180? Cuando la persona se aleja de la estatua en el infinito, Qu ngulos tienden a ser rectos? Justifique por qu en el infinito el ngulo de visin tiende a ser cero Cometario 1.2.4 (1) Visto desde un punto ms geomtrico, se trata de un ngulo cuya posicin de su vrtice lo hacemos desplazar sobre una recta a condicin de que sus lados siempre pasen sobre dos puntos fijos (parte inferior y superior de la estatua). Bajo este proceso de variacin la medida del ngulo vara y toma un valor mximo. (2) En este proceso de variacin, las magnitudes variables son: el ngulo de visin y la distancia de la persona a la estatua. Mientras la altura del pedestal, la altura de la estatua y la estatura de la persona permanecen constantes. (3) La frmula = f(x) se construye usando trigonometra. La determinacin del valor mximo se determina alternativamente y con mayor precisin utilizando clculo diferencial o bien graficando su frmula con computadora o calculadora. (4) Finalmente, hemos supuesto que la persona se desplaza sobre una misma recta horizontal. Si persona se mueve sobre cualquier trayectoria en el suelo, cambia para qu trayectoria se mantiene constante?

Problemas 1.2

Problemas 1.2 1. Dibujos. Dibuje (i) tres ngulos de 45 cuyos lados midan 2 y 1 cm., 5 y 5 cm. y 7 y 12 cm. respectivamente, (ii) dos ngulos rectos opuestos por el vrtice. (iii) dos ngulos suplementarios con lados diferentes, (iv) una regin triangular con sus tres ngulos internos iguales.2. Conversiones. Un motor gira 3,450 revoluciones por minuto. Determine (i) su velocidad en radianes por minuto, llamada velocidad angular, (ii) su velocidad en radianes por segundo, (iii) los segundos que tarda en completar una vuelta o ciclo llamado periodo, (iv) los ciclos o vueltas que gira en un segundo, llamada frecuencia.3. Relaciones entre medidas. (i) Un ngulo mide 31 qu valores puede tomar su adyacente? (ii) Dos ngulos son suplementarios, uno mide el triple del otro Cunto mide cada uno? (iii) Dos ngulos son complementarios, uno es /8 radianes mayor que el otro Cunto mide cada uno?4. Calculo de valores. En la Figura 1.2.14 Reconociendo propiedades entre los ngulos plantee ecuaciones, resulvalas y calcule los valores de las variables.

Figura 1.2.14 Reconozca ngulos complementarios, suplementarios, opuestos por el vrtice, alternos externos, etc. 5. ngulos variables en el tiempo. En la Figura 1.2.15, el ngulo crece a partir de /12 con una rapidez de 0.35 radianes/minuto, mientras que el ngulo decrece a partir de 3/4 con una rapidez de 0.1 radianes/minuto A los cuntos minutos tendrn la misma medida?, Cul es su medida?

Figura 1.2.15. Respecto al mismo lado terminal sealado, crece, mientras que decrece.6. Manecillas coincidentes. (a) A qu hora entre las 2:00 y 3:00 est la manecilla del minutero exactamente sobre la manecilla horaria? (b) A qu hora entre n:00 y (n+1):00 esta la manecilla del minutero exactamente sobre la manecilla horaria?7. Manecillas del reloj. Henry inici un viaje entre 8:00 AM y 9:00 AM, cuando las manecillas de su reloj estaban exactamente juntas. l lleg a su destino entre 2:00 PM y 3:00 PM, cuando las manecillas de su reloj estaban exactamente opuestas una de la otra. Cunto tard el viaje?8. Suma de tres ngulos internos (prueba alternativa). En la Figura 1.2.16, explique por qu la suma de los tres ngulos en el interior de las tres rectas que se intersecan en tres puntos diferentes es igual a dos rectos, es decir, a uno llano.

Figura 1.2.16. Observe igualdad de ngulos entre dos paralelas y una transversal.9. Calculo numrico de ngulos internos. En la Figura 1.2.17, determine los valores de ngulos desconocidos en el interior de las regiones triangulares.

Figura 1.2.17. Vea las seas que representan igualdad de ngulos.10. Casos extremos. (i) Alguien le dice que uno de los ngulos de una regin triangular mide 180 En qu se reduce la regin triangular?, Cunto mide cada uno de los otros dos ngulos? (ii) Alguien le dice que una regin triangular tiene dos ngulos que son casi rectos Cunto debe medir el tercer ngulo? Explique cmo debe ser la regin triangular.11. Angulo externo. En una regin triangular formada por tres rectas, al ngulo suplementario a un ngulo interno se le llama ngulo externo. Muestre que un ngulo externo es igual a la suma de los dos ngulos internos no adyacentes.12, ngulo doble. En la Figura 1.2. 18, muestre que .

Figura 1.2.18. Observe tres regiones triangulares. Selecciones las apropiadas y trabaje con ellas. 13. Suma de dos ngulos agudos = 90. Aplicando la Propiedad 1.2.2, deduzca su consecuencia (iii).14. Igualdad de medida. Usando (1.2.2) determine la medida de los ngulos internos en una regin triangular si los tres tienen la misma medida.15. Igualdad de ngulos del tercer par. Usando (1.2.2) muestre que si dos regiones triangulares tienen dos pares de ngulos, de tal manera que cada par tiene igual medida, entonces, la tercera pareja de ngulos deben tener la misma medida.16. Visualizando ngulos. En la Figura 1.2.19, determine la medida de todos los ngulos internos en las dos regiones triangulares, y diga que parejas de ngulos son iguales.

Figura 1.2.19 Vea qu segmentos son paralelos y use igualdades de ngulos entre paralelas y transversal.17. Construccin de regin triangular 1. En la Figura 1.2.20, trace un segmento que pase por D a fin de que la regin triangular resultante y la regin triangular ABC tengan parejas de ngulos con igual medida y un ngulo en comn.

Figura 1.2.20 Trate de usar la teora sobre paralelas y una transversal.18. Construccin de regin triangular 2. En la Figura 1.2.21, (i) trace un segmento que pase por A y corte DE a fin de que la regin triangular resultante y la regin triangular ABC tengan pares de ngulos iguales. (ii) trace un segmento que pase por B y corte DF a fin de que la regin triangular resultante y la regin triangular ABC tengan pareja de ngulos con igual medida. Explique su razonamiento y procedimiento.

Figura 1.2.21.Trate de usar la teora sobre paralelas y una transversal.19. Construccin de regin triangular 3. En la Figura 1.2.22, trace un segmento que pase por C a fin de que resulten tres regiones triangulares con parejas de ngulos de igual medida. Explique su razonamiento y procedimiento.

Figura 1.2.22. Use el hecho de que ABC tiene un ngulo recto.20. Construccin de regiones triangulares. En la Figura 1.2.33, sobre AB ubique la posicin de un punto P de tal manera que las regiones triangulares APD y PBC tengan tres parejas de ngulos, cada par con igual medida. Sugerencia. Trate de usar una reflexin simtrica.

Figura 1.2.23. La posicin de P que cumpla con lo pedido, resuelve el problema de determinar la posicin de P sobre AB de tal manera que la distancia DP + PC se la menor de todas. Puede verlo?21. ngulos en doblez. Se dobla una tira rectangular de papel segn se muestra en la Figura 1.2.24. Exprese los ngulos y en trminos de .

Figura 1.2.24. Puede ensayar dicho doblez, doblando y desdoblando una hoja de papel en concreto y vea qu ngulos son iguales.22. ngulo entre el poste y su cable tensor. Sobre una ladera en lnea recta un poste vertical es tensado con un cable como se muestra en la Figura 1.2.25. Exprese en trminos de ySugerencia. Trace paralelas horizontales, vea igualdades de ngulos entre paralelas y transversal y use la propiedad 1.2.2 para la regin triangular cable-poste-ladera.

Figura 1.2.25. La ladera tiene un ngulo de inclinacin respecto al suelo horizontal, el cable tensor tiene un ngulo de inclinacin respecto a la horizontal23. El tercer ngulo. Una regin triangular se transforma al transcurrir el tiempo, (i) un ngulo interno crece a partir de 30 con una rapidez de 1/segundo, otro ngulo decrece a partir de 60 con una rapidez 1/segundo. Cul es el valor de tercer ngulo?, (ii) un ngulo interno decrece a partir de /2 con una rapidez de /12 radianes/minuto, otro ngulo se mantiene constante igual a /4, exprese el tercer ngulo en funcin del tiempo y determine su domino, a los cuntos minutos la regin se transforma en un segmento? 24. ngulos de elevacin.9 En la Figura 1.2.26, sobre un plano vertical que contiene a los puntos O, A y B, el observador O sigue el desplazamiento horizontal de los aviones A y B. Si los ngulos de elevacin y crecen a partir de 20 y 30 con una rapidez constante de 9 por segundo y 7 por segundo respectivamente. (i) Exprese los ngulos y en funcin del tiempo., (ii) a los cuntos segundos B alcanza a A, y cul la medida de cada uno de los ngulos?

Figura 1.2.26. y crecen en tiempo. Puesto que crece ms rpido que , hay un momento en el que . 25. ngulos de depresin. En la Figura 1.2.27, desde la parte superior del edificio de mayor altura se medien los ngulos de depresin y de la parte superior e inferior de edificio de menor altura. Exprese los otros ngulos en trminos de los ngulos de depresin.

Figura 1.2.27. y se llaman ngulos de depresin.26. Pndulo. En el estudio del movimiento de un pndulo, Figura 1.2.28, se usan los ngulos y formados entre los vectores de fuerza radial y angular y sus componentes indicadas y son funcin de . Exprese dichos ngulos en trminos de ngulo llamado polar.

Figura 1.2.28 ngulos entre vectores radial y angular y sus componentes.27. Plano inclinado. Al estudiar el deslizamiento de una masa sobre un plano inclinado como de la Figura 1.2.29 se necesita establecer relaciones entre los ngulos que forman los vectores de fuerza indicados. Exprese y en trminos de .

Figura 1.2.29. ngulos entre vectores y componentes de fuerza

28. Variacin de ngulos En la Figura 1.2.30, si las perpendicularidades se mantienen, (i) Determine el intervalo de variacin de y si se hace variar en [0.1,1.25] radianes. (ii) En la Figura 1.2.26, si crece a partir de 10.1 con una rapidez de 0.1/segundo durante 25 segundos. Exprese en trminos del tiempo y determine su intervalo de variacin

Figura 1.2.30. Cuando vara, y tambin varan.29. Variacin del ngulo. En la Figura 1.2.31, los mviles A y B parten simultneamente del punto S y se desplazan a velocidad constante sobre la semirrecta L. La velocidad de A es 3 veces mayor que la velocidad de B. Al desplazarse A y B desde S hacia el infinito. (i) Describa los intervalos de variacin de y , (ii) Trace cualitativamente la grfica , describa su comportamiento y razone del por qu de dicho comportamiento. Verifique sus razonamientos y respuestas realizando la Simulacin 1.2.3. Mviles.

Figura 1.2.31. Segn datos del problema, al desplazarse A y B sobre L, el ngulos es funcin de la distancia x recorrida por A.30. Frmula para la suma de ngulos internos (generalizacin). En el ejemplo 1.2.3 mostramos que la suma de los tres ngulos internos formados por tres rectas concurrentes es de 180 = 1(180). Ahora, (i) Como en la Figura 1.2.32a considere cuatro rectas concurrentes que se intersecan dos a dos en cuatro puntos diferentes, trazando un recta que pase por dos puntos de interseccin y usando el resultado del Problema 1.2.3 muestre que la suma de los cuatro ngulos en el interior de las cuatro rectas es de 2(180). (ii) Como en la Figura 1.2.32b, considere cinco rectas concurrentes que se intersecan dos a dos en cinco puntos diferentes, trazando dos rectas que pasen por A y otros dos puntos de interseccin diferentes, y usando el resultado del problema 1.2.3, muestre que la suma de los cinco ngulos en el interior de las cinco rectas es 3(180). (iii) Usando los resultados anteriores, induzca la frmula para la suma de n ngulos en el interior de n rectas concurrentes que se intersecan en n puntos diferentes. Observe que la regin debe quedar limitada por cada una de las rectas concurrentes. Compruebe su frmula para casos particulares.

Figura 1.2.32 (a) ngulos internos en la regin limitada por cuatro rectas concurrentes, (b) ngulos internos en la regin limitada por cinco rectas concurrentes.

9 Un observador puntual situado en una recta horizontal observa a objeto puntual arriba de la recta horizontal, en trigonometra, al ngulo agudo formado por la recta horizontal y la semirrecta con su extremo en el observador y que pasa por el objeto en un mismo plano se le llama ngulo de elevacin10 Un observador puntual situado en una recta horizontal observa a objeto puntual abajo de la recta horizontal, en trigonometra, al ngulo agudo formado por la recta horizontal y la semirrecta con su extremo en el observador y que pasa por el objeto en un mismo plano se le llama ngulo de depresin

Principal Capitulo 2

Captulo 2 Figuras planas comunesRecordemos nombres y definiciones de figuras geomtricas planas comunes: cuadrado, rectngulo, tringulo, crculo, etc. Todas ellas son figuras planas cerradas limitadas por segmentos de recta y/o arcos circulares. A dichas figuras se les asocia un permetro, el cual est constituido por los segmentos y/o arcos circulares que lo limitan. A dicho permetro se le asocia una longitud, a esta longitud usualmente tambin se le llama permetro. A estas figuras se les asocia tambin una regin del plano, la regin que est limitada por el permetro. A dicha regin se le asocia un rea que representa el nmero de unidades cuadradas de dicha regin. Veamos algunas de dichas figuras:

Recuerda el nombre especfico de cada una de ellas? En el mundo fsico, existen muchos objetos: terrenos planos, superficies planas de objetos, etc. que pueden considerar representantes concretos de figuras geomtricas ideales comunes. Unas las consideraremos estticas, no cambian de forma, rea y permetro en el tiempo y/o plano, por ejemplo la hoja (plana) donde Ud. est leyendo ahora. Otras cambian de forma, y/o rea, y/o permetro en el tiempo y espacio; imagine un disco circular metlico que al transcurrir el tiempo se dilata simtrica y radialmente al someterse a calentamiento. Por otro lado, por necesidades de resolver determinado problema, a cierta figura, nosotros mismo haremos variar sus magnitudes, por ejemplo, podemos (imaginar) hacer variar el permetro de un rectngulo sin que su rea cambie. Aceptaremos tambin figuras degeneradas, por ejemplo, un rectngulo que se degenera en segmento, un tringulo que degenera en un slo punto, etc. a ellas les asociaremos rea o permetro nulo. Observacin. En general, nosotros nos interesaremos en estudiar una clase de especial de figuras planas llamadas convexas. Ellas se caracterizan porque todo segmento que une dos puntos cualesquiera de la regin limitada por el permetro queda completamente sobre dicha regin.

En algunas ocasiones trabajaremos con figuras no convexas, por ejemplo ciertos tipos de sectores circulares, o figuras no convexas compuestas por figuras convexas.

Cuadrado

2.1 Cuadrado Consideremos el segmento fijo AB, de longitud (finita) l >0 pero fija; imaginemos el segmento CD, tambin de longitud l coincidente con AB, traslademos CD paralelamente a AB sobre el plano una distancia l perpendicular a AB, la regin barrida por CD le llamaremos cuadrado: regin plana limitada por cuatro segmentos de igual longitud perpendiculares dos a dos.

A los cuatro segmentos se les llama lados. Se dice que los lados AB e DC son opuestos entre s, que tambin los lados AD y BC son opuestos entre s. El punto de interseccin de dos lados se llama vrtice. Se dice que los vrtices A y C son opuestos y los vrtices A y D son adyacentes, lo mismo puede decirse para otros pares de vrtices. Los segmentos AD y BD se llaman diagonales. Generalmente el cuadrado se dibuja con lados horizontales y verticales. Generalmente, el cuadrado se dibuja con lados horizontales y verticales.

2.1.1 Permetro Es el nmero de unidades de longitud que mide la suma de sus cuatro lados P = l + l + l + l = 4l. Imaginemos una plancha metlica de forma de un cuadrado cuyos lados se dilatan con la misma rapidez al ser expuesta a un cierto flujo de calor. Puesto que l cambia en el espacio y/o tiempo, entonces su permetro P cambiar. En este sentido se dice que P depende de l, dicha relacin de dependencia entre ellos es lineal,

2.1.2 reaEs el nmero de unidades cuadradas de la regin limitada entre sus cuatro lados (incluyendo esos lados). Ella se calcula multiplicando por si mismo sus lados Vemos que si hacemos variar los lados de un cuadrado entonces su rea vara, la relacin entre su rea y la longitud de su lado es cuadrtica,

Observaciones (a) Comnmente al dibujo del permetro del cuadrado tambin se le llama cuadrado. (b) La maneara con que generamos el cuadrado no corresponde con el procedimiento fsico con el cual dibujamos el cuadrado, nosotros dibujamos su permetro. (c) Si AB es segmento nulo, l = 0, diremos que el cuadrado se degenera en un punto. (d) Los propios lados pueden o no incluirse en la regin que representa el rea del cuadrado. Para una figura dada, s se incluye o no el permetro, su rea es la misma. En las reas de figuras sucesivas, aunque no lo explicitemos, ellas incluyen su permetro. Distingamos en dibujo cuando los lados pertenecen o no a la regin. Se dice que el primer cuadrado incluye su frontera y que el segundo no la incluye. Sin embargo ambos tienen la misma rea.

2.1.2.1 rea variableUna placa metlica tiene la forma de un cuadrado. Despus de haber sido sometido a calentamiento, se le deja enfriar. La longitud de su lado en el preciso momento en que se inici el proceso de enfriamiento era de 157.8 cm, y el tiempo de enfriamiento considerado es de 9.4 minutos. Suponiendo que por cada minuto que transcurre su longitud disminuye de manera constante en 0.1 cm. Nos interesa investigar. (a) El rea del cuadrado cuando hayan transcurrido los 9.4 minutos de enfriamiento. (b) A los cuantos minutos su rea es de 24774 cm? (c) La diferencia entre el rea inicial y el rea en un instante determinado. (d) Las grficas cartesianas de su lado (L), su rea (A) y la diferencia de reas (D) en funcin de t, con min. Solucin. Primeramente tenemos que imaginar que los lados y el rea del cuadrado son magnitudes que disminuyen en el tiempo, ellas son magnitudes variables que dependen del tiempo que transcurre. Por otro lado, el rea depende de la longitud de su lado, y el lado depende del tiempo, por tanto, es claro que el rea depende, finalmente, del tiempo. Refiramos la medida de la longitud de sus lados en uno de los vrtices el cual lo supondremos fijo (aunque en realidad todos sus vrtices pueden estar acercndose entre s). Denotemos con t el tiempo medido en minutos donde . Denotemos con L la longitud de los lados, y con A el rea, en ese intervalo de tiempo.

(a) Puesto nos piden su rea a los 9.4 minutos, si tuviramos la relacin entre el rea y el tiempo A = A(t), simplemente sustituiramos 9.4 por t y de all obtendramos el rea A correspondiente. Veamos s estos se puede realizar a partir de los datos que nos proporcionan. Por un lado, sabemos que A = A(L) = L, y por otro, nos dicen que L disminuye en 0.1 cm./min. a partir de su longitud inicial de 157.8 cm, esto ltimo nos permite escribir L en trminos del tiempo: L = L (t). Por tanto, si hemos escrito L en trminos de t, sustituimos esta expresin en la relacin del rea del cuadrado, tendremos finalmente el rea en trminos del tiempo (en realidad se trata de construir dos funciones y realizar una composicin con ellas). Realicemos esas actividades. Como L decrece a una velocidad constante de 0.1 cm/min. y su longitud inicial es de 157.8 cm. entonces la longitud de su lado decrece segn la relacin lineal: L = 157.8 - 0.1t, donde . Pero como A = L, entonces, A = A(t) = (157.8 - 0.1t), con 0 t 9.4Ella nos da, explcitamente, el rea para cualquier tiempo, y nos informa tambin cmo vara A al transcurrir el tiempo. En particular, si t = 9.4 min., entonces el rea de cuadrado es A = A(9.4) = (157.8 - 0.1(9.4)) = 24605 cm aproximadamente.(b) Nos dan el valor de A = 24774, nos piden determinar el valor de t correspondiente. Esto se puede responder usando la misma relacin A = (157.8 - 0.1t). Despejando t, queda: t = t(A) = (157.8 - )/0.1, con 24,605 A 24,901 en la realidad hemos encontrado la expresin inversa de A = A(t). Esta relacin nos da, explcitamente, el tiempo en funcin del rea, ella nos puede informar el tiempo necesario que debe transcurrir para alcanzar determinada rea. En particular si A = 24774, tenemos: t = t(24774) = 10(157.8 - ) 4. Por tanto, a los 4 segundos su rea es 24774 cm aproximadamente.(c) La diferencia de reas es: D = D(t) = rea inicial - rea en determinado tiempo = 157.8(157.8) - (157.8 -0.1t) al simplificar queda D(t) = 31.56t + 0.01t cm.Ella nos informa cunto ha disminuido el rea en un instante determinado. Cunto fue la disminucin total del rea?.(d) Se dejan al lector.

Problemas 2.1

Problemas propuestos.1. Dibuje a mano alzada dos cuadrados diferentes y nombre sus elementos principales.2. Describa que entiende Ud. por diagonal de un cuadrado.3. Describa en palabras las frmulas que permiten calcular el permetro y rea de un cuadrado. 4. Todo cuadrado necesariamente debe ser convexo?5. Se deben recubrir los bordes de una lmina cuadrada con tres capas de cinta adhesiva. Si sus lados miden 26.5 pg. Aproxime los metros de cinta necesarios para el recubrimiento. 6. En la figura siguiente, el rea del cuadrado PQST es de 64 cm2. Determine el rea del cuadrado sombreado.

7. Construya un cuadrado que tenga cuatro veces el rea de un cuadrado de rea 4.8. Construya un cuadrado que tenga el doble del rea de un cuadrado de rea 4.9. Dibuje un cuadrado (cuadrado inicial), inscriba un cuadrado dentro del primero de tal manera que sus vrtices estn en el punto medio de los lados del primer cuadrado, de misma manera inscriba otro cuadrado dentro del segundo cuadrado. Y as sucesivamente. Si en proceso se continuara as, a que tienden los cuadrados inscritos cuando el nmero de cuadrados inscritos tiende a infinito?10. Con relacin al problema 8. (a) Si l cuadrado inicial tiene un rea de 16 cm2 cul es el rea del primer cuadrado inscrito? (a) Si el tercer cuadrado inscrito tiene un rea de 1 cm.2 Cul es el rea del cuadrado inicial? (b) Si el cuadrado inicial tiene un permetro de 64 cm. cul es el rea del quinto cuadrado inscrito? 11. Una placa cuadrada muy delgada, est construida de cierto metal cuya densidad de masa superficial es de 89.5 gr/cm.. Aproxime la masa de dicha placa si se sabe que sus lados miden 34.5 cm.12. Entre qu valores tiene que estar la medida de la diagonal de un cuadrado de lado L? Proponga un intervalo acotado.13. Haga las grficas cartesianas del rea y del permetro de un cuadrado en funcin de su lado. En qu punto se intersecan las grficas?, qu significado geomtrico tiene dicho punto?14. Determine la longitud del cuadrado de tal manera que su rea como su permetro sean numricamente iguales.15. Qu valores puede tomar el lado de un cuadrado de tal manera que su rea sea numricamente menor que su permetro?16. Qu valores puede tomar el lado de un cuadrado de tal manera que su rea sea numricamente mayor que su permetro?17. El rea de un cuadrado crece a razn de 2.3 cm./s. a partir de 25.3 cm.. (a) Exprese su rea en trminos de t, (b) exprese su lado en trminos de t, (c) a los cuantos segundos su rea ser el doble?, (d) cul es el cambio que sufre su longitud desde t =1 hasta t =2 s.?18. Por cada hora que transcurre el lado de un cuadrado crece 2 cm., a partir de 3.04 cm. (a) Exprese su lado en trminos del tiempo. (b) Exprese su permetro en trminos del tiempo. (c) A los cuntas horas su lado es de 7 cm? (d) a los cuntas horas su permetro es de 43.4 cm.?, (e) cul es su rea a 4.33 h.?19. Un cuadrado cuyos lados son muy grandes, est creciendo. Su permetro crece numricamente ms rpido que su rea? Explique.20. Considere todos los cuadrados inscritos en un cuadrado de 10 cm. de lado. (Los vrtices de los inscritos deben de quedar los lados del cuadrado dado). (a) Dibuje algunos cuadrados inscritos, seleccione varios pares de cuadrados y compare visualmente sus reas, tienen reas iguales?. Sus reas varan?. Entre todos ellos existe uno que tiene menor rea?, (b) Considere el conjunto de cuadrados inscritos como si se tratara de un cuadrado cuya rea vara al variar la longitud x. Cul es el dominio de variacin de x? (c) Usando consideraciones visuales determine las dimensiones de cuadrado de menor rea. (d) Explique la variacin del rea del cuadrado inscrito al variar x y esboce cualitativamente su grfica cartesiana. (e) Trate de responder las mismas preguntas para su permetro. Compruebe sus respuestas realizando la simulacin asociada, Simulacin Cuadrados.

21. El cuadrado TOGA de lados L es fijo. El cuadrado NIBE, tambin de lados L, se puede hacer girar tomando como pivote su vrtice E el cual se ubica precisamente sobre el punto de interseccin de las diagonales del cuadrado TOGA (centro del cuadrado). Al hacer girar de esta manera al cuadrado NIBE, cambia el rea sombreada? Responda usando argumentos visuales.

22. En la figura siguiente cada cuadrado tiene lado 1,

(a)Visualice y compruebe numricamente que:

(b) Haga otro dibujo similar al anterior que le permita visualizar que

(c) De lo anterior se puede inducir que para todo entero n 1 ,

Rectangulo

2.2 RectnguloConsideremos un segmento fijo AB, de cualquier longitud (finita) h > 0 pero fija. Imaginemos segmento CD, tambin de longitud h coincidente con AB, traslademos CD paralelamente a AB sobre el plano una distancia b > 0, finita cualquiera pero fija, perpendicular a AB, la regin barrida por CD le llamaremos Rectngulo: Regin plana limitada por cuatro segmentos perpendiculares (no necesariamente de igual longitud) dos a dos.

Si b = 0, diremos que el rectngulo se degenera en el segmento AB Qu se genera si AB es un segmento nulo, h > 0?Naturalmente, Ud. puede generar o construir rectngulos utilizando otros procesos. Proponga otro procedimiento. Al igual que en el cuadrado hablamos de lados y vrtices. En todo rectngulo los lados opuestos son iguales. Generalmente, se le dibuja de manera que dos de sus lados sean horizontales y los otros verticales. Sus lados horizontales se les llama base b, y los verticales se les llama altura h.

2.2.1 PermetroEs el nmero de unidades lineales que mide la suma de las longitudes de sus cuatro lados: P = b + h + b + h = 2b+2h. Vemos que el permetro del rectngulo depende de las longitudes de su base y su altura en el sentido siguiente: si variamos una de ellas y dejamos constante la otra, entonces, obviamente, el permetro variar; pero si variamos conjuntamente la altura y base el permetro puede tambin variar, pero bajo ciertas condiciones puede permanecer constante por qu?. Se ve as que el permetro depende de esas dos magnitudes, se dice que es una funcin de dos variables y escribimos la notacin simblica:

Observacin: En lo sucesivo para representar la dependencia de cierta magnitud de dos, tres o ms magnitudes, en el sentido arriba explicado, para cierto objeto geomtrico, usaremos dicha notacin aunque no explicitemos dicha dependencia. 2.2.2 reaEs el nmero de unidades cuadradas (no necesariamente enteras) de la regin comprendida entre sus lados, se calcula multiplicando su base por su altura: A = bh. Se ve tambin que A depende de las dos variables b y h.

Ejemplo. Un rectngulo tiene un permetro de 60 plg, y un rea de 200 plg. Cunto miden sus lados?Solucin. Las incgnitas son la base y la altura del rectngulo. Denotemos con h la base y con b la altura de dicho rectngulo. Las condiciones del problema son: el permetro rectngulo debe ser de 60 plg. y su rea de 200 plg.2. Entonces podemos plantear el sistema de ecuaciones:60 = 2h + 2b & 200 = hb.El problema es ahora algebraico, resolvamos este sistema no lineal de dos por dos. De, 200 = hb, h = 200/b. Sustituyendo en la primera ecuacin tenemos: 60 = 400/b + 2b, de cual obtenemos: b -30b + 200 = 0, en producto, (b - 10)(b - 20) = 0, de donde b = 10 & b = 20. Por tanto, se puede concluir que existen dos rectngulos que satisfacen las condiciones impuestas: un de base 10 y altura 20 y otro de base 20 y altura 10 plg. Existe un rectngulo de permetro 20 plg y rea 60 plg? Resulvalo. 2.2.2.1 Menor permetroInvestiguemos la siguiente situacin. Imaginemos que tenemos un hoja de papel tamao carta, ella se puede considerar como un rectngulo (plano). Cortemos dicha hoja por el punto medio de la base y paralela a la altura.

Coloquemos la parte izquierda sobre la parte derecha, la figura que formamos se puede considerar como un rectngulo.

Obviamente tienen la misma rea. Pero, Tienen el mismo permetro? Aunque a simple vista no lo logramos percibir plenamente, su permetro pudo haber cambiado. Realicemos el mismo proceso de corte y dispongamos una parte sobre la otra. Obtendremos un rectngulo ms angosto pero ms alto pero con la misma rea que los dos anteriores.

Ahora parece ms claro, este rectngulo tienen diferente permetro que el original. Si imaginamos proseguir con este proceso de corte y formacin de nuevos rectngulos. Nos convencemos que aunque la base se hace muy pequea, la altura se hace muy grande, y por tanto, el permetro se hace muy grande. Esto nos sugiere la existencia de una infinidad de rectngulos con la misma rea y diferente permetro.El proceso descrito arriba se puede realizar tambin imaginando cortar la hoja rectangular original horizontalmente por el punto medio de su altura y disponer las partes cortadas tambin de manera horizontal, cortar de nuevo horizontalmente y disponerlos de manera horizontal, y as continuar. De aqu debemos imaginarnos tambin la formacin de una infinidad de rectngulos con la misma rea y diferente permetro. Aqu nos damos cuenta que la base se hace muy grande y la altura se hace muy pequea, y por tanto, el permetro se hace muy grande tambin. Nuevamente, esto nos sugiere la formacin de un conjunto infinito de rectngulos todos con la misma rea y diferente permetro. Solicitamos al lector hacer los dibujos correspondientes. Nos damos cuenta que los valores de las bases y alturas que toman los rectngulos, no son arbitrarios, notemos que para los cortes verticales la base cada vez se reduce en su mitad y que la altura cada vez se duplica, y que para los cortes horizontales la base se duplica y la altura se reduce a la mitad. Esto permite que su producto se mantenga siempre constante, esto es el rea de los rectngulos se mantiene constante.Lo anterior nos permite pensar (aunque ya no podamos realizarlo fsicamente con la hoja de papel) que se puede formar rectngulos con la misma rea y diferente permetro aumentado la base en veces y reduciendo la altura en 1/ ( puede ser cualquier nmero real positivo). Y como ello se puede hacer partiendo con cualquier rectngulo, concluimos: Existe una familia infinita (continua) de rectngulos todos con una misma rea A y diferente permetro cuyas bases y alturas pueden tomar cualquier valor en .Resulta interesante responder: En dicha familia existe un rectngulo con menor permetro? Cules son sus dimensiones? Haciendo dibujos o imaginndolos, por comparacin visual vemos que debe existir un nico rectngulo de menor permetro. Este rectngulo de menor permetro puede ser el cuadrado? Lo comprobaremos ms adelante. A la familia de rectngulos con una misma rea A y diferente permetro, podemos considerarlo como si tratara de un rectngulo cuya base o altura se pueden hacer variar continuamente en el intervalo ; su rea se mantiene constante y su permetro vara continuamente. Percibimos que, si variamos la base manteniendo constate su rea, entonces vara su permetro. Nos preguntamos, el permetro es funcin de la base? Investiguemos cualitativamente la existencia y naturaleza de esta funcin.Cuando la base es muy pequea el permetro es muy grande, y nos imaginamos que, si hacemos la base aun ms pequea entonces el permetro se hace aun ms grande (se dice que cuando la base tiende a cero entonces el permetro tiende a infinito); inversamente, para cierto valor muy pequeo de la base, si hacemos crecer dicha base el permetro disminuir (se dice que el permetro decrece al aumentar la base para esos valores). Por otro lado cuando la base toma valores infinitamente grandes, vemos que tambin el permetro toma valores infinitamente grandes, si aumentamos la base a partir de ciento valor muy grande vemos que tambin el permetro crece an ms (se dice que cuando la base tiende a infinito entonces el permetro tiende tambin a infinito y que el permetro es creciente para esos valores de la base). De acuerdo a todo lo expuesto se ve que el permetro puede considerarse como funcin de la base: P = P(b). Y como ya vimos que existe un rectngulo de menor permetro, entonces debe existir un cierto valor de la base bo para el cual P(b) (el permetro) toma su valor menor: Pm > 0 (el permetro fsico no puede llegar a desaparecer ni ser negativo). Considerando todos estos hechos podemos construir la grfica cartesiana de manera cualitativa de dicha funcin. Ella debe ser una curva suave y continua,

En las grficas cartesianas vemos que para valores de b pequeos la curva se aproxima ms y ms al eje vertical sin llegar a tocarla. Diremos que el eje vertical es una asntota vertical de dicha curva. Determinemos ahora la representacin analtica de la funcin P = P(b). Para simplificar su entendimiento supongamos que el rea del rectngulo es de 100 cm.Entonces, tenemos un rectngulo de rea 100 cm, cuyo permetro P y altura h podemos hacer variar, variando su base b, a condicin de mantener constante dicha rea.Partamos de la funcin de dos variables: P = 2b + 2h; pongmosla en trminos de una sola variable, la b. Considerando la condicin: 100 = bh. Despejando h tenemos, h = 100/b, sustituyendo en la funcin permetro la reducimos a una funcin de una sola variable.

Notemos que en esta funcin, si b (la base) es casi cero, el primer trmino es casi cero y el segundo es muy grande, por tanto P (el permetro) es muy grande; si b es muy grande, el primer trmino es muy grande y el segundo es casi cero, y por tanto, el P es muy grande. Es decir la funcin corresponde con lo establecido ms arriba de manera cualitativa. Debemos aprender, y acostumbrar, a verificar si los resultados alcanzados corresponden con la naturaleza fsica del problema que estamos resolviendo.Ahora, una vez tengamos construida la expresin analtica de la funcin, en este caso tenemos P = 2b + 200/b. Para determinar o aproximar, el valor de la base para el cual el permetro es mnimo, por lo menos existen tres maneras: (i) Numrico, se dan valores a b de su dominio y vamos buscando, de manera sistemtica el valor mnimo de P. (ii) Grafico, se obtiene la grfica de P = P(b) en la pantalla de una calculadora que grafica, o de una computadora que tenga un paquete matemtico que grafica, y visualmente podemos leer las coordenadas del punto donde se da el mnimo. (iii) Analtico, usando nociones de clculo diferencial. Determinemos el valor mnimo, usemos un mtodo numrico, construyamos la tabla de valores.

Parece que el valor mnimo es P = 40 y se obtiene cuando b = 10, o sea cuando el rectngulo es un cuadrado de lados 10. Veamos que sucede con valores cercanos a 10.

Intuitivamente vemos que si tomamos valores muy cercanos (mayores o menores) a b = 10, sus permetros siempre son mayores que 40.Veamos la grfica de P = 2b + 200/b, proporcionada por el paquete matemtico Matcad. Este paquete nos permite aproximarnos al punto donde se da el mnimo haciendo ampliaciones grficas. Si dispone de una calculadora que grafica verifique.

Los clculos numricos y la grafica no llevan a concluir, y correctamente, que: Entre todos los rectngulos de rea 100 cm el que tiene menor permetro es el cuadrado de lados 10 cm.Con fines de comparacin de razonamientos empleados, observaciones y resultados, realice la Simulacin rectngulo de menor permetro.Observacin. Este resultado particular se puede generalizar para rectngulos de cualquier rea A, aqu el rectngulo de menor permetro es el cuadrado de lados . Tal problema se investiga con ms formalidad usando nociones de clculo diferencial.

Problemas 2.2

Problemas 2.2.1. Dibuje a mano alzada dos rectngulos diferentes y nombre sus elementos.2. Dibuje un rectngulo que sea cuadrado. Es todo cuadrado rectngulo?, Es todo rectngulo cuadrado? Explique qu caracterstica adicional distingue a un rectngulo cuadrado.3. Describa el proceso de la construccin del dibujo de un rectngulo.4. Exprese de manera verbal las frmulas de rea y permetro del rectngulo. 5. Describa que es diagonal de un rectngulo, 6. Todo rectngulo necesariamente debe ser convexo?7. Cunto es la suma de los cuatro ngulos internos en todo rectngulo?8. El rectngulo siguiente tiene un rea de 100 cm Cul es el valor de a?.

9. Una persona tiene un campo rectangular de 20.4 metros de ancho y cierto largo. Esta persona compra un segundo campo de 40.5 m de rea. Una segunda persona le propone intercambiar los dos terrenos por otro campo rectangular que tiene la misma rea que los dos terrenos y el mismo largo que el primer terreno. Cul debe es el largo de los terrenos para que el intercambio sea justo?10. Dibuje rectngulos y cuadrados que geomtricamente representen la identidad: (x + y) = x + 2xy + y11. Dado el rectngulo de base 40 cm y altura 10 cm. En un mismo sistema de coordenadas, haga la grfica cartesiana de base contra altura de todos los rectngulos que cumplan con. (a) Tengan el mismo permetro que el rectngulo dado (es un rectngulo (es un segmento en el primer cuadrante). (b) Tengan la misma rea que el rectngulo dado (es la rama de una hiprbola en el primer cuadrante). Apyese en las grficas anteriores para determinar las dimensiones de un rectngulo que: (c) Tengan permetro y rea mayor que el permetro y rea del rectngulo dado. (d) Tengan permetro y rea menores que el permetro y rea del rectngulo dado. (e) Tenga permetro menor y rea mayor que los correspondientes del rectngulo dado. (f) Tenga igual rea y permetro mayor que el rectngulo dado. 12. La altura de un rectngulo crece con rapidez constante de 2 cm/s a partir de 3 cm. Su base mide 5 cm y se mantiene constante en el tiempo Con qu rapidez crece su rea?13. La altura de un rectngulo decrece con una rapidez constante de 5 cm/min a partir de 50 cm. Contrariamente, su base crece con una rapidez constante de 1 cm/min a partir de 1 cm. (a) Exprese su altura y base en funcin del tiempo, (b) Exprese el rea del rectngulo en funcin del tiempo, determine al cuntos minutos su rea es cero, y establezca el dominio de la funcin. (c) Grafique dicha funcin.14. Exprese el permetro de todos los rectngulos de rea constante 100 cm2, en funcin de la variable altura. Determine el valor que debe tomar la altura para que su permetro sea mnimo. 15. Un seor desea construir una un corral para su perro que tenga un rea de 20 mt. El desea gastar la menor cantidad posible de material a usarse en la cerca. Qu dimensiones debe tener la cerca?. 16. Tome o imagine tomar un cordel de unos 12 cm. de longitud. Juntando y separando sus dedos pulgares e ndices forme varios rectngulos. O bien realice la Simulacin Rectngulo de Mayor rea. (a) Qu magnitud permanece constante?, (b) Qu magnitudes pueden hacerse variar?, (c) Cules son sus intervalos de variacin?, (d) Es cierto que existen una infinidad de rectngulos todos con el mismo permetro?, (e) Se pueden formar rectngulos de rea cero?, (f) Entre todos ellos existe uno que tiene mayor rea?, (g) Cmo debe ser el rectngulo de mayor rea?, (h) Considere el problema como si se tratara de un rectngulo cuya rea se puede hacer variar manteniendo constante su permetro. Puede hacerse depender el rea del rectngulo de su altura?, (i) Cmo es, cualitativamente, la grfica del rea en funcin de la altura?, (j) Determine la representacin analtica del rea en funcin de la altura y establezca su domino, (k) Usando criterios sobre la determinacin del vrtice de una parbola (funcin cuadrtica) determine el rectngulo de mayor rea con permetro 12 cm.17. Un granjero quiere construir un corral rectangular para su ganado. El desea usar exactamente 90 m lineales de material para la cerca que dispone. El desea tambin aprovechar una pared de 60 m de largo ya construida y circular solamente tres lados con el material que dispone. (a) Dibuje varios corrales posibles, (b) Establezca las magnitudes variables y constantes. (c) Exprese el rea del corral en funcin de solamente su ancho. (d) Determnelas dimensiones del corral de mayor rea posible. Este corral tiene la forma de un cuadrado?18. A Ud. se le dan Q 3,050.9 y se le pide invertir exactamente dicha cantidad para circular tres lados de un terreno de forma rectangular que tenga la mayor rea posible, el cuarto lado lo debe aprovechar usando una pared ya construida de 80 m de largo. El costo para circular el lado paralelo a la pared ya existente es de Q 55.3 el metro lineal, el costo de los otros dos lados es de Q 96.1 el metro lineal. (a) Tiene Ud. varias posibilidades de poder construir la circulacin invirtiendo la cantidad de dinero dada? Haga dibujos e del terreno. (c) Exprese el rea de la circulacin en funcin de la longitud que es perpendicular a la pared existente y establezca su dominio. (d) Haga una tabla de valores y aproxime las dimensiones del terreno de mayor rea a circular con la cantidad de dinero que se le ha dado.19. Se desean construir 6 cubculos rectangulares del mismo tamao segn se muestra en el dibujo. Se dispone de 8 m lineales de material para su construccin y se desea utilizarlo completamente. (a) Determine el rea de los cubculos si se toma la magnitud x = 0.1, 0.25, 0.5 y 1 m. Para cules de los valor de x se tiene mayor rea? (b) Para realizar dicha construccin Ud. puede seleccionar ciertos valores de x, y obtener cubculos de diferentes reas. Cul es intervalo de valores que fsicamente puede tomar x? (c) Escriba el rea de un cubculo en funcin de x. (d) Determine las dimensiones que deben tener los cubculos para que su rea sea mxima. Realice las simulaciones asociadas. Simulacin Cubculo.

20. Se desea determinar las dimensiones de la hoja rectangular ms econmica (de menor rea) que tenga un rea impresa de 30 cm2. con mrgenes superior e inferior de 2 cm y mrgenes laterales de 1 cm. (a) Es posible formar varias hojas rectangulares impresas con diferentes dimensiones que cumplan con las caractersticas citadas? Haga dibujos de ellas y determine qu magnitudes permanecen constantes, qu magnitudes pueden hacerse variar y cules son sus rangos de variacin. (b) Observa Ud. que existe una hoja de menor rea? Explique (c) Observa Ud. que si hace variar la altura de la regin impresa entonces vara el rea de la pgina? Explique. (d) Exprese el rea de la hoja en funcin de la altura de la regin impresa. (e) Determine el rea de la hoja para cada una de las posibles alturas de la regin impresa: 0.2, 1, 4, 7.4, 10, 2001 cm. De las anteriores valores cul determina la menor rea de la hoja? Entre qu valores debe estar la altura de la hoja de menor rea? 21. Considerando el dibujo y teniendo en cuenta que 2 =21, 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, 32 = 25, etc. A qu es igual la suma infinita: 1/2 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + ....1/2n +...., (cuando n tiende a infinito).

22 Considerando el dibujo y teniendo en cuenta que 31 = 3, 3 = 9, 33 = 27, etc. A qu es igual la suma infinita: 1/3 + 1/3 + 1/33 + 1/34 + ... + 1/3n + ..., (cuando n tiende a infinito)?

Triangulo

2.3 TringuloConsideremos el ngulo con vrtice A de cualquier amplitud pero fija en el intervalo cuyos lados tengan cualquier longitud (finita) pero fijas ; unamos los extremos no comunes de los lados de , C y B a travs del segmento a, con ello formamos una regin plana limitada por tres segmentos llamada tringulo.

Si = 0 o = 180 y unimos los extremos no comunes de los lados , diremos que el tringulo se degenera en un segmento. Puede un ngulo degenerarse en un punto?Los segmentos se llaman lados, los puntos donde se intersecan los segmentos se llaman vrtices y los tres ngulos se llaman ngulos internos del tringulo o simplemente ngulo del tringulo.

Observamos que en todo tringulo, a cada lado se opone un ngulo: El lado a se opone al ngulo , el lado b se opone al ngulo , y el lado c se opone al ngulo . Se dice tambin que los lados c y b son adyacentes a , que los lados a y c son adyacentes a , etc.Nota. En Capitulo 1, al tringulo le llamamos regin triangular, as, propiedades expuestas para regiones triangulares son vlidas en tringulos. ngulo exterior. Llamaremos ngulo exterior de un tringulo aquel que tiene como lados, un lado del tringulo y la prolongacin de un lado.

Todo tringulo tiene 6 ngulos exteriores. Dibjelos.

Propiedades Generales

2.3.1 Propiedades generales1. La suma de dos lados de un tringulo no degenerado siempre es mayor que el tercero.2. La suma de los tres ngulos internos de un tringulo es 180.3. Un ngulo externo es igual a la suma de los dos ngulos internos no adyacentes.

Problemas 2.3

Problemas propuestos1. Dibuje a mano alzada dos tringulos diferentes y seale sus elementos principales.2. Dados tres segmentos de longitudes dadas, siempre se puede construir un tringulo? Explique.3. Es cierto que en todo tringulo, a mayor ngulo se opone mayor lado e inversamente a menor ngulo se opone menor lado? Dibuje algunos.4. Dado el segmento de longitud 3.4 cm. cuntos tringulos se pueden construir tomando como uno de sus lados a dicho segmento? Dibuje algunos.5. Dados los segmentos de longitudes 2.3 y 7.7 cm. cuntos tringulos se pueden construir tomando como lados a dichos segmentos?6. Con los segmentos de longitudes de 2.3 y 7.7 plgs, se desea construir varios tringulos. Qu longitudes puede tomar el tercer lado?, cul es la menor, cul es la mayor?, Existe entre todos ellos uno de rea mayor?, Existe entre todos ellos uno de menor permetro?7. Un tringulo tiene: un ngulo de 22o, un ngulo que puede tomar valores entre 40o y 110o. Cul es intervalo de variacin del tercer ngulo?8. Un tringulo tiene un ngulo que mide 34o, Cules son los intervalos de valores que pueden tomar las medidas de los otros ngulos?9. En la siguiente figura, (a) Qu ngulo interno es constante y cules se pueden hacer variar?, (b) Proponga tres ternas diferentes de valores que pueden tomar los ngulos internos.

11. Un mbolo esta unido a un disco rotativo por medio de una biela. A medida que el disco gira, el mbolo se desplaza horizontalmente. V representa el centro del disco, E representa el punto de unin de la biela con el disco y R representa el punto de unin de al biela con el mbolo. Supongamos que VE = 10 cm y ER = 25 cm. Sea la amplitud del ngulo .

Efecte la Simulacin mbolo y conteste las siguientes preguntas. (a) Al girar el disco en contra del movimiento de las manecillas del reloj, Qu lados del tringulo VER se mantienen constantes y qu lado variable?, (b) Cuando = 0 radianes Cunto mide el lado VR?, (c) Cuando = Cunto mide el lado VR?, (d) Cules son los valores mximo y mnimo de VR y a qu valores de suceden?, (e) al variar de 0 a 2 el lado vara, o sea l es funcin de , simbolizamos Esboce la grfica de . 12. Dibuje un tringulo cualquiera, recorte el tringulo, y corte segn las lneas punteadas. Reacomode los tres recortes, de tal manera los tres ngulos queden sobre un mismo punto y sus lados no quede traslapados ni divergentes. De acuerdo a este arreglo compruebe que la suma de los tres ngulos internos del tringulo es igual a 180o.

13. Usando la propiedad: la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180o, y el hecho de que la suma de dos ngulos internos suplementarios es tambin 180o, compruebe que un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de dos ngulos internos no adyacentes.

Congruencia

2.3.2 CongruenciaSe dice que dos o ms tringulos son congruentes o iguales si tienen la misma forma y tamao aunque, en general, dispuestos en posiciones diferentes.

Se dice que dos o ms tringulos son congruentes entre s, s tienen 3 lados iguales dos a dos y 3 ngulos iguales dos a dos.

Problemas 2.4

Problemas propuestos1. Dos tringulos tienen dos pares de ngulos iguales dos a dos, y tres lados iguales tambin dos a dos. Son dichos tringulos congruentes?2. Dos tringulos tienen un par de ngulos iguales dos a dos y el lado adyacente a dichos ngulos igual. Son dichos tringulos congruentes?3. Dos tringulos tienen un par de lados iguales dos a dos y el ngulo entre ellos igual. Son dichos tringulos congr