Marcos Vílchez Macurí

Libro de Teoría

Quinto Grado de Primaria

MATEMÁTICA

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

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La fortaleza de Sacsayhuamán - Cusco

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Divertinúmeros es una obra del área de Matemática, cuya propuesta esta dirigida al desarrollo de hábitos de pensamiento, de la capacidad creativa y del descubrimiento de los conceptos del "orden" y la "medida". Su contenido tiene la finalidad de elevar el nivel matemático de los estudiantes de primaria y brindar al profesor una buena guía pedagógica para el arte de enseñar matemática.

Es preciso mencionar que en esta serie se ha seguido el orden del programa oficial; sin embargo, se han agregado componentes del área como proposiciones (lógica), álgebra, geometría, estadística , probabilidades y trigonometría, exclusivamente para quinto y sexto grado de primaria, todos desarrollados en forma secuencial y considerando la capacidad mental de los alumnos de los diferentes grados de estudio.

Respecto al contenido, cada unidad se inicia con una portada referente al tema a tratar, la misma que el niño deberá observar e interpretar para responder a las preguntas propuestas, como motivación al bloque de inicio.

En esta serie nos hemos propuesto brindar las herramientas necesarias para que el niño o niña puedan entender la matemática y cultiven "el arte de ver con los ojos de la mente", poniendo así en juego lo mejor de sus recursos mentales, su espíritu de observación y su imaginación.

Finalmente, expreso a los profesores mi gratitud por utilizar esta obra que, con el aporte de su creatividad, aspira a convertirse en un elemento didáctico que les permita alcanzar satisfacciones en su vida profesional.

El autor

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Í N D I C E

A R I T M É T I C A

1

2

3

41.1 Proposiciones ............................................................ 8 Proposiciones compuestas .................................. 91.2 Tablas de verdad ....................................................101.3 Cuantificadores ......................................................121.4 Inclusión e igualdad .............................................131.5 Operaciones con conjuntos ...............................141.6 Problemas empleando conjuntos .................. 18

Lógica proposicional y conjuntos

Números naturales

Operaciones con números naturales

Fracciones

5 Decimales

3.4 Ecuaciones e inecuaciones en N ......................393.5 Múltiplos y divisores de un número natural ........................................................................42 Divisores de un número natural .......................433.6 Divisibilidad de números naturales, números primos y compuestos ........................443.7 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor ........................................48

4.1 Lectura y escritura de fracciones......................52 Fracciones decimales, propias, impropias e iguales a la unidad ........................53 Convertir fracciones heterogéneas en homogéneas .....................................................554.2 Comparación de fracciones ...............................564.3 Operaciones con fracciones ...............................574.4 Ecuaciones con números fraccionarios ............................................................61

5.1 Expresiones decimales.........................................645.2 Escritura y lectura de decimales .......................655.3 Compara y ordena números decimales ..................................................................665.4 Operaciones con números decimales ..................................................................67 Problemas resueltos..............................................68 Multiplicación de decimales..............................69 Problemas resueltos..............................................70 División de números decimales........................71 Operaciones combinadas....................................73 Problemas resueltos con números

decimales...................................................................745.5 Ecuaciones con números decimales ..................................................................75

2.1 Lectura y escritura de números naturales ...................................................................22 Forma desarrollada de un número ..................232.2 Compara y ordena números naturales ..........242.3 Aproximación de números naturales .............262.4 Sucesiones................................................................27

3.1 Adición y sustracción de números naturales ...................................................................30 Propiedades de la adición ..................................313.2 Multiplicación y división de números naturales ...................................................................32 Propiedades de la multiplicación ....................33 Cociente de números naturales .......................343.3 Potenciación y radicación de números naturales ...................................................................36

I

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9

GEOMETRÍA

ESTADÍSTICA

ÁLGEBRA

6 Proporcionalidad

8 Geometría

7 Sistema Internacional de Unidades (SI)

Estadística y probabilidades

6.1 Proporcionalidad directa e inversa .................78 Idea de proporcionalidad inversa ...................796.2 Razón y proporción geométrica .......................806.3 Regla de tres simple directa e inversa ............836.4 Tanto por ciento .....................................................84 Problemas resueltos sobre porcentaje...........85

7.1 Unidades de longitud y conversiones ............887.2 Unidades de masa .................................................897.3 Unidades de tiempo .............................................907.4 Unidades de superficie ........................................91 Problemas resueltos sobre unidades

de superficie.............................................................927.5 Unidades de volumen ..........................................93

8.1 Transformaciones de figuras planas ...............96 Reducir y rotar polígonos ...................................978.2 Ángulos y polígonos.............................................98 Polígonos y su clasificación ............................. 101 Clasifica triángulos y cuadriláteros ............... 102 Ejes de simetría en una figura ........................ 1038.3 Perímetros y áreas de figuras geométricas .......................................................... 1048.4 Circunferencia y círculo .................................... 1058.5 Sólidos geométricos .......................................... 106

9.1 Recolección y organización de datos ................................................................. 1109.2 Gráficos estadísticos .......................................... 1119.3 Medidas de tendencia central ....................... 1129.4 Probabilidad o cuestión de suerte ............... 113

10.1 El conjunto de los números enteros .......... 11610.2 Valor absoluto .................................................... 11710.3 Comparando los números enteros .................................................................. 11810.4 Operaciones con los números enteros .................................................................. 119 Multiplicación o producto de

números enteros............................................... 121 División de dos números enteros............... 12210.5 Ecuaciones en el conjunto de los números enteros ............................................... 12310.6 Operaciones con las expresiones algebraicas .......................................................... 124 Grado de un polinomio .................................. 12510.7 División de polinomios ................................... 12910.8 Exponentes y productos notables .............. 13210.9 El triángulo rectángulo y las razones trigonométricas ................................................. 139

Álgebra y trigonometría10.... d

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¡Qué bonita es la iglesia!

Sofía, ¿cuántas puertas tiene?

¿La plaza tiene forma circular o pentagonal?

Óscar, ¿qué hora es?

Son las 5 de la tarde.

Unidad

1Aritmética

Lógica proposicional y conjuntos

Lógica proposicional y conjuntos

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Los muchachos están de paseo y van comentando y preguntando sobre lo que están viendo. Según sus expresiones: ¿Cuál sería tu respuesta a las siguientes preguntas?

1. ¿Cuántas expresiones exclamativas hay?

2. ¿Cuántas expresiones interrogativas hay?

3. Respecto al dibujo. ¿Qué expresión es una proposición?

a¿Cuántas puertas hay?

a¡Qué bonita es la iglesia!

a¿La plaza tiene forma circular?

aTiene tres campanas

4. ¿Qué hora está marcando el reloj?

Identificar proposiciones.

Analizar las tablas de verdad.

Aplicar los cuantificadores.

Reconocer la inclusión e igualdad entre conjuntos.

Realizar operaciones con conjuntos.

Resolver problemas con conjuntos.

Aprenderé a ...Aprenderé a ...

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8

En resumen, un enunciado

verdadero o falso es una proposición.

RoloSofía Miguel Malena

Las aves son mamíferos. ¡Qué bello es

el mar!

El agua de mar es salada.

¿Podemos regresar mañana

a la playa?

1.1 PROPOSICIONES

Proposiciones simples y su valor de verdad

¿Será verdadero o falso lo que dicen los muchachos?

n Observa.

Malena: El agua de mar es salada. Es verdadero: tiene sabor a sal.Las expresiones de los niños se llaman enunciados. De ellas, solo las expresiones de Rolo y Malena son proposiciones simples, pues tienen el valor de verdaderas o falsas.

Veamos: Rolo: Las aves son mamíferos. Es falso: No tienen glándulas mamarias. Sofía: ¡Qué bello es el mar! No se puede calificar como verdadero o falso. Miguel: ¿Podremos regresar mañana a la playa? No se puede calificar como verdadero o falso.

A las proposiciones simples se las representa con letras minúsculas. Así:p: Las aves son mamíferos.

Al valor de verdad de una proposición se le asigna una V si es verdadera o una F si es falsa.

q: El agua del mar es salada.De los enunciados ¡Qué bello es el mar! y ¿Podemos regresar mañana a la playa? no se puede afirmar si son verdaderos o falsos. Por esta razón afirmamos que no son proposiciones.

Aplicación: Verifica en los enunciados si P es proposición y NP si no lo es.

NPP

NP

PP

NPP

• Hace calor. • Mario Vargas Llosa es autor de "El caballero Carmelo". • ¡Deténgase! • Todos los triángulos son polígonos. • Los meses del año son doce. • ¡Qué hermosa es! • Roma es la capital de España.

Ocho

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9Nueve

p Ú q = Raquel estudia o ve televisión.

Esta proposición compuesta p Ú q se llama DISYUNCIÓN

Sean las proposiciones: Como disyunción se escribe:

Es decir, p: Raquel estudia y q: Raquel ve televisión; se puede simbolizar así:

¿Qué dice la mamá de Raquel?Raquel estudia o ve televisión.

Como se ve, es un proposición compuesta, pero ahora se ha usado el conectivo lógico "o", que se representa o denota por el símbolo: Ú.

n Ahora observa.

Raquel estudia o ve televisión.

Proposiciones compuestas

¿Qué dice Edu?Él dice: "Valdelomar es peruano y Neruda es chileno." Las proposiciones simples que hay en lo que dice Edú son dos.Veamos: p: "Valdelomar es peruano" ; q: "Neruda es chileno". Entonces, la expresión de Edú presenta una proposición compuesta, pues hay 2 pro-posiciones.Las proposiciones simples que la forman están enlazadas por el conectivo lógico "y", que se denota por el símbolo Ù. Luego, la expresión de Edú se puede simbolizar así:

p Ù q = Valdelomar es peruano y Neruda es chileno.

Esta proposición compuesta p Ù q se llama CONJUNCIÓN

n Observa.

Mario escucha música y practica natación.

Luego, simbolizando: p Ù q

n Simbolizando:

RaquelMamá

EduMalena GloriaFelipe

Valdelomar es peruano y Neruda es chileno. ¡Es verdad! ¿Quién es Valdelomar? No es verdad.

p: Mario ; q: Mario escucha música practica natación

r: La Tierra es un planeta.s: La Tierra es un satélite.

r Ú s: La tierra es un planeta o un satélite.

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Diez

Todo lo anterior se resume en el cuadro de la:Tabla de verdad de la conjunción.

p q p Ù q

V VV FF VF F

VFFF

¡Recuerda!Las palabras "pero", "además",

"sin embargo" y "aunque" equivalen al conectivo Ù.

TABLAS DE VERDAD

La tabla de verdad de la conjunción

Entonces, la conjunción es un conectivo (y) que une dos proposiciones simples (p y q). Los valores de verdad de estas proposiciones son cuatro, porque puede ocurrir:

n Observa y lee:

¿Qué dice Óscar?

Karina va a la playa y va al cine.La expresión de Óscar es una CONJUNCIÓN.Las proposiciones simples son:

p: Karina va a la playa.

q: Karina va al cine.

Karina va a la playa y va al cine.

1º Karina va a la playa y va al cine.Hace ambas cosas, es decir, las dos proposiciones son VERDADERAS.Luego, la conjunción es verdadera (V).

2º Karina va a la playa pero no al cine.Hace solo una de ambas cosas, es decir, la primera proposición es VERDADERA (V) y la segunda es FALSA (F).Luego, la conjunción es falsa (F).

3º Karina no va a la playa pero va al cine.Hace solo una de ambas cosas, es decir, la primera proposición es FALSA (F) y la segunda es VERDADERA (V).Luego, la conjunción es falsa (F).

4º Karina no va a la playa y no va al cine.No hace ninguna de ambas cosas, es decir, las dos proposiciones son FALSAS.Luego, la conjunción es falsa (F)

Por lo tanto:

LA CONJUNCIÓN ES VERDADERA SOLO CUANDO AMBAS PROPOSICIONES SON VERDADERAS. EN LOS DEMÁS CASOS, ES FALSA.

¡Recuerda!La conjunción está ligada mediante el conectivo lógico Ù.

1.2

Oscar Karina

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11Once

¿Qué le dice Raquel a su mamá?

Hago mi tarea o me voy a la playa.La expresión de Raquel es una DISYUNCIÓN.Las proposiciones simples son:

p: Hago mi tarea.

q: Me voy a la playa.

La tabla de verdad de la disyunción

Entonces, la disyunción es un conectivo (o) que une dos proposiciones simples (p o q). Los valores de verdad de estas proposiciones son cuatro, porque puede ocurrir:

n Observa, y lee.

Todo lo anterior se resume en el cuadro de la:Tabla de verdad de la disyunción.

p q p Ú q

V VV FF VF F

VVVFn Dada la proposición:

p Ú q: 15 es un número natural impar o múltiplo de 4. Halla su valor de verdad.Separando:p: 15 es un número natural impar. V(p) = Vq: 15 es un número natural múltiplo de 4. V(q) = FComo se ve, se tiene V o F; luego V(p Ú q) = V (segunda fila de la tabla de verdad.)

Hago mi tarea o me voy a la playa.

1º Raquel hace su tarea o se va a la playa. Hace las dos cosas, en cuyo caso las dos proposiciones son VERDADERAS. Luego, la disyunción es verdadera (V)

2º Raquel hace su tarea o no va a la playa. Hace la primera de las dos cosas, pero no la segunda. Esto significa que la primera proposición es VERDADERA (V) y la segunda es FALSA (F). Luego, la disyunción es verdadera (V).

3º Raquel no hace la tarea o va a la playa. Hizo la segunda de las dos cosas, pero no la primera. Esto significa que la primera proposición es FALSA (F) y la segunda es VERDADERA (V). Luego, la disyunción es verdadera (V).

Entonces, la disyunción es falsa solo cuando ambas proposiciones son falsas.

4º Raquel no hace su tarea o no va a la playa. No hace con ninguna de ambas cosas. Esto significa que las dos proposiciones son FALSAS. Luego, la disyunción es falsa (F).

Raquel Mamá

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En este dibujo:

¿Quién dice la verdad? Todos.

¿Quién miente? Ninguno.

Las palabras "todos", "algunos" y " n i n g u n o " s e l l a m a n

CUANTIFICADORES.

Doce

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n Observa y responde:

Todos los niños juegan. Algunos niños

juegan en el tobogán.

Ningún niño pasea en bicicleta.

"To

"Todos los jugadores de fútbol miden más de 195 cm". Donde su valor de verdad es falso (F).

"Algunos jugadores de fútbol miden más de 195 cm". Donde su valor de verdad es verdadero (V).

"Ningún jugador de fútbol mide más de 195 cm". Donde su valor de verdad es falso (F).

n Cuantificando las proposiciones:

n Determinando el valor de verdad de:

Los números naturales menores que 7 son impares.

Todos los números naturales menores que 7 son impares. Su valor de verdad es F

Algunos números naturales menores que 7 son impares. Su valor de verdad es V

Ningún número natural menor que 7 es impar. Su valor de verdad es F

p: Todos los animales son mamíferos V(p) =

q: Algunas mujeres son científicas V(q) =

r: Ningún hombre es inmortal V(r) =

¿Habrá algún elefante de 6 patas?

F

V

V

1.3 CUANTIFICADORES

Proposiciones usando los cuantificadores "todos", "algunos", "ninguno", y su valor de verdad

iVamos tu puedes!

La proposición: "Los jugadores de fútbol miden más de 195 cm". Se puede cuantificar, así:

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13Trece

n Se dan los conjuntos:

Diagrama:

"Q está incluido en R" o "Q es un subconjunto de R."

Q = {4; 6; 8}

R = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

n Observa.

Denotemos por extensión los conjuntos de Luis (Q) y Karina (R).

1.4INCLUSIÓN E IGUALDADInclusión e igualdad entre conjuntos

•e•b•f

•c •a•d

C

A B

Se denota: y se lee:Q ⊂ R

•3 •7•5

•4•8

•9

•6

R

Q

Mi conjunto es

R ={ x ∈ N / 2 < x ≤ 9}

Los elementos de mi conjunto Q son los números naturales pares

de un dígito mayores que 3.

Notamos que todos los elementos del conjunto ....... son también elementos del conjunto ...... Entonces decimos que Q está incluido en R o Q es subconjunto de R.

"Q""R"

A = {a, b, c, d}, B = {a, e, f} y C = {b, c}. En este caso: C ⊂ A.

Pero "C no está incluido en B" y se denota C ⊄ B.

Observamos también que A ⊄ B y B ⊄ A

El símbolo ⊄ se lee " no está incluido en" o " no es subconjunto de".

n Sean los siguientes conjuntos:

•m •a•o •l

MP

n Si A = {2; 4; 6; 8} ; B = {x ∈ N / x es par y 1 < x < 9} y C = {3; 6}, Algunas relaciones co-rrectas entre estos conjuntos son:

A = B C ⊄ B A ⊄ C C ⊄ A

M = {m, a, l, o} y P = {l, o, m, a}. Observamos que ambos conjuntos tienen los mismos

elementos. Entonces son conjuntos iguales.

Se denota: M = P

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14Catorce

Raquel

Óscar

¿Qué día se encuentran en la biblioteca Raquel y Óscar?Representamos con conjuntos los días que van a la biblioteca Raquel y Óscar:

1.5 OPERACIONES CON CONJUNTOS

Intersección y unión de conjuntos

A ∩ B

•lunes

•viernes

•miércoles

•martes

•jueves

BA

Utilizando un diagrama:

Luego, Raquel y Óscar se encuentran

en la biblioteca el día miércoles.

Se denota: A ∩ B = {miércoles}

Yo voy a la biblioteca del colegio los días lunes, miércoles y viernes.

Yo voy los días martes, miércoles y

jueves.

El símbolo ∩ se lee "INTERSECCIÓN"

Óscar: A = {lunes, miércoles, viernes}

Raquel: B = {martes, miércoles, jueves}

¡Está fácil la intersección! ¿Verdad?

n Lee y contesta.

Se denota: A ∩ B = {miércoles}

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15Quince

n Ahora: ¿Qué días van a la biblioteca Raquel y Óscar?

n Dados los conjuntos:

A U B

•lunes

•viernes

•miércoles

•martes

•jueves

BA

•3

•1

•2•5•4

•6

P R

S

Q

P = {1; 2; 3} Q = {2; 4; 5} R = {4; 5; 6} S = {4; 5}

¿Cuál es la intersección de P y R? Es: P ∩ R = { }

¿Cuál es la intersección de Q y R? Es: Q ∩ R = {4; 5}

¿Cuál es la unión de R con S? Es: R U S = {4; 5; 6}

¿Cuál es la unión de P con Q? Es: P U Q = {1; 2; 3; 4; 5}

Utilizando un diagrama:

Representemos los conjuntos:

Óscar: A = {lunes, miércoles, viernes}

Raquel: B = {martes, miércoles, jueves}

Se denota:

A U B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}

¡Claro Luis está fácil!

¡Qué fácil es hacer la unión e intersección

de conjuntos!

El símbolo U se lee "UNIÓN"

Luego Raquel y Óscar van a la biblioteca los días: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes.

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16Dieciséis

Raquel

PedroCarmen

Óscar

José

¿Qué niños tienen pelota y no tienen mochila?Veamos:

Diferencia y complemento de un conjunto

•Raquel

•Pedro•José

•Óscar

•Carmen

BA

Eso significa que la diferencia entre A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A

pero no de B.

n Observa y completa.

Raquel, présta-me la pelota.

Pedro, vamos a jugar.

A = {niños que tienen pelota} A = {Raquel, Pedro, Carmen, Óscar}

B = {niños que tienen mochila} B = {José, Pedro, Raquel}

A – B = {niños que tienen pelota menos niños que no tienen mochila}

A – B = {Carmen, Óscar}. Es el conjunto diferencia.

A - B

El símbolo – se lee "MENOS"

Utilizando un diagrama:

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17Diecisiete

Ahora, dado el conjunto universal: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6 ; 7; 8; 9} y el conjunto: A = {3; 5; 6; 8},¿cuáles son los elementos del conjunto universal U que no pertenecen al conjunto A?

AC

•1

•2U

•4

•3•5

•6•8

•7

•9A

n Veamos otro ejemplo en base al diagrama mostrado.

A este conjunto se le llama complemento de A con

•e

U

•f

•a •c

•d•b

•g

B

U = {a; b; c; d; e; f; g}

B = {a; b; c; d}

BC = {e; f; g}; es el complemento de B.

respecto al conjunto universal U.

Se denota AC y se lee complemento de A

Utilizando un diagrama:

Los elementos son 1; 2; 4; 7 y 9. Simbólicamente: U – A = AC = {1; 2; 4; 7; 9}

¡Karina! ¿La diferencia de dos conjuntos es

conmutativa?

No, Luis no es conmutativa

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18Dieciocho

1.6 PROBLEMAS EMPLEANDO CONJUNTOS

Problemas sobre conjuntos

n De un grupo de 30 jóvenes, a 25 les gusta el fútbol y a 10 les gusta el básquet y el fútbol. ¿A cuántos jóvenes solo les gusta el fútbol?

Les gusta solo el fútbol a: 25 – 10 = 15

Respuesta: A 15 les gusta solo el fútbol.

Asimismo: ¿A cuántos niños les gusta el básquet?

Rpta. 15

¿A cuántos niños les gusta solo el básquet? Rpta. 5

Les gusta fútbol y básquet

Asimismo: ¿A cuántas personas les gusta solo el helado

de fresa? Rpta. 25

¿A cuántas personas les gusta el helado de fresa? Rpta. 51

n De un grupo de 90 personas, a 65 les gusta el helado de vainilla y a 26 les gusta el helado de fresa y el de vainilla. ¿A cuántas personas les gusta solo el helado de vainilla?

Solución: Utilizando un diagrama con los datos:

n Lee y observa con mucha atención.

25 – 10 = 15 10 30 – 25 = 5

F B

Respuesta: A les gusta solo el helado de vainilla.

39

65 – 26 = 39

V F

26 90 – 65 = 25

Solución: Construyamos un diagrama con los datos:

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19Diecinueve

A y B no tienen elementos comunes.

A y B son conjuntos iguales.

{20; 22; 24; 26; 28} {1; 3; 5; 7; 9}

{números impares menores que 10}

{números pares comprendidos entre

18 y 30}

{números impares terminados en 0}

{números pares terminados en 1}

B es subconjunto de A.

A y B tienen algunos elementos comunes.

A = {1; 3; 5; 7} y B = {3; 5}

A = {8; 9} y B = {7; 4}

A = {5; 6; 7} yB = {números naturales comprendidos entre 4 y 8}

A = {0; 2; 8} yB = {números pares menores que 8}

Observa que en los recuadros de color se escribe 1 si el conjunto es unitario y 0 si es vacío.

n Aprecia que las líneas están uniendo una misma relación.

n Observa que los recuadros que tienen los mismos elementos están pintados del mismo color.

Seguimos con más problemas

M = {x ∈ N / 5 < x < 7}

P = {x ∈ N / 4 < x < 5}

Q = {x ∈ N / x + 1 = 8}

1

0

1

R = {x ∈ N / x + 1 = 0}

S = { }

T = {0}

0

0

1

0 ∈ A

5 ∈ A

n Dado A = {4; 6; 8}, observa las afirmaciones que son verdaderas y falsas.

Observa la determinación por extensión y comprensión de los siguientes conjuntos.

4 ∈ A

6 ∈ A

VerdaderoVerdadero

VerdaderoFalso

FalsoFalso

Por extensión Por comprensión

F = {invierno, verano, otoño, primavera}

G = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19}

H = C = { x ∈ N / x es par y x < 11}

F = {x/x es una estación del año}

G = {x ∈ N / x es impar < 20}

{0; 2; 4; 6; 8; 10}

9 ∉ A

8 ∉ A

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