libro cuantica

8/19/2019 Libro Cuantica

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Apuntes de Mecánica Cuántica

Dr. Gustavo Adolfo Pérez Mungúıa


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Apuntes de Mecánica Cuántica

Dr. Gustavo Adolfo Pérez Munguı́aTegucigalpa, Honduras

PACS numbers: 03.65

The Unreasonable ManThe reasonable man adapts himself to the world;

the unreasonable one persists in trying to adapt the world to himself.Therefore all progress depends on the unreasonable man.

Introducción

La introducción de nuevas teoŕıas f́ısicas, tales como las leyes de Newton, la Relatividad y la Mecánica Cuántica,siempre trajeron consigo la modificación de nuestros conceptos de espacio, tiempo y realidad. A medida que la cienciaextiende sus fronteras hacia las grandes distancias, como en la Teoŕıa de la Relatividad, o a pequeñas distancias comoen la Mecánica Cuántica, nuestro concepto intuitivo del espacio tiempo adquiere nuevas formas y contornos. Estosnuevos contornos hacen aparecer fenómenos que por su vez generan el descubrimiento de nuevas teorı́as haciendo aśıuna cadena infinita que solo terminará con la propia evolución del ser humano.

Finalmente, es necesario aclarar que la introducción axiomática de la Mecánica Cuántica que aqúı se hace, tienecomo único objetivo esclarecer a los alumnos los principios en que se fundamenta la teoŕıa y de ninguna manera debeinducir a pensar que las teoŕıas f́ısicas se pueden construir sin el apoyo de la base experimental suficiente.

Se supone de parte del lector un buen conocimiento de álgebra y análisis.

[0] ∗ E-mail:[email protected]


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Sabré enfrentar el rigor del invierno,porque luego después llegará la primavera.

A LA MEMORIA DE:

Dr. JORGE A. SWIECA

Considered one of the major specialists in field theory in the country, Jorge André Swieca (1936 - 1980) published, both

in Brazil and abroad, numerous works which attracted the attention of the academic elite in his area of specialization.There are bases mainly on quantic electrodynamics, on the asymptotic conditions in the theory of fields, on thelocalization of states in relativistic quantic theories, on the spontaneous rupture of symmetries, on the behavior of commutators in non-relativistic theories of many bodies and the algebra of Gell-Mann currents.

FIG. 1: Jorge André Swieca


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La Teoŕıa de los Cuantos . Resumen y Proyecciones

Conferencia dictada por el Dr. Klaus SchockenDepartamento de F́ısica UNAH, Tegucigalpa 1975.

He estudiado Fı́sica en la Universidad de Berĺın entre los años 1923 y 1928. En aquel tiempo la Teoŕıa de los Cuantosfue el centro de gran interés. La universidad y los institutos independientes como el Instituto Nacional de F́ısica yTecnoloǵıa y los institutos de la Sociedad para el Fomento de las Ciencias (hoy llamada Sociedad Max Planck) eranfuertes en espectroscoṕıa, que era la llave para abrir el interior de los átomos. Los investigadores eran igualmente

competentes en la medición y la interpretación según la teorı́a de Bohr y Sommerfeld. Habı́a un coloquio semanal enel cual se congregaba la mayoŕıa de los f́ısicos de las inmediaciones de la ciudad. Los art́ıculos nuevos se discut́ıanen estas ocasiones. En mis años como estudiante no graduado, estos coloquios se relacionaron casi siempre conespectroscoṕıa. En los pocos casos que recuerdo cuando se comunicaron resultados de otras actividades como ladescomposición artificial de núcleos atómicos, la radiación cósmica u observaciones experimentales sobre Relatividad,vinieron visitantes fuera de Berĺın.

En Alemania existı́an tres centros importantes de F́ısica: Berĺın, Munich y Gotinga. La universidad de Munichera famosa por causa de Arnold Sommerfeld de cuyo libro Estructura Atómica y Ĺıneas Espectrales una generaciónentera aprendió la Teoŕıa de los Cuantos.

Hasta ahora he hablado de los primeros años de mi estudio, cuando la Teoŕıa de los Cuantos era dominante en laforma de Bohr Sommerfeld.

El primer cambio ocurrió cuando Heisenberg, Born y Jordan publicaron su disertaci ón sobre la mecánica de matrices.Esta publicación se conoció inmediatamente, pero las opiniones no cambiaron en Berĺın. La F́ısica continuó comoantes. Las cosas fueron diferentes cuando Schrödinger comenzó a publicar su serie de art́ıculos sobre la mecánicade ondas. La F́ısica cambió en Berlı́n después de su segunda memoria. A la Teoŕıa de Schrödinger le fue dada labienvenida con esperanzas inmensas y Schrödinger se juntó a la facultad de Berlı́n en poco tiempo. La interpretaciónoriginal de la Teoŕıa de los Cuantos dada por Schrödinger coincidió con las opiniones y expectaciones de la Facultadde F́ısica de Berĺın, en particular las de Planck, Einstein y Von Laue. Cuando Max Born publicó la interpretaciónprobabil ı́stica de la Teoŕıa de los Cuantos, la interpretación original de Schrödinger cayó; pero la interpretación deprobabilidades en el sentido de Born no se aceptó jamás en Berĺın. Recuerdo a Einstein diciendo: ”Esta gente hacedel apuro una virtud”.

Con esta educación temprana, ¿Cómo se puede valorar la Teoŕıa de los Cuantos hoy?Primero hace falta apuntar que la Teoŕıa de los Cuantos no se puede valorar sin considerar la Teoŕıa de la Relatividad

simultáneamente, ni la Teoŕıa de la Relatividad sin considerar simultáneamente la Teoŕıa de los Cuántos. Ambasteoŕıas se originaron al comienzo del siglo en un peŕıodo de pocos años. Los problemas que trataron de resolver erantotalmente diferentes. La Teoŕıa de la Relatividad era la consumación de la Teoŕıa Clásica de Newton y Maxwell. Ya pesar de las innovaciones grandes que postuló, sus problemas y métodos eran clásicos. La Teoŕıa de los Cuantos

resolvió desde el principio los problemas que eran inaccesibles a los métodos clásicos, tales como la ley de la radiacióndel cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y la teorı́a atómica.

La Teoŕıa de la Relatividad es el apéndice a la Teoŕıa Clásica de Newton y Maxwell. Pero se sabe hoy que laTeorı́a Clásica es solo aproximación. No es exacta. La Teoŕıa Cuántica expresa la F́ısica exacta. Pero la TeoŕıaCuántica no covariante es tambíen solo una aproximacíon, no es exacta. Entonces solo una teoŕıa covariante decampos cuánticos puede ser exacta. Tal teoŕıa se ha desarrollado en analoǵıa a la teoŕıa de campos clásicos. Elcambio principal con respecto a los campos clásicos es asociar observables con operadores autoadjuntos sobre unespacio de Hilbert. Tal Teoŕıa de los Campos Cuánticos se ha desarrollado según estos principios y se denomina laTeoŕıa de los Campos Cuánticos de Lagrange. Esta teorı́a ha alcanzado éxitos notables como una teorı́a básica de lasinteracciones elementales y resuelve bien el problema de part́ıculas aisladas.

Pero además de la dificultades matemáticas, esta teoŕıa no es satisfactoria en el tratamiento de las interaccionesentre part́ıculas. El único método por el cual se puede aplicar es a través de la teoŕıa de perturbaciones y ésta esinaplicable a las interacciones fuertes.

A pesar de sus defectos, ésta es la única Teoŕıa Cuántica que tiene bases sólidas. Se conoce bajo el nombre deprincipio de Acción de Schrödinger. Debe ser mejorada.Yo no creo que se pueda descartar el método de variaciones. La geometrización de la F́ısica es una consecuencia

inmediata de la Teoŕıa de la Relatividad. Esta tendencia halla su consumación en la Teoŕıa Unificada del Campo.En ella todas las leyes de la F́ısica se representan por movimientos a lo largo de geodésicas. Si este programa no escapaz de realizarse para la Teoŕıa de los Cuantos, esta imposibilidad puede ser debido a que se usan todav́ıa conceptospre-relativı́sticos.

En particular hace falta clarificar el concepto de part́ıcula. Entre los observables dinámicos que se derivan paralas part́ıculas en los diversos campos cuánticos en ninguno se indica si la partı́cula ba jo consideración es un cuerpoŕıgido o una gota ĺıquida. Si aparecen contradicciones se puede llegar a la conclusión que implı́citamente la partı́cula


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es ŕıgida. Tal cuerpo no es conforme con la Teoŕıa de la Relatividad. Por eso la Teoŕıa de los Campos Cuánticos deLagrange es incompleta hasta ahora.

En cambio la vieja controversia sobre el determinismo en la Teoŕıa de los Cuantos es infecunda. En la teorı́a existela interpretación probabilista que es la única que surte efecto. Pero esta teoŕıa es todav́ıa incompleta. Es imposiblepredecir la interpretación de una teoŕıa completa que no existe ahora.

Este es un resumen de la conferencia dictada por el Dr. Klaus Schocken alumno de Max Planck en ocasión dela celebración de los cincuenta años de la Mecánica Cuántica durante su estancia en Tegucigalpa, Honduras en el

Departamento de Fı́sica de la UNAH como miembro del Cuerpo de Paz.El Dr. Schocken trabajó en ionización de gases por rayos x en los años 30 en Alemania, en el Army Medical Re-search en los 50, en el DOI en el 51 y en la Nasa del 57 al 70. Nació el 24 de abril de 1905, murió el 13 de octubre de 1997.


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Índice

Contents

I. CAPÍTULO 1 9A. Axiomas 9

B. La Normalización de la Función de Onda 9C. La Estructura de un Espacio Vectorial con Producto Interno 10D. La Interpretación de la Función de Onda 10

Definición de Valor Medio 10Axioma 4 11

E. Propiedades de los Operadores Hermitianos 11Problemas 13

F. Propiedades del Adjunto o Hermitiano Conjugado 14G. La Teoŕıa de la Medida 14H. Los Operadores Asociados a las Cantidades Observables

El Operador Asociado a la Posición 16El Operador Momento Lineal 17

I. Los Autovalores de un Operador Hermitiano y las Autofunciones Asociadas 17La Normalización de la Part́ıcula Libre 18Problemas 18

J. El Valor Medio en la Base de Autovectores 18K. Relaciones de Incertidumbre 19

Teorema 19L. Operador Momento Angular 21

El Módulo del Momento Angular 23El Principio de Correspondencia 23Problemas 24

II. CAPÍTULO 2 26A. La Dinámica de la Mecánica Cuántica 26B. La Velocidad de Grupo de un Pulso de Ondas 27

Axioma 5 28

C. La Conservación de Probabilidad en la Ecuación de Onda 28La Solución de la Ecuación de Schrödinger cuando V(x,t) no depende del Tiempo 30Ejemplos de Solución de la Ecuación de OndaProblemas en una Dimensión 30El Operador de Paridad 32Problema No 2 38El Caso Antisimétrico 40La Barrera de Potencial 42Problemas 46

D. La Evolución Temporal de la Función de Onda 47Ejemplo 48

E. Problemas de Evolución de Paquetes Libres 51F. Problemas de Repaso 52

1. Probabilidad 522. Operadores 523. Normalización de la Función de Onda. 534. Mecánica Cuántica 54

G. Problemas Resueltos 56

III. CAPÍTULO 3 60A. Teorema de Ehrenfest 60B. El Comportamiento de un Potencial que se Anula en el Infinito 62C. El Oscilador Armónico 63


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D. El Principio de Correspondencia para el Oscilador Armónico 66E. El Estudio de los Polinomios de Hermite 67F. Función Generadora de los Polinomios de Hermite 67G. La Fórmula de Recurrencia de los Polinomios de Hermite 68H. La Constante de Normalización del Oscilador Armónico 69I. El Caso de un Paquete Gaussiano en un Potencial Armónico 71J. Comportamiento de una Función de Onda de Ancho Arbitrario 74

IV. CAP´ITULO 4 76A. La Separación de Variables en Coordenadas Cartesianas 76

B. La Ecuación de Onda en Coordenadas Esféricas 77C. Las Propiedades de los Polinomios de Legendre 82D. La Ecuación Radial y sus Soluciones 84

1. La Solución de la Ecuación de Bessel 89E. Problemas 94

1. Notas y Ejemplos 952. Ortogonalidad de los Polinomios de Legendre 95

F. La Part́ıcula en una Caja Rectangular y en una Caja Circular 961. Introducción 972. La Caja Rectangular 983. La Caja Circular 994. Ahora la Mecánica Cuántica 100

V. CAPÍTULO 5 103A. El Átomo de Hidrógeno 103B. Clasificación de los Niveles de Enerǵıa 105C. Algunas de las Propiedades de los Polinomios de Laguerre 106D. El Potencial Armónico Isótropo 107E. El Oscilador Armónico en Coordenadas Esféricas 108F. Sistemas de Muchas Part́ıculas 111

VI. CAPÍTULO 6 117A. El Spin y el Momento Angular Orbital 117B. El Spin del Electrón 121C. Los Hamiltonianos con Spin 124

D. El Acoplamiento del Spin al Momento Angular Orbital 128E. Propiedades del Producto Directo o Tensor de Dos Espacios Vectoriales 132Cálculo de los Coeficientes de Clebsch-Gordan 133

F. El Momento Angular y las Rotaciones 135G. La Representación del Grupo de las Rotaciones 136H. Operadores Tensoriales 137I. El Teorema de Wigner Eckart 139J. Aplicaciones del Teorema de Wigner Eckart 140

VII. CAPÍTULO 7 143A. Perturbación Independiente del Tiempo 143

1. Caso Degenerado de Primer Orden 1462. La Teoŕıa de Perturbación de Segunda Orden 147

B. Aplicaciones de la Teoŕıa de Perturbaciones 149

C. Efecto Zeeman 1491. Efecto Zeeman Normal 149

D. Efecto Zeeman Anómalo 153E. El Acoplamiento Spin Órbita 155F. El Efecto Stark 159

1. El Caso Degenerado 1592. El Efecto Stark en los Átomos Alcalinos 162

VIII. CAPÍTULO 8 169A. Métodos no Perturbados de Aproximación 169


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B. Aplicaciones para el Átomo de Helio 1701. La Integral de Undsöld 174

C. El Método WKB 175D. La Expansión Asintótica 182E. La Regla de Sommerfeld Wilson 185F. Cálculo de Coeficientes de Reflexión y Transmisión por el Método WKB 187

IX. CAPÍTULO 9 191

A. La Interacción con el Campo Electromagnético 1911. Las Ecuaciones de Movimiento 1912. El Átomo en la Presencia de un Campo Electromagnético Externo 1953. La Teoŕıa de la Perturbación Dependiente del Tiempo 1964. Emisión de Radiación 197

X. Agradecimientos 204


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I. CAPÍTULO 1

Los Principios Básicos de la Mecánica Cuántica

A. Axiomas

En este caṕıtulo comenzaremos enunciando un conjunto de reglas básicas que llamaremos de axiomas y que nos

permitirán construir la teoŕıa matemática en la cual se basa la Mec ánica Cuántica. Estos axiomas representan lasconclusiones experimentales mı́nimas sobre las cuales se puede construir la teorı́a.

Axioma 1. El estado de un átomo se describirá por medio de una función de onda compleja.

Axioma 2. |ψ(x, t)|2 es la densidad de probabilidad de al hacer una medida de localización en el tiempo t alĺıencontrar el electrón.

Axioma 3. Principio de Superposición.

Las funciones de onda forman un espacio vectorial. Si ψ1 es una función de onda y ψ2 también, la combinaciónlineal αψ1 + βψ2 también será una función de onda, donde α y β pertenecen a los números complejos.

B. La Normalización de la Función de Onda

Para representar una probabilidad la función de onda debe estar normalizada, o sea que si

P (x, t) = |ψ(x, t)|2 (1.1)es la densidad de probabilidad de encontrar la part́ıcula en un determinado punto e instante,

V

P (x, t)d3x (1.2)

es la densidad de probabilidad de encontrar la part́ıcula en el volumen V.

Como la probabilidad de encontrar una part́ıcula en todo el espacio debe ser uno, tenemos que: ∞

|ψ(x, t)|2d3x = 1 (1.3)

Donde ∞ significa que la integral es sobre todo el espacio. Note que si sustituimos la funci ón de onda original porφ = cψ (1.4)

y mantenemos la normalización |φ(x, t)|2d3x = |c|2 (1.5)

o sea |c|2

= 1 , concluimos que c es una fase en la función de onda, esto es que

c = eiθ (1.6)

si multiplicamos la función de onda por una fase el estado fı́sico no se altera, tendremos que estudiar esto en másdetalle cuando completemos la descripción de los teoremas. Lo que nos permite afirmar que una fase introducida enla función de onda no es una caracteŕıstica mensurable del sistema.


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C. La Estructura de un Espacio Vectorial con Producto Interno

Los axiomas anteriores dan una estructura de espacio vectorial para la función de onda, en general de dimensióninfinita.

La determinación de las caracteŕısticas de continuidad de una función de onda para que represente un fenómenof́ısico nos conduce a lo que se conoce como espacio de Schwartz de la funciones test, las ”funciones generalizadas”fueron introducidas por Sergéi Sóbolev en 1935. Independientemente y a finales de la década de 1940 Laurent Schwartzformalizó la teorı́a de distribuciones, lo que le valió la Medalla Fields en 1950, pero en términos menos rigurosos solo

se exige que las funciones ψ sean de cuadrado integrable L2(R3) por ejemplo ηe−x2

El producto interno que usaremos será: ∞

ψ∗ψd3x =< ψ, ψ >≥ 0 (1.7)

y

< ψ, ψ >= 0 si ψ = 0 (1.8)

a menos de un conjunto de medida nula.Para que el producto interno esté bien definido es necesario que satisfaga la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

| < ψ,φ > | ≤ |ψ||φ| (1.9)donde como es usual

|ψ| =

< ψ, ψ > (1.10)

la desigualdad triangular se escribe como:

|ψ + φ| ≤ |ψ| + |φ| (1.11)Como es sabido cuando la Mecánica Cuántica se formuló por primera vez surgieron dos versiones, la de Schr ödingerque utiliza ecuaciones diferenciales y la segunda debida a Heisenberg, Werner Heisenberg (5 Diciembre 1901-1 Febrero1976), que utiliza operadores matriciales, las propiedades que relacionan un operador en un espacio de Hilbert conla matriz asociada a ese operador nos harán ver que tanto la formulación ondulatoria como la matricial son dosexpresiones equivalentes del mismo fenómeno f́ısico. Sabemos que un espacio de Hilbert o sea un espacio con productointerno completo y separable tiene una base ortonormal. Esa base ortonormal cumplir á :

< ei, ej >= δ ij (1.12)

Donde δ ij es el delta de Kronecker, Leopold Kronecker (Diciembre 7, 1823-Diciembre 29, 1891), o sea la matrizasociada al operador unitario I ψ = ψ.Vamos a recordar que el espacio L2() o sea las funciones de cuadrado integrable en la recta es completo, el teoremafue probado de forma independiente en 1907 by Frigyes Riesz y Ernst Sigismund Fischer. Y por lo tanto si ψ ∈ L2()existe una base completa {ψn} donde ψ =

anψn donde an ∈ C (los números complejos). Para L(−π, π) la base es

la de Fourier para L2() la base es la de Hermite.

D. La Interpretación de la Función de Onda

Definici´ on de Valor Medio

Sabemos por el segundo axioma que P (x, t) = |ψ(x, t)|2 ası́ el valor medio es:

< x >=

xP (x, t)d3x =

[ψx]ψd3x

o sea el primer momento.En general el valor medio no se refiere a una multitud de medidas hechas sobre la part́ıcula, ya que la primera medida

puede perturbar la part́ıcula y afectar las medidas subsecuentes ası́ la medida se realiza sobre una gran cantidad departı́culas en el mismo estado.


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El valor medio de una cantidad dinámica se obtiene de la siguiente manera: A la cantidad din ámica clásica f (x, p)que es una función con dominio en el espacio de fases (x, p) se le asocia el operador cuántico correspondiente a travésde la relación x → xop y p → pop o sea haciendo corresponder los operadores de posición y momento lineal, a estafunción la llamamos F op y su valor medio será definido como:

< F >=

[ψF op]ψd

3x =< ψ, F opψ > (1.13)

F op es el operador asociado a la cantidad dinámica F .

Axioma 4

Asociado a una cantidad observable existe un operador Θ → Θop lineal tal que su valor medio es real < Θ >=<Θ >∗.Utilizando este postulado, o sea que el valor medio de toda cantidad din ámica observable es real podemos escribir:

=< ψ, Θopψ >= (1.14)

por definición de operador adjunto tomamos a Θ† tal que:

< ψ, Θ ψ >= (1.15)

haciendo la diferencia entre (8.23) y (8.24)

= 0de forma que

Θop = Θ†op

o sea el operador que representa una cantidad din´ amica debe ser autoadjunto. La existencia del autoadjuntoo hermitiano la supondremos sin demostración.

E. Propiedades de los Operadores Hermitianos

Un operador Θ es autoadjunto o hermitiano si:< ψ, Θψ >= o si (1.16)

< ψ1, Θψ2 >= (1.17)

La asociación de un operador a su matriz en una determinada base se hace de la siguiente manera: Sea {ψn} unabase ortonormal de L2 luego:

< ψn, ψm >= δ nm (1.18)

como la base es completa podemos escribir:

ψ =

anψn (1.19)

tomando el producto interno de ambos lados (8.26) tenemos:

< ψm, ψ >=

an < ψm, ψn >=

anδ nm = am (1.20)

o sea que

an =< ψn, ψ > (1.21)

que son precisamente los coeficientes de Fourier o sea las proyecciones de la funci ón ψ sobre la base {ψn}. Loselementos de matriz del operador Θ se obtienen de la siguiente forma:

φ = Θψ (1.22)


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ψ =

anψn; substituyendo en (8.28)

φ = Θψ = Θ

anψn =

anΘψn (1.23)

por otra parte la descomposición de φ en elementos de la base es:

φ =

bnψn luego

bnψn =

anΘψ,

tomando el producto con ψm por la izquierdabn < ψm, ψn >=

an < ψm, Θψn > (1.24)

como < ψm, ψn >= δ nm, tenemos que:

bn =

an < ψm, Θψn > , (1.25)

Si recordamos la regla de multiplicación de una matriz por un vector dando como resultado un vector, podemos definirla matriz asociada al operador Θ como:

Θm,n =< ψm, Θψn >

el hecho que Θ es un operador hermitiano se traduce para los elementos de matriz como:

< ψm, Θψn >==< ψn, Θψm >

o sea

Θm,n = Θn,m

para enfatizar que {bn} es un vector y bn son sus componentes en la ecuación (8.29) a veces se escribe:|bn >= {bn} para el vector que tiene por

componentes bn y por abuso de lenguaje tambíen se representa como:

|bn >= {bn} = |n >Esta notación que lleva el nombre de notación de Dirac en honor a su inventor, Paul Adrien Maurice Dirac, OM, FRS(8 de agosto de 1902 - 20 de octubre de 1984), es muy práctica para cálculos, en Mecánica Cuántica.

La expansión en una base se re-escribe ası́ :

|ψ >=

an|n >

donde si la base |n > es ortonormal entoncesan =< n|ψ >

En caso que el espacio es pre-Hilbert o no separable la base es no denumerable (o sea no se puede construir unabiyección entre los elementos de la base y los números enteros), en ese caso se utiliza la notación:

|ψ(x) >= |ψ >donde el ı́ndice ψ pertenece a los complejos.


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Problemas

Problema 1.1Encuentre la normalización de las siguientes funciones de onda.

ψ(x) = e−x2

ψ(x) = e−|x|senx

Problema 1.2Demuestre que las ecuaciones a y b son verdaderas:a) Para un espacio separable.

1 =

|n >< n| donde 1 es la unidad del espacio.b) Para un espacio no separable.

1 =

|x >< x|dx

Problema 1.3Defina δ como un funcional lineal continuo que tiene la propiedad

δψ = ψ(0)

lo que a veces se escribe como: δ (x

− x)f (x)dx = f (x)

a) Demuestre que

xdδ (x)

dx = −δ (x)

Problema 1.4Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo tamaño y asuma AB = BA muestre que:

(A + B)

2

= A

2

+ 2AB + B

2

y

(A + B)(A − B) = A2 − B2

Problema 1.5Sea:

A =

1 23 −1

y B =

2 01 1

Encuentre AB y B A.

Problema 1.6

Sea F (θ) el operador de rotación en el espacio R2, este operador toma una base ortonormal y la gira de un ángulo θen el sentido trigonométrico positivo.Si ê1 = (1, 0) y ê2 = (0, 1) encuentre los elementos de matriz de F en esta base o sea:

, , ,

Problema 1.7Sea F : R4 → R2 dada por F (x1, x2, x3, x4) = (x1, x2) lo que es una proyección. Encuentre la matriz asociada a esteoperador.


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Problema 1.8Sea D = d/dt la derivada y B una base de funciones.Encuentre los elementos de matriz de D en relación a las siguientes bases:

a) {et, e2t}b) {1, et, t2}c) {1, t , et, e2t, te2t}d)

{sent, cost

}

F. Propiedades del Adjunto o Hermitiano Conjugado

La definición de el operador hermitiano es:

< ψ1, Θψ2 >= (1.26)

Utilizando la definición podemos fácilmente demostrar que:

(AB)† = B†A† (1.27)(αA + βB)† = ᾱA† + β̄B† (1.28)

Cuando el operador satisface la ecuación:

Θψ = λψ (1.29)

Y λ ∈ C decimos que λ es un autovalor del operador y ψ es la autofunción asociada. No necesariamente todos losoperadores tienen autovalores λ = 0, el operador del problema 1.6 de la secci ón anterior no tiene autovalores = 0.

Sin embargo los operadores hermitianos de espacios de dimensión finita, y los operadores hermitianos de dimensióninfinita pero compactos satisfacen el teorema espectral que dice:

Sea V un espacio de Hilbert y A un operador lineal hermitiano (autoadjunto y compacto), luego existe un sistemaortonormal {φn} de autovectores correspondientes a los autovalores {λn} tal que cada elemento ξV se puede escribirde forma única como:

ξ =

nC nφn + ξ

(1.30)

donde el vector ξ

verifica la condición Aξ

= 0,además:

Aξ =

k λK C K φK (1.31)

Y limλnn→∞ = 0 (1.32)

G. La Teoŕıa de la Medida

Vamos primero a demostrar que el valor medio de un operador observable es un autovalor. Para eso es necesarioexaminar lo que significa una medida. Una vez efectuada una medida se obtiene un número real bien definido (losoperadores hermitianos tienen autovalores reales). Después de una medida de un operador de espectro discreto vamosa suponer que el desv́ıo es cero, o sea: ∆Θ2 =< (Θ

− < Θ >) >2= 0 donde < Θ > representa el valor medio del

operador Θ. La suposicíon es razonable pero es clásica y puede ser justificada notando que nuestros aparatos demedida son clásicos (esencialmente macroscópicos) luego inmediatamente después de la medida:

∆Θ2 = 0

∆Θ2 = =< ψ, (Θop− )2ψ > (1.33)= = 0

Como el producto es positivo definido (8.30) implica que:

Θopψ = ψ


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15

De donde concluimos que al hacer la medida individual sobre Θ op,obtendremos un autovalor y vemos que después dela medida la función de onda es una autovector. Aśı, cuando el sistema se encuentra en un estado cualquiera y sehace una medida, él se reduce a una autofunción del operador medido.

autovalor

ψ (ANTES)−→ MEDIDA −→ ψn después de la medida.

Las consecuencias de este cambio, brusco y discontinuo de la funciónde onda lo llamamos de reducción del pulso que representa la partı́cula. Por ejemplo el estado de polarización de unfotón puede ser determinado por un experimento que mida si está polarizando a izquierda o a derecha.Un fotón linealmente polarizado se escribe como:ψ = aψ+ + bψ− donde a y b son números complejos y ψ la función de onda de un fotón linealmente polarizado y ψ+y ψ− las funciones de onda correspondientes a las polarizaciones en el sentido dextrógiro o levógiro.Después de hacer la medida el resultado será ψ+ o ψ (exclusivamente), note que hay un cambio brusco.Esto ha llevado a la interpretación de los muchos-mundos que fue propuesta por Hugh Everett III de Princeton ydesarrollada por Bryce S DeWitt y John A. Wheeler de la Universidad de Texas en Austin. Como la Teoŕıa Cuánticada solamente la probabilidad de un evento, en principio una part́ıcula puede estar en cualquier punto solamente quecon diferente probabilidad, aśı la part́ıcula existe en todos los puntos y no solamente en aquel en que la posición esmedida.Para que esto sea satisfecho es necesario suponer que existen infinitamente muchos mundos, cada uno con la partı́culaen la posición diferente pero definida. Lo que sucede durante el proceso de medida es que se seleccionará un mundode los infinitos posibles (una posible realidad). La función de onda aún aśı es importante, pues continua a describirla totalidad de los mundos. Esta interpretación no es la interpretación estad́ıstica que nosotros le damos a la funciónde onda.Hugh Everett III (11 de noviembre de 1930-19 de julio de 1982) fue un f́ısico estadounidense que propuso por primeravez la Teoŕıa de los Universos Paralelos en la F́ısica Cuántica. Dejó la F́ısica después de acabar su doctorado,desalentado por la falta de respuestas hacia su teoŕıa por parte de los demás f́ısicos. Desarrolló el uso generalizadode los multiplicadores de Lagrange en investigación operativa y los aplicó comercialmente como consultor y analista,convirtiéndose en multimillonario.ProblemasProblema 1.9

Sea H un operador que llamaremos de Hamiltoniano y que tiene elementos de matriz en la base |r >H rr =< r |H |r >= H δ (r − r)

muestre que la inversa de esta matriz se puede escribir como:

H −1rr =

n

E −1n φn(r)φn(r)

donde E n y φn son autovalores y autofunciones del operador H .

Problema 1.10Se define una matriz ortogonal como aquella que satisface:

T T † = 1 donde 1 es la matriz unidad. Muestre que:

T =

cos θ −senθ 0senθ cos θ 0

0 0 1

que produce una rotación de un ángulo θ en torno del eje z es ortogonal.

Problema 1.11Un operador de proyección es una operador que proyecta un vector en un subespacio.


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16

Por ejemplo el operador representado por la matriz 1 0 00 1 0

0 0 0

proyecta el vector

abc

en el subespacio bidimensional ab

0

Demuestre que si P es un operador de proyección P 2 = P . ¿Qué se puede decir sobre la inversa de P ?

H. Los Operadores Asociados a las Cantidades Observables

El Operador Asociado a la Posición

El operador asociado a la posición será definido como:X opψ(x) = xψ(x) (1.34)

O sea el operador multiplicación por la coordenada x.Si ψa(x) es una autofunción del operador X op asociado a el autovalor a tenemos que:

X opψa = aψa (1.35)

Utilizando la definición (8.31) tenemos que:

(x − a)ψa = 0 (1.36)de la teoŕıa de las distribuciones sabemos que (8.32) implica en que:

ψa = cδ (a) c ∈ C (1.37)esta relación se puede demostrar con facilidad utilizando la transformada de Fourier

F ( p) = 1

(2π)32

v∞

f (x)ex• ph̄ d3x (1.38)

donde h̄ es la constante de Planck h dividida por 2π, h̄ = h/2π y p es un parámetro

F (δ ) = cte (1.39)

aśı que

xT = 0

F (xT ) = 0 → {F (T )} = 0F (T ) = c (1.40)

tomando la transformada inversa de (8.33) tenemos

F {F̄ (T )} = cF (1) (1.41)lo que significa que

T = cδ (1.42)

pues

F (1) = cδ (1.43)

La generalización a tres dimensiones es inmediata.

ψa(x) = δ (x1 − a1)δ (x2 − a2)δ (x3 − a3) = δ (x − a)


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17

El Operador Momento Lineal

Por la relación de Broglie, sabemos que el electrón es una partı́cula de momento p que puede ser descrito por unaonda

ψ p(x) = ei p•x/h̄ (1.44)

aśı que P op tiene que satisfacer la relación

P opψ p = peipx/h̄ (1.45)

a una dimensión. Como:

P opψ p = −ih̄ ∂eipx/h̄

∂x = peipx/h̄ (1.46)

definimos:

P op = −ih̄ ∂/∂x (1.47)o equivalentemente en tres dimensiones

P op =

−ih̄

∇ (1.48)

I. Los Autovalores de un Operador Hermitiano y las Autofunciones Asociadas

Suponga que θn = θmθopψn = θnψn

y

θopψm = θmψm

luego como:

< ψm, θopψn >= θn < ψm, ψn >=< θopψm, ψn >= θm < ψm, ψn >

como θn = θm eso implica que< ψm, ψn >= 0

en el caso que m = nθn = θ

n luego el autovalor es real.

Se dice que un operador tiene espectro (el conjunto de todos los números complejos λ que satisfacen:

(θ − λI )ψ = 0donde I es la identidad) no degenerado cuando existe solamente una función ψn asociada con cada autovalor θn.Enel caso que el operador sea degenerada sus autofunciones deben ortogonalizarse por el proceso de Gram Smith para

conseguir una base ortogonal.Los operadores fı́sicos (compactos) tienen autofunciones que forman una base ortogonal completa del espacio.

En el caso de los autofunciones del operador momento lineal que llamaremos de funciones de onda de lapart́ıcula libre, como el operador momento no es compacto, la descomposición en elementos de la base se representapor la integral de Fourier.

ψ(x) = 1

(2π)32

V ∞

a( p)ei p•x/h̄d3 p (1.49)

Cualquier estado de una part́ıcula libre de interaccíon con otras partı́culas pueden expresarse en la forma (1.49).


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La Normalizaci´ on de la Partı́cula Libre

Como la función ψ p = ei p•x/h̄ no pertenece a L2(3) consideramos que no representa un verdadero fenómeno f́ısico,

mas un proceso ĺımite de un verdadero fenómeno f́ısico que es descrito por un paquete de onda de la forma:

ψ p±∆ p = A p+∆ p

p−∆ pψ p(x)d

3 p = A

p+∆ p p−∆ p

ei p•x/h̄d3 p (1.50)

debido a que el espectro del operador P op es continuo, no tiene sentido hablar de una medida experimental con valor

preciso más de un valor p ± ∆ p, o sea la integral del paquete de onda da el valor de la funci ón entre p − ∆ p y p + ∆ p,esta función ası́ promediada si pertenece a L2(3).

Problemas

Problema 1.12Calcule la transformada de Fourier de la función dada por:

ψ = 0 |x| > aψ =

1√ 2a

− a ≤ x ≤ +a

Problema 1.13

Una part́ıcula libre de momento p se representa por una onda plana. Un aparato de medida determina que lapartı́cula está en la región de longitud l. La interacción se asume, deja la función de onda invariante en l, pero lareduce a cero fuera de esta región. ¿Cuáles son el momento y la energı́a cinética medias de la part́ıcula después quese ha hecho la medida?

Problema 1.14Muestre que el momento lineal medio de cualquier paquete de onda representando una part́ıcula libre no cambia conel tiempo.

J. El Valor Medio en la Base de Autovectores

Sea

{ψn

} una base de autofunciones del operador Θ de forma que ψ se escribe como

ψ =

anψn

calculando el valor medio de < Θ > tenemos

= < ψ, Θopψ >=<

m

amψm, Θop

n

anψn >

=mn

aman < ψm; Θopψn >=mn

amanθn < ψm, ψn >

=

n

|an|2θn

luego vemos que la relación entre un valor medio y los coeficientes de Fourier an es

= n

a2nθK n (1.51)

de donde vemos que la probabilidad de que un autovalor sea el resultado de una medida de Θ es |an|2.

En el caso del operador momento lineal.

ψ(x) = 1

(2π)32

g(k)eikxd3k

donde |g(k)|2 es la densidad de probabilidad de al hacer la medida encontrar la part́ıcula con momento p = h̄ k


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K. Relaciones de Incertidumbre

Ya hemos estudiado que sucede cuando hacemos una medida de una cierta cantidad F́ısica, nuestro problema ahoraconsiste en saber en que condiciones se pueden hacer dos observaciones de cantidades diferentes simultáneamente.

Teorema

Sean A y B dos operadores, la condición necesaria y suficiente para que A y B sean simultáneamente diagonalizableses que A y B conmuten o sea:

{A, B} = (AB − BA) = 0 (1.52)Demostración:La condición suficiente {A, B} = 0 significa que AB = BA, sean φn y ψn autofunciones de A y B respectivamente.

Aφn = anφn

Bψn = bnψn

Suponga tambíen que el espectro de ambos operadores es no degenerado, calculando BAφn

= an

Bφn

utilizando elhecho que AB = BA, se transforma en

ABφn = anBφn (1.53)

por (1.53) entonces, si definimos

ξ n = Bφn (1.54)

es un autovector de Aconsidere ahora

ABψm = bnAψm (1.55)

pues ψm es autofunción de B .

luego tanto ξ n = Bφn como φn son autovectores de A correspondientes al mismo autovalor

Aφn = anφn

y

A(Bφn) = anBφn

ambos vectores deben ser proporcionales

Bφn ∼ φnluego los autofunciones de A también lo son de B .La condición necesaria

si

Aψi = aiψi

Bψi = biψi

(AB − BA)ψi = (aibi − biai)ψi = 0como ψi es una base completa

{A, B} = 0


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el significado fı́sico de este teorema, es el siguiente: las medidas fı́sicas asociadas a operadores que conmutan puedenrealizarse simultáneamente.

A continuación calculamos algunas fórmulas de incertidumbre de mucha utilidad

∆A2 =< ψ, (A− < A >)2ψ >para B

∆B2 =< ψ, (B− < B >)2ψ >ambos son números. El desvı́o es definido como un operador hermitiano

∆Aop = A− < A > I donde I es la unidad∆Bop = B− < B > I

note que si A y B son dos operadores hermitianos el conmutador {A, B} = iC también es un operador hermitiano.(AB − BA)† = (AB)† − (BA)† = B†A† − A†B† = {BA − AB} = −iC † (1.56)

luego

C = C †

es fácil demostrar que

{∆Aop, ∆Bop} = {A, B} (1.57)por otra parte por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

| |2 ≤ ||∆Aopψ||2||∆Bopψ||2

||∆Aop||2 ==< ψ, (∆Aop)2ψ >= ∆A2

ası́ podemos escribir

|| ||2 ≤ ∆A2∆B2 (1.58)

si ahora calculamos

|| ||2 = Im2{} + Re2{} (1.59)la parte imaginaria (Im) por su vez se escribe como

Im{} = 12i

{ − }

= 1

2i{< ψ, (∆Aop∆Bop − ∆Bop∆Aopψ >}

= 1

2i{< ψ, {∆Aop, ∆Bop}ψ >}

utilizando (1.57) tenemos que

= 1

2i{< ψ, {A, B}ψ >} = 1

2i < ψ,iCψ >= − 1

2i < C >

lo que significa que (1.58) se puede escribir como

∆A2∆B2 ≥ {−12

< C >}2 = < C >2

4 (1.60)

si extraemos la ráız cuadrada

||∆Aop|| =


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||∆A|| ||∆B||ψ ≥ < C >2

(1.61)

repare que la desigualdad depende de la función de onda que se tome. La relación (1.61) se llama relacíon deincertidumbre y la función de onda que satisface el signo de igualdad:

||∆Aop||ψ||∆Bop||ψ = < C >2

(1.62)

se denomina paquete de mı́nima incertidumbre.

El ejemplo clásico en el cual se aplican las relaciones de incertidumbre es la posici ón y el momento lineal, tome ası́ :

xop → x P op → −ih̄ d/dxcalculando la regla de conmutación

{xop, P op}ψ = −xh̄i ∂ψ∂x

+ i∂ ̄h

∂x(xψ) = ih̄ψ

utilizando < c >= h̄ o sea c = h̄1 la regla de conmutación se escribe como:

{X op, P op} = ih̄1 (1.63)esta relación nos dice que no podemos medir simultáneamente x y p. Una medida de la posición modifica el estadode momento lineal de la part́ıcula y viceversa.

La relación para los valores medios consecuencia de (1.63) se denomina principio de incertidumbre o principiode Heisenberg

∆x∆ p ≥ h̄/2 (1.64)donde

∆x = ||∆X op|| y ∆ p = ||∆P op|| (1.65)en tres dimensiones donde los operadores tienen componentes la ecuación (1.65) se transforma en:

∆xi∆ pj ≥ δ ij h̄2

(1.66)

L. Operador Momento Angular

Para terminar este caṕıtulo sobre fundamentos de la Mecánica Cuántica, estudiaremos aquı́ como se escribe elmomento angular orbital, el momento angular intŕınseco o spin será estudiado en caṕıtulos posteriores.

Definimos:

L = X op ∧ P op = ih̄(x ∧ ∇) (1.67)Lk = −ih̄ijk xi ∂

∂xj

donde ijk es el tensor de Levi-Civita. Tullio Levi-Civita (1873-1941) fue un matemático italiano, famoso por su trabajosobre cálculo tensorial pero quién también hizo contribuciones significativas en otras áreas de las matemáticas. Levi-

Civita personalmente ayudó a Albert Einstein a aprender el cálculo tensorial, en el cual Einstein basarı́a su RelatividadGeneral, y que hab́ıa luchado por dominar.Las componentes de L son:

Lz = −ih̄(x ∂ ∂y

− y ∂ ∂x

) (1.68)

Lx = −ih̄(y ∂ ∂z

− z ∂ ∂y

) (1.69)

Ly = −ih̄(z ∂ ∂x

− x ∂ ∂z

) (1.70)

(1.71)


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Para resolver el problema del momento angular de una part́ıcula, empezaremos por tratar de encontrar las autofun-ciones de L o sea en z debemos resolver el problema

Lzψ = mh̄ψ (1.72)

este problema se torna mas fácil si pasamos a coordenadas esféricas

x = rsenθ cos φ (1.73)

y = rsenθ cos φ (1.74)

z = r cos θ (1.75)

utilizando la regla de la cadena podemos escribir

∂

∂φ =

∂

∂x

∂x

∂φ +

∂

∂y

∂y

∂φ +

∂

∂z

∂z

∂φ

como z no depende de φ

∂z

∂φ

= 0

y

∂x

∂φ = −rsenθsenφ = −y

∂y

∂φ = rsenθ cos φ = x

∂

∂φ = −y ∂

∂x + x

∂

∂y

de donde (1.72) se escribe en coordenadas esféricas como

−ih̄

∂ψ

∂φ = mh̄ψ (1.76)

lo que integrado resulta en

ψ = ψ0eimφ (1.77)

como el punto (r1, θ0, 0) debe ser equivalente a (r1, θ0, 2π)

ψ(r1, θ0, 2π) = ψ0eim2π = ψ0

lo que implica que m es un entero m = 0, 1, ±2, ±n.Para continuar el proceso de diagonalización en Lx y Ly es necesario saber si es posible medir las tres componentesdel aumento angular con igual precisión. Calculando los conmutadores obtendremos:

{Lx, Ly

}= ih̄Lz (1.78)

{Lz, Lx} = ih̄Ly (1.79){Ly, Lz} = ih̄Lx (1.80)

estas tres fórmulas se colocan en forma compacta como:

{Li, Lj} = ih̄Lk donde i ,j,k estan en el órden ćıclico (1.81)o de otra forma:

{Li, Lj} = ih̄ijk Lk (1.82)


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El M´ odulo del Momento Angular

El módulo de un vector es

L2 = L2x + L2y + L

2z (1.83)

si calculamos el conmutador con cada una de las componentes observamos que:

{Li, L2

} = 0en coordenadas esféricas L2 se escribe como:

L2 = −h̄2 1senθ

∂

∂θsenθ

∂

∂θ +

1

sen2θ

∂

∂φ2

que nada más es que la parte angular del operador ∇2 en coordenadas esféricas.

∇2 = 1r2

∂

∂rr2

∂

∂r() +

1

r2

1

senθ

∂

∂θsenθ

∂

∂θ() +

1

sen2θ

∂

∂φ2()

(1.84)

y como demostraremos después:

L2ψ = l(l + 1)h̄2ψ

Luego podemos determinar L2 y Lz mas no las otras componentes del vector L, que pueden quedar en cualquierlugar del plano xy , luego en lugar de un vector tenemos un cono.

El ángulo α de apertura del cono vale:

α = arc cos m

l(l + 1)

y su valor máximo es:

α = arc cos l

l(l + 1)

El Principio de Correspondencia

El principio de correspondencia es debido a Bohr y afirma que un sistema cuántico tendrá propiedades clásicascuando sus números cuánticos sean mucho mayores que la constante de Planck h̄.

En ese sentido el ĺımite clásico se toma cuando h̄ → 0. Por ejemplo el principio de correspondencia afirmaque cuando l → ∞

Cos α = liml→∞

l

l(l + 1)= 1

o sea α = 0 lo que significa que conocemos simultáneamente el módulo y la dirección del vector momento angular, oen otra forma

liml→0

{Lz, Lx} = ih̄Ly → 0

o sea las componentes del momento angular conmutan


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FIG. 2: m es la altura del cono y α su ángulo de apertura,

l(l + 1) su lado

Problemas

Problema 1.15a)¿Cuáles son los niveles de enerǵıa para un rotor, que consiste de masas iguales M, que están a una distancia relativad fija y separadas por una varilla sin masa?b) ¿Cuáles son las autofunciones?

Problema 1.16Suponga que una partı́cula tiene momento angular Lz = mh̄ y módulo l(l + 1)h̄

2

a)muestre que

< Lx >=< Ly >= 0

b) muestre que

< L2x >=< L2y >=

l(l + 1)h̄2 − mh̄22

c) Suponga que se realiza una medida de una componente del momento angular que hace un ángulo θ con el eje z;calcule el valor medio de esta medida.

d) Suponga que l = 1; calcule las probabilidades de obtener m = 1, 0 para esta componente.

e) Habiendo hecho esta medida, ¿cuál es la probabilidad de obtener mh̄ si repetimos la medida de Lz ? Re-comendación: Introduzca los operadores L± = Lx ± iLyProblema 1.17Sea

ψ(x, y, z) = (x + y + z)e−α√

x2+y2+z2


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La función de onda de una part́ıcula de masa m; calcule la probabilidad de obtener para una medida de L2 y Lz, losresultados 2h̄2 y 0 respectivamente.

Problema 1.18Defina el producto algebraico de Jordan o anticonmutador [A, B]+ =

12 (AB + BA) y el producto de Lie o conmutador

[A, B] = ih̄ (AB − BA) Muestre que satisfacen la relación:[A, [B, C ]+] = [[A, B], C ]+ + [B, [A, C ]+]

5) Suponga que A y B son observables cuánticos y ψ es un autoestado de ambos operadores. Muestre que el productode Jordan se comporta sobre este estado como el producto clásico:

f [A,B]+ψ = f A(ψ)f B(ψ)

6) Defina el paréntesis de Poisson:

{f, g} = ∂f ∂x

∂g

∂p − ∂g

∂x

∂f

∂p

Demuestre que {x, p} = 1Problema 1.19

Defina L = r ∧ p = r ∧ (−ih̄ ∇) escriba tanto r como ∇ en coordenadas esféricas muestre que:a)

L = (−ih̄)(φ̂ ∂ ∂θ

− θ̂ 1sin θ

∂

∂φ)

b) Calcule L2 = L · L y muestre que el resultado es el mismo que el obtenido en la teorı́a.Ver P.D. Gupta Am. J. Physics vol 44 N 9, September 1976, page 888. A new derivation of quantum-mechanicalangular momentum operator L2.


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I I. CAPÍTULO 2

Dinámica

A. La Dinámica de la Mećanica Cuántica

Ya hemos visto como a través de postulados se le da una nueva interpretación Fı́sica a las cantidades que describen

un sistema fı́sico. El espacio base constituido por posicíon y tiempo se transforman en la base de par ámetrossobre las cuales se construye un espacio vectorial de funciones, funciones estas cuyo valor absoluto al cuadrado dasolamente la probabilidad de encontrar la part́ıcula en un instante en una determinada posicíon. Las cantidadesF́ısicas u observables se transforman en operadores y nuestras medidas corresponden a autovalores de estos operadores.

Deseamos ahora calcular la evolucíon temporal de un sistema cuando sometido a un determinado potencial yno sujeto a medidas u otros disturbios externos.

Vamos a comenzar por la part́ıcula libre de momento lineal p = h̄k y enerǵıa dada por E = h̄ω. Utilizandolas relaciones de Broglie

ψ(x, t) = ei(kx−ωt) = eih

px− p2t2m

donde

E = p2

2m

esta función satisface las ecuaciones

− h̄2

2m∇2ψ = p

2

2mψ = Eψ

y también

ih̄ ∂

∂tψ = Eψ (2.1)

de donde:

− h̄2

2m∇2ψ = ih̄ ∂ψ

∂t (2.2)

En el caso de una partı́cula libre pero de momento no definido.

ψ(x, t) =

g( p)e

ih̄

p.x− p22m t

d3 p

o sea que para el instante inicial podemos escribir

ψ(x, 0) = 1

(2π)

3

2 g( p)eip x/h̄d3 p (2.3)

calculando los valores g( p) por la transformada inversa

g( p) = 1

(2π)32

ψ(x, 0)e−ip x/h̄d3x (2.4)

o sea que conociendo el valor de la función en el instante inicial podemos conocer los valores ulteriores de la función,a esto se le llama conocer la evolución del sistema.


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B. La Velocidad de Grupo de un Pulso de Ondas

La expresión k∼k0

a(k)ei(kx−ωt)dk

representa un pulso de ondas y la velocidad de grupo del pulso se define como:

dω

d k= V g (2.5)

en el caso en que

p = h̄ k y E = h̄ω

V g = dE

dp =

dω

dk =

p

m = V 0 que coincide con la velocidad de la part́ıcula.

Hasta ahora las relaciones obtenidas han sido para la part́ıcula libre, debemos estudiar el caso de un sistema general,para ello introducimos la siguiente regla heurı́stica.Construya la hamiltoniana del sistema

H = p2

2m + V (x) (2.6)

donde p es el momento lineal, m la masa de la part́ıcula y V (x) el potencial a que la part́ıcula está sometida.

substituimos:

H = ih̄ ∂

∂t

p2

2m = − h̄

2

2m∇2

de donde obtenemos:

ih̄

∂

∂t ψ = −h̄2

2m∇2

ψ + V (x, t)ψ (2.7)

Esta ecuación se denomina ecuación de Schrödinger y describe la dinámica del sistema.En principio pueden existir otros métodos de cuantización, el primero es considerar

ψ = eiS (x,t)/h̄

donde

S (x, t) = p • x − Etpara la part́ıcula libre obtenemos

p2

2m

= 1

2m

(

∇S )2) =

∂S

∂to para el caso con potencial

1

2m(∇S )2 + V (x) = ∂S

∂t

El argumento contra esta ecuación es que como no es lineal es incompatible con el principio de superposición.

La ecuación de Jacobi es un ĺımite semi-clásico de la Mecánica Cuántica y las trayectorias perpendiculares alas soluciones de la ecuación representan las trayectorias reales.


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La ecuación de Hamilton Jacobi representa la aproximación eikonal a la ecuacíon de onda de Schrödinger, loque es equivalente en óptica a considerar una onda despreciando la difracción de los rayos luminosos.

Esta relación la podemos exponer en el siguiente cuadro.

Óptica Geométrica ←→ Mecánica Clásica

Óptica Ondulatoria

←→ Mecánica Cuántica

El segundo método consiste en sustituir el paréntesis de Poisson por el conmutador:

{ }y se imponen las reglas de conmutación, que sustituyen las relaciones entre las variables canónicas.

Problema 2.11) Demuestre que la relación de Weyl(Hermann Weyl, 9 de noviembre 1885 - 8 de diciembre 1955):

S (α, β ) = U (α)V (β )e−iαβ2 = e

iαβ2 V (β )U (α)

donde

U (α) = eαip, V (β ) = eiβq

son familias de operadores unitarios a un parámetro conducen a la relación canónica de conmutación

pq − qp = iProblema 2.2Demuestre que

{Lz, cos φ} = isenφ{Lz, senφ} = −i cos φ

Después de esta introducción heuŕıstica llegamos al axioma de evolución.

Axioma 5

La evolución dinámica del sistema es descrita por la ecuación de Schrödinger (n. 12 de agosto 1887 en Viena,Erdberg; m. 4 de enero 1961, id. era un f́ısico austrı́aco, nacionalizado irlandés)

ih̄∂ψ

∂t = − h̄

2m∇2ψ + V (x, t)ψ

donde V (x, t) es el potencial real y corresponde al potencial clásico a que la part́ıcula está sometida.Actualmente se ha desarrollado una versión muy adecuada de la Mecánica Cuántica siguiendo la escuela de Copenhagensus axiomas se pueden encontrar en arXiv:0909.2359 [pdf ] en un artı́culo por Pierre Hohenberg, esta versión se llamaMecánica Cuántica Consistente o CQT de sus siglas en inglés.

C. La Conservacíon de Probabilidad en la Ecuación de Onda

La ecuación de Schrödinger (2.7) implica en la conservación de la probabilidad si el potencial es real; veamos comodemostramos esto introduciendo la corriente de probabilidad.Tome la ecuación de Schrödinger(2.7) y multipĺıquela por ψ∗ ası́ obtenemos

ih̄ψ∗∂ψ

∂t = − h̄

2

2mψ∗∇2ψ + V (x, t)ψψ∗ (2.8)


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29

por otro lado calculando el complejo conjugado de (2.7) tenemos:

−ih̄ ∂ψ∗

∂t = − h̄

2

2m∇2ψ∗ + V (x, t)ψ∗ (2.9)

multiplicando (2.9) por ψ

−ih̄ψ ∂ψ∗

∂t = − h̄

2m(∇2ψ∗)ψ + V (x, t)ψ∗ψ (2.10)

restando (2.8), (2.10) resulta en

ih̄

ψ∗

∂ψ

∂t + ψ

∂ψ∗

∂t

= − h̄

2

2m{(ψ∗∇2ψ − (∇2ψ∗))ψ}

definiendo la densidad de probabilidad

ρ = ψψ∗

∂ρ

∂t = − h̄

2mi{ψ∗∇2ψ − (∇2ψ∗)ψ}

por otra parte

∇{ψ∗∇ψ − (∇ψ∗)ψ} = ∇ψ∗.∇ψ + ψ∗∇2ψ − (∇2ψ)ψ − (∇ψ∗.∇ψ)= ψ∗∇2ψ − (∇2ψ∗)ψ

de donde concluimos

∂ρ

∂t = − h̄

2mi{∇ • (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)} (2.11)

definiendo la corriente de probabilidad

j = + h̄

2mi{ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗}

escribimos

∂ρ

∂t = − ∇ • j (2.12)

la ecuación (2.12) se llama ecuación de continuidad de la probabilidad.Integrando (2.12) obtenemos una ley de conservación

v

∂ρ

∂t

d3x = −

( ∇ • j)d3x

d

dt

v

ρd3x

= −

( ∇ • j)d3x

como

P (t) =

v

ρd3x

usando el teorema de Gauss con la normal hacia afuera

d

dt

P (t) = s

j

•ds

cuando el radio de la superficie s se hace muy grande s → ∞ la corriente j = 0, luegod

dtP (t) = 0

Esto significa que la ecuación de onda describe part́ıculas que no son creadas o destruidas. En el caso que el potencialfuese complejo V (x, t)C podŕıamos describir procesos de creación o destrucción, mas la enerǵıa no serı́a un operadorhermitiano.


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30

La Soluci´ on de la Ecuaci´ on de Schr¨ odinger cuando V(x,t) no depende del Tiempo

ih̄∂ψ

∂t =

− h̄

2

2m∇2 + V (x, t)

ψ(x, t)

utilizando la separación de variables

ψ(x, t) = φ(x)ξ (t)

ih̄

ξ (t)

dξ

dt =

1

φ(x)

− h̄

2

2m∇2 + V (x)

φ(x) (2.13)

ambos lados de la ecuación deben ser iguales a una constante

ih̄dξ

dt = Eξ (a) (2.14)

− h̄2

2m∇2φ(x) + V (x)φ(x) = Eφ(x) (b)

de (2.14) (a) obtenemos

ξ = e−iEth̄ (2.15)

de (2.14) )(b) obtenemos una ecuación de autovalores de soluciones φn aśı

ψn(x, t) = ψn(x)e−iEnt

h̄ (2.16)

la solución general es

ψ(x, t) =

n

anψn(x)e−iEnt

h̄ (2.17)

si conocemos el valor de la función en t = 0 podemos escribir

ψ(x, 0) =

nanφn(x) (2.18)

o sea

an =< ψn, ψ(x, 0) > (2.19)

vemos que la part́ıcula libre es un caso particular de (2.17)

ψ(x, t) = 1

(2π)32

g( p)e

i p• xh̄ −

−iE(p)th̄ d3 p

Ejemplos de Soluci´ on de la Ecuaci´ on de Onda Problemas en una Dimensi´ on

1) Considere una caja impenetrable, o sea el potencial como se muestra en la figura.


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31

−a/2 a/2

V (x)

I II III

x

la ecuación del potencial es

V (x) =

0 −a/2 < x < a/2

∞ |x| > a/2

(2.20)

o en la forma mas comúnmente usada en Fı́sica

V (x) = δ (x− |

a/2|)

Solución. Utilizando (2.14) (b) − h̄

2

2m

d2

dx2 + V (x)

φn = Eφn

en la región II. podemos escribir

− h̄2

2m

d2

dx2φII n = E nφ

II n (2.21)

en la región I y III no existe partı́cula luego

φI,III = 0

en la región II, la solución general de (2.21) es:

φn = An cos knx + Bnsenknx (2.22)

donde An y Bn son constantes y kn tiene el valor

kn =

2mE n/h̄

2 (2.23)

imponiendo la continuidad de la función de onda tenemos:

ψII (a/2) = ψII (−a/2) = 0 (2.24)lo que significa

An cos

kna

2

+ Bnsen

kna

2

= 0 (2.25)

An cos

kna

2

− Bnsen

kna

2

= 0 (2.26)

tenemos aśı dos posibilidades:Caso No 1Suponga que

An#0 Bn = 0


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32

luego por (2.24) y (2.25)

cos

kna2

= 0 kna2 = (2n + 1)

π2

kna = (2n + 1) n = 0, 1, 2 . . .

E n = (2n+1)π2h̄2

2ma2 (2.27)

luego

φII = An cos

(2n + 1)πxa

la normalización se obtiene por

|A|2 a/2−a/2

cos2 knxdx = 1

Problema 2.3Calcule el valor de AnCaso No 2En el segundo caso suponga que

An = 0, Bn#0

en este caso

sen

kna

2

= 0

kna

2 = nπ kn =

2nπ

a

o sea

E = (2n)2π2h̄2

2ma2 n = 1, 2 . . .

reuniendo las fórmulas de enerǵıa

E r = π2h̄2r2

2ma2 r = 1, 2 . . .

si r es impar la solución es simétrica, si r es par la solución es antisimétrica. Note que la solución simétrica es la demenor energı́a.

El Operador de Paridad

La simetrı́a de la función esta relacionada con las propiedades del sistema f́ısico. Para estudiar estas propiedadeses necesario introducir un operador paridad definido como:

P ψ(x) = ψ(−x) (2.28)P es un operador lineal, que tiene que ser unitario y P 2 = 1 luego tiene que ser hermitiano.Problema 2.4Solo con la propiedad de P |x >= | − x > demostrar que es un operador hermitiano. Use que < x| − x >= δ (x + x >Los autovalores de P son ±1, pues como cualquier función puede escribirse como

ψ(x) = 1

2{ψ(x) + ψ(−x)} + 1

2{ψ(x) − ψ(−x)} (2.29)

donde la parteψ(x) + ψ(−x) es simétrica y corresponde al autovalor 1, y ψ(x) − ψ(−x) corresponde al autovalor −1.


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La relación entre la simetŕıa del potencial y la simetŕıa de la función de onda se obtiene mostrando que P conmutacon H el operador hamiltoniano.

{P, H }ψ = (P H − HP )ψ = P

− h2

2m∇2ψ + V (x)ψ

−

− h̄2m

∇2 + V (x)

ψ(−x)P V (x)ψ(x) = V (x)ψ(

−x) si V es simétrico podemos escribir

{P, H }ψ = − h̄2

2m∇2ψ(−x) + V (x)ψ(−x) + h̄

2

2m∇2ψ(−x)

−V (x)ψ(−x) = 0de donde concluimos que si el potencial es simétrico la función de onda será necesariamente simétrica o antisimétrica.


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Coplas de Jorge Manrique

(Paredes de Nava, Palencia o Segura de la Sierra, Jaén, 1440–Santa Maŕıa del Campo Rus, Cuenca, 1479),poeta español.

COPLAS DE DON JORGE MANRIQUE POR LA MUERTE DE SU PADRE

I

Recuerde el alma dormida, avive el seso e despierte contemplando cómo se passa la vida, cómo se vienela muerte tan callando; cuán presto se va el plazer, cómo, después de acordado, da dolor; cómo, a nuestro

parescer, cualquiere tiempo passado fue mejor.II

Pues si vemos lo presente cómo en un punto s’es ido e acabado, si juzgamos sabiamente, daremos lo nonvenido por passado. Non se engañe nadi, no, pensando que ha de durar lo que espera m ás que duró lo quevio, pues que todo ha de passar por tal manera.

III

Nuestras vidas son los ŕıos que van a dar en la mar, qu’es el morir; alĺı van los señoŕıos derechos a seacabar e consumir; alĺı los ŕıos caudales, alĺı los otros medianos e más chicos, allegados, son iguales los queviven por sus manos e los ricos.

INVOCACIÓN

IV

Dexo las invocaciones de los famosos poetas y oradores; non curo de sus ficciones, que traen yerbas secretassus sabores. Aquél sólo m’encomiendo, Aquél sólo invoco yo de verdad, que en este mundo viviendo, elmundo non conoció su deidad.

V

Este mundo es el camino para el otro, qu’es morada sin pesar; mas cumple tener buen tino para andaresta jornada sin errar. Partimos cuando nascemos, andamos mientra vivimos, e llegamos al tiempo quefeneçemos; assı́ que cuando morimos, descansamos.

VI

Este mundo bueno fue si bien usásemos dél como debemos, porque, segund nuestra fe, es para ganar aquélque atendemos. Aun aquel fijo de Dios para sobirnos al cielo descendío a nescer acá entre nos, y a viviren este suelo do murió.

VII

Si fuesse en nuestro poder hazer la cara hermosa corporal, como podemos hazer el alma tan glor̈ıosaangelical, ¡qué diligencia tan viva toviéramos toda hora e tan presta, en componer la cativa, dexándonosla señora descompuesta!

VIII

Ved de cuán poco valor son las cosas tras que andamos y corremos, que, en este mundo traidor, aunprimero que muramos las perdemos. Dellas deshaze la edad, dellas casos desastrados que acaeçen, dellas,por su calidad, en los más altos estados desfallescen.

IX

Dezidme: La hermosura, la gentil frescura y tez de la cara, la color e la blancura, cuando viene la vejez,¿cuál se para? Las mañas e ligereza e la fuerça corporal de juventud, todo se torna graveza cuando llegael arrabal de senectud.

XPues la sangre de los godos, y el linaje e la nobleza tan crescida, ¡por cu ántas vı́as e modos se pierde sugrand alteza en esta vida! Unos, por poco valer, por cu án baxos e abatidos que los tienen; otros que, pornon tener, con oficios non debidos se mantienen.

XI

Los estados e riqueza, que nos dexen a deshora ¿quién lo duda?, non les pidamos firmeza. pues que sond’una señora; que se muda, que bienes son de Fortuna que revuelven con su rueda presurosa, la cual nonpuede ser una ni estar estable ni queda en una cosa.

XII


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35

Pero digo c’acompañen e lleguen fasta la fuessa con su dueño: por esso non nos engañen, pues se va la vidaapriessa como sueño, e los deleites d’acá son, en que nos deleitamos, temporales, e los tormentos d’all á,que por ellos esperamos, eternales.

XIII

Los plazeres e dulçores desta vida trabajada que tenemos, non son sino corredores, e la muerte, la çeladaen que caemos. Non mirando a nuestro daño, corremos a rienda suelta sin parar; desque vemos el engañoy queremos dar la vuelta no hay lugar.

XIVEsos reyes poderosos que vemos por escripturas ya passadas con casos tristes, llorosos, fueron sus buenasventuras trastornadas; assı́, que no hay cosa fuerte, que a papas y emperadores e perlados, asśı los tratala muerte como a los pobres pastores de ganados.

XV

Dexemos a los troyanos, que sus males non los vimos, ni sus glorias; dexemos a los romanos, aunque óımose léımos sus hestorias; non curemos de saber lo d’aquel siglo passado qué fue d’ello; vengamos a lo d’ayer,que también es olvidado como aquello.

XVI

¿Qué se hizo el rey don Joan? Los infantes d’Aragón ¿qué se hizieron? ¿Qué fue de tanto galán, qué detanta invinción como truxeron? ¿Fueron sino devaneos, qué fueron sino verduras de las eras, las justas elos torneos, paramentos, bordaduras e çimeras?

XVII

¿Qué se hizieron las damas, sus tocados e vestidos, sus olores? ¿Qué se hizieron las llamas de los fuegosencendidos d’amadores? ¿Qué se hizo aquel trovar, las músicas acordadas que tañ́ıan? ¿Qué se hizo aqueldançar, aquellas ropas chapadas que tráıan?

XVIII

Pues el otro, su heredero don Anrique, ¡qué poderes alcançaba! ¡Cuánd blando, cuánd halaguero el mundocon sus plazeres se le daba! Mas verás cuánd enemigo, cuánd contrario, cuánd cruel se le mostró; habiéndolesido amigo, ¡cuánd poco duró con él lo que le dio!

XIX

Las dávidas desmedidas, los edeficios reales llenos d’oro, las vaxillas tan fabridas los enriques e reales deltesoro, los jaezes, los caballos de sus gentes e atav́ıos tan sobrados ¿dónde iremos a buscallos?; ¿qué fueron

sino rocı́os de los prados?XX

Pues su hermano el innocente qu’en su vida sucesor se llamó ¡qué corte tan excellente tuvo, e cuánto grandseñor le siguió! Mas, como fuesse mortal, metióle la Muerte luego en su fragua. ¡Oh jüicio divinal!, cuandomás ard́ıa el fuego, echaste agua.

XXI

Pues aquel grand Condestable, maestre que conoscimos tan privado, non cumple que dél se hable, massólo como lo vimos degollado. Sus infinitos tesoros, sus villas e sus lugares, su mandar, ¿qué le fueron sinolloros?, ¿qué fueron sino pesares al dexar?

XXII

E los otros dos hermanos, maestres tan prosperados como reyes, c’a los grandes e medianos truxieron tansojuzgados a sus leyes; aquella prosperidad qu’en tan alto fue subida y ensalzada, ¿qué fue sino claridad

que cuando más encendida fue amatada?XXIII

Tantos duques excelentes, tantos marqueses e condes e varones como vimos tan potentes, d́ı, Muerte, ¿dólos escondes, e traspones? E las sus claras hazañas que hizieron en las guerras y en las pazes, cuando tú,cruda, t’ensañas, con tu fuerça, las atierras e desfazes.

XXIV

Las huestes inumerables, los pendones, estandartes e banderas, los castillos impugnables, los muros ebalüartes e barreras, la cava honda, chapada, o cualquier otro reparo, ¿qué aprovecha? Cuando tú vienesairada, todo lo passas de claro con tu flecha.


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XXV

Aquel de buenos abrigo, amado, por virtuoso, de la gente, el maestre don Rodrigo Manrique, tanto famosoe tan valiente; sus hechos grandes e claros non cumple que los alabe, pues los vieron; ni los quiero hazercaros, pues qu’el mundo todo sabe cuáles fueron.

XXVI

Amigo de sus amigos, ¡qué señor para criados e parientes! ¡Qué enemigo d’enemigos! ¡Qué maestrod’esforçados e valientes! ¡Qué seso para discretos! ¡Qué gracia para donosos! ¡Qué razón! ¡Qué benino a

los sujetos! ¡A los bravos e dañosos, qué león!XXVII

En ventura, Octav̈ıano; Julio César en vencer e batallar; en la virtud, Africano; Ańıbal en el saber etrabajar; en la bondad, un Trajano; Tito en liberalidad con alegŕıa; en su braço, Aureliano; Marco Atilioen la verdad que prometı́a.

XXVIII

Antoño Pı́o en clemencia; Marco Aurelio en igualdad del semblante; Adriano en la elocuencia; Teodosioen humanidad e buen talante. Aurelio Alexandre fue en desciplina e rigor de la guerra; un Constantino enla fe, Camilo en el grand amor de su tierra.

XXIX

Non dexó grandes tesoros, ni alcançó muchas riquezas ni vaxillas; mas fizo guerra a los moros ganando

sus fortalezas e sus villas; y en las lides que venció, cuántos moros e cavallos se perdieron; y en este oficioganó las rentas e los vasallos que le dieron.

XXX

Pues por su honra y estado, en otros tiempos passados ¿c ómo s’hubo? Quedando desamparado, conhermanos e criados se sostuvo. Despúes que fechos famosos fizo en esta misma guerra que haźıa, fizotratos tan honrosos que le dieron aun más tierra que teńıa.

XXXI

Estas sus viejas hestorias que con su braço pintó en joventud, con otras nuevas victorias agora las renovóen senectud. Por su gran habilidad, por méritos e ancianı́a bien gastada, alcançó la dignidad de la grandCaballerı́a dell Espada.

XXXII

E sus villas e sus tierras, ocupadas de tiranos las halló; mas por çercos e por guerras e por fuerça de susmanos las cobró. Pues nuestro rey natural, si de las obras que obró fue servido, d́ıgalo el de Portogal, y,en Castilla, quien siguió su partido.

XXXIII

Después de puesta la vida tantas vezes por su ley al tablero; después de tan bien servida la corona de surey verdadero; después de tanta hazaña a que non puede bastar cuenta cierta, en la su villa d’Ocaña vinola Muerte a llamar a su puerta,

XXXIV

diziendo: ”Buen caballero, dexad el mundo engañoso e su halago; vuestro corazón d’azero muestre suesfuerço famoso en este trago; e pues de vida e salud fezistes tan poca cuenta por la fama; esfúercese lavirtud para sofrir esta afruenta que vos llama.”

XXXV

”Non se vos haga tan amarga la batalla temerosa qu’esperáis, pues otra vida más larga de la fama glor̈ıosaacá dexáis. Aunqu’esta vida d’honor tampoco no es eternal ni verdadera; mas, con todo, es muy mejorque la otra temporal, peresçedera.”

XXXVI

”El vivir qu’es perdurable non se gana con estados mundanales, ni con vida delectable donde moran lospecados infernales; mas los buenos religiosos gánanlo con oraciones e con lloros; los caballeros famosos,con trabajos e aflicciones contra moros.”

XXXVII


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37

”E pues vos, claro varón, tanta sangre derramastes de paganos, esperad el galardón que en este mundoganastes por las manos; e con esta confiança e con la fe tan entera que tenéis, partid con buena esperança,qu’estotra vida tercera ganaréis.”

[Responde el Maestre:]

XXXVIII

”Non tengamos tiempo ya en esta vida mesquina por tal modo, que mi voluntad est á conforme con ladivina para todo; e consiento en mi morir con voluntad plazentera, clara e pura, que querer hombre vivir

cuando Dios quiere que muera, es locura.”[Del maestre a Jesús]

XXXIX

”Tú que, por nuestra maldad, tomaste forma servil e baxo nombre; tú, que a tu divinidad juntaste cosatan vil como es el hombre; tú, que tan grandes tormentos sofriste sin resistencia en tu persona, non pormis merescimientos, mas por tu sola clemencia me perdona”.

FIN

XL

Asśı, con tal entender, todos sentidos humanos conservados, cercado de su mujer y de sus hijos e hermanose criados, dio el alma a quien gela dio (el cual la ponga en el cielo en su gloria), que aunque la vida perdi ó,dexónos harto consuelo su memoria.

Jorge Manrique, 1477


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Problema N o 2

La caja finita se describe por un potencial de la forma

V (x) =

0 |x| < a/2

V 0 |x| > a/2

que se representa gráficamente como

−a/2 a/2

I II III

A

V (x) B

La part́ıcula que tiene enerǵıa A representa un estado ligado o sea la energı́a total E < V 0La part́ıcula que tiene enerǵıa B representa una part́ıcula en un estado dispersivo o sea E > V 0Aśı tenemos clases de soluciones en el caso del estado ligado, en la región II podemos escribir la ecuación de autovalores.

− h̄2

2m

d2φ

dx2n = Eφn

que tiene soluciones

φn(x) = Ancos(knx) + Bnsen(knx)

con k 2n = 2m

h̄2 E n

en la región I y II la ecuación de autovalores se escribe como

− h̄2

2m

d2φ

dx2 + V 0φ = Eφ

esta ecuación puede escribirse en la forma

d2φ

dx2 =

2m

h̄2 (V 0 − E )φ (2.30)

de soluciones

φI,II = AI,IIeγx + BI,IIe−γx

donde

γ =

(2m/h̄2)(V 0 − E )la continuidad de la ecuación de onda esta garantizada si el potencial V L2(). integrando (2.30) tenemos a/2+

a/2−

d2ψ

dx2 =

2m

h̄2

a/2+a/2−

(V (x) − E ) ψdx−→0

→ 0

que utilizando el teorema fundamental del cálculo se transforma en

dψ

dx|a/2+ −

dψ

dx|a/2− = 0


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39

luego si la derivada es continua con mayor razón la función.Continuemos a estudiar el estado ligado del pozo de potencial. Las soluciones son del tipo

φII = AII cos kx + BIISenkx en la región II, y

φI,III = AI,IIIeγx + BI,IIIe−γx en la región I y III

Sabemos que basta analizar el caso simétrico y antisimétrico, para la región II la solución simétrica es:

φII(x) = AII cos kx

La solución AI,IIIeγx no es una solución Fı́sica pues cuando x → ∞, la solución diverge. Análogamente para la regiónI B I = 0, aśı:

φI(x) = AIeγx

φIII = BIIIe−γx

para el caso simétrico

φI(x) = φIII(−x)de donde

AI = BIII

imponiendo la continuidad de la función y su derivada en a/2

AII cos k

2a = BIIIe−γa/2 (2.31)

kAIISenka

2 = γBIIIe−γa/2 (2.32)

dividiendo (2.32) por (2.31) tenemos

k tan (ka)

2 = γ

que es una ecuación de autovalores, pues limita los valores posibles de la enerǵıa, escribiéndola en otra forma.

ka

2 tan

ka

2 =

γa

2

cambiando variables

ξ = ka

2 y η =

γa

2

podemos escribir

ξ tan ξ = η (2.33)

por otro lado calculando

ξ 2 + η2 =

2mE h̄2

+ 2m(V 0 − E )

h̄2

a2

4

ξ 2 + η2 = mV 0a

2

2h̄2 (2.34)

que es la ecuación de un ćırculo.La solución simultánea de (2.33) y (2.34) se representa gráficamente abajo

En el gráfico observamos que a medida que el potencial V 0 se torna mas profundo aparecen autovalores asociadosa auto-estados al borde del pozo. Igualmente cuando a2 crece aparecen nuevos estados ligados. Cuándo V 0 → ∞ las


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10

10

20

FIG. 3: x tanx y varios cı́rculos de radio 1-10

circunferencias tienden para infinito y corta las tangentes en π/2, 3π/2, etc. como en el caso del pozo infinito.

Las caracteŕısticas de esta solución no se limitan al pozo cuadrado pero si aplican a todo potencial simétrico,los potenciales que comparten estas propiedades se llaman de alcance finito y tienen un número finito de autovalores.Los potenciales que satisfacen la desigualdad de Bargmann (a tres dimensiones):

I =

∞0

r|V (r)|dr

nl ≤ I 2l + 1

son de alcance finito, donde nl es el número de autovalores con momento angular l. Pero el potencial V (r) = 1/rel potencial coulombiano no es de alcance finito. El número de estados ligados es dependiente de la dimensión delespacio. En el caso de una dimensión es necesario: ∞

∞V (x)dx ≤ 0

Am J Phys Vol 57, issue 10, página 886.Note que según los resultados obtenidos existe probabilidad de encontrar la part́ıcula en una región clásicamenteprohibida o sea de energı́a cinética negativa, mas esto no es contradictorio porque si realizamos una medida de laposición de la part́ıcula alteramos de tal manera su momento lineal.

∆x∆ p ≥ h̄que la enerǵıa será positiva. Aśı pues, no tiene sentido hablar en energı́a cinética en una región del espacio sino en laenerǵıa cinética como un todo.

El Caso Antisimétrico

En el caso antisimétrico las soluciones de la ecuación de onda son:φII = BIISenkx

φI = AIIIeγx

φIII = AIIIe−γx

las condiciones de contorno implican en:a) La continuidad de la función de onda

BIISenka

2 = AIIIe−γa/2


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b) La continuidad de la derivada

kBII cos ka

2 = −AIIIγe−γa/2

La antisimetŕıa nos permite afirmar que si imponemos las condiciones de frontera en a/2 automáticamente seránimpuestos en −a/2. Con estas soluciones llegamos a

ξ cotξ = η

ξ 2 + η2 = mV 0a22h̄2

lo que corresponde a la siguiente figura: de la figura anterior vemos que después de una valor simétrico continúa un

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10

10

20

30

FIG. 4: x cotx y varios cı́rculos de radio 1-10

estado antisimétrico y aśı sucesivamente. Esta propiedad es propia de potenciales de alcance finito.Finalmente para E > V 0 todos las soluciones son oscilatorias y los autovalores continuos aśı:

φI(x) = Aeikx + Be−ikx; k2 = 2m

h̄2 (E − V 0)

φII(x) = Ceikx + De−ikx k2 = 2m

h̄2 E

φIII(x) = F eikx

las soluciones de (2.34) se pueden obtener en forma numérica como

ξ 2 + η2 = R2 R =

(mV 0a2)/2h̄

2

η = ξ tan ξ

despejando η =

R2 − ξ 2luego

ξ = (cotξ )

R2 − ξ 2

en el caso R = 1 eso significa V 0 = 2h̄2

ma2si definimos la función

f (ξ ) =

(R2 − ξ 2)cotξ − ξ una solución gráfica se puede encontrar

ξ 0 = 0.7854

encontrando las raı́ces de la función

f (ξ ) =

R2 − ξ 2cotξ − ξ


42/204

42

Valores de Ráıces Caso Ráıces Caso

R Simétrico. Antisimétrico.

1 0.739 0

2 1.0298 0

3 1.1701 0

4 1.2523 0

4 3.5953 05 1.3064 0

5 3.8374 4.1046

10 1.4275 0

10 4.271 3.499

10 7.0688 7.0681

10 9.67880 = no existe solución

la forma antisimétrica se puede escribir

g(ξ ) = ( R2 − ξ 2)Tanξ + ξ La Barrera de Potencial

El problema inverso al pozo de potencial es la barrera de potencial. Este ejemplo es importante pues introduce elefecto túnel, en el cual una partı́cula con energı́a total E < V 0, la altura de la barrera, pasa de un lado a otro de esta.

1 2 3

−a/2 a/2

V

V 0

El potencial de la barrera se escribe como

V (x) =

0 |x| > a/2

V 0 |x| < a/2La barrera de potencial es un sistema f́ısico análogo al paso de una onda de luz de un medio dieléctrico a otro. Porejemplo en el caso de incidencia normal

R = |E /E |2 donde E es el campo incidente

E

es el campo reflejado y R el coeficiente de reflexión. Este coeficiente de reflexión sólo depende de las caracterı́sticasdel cristal de forma que

R =

1 − n1 + n

2

de forma análoga aquı́ R el coeficiente de reflexión dependerá solo de la frecuencia de la onda y la extensión de labarrera, o sea los parámetros propios de la barrera.


43/204

43

3 2 1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

FIG. 5: Una barrera de altura 1

Para la región (1) y (3) podemos escribir

−h̄2

2m

d2

dx2

φ(1, 3) = Eφ(1, 3)

que tiene soluciones

φ(1) = A1eikx + B1e−ikx, k =

(2mE )/h̄2

donde A1eikx es la onda incidente y B 1e−ikx es la onda reflejada.

Para φ3 = A3eikx y B3 = 0 pues no existe onda reflejada en el infinito. En la regíon 2 la ecuacíon deSchrödinger se escribe como:

− h̄2

2m

d2φ(2)

dx2 = (E − V 0)φ(2)

utilizando la ecuación de conservación del flujo de probabilidadρ = ψ∗ψ

sabemos que cuando ρ no depende de t

∂ρ

∂τ + ∇ • j = 0

implica en

∇ • j = 0o sea en una dimensión con A > a/2

A−A

djdx = jT − jI + jR = 0

o sea que de forma análoga a lo que se hace en óptica podemos escribir

jI − jR = jT donde T significa transmitido, R reflejado e I incidente.como

j = h̄

2mi{ψ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ∗}


44/204

44

podemos escribir que

|A3|2 + |B1|2 = |A1|2

Si definimos los coeficientes de reflexión y transmisión como

R =

B1

A1

2

y

T =

A3A1

soluciones:

ψ =

A1eikx + B1e−ikx (1)A2eγx + B2e−γx (2)A3eikx (3)

de donde

R + T = 1

note que ψT , ψR y ψI tienen la misma frecuencia k pues corresponden a la región 1 y 3.

Vamos a continuacíon ha calcular los coeficientes para la barrera. Comenzamos imponiendo las condicionesde continuidad de la función de onda y su derivada en x = −a/2

A1e−ika2 + B1e

ika2 = A2e

−γa2 + B2e

γa2

ik

e−kai2 A1 − B1e ika2

= γ

A2e

−γa2 − B2e γa2

en

x = a/2

A3eika2 = A2e

γa

2 + B2e−γa

2

ik

A3eika2

= γ

A2e

γa2 − B2e−γa2

resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones y 5 incógnitas vemos que uno tiene

A1 = eikaA3

cosh(γa) − i2

k

γ − γ

k

Senh(γa)

T =

A3A1

2

= 1

cosh2 γa + 14

kγ − γ k

2Senh2(γa)

que se comporta cualitativamente como

T ∼ e−2γa

y esta expresión tiende a cero cuando γ tiende para infinito.El coeficiente de reflexión R se escribe como:

R = 1

1 + 4k2γ 2csch(aγ )2

(k2+γ 2)2


45/204

45

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0a

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

sech2 a

2

Azul Transmisión y LilaReflexión

FIG. 6: R+T=1;Coeficientes de reflexíon y transmisión para una barrera de alto dos veces la enerǵıa de la part́ıcula y anchovariable

En el caso que E > V 0 las soluciones son:

φ1 = Aeikx + Be−ikx

φ2 = C eiKx + De−iKx

φ3 = F eikx

donde k 2 = 2mE h̄2

y K 2 = 2mh̄2

(E − V 0) el coeficiente de reflexión es

R = 8k2K 2

k4 + 6k2K 2 + K 4 − (k2 − K 2)2 Cos[2aK ]que es el mismo coeficiente de reflexión del pozo cuando se cambia

k

→k y K

→iγ

el coeficiente de transmisión es:

T = 1

1 + 4k2K 2Csc[aK ]2

(k2−K 2)2

que se representa gráficamente como:


46/204

46

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0a

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

4

17

4

1

4cos

2 a 2

Azul Transmisión y LilaReflexión

FIG. 7: R+T=1

Problemas

Problema 2.5En Mecánica Clásica, los potenciales de referencia, son arbitrarios. ¿Cuál es el efecto en la función

libro cuantica

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