libro circuitos palomino

CIRCUITOS ELECTRICOS I Jairo Palomino de la Cruz

Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Página 1 de 238

UNIVERSIDAD DEL VALLE ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELÉCTRONICA PROGRAMA ACADEMICO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ASIGNATURA: CIRCUITOS ELÉCTRICOS I INTRODUCCIÓN El objeto de estudio de la ingeniería eléctrica es la generación, transmisión, distribución, utilización y control de la energía eléctrica. El análisis de circuitos eléctricos es la puerta a través de la cual los estudiantes de ingeniería eléctrica o ingeniería electrónica inician su formación científica en esta disciplina. Todas las áreas de ingeniería eléctrica como electrónica, maquinas eléctricas, sistemas de potencia, comunicaciones y sistemas digitales se basan en la teoría de circuitos. Estrategia Utilizada En El Análisis De Circuitos Eléctricos. La estrategia se basa en los siguientes pasos:

1. Establecer el modelo lineal de los elementos que conforman un circuito. 2. Definir las variables que se usarán en las ecuaciones del circuito. 3. Escribir las ecuaciones necesarias para resolver el circuito. 4. Resolución de las ecuaciones. 5. Interpretar los valores de la solución para las variables a fin de

determinar lo que está pasando en el circuito.



CONTENIDO

Capitulo I Conceptos generales aplicados a los circuitos eléctricos

1.1 Introducción 5 1.2 Carga eléctrica 5 1.3 Corriente eléctrica 5 1.4 Tipos de corriente 6 1.5 Diferencia de potencial o voltaje 7 1.6 Potencia eléctrica 7 1.7 Elementos de circuitos 10 1.8 Fuentes independientes 10 1.9 Fuentes dependientes o controladas 11 1.10 Resistencia eléctrica 12 1.11 Conductancia 13 1.12 Definiciones usadas en el análisis de circuitos 13 1.13 Leyes de Kirchhoff 14 1.14 Análisis de circuitos 15 1.15 Circuitos de un solo par de nodos 16 1.16 Divisor de voltaje 19 1.17 Divisor de corriente 20 1.18 Fuentes reales 20 1.19 Fuente real de corriente 21 1.20 Fuente real de voltaje 22 1.21 Transformación Y a delta y delta a Y 25 1.22 Ejercicios propuestos 28

Capitulo II

Técnicas usadas en el análisis de los circuitos 2.1 Introducción 32 2.2 Análisis nodal 32 2.3 Análisis por el método de nodos cuando el circuito tiene ---fuentes de voltaje

40

2.4 Análisis de mallas 46



2.5 Análisis por mallas cuando el circuito contiene fuentes de -------corriente 51

2.6 Ejercicios propuestos 56

Capitulo III Principios y teoremas aplicados en el análisis de circuitos

3.1 Introducción 62 3.2 Circuitos lineales 62 3.3 Superposición 63 3.4 Teorema de Thevenin y Norton 68 3.5 Transferencia máxima de potencia 81 3.6 Ejercicios propuestos

Capitulo IV

Elementos almacenadores de energía 4.1 Introducción 91 4.2 Capacitores 91 4.3 Inductores 96 4.4 Ejercicios propuestos 100

Capitulo V

Análisis de circuitos alimentados con corriente alterna 5.1 Introducción 103 5.2 Función de excitación senoidal 103 5.3 Respuesta de los elementos pasivos de circuitos ------------alimentados con señales senoidales 105

5.4 Análisis fasorial de circuitos 109 5.5 Relación fasorial para los elementos de circuitos 115 5.6 Leyes de Kirchhoff con fasores 119 5.7 Impedancia 120 5.8 Admitancia de entrada de dos terminales 124 5.9 Análisis de circuitos de AC usando fasores 130 5.10 Diagrama fasorial 138 5.11 Ejercicios propuestos 149



Capitulo VI Análisis transitorio de circuitos

6.1 Introducción 155 6.2 Circuito RL 156 6.3 Constante de tiempo τ 163 6.4 Circuito RC 164 6.5 Circuito equivalente del inductor y el capacitor con energía acumulada en el dominio de La Place 169

6.6 Circuitos con fuentes 173 6.7 Función escalón unitario 174 6.8 Función impulso unitario δ(t) 189 6.9 Análisis transitorio de circuitos RLC 195 6.10 Circuito RLC en paralelo sobreamortiguado 199 6.11 Circuito RLC en paralelo críticamente amortiguado 204 6.12 Circuito RLC en paralelo subamortiguado 207 6.13 Circuito RLC serie 211 6.14 Circuito RLC con fuentes 214 6.15 Ejercicios propuestos 228



CAPITULO I CONCEPTOS GENERALES APLICADOS A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

1.1 Introducción En este primer capitulo se presentan los conceptos de carga eléctrica, corriente, voltaje y potencia que son cantidades que se deben calcular en el análisis de los circuitos. Adicionalmente se identificarán las fuentes independientes y las controladas, el resistor, se estudiarán las leyes experimentales de Kirchhoff de corriente y voltaje. 1.2 Carga Eléctrica. La cantidad mas elemental de electricidad es la carga eléctrica cuya naturaleza esta basada en conceptos de la teoría atómica. El átomo se considera como un tabique de materia que está compuesto por un núcleo cargado positivamente, rodeado por electrones cargados negativamente. En el sistema métrico la carga se mide en Coulombs ( )C , la carga de un electrón se considera negativa e igual en magnitud a 191.602 10 C . El interés en el estudio de las cargas eléctricas está centrado en su movimiento, ya que las cargas en movimiento dan como resultado una transferencia de energía. Un circuito eléctrico es esencialmente una red que facilita la transferencia de carga desde un punto a otro. Cuando se tiene cargas en movimiento, se constituye una corriente eléctrica.

1.3 Corriente Eléctrica. Es la razón de cambio de la carga con respecto al tiempo.

( ) dqi tdt

(1)

La unidad de la corriente es el Ampere ( )A , y 1 ampere es igual a 1 coulomb por segundo.



La corriente eléctrica se caracteriza por su magnitud en Ampere y su dirección establecida universalmente por la dirección del movimiento de las cargas positivas aunque el flujo de la corriente en conductores metálicos se debe al movimiento de electrones.

Figura 1.1

1.4 Tipos De Corriente.

a) Corriente Directa (CD): cuando su magnitud y sentido no varía en el tiempo.

b) Corriente Alterna (CA): cuando varía su magnitud y además, invierte su sentido cíclicamente, a una frecuencia determinada.

(a) (b)

Figura 1.2 Clases de corriente eléctrica



1.5 Diferencia De Potencial o Voltaje. La diferencia de potencial entre los terminales a y b del elemento (E) del circuito de la figura 1.3, es igual al trabajo requerido para mover una carga positiva de 1 coulomb, de un terminal al otro a través del elemento.

Figura 1.3

( ) dWV tdt

(2)

La unidad del voltaje es el Volt ( )V y 1 volt es igual a 1 julio por coulomb, igual a 1 newton-metro por coulomb. El voltaje se caracteriza por su magnitud en Volts y su polaridad la cual depende de la naturaleza del elemento. Esta polaridad se indica con los signos + y -.

Figura 1.4 Polaridad del voltaje

1.6 Potencia Eléctrica. Es la tasa a la cual se suministra o consume energía eléctrica.



( ) dWp tdt

(3)

( ) ( ) ( )dW dqp t V t i tdq dt

(4)

La unidad de potencia es el Watt ( )W y 1 Watt es igual a 1 Joule por segundo.

1 1.

JouleWattseg

(5)

(a) (b)

Figura 1.5

En la figura 1.5 (a), el circuito 1 le está suministrando energía al elemento 1E .

12 5 10 EP V i W

Note que cuando el elemento está absorbiendo energía, una corriente positiva entra por el terminal positivo. En la figura 1.5 (b), el elemento 2E le está suministrando energía eléctrica al circuito 2 y en este caso una corriente positiva entra por el terminal negativo del elemento 2E .

24 4 16 EP W



El signo negativo indica que el elemento 2E está suministrando potencia. Ejemplo 1.1 Determinar la potencia consumida o suministrada por los elementos del circuito de la figura 1.6.

Figura 1.6

Solución. La fuente de 24 Volts de acuerdo al sentido de la corriente suministra potencia

24 2 48 P V . El elemento 1E consume potencia 1 24 2 48 P W .

El elemento 2E suministra 2 2 6 12 P W y el elemento 3E consume

3 6 2 12 P W . En todo sistema eléctrico la potencia suministrada es igual a la consumida (Balance de Potencia). Como en general V e I son función del tiempo ( )P t es también una cantidad que varia con el tiempo. El cambio de energía entre el instante 1t y el instante 2t se puede calcular integrando la ecuación (3).



2 2

1 1

( ) ( ) ( )t t

t tW p t dt v t i t dt (6)

La unidad de energía utilizada en los sistemas eléctricos es el Watt-hora o el kiloWatt-hora. Este primer curso es de análisis de circuitos y por tanto estaremos interesados en la determinación de un voltaje, corriente o potencia en algún elemento de una red. 1.7 Elementos De Circuitos Los elementos empleados en la construcción de los circuitos se clasifican en forma amplia como activos o pasivos. La distinción entre los elementos según esta clasificación radica en que los elementos activos tienen la capacidad de suministrar energía, mientras que los pasivos la consumen o pueden acumular cantidades limitadas de esta energía. Los elementos activos son las fuentes como las baterías y los generadores y los pasivos son las resistencias, los capacitores y los inductores. 1.8 Fuentes Independientes. Una fuente de voltaje ideal independiente es un elemento de dos terminales que suministra un voltaje específico entre sus terminales independientemente de la corriente que circula por ella.

Figura 1.7 Fuentes de voltaje



Una fuente de corriente ideal independiente es un elemento de dos terminales que mantiene una corriente específica independientemente del voltaje entre sus terminales.

Figura 1.8 Fuentes de corriente

Estos modelos ideales de las fuentes tienen limitaciones y por tanto serán representaciones validas de fuentes físicas solo bajo ciertas condiciones, por ejemplo el modelo de la fuente ideal de voltaje es valido cuando las corrientes son muy pequeñas.

1.9 Fuentes Dependientes o Controladas. Este tipo de fuente genera un voltaje o una corriente que está determinado por un voltaje o una corriente en un lugar especifico en el mismo circuito.

Figura 1.9 Fuentes controladas



1.10 Resistencia Eléctrica. La resistencia es la propiedad física de un elemento o un dispositivo que se opone al paso de la corriente a través del mismo y se simboliza por R. La relación Voltaje-Corriente es la resistencia está definida por la ley de Ohm. Esta ley establece que el voltaje a través de una resistencia es directamente proporcional a la corriente que fluye a lo largo de ésta.

( ) ( )RV t R i t (7)

La unidad de la resistencia es el Ohm que se abrevia con el símbolo .

1 1 VA

En una resistencia por ser un elemento pasivo siempre habrá una caída de potencial o voltaje en el sentido del flujo de la corriente.

Figura 1.10 Resistencia eléctrica

La potencia suministrada es absorbida por la resistencia y la energía absorbida es disipada por ella en forma de calor.

22 ( )( ) ( ) ( ) ( ) V tp t V t i t Ri t

R (8)



Esta ecuación muestra que la potencia es una función no lineal de la corriente o voltaje y que siempre es una cantidad positiva. 1.11 Conductancia. La conductancia, representada por el símbolo G , es por definición igual al inverso de la resistencia.

1 ( )( )i tG

R V t (9)

La unidad de la conductancia es el Siemens.

1 1 AsV

( ) ( )i t G V t (10)

2

2( )( ) ( )i tp t G V tG

(11)

1.12 Definiciones usadas en el análisis de circuitos. Red: Es la interconexión de uno o mas elementos de circuitos. Una red puede ser activa o pasiva, dependiendo de los elementos que la componen. Lazo: Es un camino cerrado de una red eléctrica por donde puede circular la corriente. Malla: Es un lazo que no contiene otro lazo en su interior. Nodo: Es un punto de una red en donde dos o más elementos tienen una conexión común. Cuando están conectados dos elementos, se denominan nodo secundario, y si son tres o más elementos, se denomina nodo principal.



Rama: Es un camino de un circuito que une dos nodos principales, y contiene al menos un elemento simple de circuito. Corriente de Rama: Es la corriente que circula por una rama especifica de un circuito. 1.13 Leyes de Kirchhoff. Ley de Kirchhoff de Corriente.

Esta ley establece que la suma algebraica de las corrientes que entran en cualquier nodo es igual a cero. Esto se debe al principio de la conservación de la carga eléctrica.

1( ) 0

n

JJi t

(12)

Al hacer la suma algebraica se consideran positivas las corrientes que salen del nodo y negativas las que llegan. Ley de Kirchhoff de Voltaje.

Establece que la suma algebraica de los voltajes alrededor de un camino cerrado de un circuito, es igual a cero. Esto se debe al principio de conservación de la energía.

1( ) 0

n

JJV t

(13)

Al recorrer el camino cerrado, para hacer la suma algebraica de los voltajes, las elevaciones se consideran negativas y las caídas positivas.



1.14 Análisis De Circuitos.

Circuito de un solo lazo.

Figura 1.11 Elementos en serie

Dado que en este caso circula la misma corriente por todos los elementos del circuito, se dice que estos elementos están conectados en Serie. Aplicando LKV, se tiene:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0R RV t V t V t V t

Donde:

1 1 2 2( ) ( ) y ( ) ( )R RV t R i t V t R i t

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0V t R i t V t R i t

1 2

1 2

( ) ( )( ) V t V ti tR R

Cuando se tienen varias resistencias en serie, la resistencia equivalente es igual a la suma de dichas resistencias, en este caso:

e 1 2R q R R



En general:

e1

Rn

q iiR

(14)

Cuando se tienen varias fuentes de voltaje en serie se puede reemplazar por una fuente equivalente que será igual a la suma de los voltajes de las fuentes individuales teniendo en cuenta la polaridad de cada fuente.

e 1 2qV V V

Figura 1.12

1.15 Circuito de un solo par de nodos.

Figura 1.13 Elementos en paralelo

En este caso, se dice que los elementos están conectados en paralelo porque todos están sometidos al mismo voltaje ( )V t . Como no se conoce la polaridad



real del voltaje, se supone una polaridad y con base en esta polaridad se aplica la LKI en el nodo superior.

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0G Gi t i t i t i t

Pero:

1 1 2 2( ) ( ) e ( ) ( )G Gi t G V t i t G V t

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0i t G V t i t G V t

1 2

1 2

( ) ( )( ) i t i tV tG G

Cuando se tienen varias conductancias en paralelo, la conductancia equivalente es igual a la suma de las conductancias.

e1

n

q JJ

G G

(15)

Para este caso:

e 1 2qG G G Si se trabajan con resistencias en lugar de conductancias, la resistencia equivalente de n conectadas en paralelo será igual a:

e

1

11q n

J J

R

R

(16)



Cuando se tienen varias fuentes de corriente en paralelo, se pueden reemplazar por una fuente equivalente cuyo valor será igual a la suma algebraica de las fuentes individuales.

e 1 2( ) ( ) ( )qi t i t i t

El circuito equivalente será:

Figura 1.14 Circuito equivalente

Ejemplo 1.2 Calcular la resistencia equivalente entre los terminales a-b de la siguiente red.



Figura 1.15

1.16 Divisor de Voltaje.

Figura 1.16

1 2

( )( ) V ti tR R

1

11

1 2

( )( ) ( )RR V tV t R i tR R

(17)



2

22

1 2

( )( ) ( )RR V tV t R i tR R

(18)

1.17 Divisor de Corriente.

Figura 1.17

1 2

1 2

( )( ) R R i tV tR R

21

1 1 2

( )( )( )RR i tV ti t

R R R

(19)

12

2 1 2

( )( )( )RR i tV ti t

R R R

(20)

1.18 Fuentes Reales.

Fuente Real de Voltaje

Figura 1.18



Si se conecta una resistencia de carga LR en los terminales de la fuente real

Figura 1.19

T S VV V R i Donde:

S

V L

ViR R

V ST S

V L

R VV VR R

1 VT S

V L

RV VR R

(21)

1.19 Fuente Real de Corriente

Figura 1.20



Al conectar una resistencia de carga LR se tiene:

Figura 1.21

i SL S Ri

i L

R ii i iR R

1 LL S

i L

Ri iR R

(22)

1.20 Fuentes Reales Equivalentes.

Fuente real de Voltaje Fuente real de Corriente

Figura 1.22

Una fuente real de voltaje es equivalente a una fuente real de corriente, si ambas suministran la misma corriente a una resistencia R que se conecte entre sus terminales.



S i SV i

V i

V R ii iR R R R

Para que Vi sea igual a ii se debe cumplir que:

S i SV R i (23)

V i V i IR R R R R R R (24)

S I SV R i (25)

A las fuentes controladas reales de voltaje o corriente también se les puede calcular su correspondiente fuente equivalente. Ejemplo 1.3 Calcular abV del siguiente circuito.

Solución.



Figura 1.23

Aplicando LKV:

6 11 8 4 0abI I V donde 8abV I

66 51 0 51

I I A

48 0.94 51abV V V



1.21 Transformación Y a Delta y Delta a Y.

Conexión Delta Conexión Y

Figura 1.24

Estas dos configuraciones están conectadas a los terminales a, b y c. Se trata de encontrar una equivalencia entre las dos conexiones. Para la transformación de Delta a Y se tiene:

ab caan

ab bc ca

R RRR R R

(26)

ab bcbn

ab bc ca

R RRR R R

(27)

bc cacn

ab bc ca

R RRR R R

(28)

Si ab bc caR R R R , entonces / 3an bn cn YR R R R



Para la transformación de Y a Delta:

an bn bn cn cn anab

cn

R R R R R RRR

(29)

an bn bn cn cn anbc

an

R R R R R RRR

(30)

an bn bn cn cn anab

bn

R R R R R RRR

(31)

Si an bn cn YR R R R , entonces ab bc caR R R R

3 YR R

Ejemplo 1.4 Calcular la resistencia equivalente entre los terminales a-b de la siguiente red.



2k 8k 6k 12k 6.43 k

Figura 1.25



EJERCICIOS PROPUESTOS CAPITULO I

CONCEPTOS GENERALES

1.1 En los siguientes casos determinar si el elemento E consume o suministra potencia y cuanto suministra o consume.

Figura 1.26

1.2 Determinar el tiempo requerido para que un cargador de una batería de

24 A entregue una carga de 1200 C. 1.3 Si en la figura 1.27 el elemento A suministra 24 W ¿Cuánta potencia

suministra o consume el elemento B?

Figura 1.27

1.4 Determinar I0 y la potencia suministrada o consumida por la fuente

controlada en la figura 1.28.



Figura 1.28

1.5 Calcular la resistencia equivalente entre los terminales a-b de las redes a

y b de la figura 1.29.

Figura 1.29

1.6 Usando divisor de voltaje calcule V0 en la figura 1.30.



Figura 1.30

1.7 En la figura 1.31 calcular Vx usando divisor de corriente.

Figura 1.31

1.8 Calcular Vx en la figura 1.32.

Figura 1.32



1.9 Calcular Req en la red de la figura 1.33.

Figura 1.33

1.10 Si en la red de la figura 1.34 Ix es igual a -2A, calcular Vy y Vk.

Figura 1.34

Respuestas 1.1 R/ a)-24W b)-320W c)12W. 1.2 R/ 50s. 1.3 R/ 32 Wts. 1.4 R/ I0=3A P=-24W. 1.5 R/ a)5.92kΩ b)1.588Ω . 1.6 R/ 2.38 V 1.7 R/ 0.1V. 1.8 R/ 8.59 V. 1.9 R/ 1.10 R/ Vy=224V Vk=144V.



CAPITULO II

TÉCNICAS USADAS EN AL ANÁLISIS DE LOS CIRCUITOS

2.1 Introducción Con estas técnicas se logra simplificar el trabajo de análisis mediante el uso de métodos generales que se pueden aplicar en la solución de circuitos más complejos. 2.2 Análisis nodal. En este método las variables son los voltajes de los nodos principales con respecto a uno de ellos que se escoge como nodo de referencia. Generalmente se selecciona como nodo de referencia, al nodo que tenga más ramas conectadas y con frecuencia se le llama tierra debido a que se dice que está a potencial de tierra cero. Si el circuito tiene n nodos principales se deben definir 1n variables o incógnitas y el nodo restante será el de referencia. Esto significa que para resolver el sistema, se deben establecer 1n ecuaciones independientes las cuales se obtienen al aplicar la ley de Kirchhoff de corriente en estos 1n nodos. Al aplicar esta ley en estos nodos se asume que los voltajes desconocidos son positivos con respecto al nodo de referencia. Una vez que se conocen los 1n voltajes de nodo, se pueden calcular cualquier corriente en una rama o la potencia suministrada o consumida por cualquier elemento. En el análisis nodal es preferible trabajar con conductancia en lugar de resistencia.



Figura 2.1

Nodo 1:

1 1 2 1 2 0Ai G V G V V

1 2 1 2 2 ( )AG G V G V i A

Nodo 2:

2 1 2 3 2 0BG V V i G V

2 2 1 3 2 0BG V V i G V

2 1 2 3 2 (B)BG V G G V i

Por tanto, las dos ecuaciones para los voltajes desconocidos 1V y 2V serán:

1 2 1 2 2 AG G V G V i

2 1 2 3 2 BG V G G V i En forma matricial:

G V i



Donde: G Matriz de conductancias.

V Vector de Voltajes.

i Vector de Corrientes.

1 2 2 1

2 2 3 2

, ,

A

B

G G G V iG V i

G G G V i

1 2 2 1

2 2 3 2

A

B

G G G V iG G G V i

La solución para esta ecuación matricial se obtiene así:

1 1G G V G i

1V G i

Donde 1G es la inversa de la matriz G .

Ejemplo 2.1. Calcular la potencia suministrada o consumida en cada uno de los elementos del circuito de la figura 2.2.



Figura 2.2

Nodo 1:

1 1 23 0.25 0.2 0V V V

1 20.45 0.2 3 (A)V V

Nodo 2:

2 1 20.2 1 0.5 0V V V

1 20.2 0.7 1 (B)V V Resolviendo se tiene:

1 26.91 y 0.55V V V V

3 3 6.91 20.73 AP W

2 21

46.91 11.937

4 4VP W

21 2

5 8.09 5

V VP W



1 21 0.55 AP V W

22

2 0.151 2VP W

Ejemplo 2.2. Calcular la potencia consumida en la conductancia de 4 s del circuito de la figura 2.3.

Figura 2.3

Solución.

Nodo 1:

1 2 1 38 3 3 4 0V V V V

1 2 37 3 4 11 (A)V V V

Nodo 2:

2 1 2 2 33 3 2 0V V V V V

1 2 33 6 2 3 (B)V V V



Nodo 3:

3 1 3 3 24 5 25 2 0V V V V V

1 2 34 2 11 25 (C)V V V

1

2

3

7 3 4 113 6 2 34 2 11 25

VVV

G V i

1V G i

Donde:

1T

Cof GG

G

62 41 3041 61 2630 26 33

Cof G

62 41 3041 61 2630 26 33

TCof G

7 66 4 3 33 8 4 6 24 191G



1

2

3

62 41 30 111 41 61 26 3

19130 26 33 25

VVV

1

62 11 41 3 30 251

191V V

2

41 11 61 3 26 252

191V V

3

30 11 26 3 33 253

191V V

La diferencia de potencial en la conductancia de 4 s :

4 3 1 2 sV V V V 2

4 4 2 16 WsP

Es importante notar la simetría con respecto a la diagonal principal de la matriz G del ejemplo anterior. Esta simetría se presenta siempre que el circuito esté conformado solamente por resistencias o conductancias y fuentes independientes de corriente. En estos casos se pueden escribir las ecuaciones nodales por inspección de la siguiente forma:

o El coeficiente del voltaje del nodo al cual se está aplicando la LKI, es positivo e igual a la suma de las conductancias conectadas entre ese nodo y los demás del circuito, incluido el nodo de referencia.



o En la misma ecuación, el coeficiente de los voltajes de los demás nodos es negativo e igual a la suma de las conductancias conectadas al nodo en cuestión con cada uno de los demás nodos.

o El lado derecho de la ecuación es igual a la suma de las corrientes que

entran al nodo vía las fuentes de corriente, menos la suma de las corrientes que salen del nodo vía las fuentes de corriente.

Ejemplo 2.3. Calcular 1V y 2V en el circuito de la figura 2.4.

Figura 2.4

Solución. La señal de control:

11 2

1Vi V V V

Nodo 1:

1 2 1 2 15 2 5 0V V V V V

1 29 2 5 (A)V V



Nodo 2:

21 1 2 2 15 2 2 0

2VV V V V V

1 29 4.5 0 (B)V V

1

2

9 2 59 4.5 0

VV

Resolviendo:

1 21 2 V V y V V 2.3 Análisis Por El Método De Nodos Cuando El Circuito Tiene Fuentes De Voltaje.

El caso más simple se presenta cuando la fuente de voltaje está entre un nodo principal y el nodo de referencia. Bajo esta circunstancia la fuente define el voltaje del nodo.

Ejemplo 2.4. Calcular la potencia suministrada o consumida por la fuente de corriente de la figura 2.5.

Figura 2.5



Solución. Nodo 1:

1 12 V V

Nodo 2:

2 32 1 2 2 010 20 10

V VV V V

12 30.25 0.1 2

10VV V

2 30.25 0.1 0.8 (A)V V

Nodo 3:

3 1 3 2 3 32 040 10 100 200

V V V V V V

12 30.1 0.14 2

40VV V

2 30.1 0.14 2.3 (B)V V Resolviendo:

1 2 312 4.72 19.8 V V V V V V

El voltaje a través de la fuente de corriente:

3 2 15.08V V V

15.08 2 30.16 P W



Otro caso que se presenta es cuando la fuente de voltaje se encuentra entre dos nodos principales distintos al de referencia. Ejemplo 2.5. Calcular los voltajes de nodo del circuito de la figura 2.6.

Figura 2.6

En este caso la fuente de 12 Volts establece que 2 3 12V V y sería una ecuación. Como el circuito tiene cinco nodos, para resolverlo se necesitan cuatro ecuaciones independientes ( 1)n las cuales se obtienen al aplicar la LKI en el nodo 1 y el nodo 4, la ecuación que define la fuente es decir 2 3 12V V , y la cuarta ecuación se obtiene al aplicar la LKI a la superficie punteada que incluye los nodos 2 y 3 a la cual comúnmente se le llama SUPERNODO. Nodo 1:

3 1 31 2 2 10 04k 1k

V VV V



331 2

1 1 1 2 104k 1k 4k 1k

VV V

1 2 31.25 0.25 2 (A)V V V

Súper Nodo 2-3:

3 1 3 4 32 1 2 4 04k 8k 1k 4k 2k

V V V V VV V V V

1 2 3 41.25 0.375 1.75 0.375 0 (B)V V V V

La fuente de voltaje: 2 3 12 (C)V V

Nodo 4:

4 34 2 4 08k 4k 1k

V VV V V

324

1 1 1 08k 4k 8k 4k 1k

VV V

2 3 40.125 0.25 1.375 0 (D)V V V

Resolviendo:

1 2 3 45.176 , 13.176 , 1.176 1.412 V V V V V V y V V

1 2 3 41 1 1 1 1 1 1 1 1 0

4k 1k 4k 8k 1k 4k 2k 8k 4kV V V V



Ejemplo 2.6. Calcular la potencia suministrada o consumida por la fuente controlada de voltaje del circuito de la figura 2.7.

Figura 2.7

Solución. Las señales de control:

21 2

40X gVV V V i

Como

1 24 V V

224XV V Nodo 2:

2 1 2 4 1 2 2 010 4 10 40

V V V V V V V

1 2 40.2 0.475 0.25 0V V V

2 40.475 0.25 4.8 (A)V V



La fuente de voltaje

23 4

4440gVV V i

2 3 40.1 0 (B)V V V

Súper Nodo 3-4

3 4 2 40.5 08 4 20V V V V

2 3 40.25 0.125 0.3 0.5 (C)V V V

1 2 3 424 13.44 7.68 6.33V V V V V V V V El voltaje de la fuente controlada:

24 4 1.34 40gVi V

Aplicando LKI en el nodo 4 para calcular i :

4 2 4 0 1.46 4 20

V V V i i A

La fuente controlada de voltaje suministra una potencia

1.34 1.46P

1.96 P W



2.4 Análisis De Malla. El método de malla utiliza la LKV para determinar las corrientes en un circuito. Este método solo se puede utilizar en circuitos planos, es decir circuitos que se pueden dibujar en una hoja de papel y ningún conductor cruza a otro conductor. Se define el concepto de CORRIENTE DE MALLA como aquella que circula alrededor del perímetro de una malla. Se debe calcular una corriente de malla por cada malla, esto significa que si el circuito tiene m mallas se deben definir m corrientes de malla que son las variables y se indican por medio de flechas curvas dibujadas dentro de las mallas. Como se tienen m incógnitas, se requieren m ecuaciones independientes que se obtienen al aplicar LKV a cada una de las m mallas, en función de las corrientes de malla desconocidas. En el análisis por mallas se prefiere trabajar con resistencias en lugar de conductancias, miremos el circuito de la figura 2.8.

Figura 2.8

Malla 1:

1 1 1 2 1 2 5 1 0V R i R i i R i

1 2 5 1 2 2 1 (A)R R R i R i V



Malla 2:

2 1 2 3 2 2 4 2 0R i i R i V R i

2 1 2 3 4 2 2 (B)R i R R R i V En forma matricial

1 2 5 2 1 1

2 2 3 4 2 2

R R R R i V

R R R R i V

R i V En donde: R =Matriz de resistencias.

i =Vector de corrientes. V =Vector de voltajes.

1i R V Ejemplo 2.7. Calcular I en el circuito de la figura 2.9.

Figura 2.9



Solución. 1 2I I I

Malla 1:

1 1 224 10 40 0I I I

1 250 40 24 (A)I I

Malla 2:

1 2 240 8 10 0I I I

1 240 48 10 (B)I I

1

2

50 40 2440 48 10

II

1

1

2

50 40 2440 48 10

II

Resolviendo:

1 20.94 , 0.58 , 0.36 I A I A I A

En este caso, la matriz R es simétrica con respecto a la diagonal principal, y esto sucede en todos los circuitos conformados por resistencias y fuentes independientes de voltaje. Bajo estas condiciones se pueden escribir las ecuaciones de malla por inspección siguiendo estos pasos:

o El coeficiente de la corriente de la malla a la cual se le está aplicando la LKV, es positivo e igual a la suma de las resistencias de esa malla.



o En la misma ecuación, el coeficiente de las demás corrientes es negativo e igual a la suma de las resistencias comunes entre la malla que se esta analizando y cada una de las demás mallas.

o El lado derecho de cada ecuación es igual a la suma algebraica de las

fuentes de voltaje incluidas en la malla que se está analizando. Estas fuentes de voltaje tendrán signo positivo si ayudan al flujo de la corriente de esa malla, y signo negativo si se opone a el.

Ejemplo 2.8. Determinar las corrientes de malla del circuito de la figura 2.10.

Figura 2.10

Solución.

Malla 1: 1 2 1 37 1 2 6 0I I I I

1 2 33 2 1 (A)I I I

Malla 2:

2 1 2 2 31 2 3 0I I I I I

1 2 36 3 0 (B)I I I



Malla 3:

3 1 3 2 36 2 3 0I I I I I

1 2 32 3 6 6 (C)I I I

Resolviendo

1 2 33 , 2 , 3 I A I A I A Ejemplo 2.9. Calcular abV en el circuito de la figura 2.11.

Figura 2.11

Solución.

24k 0.2ab abV I V

25kabV I Malla 1:

1 1 21k 2k 12 0I I I

1 23k 2k 12 (A)I I



Malla 2:

2 1 2 2 42k 4k 8 0I I I k I I

1 2 42k 14k 84 0 (B)I I k I

Malla 3:

3 3 42k 12 10k 0I I I

3 412k 10 12 (C)I k I

Malla 4:

4 3 4 2 210k 8k 0.25k 0I I I I I

2 3 47k 10k 18 0I I k I

Resolviendo:

1 2 3 43.97 , 0.04 , 1.89 , 1.06 I mA I mA I mA I mA

0.2 abV V

2.5 Análisis Por Malla Cuando El Circuito Contiene Fuentes De Corriente. Cuando la fuente de corriente está en una rama del circuito que no es compartida con otra malla, la corriente de la fuente define la corriente de la malla correspondiente.

Ejemplo 2.10. Calcular 0V en el circuito de la figura 2.12.

Figura 2.12



Solución

1 2 0 31 4 30 12I A I A V I

Malla 3:

3 1 3 3 3 2100 8 30 12 40 0I I I I I I

1 2 3100 40 178 12I I I

3100 1 40 4 178 12I

3 0.404 I A

0 0.12 V V

Cuando la fuente de corriente está en una rama compartida o que es común a dos mallas. En estos casos no se puede definir directamente el voltaje a través de dicha fuente cuando se aplica LKV en las mallas que tienen la fuente. Este caso se resuelve considerando las dos mallas que comparten la fuente de corriente, como una sola malla (Supermalla). Al hacer esta unión y aplicar LKV a las mallas que resultan, quedaría faltando una ecuación para poder resolver el sistema. Esta ecuación la suministra la fuente de corriente. Ejemplo 2.11 Calcular la potencia suministrada o consumida por la fuente de corriente del circuito de la figura 2.13.



Figura 2.13

Solución.

Malla 1:

1 1 2 1 312 4 10 6 0I I I I I

1 2 320 10 6 12 (A)I I I

Súper Malla 2-3:

2 1 2 3 3 110 8 8 6 0I I I I I I

1 2 316 18 14 0 (B)I I I

La fuente de corriente:

3 2 2I I

2 3 2 (C)I I

Resolviendo:

1 2 30.83 , 0.46 , 1.54 I A I A I A

El voltaje entre los terminales de la fuente de corriente:

3 3 18 6 0V I I I



3 114 6 16.58 V I I V

La fuente suministra potencia

2 16.58 33.16 P W Ejemplo 2.12. Calcular el voltaje en la resistencia de 10 k del circuito de la figura 2.14.

Figura 2.14

Solución.

10k 4XV I

Súper Malla 1-2:

1 1 3 2 3 224 2k 4k 1k 6k 0I I I I I I

1 2 36k 7k 5k 24 (A)I I I

La fuente controlada de corriente:

42 1 4

10k 52000 2k

XV II I I



1 2 45 0 (B)I I I

Súper Malla 3-4:

3 2 3 1 41k 4k 10k 0I I I I I

1 2 3 44k 1k 5k 10k 0 (C)I I I I

La fuente de corriente:

4 3 4 I I mA 3

3 4 4 10 (D)I I

1 2 3 42 , 3 , 3 , 1 I mA I mA I mA I mA

10 XV V



PROBLEMAS PROPUESTOS CAPITULO II

TÉCNICAS USADAS EN EL ANÁLISIS DE LOS CIRCUITOS

2.1Por análisis de nodos calcular iX en el circuito de la figura 2.15.

Figura 2.15

2.2 Calcular V en el circuito de la figura 2.16.

Figura 2.16

2.3 Calcular la potencia suministrada o consumida por la fuente de 12V en la figura 2.17.



Figura 2.17

2.4 Usando el método de nodos calcular la potencia suministrada o consumida por la fuente independiente de corriente del circuito de la figura 2.18.

Figura 2.18

2.5 Usando el método de nodos calcular la potencia suministrada o consumida por la fuente controlada de voltaje del circuito de la figura 2.19.



Figura 2.19

2.6 En el circuito de la figura 2.20, V=6.2 Volts con la polaridad indicada, y la potencia disipada en R es 457 Wts. Calcular Vs.

Figura 2.20

2.7 En el circuito de la figura 2.21, Calcular iX.



Figura 2.21

2.8 Determinar que fuentes suministran y cuales consumen potencia en el circuito de la figura 2.22.

Figura 2.22

2.9 Usando el método de nodos calcular VK en el circuito de la figura 2.23.



Figura 2.23

2.10 Calcular iY en el circuito de la figura 2.24.

Figura 2.24



Respuestas 2.1 R/ iX=-5/3 A. 2.2 R/ V=52/11. 2.3 R/ P=-7.2 Wts. 2.4 R/ P=0.453 Wts. 2.5 R/ P=1.82x10-3 Wts (consume). 2.6 R/ 2.7 R/ iX=2.15A. 2.8 R/ P10ix=-44.72 P250V=-12.28 P0.2Vy=8.15 Wts. 2.9 R/ VK=3.48V. 2.10 R/ iY=2.1mA.



CAPITULO III PRINCIPIOS Y TEOREMAS EMPLEADOS EN EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS

3.1 Introducción Con los métodos incluidos En este capítulo se busca simplificar el análisis de circuitos más complicados, encontrando el equivalente de una parte de la red el cual resulta muy sencillo. Estas técnicas solamente se pueden aplicar en los circuitos lineales, es decir circuitos que están conformados por elementos pasivos lineales y fuentes independientes y controladas lineales. 3.2 Circuitos lineales Un circuito es lineal cuando cumple las siguientes condiciones:

a) Cuando la señal de la fuente de entrada se multiplica por una constante K , los voltajes y las corrientes en los elementos del circuito aparecen multiplicados por la misma constante K .

Cuando se aplica la señal de entrada ( )x t la salida es ( )y t ; cuando se aplica '( ) ( )x t K x t entonces la salida '( ) ( )y t K y t .

b) Si se aplican simultáneamente dos señales de entrada, las respuestas de

voltaje o corriente son iguales a la suma de las respuestas de cada una de las entradas actuando por separado.

Si se aplica 1( )x t la respuesta es 1( )y t , cuando se aplica 2 ( )x t la

respuesta es 2 ( )y t y cuando se aplica 3 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t la respuesta

es 3 1 2( ) ( ) ( )y t y t y t . Ejemplo 3.1. Determinar si la red de la figura 3.1 es lineal.



Figura 3.1

a)

'( ) ( ) '( ) ( )Ld dii t K i t V t L K i t K Ldt dt

b)

11 1( ) ( ) dii t V t L

dt

22 2( ) ( ) dii t V t L

dt

3 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )di t i t i t V t L i t i tdt

1 23( ) di diV t L L

dt dt

El elemento L es lineal. 3.3 Superposición. Este principio nos permite reducir un problema complejo con más de una fuente independiente, a varios problemas más sencillos, cada uno conteniendo solo una fuente independiente.



El principio de superposición establece que en un circuito lineal que contiene varias fuentes independientes, la corriente o el voltaje en cualquier punto de la red se puede calcular como la suma algebraica de las contribuciones individuales de cada fuente al actuar sola. Cuando se calcula la contribución de cada una de las fuentes ya sea de voltaje o de corriente, las fuentes restantes de voltaje y de corriente se deben anular; es decir las fuentes voltajes se deben reemplazar por corto circuitos y las de corriente se deben reemplazar por circuitos abiertos.

Si el circuito contiene fuentes controladas, solamente se anularán si su señal de control vale cero. Ejemplo 3.2. Calcular 0V por superposición en la red de la figura 3.2.

Figura 3.2

Solución.

0 0 0' ''V V V

- Contribución de la fuente de corriente.

Figura 3.3



30

3k 2' 2 10 9k 3

I mA

30

2' 6 10 4 3

V k V

- Contribución de la fuente de voltaje.

Figura 3.4

03 6k'' 2

9kV V

0 6 V V Ejemplo 3.3. Calcular por superposición 0I en el circuito de la figura 3.5.

Figura 3.5



Solución. 0 0 0' ''I I I

Figura 3.6

0 3 1' XI I I I

Malla 1:

1 222 10 12 (A)I I

Súper Malla 2-3:

1 2 310 12 6 0 (B)I I I

Fuente de corriente:

3 2 10.6I I I

1 2 30.6 0 (C)I I I

1 2 3

0

0.83 , 0.63 , 0.13 , ' 0.13 I A I A I A

I A

Cálculo de 0 ''I



Figura 3.7

31 20 ''

4 6XVV VI I

Nodo 1:

1 3 1 22 0 8 4

V V V V

1 2 30.375 0.25 0.125 2 (A)V V V

Nodo 2:

2 32 1 2 0 4 10 2

V VV V V

1 2 30.25 0.85 0.1 0 (B)V V V

Nodo 3:

3 1 3 2 31 20.6 0 8 10 4 6

V V V V VV V

1 2 30.275 0.05 0.392 0 (C)V V V

1 2 39.98 , V 3.7 , V 6.53 ,V V V V



0 '' 1.09 I A

0 0 0' '' 1.22 I I I A

3.4 Teoremas de Thévenin y de Norton. Ocurre a menudo en la práctica que un elemento particular de un circuito es variable (normalmente llamado carga), y los demás son fijos. Cada vez que el elemento variable se cambia, el circuito entonces tiene que ser analizado de nuevo. Para evitar este problema, el teorema de thévenin proporciona una técnica mediante la cual la parte fija del circuito es reemplazada por un circuito equivalente. El teorema de Thévenin establece que cualquier circuito con un par de terminales identificados, puede reemplazarse por un circuito equivalente que

consiste en una fuente de voltaje thV en serie con una resistencia thR , donde

thV es el voltaje en circuito abierto en los terminales y thR es la resistencia equivalente en los terminales, cuando se anulan las fuentes independientes. El teorema se enuncia como sigue: Dado un circuito lineal, se divide en dos circuitos, A y B, conectados por el par de terminales. Si alguno de los circuitos contiene fuentes controladas, su señal de control debe estar en el mismo circuito. Entonces para determinar el

equivalente Thévenin del circuito A, se define a cdV como el voltaje de circuito abierto del circuito A ( )OCV cuando el circuito B se desconecta de los dos

terminales. Entonces el circuito equivalente de A es una fuente de voltaje cdV

en serie con thR , siendo thR la resistencia que se mira desde los terminales hacia la red A con las fuentes independientes anuladas.



Pasos: 1)

Identificar el circuito A y el B

2)

Separar el circuito A del B

th cd OCV V V (1) (en circuito abierto)

3)

Sustituir el circuito A por su equivalente Thevenin

4) Reconectar el circuito B

Figura 3.8



Para calcular la resistencia thR si la red A no tiene fuentes dependientes, se

anulan todas las fuentes independientes y thR será igual a la resistencia de entrada de la red que aparece entre los terminales c-d.

Figura 3.9

Si la red tiene fuentes dependientes, se anulan las independientes (las fuentes dependientes se anulan solamente cuando su señal de control es igual a cero), se conecta una fuente expiatoria de voltaje de valor conocido en los terminales

c-d y se determina la corriente resultante 0I . Entonces

0

0thVRI

(2)

Alternativamente se puede insertar una fuente de corriente 0I en los

terminales c-d y se encuentra el voltaje correspondiente cdV y de nuevo

0

cdth

VRI

(3)

Ejemplo 3.4. Calcular el equivalente thévenin de la red de la figura 3.10.



Figura 3.10

Solución.

- Calculo de thV 32 2 0

4 12th thV V

1 1 32 24 12 4thV

30 thV V

- Calculo de thR

Figura 3.11

El equivalente thévenin se muestra en la figura 3.12:



Figura 3.12

Ejemplo 3.5. Calcular el equivalente thévenin de la red que se muestra en la figura 3.13.

Figura 3.13

Solución.

- Calculo de thV

3 1 1 3

3

6 5 4 20 4th X

X

V I I A V I IV I

Malla 2:

3 2 32 20 4 2 0I I I

2 32 6 40 (A)I I

Malla 3:



3 1 3 2 34 2 6 0I I I I I

2 32 12 20 (B)I I

Resolviendo:

1 2 35 , 10 , 3.33 I A I A I A

20 thV V

- Calculo de thR usando fuente expiatoria como se muestra en la figura 3.14.

Figura 3.14

20 3

1 1 4th XR V II I

Malla 1:

2 1 22 4 2 0I I I

1 22 6 0 (A)I I

Malla 2:

2 2 1 2 34 2 6 0I I I I I

1 2 32 12 6 0 (B)I I I



Malla 3:

3 2 36 2 1 0I I I

2 36 8 1 (C)I I

Resolviendo:

1 2 30.167 , 0.055 , 0.166 I A I A I A

6 thR

Figura 3.15

El teorema de Norton establece que cualquier circuito lineal con un par de terminales identificados, puede reemplazarse por un circuito equivalente que

consiste en una fuente de corriente NI en paralelo con una resistencia NR ,

donde NI es la corriente que circula entre los terminales cuando se ponen en

cortocircuito ( )SCI , y NR es la resistencia equivalente en los terminales cuando se anulan las fuentes independientes.

De lo anterior se deduce que NR se calcula de la misma forma que thR es decir,

th NR R (4)

N SCI I (5)



Circuito Original El Equivalente Norton

Figura 3.16 Para calcular la corriente Norton se ponen en corto los terminales c-d como se indica en la figura 3.17.

Figura 3.17

Al confrontar el equivalente Thévenin con el equivalente Norton se tiene que el equivalente Thévenin es una fuente real de voltaje que al transformarla en su equivalente de fuente real de corriente, se obtiene el equivalente Norton como se muestra en la figura 3.18.

Figura 3.18



th N N th NV R I R I (6)

th OCth

N SC

V VRI I

(7)

Esta es otra forma de calcular thR sobretodo cuando el circuito contiene fuentes dependientes o controladas. Ejemplo 3.5. Calcular el equivalente Norton de la red de la figura 3.19.

Figura 3.19

Solución.

- Cálculo de th NR R

Al anular la fuente, la red queda:

Figura 3.20



20 55 8 4 8 4 25NR

- Calculo de NI

Figura 3.21

Malla 2:

2 1 24 16 12 0I I I

220 12 4 2I

2 1 SCI A I

El equivalente Norton se muestra en la figura 3.22:

Figura 3.22

Ejemplo 3.6. Calcular el equivalente Norton entre los terminales a-b de la red de la figura 3.23.

1

2

2

SC

I AI I



Figura 3.23

Solución.

- Calculo de SCI , para calcular SCI se usará el circuito de la figura 3.24.

Figura 3.24

5 0.01 500

i A

10 0.1 SCI i A

- Calculo de OCV

En el circuito original 25 10 250ab OCV V i i

Por tanto:

( )250abVi A

En la malla de la izquierda:



5 500 0 (B)abi V

Al sustituir A en B se tiene:

500 5250ab

abV V

5 ab OCV V V

5 50 0.1

OCN th

SC

VR RI

El circuito equivalente norton se muestra en la figura 3.25:

Figura 3.25

Ejemplo 3.7. Determinar el equivalente Thévenin de la red de la figura 3.25:

Figura 3.26



Solución. Como el circuito no tiene fuentes independientes 0thV . Para calcular thR se usará una fuente expiatoria de 1 Ampere como se indica en la figura 3.27.

Figura 3.27

3

1thVR

3 1XV V V

2 2 XV V

2 3 12 2V V V

Ecuación del nodo 2:

1 2 32 2 0 (A)V V V Nodo 1:

1 31 1 21 2 30 2.5 0.5 0 (B)

1k 2k 1kV VV V V V V V

Nodo 3:

3 1 3 2 31 2 31 0 2.5 1000 (C)

1k 1k 2kV V V V V V V V



Resolviendo:

1 2 3533.33 , 800 993.33 V V V V y V V

993.33 thR

3.5 Transferencia Máxima De Potencia. En análisis de circuitos algunas veces interesa determinar la máxima potencia que se le puede entregar a una carga. Empleando el teorema de Thévenin se puede determinar la resistencia de carga para transferir potencia máxima y calcular esa potencia máxima.

Analizando el circuito de la figura 3.28.

Figura 3.28

La potencia entregada a LR será: 2

LP R i (8) Donde

th

th L

ViR R

2

2L th

th L

R VPR R

(9)



Se requiere determinar el valor de LR que maximiza esta cantidad para ello, se

deriva esta expresión con respecto a LR y se iguala la derivada a cero.

2 2 2

4

20th L th th L th L

L th L

R R V V R R RdPdR R R

2 2 0th L L th LR R R R R

De donde

L thR R (10)

Esto significa que la máxima potencia transferida tiene lugar cuando la

resistencia de carga L thR R . Ejemplo 3.8. En el circuito de la figura 3.29 calcular el valor de R para máxima transferencia de potencia y calcular dicha potencia.

Figura 3.29



Solución Calculo del voltaje Thevenin entre los terminales a-b

3 42 3 i

8th y XV VV V V V

Supernodo 1-2

1 31 2 010 16 10

KV VV V V

1 2 3 40.162 0.1 0.0625 0.1 0 (A)V V V V

2 1 3

1 2 3

0.8 0.8 =0 (B)

V V VV V V

Nodo 3

3 1 3 4 3 4

1 3 4

2( ) 018 8 8

0.0625 0.0625 0.125 0 (C)

V V V V V V

V V V

Nodo 4

4 34 2

2 3 4

110 8

0.01 0.125 0.225 1 (D)

V VV V

V V V

Resolviendo

1 2

3 4

-1.688V -10.519V-11.039V -6.363V

V VV V

Calculo de thR usando fuente expiatoria



Figura 3.30

3 223 V

1 18th X yV VVR V i

Supernodo 1-2

1 3 2 31 110 16 18

V V V VV

1 2 30.01625 0.0565 0.1181 1 (A)V V V

1 2 30.8 =0 (B)V V V

Nodo 3

3 1 3 2 3 2

1 3 3

2( ) 016 18 18

0.0625 0.055 0.0069 0 (C)

V V V V V V

V V V

1 2 3

2

max

4.805V 5.324V 0.65V R 5.324

5.19 wts.4R

th

th

th

V V V

VP



PROBLEMAS PROPUESTOS CAPITULO III

PRINCIPIOS Y TEOREMAS

3.1 Usando la superposición calcular V e i en el circuito de la figura 3.31.

Figura 3.31

3.2 Empleando superposición calcule V en el circuito de la figura 3.32.

Figura 3.32

3.3 Calcular por superposición Vk.



Figura 3.33

3.4 Calcular el equivalente Thevenin entre los terminales a-b de la red de la figura 3.34.

Figura 3.34

3.5 Calcular el equivalente Norton de la red que se muestra en la figura 3.35.



Figura 3.35

3.6 Obtenga el equivalente Thevenin de la red de la figura 3.36. ¿Qué potencia suministraría a una resistencia de carga de 10Ω conectada entre los terminales a-b?

Figura 3.36

3.7 Calcular el equivalente Norton entre los terminales a-b de la red de la figura 3.37. .

Figura 3.37



3.8 Calcular el equivalente Thevenin entre los terminales a-b de la red de la figura 3.38.

Figura 3.38

3.9 Calcular el equivalente Norton entre los terminales c-d de la red de la figura 3.39.

Figura 3.39



3.10 En el circuito de la figura 3.40 calcular el valor de R para obtener máxima transferencia de potencia y calcular esa potencia máxima.

Figura 3.40

3.11 La resistencia variable del circuito de la figura 3.41 se ajusta para la transferencia de potencia máxima.

a) Calcular R0. b) Calcular la potencia máxima.

Figura 3.41

3.12 Calcular el valor de R para que la red de la figura 3.42 le transfería y determinar el valor de dicha potencia máxima.



Figura 3.42

Respuestas: 3.1 R/ i=-0.5A, V=-42V. 3.2 R/ V=82.5V. 3.3 R/Vk=3.48V. 3.4 R/ Vth=-1/3V, Rth=2.5Ω . 3.5 R/ Isc=7/2A, Rnt=8Ω . 3.6 R/ Vth=38.89V, Rth=177.78Ω , P10Ω =0.43Wts. 3.7 R/ IN=0, RNT=10.64Ω 3.8 R/ Vth=-7.62V, Rth=3.81Ω 3.9 R/ Vth=-9.93V, Rth=3334.56Ω . 3.10 R/ Rth=3.5kΩ , Pmax=4.83Wts. 3.11a R/ R0=5.7kΩ 3.11b R/P=5.7mW. 3.12 R/ Rth=30.29Ω , Pmax=3.28Wts.



CAPITULO IV ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA

4.1 Introducción. Los elementos almacenadores de energía son el capacitor y la bobina o el inductor que son elementos lineales cuya relación voltaje-corriente se describe mediante ecuaciones diferenciales lineales. El capacitor y los inductores tienen la capacidad de absorber energía del circuito, almacenarla temporalmente y regresarla después. 4.2 Capacitores. Un capacitor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía por medio de su campo eléctrico y consiste en dos placas conductoras separadas por un material no conductor o dieléctrico como se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1

Al aplicar el voltaje V se acumula una carga q positiva en una de las placas y una carga q negativa en la otra placa.

q C V (1) Donde C , la constante de proporcionalidad, se conoce como la capacitancia del elemento. La unidad de capacitancia es el FARAD ( )F .



1 1 CoulombFVolt

La capacitancia de un capacitor de placas paralelas está dada por:

ACD

Donde A es el área de la superficie de cada placa, D la distancia entre las placas y es la permitividad del material dieléctrico. Para obtener la relación voltaje-corriente en un capacitor se toma la derivada de ambos lados de la ecuación de definición

q C V

Puesto que

( )dq i tdt

Se tiene ( )( ) dV ti t Cdt

(2)

Tomando en cuenta el convenio de signos para elementos pasivos, siempre habrá una caída de potencial en el sentido del flujo de la corriente entre los terminales de un capacitor como se indica en la figura 4.2.

Figura 4.2



Para explicar el paso de la corriente entre las placas de un capacitor, Maxwell propuso lo que llamó la corriente de desplazamiento que es la corriente que se presenta entre las placas del capacitor, siempre que el voltaje entre las placas cambie en el tiempo. Esta corriente es igual a la que fluye por los terminales del capacitor. De acuerdo a la ecuación (2), si el capacitor se somete a un voltaje constante, la corriente será igual a cero. Esto significa que este elemento se comporta como un circuito abierto con corriente continua. También de esta ecuación se concluye que el voltaje de un capacitor no puede cambiar en una cantidad finita en un tiempo cero, ya que esto implicaría una corriente infinita por el capacitor. De la ecuación (2) se tiene

1 ( )dV i t dtC

Integrando esta expresión desde t hasta algún instante t y suponiendo

que ( ) 0V .

1 ( ) t

V t i x dxC

(3)

Esta forma se puede expresar como dos integrales

0

0

1 1( ) ( ) t t

t

V t i x dx i x dxC C

0

01 ( )

t

t

V t V t i x dxC

(4)



Donde 0( )V t es el voltaje debido a la carga que se acumula en el capacitor

desde t hasta 0t t .

La potencia instantánea que se entrega al capacitor es

dV tp t V t i t C V t

dt (5)

Y la energía almacenada en el campo eléctrico es

V tt

CV

dV xW t C V x dx C V x dV x

dx

21

2

V t

CV

W t C V x

(6)

Si ( ) 0V , entonces

21 2CW t C V t joules

(7)

Esta ecuación representa la energía almacenada por el capacitor que, a su vez, es igual al trabajo realizado por la fuente para cargarlo.

La capacitancia equivalente de N capacitores conectados en paralelo es la suma de los capacitores individuales.

1

N

eq ii

C C

(8)



La capacitancia equivalente de N capacitores conectados en serie es el recíproco de la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales.

1

11eq N

i i

C

C

(9)

Ejemplo 4.1. El voltaje a través de un capacitor de 10uF tiene la forma de onda que se muestra en la figura 4.3a. Determine la forma de onda de la corriente.

Figura 4.3 a

Figura 4.3 b



Solución

3

3

24 4000 0 66 10

24 96 12000 96 6 82 10

0 8ms

V t t t t ms

t t t ms

t

La corriente por el condensador Cdvi cdt

5

5

1 10 4000 40 0 6

1 10 12000 120 6 8 0 8

Ci t mA t ms

mA t mst ms

El grafico de la corriente se muestra en la figura 4.3b. 4.3 Inductores. Un inductor o bobina es un elemento pasivo que consiste en un alambre conductor en forma de rollo o carrete, y que almacena energía por medio de su campo magnético.

Figura 4.4

Se encontró que la relación voltaje-corriente en un inductor es

di tV t L

dt (10)



La constante de proporcionalidad L se llama inductancia y tiene como unidad el henry ( )Volt seg Amp . Según la ecuación (10), si la corriente que circula por un inductor es constante, el voltaje entre sus terminales es igual a cero, independientemente del valor de la corriente. Esto significa que un inductor se comporta como un corto circuito frente a la corriente continua. También se deduce que la corriente por un inductor no puede cambiar bruscamente de un valor finito a otro diferente, pues esto implicaría un voltaje infinito entre los terminales del inductor.

En otras palabras, si se requiere producir un cambio brusco de la corriente por una bobina, se debe someter a un voltaje infinito.

La corriente en un inductor en función del voltaje es:

1 t

i t V x dxL

(11)

0

01 t

t

i t i t V x dxL

(12)

La potencia instantánea en una bobina

di tp t V t i t i t L

dt (13)

Y la energía almacenada en el campo magnético es

( )t t

Ldi xW t p x dx i x L dxdx



Si ( ) 0i entonces

21 ( ) 2LW t Li t joules (14)

La inductancia equivalente de N inductores conectados en serie es la suma de las inductancias individuales

1

N

eq ii

L L

(15)

La inductancia equivalente de N inductores conectados en paralelo es el recíproco de la suma de los recíprocos de las inductancias individuales de cada uno.

1

11eq N

i i

L

L

(16)

Ejemplo 4.2 Por una bobina de 20mh circula una corriente cuya forma de onda se muestra en la figura 4.5a. Determinar la forma de onda del voltaje.

a b

Figura 4.5



Solución

3

3

3

2 10 10 0 22 10

10 40 10 2 4 0 4

i t t t t ms

t t mst ms

LdiV t Ldt

3

3

20 10 10 200 0 2

20 10 10 200 2 4 0 4

V t mV t ms

mV t mst ms



CAPITULO IV ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA

PROBLEMAS PROPUESTOS

4.1 Las capacitancias que se muestran en la red de la figura 4.6 están en picofarad. Calcular la capacitancia equivalente entre los terminales a-b.

Figura 4.6

4.2 Determinar la corriente i(t) que pasa por un capacitor de 1f si se le aplica el voltaje del grafico de la figura 4.7.

Figura 4.7

4.3 Dibuje la onda de voltaje a través de una bobina de 10mh si la corriente que circula por ella esta dada por la forma de onda de la figura 4.8.



Figura 4.8

4.4 Calcular la inductancia total entre los terminales a-b de la red de la figura 4.9.

Figura 4.9

4.5 La red de la figura 4.10 almacena 534.8uJ de energía cuando se conecta una fuente de tensión de 2.5V entre los terminales a-b. Calcular el valor de CX.

Figura 4.10



Respuestas: 4.1 R/ 4pf. 4.3 R/

4.4 R/ 2mh. 4.5 R/ 0.136uf.



CAPITULO V ANÁLISIS DE CIRCUITOS ALIMENTADOS CON CORRIENTE ALTERNA

5.1 Introducción. En éste capitulo nos concentraremos en la determinación de la respuesta forzada de estado estable de redes alimentadas por señales senoidales, y se denominará análisis de C.A. en estado estable.

Cuando un circuito es excitado con una señal senoidal, la respuesta forzada o permanente de voltaje o corriente también tendrá forma senoidal; lo que origina que su análisis matemático se facilite.

5.2 Función De Excitación Senoidal.

Figura 5.1

Esta es una onda de voltaje senoidal definida matemáticamente por:

maxV t V Sen Wt (1) Donde:

maxV : es la amplitud o valor máximo de voltaje.

W : es la frecuencia angular en radianes/segundo.

2WT

(2)



Donde T es el periodo de la señal, en función de la frecuencia

en o 1 ciclosf HertzT seg

2W f (3)

Wt : es el argumento de la función seno.

: es el ángulo de fase.

En este caso la onda de voltaje se adelanta radianes con respecto a la onda max'( ) V t V Sen Wt .

En general en un circuito si max( ) V t V Sen Wt y la corriente

max( ) i t I Sen Wt , entonces ( )V t adelanta a ( )i t en radianes si se dice que el voltaje está en fase con la corriente. Si el voltaje y la corriente están fuera de fase.

Generalmente, el ángulo de fase se expresa en grados.

Aunque el análisis se hizo con la función seno se pudo haber usado la función coseno que en realidad es la más usada. Estas dos formas de onda difieren solo por un ángulo de fase.

90ºCos Wt Sen Wt (4)

90ºSen Wt Cos Wt (5)

Cuando se compara una función senoidal con otra de la misma frecuencia para determinar la diferencia de fase, se deben expresar ambas funciones como senos o como cósenos con amplitud positiva. Para expresar las dos funciones



con amplitud positiva se debe hacer uso de las siguientes identidades trigonometricas:

180ºCos Wt Cos Wt (6)

180ºSen Wt Sen Wt (7)

Por ejemplo, determinar el ángulo de fase entre ( ) 100 1000 30ºV t Cos t y la corriente ( ) 5 1000 60ºi t Sen t . Solución.

( ) 5 1000 60º 180º 5 1000 120ºi t Sen t Sen t

( ) 5 1000 120º 90º 5 1000 30ºi t Cos t Cos t

La señal de voltaje se atrasa 60º con respecto a la señal de corriente. 5.3 Respuesta De Los Elementos Pasivos De Circuitos Alimentados Con Señales Senoidales.

- La resistencia.

Figura 5.2

Si max( ) i t I Cos Wt

max( ) ( ) RV t R i t R I Cos Wt (8)



max( ) RV t V Cos Wt

Donde

max maxV R I

- En un inductor

max( ) i t I Cos Wt

max( ) LdiV t L WL I Sen Wtdt

max( ) 90ºLV t V Cos Wt (9) Donde

Figura 5.3 max maxV WL I En este caso, el voltaje se adelanta 90º con respecto a la corriente.

- En un capacitor

max( ) i t I Cos Wt

0

1( ) ( ) (0)t

C CV t i x dx VC

Si (0) 0CV , entonces

Figura 5.4 max0

1( )t

CV t I CosWxdxC

max max1 1( ) 90ºCV t I Sen Wt I Cos WtWC WC

(10)

En un capacitor el voltaje se atrasa 90º con respecto a la corriente.



En general si un circuito se alimenta con una señal senoidal max( ) V t V Cos Wt , la respuesta forzada de corriente será de la forma

max( )i t I Cos Wt ; por tanto la solución implica determinar maxI y puesto que la frecuencia W es la misma de la señal de excitación. Ejemplo 5.1. Determinar la expresión de la corriente en el circuito de la figura 5.5.

Figura 5.5

Solución. Aplicando LKV se tiene

max( )( ) di tR i t L V Cos Wtdt

(11)

La respuesta forzada tendrá la forma max( )i t I Cos Wt

max max( ) i t I Cos Cos Wt I Sen Sen Wt

1 2( ) i t ACos Wt A Sen Wt (12)

Al sustituir esta forma de ( )i t en la ecuación (11), se tiene:

1 2 1 2 maxdR ACosWt A SenWt L ACosWt A SenWt V CosWtdt



1 2 1 2 maxRACosWt RA SenWt WLASenWt WLA CosWt V CosWt

Igualando los coeficientes

1 2 0AWL RA

1 2 maxRA AWL V

Resolviendo estas dos ecuaciones se tiene

max1 2 2 2

RVAR W L

(13)

max2 2 2 2

WLVAR W L

(14)

Por tanto

max max2 2 2 2 2 2( ) RV WLVi t Cos Wt Sen WtR W L R W L

(15)

Usando la siguiente identidad

2 2 1 (16)( ) Bx t ACos Wt BSen Wt A B Cos Wt TanA

Donde

max2 2 2

RVAR W L

y

max2 2 2

WLVBR W L

2 2 max2 2 2

VA BR W L

y

1 1B WLTan TanA R

La expresión final para ( )i t :



1max2 2 2

( ) V WLi t Cos Wt TanRR W L

(17)

Conclusiones

La amplitud de la respuesta ( )i t es proporcional a la amplitud de la señal de excitación ( )V t .

La amplitud de la respuesta disminuye si W, L o R, aumentan pero no en forma proporcional.

La corriente se atrasa al voltaje en un ángulo igual a 1Tan WL R También se puede concluir que resolver este circuito simple de una malla con

una R y una L resultó algo complicado comparado con el análisis de un circuito en DC con solo resistencias, imagine cuan laborioso sería resolver un circuito más complicado usando este procedimiento. Para evitar esta complicación se desarrolló un procedimiento que establece una correspondencia entre funciones senoidales en el tiempo y números complejos. El método se denomina método fasorial. 5.4 Análisis Fasorial De Circuitos Encontraremos que al utilizar este método la función excitatriz y las respuestas senoidales se representan por medio de números complejos, y las ecuaciones diferenciales en el análisis de circuitos que contienen inductores y capacitores, se transforman en ecuaciones algebraicas en las que los coeficientes de las variables son números complejos. En el circuito serie RL alimentado por max( ) V t V Cos Wt se encontró que la

forma de max( )i t I Cos Wt . Una vez que se determinó maxI y la respuesta quedó completamente definida puesto que con estos dos parámetros queda caracterizada la corriente.



Para introducir el concepto de fasor, se estudiará inicialmente una función de excitación ideal compleja. Idealmente cuando se aplica a un circuito una función de excitación compleja, con parte real y parte imaginaria, se espera que produzca una respuesta también compleja en donde la parte real de la excitación origina la parte real de la respuesta y la parte imaginaria de la respuesta la origina la parte imaginaria de la excitación.

Figura 5.6

En esta red cuando se excita con max( )V t V Cos Wt , la respuesta de

corriente es max( )i t I Cos Wt , y cuando se aplica max'( )V t V Sen Wt ,

la respuesta será max'( )i t I Sen Wt .

Si se aplica una señal imaginaria max''( ) JV t V Sen Wt por linealidad,

la respuesta será max''( ) Ji t I Sen Wt .

Cuando se aplica la señal compleja

max max( ) JV t V Cos Wt V Sen Wt (18)

La respuesta por superposición será:

max max( ) Ji t I Cos Wt I Sen Wt (19)

Aplicando la identidad de Euler, la excitación será

J

maxWtV e

(20)



y la respuesta

J

max( ) Wti t I e (21)

En lugar de aplicar una excitación real para obtener una respuesta real, lo que se hizo fue aplicar una excitación compleja cuya parte real era la excitación dada y se obtuvo una respuesta compleja cuya parte real, es la respuesta real requerida. Se encontrará que la ventaja de este procedimiento es que las ecuaciones integro diferenciales que resultan para calcular la respuesta de estado estable, se convierten en simples ecuaciones algebraicas con números complejos. Apliquemos este procedimiento al mismo circuito RL de la figura 5.5 excitado por max( ) V t V Cos Wt , para calcular nuevamente ( )i t .

Figura 5.5

Como J

max max WtV Cos Wt RE V e , la función compleja será J

max max max J WtV V Cos Wt V Sen Wte . La respuesta compleja se produce en términos de una amplitud desconocida

maxI y un ángulo de fase desconocido .

Jmax

WtI e (22)



Aplicando LKV al circuito

max( )( ) di tRi t L V Cos Wtdt

(23)

Sustituyendo ( )i t y ( )V t por la expresión compleja:

J J Jmax max max

Wt Wt WtdRI L I Vdt

e e e

J J Jmax max maxJWt Wt WtRI WLI Ve e e (24)

Dividiendo por el factor común JWte

J J

max max maxJRI WLI Ve e

Jmax maxJI R WL Ve (25)

J max maxmax 2 2 2 1J ( )

V VIR WL R W L Tan WL R

e

1J max

max 2 2 2

WLJ TanRVI

R W Le e

(26)

Por lo tanto

maxmax 2 2 2

VIR W L

y

1WLTanR



Como J(wt + )

max( )i t RE I e , entonces

1maxmax 2 2 2

(27)( ) V WLi t I Cos Wt Cos Wt TanRR W L

Que concuerda con la respuesta que se logró cuando se resolvió la ecuación diferencial no homogénea. Una corriente o voltaje senoidal a una frecuencia determinada se caracteriza por solo dos parámetros: amplitud y ángulo de fase. La representación compleja del voltaje o la corriente se caracteriza también por los mismos parámetros. Por ejemplo la forma senoidal de la respuesta de corriente es

max( )i t I Cos Wt y su representación en forma compleja es J

maxWtI e

.

Una vez que se determina maxI y , la corriente se define de manera exacta,

por tanto, se podría simplificar la fuente de voltaje representán dola por maxV o J0

maxV e y la corriente por J

maxI e .

Estas cantidades complejas generalmente se escriben en forma polar, de tal manera que si max( ) V t V Cos Wt , entonces su representación en forma

compleja será max 0V y la corriente maxI . La representación compleja recibe el nombre de FASOR. Se usan letras mayúsculas en la representación fasorial de una cantidad eléctrica debido a que el fasor no es una función del tiempo.



Se reconoce esta diferencia refiriéndose a ( )i t como la representación en el

dominio del tiempo, y llamando al fasor I una representación en el dominio de la frecuencia. El proceso mediante el cual ( )i t se transforma en el fasor I recibe el nombre de TRANSFORMACIÓN DEL DOMINIO DEL TIEMPO AL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. Ejemplo 5.2. Convertir ( ) 180 377 20ºV t Cos t e ( ) 4 377 40ºi t Sen t a fasores. Solución.

( ) 180 377 20ºV t Cos t

180 20ºV

( ) 4 377 40º 4 377 50ºi t Sen t Cos t

4 50ºI Ejemplo 5.3. Convertir 220 60ºV del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo si

100 f Hz . Solución. Para 100 f Hz , entonces 200 W rad seg

220 60ºV

( ) 220 200 60ºV t Cos t

3 10º I A

( ) 3 200 10ºi t Cos t



5.5 Relación Fasorial Para Elementos De Circuitos.

- La resistencia. La relación voltaje corriente en una resistencia en el dominio del tiempo es

( ) ( )RV t Ri t (28)

(A) (B)

Figura 5.6

Aplicando el voltaje complejo J

maxWtV e

, resulta la corriente compleja J

maxWtI e

y por tanto la ecuación (28) se convierte en:

J Jmax max

Wt WtV RIe e

J Jmax maxV RIe e (29)

En forma fasorial:

V RI (30) Donde

maxV V e maxI I



Como para el caso de la resistencia, el voltaje y la corriente están en fase. Ejemplo 5.4. Si a una resistencia de 10 se aplica ( ) 110 377 20ºV t Cos t cual será la corriente? Solución. El fasor voltaje 110 20ºV y la corriente fasorial:

110 20º 11 20º10

I

( ) 11 377 20ºi t Cos t

- El inductor

La relación voltaje corriente en una bobina es:

( ) diV t Ldt

(31)

J Jmax max

Wt WtdV L Idt

e e

J J

max maxV JWL Ie e (32) En notación fasorial

V JWL I

(33)



Figura 5.7

Como el operador imaginario J90ºJ 1 1 90ºe , la ecuación (32) se puede

escribir J +90ºJ

max maxV WL Ie e .

El voltaje adelanta la corriente 90º o la corriente está retrasada del voltaje en 90º.

Ejemplo 5.5. ( ) 40 1000 30ºV t Cos t Se aplica a un inductor de 20 mh . Calcular la

corriente resultante.

Solución.

3

40 30º1000 20 10 90º

VIJWL

2 120ºI A

( ) 2 1000 120º i t Cos t A

- El capacitor.

La relación voltaje corriente en un capacitor es

( )( ) dV ti t Cdt

(34)



J Jmax max

Wt WtdI C Vdt

e e

J J

max maxI JWCVe e (35) En notación fasorial

I JWCV (36)

Sustituyendo I por J90º1e en la ecuación K se tiene:

J 90ºJ

max maxI WCVe e (37) En este caso la corriente adelanta al voltaje 90º, o el voltaje se retrasa de la corriente en 90º.

Figura 5.8

Ejemplo 5.6.

Si se aplica ( ) 100 2000 38ºV t Cos t a un capacitor de 200 F , calcular la corriente.



Solución.

100 38ºV

4J 2000 2 10 100 38 90ºI WCV

40 128ºI A

( ) 40 2000 128ºi t Cos t 5.6 Leyes De Kirchhoff Con Fasores. La ley de Kirchhoff de voltaje en el dominio del tiempo es

1 2 3( ) ( ) ( )... ( ) 0nV t V t V t V t (38)

Utilizando la identidad de Euler para sustituir cada voltaje iV por una tensión

compleja que tenga la misma parte real, y se suprime JWte , se obtiene:

1 2 3... 0nV V V V (39)

Lo que significa que la LKV se aplica a los voltajes fasoriales como se aplica en el dominio del tiempo. Mediante un argumento similar se puede probar que la LKI se cumple para las corrientes fasoriales.

Ejemplo 5.7. Analizar el circuito -R L serie usando fasores si max( ) V t V Cos Wt .

Figura 5.9



Solución. Aplicando LKV, se tiene:

JR LV V V RI WLI

Donde max 0V V .

max 0 JV R WL I

1max max2 2 2

0J

V V WLI TanR WL RR W L

1max2 2 2

( ) cos /Vi t wt Tan WL RR W L

5.7 Impedancia. La impedancia de entrada de dos terminales se define como la razón del voltaje fasorial V a la corriente fasorial I , se simboliza por la letra Z y tiene unidades de Ohms. Por ser la razón entre dos números complejos, la impedancia también es una cantidad compleja.

VZI

(22)

Si maxV V e maxI I , entonces:

max

max

VZ Z ZI



En forma rectangular

eR Jq eqZ X (23)

Donde eR q es la componente real, o resistiva y eqX es la componente

imaginaria o reactiva. En general se encontrará que tanto eR q como eqX son

funciones de W y por tanto Z es dependiente de la frecuencia.

eR Jq eqZ X

Donde

2 2eR q eqZ X y

1 XTanR

eR q Z Cos (24)

eqX Z Sen (25)

La impedancia de los elementos pasivos individuales será:

- Para la resistencia:

RR

R

VZ RI

(26)

- Para el inductor:

LL L

L

VZ JWL JXI

(27)

Donde LX se denomina reactancia inductiva.



- En el caso del capacitor:

1CC C

C

VZ JXI JWC

(28)

Donde 1CX WC se denomina reactancia capacitiva. Cuando se analiza un circuito en el dominio de la frecuencia, los elementos pasivos se representan por su impedancia y los voltajes y corrientes por sus fasores correspondientes. La validez de la LKV y LKI en el dominio de la frecuencia se puede usar para mostrar que las impedancias pueden combinarse usando las mismas reglas que

se establecieron para las resistencias. Es decir, si 1Z , 2Z , 3Z … nZ están conectadas en serie, la impedancia equivalente será:

1 2 3...eq nZ Z Z Z Z (29) Si están conectadas en paralelo:

1 2 3

11 1 1 1...

eq

n

Z

Z Z Z Z

(30)

Ejemplo 5.8. Calcular la impedancia equivalente del circuito que se muestra si:

1000W rad seg . Si ( ) 220 (1000 30 )V t Cos t , calcular

( )i t .¿Cuanto vale ( )CV t ?



Figura 5.10

Solución.

30 RZ , 3J J1000 20 10 J20LZ WL

3 6

J 5 J10 10 100 10CZ WC

30 J20 J10 30 J10 31.62 18.43 eqZ

220 30 V V

220 30 6.96 11.56 31.62 18.43eq

VI AZ

( ) 6.96 1000 11.56i t Cos t

J10 6.96 11.56 69.6 78.44 C CV Z I V

( ) 69.6 1000 78.44CV t Cos t

Ejemplo 5.9. Calcular la impedancia equivalente que ve la fuente de corriente alterna y

( )V t .



Figura 5.11

Solución. 20 RZ ,

3 3J 40 10 10 J40LZ

3 6

J J10 10 100 10CZ

20 J40 J1012.40 82.87

20 J40 J10eq R L CZ Z Z Z

eqV Z I Donde:

4 30I 1.54 J12.30eqZ

12.40 82.87 4 30 49.6 112.87V

( ) 49.6 1000 112.87 V t Cos t V

Es importante observar en este caso que la componente real de Z no es igual a la resistencia del resistor del circuito. 5.8 Admitancia De Entrada De Dos Terminales. La admitancia es el recíproco de la impedancia, se simboliza por la letra Y y tiene unidades de Siemens ( s )

1 IYZ V

(31)



Como Z es una cantidad compleja, Y también es un número complejo.

Y Y (32) En forma rectangular

JY G B (33)

Donde G es la Conductancia y B se denomina Susceptancia.

2 2 2 2

1JI R XY J

Z R X R X R X

Por lo tanto

2 2

RGR X

(34)

2 2

XBR X

(35)

De una manera similar se puede demostrar que

2 2

GRG B

y 2 2

BXG B

La unidad de G y B también son los Siemens. La admitancia de los elementos pasivos individuales es:

1RY R (36)



1 JJL

L

YWL X

(37)

JJCC

Y WCX

(38)

Si 1Y , 2Y , 3Y hasta nY están conectados en serie, la

1 2 3 1

1 11 1 1 1 1...

eq n

n i i

Y

Y Y Y Y Y

(39)

Si están conectadas en paralelo

1 2 31

...n

eq n ii

Y Y Y Y Y Y

(40)

Ejemplo 5.10. Calcular la eqY que ve la fuente de voltaje y el fasor I .

Figura 5.12

Solución. 1 0.1

10RY s

1 J0.125 J8LY s



1 J0.0625 J16CY s

0.1 J0.125 J0.0625 0.1 J0.0625 eqY s

0.1 J0.0625 100 20eqI Y V

11.79 12I

La transformación Y a delta y delta a Y también son validas para las impedancias.

Figura 5.13

AB CA

ANAB BC CA

Z ZZZ Z Z

(41)

AB BC

BNAB BC CA

Z ZZZ Z Z

(42)

BC CACN

AB BC CA

Z ZZZ Z Z

(43)



AN BN BN CN CN ANAB

CN

Z Z Z Z Z ZZZ

(42)

AN BN BN CN CN ANBC

AN

Z Z Z Z Z ZZZ

(43)

AN BN BN CN CN ANCA

BN

Z Z Z Z Z ZZZ

(44)

Ejemplo 5.11. Calcular las impedancias equivalentes entre los terminales a-b de la siguiente red.

Figura 5.14

Solución. Transformando la delta dce a una Y equivalente

8 J4 6 J63.068 4.4

8 J4 6 J6+10 J4cNY



10 J4 8 J43.89 18.8

8 J4 6 J6+10 J4dNY

6 J6 10 J43.69 52.77

8 J4 6 J6+10 J4eNY

Figura 5.15a

Figura 5.15b



2 J4 3.068 4.4 15.53 21.38 21.68 25.78 eqZ

19.52 J9.43 eqZ 5.9 Análisis De Circuitos De AC Usando Fasores. Como las leyes de Kirchhoff son validas en el dominio de la frecuencia se pueden usar para calcular Voltajes y Corrientes en estado estable en circuitos de corriente alterna. También las técnicas empleadas en el análisis de circuitos alimentados con corriente continua, como nodos, mallas, los teoremas son validos en los circuitos de AC. Ejemplo 5.12. Calcular I en el circuito que se muestra:

Figura 5.16

Solución. Aplicando el método de nodos: Nodo 1:

1 1 1 2 1 25 0 00.5 J1 J1 J0.5

V V V V V V

1 22 J2 J 10 0 (A)V V



Nodo 2:

2 1 2 1 2 2 5 0 0J1 J0.5 J0.5 1

V V V V V V

1 2J 1 J 5 0 (B)V V Resolviendo:

1 2.24 26.56 V V

2 4.47 63.43 V V

2 8.94 26.57 J0.5VI A

Ejemplo 5.13. Calcular 0V en el circuito de la figura 5.17:

Figura 5.17

Solución. Aplicando el método de mallas:

0 2 1 3J2( ) (2 J6)( ) J4( )V I I I



0 2 1 3J2 (2 J6) J4V I I I

3 4 3 4J4( ) J8( ) J4 J8abV I I I I

2 1 0I

Malla 1:

1 2 310 J6 4 4 40 10 0I I I

1 310 J6 4 43.94 170.91 (A)I I

Súper Malla 3-4:

1 3 2 44 4 J4 6 6 J8 0I I I I

1 3 44 4 J4 6 J8 6 0 (B)I I I

4 3 3 40.4 J4 J8I I I I

3 4(1 J1.6) (1 J3.2) 0 (C)I I

Resolviendo:

1 4.61 134.23I , 2 1 0I , 3 2.73 141.6I

4 1.54 156.25I

0 J2 ( 1 0) (2 J6) (4.61 134.23) J4 (2.73 141.6)V

0 38.23 30.22º V V

Ejemplo 5.14. Calcular 0 ( )V t si ( ) 1000 V t Cos t Volts



Figura 5.18

Solución. En el dominio de la frecuencia.

Figura 5.19

1(1 J2) 0.45 63.44 Z Y sZ

01 0gV V

Aplicando LKV en el nodo A se tiene

0 0 0 0J1 0.5 1 0 0.45 63.44 0V V V V



01.80 19.35 0.5 0V

0 0.28 19.35 V V

0( ) 0.28 1000 19.35V t Cos t

Ejemplo 5.15. Utilizando el principio de superposición calcular I :

Figura 5.20

Solución.

C VI I I

Calculo de CI

Figura 5.21

Aplicando LKI en el nodo V

J3050 J30ab a

VV V



J302 46 0.1 0

50 J30 8 50 J30VV V

0.17 11.99 2 46V

11.76 34.01 V V

1.47 34.01 8CVI A

Calculo de VI

Figura 5.22

1 2

8VV VI

y 21 J12J30

50 J30 10 J12ab

VVV

1 20.51 59.04 0.77 39.8abV V V Donde

2 142 0 0.51 59.04 32.34 39.8abV V V Nodo 1:

1 1 2 0.1 050 J30 8 abV V V V



10.17 11.88º 8.0 14.98ºV

1 47.06 26.86ºV

47.06 26.86º 42 0º2.66 90.05º

8VI

2.20 56.50º C VI I I A

Ejemplo 5.16. Calcular el equivalente Thévenin entre los terminales a-b del circuito de la figura 5.23.

Figura 5.23

Solución.

Cálculo de th abV V

1 24 J8 10abV I I

Súper Malla 1-2:

1 210 0 14 J8 10 0I I



1 214 J8 10 10 0 (A)I I

1 2 1 20.4 4 J8 10I I I I

1 21 1.6 J3.2 5 0I I

1 20.6 J3.2 5 0 (B)I I

Resolviendo

1 20.48 43.45º 0.31 35.93º I A I A

4 8 0.48 43.45º 10 0.31 35.93ºthV J

7.32 26.66º thV V

Calculo de th OC SCZ V I

Figura 5.24

2SCI I

Malla 1:

1 224 J8 14 J8 10 0I I



Malla 2:

1 214 J8 14 J4 0I I

Resolviendo:

1 20.84 21.26º 0.93 35.06º I A I A

7.32 26.66º 7.87 839º 7.79 J1.150.93 35.06ºthZ

Figura 5.25

5.10 Diagrama Fasorial El diagrama Fasorial es un grafico en el plano complejo que muestra las relaciones entre los fasores de Voltaje y los fasores de Corriente de un circuito especifico; ofrece también un método grafico para resolver ciertos problemas y se puede utilizar para verificar los métodos de análisis ya vistos. Puesto que los voltajes y corrientes son números complejos, se pueden identificar como puntos en el plano complejo. Ejemplo 5.17.

El fasor del voltaje 1 10 53.1º , 6 J8V V se muestra en el grafico siguiente mediante una flecha dibujada desde el origen.



Figura 5.26

La suma del fasor 1V con el fasor 2 5 53.1º , 3 J4V V se muestra en el siguiente grafico

Figura 5.27



Si el voltaje 1V alimenta una admitancia 1 1 J1Y s , la corriente resultante

1 1 1 1 11 J1 2 45ºI YV V V .

Figura 5.28

En los diagramas en donde se registran tanto los fasores de corriente como los de voltaje, cada uno debe tener su propia escala de amplitud, pero una escala de ángulo común; por ejemplo 1 cm. de largo podrá representar 200 Volts, mientras que 1 cm. de longitud podrá indicar 1 mA.

Ejemplo 5.18. Dibujar el diagrama fasorial del siguiente circuito

Figura 5.29



Solución. Por conveniencia, para hacer el diagrama fasorial se selecciona a V como fasor de referencia y se le asigna arbitrariamente un ángulo de fase de 0° por tanto, se deben medir todas las corrientes con respecto a este fasor referencia. En el nodo V:

J J WCR L CV V VI I I IR WL

Como max 0ºV V , entonces

max maxmax0º 90º 90ºV VI WCV

R WL

El diagrama fasorial correspondiente será

Figura 5.30



Para valores pequeños de W , la magnitud de LI es mayor que la de CI y la

corriente total I será:

Figura 5.31

Para valores grandes de W la magnitud de CI es mayor que la magnitud de

LI , como se muestra en el siguiente grafico:

Figura 5.32



Observe que conforme W se incrementa manteniendo fijos , R L y C , el

fasor I se mueve de 1I a nI a lo largo del lugar geométrico especificado por la línea punteada que se muestra en el siguiente grafico:

Figura 5.33

El fasor I está en fase con V cuando C LI I , es decir cuando 1 WCWL

01WLC

Este resultado también se puede ver de

1 1J WC eqI V Y VR WL

Cuando 1WCWL

, entonces 1

eqY R



Ejemplo 5.19. Determinar el diagrama fasorial del siguiente circuito.

Figura 5.34

Solución. Tomando como referencia max 0ºI I , y aplicando LKV

90 90ºR L CIV V V V IR WLIWC

Para 377 , 6W rad seg WL y 1 2WC

4 6 90º 2 90º 4 J4V I I I I

5.66 45ºV I



Figura 5.35

Ejemplo 5.20. Calcular por diagrama fasorial I en el siguiente circuito

Figura 5.36

Solución.

Tomando como referencia max 0ºV V

R L CI I I I

maxmax

0º 0.5 0º 2R

VI V A



max maxmax

0º 45º 0.707 45º 1 J1 2LV VI V A

maxmax

0º 2 90º J0.5C

VI V A

Figura 5.37

Ejemplo 5.21. Por diagrama fasorial calcular ( )V s si:

1 1 21

1 2WL R RWC

2 22

1 4WL RWC



Figura 5.38

Solución. Asumiendo como base el modulo de 2R y como referencia 0ºV V .

22 2 1 2 2 2 2 2

0º 0º 0ºJ J J4 J2 J2V V VI

R WL WC R R R R R

1

222

20.447 63.43º

5

V Tan VIRR

12 2 2

0º 0º 0.25 90ºJ 4 90ºV V VIWC R R

1 22 2

0.447 63.43º 0.25 90ºV VI I IR R

2 2

0.447 63.43º 0.25 90º 0.25 36.86V VIR R

1 1 1J 0ºSV R WL I V

2 22

2 J2 0.25 36.86 0ºSVV R R VR



0.5 2 ( 36.86 45º) 0ºSV V V

0º 0.707 8.14 1SV V

1.7 3.37º SV V V

Figura 5.40



CAPITULO V CIRCUITOS ALIMENTADOS CON CORRIENTE ALTERNA


5.1 Determinar el ángulo de fase entre ( ) 120 (377 40º )V t Sen t e ( ) 4 (377 10º )i t Cos t .

5.2 Si V(t)=-50 Cos wt – 30 Sen wt e i(t) = 55 Cos wt – 15 Sen wt , determinar la amplitud de V(t) y de i(t) y el ángulo de fase.

5.3 Si el voltaje entre los terminales de una bobina es V(t)=100 Cos(200t+40º) cuanto vale la corriente si L=10mh.

5.4 Calcular i(t) en el circuito de la figura 5.41.

Figura 5.41

5.5 Calcular la impedancia equivalente Z de la red que se muestra en la figura 5.42 si la frecuencia es 60Hz.

Figura 5.42



5.6 Calcular la admitancia equivalente entre los terminales a-b de la red de la figura 5.43.

Figura 5.43

5.7 En el circuito de la figura 5.44, V(t)=51.5 Cos(10t+101.31º) V, calcular Vs(t).

Figura 5.44

5.8 Calcular el equivalente Thevenin entre los terminales a-d del circuito de la figura 5.45.

Figura 5.45



5.9 Si en el circuito de la figura 5.46, i(t)=6.052 Cos(200t-30.13º) A cuando V(t)=100 Cos(200t+20º), calcular R y L.

Figura 5.46

5.10 Calcular el equivalente Thevenin entre los terminales a-b del circuito de la figura 5.47. Explicar el resultado.

Figura 5.47

5.11 Calcular usando el método de nodos Vab en el circuito de la figura 5.48.

Figura 5.48



5.12 Calcular el equivalente Norton entre los terminales a-b del circuito de la figura 5.49.

Figura 5.49


Figura 5.50

5.14 Calcular Vac en el circuito de la figura 5.51.



Figura 5.51


Figura 5.52

5.16 a) Calcular por diagrama fasorial la corriente I, asumiendo como referencia V = 1 ∡ 0 º V en el circuito de la figura 5 .5 3 . b) ¿C uánto valdrá Ix cuando V s= 1 2∡ 0 º V ?



Figura 5.53

Respuestas 5.1 R/ 60º. 5.2 R/ Vmax=58.3, Imax= 5 7 .0 , θ= 13 3 .8 º. 5.3 R/ i(t)=50 Cos(200t-50º). 5.4 R/ 0.671 Cos(500t-26.6º) A. 5.5 R/ Z=5.09+j4.96 Ω . 5.6 R/ 1/6 s. 5.7 R/ Vs(t)=132.87 Cos(10t+5.23º) V. 5.8 R / V th= 1 3 .3 3 ∡ -9 0 º, Zth= 8 .4 3 ∡ 1 8 .44 º. 5.9 R/ R=4Ω , L=0.03h. 5.10 R / V th= 5 .6 6 ∡ 1 3 5 º, Zth= -1+j2Ω . 5.11 R/ Vab= 79 .64 ∡ -10.46º V. 5.12 R / Isc= 1 .6 6 ∡ -45.22º, Znt=3514.12∡ 5 .22 º. 5.13 R / Isc= 0 .0 1 74 ∡ -16 6 .2 5 º, Znt= 41 5 1.0 4 ∡ 0 .68 º. 5.14 R/ Vac=18.38 Cos(2000t-136.023º) + 3.132 Cos(1000t-88.75º) V. 5.15 R / Isc= 1 2.1 6∡ 1 17 .22 º, Znt= 8 .57 ∡ -170.052º. 5.16a R / I= 2.2 36 ∡ 26 .56 . 5.16b R / Ix= 1 .5∡ 0 º A .



CAPITULO VI

ANALISIS TRANSITORIO DE CIRCUITOS

6.1 Introducción. Todo sistema ya sea eléctrico, mecánico, hidráulico que contenga elementos almacenadotes de energía, se oponen a los cambios súbitos de las señales, y este hecho origina un periodo de tiempo durante el cual, el sistema se acomoda a las nuevas condiciones del sistema. Este periodo de tiempo se conoce como Régimen Transitorio y su nombre se debe a que desaparece cuando el sistema llega a su estado estable. Cuando se estudiaron los capacitares y las bobinas, se encontró que eran capaces de almacenar energía eléctrica. Específicamente se encontró que en un capacitor cargado, la energía se almacena en el campo eléctrico que existe entre las placas cargadas positiva y negativamente. Esta energía almacenada se puede liberar si se conecta un circuito a través del capacitor que proporcione una trayectoria por la cual circule corriente. La razón por la cual se descarga la energía es una función directa de los elementos del circuito que se conecte al capacitor. Los transitorios se presentan cuando se efectúan operaciones de suicheo en circuitos que contienen capacitares o bobinas, para entrar o sacar fuentes o elementos pasivos. Como la bobina se opone a cambios bruscos de su corriente, y en 0t se realiza una operación de conmutación, se puede afirmar que:

(0 ) (0) (0 )L L Li i i (1)



Que significa que la corriente por una bobina un instante antes de la operación

de conmutación (0 ) es igual a la corriente en el momento de la operación

(0) y es igual un instante después de la operación de conmutación (0 ) . De igual manera, como el capacitor se opone a los cambios súbitos del voltaje entre sus terminales, se afirma que:

(0 ) (0) (0 )C C CV V V (2) Debido a este hecho, por una operación de conmutación es posible llegar a un circuito sin fuentes independientes pero con energía acumulada en un inductor o capacitor. En estos casos cuando no se presentan fuentes o funciones forzadas, la respuesta se denomina respuesta natural debido a que su forma depende solo de la naturaleza del circuito. 6.2 Circuito RL Miremos el siguiente circuito

Figura 6.1

El interruptor K ha estado cerrado por un largo periodo y en 0t se abre. Estamos interesados en calcular la corriente ( )i t para 0t seg.



En 0t el interruptor está cerrado e 1 0(0 )i V R I (recuerde que la bobina se comporta como un cortocircuito frente a la corriente continua). La energía almacenada en L será:

20

12LW LI

Para 0t s el circuito queda.

Figura 6.2

Aplicando LKV se tiene:

( )( ) 0di tRi t Ldt

( ) ( ) 0di t R i tdt L

(3)

Que es una ecuación diferencial lineal homogénea. Se obtiene la solución cuando encontremos una expresión para la variable dependiente ( )i t que satisface la ecuación diferencial y la distribución de energía existente en el inductor en 0t . Para resolver la ecuación (3) por separación de variables



( )( )di t R dti t L

(4)

Puesto que la corriente es 0I en 0t e ( )i t en el tiempo t , se igualan las dos integrales definidas con los límites correspondientes.

0

( )

0

' ''

i t t

I

di R dti L

(5)

0

( )

0

Ln ' 't

i t

I

Ri tL

0Ln ( ) Ln Ri t I tL

0

( )Ln i t R tI L

0( ) R L ti t I e (6)

Haciendo uso de un método alternativo, luego de separar las variables se tendría la integral indefinida de cada lado de la ecuación (4) incluyendo la constante de integración K .

( )( )di t R dt Ki t L

(7)

La integración origina:

Ln ( ) Ri t t KL

(8)



La constante de integración debe elegirse de tal manera que satisfaga la

condición inicial 0(0)i I .

Así, al evaluar la ecuación (8) en 0t se convierte en

0Ln I K

Empleando este valor de K en la ecuación (8), se tiene

0Ln ( ) Ln Ri t t IL

0( ) R L ti t I e (6)

Llegando al mismo resultado.

La ecuación (6) define la forma general de la solución de circuitos transitorios de primer orden, es decir, representa la solución de la ecuación diferencial que describe una corriente o voltaje en cualquier elemento de la red.

La potencia instantánea que se disipa en el resistor es igual a

22 20( ) ( ) R L t

RP t Ri t I Re (9)

Y la energía que se convierte en calor en R se calcula integrando la potencia instantánea desde el tiempo cero hasta infinito.

2200

R L tRW I R dte

22 20 0

0

12 2

R L tR

LW I R LIRe



Valor que coincide como se esperaba con la energía total almacenada al principio en la bobina. Por tanto, toda la energía inicial almacenada en L , se

disipa en R .

Ejemplo 6.1. El interruptor ha estado cerrado durante mucho tiempo. Si en 0t se abre, calcular ( )i t para 0t .

Figura 6.3

Solución.

Calculo de la corriente por la bobina en 0t

Figura 6.4

24 2448 20 10 54.67eq

VIR



0.44 I A

20(0 ) 0.29 30LIi A

Para 0t el circuito queda

Figura 6.5

Donde

10 20 40 17.14 eqR

De acuerdo a los resultados anteriores se tiene que

85.7( ) eqR L t ti t K Ke e

Aplicando la condición inicial

(0 ) (0 ) 0.29i i K 85.7( ) 0.29 ti t e

Es importante tener en cuenta que cualquier voltaje o corriente del circuito

tendrá la forma 85.7tKe , donde K depende de las condiciones iniciales de esa

corriente o voltaje.



Análisis de la respuesta. Se encontró que la forma de la respuesta de la corriente por una bobina en un circuito RL sin fuente es

0( ) R L ti t I e

En 0t , la corriente tiene el valor 0I , y a medida que el tiempo aumenta, la corriente disminuye y se aproxima a cero.

La forma de este decaimiento exponencial se observa en la grafica 0( )i t I en función del tiempo.

Figura 6.6

Puesto que la función que se grafica es R L te

, la curva no varia sí R L se

mantiene constante, pero por ejemplo si se duplica la razón entre L y R , entonces la corriente tarda más en decaer hasta cualquier fracción de su valor original, cuando la razón entre L y R disminuye sucederá lo contrario, es decir, la curva decae más rápido.



6.3 Constante De Tiempo τ La constante de tiempo es el tiempo que se requerirá para que la corriente decrezca hasta cero si continuara disminuyendo a su tasa inicial.

La tasa inicial se calcula evaluando la derivada de 0( )i t I con respecto al

tiempo evaluada en 0t

0( ) R L td i t I Rdt L

e

0

0

( ) 1

t

d i t I Rdt L L R

La ecuación de decaimiento constante será la de una recta que no pasa por el origen.

0

( ) 1/

i t mt b t bI L R

En 0t 0(0) 1i I , entonces, 1b .

0

( ) 1 1i t tI L R

Por lo tanto cuando

0

( ) 10 1i tI L R

LR

(10)



La relación L R se mide en segundos, pues el exponente ( )t L R debe ser adimensional.

Generalmente, se mide el decaimiento de la variable, en este caso la corriente, a intervalos de tiempo iguales a una constante de tiempo .

Para t , se tiene

1

0

( ) 0.3679t

i tI

e

0( ) 0.3679i I

Así en una constante de tiempo la respuesta disminuyó hasta 36.8% de su valor inicial.

0(2 ) 0.135i I

0(4 ) 0.0183i I

0(5 ) 0.00673i I Se puede considerar que después de 5 , la respuesta es una fracción

despreciable del valor inicial 0I (menos del 1%). 6.4 Circuito RC Puesto que en un capacitor las pérdidas son menos que en una bobina y que además, son de menor costo, su modelo matemático concuerda mejor con el comportamiento real del dispositivo y su tamaño y peso son menores, los circuitos RC son más usados que los RL .



Figura 6.7

Si en 0t se abre el interruptor que había estado cerrado mucho tiempo en el circuito que se muestra, se determinará ( )V t para 0t .

En 0t , 2 1 2 0(0 ) ( )CV R V R R V

ya que el capacitor en 0t se está comportando como un circuito abierto por estar alimentado por una fuente de DC. La energía almacenada es:

20

12CW CV (11)

Para 0t el circuito queda:

Figura 6.8

La corriente total que sale del nodo superior debe ser igual a cero.



( ) ( ) 0C Ri t i t

( ) ( ) 0dV t V tCdt R

( ) 1 ( ) 0dV t V tdt RC

(12) La similitud de ésta ecuación con la que resultó en el caso del circuito RL , nos lleva a que ( )V t en el circuito RC e ( )i t en el circuito RL , tengan expresiones idénticas.

10( ) (0) RC tt RCV t V Ve e (13)

Si se escoge la corriente ( )i t como variable en lugar de ( )V t , al aplicar LKV se tiene:

( ) ( ) 0CR i t V t

0

1( ) '( ) ' (0) 0t

R i t i t dt VC

Al derivar ésta ecuación se tiene:

( ) 1 ( ) 0di tR i tdt C

Sustituyendo ( )i t por ( )V t R se obtiene de nuevo la ecuación (12):

( ) 1 ( ) 0dV t V tdt RC



Volviendo a la expresión de voltaje en el capacitor se tiene que el voltaje en

0t es igual a la condición inicial y a medida que el tiempo aumenta, el voltaje tiende a cero. La energía inicial en el capacitor se disipa en forma de calor en el resistor. La constante de tiempo del circuito RC se puede determinar calculando el tiempo en que la respuesta disminuye hasta el 36.79% de su valor inicial.

0 00.3679 RCV V e

RC (14) Valores más grandes de R o C , originan constantes de tiempo mayores y una disipación más lenta de la energía almacenada. Una resistencia mayor disipará una potencia mas pequeña con un voltaje determinado entre sus terminales, por lo que requiere mayor tiempo para convertir la energía almacenada en calor; una capacitancia mas grande, almacena mayor energía para un voltaje determinado en ella, lo que también implica un mayor tiempo para disipar su energía inicial. También muchos circuitos RC contienen más de una resistencia y más de un capacitor. Cuando tiene un solo condensador y varias resistencias se puede sustituir la red resistiva de dos terminales que se encuentran en los terminales del capacitor por un resistor equivalente y luego se puede escribir la expresión para el voltaje en el capacitor. Ejemplo 6.2. Calcular 0 ( )V t para 0t en el circuito que se muestra



Figura 6.9

Solución.

Se calculará inicialmente ( )CV t para 0t y luego por divisor de voltaje se

calculará 0 ( )V t .

02 1( ) ( ) ( )6 3C CV t V t V t

6k 12(0 ) (0 ) 8 9kC CV V V

Para 0t

Figura 6.10



3 66 10 100 10 0.6eqR C 0.6( ) t

CV t Ke Aplicando la condición inicial

(0 ) 8CV K 1.67( ) 8 t

CV t e

1.670

8( )3

tV t e

También muchos circuitos RC contienen más de una resistencia y más de un capacitor. Cuando tiene un solo condensador y varias resistencias, se puede sustituir la red resistiva de dos terminales que se encuentra en los terminales del capacitor por un resistor equivalente, y luego se puede escribir la expresión para el voltaje en el capacitor. 6.5 Circuito Equivalente Del Inductor y El Capacitor Con Energía Acumulada En El Dominio De La Place

Para el inductor, por el cual circula (0 )i , partiendo del dominio del

tiempo.

Figura 6.11

( )( )Ldi tV t Ldt



Transformando a La Place

( ) ( ) (0 ) (A)LV S SLI S Li

( ) (0 )( ) (B)LV S iI SSL S

Los circuitos equivalentes utilizando fuentes con la condición inicial (0 )i :

(A) (B)

Figura 6.12

En el caso del capacitor sometido a un voltaje en 0t de valor (0 )V

En el dominio del tiempo

0

1( ) '( ) ' (0 )t

C CV t i t dt VC

Figura 6.13

Transformando a La Place

1 (0 )( ) ( ) (C)CVV S I S

SC S



( )( ) (0 ) (D)1CV SI S C VSC

Los circuitos equivalentes:

(C) (D)

Figura 6.14 Ejemplo 6.3.

En la siguiente red 0(0 )i I y 0(0 )CV V . Calcular ( )i t para

0t .

Figura 6.15

Solución. Transformando el circuito al dominio de La Place



Figura 6.16

Aplicando LKV se tiene:

00

1( ) ( ) 0VSLI S LI I SSC S

00

1( ) VI S SL LISC S

0 00 0

0 02

2( ) 1 J J1

V VSI SICSLI CV L LI SLCS S S SLC LC LC

Si 01 LC W :

00

1 2

0 0

( )J J J J

VSI K KLI SS W S W S W S W

Donde

0

00

0 01

0 0

J

JJ 2 2

S W

VSI I VLKS W W L



0

00

0 02

0 0

J

JJ 2 2

S W

VSI I VLKS W W L

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

2 2 JV 2 JV 2( )J J J J

I I W L W LI SS W S W S W S W

10 0 0 0J J J J0 0

0

J( ) ( )2 2

W t W t W t W tI Vi t I SW L

e e e e L

0 0 0 0J J J J0

00

( )2 J2

W t W t W t W tVi t IW L

e e e e

00 0 0

0

( ) Vi t I Cos W t Sen W tW L

2

2 10 00 02 2

0 0 0

( ) V Vi t I Cos W t TanW L W LI

6.6 Circuitos Con Fuente Se estudiarán ahora el tipo de respuesta que se produce cuando por una operación de conmutación, se introduce de forma súbita fuentes de energía a un circuito con Inductores y Capacitares.



En estos casos se entenderá que la fuente se aplica en el tiempo cero, por tanto la fuente es nula hasta el instante en que se cierra el interruptor y de ahí en adelante es igual a la tensión o corriente de la fuente.

La fuente o función forzada tiene un rompimiento o discontinuidad, en el instante en que se cierra el interruptor. También se pueden presentar casos en los cuales ya exista energía almacenada en los elementos reactivos en el momento de la conmutación. Ciertas funciones forzadas que son discontinuas o tienen derivadas discontinuas se denominan funciones singulares, como la función escalón unitario y la función impulso unitario.

6.7 Función Escalón Unitario Esta función forzada se representa por la letra u y se define como una función del tiempo que es nula para todos los valores de su argumento que son menores que cero y que es la unidad para todos los valores positivos de su argumento.

0u t t (15) La función debe ser cero para todos los valores de t menores que 0t , y será la

unidad para todos los valores de t mayores que 0t . En 0t t , cambia en

forma abrupta de cero a uno. Su valor en 0t t no está definido.

0( ) 0u t y 0( ) 1u t

La definición matemática



Figura 6.17

Si 0 0t , entonces:

Figura 6.18

La función escalón unitario es adimensional de tal manera que si se quiere

representar un voltaje, es necesario multiplicar 0u t t por un voltaje

como ( ) 5 0.1 V t u t V constituye una fuente ideal de voltaje que es

cero antes de 0.1t y una constante de 5 V después de 0.1 t s .

00

0

0 1 t tt tu t t

0 01 0ttu t



(A) (B)

Figura 6.19

El circuito B es el equivalente exacto para la función escalón unitario de la grafica A.

Miremos el siguiente caso:

(A) (B)

Figura 6.20

Como el interruptor del circuito A se cierra en 0t , es evidente que la corriente ( )i t es nula antes de 0t , en consecuencia se puede sustituir la

batería y el interruptor por ( )Vu t , como se muestra en el circuito B. después

de 0t , los dos circuitos son idénticos.

Al aplicar LKV al circuito B, se tiene

( )( ) ( )di tRi t L Vu tdt



Como para 0t la fuente vale cero, entonces (0 ) 0i . En el tiempo positivo ( ) 1u t y la ecuación queda:

( )( ) di tRi t L Vdt

(16) Esta es una ecuación diferencial no homogénea de primer orden, cuya solución esta conformada por dos partes; la respuesta natural y la respuesta forzada.

( ) ( ) ( )n fi t i t i t (17)

La forma de la respuesta natural ( )ni t es la misma que se obtuvo sin fuentes, es decir se sustituye la fuente de voltaje por un cortocircuito y queda la ecuación:

( ) ( ) 0di tL Ri tdt

Ya se sabe que la solución de esta ecuación es:

1( ) R L t

ni t K e (18)

Donde 1K depende no solamente de la condición inicial sino también de la amplitud de la fuente.

La segunda parte de la respuesta ( )fi t en este caso particular debe ser

constante, debido a que la fuente es una constante V para todos los valores positivos del tiempo. Por lo tanto, cuando el tiempo tiende a infinito la



respuesta natural se desvanece, no hay voltaje en el inductor y el voltaje V aparece entre los terminales de R de modo que la respuesta forzada es:

( )fVi tR

(19) Combinando las dos respuestas se obtiene:

1( ) R L t Vi t K

Re (20)

Para calcular 1K se aplica la condición inicial. Como (0 )i es cero y esta

corriente no puede cambiar su valor en forma instantánea por el inductor, se

cumple que (0 )i también es cero.

10 VKR

1VKR

Y por tanto:

( ) 1 ( )R L tVi t u tR

e (21)



Figura 6.21

En resumen, la respuesta natural es una característica del circuito y no de la fuente. Su forma se puede determinar a partir del circuito sin fuente pero su

amplitud 1K depende de la amplitud de la fuente y de la energía almacenada inicialmente. La respuesta forzada tiene la forma de la función de excitación y se calcula suponiendo que los interruptores se cerrarán o abrirán mucho tiempo atrás. Ejemplo 6.4. Calcular ( )i t para 0t en el siguiente circuito.

Figura 6.22



Solución. Calculo de la condición inicial

24(0 ) 6 4

i A (la L se está comportando como un corto)

La respuesta forzada 24 12( ) 9

4fi t A

Para calcular la respuesta natural se anulan las fuentes de voltaje:

Figura 6.23

3eq

L R sR

1.52 31 1( )

tt

ni t K Ke e

1.5

1( ) 9 ti t K e

1 1(0 ) (0 ) 6 9 3i i K K

1.5( ) 3 3 ( )ti t u te



Ejemplo 6.5. Calcular ( )i t para 0t en el siguiente circuito.

Figura 6.24

Solución. Cálculo de la condición inicial

10 10'(0 ) 2.06 20 10 4 2 2.86

i A

10(0 ) '(0 ) 1.47 14

i i A

Para 0t el circuito será:

Figura 6.25



2 10 1.67 eqR

( ) ( ) ( )p ni t i t i t

Cálculo de ( )pi t :

Figura 6.26

Malla 1:

1 25.67 J20 J20 20 20ºI I Malla 2:

1 2J20 8 J20 0I I

1 21.55 7.62º 1.44 29.42º I A I A

1 2 0.58 60.66ºpI I I

( ) 0.58 100 60.66ºpi t Cos t

Calculo de ( )ni t :

Figura 6.27



5.67 8 3.32 eqR

( ) tni t Ke

0.06LR

16.67( )nti t Ke

16.67( ) 0.58 100 60.66º ti t Cos t Ke

Para calcular K se aplica la condición inicial:

(0 ) (0 ) 1.47 0.58 60.66i i Cos K

1.18K

16.67( ) 0.58 100 60.66º 1.18 ( )ti t Cos t u te La respuesta completa del circuito RC también se obtiene como la suma de la respuesta natural y la forzada. Ejemplo 6.6. Calcular ( )V t en el circuito de la figura 6.28.

Figura 6.28



Solución.

Calculo de (0 )V

Figura 6.29

24 20 10(0 ) 10.91

8 20 10V V

Para 0t :

Figura 6.30

8 20 5.71 eqR

( ) ( ) ( )p nV t V t V t



Cálculo de ( )pV t :

Figura 6.31

' 10 3.63 eq eqR R

48 3.63( ) 12.78 10 3.63pV t V

Cálculo de ( )nV t :

Figura 6.32

Donde :

'' 4 ' 10 6.66 eq eqR R

( )ntV t Ke donde '' 0.33eqR C

0.33( ) 12.78 tV t Ke



Aplicando la condición inicial para calcular K :

(0 ) (0 ) 10.91 12.78 1.87V V K K 3.03( ) 12.78 1.87 ( )tV t u te

Ejemplo 6.7.

Figura 6.33

El conmutable ha estado en la posición A durante mucho tiempo. Si en 0 t s pasa rápidamente a la posición B, calcular ( )V t para 0t . Solución Para 0t en estado estable.

Figura 6.34



Cálculo de (0 )CV

: Nodo VC:

2 30 0100 50 J20C C CV V V

34.30 29.04º CV V

( ) 34.30 1000 29.04º CV t Cos t V

(0 ) 34.30 29.04º 29.99 CV Cos V Para 0t :

Figura 6.35

( ) ( ) ( )C CC p nV t V t V t

Calculo de ( )Cp

V t :

Figura 6.36



100 00

50 J20 10p p pC C CV V V

0.13 22.62 10 0pC

V

76.92 22.62pC

V

( ) 76.92 22.62ºCp

V t

( ) 76.92 1000 22.62ºCp

V t Cos t

Cálculo de ( )Cn

V t :

Figura 6.37

eqCR donde 50 10 8.33eqR

44.16 10 2400.96( )

Cnt tV t K Ke e

2400.96( ) 76.92 1000 22.62ºCtV t Cos t Ke

(0 ) (0 ) 29.99 76.92 22.62C CV V Cos K

41.01K



2400.96( ) 76.92 1000 22.62º 41.01 ( )CtV t Cos t u te

6 .8 Función Im pulso U nitario δ(t) La primera derivada de la función escalón unitario es la función impulso.

( )( ) du ttdt

(22) Como la función escalón unitario es constante e igual a cero cuando su argumento es negativo, su derivada también debe ser igual a cero, y lo mismo sucede cuando su argumento es positivo. En otras palabras la función impulso

( )t debe ser igual a cero para todo t excepto cuando 0t .

( ) 0t para todo 0t

( ) 1t dt

(23)

Una consecuencia inmediata de la ecuación (23), es que el escalón unitario es la integral del impulso unitario.

( ) ( )u t d



Se considera que el valor del impulso unitario en 0t es infinito.

Figura 6.38

Ejemplo 6.8. Calcular ( )i t para todo t en el siguiente circuito.

Figura 6.39

( )( ) ( )dV u ti t C C d C tdt dt

Figura 6.40



Ejemplo 6.9. Calcular ( )V t en el siguiente circuito.

Figura 6.41

0

0 0

1 1 1( ) ( ) ( )t

CV i d d u tC C C

Figura 6.42

Ejemplo 6.10. Calcular ( )V t en el siguiente circuito.

Figura 6.43



( )( ) ( )Ldi du tV t L L L tdt dt

Figura 6.44

Ejemplo 6.11. Calcular ( )i t en el circuito de la figura 6.45.

Figura 6.45

0

0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )t

Li t V d d u tL L L



Figura 6.46

Ejemplo 6.12.

Si en el siguiente circuito (0 ) 0V , calcular:

a) ( )V t cuando ( ) ( )i t t .

b) Calcular ( )Ci t .

Figura 6.47

Solución.

a) en 0t el circuito será:

Figura 6.48



1( ) RC tV t Ke

En 0t cuando se produce el impulso de corriente el capacitor se comporta

como un corto circuito (0) 0V , lo que origina que el impulso de

corriente fluya por C y no por R . Este impulso de corriente produce un cambio instantáneo del voltaje en C .

0

0

1 1( ) ( )CV d u tC C

Por lo tanto (0 ) 1CV C (condición inicial) Aplicando esta condición inicial se tiene:

1(0 )CV KC

11( ) ( )RC tV t u tCe

Por La Place:

( )C CV dVC tR dt

( ) ( ) 1V S SCV SR

1 1( ) 1 1CV S

SC SR RC



1 11( ) ( ) ( )RC tV t V S u tCe L

b)

1 01 1( ) ( ) ( )RC tCC

dVi t C C u t tdt C RC

e e

11( ) ( ) ( )RC t

Ci t t u tRCe

Figura 6.49

6.9 Análisis Transitorio de Circuitos RLC La presencia de inductores y capacitores en un mismo circuito produce un sistema de segundo orden, que está constituido por una ecuación diferencial que incluye una derivada de segundo orden, o dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Esto significa que se tendrá que evaluar dos constantes arbitrarias y se requerirá determinar condiciones iniciales para la derivada de la variable que se está investigando.



Se inicia esta parte del curso determinando la respuesta natural del circuito paralelo RLC sin fuentes después de la conmutación pero con energía atrapada en L o C , o en ambos. Luego se incluirán fuentes de D.C. o A.C. con interruptor o fuentes escalón y se podrán obtener respuestas conformadas por la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada.

La combinación en paralelo de estos 3 elementos simples es un modelo adecuado en muchas redes de comunicación y en filtros de supresión de armónicos utilizados en sistemas de potencia.

Figura 6.50

En este circuito el interruptor ha estado cerrado desde hace mucho tiempo y en 0t se abre. En estado estable en 0t el inductor se comporta como un

cortocircuito y el capacitor como un circuito abierto puesto que la fuente es de D.C.

0(0 ) 'Vi IR

(0 ) 0V


Figura 6.51



La ecuación del nodo será:

0

( ) 1 ( ) ( ) (0) 0tV t dV tV d i C

R L dt (24)

Al diferenciar ambos lados de la ecuación (24) se obtiene una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

2

2

( ) 1 ( ) 1 ( ) 0d V t dV tC V tdt R dt L

(25)

Cuya solución ( )V t es la respuesta natural deseada. La solución de esta ecuación también tendrá forma exponencial.

( ) stV t Ke (26)

Donde K y S podrán ser números reales o complejos.

( ) stdV t KSdt

e y

22

2

( ) std V t KSdt

e

Al sustituir la solución propuesta en la ecuación (25), se obtiene:

2 1 1 0st st stCKS KS KR L

e e e

2 1 0st SK CSR L

e

Para que se satisfaga esta ecuación para todo t se debe cumplir que:

2 1 0SCSR L



2 1 1 0SRC LC

(27)

Que es la ecuación auxiliar o ecuación característica. Las dos soluciones de esta ecuación son:

2

11 1 1

2 2S

RC RC LC

2

21 1 1

2 2S

RC RC LC

Donde cualquiera de estos dos valores de S satisfacen la ecuación diferencial. Además 1S y 2S podrán ser números reales o números complejos conjugados

dependiendo de los valores de R , L y C .

Si se sustituye S por 1S en la ecuación (26) se obtiene:

11 1( ) S tV t K e

Y de manera similar:

22 2( ) S tV t K e

Las dos soluciones satisfacen la ecuación diferencial y la suma de ambas soluciones también es una solución. De este modo se tiene la forma general de la respuesta natural.

1 21 2( ) S t S tV t K Ke e (28)



En donde 1K y 2K son dos constantes arbitrarias que se deben seleccionar para satisfacer las dos condiciones iniciales que se presentan en estos casos. Puesto que los exponentes 1S t y 2S t deben ser adimensionales, las unidades

de 1 2RC y 1 LC deben ser 1S o frecuencias. 1 2RC se representa por y se denomina frecuencia de Neper o el

coeficiente de amortiguamiento exponencial, y es una medida de la rapido con que decae o se amortigua la respuesta natural hasta su valor final. 1 LC se representa por 0W y se denomina frecuencia Resonante.

1S y 2S en función de y 0W serán:

2 21 0S W

2 22 0S W

La forma de la respuesta depende de la magnitud relativa de y 0W , la

respuesta de corriente en cualquier elemento de la red RLC paralelo tendrá la misma forma que la del voltaje en donde las constantes 1K y 2K serán diferentes a la de los voltajes; por ejemplo:

1 23 4( ) S t S t

Li t K Ke e

6.10 Circuito RLC En Paralelo Sobreamortiguado Este caso se presenta cuando 0W ; es decir cuando 2 24LC R C , y

por lo tanto 1S y 2S serán números reales diferentes y negativos.



Ejemplo 6.13. En el siguiente circuito (0 ) 8 Li A y (0 ) 40 CV V , calcular

( )V t e ( )Li t para 0t .

Figura 6.52

Solución.

01 15 4

2W

RC LC

Como 0W , es un circuito sobreamortiguado.

2 21 0 2S W

2 22 0 8S W

2 81 2( ) t tV t K Ke e

Aplicando las condiciones iniciales para calcular 1K y 2K

1 2(0 ) (0 ) 40C CV V K K

1 2 40K K (A)



Se obtiene la segunda ecuación que relaciona a 1K y 2K tomando la derivada de ( )V t con respecto al tiempo y determinando el valor inicial de esta derivada usando la otra condición inicial.

2 81 22 8t tdV K K

dte e

Al evaluar la derivada en 0t , se tiene:

1 20

2 8t

dV K Kdt

La ley de Kirchhoff de corriente se debe cumplir en cualquier momento; por ejemplo en 0t

(0 ) (0 ) (0 ) 0L R Ci i i

Donde :

(0 ) 40(0 ) 5 8

CR

Vi AR

(0 ) (0 ) 8L Li i A Entonces:

(0 ) (0 ) (0 ) 3 C L Ri i i A

0

(0 )Ct

dVi Cdt

31 23 12.5 10 2 8K K

1 22 8 240K K (B)



Resolviendo (A) y (B) se tiene:

1 93.33K y 2 53.33K

2 8( ) 93.33 53.33t tV t e e

La corriente por la bobina:

2 81 1( ) ( ) 93.33 53.335

t tLi t V t dt dt

Le e

2 8( ) 9.333 1.333t tLi t e e

Analizando la expresión de ( )V t se encuentra que los dos términos tienden a cero cuando el tiempo tiende a infinito, aunque el segundo termino decae con mayor rapidez. Se tiene entonces la curva de respuesta que vale 40 en 0t , y cero en t , y nunca es negativa; puesto que no es cero en todo el tiempo, debe tener al menos un máximo que se determina diferenciando la respuesta.

2 8( ) 186.66 426.64t tdV tdt

e e

Se iguala a cero esta derivada para determinar el tiempo mt en el cual el voltaje es máximo.

2 80 186.66 426.64m mt te e 62.285 mte

0.138 .mt seg

( ) 70.82 17.68 53.14 mV t V



Figura 6.53

Se define el tiempo de establecimiento St como el requerido para que la magnitud de ( )V t llegue a valores menores que 1% de su valor absoluto

máximo ( )mV t . Para el ejemplo el 1% del voltaje máximo es 0.531V y si se desprecia el segundo termino de ( )V t , se tiene:

20.531 93.33 ste

5.17 2 st

2.58 .st seg

Este tiempo de establecimiento es comparativamente grande si se confronta con los otros 2 casos que se estudiaran a continuación. Por esta razón la respuesta se denomina sobreamortiguada.



6.11 Circuito RLC Paralelo Críticamente Amortiguado Este caso se presenta cuando 0W , es decir cuando 2 24LC R C . Ejemplo 6.14 si 7L h , 1 42C F y 7 6 2R , (0 ) 0CV

(0 ) 10 Li A , calcular ( )CV t para t>0.

Solución

11 6 2

sRC

10

1 6 W sLC

Luego 1 2 6S S .

Figura 6.54

La forma de la respuesta natural en este caso es :

1 2( ) st stV t K K te e

6 61 2( ) t tV t K K te e



En donde 1K y 2K se calculan utilizando las condiciones iniciales.

1(0 ) (0 ) 0V V K

62( ) tV t K te

En este caso 1K es cero porque (0 )V es cero pero en el caso más general se requerirá la solución simultánea de dos ecuaciones.

La condición (0 ) 10Li , se debe aplicar a la derivada

dVdt

6 62 6t tdV K t

dte e

20t

dV Kdt

Como (0 ) 0V entonces (0 )Ri

igual a cero y por tanto (0 ) 10 Ci A .

0

(0 ) 10Ct

dVi Cdt

2 2110 42042K K

6( ) 420 tV t te será el voltaje para 0t .

El valor inicial del voltaje es cero y para calcular su valor cuando el tiempo tiende a infinito se debe aplicar la regla d e L’H opital, la cual establece:



6 6

1( ) 420 420 06t tt t t

tLimV t Lim Lime e

Esto indica que la respuesta inicia en cero y termina también en cero cuando t y que tiene valores positivos en todos los demás tiempos; tiene un valor máximo mV que ocurre en mt t .

6 6420 6 0m mt tm

dV tdt

e e

6 1mt

0.408 .mt seg

6 0.408420 0.408 63.1 mV Ve

El tiempo de establecimiento se determina resolviendo

60.631 420 stst e

3.12 .st seg

El grafico correspondiente es el siguiente:

Figura 6.55



6.12 Circuito RLC En Paralelo Subamortiguado Este caso se presenta cuando 0W y origina que 1S y 2S sean números complejos conjugados.

2 21,2 0S W

2 2 2 2 2 2

0 0 01 JW W W

Al radical 2 2

0W se denomina la frecuencia resonante natural dW .

2 20dW W

Entonces 1 J dS W 2 J dS W Y la respuesta:

1 2 J J1 2 1 2( ) d dW t W tS t S tV t K K K Ke e e e

J J1 2( ) d dW t W ttV t K Ke e e

1 2( ) J J td d d dV t K Cos W t Sen W t K Cos W t Sen W te

1 2 1 2( ) J td dV t K K Cos W t K K Sen W te

Finalmente:

3 4( ) td dV t K Cos W t K Sen W te

2 2 1 43 4

3

( ) t dKV t K K Cos W t TanK

e



Donde 3K y 4K son cantidades reales que se deben elegir de tal manera que satisfagan las condiciones iniciales. Ejemplo 6.15. Después de estar abierto durante largo tiempo, el interruptor del siguiente circuito se cierra en 0t . Calcular ( )CV t para 0t .

Figura 6.56

Solución. Para 0t (0 ) 10 (0 )L Li mA i y 3(0 ) 20K 10 10 200 CV V

Para 0t el circuito será:

Figura 6.57

01 15000 11180.3395

2W

RC LC



2 20 10000 dW W Rad seg

5000 4 43 4( ) 10 10t

CV t K Cos t K Sen te


3(0 ) (0 ) 200C CV V K

5000 4 44( ) 200 10 10t

CV t Cos t K Sen te

Para calcular 4K se debe calcular (0 )Ci

Donde:

(0 )(0 ) 10 20KC

RVi mA

En 0t se debe cumplir que:

(0 ) (0 ) (0 ) 0L R Ci i i

(0 ) 0Ci

0

(0 ) CC

t

dVi Cdt

Donde:

5000 4 445000 200 10 10tCdV Cos t K Sen t

dte

5000 4 4 4 44 200 10 10 10 10t Sen t K Cos te



6 44

0

10 10C

t

dV Kdt

9 6 440 5 10 10 10 K

4 100K 5000 4 4( ) 200 10 100 10t

CV t Cos t Sen te

5000 4( ) 223.607 10 26.565ºtCV t Cos te

Esta es una respuesta oscilatoria del tiempo que cruza el eje del tiempo un número infinito de veces; pero debido a que es muy grande, la función se desvanece rápidamente y la mayor parte de los cruces por cero no serán evidentes en su grafico.

La naturaleza oscilatoria de la respuesta se nota cuando es pequeña. Si es cero R , ( )CV t será una senoidal con amplitud constante y el tiempo de establecimiento es en consecuencia infinito.

Figura 6.58



6.13 Circuito RLC En Serie El circuito RLC serie es el dual del RLC paralelo, lo que facilita su estudio.

Figura 6.59

La ecuación integrodiferencial es:

0

( ) 1( ) ( ) (0) 0t

Cdi tL Ri t i x dx Vdt C

Diferenciando esta ecuación se tiene:

2

2

( ) ( ) 1 ( ) 0d i t R di t i tdt L dt LC

La ecuación característica:

2 1 0RS SL LC

2

1,21

2 2R RSL L LC



Para este caso llamaremos

2RL

y 01WLC

2 2

1,2 0S W

La respuesta sobreamortiguada es:

1 21 2( ) S t S ti t K Ke e

La forma de la respuesta críticamente amortiguada es:

1 2( ) t ti t K K te e

Y la respuesta subamortiguada es:

3 4( ) td di t K Cos W t K Sen W te

Donde:

2 20dW W

2 2 1 43 4

3

( ) td

Ki t K K Cos W t TanK

e

Ejemplo 6.16. Calcular ( )Li t para 0t en el siguiente circuito.



Figura 6.60

Solución. Para 0t (0 ) 10 Li A y (0 ) 10 2 20 CV V .


Figura 6.61

014 4.472

2R WL LC

2 20 2 dW W Rad seg

43 4( ) 2 2ti t K Cos t K Sen te

Calculo de 3K y 4K :

3(0 ) (0 ) 10i i K

44( ) 10 2 2ti t Cos t K Sen te



En 0t se debe cumplir que : (0 ) (0 ) (0 ) 0C R LV V V Donde

(0 ) 2 10 20 RV V

(0 ) 0LV

0

(0 )Lt

diV Ldt

4 44 44 10 2 2 20 2 2 2t tdi Cos t K Sen t Sen t K Cos t

dte e

40

40 2t

di Kdt

4 20K

4( ) 10 2 20 2ti t Cos t Sen te

6.14 Circuito RLC Con Fuentes Cuando se produce una conmutación en un circuito RLC con fuentes es posible que además de la respuesta natural, se produzca una respuesta forzada que no necesariamente se anula cuando el tiempo tiende a infinito. En estos casos la respuesta forzada se obtiene determinando su valor cuando el tiempo tiende a infinito; mientras que la respuesta natural se obtiene como una forma funcional adecuada, con el número necesario de constantes arbitrarias; la reapuesta completa será igual a la suma de la respuesta natural más la forzada y luego se aplican las condiciones iniciales a ésta respuesta completa a fin de calcular las constantes.



Ejemplo 6.17. En el circuito siguiente el interruptor ha estado cerrado durante mucho tiempo. Si se abre en 0t , calcular ( )V t para 0t .

Figura 6.62

Solución. Para 0t se tiene que (0 ) 12 6 2 Li A y (0 ) 5 2 10 CV V .

Para 0t queda un circuito RLC serie con la fuente de 12 V .

Figura 6.63

( ) ( ) ( )C p nV t V t V t

Cuando el tiempo tiende a infinito, el capacitor se comportará como un circuito abierto por ser la fuente de DC, por lo tanto

( ) 12 pV t V



( )nV t tendrá la forma

1 21 2( ) S t S t

nV t K Ke e 2 2

1 2 0,S S W

Como para 0t queda un circuito serie RLC, entonces

011 1

2R WL LC

1 2, 1S S Y la respuesta total

1 2( ) 12 t tCV t K K te e


(0 ) (0 ) 10C CV V

110 12 K

1 2K

2( ) 12 2 t tCV t K te e

Como (0 ) (0 ) 2 L Li i A y en 0 por el capacitor pasa la misma corriente por

estar en serie, se tiene que (0 ) 2 Ci A .

0

(0 ) CC

t

dVi Cdt



22 t t tCdV K tdt

e e e

20

2C

t

dV Kdt

22 2 2 K

2 1K

( ) (12 2 ) ( )t tCV t t u te e

Ejemplo 6.18 El interruptor K ha estado abierto durante mucho tiempo, si en 0t se abre, calcular ( )CV t para 0t .

Figura 6.64

Solución. Para 0 (0 ) 1 , (0 ) 0, (0 ) 0L C at i A V i .

Para 0t el circuito será



Figura 6.65

Calculando el equivalente Thévenin entre a-b se tiene:

Figura 6.66

12 1.5 8ai A

3 4th ab a aV V i i

1.5 thV V

2 1 2 SC aI I i I I

Malla 1

1 28 4 12I I (1)



Malla 2

1 2 1 24 4 3( ) 0I I I I

1 2 0I I (2)

1 23 3 SCI A I A I

1.5 0.5 3.0

OCth

SC

VRI

(1)

El circuito equivalente será:

Figura 6.67

( ) ( ) ( )C p nV t V t V t donde

( ) 0pV t

Para calcular ( )nV t anulamos la fuente independiente de voltaje y queda un circuito paralelo RLC.

1 26.272RC

y 01 15.49WLC



1 24.96 48.37S S 4.96 48.37

1 2( ) t tCV t K Ke e


(0 ) (0 ) 0C CV V

1 2 0K K (1)

Calculo de (0 )Ci

:

(0 ) (0 ) (0 ) 0R L Ci i i

1.5(0 ) (0 ) (0 ) 1 0.8 7.5C R Li i i A

0

(0 ) CC

t

dVi Cdt

Donde :

4.96 48.371 24.96 48.37t tCdV K K

dte e

1 20

4.96 48.37C

t

dV K Kdt

31 20.8 2.5 10 4.96 48.37K K

1 24.96 48.37 320K K (2)

1 27.37 7.37K K



48.37 4.96( ) 7.37 ( )t tV t u te e

Ejemplo 6.19 Calcular ( )V t para 0t en el siguiente circuito.

Figura 6.68

Solución. Para 0t :

Figura 6.69



2 10.2 (0 )LI A i I y 1 1(0 ) 40( 0.2) 40 8CV I I Malla 1

1 260 40 24I I

1 0.2667 (0 ) 0.2667 (0 ) 18.668L CI A i A V V

Para 0t :

Figura 6.70

( ) ( ) ( )n pV t V t V t donde 24 40( ) 16

60pV t V

Cálculo de ( )nV t anulando la fuente de 24 V y asumiendo como variable ( )nV t

( ) ( )( )40n

n nL

V t dV ti t Cdt

2

2

( ) ( )( )40n

n n nL

di t d V dV tLV t L LCdt dt dt



Aplicando LKV, se tiene:

( ) 20 ( ) ( ) 0nL n nV t i t V t

2

2

( ) ( ) 20 ( ) 040 2

n n n nn

d V dV t V t dVLLC C V tdt dt dt

2

2

1 20 1.5 ( ) 040

n nn

d V dV V tdt C L dt

2

2 16.25 1.5 0n nn

d V dV Vdt dt

16.157 0.09281 2( ) t t

nV t K Ke e 16.157 0.0928

1 2( ) 16 t tV t K Ke e


1 2 1 2(0 ) (0 ) 18.668 16 2.668 (A)V V K K K K

Aplicando LKI en el nodo 0 y en 0t tenemos:

(0 ) (0 ) (0 ) 0L R Ci i i

Donde :

(0 ) 0.2667Li A e (0 )(0 ) 0.466740C

RVi A

(0 ) 0.2Ci A

31 2

0

(0 ) 4 10 16.157 0.0928 0.2Ct

dVi C K Kdt



1 216.157 0.0928 50 (B)K K

Resolviendo (A) y (B) :

1 23.097 0.429K K

16.157 0.0928( ) 16 3.097 0.429 ( )t tV t u te e

Ejemplo 6.20 En el circuito siguiente calcular ( )i t para 0t .

Figura 6.71

Solución. Para 0t

Figura 6.72



Malla 1

1 240 20 200 0I I

Malla 2

1 2 320 (30 J8) J8 0I I I

Malla 3

2 3J8 J8 0I I

1 6.6374 10.587I A 2 3.9043 38.659I A

3 3.9043 141.340I A

2 3 7.808 38.629ºLI I I A

3J16 62.468 51.34ºCV I V

( ) 7.808 (400 38.659º ) (0 ) 6.097L Li t Cos t i A

( ) 62.468 (400 51.34º ) (0 ) 39.021 C CV t Cos t V V

Para 0t

( ) ( ) ( )n pi t i t i t

Calculo de ( )pi t

Figura 6.73



2 2 160ºI A Malla 1

1 2 3(20 J8) 10 J8 0I I I

1 3(20 J8) J8 20 160 (A)I I

Malla 3

1 3J8 J8 0 (B)I I

1 0.7809 161.34ºI A 2 2 160ºI A

3 0.7809 18.66ºI A

1 3 1.562 161.34ºpI I I A

( ) 1.562 (400 161.34º )pi t Cos t A

La respuesta natural

Figura 6.74

01 1160 565.685

2W

RC LC

2 20 542.586dW W Rad s

1603 4( ) 1.562 (400 161.34º ) t

d di t Cos t K CosW t K SenW te



Calculo de 3K y 4K

3(0 ) (0 ) 6.097 1.562 161.34ºL Li i Cos K

3 7.577K

1604( ) 1.562 (400 161.34º) 7.577t

d di t Cos t CosW t K SenW te

Por estar en paralelo la bobina y el capacitor, se tiene que

0

(0 ) (0 ) (0 )C C Lt

diV V V Ldt

1604

1604

624.696 (400 161.34º )

160 7.577

4110.96 542.986

td d

td d

di Sen tdt

CosW t K SenW t

SenW t K CosW t

ee

40

199.87 160 7.577 542.586t

di Kdt

40

1412.1264 542.586t

di Kdt

41(0 ) 39.021 1412.1264 542.58650LV K

4 6.198K

160( ) 1.562 (400 161.34º ) 7.577 6.19 ( )td di t Cos t CosW t SenW t u te

Donde 542.586dW



CAPITULO VI ANALISIS TRANSITORIO DE CIRCUITOS


6-1. Si en la red de la figura 6.75 (0 ) 2V V , calcular ( )i t para 0t .

Figura 6.75

6-2. En la red de la figura 6.76, en 0t habia almacenada en el capacitor una energía de 0.18 J . Si en 0t se cierra el interruptor, ¿Cuánta energía quedará almacenada en el instante 20t ms .

Figura 6.76

6-3. En la red de la figura 6.77 (0) 4i mA , calcular ( )i t para 0t .



Figura 6.77

6-4. Calcular ( )i t para 0t en el circuito de la figura 6.78 si (0 ) 2V V .

Figura 6.78

6-5. El interruptor del circuito de la figura 6.79 ha estado en la posición que se muestra durante mucho tiempo. Si en 0t cambia rápidamente en el sentido de la flecha, determinar ( )V t para 0t .

Figura 6.79



6-6. Obtenga la constante de tiempo de la red de la figura 6.80.

Figura 6.80

6-7. En el circuito de la figura 6.81 el interruptor K ha estado cerrado durante mucho tiempo. Si en 0t se abre, calcular ( )i t para 0.t

Figura 6.81

6-8. En el circuito siguiente el interruptorK ha estado cerrado durante largo tiempo. Si en 0t seg. éste interruptor se abre, calcular al cabo de cuanto tiempo 0 ( )V t llega al 50% de su valor máximo.



Figura 6.82

6-9. En el circuito No. 6.83 el interruptor K ha estado cerrado durante mucho tiempo. Si en 0t se abre éste interruptor, calcular 0 ( )V t para 0t .

Figura 6.83

6-10. En el circuito No. 6.84, el interruptor ha estado abierto desde hace mucho tiempo. Si en 0t seg. se cierra dicho interruptor, calcular ( )V t para

0t .



Figura 6.84

6-11. Hallar ( )V t para 0t en el circuito No. 6.85 si el interruptor se abre en

0t seg. En 0t el circuito está en estado estable.

Figura 6.85

6-12. En el circuito siguiente el interruptor K ha estado cerrado durante mucho tiempo. Si en 0t se abre, calcular ( )V t para 0t .

Figura 6.86



6-13. Si en el circuito No. 6.87, ( ) 60 (5000 30º ) ( )V t Cos t u t V , calcular ( )CV t para 0t .

Figura 6.87

6-14. En el circuito No. 6.88 el interruptor ha estado durante mucho tiempo en la posición a . En 0t el interruptor se posa rápidamente a la posición b . Calcular el tiempo que se requiere para que el voltaje en el capacitor ( )CV t , llegue a cero Volts a partir del instante en que el interruptor se posa a la posición b .

Figura 6.88

6-15. En el circuito No. 6.89 el interruptor K ha estado abierto durante un largo periodo de tiempo. Si en 0t seg. se cierra éste interruptor, calcular ( )i t para 0t seg.



Figura 6.89

6-16. En el circuito de la figura 6.90 el interruptor K ha estado abierto durante un largo periodo. Si en 0t se cierra éste interruptor, calcular ( )i t para 0t .

Figura 6.90

6-17. En el circuito No. 6.91 el interruptor 'K ha estado cerrado largo tiempo. Si en 0t seg. se abre éste interruptor, calcular ( )CV t para 0t .



Figura 6.91

6-18. En el circuito No. 6.92 calcular ( )i t para 0t seg.

Figura 6.92

6-19. En el circuito No. 6.93, ( ) 10 (200000 40º )V t Cos t V . El conmutable ha estado en la posición a durante un largo tiempo. Si en 0t seg. se pasa bruscamente a la posición b , calcular ( )V t para 0t seg.



Figura 6.93

6-20. En el circuito No. 6.94; el interruptor K ha estado abierto largo tiempo. Si en 0t seg. se cierra, calcular ( )V t para 0t .

Figura 6.94



RESPUESTAS: 6-1. ( ) 0.8 ti t Ae . 6-2. 244 Jn .

6-3. 63 6.25 10( ) 4 10 ti t e .

6-4. 3 46( )

11ti t e .

6-5. 7( ) 19.2 tV t e . 6-6. L R .

6-7. 1 6( ) 2 ti t e . 6-8. 3.46t seg .

6-9. 10

0 ( ) 3 tV t e .

6-10. 6( ) 18 9 ( )tV t u te .

6-11.

6-12. 2308( ) 8 4 ( )tV t u te .

6-13. 2979.64 11187.03( ) 18 7.14 5.234 ( )tCV t u te e .

6-14. 49.16 10t seg .

6-15. 4 4 6.82 9 1000( ) 8 10 2 10 1.4 10t ti t e e .

6-16. 4.5( ) 1.332 0.132 ti t e .

6-17. 0.764 5.24( ) 12 6.1 0.106 ( )t t

CV t u te e .

6-18. 92.86( ) 4.74 (200 28.3º ) 5.13 106.67 0.31 106.67ti t Cos t Cos t Sen te .

6-19. 8000( ) 6.524 6000 44.623 6000 ( )tV t Cos t Sen t u te .

6-20. 1.5( ) 6.2 2.127 0.707 ( )t tV t u te e .



Bibliografía

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libro circuitos palomino

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