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Enrique R. AznarDpto. de Álgebra

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ÁLGEBRA VECTORIAL.

¿Cómo calcular con puntos y vectores?

1. Introducción. 51.1. Los orígenes del espacio Afín 61.2. El Espacio Afín Euclídeo 72. Producto escalar y grammianas. 8

Definición 1 8Lema 1 8Definición 2 9Ejemplo 1 10Ejemplo 2 10Teorema 1 10Teorema 2 12Corolario 1 12Corolario 2 13Corolario 3 14

3. Producto vectorial. 16

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Definición 3 17Lema 2 18Lema 3 20Ejemplo 3 20

4. Producto triple escalar. 20Definición 4 21Ejemplo 4 21Ejemplo 5 23

5. Espacio Afín. 23Definición 5 23Definición 6 24Lema 4 25Ejemplo 6 26Definición 7 26

5.1. Rectas 27Definición 8 27Ejemplo 7 28Ejemplo 8 29Lema 5 29Ejemplo 9 30Ejemplo 10 30

5.2. Planos 31Definición 9 31

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Definición 10 32Definición 11 33Lema 6 33Ejemplo 11 34Ejemplo 12 34Lema 7 35Ejemplo 13 35

5.3. Distancia de un punto a una recta 36Lema 8 36

6. Triángulos en Rn 37Definición 12 37Lema 9 37Definición 13 38Lema 10 39Corolario 4 39Corolario 5 40

6.1. Puntos distinguidos de un triángulo en Rn 40Definición 14 40Lema 11 41Ejemplo 14 41Definición 15 43Ejemplo 15 44

7. Tetraedros en Rn 45

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Definición 16 45Definición 17 46Lema 12 46Definición 18 46Definición 19 47Ejemplo 16 47

8. Test de repaso. 48

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1. INTRODUCCIÓN.

Aunque la geometría clásica griega estudia o define el plano y el espacio 3Dusando axiomas y deduce los teoremas a partir de ellos.

Actualmente, es común definir estos conceptos usando coordenadas. O sea,usando R2 o R3 como conjunto subyacente de puntos.

Este es el enfoque de la geometría llamada analítica. Permite usar todas lasherramientas de las operaciones algebraicas. Además, tiene la ventaja de quela generalización a Rn no ofrece casi ninguna dificultad.

Así, una manera de pensar en el plano euclídeo es que es un conjunto depuntos que satisfacen ciertas relaciones expresables en términos de distancia(tamaño de vectores) y ángulos (dirección de vectores).

Hay tres operaciones fundamentales en el plano. Una es la traslación quesignifica mover cada punto en la misma dirección, una misma distancia.

La otra es la rotación alrededor de un punto, en la cual cada punto se muevealrededor (misma distancia) de ese punto un cierto ángulo.

La tercera es la reflexión según una recta que mueve cada punto hacia larecta, en la perpendicular a ella, el doble de la distancia a la misma.

Una manera de hacer todo esto preciso, es definiendo el plano euclídeo comoel esp. vect. R2 con un producto escalar.

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De esta forma, los vectores se corresponden con los puntos. La suma conun vector fijo corresponde con una traslación. Finalmente. el producto es-calar proporciona los conceptos de ángulo (perpendicularidad) y distanciaque permiten definir las transformaciones de rotación y reflexión arbitrarias.

La generalización a Rn es fácil, ya que el vocabulario, fórmulas y opera-ciones son los mismos con mas coordenadas. La generalización de rotacióny reflexión a Rn , tampoco es difícil conociendo R2.

La dificultad está en la visualización a partir de R4, aunque no es necesaria.

La sutileza a tener en cuenta, es que técnicamente el espacio euclídeo no essólo un esp. vect. sobre R, sino mas bien un espacio afín sobre el que actúael espacio vectorial.

Intuitivamente, la distinción consiste en que no hay un punto distinguido quesirva como origen. Todos pueden servir. En este tema lo precisaremos.

1.1. Los orígenes del espacio Afín. Aunque el estudio de la geometría es muyantiguo, sólo recientemente se ha intentado separar la parte afín de la métrica.

In 1748, Euler introdujo el término afín1. In 1827, August Möbius estudió lageometría afín en su Der barycentrische Calcul.

1En su libro, Introductio in analysin infinitorum.

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Pero no fue hasta que Felix Klein describió su famoso programa de Erlangen,cuando la geo. afín fue reconocida como una generalización de la euclídea.

Aunque es usual estudiarla con coordenadas, también es posible estudiarla ala griega. O sea, con postulados y axiomas, sin decir quienes son los puntos.

Así, en 1969, Coxeter axiomatiza el plano afín sobre los reales. Y Cameron,en 1991, da axiomas para los espacios afines n-dimensionales.

1.2. El Espacio Afín Euclídeo. Hoy día, el espacio euclídeo2 es esencialmenteRn con el producto escalar usual, lo que permite calcular distancias y án-gulos. Generaliza al plano euclídeo (geometría 2D) y al espacio euclídeo(geometría 3D) clásicos.

El adjetivo euclídeo distingue a estos espacios de otras formas de medir enRn . O sea, de otras definiciones de norma de un vector, que pueden conducira espacios llamados curvos.

En particular, a las geometrías Hiperbólica y Elíptica del plano y a los espa-cios de la teoría general de la relatividad de Einstein.

En este tema, estudiaremos algunos conceptos importantes para el esp. eu-clídeo n-dimensional. También el concepto de producto vectorial en R3.Después nos centraremos en el afín y en el afín euclídeo.

2Euclides de Alejandría fue un matemático y geómetra griego (325-265 a. C.) que vivióy enseñó en Alejandría (Egipto) bajo el reinado de Ptolomeo II.

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2. PRODUCTO ESCALAR Y GRAMMIANAS.

Dado un esp. vect. V , real (sobre el cuerpo R), y dada una aplicación < , >:V xV → R, denotada a veces (en notación infija) como < u, v >= u • v

Definición 1. Decimos que es un producto escalar si verifica para todou,u1,u2, v ∈V y todo λ ∈ K

1) Definida positiva: u •u ≥ 0 y u •u = 0 ⇐⇒ u = 02) Conmutativa: u • v = v •u3) Distributiva: (u1 +u2)• v = u1 • v +u2 • v4) Lineal: λu • v = λ(u • v)

Dado un producto escalar, por la distributiva, se tiene que

0•u = (0+0)•u = 0•u +0•u =⇒ 0•u = 0

Por la conmutativa, también 0•u = u •0 = 0Por la distributiva y lineal, además se tiene

(λ1u1 +λ2u2)• v = (λ1u1)• v + (λ2u2)• v =λ1(u1 • v)+λ2(u2 • v)

Este es el primer caso, de una inducción, para demostrar el siguiente

Lema 1. Dado un producto escalar en V , se verifica que

(λ1u1 +·· ·+λr ur )• (µ1v1 +·· ·+µs vs) =∑i jλiµ j (ui • v j )

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Demostración: Por la conmutativa, basta demostrar el llamado paso de lainducción, en uno de los factores:

(λ1u1 +·· ·+λr ur )• v = (λ1u1 +·· ·+λr−1ur−1)• v +λr (ur • v) ==λ1(u1 • v)+·· ·+λr−1(ur−1 • v)+λr (ur • v) �

El producto escalar usual de dos vectores u, v ∈Rn es el definido por

u • v = (u1, . . . ,un)

v1...

vn

= u1v1 +·· ·+un vn

Escribiendo los vectores por columnas, coincide con el producto matricialu • v = ut v . Además, por el lema anterior, si se elige una base ortonormal,todo producto escalar coincide con el usual.

Dado un conjunto de vectores u1, . . . ,ur ∈Rn , podemos formar los r 2 produc-tos escalares ui •u j ∈ R. Por la conmutativa, hay como mucho

(r2

) = r (r−1)2

números distintos y la matriz U tU = (ui •u j ) es simétrica.

Definición 2. La llamamos G = U tU = (ui •u j ) la matriz grammiana delos vectores u1, . . . ,ur . A su determinante, lo denotamos

Gr am(u1, . . . ,ur ) = Det (G) = Det (U tU ) = |(ui •u j )|y lo llamamos simplemente la grammiana del mismo conjunto.

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Ejemplo 1. Dados u1 = (1,1),u2 = (2,3),u3 = (0.5,1.5) ∈R2 su matriz gram-miana

G = 1 1

2 30.5 1.5

(1 2 0.51 3 1.5

)=

2 5 25 13 5.52 5.5 2.5

es simétrica de orden 3×3 y su determinante es cero

Gr am(u1,u2,u3) = Det (G) =∣∣∣∣∣∣2 5 25 13 5.52 5.5 2.5

∣∣∣∣∣∣= 0

Ejemplo 2. Dados v1 = (1,2,0.5), v2 = (1,3,1.5) ∈R3 su matriz grammiana

G =(1 2 0.51 3 1.5

) 1 12 3

0.5 1.5

=(5.25 7.757.5 12.55

)

es simétrica de orden 2×2 y su determinante vale

Gr am(v1, v2) = Det (G) =∣∣∣∣5.25 7.757.75 12.55

∣∣∣∣= 4.25

Los ejemplos anteriores no son casualidad, ya que u1,u2,u3 ∈ R2 son l.d.mientras que v1, v2 ∈R3 son l.i. Ya que se tiene el

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Teorema 1. [de caracterización de la dependencia]Los vectores u1, . . . ,ur ∈Rn , son l.d. si y sólo si Det (G) = 03.

Demostración: Veamos las dos implicaciones.

⇒) Si u1, . . . ,ur ∈Rn , son l.d., entonces existen números reales λ1, . . . ,λr ∈R no todos nulos tales que λ1u1 +·· ·+λr ur = 0 ∈ Rn . O sea, existeun vector v ∈Rr no nulo tal que el producto matricial, U v = 0 es ceroy por tanto también Gv =U tU v = 0.

Ahora, como G = U tU es una matriz cuadrada r xr , si su deter-minante fuera distinto de cero, existiría su matriz inversa y multipli-cando por ella, v =G−1Gv = 0 lo que es absurdo.Por tanto, el determinante Det (G) = 0 es cero como queríamos.

⇐) Si Det (G) = 0 es cero, el sistema lineal y homogéneo Gx = 0 tiene

una solución, v =(λ1...λr

), distinta de la trivial.

Pero U tU v =Gv = 0 implica ||U v ||2 =U v •U v = v tU tU v = 0.Por tanto, ||U v || = 0 y también ese vector será cero

λ1u1 +·· ·+λr ur =U v = 0

O sea, los vectores son l.d. como queríamos. �

3Veremos que en cualquier otro caso, se tiene que Det (G) =Gr am(u1, . . . ,ur ) > 0.

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Esta última demostración usa que siempre v tGv = v tU tU v = ||U v ||2 ≥ 0.O sea, que toda matriz grammiana G es semidefinida positiva.Ahora, si λ ∈R verifica que Gv =λv , como siempre v t v ≥ 0, se tiene

v tGv = v t (λv) =λ(v t v) =λ(λ11 +·· ·+λ2

r ) ≥ 0 =⇒ λ≥ 0

Así, como G es una matriz simétrica real, todos sus autovalores, λ1, · · · ,λr

son números reales no negativos.

Por tanto, también Det (G) =λ1 · · ·λr ≥ 0 y hemos demostrado el

Teorema 2. [de caracterización de la independencia]4

Los vectores u1, . . . ,ur ∈Rn , son l.i. si y sólo si Det (G) > 0. �

Este teorema tiene otras consecuencias interesantes. Por ejemplo,

Corolario 1. [Desigualdad de Cauchy-Schwartz en Rn]Para todo x, y ∈Rn , x • y ≤ ||x|| · ||y ||

Demostración: Si x, y ∈ Rn son dos vectores cualesquiera, su grammianadebe ser no negativa

Det (G) =∣∣∣∣ x2 x • yx • y y2

∣∣∣∣= ||x||2||y ||2 − (x • y)2 ≥ 0

4Esta caracterización es mas complicada que hallar directamente el rango en la matriz Ude las coordenadas. Su interés está en que permite demostrar otros resultados.

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Lo que equivale a la

(x • y)2 ≤ ||x||2||y ||2 ⇐⇒ x • y ≤ ||x|| · ||y ||salvo que y =λx sean vectores dependientes. �

El teorema 2 permite generalizar un resultado bien conocido en el plano.

Corolario 2. [Triángulo formado formado por 3 puntos en Rn]La suma de los ángulos de un triángulo en Rn suman 180 grados.

x • y = ‖x‖.‖y‖.cos(180−γ)x • z = ‖x‖.‖z‖.cos(180−β)y • z = ‖y‖.‖z‖.cos(180−α)

x = x

‖x‖ , y = y

‖y‖ , z = z

‖z‖

180−γ

α β

γ

A B

C

z

y x

Demostración: Dado un triángulo en Rn , formado por 3 puntos A = (a1, . . . , an),B = (b1, . . . ,bn) y C = (c1, . . . ,cn) no colineales. Se tiene que los vectoresy = A−C = (a1−c1, . . . , an−cn), x =C −B = (c1−b1, . . . ,cn−bn), z = B−A =(b1−a1, . . . ,bn −an), verifican x+ y +z = 0. Luego por el teorema 2 se tiene.

Det (G) =∣∣∣∣∣∣

x2 x • y x • zx • y y2 y • zx • z y • z z2

∣∣∣∣∣∣== x2 y2z2 − y2(x • z)2 −x2(y • z)2 − z2(x • y)2 +2(x • y)(x • z)(y • z) = 0

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Dividiendo por x2 y2z2 y normalizando los vectores tenemos

1− (x • z)2 − (y • z)2 − (x • y)2 +2(x • y)(x • z)(y • z) = 0

1− (x • z)2 − (y • z)2 = (x • y)2 −2(x • y)(x • z)(y • z)(1− (x • z)2)(1− (y • z)2)= (−x • y + (x • z)(y • z)

)2√1− (x • z)2

√1− (y • z)2 =−x • y + (x • z)(y • z)

x • y = (x • z)(y • z)−√

1− (x • z)2√

1− (y • z)2

cos(180−γ) = cos(180−α)cos(180−β)− sen(180−α)sin(180−β)

Por tanto, cos(180−γ) = cos(α)cos(β)− sen(α)sin(β) = cos(α+β)de donde 180−γ=α+β5. O sea, α+β+γ= 180.

Corolario 3. [Desigualdad triangular para un triedro en Rn] γ≤α+β

Donde α= y z, β= xz, γ= x y , para cualesquiera x, y, z ∈Rn .

Demostración: Si x, y, z ∈ Rn son dos vectores cualesquiera, su grammianadebe ser no negativa

Det (G) =∣∣∣∣∣∣

x2 x • y x • zx • y y2 y • zx • z y • z z2

∣∣∣∣∣∣≥ 0

5Ya que la función coseno es biyectiva de 0 a 180.

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desarrollando el determinante equivale a la desigualdad

x2 y2z2 +2(x • y)(x • z)(y • z)− y2(x • z)2 −x2(y • z)2 − z2(x • y)2 ≥ 0

Dividiendo por los cuadrados de las normas, ||x||2||y ||2||z||2 = x2 y2z2 y lla-mando u = x/||x||, v = y/||y ||, w = z/||z|| a los correspondientes vectoresunitarios, obtenemos la desigualdad

1+2(u • v)(u • v)(u • v)− (u • v)2 − (v •w)2 − (u •w)2 ≥ 0

equivalentemente

1− (v •w)2 − (u •w)2 ≥ (u • v)2 −2(u • v)(u •w)(v •w)

sumando en ambos miembros el producto (v •w)2(u •w)2

(1− (v •w)2)(1− (u •w)2) ≥ ((u •w)(v •w)−u • v)2

extrayendo raíces cuadradas se tienen las desigualdades√1− (v •w)2

√1− (u •w)2 ≥ (u •w)(v •w)−u • v

u • v ≥ (u •w)(v •w)−√

1− (v •w)2√

1− (u •w)2

Si llamamos α= y z, β= xz, γ= x y se tiene que

Cos(α) = x • y

||x|| · ||y || =x

||x||y

||y || = v •w ⇒ Sen(α) =√

1− (v •w)2

Cos(β) = u •w ⇒ Sen(β) =√

1− (u •w)2

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y análogamente Cos(γ) = u • v . Por tanto

Cos(γ) ≥Cos(α)Cos(β)−Sen(α)Sen(β) =Cos(α+β)

Como la función coseno es decreciente de 0 a 180, se tiene γ≤α+β que

es la desigualdad triangular para un triedro en Rn . �

Este último resultado es la desigualdad triangular para triángulos esféricosen la esfera unidad de Rn6.

3. PRODUCTO VECTORIAL.

El producto vectorial de dos vectores, que definiremos, es un producto in-terno en R3. O sea, una aplicación de R3 ×R3 en R3, tal que a una pareja devectores (u, v) le hace corresponder otro vector u ∨ v (escrito a veces u × v)que llamaremos su producto vectorial, externo o cruzado (cross product).

Será un producto importante por sus aplicaciones sobre todo geométricas,pero no es un producto algebraicamente bueno. En concreto, no será ni aso-ciativo, ni conmutativo aunque si será distributivo respecto de la suma7.

6También, con un proceso casi idéntico se puede demostrar que los ángulos inscritos encualquier círculo de Rn son la mitad del correspondiente ángulo central.

7Se puede demostrar fácilmente que no existe ningún producto en R3 que sea a la vez dis-tributivo, asociativo y conmutativo. Los productos no asociativos son raros en matemáticas.

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Antes de definir este producto, observamos que dados dos vectores arbitrar-ios u = (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3). Un tercer vector w = (n1,n2,n3) seráperpendicular a ambos si los productos escalares u ·w = 0, v ·w = 0 son cero.Pero esto equivale a que los números reales n1,n2,n3 sean solución del s.l.

n1x1 +n2x2 +n3x3 = 0

n1 y1 +n2 y2 +n3 y3 = 0

Por Cramer, es fácil de ver que la solución general de este sistema son losmúltiplos arbitrarios de la terna de números reales

(x2 y3 −x3 y2, x3 y1 −x1 y3, x1 y2 −x2 y1)

Esto motiva la siguiente

Definición 3. Llamamos producto vectorial de u, v ∈R3 al vector

u × v = (x2 y3 −x3 y2, x3 y1 −x1 y3, x1 y2 −x2 y1) =(∣∣∣∣x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣x3 x1

y3 y1

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣)

Con esta definición, si u = v entonces u ×u = 0. Además, los vectores de labase canónica i= (1,0,0), j= (0,1,0), k= (0,0,1), verifican que

i× j= k, j×k= i, k× i= jj× i=−k, k× j=−i, i×k=−j

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Por tanto, este producto no es conmutativo. Además

i× (i× j) = i×k=−j(i× i)× j= 0× j= 0

se ve que tampoco este producto es asociativo.

También de la definición, si se intercambian los papeles de u y v , se ve quelas coordenadas cambian de signo, u × v = −v ×u. O sea, este producto esanticonmutativo (a veces se dice antisimétrico).

También, se ve que si uno de los vectores es múltiplo de un número real λ,éste sale factor común en las 3 coordenadas. O sea, se tiene

λu × v =λ(u × v) = u ×λv

También es sencillo, aunque es un poco largo de demostrar, la distributiva enambos factores. Así

(u + v)×w = u ×w + v ×w

u × (v +w) = u × v +u ×w

Resumimos todo esto en el siguiente

Lema 2. [Propiedades del producto vectorial]

1) u × v es ortogonal a u y a v .2) (λu +µv)×w =λ(u ×w)+µ(v ×w)3) u × v =−v ×u y también u ×u = 0.

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4) u × v = 0 si y sólo si existen escalares λ,µ ∈R tales que λu =µv

Demostración: Demostraremos la propiedad 4)8.Primero, si λu =µv con µ 6= 0 entonces v = λ

µu y se tiene

u × v = u × λ

µu = λ

µ(u ×u) = λ

µ0= 0

Recíprocamente, si u × v = 0 entonces xi y j = x j yi para todo i , j = 1,2,3.Entonces, para cada j se tiene x j v = y j u.Si u 6= 0, también algún xk 6= 0. Entonces, podemos tomar λ= yk , µ= xk .En caso contrario, u = 0 y tomamos λ= 1, µ= 0. �

La norma usual o longitud de un producto vectorial es fácil de calcular. Así

‖u × v‖2 = (x2 y3 −x3 y2)2 + (x3 y1 −x1 y3)2 + (x1 y2 −x2 y1)2 == (x2

1 +x22 +x2

3)(y21 + y2

2 + y23)− (x1 y1 +x2 y2 +x3 y3)2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2 =

= ‖u‖2‖v‖2 −‖u‖2‖v‖2 cos2(α) = ‖u‖2‖v‖2(1−cos2(α)) = ‖u‖2‖v‖2 sin2(α)

Así, hemos demostrado que

Gr am(u, v) = |(ui •u j )| =∣∣∣∣u ·u u · vu · v v · v

∣∣∣∣ = ‖u‖2‖v‖2− (u ·v)2 = ‖u×v‖2= 0

8O sea, dos vectores u, v ∈R3 son l.d. si y sólo si el rango de su matriz es menor que 2.

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y hemos obtenido de nuevo la desigualdad 1 de Schwartz.También, hemos demostrado el siguiente

Lema 3. [Módulo del producto vectorial] Si α= uv es el ángulo formadopor dos vectores en Rn . Entonces, ‖u × v‖ = ‖u‖‖v‖sin(α)

Ejemplo 3. [Área de un triángulo en R3] Dados los puntos p = (1,2,0),q = (2,5,−2) y r = (4,−1,−2) en R3. Si se calcula, sucesivamente

u =−→pq = q −p = (2−1, 5−2, −2−0) = (1,3,−2)

v =−→pr = r −p = (4−1, −1−2, −2−0) = (3,−3,−2)

u × v = ((−2)∗3− (−3)∗ (−2), 3∗ (−2)−1∗ (−2), 1∗ (−3)−3∗3) = (−12, −4, −12)

‖u × v‖ = ‖(−12, −4, −12)‖ =√

(−12)2 + (−4)∗2+ (−12)2 = 17.4356

Entonces, por el lema anterior y la definición de la altura de un triángulocomo h = ‖v‖sin(α), se tiene que el área del triángulo vale

S = base ∗al tur a

2= ‖u‖‖v‖sin(α)

2= ‖u × v‖

2= 17.4356

2= 8.7178

4. PRODUCTO TRIPLE ESCALAR.

Una forma de combinar tres vectores u, v, w en R3, para obtener un escalar

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Definición 4. Llamamos producto triple escalar al número real

[u, v, w] = u · (v ×w)

Si los 3 vectores son u = (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3), w = (z1, z2, z3).Por el desarrollo por la primera fila de un determinante 3×3, se tiene

[u, v, w] = x1

∣∣∣∣y2 y3

z2 z3

∣∣∣∣+x2

∣∣∣∣y3 y1

z3 z1

∣∣∣∣+x3

∣∣∣∣y1 y2

z1 z2

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣O sea, el producto triple escalar es el valor de un determinante que puede serpositivo o negativo. Como un determinante es cero si dos filas son iguales,lo mismo le pasa al producto triple escalar.

Ejemplo 4. Dados los vectores u = (1,2,0), v = (2,5,−2) y w = (4,−1,−2)en R3, se tiene que su producto triple escalar vale

[u, v, w] =∣∣∣∣∣∣1 2 02 5 −24 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −20

También por las propiedades distributiva y lineal de los productos vectorial yescalar. Se tiene que el producto triple escalar también es lineal y distribuye

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en cada uno de los 3 vectores. Por todo esto, tenemos

0= [u + v, u + v, w] = [u, v, w] + [v, u, w]

O sea, [v, u, w] = −[u, v, w]. Análogamente, por simetría se tiene[u, v, w] = −[v, u, w] = −[u, w, v] = −[w, v, u].

Y aplicando lo anterior dos veces, también se tiene que9

[u, v, w] = [w, u, v] = [v, w, u]

El valor absoluto10 de un producto triple escalar siempre se puede interpretarcomo el volumen del paralelepípedo formado por los 3 vectores.

Ya que el volumen es el producto del área, S = ‖v ×w‖, del paralelogramodefinido por v , w por la altura h de u sobre dicho paralelogramo.

Como el vector v × w es perpendicular a ambos v , w , la altura de u sedetermina por su proyección sobre v ×w o sobre su opuesto.

O sea, el valor de dicha altura es la norma de esa proyección h = ‖u‖|cos(β)|donde β es el ángulo que forma u con la perpendicular v ×w . Entonces11

|[u, v, w]| = ‖u‖ ·‖v ×w‖ · |cos(β)| = h · ‖v ×w‖ = h ·S = volumen

9En realidad, estamos demostrando propiedades de los determinantes 3×3 a partir de laspropiedades de los productos vectorial y escalar.

10Ya que un volumen es siempre positivo.11En realidad, lo que se hace es definir el volumen de un paralelepípedo.

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El caso mas sencillo, es cuando los 3 vectores, u, v , w , son mutuamenteperpendiculares. Entonces, si llamamos a la matriz por columnas U = (u, v, w)

[u, v, w]2 = ∣∣U tU∣∣ =

∣∣∣∣∣∣u ·u u · v u ·wu · v v · v v ·wu ·w v ·w w ·w

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣‖u‖2 0 0

0 ‖v‖2 00 0 ‖w‖2

∣∣∣∣∣∣ =

= ‖u‖2 · ‖v‖2 · ‖w‖2 y extrayendo raíces |[u, v, w]| = ‖u‖ ·‖v‖ ·‖w‖

Así, para u = (2,0,0), v = (0,3,0), w = (0,0,−4), que son ortogonales, elvolumen vale |[u, v, w]| = 2∗3∗4 = 24.

Ejemplo 5. Para los vectores u = (−2,4,0), v = (1,6,−2) y w = (1,7,0),como

[u, v, w] =∣∣∣∣∣∣−2 4 01 6 −21 7 0

∣∣∣∣∣∣=−36

El volumen del paralelepípedo que forman vale |[u, v, w]| = |−36| = 36

5. ESPACIO AFÍN.

Dado un conjunto de puntos A, no vacío, y un espacio vectorial V

Definición 5. Decimos que A es un espacio afín sobre V cuando existe unaacción de V sobre A. O sea, una aplicación V × A −→ A, que lleva cada

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pareja de vector, punto a un nuevo punto

(u,P ) 7−→ u ◦P =Q ∈ A

y que además verifica las tres propiedades

• Identidad El vector cero actúa como la identidad, 0◦P = P• Transitiva12 La suma actúa transitivamente, (u +v)◦P = u ◦ (v ◦P )• Unicidad13 Para cada punto P ∈ A, la aplicación V −→ A definida

por u 7−→ u ◦P =Q ∈ A es biyectiva.

Esta última propiedad, nos dice que fijado un punto P ∈ A, entonces se puedeidentificar V con A. Si se elige una base en el espacio vectorial subyacente,esto permite asociar coordenadas a todos los puntos Q de A.

Se toman como coordenadas de Q, las coordenadas del único vector u ∈ Vtal que u ◦P =Q. A este único vector se le suele llamar u =−−→

PQ.

Con esta identificación, las coordenadas de P son cero y claramente se tieneu =Q−P . Esta identificación no es única, porque depende de la elección delpunto origen P y de una base de V 14.

12Si se escribe u ◦P = u +P esta propiedad es una asociativa13Equivale a que la acción es libre y tiene una única órbita.14Puede haber infinitas identificaciones ya que todos los puntos sirven como origen.

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Definición 6. Dado u =−−→PQ, decimos que P es el punto origen de u y Q el

punto final. También decimos que V es el espacio vectorial subyacente deA y que A es el espacio diferencia de V .Llamamos dimensión del espacio afín A a la del espacio vectorial subya-cente, dim(V ) = n.Llamamos un sistema de referencia del espacio afín al conjunto de un puntoP y una base B = {u1, . . . ,un} de V .

Dados 3 puntos, P,Q,R ∈ A, los vectores únicos u =−−→PQ, v =−−→

QR,verifican

(v +u) ·P = v ◦ (u ◦P ) = v ◦Q = R =⇒ u + v = v +u =−−→PQ

O sea, siempre se tiene−−→PQ +−−→

QR =−→PR.

Así, hemos demostrado que existe una aplicación A×A −→V , tal que (P,Q) 7−→−−→PQ y se cumplen las llamadas

Lema 4. [Condiciones de Weyl]15

• Para cada P ∈ A y cada u ∈V , existe un único Q tal que u =−−→PQ.

• Dados 3 puntos P,Q,R ∈ A, se tiene que−−→PQ +−−→

QR =−→PR.

15Hermann Klaus Hugo Weyl (1885 - 1955) fue un matemático y físico teórico alemán.

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También es fácil de demostrar, el recíproco. Las dos condiciones de Weylimplican las tres de espacio afín. Con estas definiciones, se tiene que todo es-pacio vectorial V se puede considerar como un espacio afín sobre sí mismo.

Tomando A = V , se define la acción como la suma vectorial u ◦ v = u + v .Entonces las 3 propiedades de espacio afín son consecuencia de la aritméticavectorial. En este caso, el vector u =−−→

PQ es exactamente Q −P .

Ejemplo 6. Tomando A =V =R2 obtenemos el plano afín ordinario.Tomando A =V =R3 obtenemos el espacio afín tridimensional ordinario.

En realidad, considerar Rn como espacio afín sobre sí mismo, equivale apoder tomar cualquier punto como origen de coordenadas. Basta fijar unpunto P ∈Rn y considerar la biyección definida por u =−−→

PQ =Q −P .

Esto permite definir variedades afines como las rectas, planos etc.En efecto, si W ⊆V =Rn es un subespacio vectorial y P ∈Rn fijo.

Definición 7. Definimos una variedad afín de Rn como el conjunto

L ={

Q ∈Rn :−−→PQ ∈W

}Se comprueba que W actúa sobre L y verifica las propiedades de esp. afín.Decimos que L es un subesp. afín o variedad afín de dimensión la de W .

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5.1. Rectas. Por ejemplo, si P,Q ∈ Rn la recta definida por ambos puntos ladefinimos como el conjunto

L = {P +λ(Q −P ) ∈Rn : λ ∈R} = {

(1−λ)P +λQ ∈Rn : λ ∈R}comprobamos que dados dos puntos cualesquiera de L, P1 = P +λ1(Q −P ),P2 = P +λ2(Q −P ) su diferencia es un múltiplo del vector u =Q −P ∈Rn .

P2 −P1 = (λ2 −λ1)(Q −P ) = (λ2 −λ1)u

O sea, L es una variedad afín sobre W =< u > y tiene dimensión uno.

También, comprobamos que la recta es independiente del punto de apoyo,

L = {λ1P +λ2Q ∈Rn : λ1 +λ2 = 1

}ya que sus puntos se obtienen como combinaciones lineales simétricas.

Definición 8. Llamamos combinación afín (c.a.) de dos puntos de Rn al

punto definido por R =λ1P +λ2Q tal que λ1 +λ2 = 1

A la pareja de números (λ1,λ2) le llamamos sus coordenadas baricéntricas.

Así, una recta que pasa por P y Q es el conjunto de todas sus c.a.. La combi-nación afín mas sencilla después de los propios puntos es la suma R = P

2 + Q2 .

Si en Rn consideramos el producto escalar usual, tenemos distancias entrepuntos, definiendo

d(P,Q) = ‖−−→PQ‖ = ‖Q −P‖ = d(Q,P )

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Entonces, se obtienen dos vectores iguales−→PR = (

y1

2− x1

2, . . . ,

yn

2− xn

2) =−−→

RQ

y por tanto d(P,R) = d(Q,R) y tiene sentido llamar a R = P2 + Q

2 = P+Q2 el

punto medio del segmento16.

Ejemplo 7. Dados P = (1,1,1,1), Q = (1,0,0,−1) ∈R4. Un punto de la rectadefinida por ellos tiene por c.b., λ1P +λ2Q con λ1 +λ2 = 1. O sea,

L = {(λ1 +λ2,λ1,λ1,λ1 −λ2) : λ1 +λ2 = 1}

Como u =Q−P = (0,−1,−1,−2) también tiene por ecuaciones paramétricasP +λu. O sea,

L = {(1,1−λ,1−λ,1−2λ) : λ ∈R}

equivalentemente

x1 = 1, x2 = 1−λ, x3 = 1−λ, x4 = 1−2λ

de donde eliminando λ se obtienen las ecuaciones cartesianas de la rectax1 = 1

x2 −x3 = 0

2x2 −x4 = 1

Intersección de 3 hiperplanos en R4

16De una manera natural, se puede considerar el segmento [P,Q] ⊂ Rn formado por lospuntos λ1P +λ2Q tales que λ1 +λ2 = 1 y ambos 0 ≤ λ1,λ2 ≤ 1. El resto de los puntos de larecta son exteriores a este segmento.

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Ejemplo 8. Dados P = (1,1,1), Q = (1,0,−1) ∈ R3. Un punto de la rectadefinida por ellos tiene por c.b., λ1P +λ2Q con λ1 +λ2 = 1. O sea,

L = {(λ1 +λ2,λ1,λ1 −λ2) : λ1 +λ2 = 1}

Como u = Q −P = (0,−1,−2) también tiene por ecuaciones paramétricasP +λu. O sea,

L = {(1,1−λ,1−2λ) : λ ∈R}

equivalentementex = 1, y = 1−λ, z = 1−2λ

de donde eliminando λ se obtienen las ecuaciones cartesianas de la rectax = 1

2y − z = 1

}Intersección de 2 planos en R3

Dados dos puntos P,Q ∈ R3 y X = P +λ(Q −P ) un punto cualquiera de larecta LPQ , se tiene que el siguiente producto exterior vale cero.

(X −P )× (Q −P ) =λ(Q −P )× (Q −P ) = 0

por tanto hemos demostrado que

Lema 5. [Ecuación vectorial de una recta en R3]La condición para que un punto X pertenezca de la recta LPQ es

(X −P )× (Q −P ) = 0

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Esta ecuación vectorial sirve para hallar de forma rápida las ec. cartesianas.

Ejemplo 9. Dados P = (1,1,1), Q = (1,0,−1) ∈ R3, se tiene u = Q −P =(0,−1,−2) y la ec. vectorial de la recta LPQ es

(X −P )× (Q −P ) =(∣∣∣∣y −1 z −1

−1 −2

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣z −1 x −1−2 0

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣x −1 y −10 −1

∣∣∣∣)= 0

de donde se obtienen las 3 igualdades

−2(y −1)+ z −1 =−2y + z +1 = 0, x −1 = 0, x −1 = 0

y se obtienen las mismas dos ec. cartesianas del ejemplo anterior

x = 1

2y − z = 1

}Intersección de 2 planos en R3

Ejemplo 10. Dados P = (1,0,0), Q = (0,0,1) ∈ R3, se tiene u = Q −P =(−1,0,1) y la ec. vectorial de la recta LPQ es

(X −P )× (Q −P ) =(∣∣∣∣y z

0 1

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣z x −11 −1

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣x −1 y−1 0

∣∣∣∣)= 0

de donde se obtienen las 3 igualdades

y = 0, x + z −1 = 0, y = 0

y la recta es la intersección de 2 planos

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5.2. Planos. Análogamente, dados tres puntos en P,Q,R ∈Rn se puede definir lavariedad afín que generan como el conjunto

L = {P +λ(Q −P )+µ(R −P ) ∈Rn : λ,µ ∈R} =

= {(1−λ−µ)P +λQ +µR : λ,µ ∈R}= {

λ1P +λ2Q +λ3R : λ1 +λ2 +λ3 = 1}

dados dos puntos cualesquiera de L, P1 = P +λ1(Q −P ), P2 = P +λ2(Q −P )su diferencia es una c.l. de los dos vectores u =Q −P, v = R −P ∈Rn .

P2 −P1 = (λ2 −λ1)u + (µ2 −µ1)u

L es una variedad afín sobre W =< u, v > que normalmente tendrá dimensióndos17 y la llamaremos el plano definido por P,Q,R.

También, comprobamos que cualquier plano es independiente del punto deapoyo, ya que sus puntos se obtienen como c.l. simétricas.

Definición 9. Llamamos combinación afín (c.a.) de tres puntos de Rn al

punto definido por R =λ1P +λ2Q +λ3R tal que λ1 +λ2 +λ3 = 1

A la terna (λ1,λ2,λ3) le llamamos sus coordenadas baricéntricas (c.b.).

Así, un plano que pasa por P , Q y R es el conjunto de todas sus c.a. La c.a.mas sencilla después de los 3 puntos es la suma P

3 + Q3 + R

3 = P+Q+R3 .

17si los vectores u, v son l.i.

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Considerando los puntos medios de los 3 segmentos definidos por P,Q,R.Las rectas medianas18 son las rectas definidas por cada vértice y el puntomedio del segmento opuesto. O sea,

L1 ={λ

P +Q

2+µR : λ+µ= 1

}L2 =

{λ

P +R

2+µQ : λ+µ= 1

}L3 =

{λ

Q +R

2+µP : λ+µ= 1

}Tomando λ= 2

3 y µ= 13 se ve que el punto P+Q+R

3 pertenece a las tres rectas.

Definición 10. Llamamos baricentro o centroide de tres puntos de Rn alpunto P+Q+R

3 , que pertenece a la intersección de las 3 medianas.

Si uno de los puntos es c.a. de los otros dos, p.ej. R =λP +µQ con λ+µ= 1.Entonces, R −λP −µQ = 0 y se tiene λ+µ−1 = 0.

Recíprocamente, si existen 3 escalares verificando λ1+λ2+λ3 = 0 y tambiénλ1P +λ2Q +λ3R = 0. Si uno de ellos λ3 6= 0, se tiene que R =−λ1

λ3P − λ2

λ3Q.

Como esos coeficientes suman uno, R es una c.a. de los otros dos puntos.

18No confundir con la mediatrices de los segmentos que son las perpendiculares por cadapunto medio. Ni con las bisectrices de cada ángulo.

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Definición 11. Decimos que 3 puntos son no colineales o afín independi-entes cuando ninguno de ellos se puede poner como c.a. de los otros dos.

Equivalentemente, 3 puntos son no colineales, si λ1 +λ2 +λ3 = 0 y tambiénλ1P +λ2Q +λ3R = 0 entonces los tres escalares son cero λ1 =λ2 =λ3 = 0.

Esta condición implica que los vectores diferencia u =Q −P, v = R −P seanl.i. En efecto, si λu +µv = 0 y los puntos no colineales, entonces

λQ +µR + (−λ−µ)P = 0 =⇒ λ=µ= 0

Recíprocamente, si λ1 +λ2 +λ3 = 0 entonces λ1 =−λ2 −λ3.Si además, u =Q −P, v = R −P son l.i., se tiene

λ1P +λ2Q +λ3R = 0 =⇒ λ2(Q −P )+λ3(R −P ) = 0 =⇒ λ2 =λ3 = 0

Finalmente, también λ1 =−λ2 −λ3 = 0 como queríamos demostrar.Así, hemos demostrado el siguiente

Lema 6. Tres puntos, P, Q, R ∈Rn son no colineales si y sólo si los vectoresdiferencia u =Q −P, v = R −P son l.i. En cuyo caso definen un plano19.

En este caso, se puede demostrar que las tres alturas también se intersectanen un punto llamado ortocentro. Las 3 mediatrices en el circuncentro. Lasbisectrices en el incentro o bicentro. Además, los tres puntos, baricentro,ortocentro y circuncentro pertenecen a una línea llamada recta de Euler

19También, decimos que forman triángulo. En otro caso, definen una recta o coinciden.

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Ejemplo 11. Dados P = (1,1,1), Q = (1,0,1),R = (0,1,0) ∈R3. Un punto delplano definido por ellos, tiene por ecuaciones baricéntricas λ1P+λ2Q+λ3Rcon λ1 +λ2 +λ3 = 1. O sea,

L = {(λ1 +λ2,λ1 +λ3,λ1 +λ2) : λ1 +λ2 +λ3 = 1}

como u =Q −P = (0,−1,0), v = R −P = (−1,0,−1) también tiene por ecua-ciones paramétricas

L = {(1−µ,1−λ,1−µ) : λ,µ ∈R}

equivalentemente x = 1−µ, y = 1−λ, z = 1−µ de donde eliminando λ, µ seobtiene la ecuación cartesiana del plano x − z = 0.

Ejemplo 12. Dados P = (1,0,0), Q = (0,1,0),R = (0,0,1) ∈R3. Un punto delplano definido por ellos, tiene por ecuaciones baricéntricas λ1P+λ2Q+λ3Rcon λ1 +λ2 +λ3 = 1. O sea,

L = {(λ1,λ2,λ3) : λ1 +λ2 +λ3 = 1}

como u = Q −P = (−1,1,0), v = R −P = (−1,0,1) también tiene por ecua-ciones paramétricas P +λu +µv . O sea,

L = {(1−λ−µ,λ,µ) : λ,µ ∈R}

equivalentemente x = 1−λ−µ, y = λ, z = µ de donde eliminando λ, µ seobtiene la ecuación cartesiana del plano x + y + z = 1.

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En R3, se puede obtener la ec. cartesiana de un plano de forma vectorial.En efecto, si P, Q,R ∈ R3 son 3 puntos, y u =Q −P, v = R −P . El productovectorial u × v es perpendicular a cualquier c.l. de u, v . Por definición, unpunto X ∈R3 pertenece al plano cuando el vector X −P es c.l. de u, v .Por tanto, también será perpendicular a u × v , (X −P ) · (u × v) = 0

Así, hemos demostrado

Lema 7. [Ecuación vectorial de un plano en R3]La condición para que un punto X pertenezca al plano LPQR es

(X −P ) · ((Q −P )× (R −P )) = [X −P,Q −P,R −P ] = 0

equivalentemente ∣∣∣∣∣∣x −p1 y −p2 z −p3

q1 −p1 q2 −p2 q3 −p3

r1 −p1 r2 −p2 r3 −p3

∣∣∣∣∣∣ = 0

Ejemplo 13. Dados P = (1,0,0), Q = (0,1,0),R = (0,0,1) ∈ R3, como u =Q −P = (−1,1,0), v = R −P = (−1,0,1) la ecuación cartesiana del planoLPQR es la misma del ejemplo anterior∣∣∣∣∣∣

x −1 y z−1 1 0−1 0 1

∣∣∣∣∣∣ = x −1+ z + y = 0

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5.3. Distancia de un punto a una recta. Dado un punto R ∈ Rn y una rectadefinida por dos puntos P, Q ∈Rn , queremos calcular la mínima distancia delpunto a la recta. Llamamos v = R −P , u =Q −P a los vectores respectivos.

Como un punto arbitrario de la recta es X = P+λ(Q−P ) = P+λu la distanciaal cuadrado entre ambos es

d(R, X )2 = ‖R −X ‖2 = ‖R −P −λ(Q −P )‖2 = (v −λu)2 =

= ‖v‖2 −2λ(u · v)+λ2‖u‖2 = ‖v‖2 +‖u‖2(λ2 −2λ

u · v

‖u‖2

)=

= ‖v‖2 +‖u‖2(λ− u · v

‖u‖2

)2

− (u · v)2

‖u‖2≥ ‖v‖2 − (u · v)2

‖u‖2

Como los cuadrados de números reales son mayores o iguales que cero, ladistancia mínima se obtiene cuando

λ− u · v

‖u‖2= 0 ⇐⇒ λ= u · v

‖u‖2

y el valor mínimo de la distancia al cuadrado vale

d(R,LPQ )2 = ‖v‖2 − (u · v)2

‖u‖2= ‖u‖2‖v‖2 −‖u‖2‖v‖2 cos2(α)

‖u‖2=

= ‖v‖2 −‖v‖2 cos2(α) = ‖v‖2(1−cos2(α)) = ‖v‖2 sin2(α)

Así, hemos demostrado el siguiente

Lema 8. [Distancia de un punto a una recta]

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d(R,LPQ ) =p

‖R−P‖2‖Q−P‖2−((R−P )·(Q−P ))2

‖Q−P‖ = ‖R −P‖sin(α)

que coincide con la norma del vector w = v −λu = v − u·v‖u‖2 u perpendicular

a la recta, ya que

w ·u =(

v − u · v

‖u‖2u

)·u = v ·u −u · v = 0

De esta forma, la distancia es el cateto opuesto de un triángulo rectángulo20.

6. TRIÁNGULOS EN Rn

Si P, Q, R ∈Rn son no colineales, entonces

Definición 12. Decimos que a = ‖−−→QR‖, b = ‖−→PR‖, c = ‖−−→PQ‖ son las longi-tudes de los 3 lados del triángulo que forman.En particular, los números reales a, b y c son mayores que cero.

Como−−→PQ +−−→

QR =−→PR. Entonces si w =−−→

PQ, u =−−→QR, v =−→

RP =−−→PR

Lema 9. Tres puntos no colineales en Rn , siempre determinan tres vectores,no nulos y diferentes, cuya suma es cero.

u + v +w = 0

20Lo curioso aquí es que estamos en Rn .

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En particular, a = ‖u‖, b = ‖v‖, c = ‖w‖. Además, si llamamos como en 2

u • v = ‖u‖.‖v‖.cos(180−γ)

u •w = ‖u‖.‖w‖.cos(180−β)

v •w = ‖v‖.‖w‖.cos(180−α)

Definición 13. Decimos que α, β, γ son los ángulos en los vértices P , Q, R.

Tenemos 3 parejas de vectores que parten de un mismo vértice

−u =−→RR, v =−→

RP , u =−−→QR,−w =−−→

QP , w =−−→PQ,−v =−→

PR

que nos pueden servir para definir el área del triángulo

1

2‖u‖.‖v‖sin(γ),

1

2‖u‖.‖w‖sin(β),

1

2‖w‖.‖v‖sin(α)

para demostrar que son iguales las 3 cantidades, observamos que

‖u‖2.‖v‖2 sin2(γ) = ‖u‖2.‖v‖2(1−cos2(γ)) = ‖u‖2.‖v‖2 − (u • v)2 =

= (u •u)(v • v)− (u • v)2 =∣∣∣∣u •u u • vu • v v • v

∣∣∣∣ = det(G) = Gram(u, v)

Análogamente,

‖u‖2.‖w‖2 sin2(β) =Gram(u, w), ‖w‖2.‖v‖2 sin2(α) =Gram(v, w)

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Pero si despejamos, u = −v −w , por las propiedades de los determinantes,tenemos

Gram(u, v) =∣∣∣∣(−v −w)• (−v −w) (−v −w)• v

(−v −w)• v v • v

∣∣∣∣ =∣∣∣∣(−v −w)• (−w) −w • v

(−v −w)• v v • v

∣∣∣∣ =

=∣∣∣∣(−w)• (−w) −w • v

(−w)• v v • v

∣∣∣∣ =∣∣∣∣w •w w • v

w • v v • v

∣∣∣∣ = Gram(u, w)

Por simetría, también coincide con la tercera grammiana. Además, como los3 puntos P,Q,R son no colineales, cada una de las parejas de vectores son l.i.y por tanto las grammianas son positivas. Entonces, hemos demostrado que

Lema 10. [Área de un paralelogramo y de un triángulo en Rn] Se tiene

0 <pGram(u, v) =p

Gram(u, w) =pGram(w, v)

Decimos que las áreas de los 3 paralelogramos que se forman con las 3parejas de vectores coinciden. En particular, a su mitad

S = 12 a.b sin(γ) = 1

2 a.c sin(β) = 12 c.b sin(α)

le llamamos el área del triángulo formado por los 3 puntos.

Corolario 4. [Teorema de los senos para un triángulo en Rn]

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asin(α) = b

sin(β) = csin(γ)

Como la suma de los vectores de los lados da cero, u + v +w = 0 se tiene

a2 = ‖u‖2 = ‖− v −w‖2 = ‖v +w‖2 = (v +w)• (v +w) = v • v +2(v •w)+w •w == ‖v‖2 +2‖v‖.‖w‖.cos(180−α)+‖w‖2 = b2 −2b.c.cos(α)+ c2

Análogamente, tenemos otras dos igualdades y hemos demostrado el

Corolario 5. [Teorema del coseno para un triángulo en Rn]

a2 = b2 + c2 −2b.c.cos(α)

b2 = a2 + c2 −2a.c.cos(β)

c2 = a2 +b2 −2a.b.cos(γ)

6.1. Puntos distinguidos de un triángulo en Rn . Ahora, vamos a definir y cal-cular los 3 centros que nos faltan de un triángulo. Decimos que un punto

Definición 14. X ∈Rn pertenece a la bisectriz (LP ) en el vértice P si verifica

b(X −P ) · (Q −P ) = c(X −P ) · (R −P )

Como u ·v = ‖u‖∗‖v‖∗cos(α), con 0 ≤α≤ 180, se tiene que X ∈ LP cuando

b∗‖X−P‖∗c∗cos(α) = c∗‖X−P‖∗b cos(β) ⇐⇒ cos(α) = cos(β) ⇐⇒ α = β

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Por tanto, la definición anterior es consecuente con la definición usual.Las otras dos bisectrices21 del triángulo son respectivamente

LQ = {X ∈Rn : a(X −Q) · (P −Q) = c(X −Q) · (R −Q)

}LR = {

X ∈Rn : a(X −R) · (P −R) = b(X −R) · (Q −R)}

Ahora, es fácil de comprobar que el punto B = aP+bQ+cRa+b+c pertenece a LP ,

LQ y LR . Como, α = β, por 8 se tiene que las distancias desde B a los ladosdel triángulo coinciden

h = ‖B −P‖sin(α) = ‖B −P‖sin(β)

Por simetría h es la distancia desde B a los 3 lados del triángulo.O sea, es el radio de una circunferencia inscrita y tenemos

Lema 11. [Existencia de circunferencias inscritas]Las 3 bisectrices se intersectan en un punto llamado bicentro o incentro.

21En Rn , no son rectas sino hiperplanos. Son rectas sus intersecciones con el plano LPQR .Para hallar B lo que se hace es sustituir el punto X = P +λ(Q −P )+µ(R −P ) y hallar λ,µ.

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Ejemplo 14. Dados P = (1,0,0), Q = (0,1,0),R = (0,0,1) ∈ R3, primero cal-culamos los lados del triángulo que forman

a = ‖−−→QR‖ = ‖(0,−1,1)‖ =p2

b = ‖−→PR‖ = ‖(−1,0,1)‖ =p2

c = ‖−−→PQ‖ = ‖(−1,1,0)‖ =p2

el bicentro o incentro tiene de coordenadas22

B = aP +bQ + cR

a +b + c= (

p2,p

2,p

2)

3p

2= (

1

3,

1

3,

1

3)

Ahora, calculamos el seno del ángulo de la bisectriz en P

(B −P ) · (Q −P ) = (−2

3,

1

3,

1

3) · (−1,1,0) = 2

3+ 1

3= 1

como ‖(−23 , 1

3 , 13 )‖ =

√69 =

√23 obtenemos

1 =√

2

3

p2cos(α) =⇒ cos(α) =

p3

2=⇒ sin(α) = 1

2Entonces, por 8, el radio de la circunferencia inscrita vale

h = ‖B −P‖sin(α) =√

2

3

1

2= 1p

6= 0.408248

22Coincide con el baricentro o centroide porque el triángulo es equilátero.

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Definición 15. Decimos que un punto X ∈ Rn pertenece a la mediatriz23

(MPQ) del vector−−→PQ si verifica

(X − P+Q

2

)· (Q −P ) = 0

Las otras mediatrices son (X − P +R

2

)· (R −P ) = 0(

X − Q +R

2

)· (R −Q) = 0

Para hallar la intersección con el plano del triángulo, lo que se hace es susti-tuir el punto X = P +λ(Q −P )+µ(R −P ) y hallar λ,µ.

Se puede comprobar que siempre definen un único punto, llamado el circun-centro del triángulo.

Análogamente, se obtiene el ortocentro hallando la intersección de las tresalturas. O sea, sustituyendo el punto X = P +λ(Q −P )+µ(R −P ) en

(X −P ) · (R −Q) = 0

(X −Q) · (Q −P ) = 0

(X −R) · (Q −P ) = 0

y resolviendo respecto a λ,µ

23No define una recta sino un hiperplano. Es una recta su intersección con el plano LPQR

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Ejemplo 15. Dados P = (1,0,0), Q = (0,1,0),R = (0,0,1) ∈ R3, primero cal-culamos los puntos medios de los lados del triángulo que forman.

(1

2,

1

2, 0), (

1

2, 0,

1

2), (0,

1

2,

1

2)

Por tanto, las mediatrices son(X − (

1

2,

1

2, 0)

)• (−1,1,0) = 0 ⇐⇒ −x + y = 0(

X − (1

2, 0,

1

2)

)• (−1,0,1) = 0 ⇐⇒ −x + z = 0(

X − (0,1

2,

1

2)

)• (0,−1,1) = 0 ⇐⇒ −y + z = 0

cuya solución general es x = y = z. Si sustituimos λ1P + λ2Q + λ3R =(λ1, λ2, λ3), con λ1 +λ2 +λ3 = 1. El circuncentro tiene de coordenadasC = ( 1

3 , 13 , 1

3 ). O sea, coincide con el bicentro calculado en el ejemplo ante-rior24 Ahora, calculamos las alturas

(X − (1,0,0))• (0,−1,1) = 0 ⇐⇒ −y + z = 0

(X − (0,1,0))• (−1,0,1) = 0 ⇐⇒ −x + z = 0

(X − (0,0,1)) · (−1,1,0) = 0 ⇐⇒ −x + z = 0

24Por ser el triángulo equilátero.

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y de nuevo obtenemos la misma solución ( 13 , 1

3 , 13 ). O sea, el ortocentro coin-

cide con el circuncentro, con el bicentro y con el baricentro.

El radio de la circunferencia cicunscrita vale ‖( 13−1, 1

3 , 13 )‖ =

√69 = 0.816497.

7. TETRAEDROS EN Rn

Dados 4 puntos en P1,P2,P3,P4 ∈Rn , forman 6 vectores25 diferencia en Rn

u1 = P2−P1,u2 = P3−P1,u3 = P4−P1,u4 = P3−P2,u5 = P4−P2,u6 = P4−P3

Aunque, basta con tres de ellos para definir una variedad afín que contengaa los 4 puntos y cuyo subesp. vect. subyacente contenga a los 6 vectores

L = {P! +λ1u1 +λ2u2 +λ3u3 ∈Rn : λ1,λ2,λ3 ∈R

} == {(1−λ1 −λ2 −λ3)P1 +λ1P2 +λ2P3 +λ3P4 : λ1,λ2,λ3 ∈R} =

= {λ1P1 +λ2P2 +λ3P3 +λ4P4 : λ1 +λ2 +λ3 +λ4 = 1}

L es una variedad afín sobre W =< u1,u2,u3 > que normalmente tendrá di-mensión tres26 y la llamaremos el espacio afín definido por P1,P2,P3,P4.

Definición 16. Llamamos combinación afín (c.a.) de 4 puntos de Rn al

punto definido por λ1P1 +λ2P2 +λ3P3 +λ4P4 tal que λ1 +λ2 +λ3 +λ4 = 1

25En realidad, hay 12 vectores diferencia pero los otros 6 son sus opuestos26si los vectores u1,u2,u3 son l.i.

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A la cuaterna (λ1,λ2,λ3,λ4) le llamamos sus coordenadas baricéntricas.Llamamos tetraedro completo al conjunto de las c.a. tales que sus coorde-nadas sean positivas o cero.

Así, un espacio que pasa por P1,P2,P3,P4 es el conjunto de todas sus c.a.La c.a. mas sencilla es la suma P1

4 + P24 + P3

4 + P44 = P1+P2+P3+P4

4 .

Definición 17. Decimos que 4 puntos son no coplanarios o afín indepen-dientes cuando ninguno de ellos se puede poner como c.a. de los otros tres.

También, 4 puntos son no coplanarios, si λ1 +λ2 +λ3 +λ4 = 0 y tambiénλ1P1 +λ2P2 +λ3P3 +λ4P4 = 0 entonces λ1 =λ2 =λ3 =λ4 = 0.

También equivale a que los vectores diferencia u1,u2,u3 sean l.i. O sea,

Lema 12. P1,P2,P3,P4 ∈ Rn son no coplanarios si y sólo si los vectoresdiferencia u1,u2,u3 son l.i. Entonces, decimos que definen un espacio 3D27.

Dada una de las 6 parejas Pi ,P j de puntos

Definición 18. Llamamos lado, arista o segmento i j del tetraedro al con-junto {λPi +µP j : λ+µ= 1, 06λ,µ}. Decimos que dos lados de un tetrae-dro son opuestos cuando son disjuntos.

27Decimos que forman tetraedro. En otro caso, definen un triángulo o coinciden.

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Claramente, Pi+P j

2 es el punto medio del lado i j . Además, hay 3 pares delados opuestos, 12 y 34, 13 y 24, 14 y 23. Si unimos los puntos medios delas 3 parejas de lados opuestos, obtenemos las 3 rectas medianas. O sea,

L1 ={λ

P1 +P2

2+µ

P3 +P4

2: λ+µ= 1

}L2 =

{λ

P1 +P3

2+µ

P2 +P4

2: λ+µ= 1

}L3 =

{λ

P1 +P4

2+µ

P2 +P3

2: λ+µ= 1

}Tomando λ= 1

2 =µ se ve que el punto P1+P2+P3+P44 pertenece a las tres rectas.

Definición 19. Llamamos baricentro o centroide de 4 puntos de Rn al puntoP1+P2+P3+P4

4 , que pertenece a la intersección de las 3 medianas.

Es fácil de comprobar que las medianas son perpendiculares si y sólo si cadapar de lados opuestos tienen la misma longitud (tetraedro regular).

Ejemplo 16. [El tetraedro canónico de R3]Los puntos P1 = (0,0,0), P2 = (1,0,0),P3 = (0,1,0),P4 = (0,0,1) en R3 definenlos vectores u1 = (1,0,0), u2 = (0,1,0) y u3 = (0,0,1) que son l.i. Por tanto,forman un tetraedro en R3.

Como 3 de sus lados miden 1 y los otrosp

2, es un tetraedro no regular.Su baricentro es el punto P1+P2+P3+P4

4 = ( 14 , 1

4 , 14 )

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8. TEST DE REPASO.

Para comenzar el cuestionario pulsa el botón de inicio.Cuando termines pulsa el botón de finalizar.Para marcar una respuesta coloca el ratón en la letra correspondiente y pulsael botón de la izquierda (del ratón).

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La grammiana de un conjunto de vectores nunca es cero.(b) La grammiana de un conjunto de vectores siempre es distinta de cero.(c) La grammiana de un conjunto de vectores sirve para caracterizar su

independencia.(d) La grammiana de un conjunto de vectores sirve para caracterizar su

dependencia pero su independencia.

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La grammiana de un conjunto de vectores reales puede ser negativa.(b) La grammiana de un conjunto de vectores reales nunca es negativa.(c) La grammiana de un conjunto de vectores reales puede no existir.

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(d) La grammiana de un conjunto de vectores reales existe cuando sonindependientes.

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La suma de los ángulos de un triángulo en R4 puede ser mayor de

180◦.(b) La suma de los ángulos de un triángulo en R5 puede ser menor de

180◦.(c) Los triángulos no existen en Rn cuando n > 3.(d) Los triángulos en Rn tienen las mismas propiedades que en R2.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) El producto vectorial de dos vectores existe siempre en Rn .(b) El producto vectorial de dos vectores puede ser negativo.(c) El producto vectorial de dos vectores existe siempre en R3.(d) El producto vectorial de dos vectores siempre es mayor que cero.

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera en R3?.(a) El producto vectorial de dos vectores siempre es conmutativo.(b) El producto vectorial de dos vectores siempre es distributivo.(c) El producto vectorial de dos vectores siempre es asociativo.

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(d) El producto vectorial de dos vectores nunca es conmutativo.

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera en R3?.(a) El producto vectorial de dos vectores es ortogonal consigo mismo.(b) El producto vectorial de dos vectores puede ser el vector cero.(c) El producto vectorial de dos vectores nunca es el vector cero.(d) El producto vectorial de dos vectores nunca es antisimétrico.

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera en R3?.(a) El producto triple escalar es siempre positivo.(b) El producto triple escalar de tres vectores es otro vector.(c) El producto triple escalar es un número real.(d) El producto triple escalar nunca es negativo.

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) El producto triple escalar siempre se interpreta como un volumen.(b) El producto triple escalar a veces se interpreta como un volumen.(c) El producto triple escalar puede no existir en R3.(d) El producto triple escalar existe siempre en Rn .

9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.

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(a) El espacio afín no es mas que un espacio vectorial.(b) El espacio afín tiene un punto distinguido.(c) El espacio afín a veces contiene vectores a veces puntos.(d) En el espacio afín todos los puntos son iguales.

10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Una variedad afín siempre pasa por el origen.(b) Las variedades afines tienen todas la misma dimensión.(c) Una variedad afín no es mas que un subesp. vect..(d) Una variedad afín tiene la dimensión del esp. vect. subyacente.

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