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Análisis Matemático II – Álgebra Vectorial 2018
1 Unidad I- Álgebra Vectorial
ÁLGEBRA VECTORIAL
Introducción
Existen tres métodos esencialmente distintos para introducir el Algebra Vectorial:
geométricamente, analíticamente y axiomáticamente. En la introducción geométrica, los vectores
se representan por segmentos orientados o flechas. Las operaciones algebraicas con vectores, tales
como la adición, sustracción y multiplicación por números reales, se definen y estudian por
métodos geométricos.
En la introducción analítica los vectores y las operaciones con vectores se expresan mediante
números, llamados componentes. Las propiedades de las operaciones con vectores se deducen
entonces a partir de las propiedades correspondientes de los números. La descripción analítica de
los vectores surge espontáneamente de la representación geométrica en cuanto se introduce un
sistema coordenado.
En la introducción axiomática, no se intenta describir la naturaleza de un vector o de las
operaciones algebraicas con vectores. En lugar de ello, los vectores y las operaciones con ellos se
imaginan como conceptos no definidos de los que nada se sabe excepto que satisfacen un cierto
conjunto de axiomas. Un tal sistema algebraico, con los axiomas apropiados, se llama espacio lineal
o espacio vectorial.
El estudio del algebra vectorial desde el punto de vista axiomático es la introducción matemática
más satisfactoria pues proporciona una descripción de los vectores que es independiente de los
sistemas de coordenadas y de cualquier representación geométrica, también el estudio desde este
punto de vista aunque es más estricto también es más abstracto y dificultoso.
A fines de esta materia trataremos de estudiar el Álgebra Vectorial desde el punto de vista analítico
con interpretación geométrica, tratando de evitar en lo posible la introducción desde el punto de
vista axiomático.
VECTOR n-dimensional o PUNTO n-dimensional: es un n-pla de números reales
(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) para todo entero 𝑛 ≥ 1, siendo los números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛las coordenadas o
componentes del vector. El conjunto de todos los vectores n-dimensionales se llama espacio
vectorial de n-plas, o simplemente n-espacio. Lo designamos con Vn .
Para 𝑛 = 2 es un par de números (𝑎1; 𝑎2) su representación geométrica es un punto en el plano.
Para 𝑛 = 3 es una terna de números (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) su representación geométrica es un punto en el
espacio.
Análisis Matemático II – Álgebra Vectorial 2018
2 Unidad I- Álgebra Vectorial
Para 𝑛 > 3(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) ya no existe representación geométrica sin embargo el vector aún
sigue estando definido.
La definición de vector está ligada a la estructura algebraica de Vn, introducimos los siguientes
conceptos:
Igualdad de Vectores: Dos vectores �� y �� de Vn son iguales siempre que sus
componentes sean iguales. Si �� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛),�� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3; … ; 𝑏𝑛).
La ecuación vectorial �� = �� ⇔ 𝑎1= 𝑏1, 𝑎2= 𝑏2, 𝑎3= 𝑏3,… , 𝑎𝑛= 𝑏𝑛
La suma �� +�� : Se define como el vector obtenido sumando los componentes
correspondientes:
�� + �� = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)
Interpretación Geométrica (𝑝/ 𝑛 ≤ 3)
A
a
B
b
A
a
D=B-A=AB
0
A
a
A
a
B
b
A
a
C
B
b
A
a C=A+B
DCBbA
a
0
A
a
Análisis Matemático II – Álgebra Vectorial 2018
3 Unidad I- Álgebra Vectorial
A
a
cA
0
A
a
Si 𝑐 es un escalar o número real,
El producto c�� :Se define como el vector obtenido multiplicando cada componente de A
por c:
c�� = 𝑐(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) = (𝑐𝑎1; 𝑐𝑎2; 𝑐𝑎3; … ; 𝑐𝑎𝑛)
Teorema 1: A partir de estas definiciones se comprueba las siguientes propiedades:
Para la Adición: Propiedad Conmutativa, �� + �� = �� + ��
Propiedad Asociativa, �� + (�� +�� ) = (�� +�� ) +��
Para la multiplicación por escalares,
Propiedad Asociativa, c(d�� ) = (cd)��
Propiedad Distributiva, c(�� +�� ) = c�� +c��
Las demostraciones de estas propiedades se realizan por componentes y son inmediatas se dejan
como ejercicio para el alumno.
Vector cero (�� ). Es el vector con todos los componentes iguales a cero, es decir
que (𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0) se llama vector cero y se representa con �� .Se
cumple que�� + �� = ��
El vector (-1)�� = -�� es el opuestode �� . La suma�� +(-�� )
escribimos�� – �� y lo llamamosdiferencia de�� y �� .
A
a
B
b
A
a
C
B
b
A
a
D
C
B
b
A
a
0
A
a
𝑨𝑩 = 𝑪𝑫 Si �� -�� =�� -�� , son vectores equivalentes
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4 Unidad I- Álgebra Vectorial
Dos vectores �� y �� de 𝑽𝒏tienen la misma dirección (son paralelos) si �� = c�� para c positivo y la
dirección opuesta si c es negativo.
Producto escalar.
Si �� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) y �� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3; … ; 𝑏𝑛) son dos vectores deVnentonces
�� . �� = ∑𝑎𝑘. 𝑏𝑘
𝒏
𝒌=𝟏
Se multiplican los componentes correspondientes de �� y �� y luego se suman todos estos productos
el resultado es un escalar.
Para tres dimensiones �� . �� = ∑ 𝑎𝑘. 𝑏𝑘𝟑𝒌=𝟏 = 𝑎1. 𝑏1 + 𝑎2. 𝑏2 + 𝑎3. 𝑏3
Teorema 2: Propiedades del producto escalar:
a) Ley conmutativa
�� . �� = �� . ��
b) Ley distributiva
�� (�� + �� ) = �� . �� + �� . ��
c)Ley de homogeneidad
𝑐(�� . �� )= (𝑐�� ). ��
d) Positividad
�� . �� > 0si �� ≠ ��
e)�� . �� = 𝟎si �� = ��
Las demostraciones de estas propiedades son consecuencia directa de la definición, se deja como
ejercicio para el alumno.
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5 Unidad I- Álgebra Vectorial
Longitud o Norma de un Vector: Si �� es un vector de Vn su longitud o norma se designa
con ‖�� ‖ y se define mediante la igualdad
‖�� ‖ =(�� . �� )𝟏
𝟐 = √𝑎12 + 𝑎2
2 + 𝑎32 + ⋯+ 𝑎𝑛
2 , también se lo llama módulo de A
Teorema 3: Si �� es un vector de Vn y c un escalar, tenemos las siguientes propiedades
‖�� ‖ > 0 𝑠𝑖 �� ≠ �� (positividad)
‖�� ‖ = 0 𝑠𝑖 �� = ��
‖𝑐�� ‖ = 𝑐‖�� ‖ (homogeneidad)
Interpretación Geométrica (p/ n = 3)
A
‖�� ‖ =(�� . �� )𝟏
𝟐 = √𝑎12 + 𝑎2
2 + 𝑎32 + ⋯+ 𝑎𝑛
2
Interpretación Geométrica del Producto Escalar (p/ n≤3)
0
A
a
a2
a1
a3
2
A
A
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6 Unidad I- Álgebra Vectorial
Si es el ángulo comprendido entre los vectores Ay B Se cumple la siguiente propiedad:
cos 𝜃 =�� .��
‖�� ‖‖�� ‖⇒ �� . �� = ‖�� ‖‖�� ‖ cos 𝜃
Esta propiedad también es válida para cualquier
dimensión n.Obsérvese que cos 𝜃 cuando
= 90º 𝑜 /2 esto implica que el producto escalar de
dos vectores perpendiculares es igual a cero
�� . �� = 𝟎 si �� ⊥ ��
Vectores Coordenados Unitarios:En Vn los n vectores 𝑬𝟏 = (1;0;0;…;0),𝑬𝟐
=
(0;1;0;….0),….𝑬𝒏 = (0;0;0;…;1) se llaman vectores coordenados unitarios. El k-ésimo
componente de 𝐸𝑘 = 1 y todos los demás componentes son cero.
Teorema: Todo Vector Si �� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛)de Vn, puede ser representado por
(A ) = a1(E_1 ) 1 +a2(E_2 ) +…+an(E_n ) (combinación lineal de los vectores coordenados
unitarios), además esta representación es única.
En V3 usamos la representación 𝐄𝟏 =��, 𝐄𝟐
= 𝒋y𝐄𝟑 = ��
De esta forma puede representarse el vector�� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) = 𝑎1�� + 𝑎2𝒋 + 𝑎3��
Vector Unitario de �� : Se llama vector unitario de �� y se representa por �� al vector que
tiene la misma dirección y sentido que �� pero tiene norma o longitud igual a 1.
Se construye de la siguiente forma:
�� =��
‖�� ‖, este vector es paralelo a �� puesto que es el producto de un escalar
¡
‖�� ‖ por el
vector�� , y tiene norma ‖��‖ = ‖��
‖�� ‖‖ =
‖�� ‖
‖�� ‖= 𝟏
Interpretación Geométrica del Vector Unitario(p/ n≤3)
A
a
B
b
A
a
Ө
A
a
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�� =��
‖�� ‖⇒ ‖�� ‖�� = �� , el vector �� puede ser
representado como producto de su norma
‖�� ‖ y su vector unitario ��correspondiente,
que le da la dirección y sentido.
Las magnitudes físicas (fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración, momento de una fuerza,
etc.) tienen un módulo o norma y también una dirección y sentido por lo que pueden ser
representados como vectores.
Aplicaciones a la Mecánica
Ejemplo1: Encontrar el trabajo realizado por una fuerza de 50 N al mover un objeto desde el punto
B(2;1;4) hasta el punto C(3;2;5). La fuerza es aplicada con la dirección y sentido del vector �� =
2�� + 3𝒋 + 6��, todas las coordenadas están en m.
Para resolver este problema de forma vectorial primero plantearemos los conceptos de Mecánica
de forma escalar.
𝑊 = 𝐹. 𝑑. cos 𝛼 ….. (1)
Siendo F y d los módulos de la fuerza y el
desplazamiento respectivamente, 𝜃el ángulo de
aplicación de la fuerza con respecto al desplazamiento.
Obs: La ecuación (1) es válida solamente si la fuerza es constante
0
A
a
a2
a1
a3
2
a
A
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8 Unidad I- Álgebra Vectorial
Ahora, si representamos F y d de forma vectorial entonces: F=‖𝐅 ‖ y d=‖𝐝 ‖ de manera que el
producto (1) puede ser representado como producto escalar 𝑊 = 𝐹. 𝑑. cos 𝛼 = 𝐅 . 𝐝 de acuerdo a
la definición de esta operación.
Para la representación de F en forma de vector utilizaremos:𝐅 =‖𝐅 ‖�� donde ��representa el vector
unitario de 𝐅 Este vector ��tiene la dirección y sentido del vector ��
⇒ �� = �� =��
‖�� ‖ ; ��representa el vector unitario de ��
⇒ �� = 2�� + 3𝒋 + 6��
√22 + 32 + 62=
2
7�� +
3
7𝒋 +
6
7��
Ahora , para obtener 𝐅 =‖𝐅 ‖��
𝐅 =50𝑁 (2
7�� +
3
7𝒋 +
6
7��) = (
100
7�� +
150
7𝒋 +
300
7��) [𝑵]
Para hallar el desplazamiento , restamos el vector de la posición final menos la inicial
𝐝 = 𝐂 − �� = (3�� + 2𝒋 + 5��) − ( 2�� + 1𝒋 + 4��)= = (�� + 𝒋 + ��)[𝒎]
Aplicamos la definición y tenemos que :
𝑊 = (100
7�� +
150
7𝒋 +
300
7��) (�� + 𝒋 + ��)[𝑵][𝒎] = (
100
7+
150
7+
300
7) [𝐽] =
550
7𝐽
Todas las propiedades y definiciones anteriores son válidas para n dimensiones, a partir de aquí nos
limitaremos a tres dimensiones.
Orientaciones en el espacio.
Un sistema de ejes coordenados (𝑥, 𝑦, 𝑧) puede tener dos orientaciones de acuerdo a la
Figura a y b.
1) Orientación positiva o directa. Fig. a: está regida por la regla de la mano derecha de la
mecánica se puede interpretar de la siguiente forma si colocamos un tornillo
normalmente al plano x, y y hacemos girar de la parte positiva del eje x hacia la parte
positiva del eje y el tornillo avanza hacia la parte positiva del eje z. Esta orientación será
la utilizada.
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9 Unidad I- Álgebra Vectorial
2) Orientación negativa o inversa: En caso contrario al anterior. Fig.b.
Pseudovector: Es el vector cuyo sentido cambia de signo si se varía la orientación
del espacio.
Producto Vectorial
Dados dos vectores tridimensionales�� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) y �� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3)
Siendo el ángulo comprendido entre los dos vectores.
El producto vectorial �� × �� es el pseudovector 𝐂 tal que:
a) ‖𝐂 ‖ = ‖�� ‖. ‖�� ‖. 𝐬𝐞𝐧𝜽
b) La dirección de 𝐂 es perpendicular a los vectores �� y �� es decir al plano formado por los
vectores�� y ��
c) El sentido está dado por la orientación del espacio, si la orientación del espacio es positiva está
dada por la regla de la mano derecha (colocando el índice en dirección y sentido de �� el dedo
mayor en dirección y sentido de �� , el vector 𝐂 apuntará en el sentido que indica el pulgar de la
mano derecha).
𝐂 varía de signo con la orientación del espacio por lo que es un pseudovector propiamente dicho,
tomaremos como regla general la utilización de la orientación positiva puesto que es la utilizada en
la mecánica y en electromagnetismo.
y
x
z
Fig. a
x
z
Fig. b y
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10 Unidad I- Álgebra Vectorial
Interpretación Geométrica
El escalar
‖𝐂 ‖ = ‖�� ‖. ‖�� ‖. 𝐬𝐞𝐧𝜽
representa el área del
paralelogramo construido
por los vectores�� y ��
Si dos vectores �� y
�� distintos de cero son
paralelos el producto
‖�� ‖. ‖�� ‖. 𝐬𝐞𝐧𝜽 = 𝟎.
De aquí se deduce que:
�� × �� ⇔ �� = 𝒄��
Y si 𝜃 = 90º �� × �� = ‖�� ‖. ‖�� ‖ ⇔ �� ⊥ ��
Propiedades del Producto Vectorial:
Consideramos los vectores�� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) y �� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3)
a) No conmutativa
�� × �� = −�� × ��
b) Propiedad Distributiva
�� × (�� + �� ) = �� × �� + �� × 𝐂
c) Propiedades con los vectores coordenados unitarios
�� × �� = 𝟎, 𝒋 × 𝒋 = 𝟎, �� × �� = 𝟎
�� × 𝒋 = ��, 𝒋 × �� = ��, �� × �� = 𝒋
𝒋 × �� = −��, �� × 𝒋 = −��, �� × �� = −𝒋
d) Producto Vectorial como Determinante
�� × �� = (𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2)�� − (𝑎1𝑏3 − 𝑎3𝑏1)�� + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)��
⇒ �� × �� = |�� 𝒋 ��𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
|
��
x
�� =�� x��
��
A
x
𝐂 ⊥ ��
𝐂 ⊥ �� ��
��
Ө
A
a
║𝐂 ║=║�� ║║�� sen Ө
=Área del paralelogramo
h=║�� ║sen Ө
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11 Unidad I- Álgebra Vectorial
Todas estas propiedades se demuestran utilizando las componentes y son inmediatas.
La propiedad d) es muy útil para obtener el producto vectorial como determinante se demuestra
desarrollando el producto �� × �� = (𝑎1�� + 𝑎2𝒋 + 𝑎3��) × (𝑏1�� + 𝑏2𝒋 + 𝑏3��) utilizando la
propiedad b) y la propiedad c)
Esta demostración queda a cargo del lector
Aplicación a la Mecánica
Ejemplo2: Hallar el momento producido por una fuerza de 50 N aplicada con la dirección y
sentido del vector�� = 2�� + 3𝒋 + 6�� en torno a un punto fijo unido al punto de aplicación de la
fuerza por el radio vector �� = (�� + 3𝒋 + 6��) [m] .
El módulo del momento producido por la fuerza está dado por el
producto de la fuerza, la distancia y el seno del ángulo
comprendido entre ambas direcciones.
𝑀 = 𝐹. 𝑟. sen 𝜃
Pero𝐹 = ‖𝐅 ‖, 𝑟 = ‖𝐫 ‖ ⇒ 𝑀 = ‖𝐅 ‖. ‖𝐫 ‖.sen 𝜃
De acuerdo a la figura el sentido y dirección está dado por el
vector que representa el eje de rotación, perpendicular al plano
formado por la fuerza �� y el radio vector �� y el sentido está dado
por la Regla de la Mano derecha.
Por lo tanto podemos representar el momento de una fuerza como producto vectorial del radio
vector por la Fuerza �� = �� × �� dado que cumple con las condiciones de módulo, dirección y
sentido citadas anteriormente.
Del ejemplo 1 , habíamos hallado
𝐅 =(100
7�� +
150
7𝒋 +
300
7��) [𝑵]
Y teneos que el radiovector �� = (�� + 3𝒋 + 6��) [m] .
Aplicamos la definición y:
�� = �� × �� =|
�� 𝒋 ��1 3 6
100
7
150
7
300
7
| [N.m]=(0�� + 300
7𝒋 −
150
7��) [N.m]
�� = (0�� + 300
7𝒋 −
150
7��) [N.m]
y
x
z
Fig. a
F r
M
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12 Unidad I- Álgebra Vectorial
‖�� ‖ = 𝟒𝟕, 𝟗𝟏𝟓𝟕 [N.m] (Módulo del Momento)
�� = (0�� + 0,894𝒋 − 0,447��) (Vector Unitario del Momento,
indica la información de la dirección y sentido de aplicación del Momento)
Producto Mixto.
Dados tres vectores tridimensionales �� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) , �� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3),𝐂 = (𝑐1; 𝑐2; 𝑐3).
Se llama Producto mixto de �� , �� y 𝐂 al escalar que resulta de la operación �� . (�� × 𝐂 )
�� ∙ (�� × 𝐂 ) = �� . |�� 𝒋 ��𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑐1 𝑐2 𝑐3
| = 𝑎1(𝑏2𝑐3 − 𝑏3𝑐2) − 𝑎2(𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1) + 𝑎3(𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)
�� ∙ (�� × 𝐂 ) = |
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑐1 𝑐2 𝑐3
|…(𝛼)
Es decir el producto mixto es el resultado del desarrollo de esta determinante. El paréntesis no es
necesario utilizar en la notación del producto mixto �� ∙ (�� × 𝐂 ) puesto que existen solo dos formas
de desarrollar �� ∙ �� × 𝐂 la primera es realizando primero el producto escalar �� ∙ �� que da por
resultado un escalar y luego el producto vectorial de este escalar por el vector 𝐂 , como esta
operación no está definida (Producto vectorial de escalar por vector) entonces la segunda que es la
correcta es la única forma de realizar la operación señalada por �� ∙ �� × 𝐂 , (realizando primero el
producto vectorial �� × 𝐂 y posteriormente el producto escalar de �� por el resultado de �� × 𝐂 ).
Las propiedades del producto mixto están ligadas a las propiedades de la determinante dada
aplicada a esta operación, y son en esencia resultado de la combinación de las propiedades de
producto escalar y producto vectorial que lo definen.
El resultado del producto mixto es considerado un pseudoescalar puesto que cambia de signo al
variar la orientación del espacio (debido al producto vectorial al que está ligado a su definición).
La demostración de la igualdad (𝛼) queda a cargo del lector.
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13 Unidad I- Álgebra Vectorial
Interpretación Geométrica
Área de base=‖�� × 𝐂 ‖ = ‖�� ‖. ‖𝐂 ‖. sen 𝜃
Altura del paralelepípedo =‖�� ‖. cos 𝛼
Volumen del paralelepípedo = Área de base×Altura
Volumen del paralelepípedo = ‖�� ‖. ‖𝐂 ‖. sen 𝜃 . ‖�� ‖. cos 𝛼
Volumen del paralelepípedo = ‖�� ‖. (‖�� ‖. ‖𝐂 ‖. sen 𝜃). cos 𝛼
Volumen del paralelepípedo = ‖�� ‖. (‖�� × 𝐂 ‖). cos 𝛼
Volumen del paralelepípedo = �� . �� × 𝐂
El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo
construido a partir de estos tres vectores. De aquí se deduce que tres vectores son coplanares si y
solo si su producto mixto es igual a cero.
Referencias Bibliográficas
- Calculus- Tom M. Apostol.
- Análisis Vectorial – Murray Spiegel. Editorial Schaum.