Álgebra lineal. aplicaciones a la astronomía y...
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Álgebra Lineal.
Aplicaciones a la Astronomía y Geofísica.
Curso 2017.
Departamento de Matemática.
Facultad de Ciencias Exactas. Universidad Nacional de La Plata.
Apuntes (en estado de borrador).
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Espacios Vectoriales
Definición de Espacio Vectorial
Un espacio vectorial es un objeto de la matemática constituido a partir de un cuerpo de
escalares, ℱ, un conjunto no vacío de objetos denominados vectores, V, y dos operaciones
(reglas de asignación), ⊕ y ⨀, a saber:
⊕ : V x V → V (suma de vectores)
⨀ : ℱ x V → V (multiplicación de un escalar por un vector)
Donde las operaciones deben cumplir las siguientes condiciones:
Operación ⊕
Lo primero que hay que garantizar es que la operación ⊕ sea cerrada en V, o sea �⃗� ⊕ �⃗⃗� 𝜖 V
∀ �⃗�, �⃗⃗� 𝜖 V.
Conmutatividad en la operación ⊕:
�⃗� ⊕ �⃗⃗� = �⃗⃗� ⊕ �⃗�, ∀ �⃗�, �⃗⃗� 𝜖 V
Asociatividad en la operación ⊕:
�⃗� ⊕ (�⃗⃗� ⊕ �⃗⃗⃗�) = (�⃗� ⊕ �⃗⃗�) ⊕ �⃗⃗⃗�, ∀ �⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗⃗� 𝜖 V
Existencia de elemento neutro en la operación ⊕:
Existe un único elemento de V, 0⃗⃗, tal que:
0⃗⃗ ⊕ �⃗� = �⃗� ⊕ 0⃗⃗ = �⃗�, ∀ �⃗� 𝜖 V
Existencia de elemento inverso en la operación ⊕:
Para cada elemento de V, �⃗� 𝜖 V, existe un único elemento de V, −�⃗� 𝜖 V, tal que:
�⃗� ⊕(-�⃗�) = -�⃗� ⊕ �⃗� = 0⃗⃗
Observación: puede verse que V es un grupo abeliano bajo la operación ⊕.
Tarea:
Demostrar que el elemento neutro en la operación ⊕, 0⃗⃗, es único.
Para cada elemento de V el elemento inverso en la operación ⊕ es único (demostrarlo).
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Operación ⨀
Lo primero que hay que garantizar es que la operación ⨀ sea cerrada en V, o sea a ⨀ �⃗� 𝜖 V
∀ a 𝜖 ℱ y ∀ �⃗� 𝜖 V.
Existencia de elemento neutro en la operación ⨀:
Existe el elemento 1, 1 𝜖 ℱ, tal que para todo �⃗�, �⃗� 𝜖 V, se cumple:
1 ⨀ �⃗� = �⃗�
Asociatividad en la operación ⨀:
a ⨀ (b ⨀ �⃗�) = (a ⋅ b) ⨀ �⃗�, a, b 𝜖 ℱ; �⃗� 𝜖 V, donde ⋅ es el
producto definido sobre el cuerpo ℱ.
Distributividad respecto de la suma de vectores:
a ⨀ (�⃗� ⊕ �⃗⃗�) = a ⨀ �⃗� ⊕ a ⨀ �⃗⃗�, ∀ a 𝜖 ℱ, ∀ �⃗�, �⃗⃗� 𝜖 V
Distributividad respecto de la suma de escalares:
(a + b) ⨀ �⃗� = a ⨀ �⃗� ⊕ b ⨀ �⃗�, ∀ a, b 𝜖 ℱ, ∀ �⃗� 𝜖 V, donde + es
la suma definida sobre el cuerpo ℱ.
Observación: una estructura de espacio vectorial debe contar con:
Un cuerpo ℱ
Un conjunto no vacío V (conjunto de vectores)
Dos operaciones definidas.
Todo esto configura un espacio vectorial. En general, y de manera simbólica, suele abreviarse
esto en la terna (V(ℱ), ⊕, ⨀), y se lee V es un espacio vectorial sobre ℱ bajo las operaciones
⊕ y ⨀.
Notas:
1. En muchas ocasiones se denomina ℱ–espacio vectorial V, para indicar el cuerpo sobre el
cual queda definido el espacio vectorial. También suele nombrarse como espacio vectorial
V(ℱ). Indistintamente utilizaremos la notación (V(ℱ), ⊕, ⨀) -en este caso aparecen
explícitamente los símbolos de las operaciones-, ℱ–espacio vectorial V o espacio vectorial
V(ℱ) -en estos dos casos se indica el cuerpo, pero implícitamente se asume que hay dos
operaciones definidas-.
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2. Un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales suele llamarse por simplicidad “espacio
vectorial real”.
3. Un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos suele llamarse por simplicidad
“espacio vectorial complejo”.
4. Puede demostrarse que todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sí mismo.
5. La definición de espacio vectorial implica que depende en exclusiva del cuerpo, del
conjunto no vacío V y de las dos operaciones definidas. Por ejemplo, un mismo conjunto V
sobre un mismo cuerpo F puede no ser un espacio vectorial para un par de operaciones
definidas, y puede no ser un espacio vectorial para otro par de operaciones definidas.
6. Para demostrar que un objeto matemático es un espacio vectorial lo primero que debe
demostrarse es que las operaciones ⊕ y ⨀ son cerradas en V.
Ejemplos para trabajar en clase:
Dado el conjunto de pares ordenados V = {(x; y) / x, y 𝜖 ℝ} ¿Podemos decir que V es un
espacio vectorial?
Sea V el conjunto de las matrices mxn, de elementos reales, con la suma tal se define para
matrices mxn y la multiplicación por un escalar también tal se define de manera habitual
para matrices mxn. ¿V es un espacio vectorial sobre ℝ? ¿Por qué?
Dados ℱ = ℝ y V = {x / x 𝜖 ℝ, 0 < x}, y las operaciones:
⊕ : x ⊕ y = x ⋅ y ∀ x, y 𝜖 V (donde ⋅ es el producto habitual en ℝ)
⨀ : a ⨀ x = xa ∀ a 𝜖 ℝ, ∀ x 𝜖 V (exponenciación habitual en ℝ)
¿Es (V(ℱ), ⊕, ⨀) un espacio vectorial?
Dados ℱ = ℝ y V = {x / x 𝜖 ℝ, 0 < x}, y las operaciones:
⊕ : x ⊕ y = x + y ∀ x, y 𝜖 V (donde + es la suma habitual en ℝ)
⨀ : a ⨀ x = a ⋅ x ∀ a 𝜖 ℝ, ∀ x 𝜖 V (donde ⋅ es el producto habitual en ℝ)
¿Es (V(ℱ), ⊕, ⨀) un espacio vectorial?
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Para remarcar una vez más: la resolución de estos ejemplos pone en evidencia que V es un
espacio vectorial sobre ℱ a partir de las operaciones definidas y el cumplimiento de la
axiomática que conforma la estructura de espacio vectorial.
Definición de Subespacio Vectorial
Dado un espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀), y S un subconjunto no vacío de V, i.e. S ⊂ V con S
≠ ∅, se dirá que S es un subespacio vectorial de V(ℱ) si con la misma suma ⊕ y el mismo
producto por un escalar ⨀ definidos para V, S tiene la estructura de espacio vectorial.
Esta definición puede ser expresada de otra manera, equivalente a la anterior.
Dado un espacio vectorial V(ℱ), y un conjunto S contenido en V, si S(ℱ) es un espacio
vectorial con las mismas operaciones de suma y producto por un escalar de V, se dirá que S
es un subespacio vectorial de V.
Observación 1: suele ser importante quedarse con un subconjunto que “herede” las
propiedades del conjunto y por lo tanto “reducir” el problema al número mínimo
indispensable de vectores. Esta “reducción” simplifica el problema sin pérdida de
generalidad, por lo que la matemática subyacente queda sin ser modificada.
Observación 2: en matemática, toda definición necesita la “receta” procedimental, por cuanto
es necesario extender la definición a través de lemas y teoremas que nos permitan discernir
si un subconjunto S ⊂ V, con (V(ℱ), ⊕, ⨀) un espacio vectorial, S ≠ ∅ y con las mismas
propiedades de V, es un subespacio vectorial de V.
Teorema:
Sea S un subconjunto no vacío de V.
S es un subespacio del espacio vectorial V(ℱ) si, y sólo si, para todo par de
vectores �⃗� y �⃗⃗� que pertenecen a S y todo escalar a del cuerpo ℱ, el vector
formado a partir de a⨀�⃗� ⊕ �⃗⃗� pertenece a S.
Demostración.
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Si S es un subespacio del espacio vectorial V(ℱ), entonces…
S es un subconjunto no vacío de V que es subespacio vectorial, por cuanto, por definición de
subespacio vectorial, S “hereda” las propiedades del espacio vectorial V(ℱ). Desde esta
perspectiva, ya quedaría realizada la demostración de esta implicancia. No obstante la
desarrollaremos.
Como S ≠ ∅, si el vector �⃗⃗⃗� pertenece a S, también pertenece −�⃗⃗⃗� (porque S “hereda” las
propiedades del espacio vectorial V(ℱ)). De donde es inmediato que el vector nulo en la
operación ⊕ también pertenece a S.
Además, si �⃗⃗⃗� 𝜖 S y a 𝜖 ℱ, a⨀�⃗⃗⃗� también pertenece a S (porque S “hereda” las propiedades
del espacio vectorial V(ℱ)). Por lo que, de esta manera puede demostrarse (por construcción)
que para todo par de vectores �⃗� y �⃗⃗� que pertenecen a S y para todo escalar a del cuerpo ℱ, el
vector formado a partir de a⨀�⃗� ⊕ �⃗⃗� pertenece a S.
Si para todo par de vectores �⃗� y �⃗⃗� que pertenecen a S y todo escalar a del cuerpo ℱ, el
vector formado a partir de a⨀�⃗� ⊕ �⃗⃗� pertenece a S entonces…
En este caso, hay que probar que S es un subespacio vectorial del ℱ–espacio V.
También la demostración puede realizarse por construcción.
Dado el vector �⃗� que pertenece a S, se puede “elegir” el vector conformado por -1⨀�⃗� ⊕ �⃗�
el que está en S (debido a la hipótesis a⨀�⃗� ⊕ �⃗⃗� pertenece a S). Ahora bien, si �⃗� es cualquier
vector de S y podemos escoger cualquier escalar a que pertenece al cuerpo ℱ, como vimos
que -1⨀�⃗� ⊕ �⃗� (= 0⃗⃗) está en S, luego se sigue que a⨀�⃗� ⊕ 0⃗⃗ está en S (por hipótesis), es decir
a⨀�⃗� 𝜖 S. En particular, -1⨀�⃗� 𝜖 S (i.e. -�⃗� 𝜖 S). A partir de ello, exigiendo la asociatividad y
la conmutatividad de la operación ⊕, y el cumplimiento de la axiomática de la operación ⨀
se tiene que S es un subespacio vectorial del espacio vectorial V(ℱ).
Observación: es común que se tome como definición de subespacio vectorial el teorema antes
enunciado o los lemas que a continuación se enunciarán.
El teorema anterior es equivalente a los siguientes lemas:
Lema 1:
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Dado S ⊂ V, con (V(ℱ), ⊕, ⨀) un espacio vectorial. S es un subespacio vectorial de V(ℱ) si,
y sólo si, se satisfacen las siguientes condiciones:
i. S ≠ ∅
ii. Si �⃗�, �⃗⃗� 𝜖 S, entonces �⃗� ⊕ �⃗⃗� 𝜖 S
iii. Si a 𝜖 ℱy �⃗� 𝜖 S, entonces a⨀�⃗� 𝜖 S
Lema 2:
Dado S ⊂ V, con (V(ℱ), ⊕, ⨀) un espacio vectorial. S es un subespacio vectorial de V(ℱ) si,
y sólo si, se satisfacen las siguientes condiciones:
i. 0⃗⃗ 𝜖 S
ii. Si �⃗�, �⃗⃗� 𝜖 S, entonces �⃗� ⊕ �⃗⃗� 𝜖 S
iii. Si �⃗� 𝜖 S y a 𝜖 ℱ, entonces a⨀�⃗� 𝜖 S
Demostración.
La demostración se puede realizar de manera similar a la demostración del teorema.
En el lema 1, S ≠ ∅ garantiza la existencia de al menos un vector. Si es el vector nulo para
la operación ⊕ se trata del subespacio trivial (o también denominado subespacio nulo).
En el lema 2, la exigencia que 0⃗⃗ 𝜖 S es equivalente a pedir que S ≠ ∅.
Ejemplos para trabajar en clase:
Consideremos el conjunto de los números complejos, ℂ. Al ser ℂ un cuerpo, es un espacio
vectorial sobre sí mismo. El conjunto de los números reales, ℝ, es un subconjunto de ℂ.
Pregunta: ¿es ℝ un subespacio vectorial del espacio vectorial ℂ?
Recordamos que una matriz cuadrada nxn (sobre el cuerpo ℱ) se llama simétrica si se
cumple que Aij = Aji. Las matrices simétricas ¿forman un subespacio del espacio vectorial
de las matrices cuadradas Anxn(ℱ)?
Sea A una matriz mxn sobre ℱ. Demostrar que el conjunto de todas las matrices nx1
(columna), X, sobre ℱ, tales que AX = 0, es un subespacio del espacio de todas las
matrices nx1 sobre ℱ.
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Al trabajar en espacios vectoriales estamos trabajando con objetos de esos espacios, por lo
que además de la definición propia de “espacio vectorial” es necesario dar otras definiciones
que posibiliten la “manipulación” matemática de dichos objetos.
Definición de combinación lineal
Un vector �⃗⃗�, �⃗⃗� 𝜖 V, se dice que es una combinación lineal de los vectores �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, …, �⃗�𝑟
en V si existen escalares 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …, 𝑎𝑟 que pertenecen a ℱ tal que:
�⃗⃗� = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 + 𝑎3�⃗�3 + ⋯+ 𝑎𝑟�⃗�𝑟 = ∑𝑎𝑖�⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
Notar que estamos usando + (por abuso de lenguaje) para dar cuenta de la operación ⊕, y
𝑎𝑖�⃗�𝑖(por abuso de lenguaje) para indicar la operación 𝑎𝑖⨀�⃗�𝑖.
También debemos notar que dado que (V(ℱ), ⊕, ⨀) es un espacio vectorial, para
combinaciones lineales vale lo siguiente:
∑𝑎𝑖�⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
+ ∑𝑏𝑖�⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
= ∑(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖)�⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
𝑐 ∑𝑎𝑖�⃗�𝑖 = ∑ 𝑐𝑎𝑖�⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
𝑖=𝑟
𝑖=1
La definición de combinación lineal nos permite avanzar, para entender de manera algebraica
los conceptos de base y dimensión. Para esto necesitamos el concepto de independencia lineal
de conjunto de generadores.
Definición de dependencia lineal
Sea V un ℱ-espacio vectorial. Sea C un subconjunto de V. Diremos que C es linealmente
dependiente si existen escalares 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …, 𝑎𝑟 que pertenecen a ℱ, no todos nulos, para
un conjunto de vectores �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, …, �⃗�𝑟 que pertenece a C tal que:
0⃗⃗ = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 + 𝑎3�⃗�3 + ⋯+ 𝑎𝑟�⃗�𝑟
Donde 0⃗⃗ es el vector nulo.
Observación: a partir de la igualdad establecida en la definición de dependencia lineal, puede
verse que existe un vector, �⃗�𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟, que puede escribirse como combinación lineal
de los restantes 𝑟 − 1 vectores.
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La definición de dependencia lineal nos lleva a entender el significado de independencia
lineal.
El subconjunto C de V, donde V es un ℱ-espacio vectorial, se dice linealmente independiente
si la igualdad
0⃗⃗ = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 + 𝑎3�⃗�3 + ⋯+ 𝑎𝑟�⃗�𝑟
se satisface si, y sólo si, los escalares 𝑎𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟, son todos nulos. Es decir, 𝑎1 = 𝑎2 =
𝑎3 = ⋯ = 𝑎𝑟 = 0.
Si el subconjunto C de V, donde V es un ℱ-espacio vectorial, tiene un número finito de
vectores �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, …, �⃗�𝑟 se suele decir, por abuso de lenguaje, que los 𝑟-vectores �⃗�1, �⃗�2,
�⃗�3, …, �⃗�𝑟 son linealmente dependientes (independientes).
Consecuencias de la definición de dependencia lineal.
Es fácil demostrar que:
1. Todo conjunto que contiene un conjunto linealmente dependiente es linealmente
dependiente.
2. Todo subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente
independiente.
3. Todo conjunto que contiene al vector nulo, 0⃗⃗, es linealmente dependiente.
4. Si el conjunto C es un subespacio del espacio vectorial V(ℱ), entonces C es
linealmente dependiente.
Definición de conjunto generador (sistema de generadores)
El subconjunto G de V, donde V es un ℱ-espacio vectorial, se dice que es un conjunto
generador de V si todo vector que pertenece a V puede ser escrito como una combinación
lineal de los vectores que pertenecen a G.
Si el subconjunto G de V tiene un número finito de vectores �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, …, �⃗�𝑟, en general, se
dice que el conjunto de vectores �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, …, �⃗�𝑟 es un sistema de generadores de V si todo
elemento de V puede escribirse como combinación lineal de los vectores �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, …, �⃗�𝑟.
En notación formal, un sistema de generadores puede ser definido como:
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Sea V un ℱ-espacio vectorial, con G ⊂ V.
G = {𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗, …, 𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ }
∀�⃗�, �⃗� ∈ V, ∃𝑐𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, 𝑐𝑖 ∈ ℱ, tal que:
�⃗� = ∑𝑐𝑖�⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
Ejemplo trivial:
G = {(1; 0), (0; 1)} ⊂ ℝ2, con ℱ = ℝ.
�⃗� = 𝑎(1; 0) + 𝑏(0; 1) = (𝑎; 𝑏), con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
Base y dimensión.
Sea V un ℱ-espacio vectorial. Una base B del espacio V es un conjunto de vectores
linealmente independiente que genera al espacio V.
El espacio V es de dimensión finita si tiene una base finita, i.e. el conjunto B tiene una
cantidad finita de elementos, y la dimensión del espacio es el número de elementos de B (el
número de vectores linealmente independientes que general al espacio V).
Para el caso de dimensión finita puede aceptarse la siguiente definición como definición de
base:
El conjunto finito de vectores B = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛} se dice que es una base del ℱ-espacio
vectorial V si se cumplen las dos condiciones siguientes:
a. B es linealmente independiente. Es decir, los vectores 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛 son
linealmente independientes.
b. B es un conjunto generador de V. Es decir, todo vector del ℱ-espacio vectorial V se
puede escribir como combinación lineal de los vectores 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛.
Esta definición conduce a las siguientes proposiciones, con carácter de lema:
Lema 1:
Si V es un espacio vectorial que posee una base con n elementos, cualesquiera n + 1 vectores
de V son linealmente dependientes.
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Demostración:
Sea B = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛} una base del ℱ-espacio vectorial V. Luego, por definición de
base, todo vector del espacio vectorial V puede ser escrito como una combinación lineal de
los vectores de B.
�⃗�1 = ∑𝑐𝑖,1𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
; �⃗�2 = ∑𝑐𝑖,2𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
; �⃗�3 = ∑𝑐𝑖,3𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
; … ; �⃗�𝑛 = ∑𝑐𝑖,𝑛𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
; �⃗�𝑛+1 = ∑𝑐𝑖,𝑛+1𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
Ahora debemos ver si los n + 1 vectores �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, …, �⃗�𝑛+1 son linealmente
independientes. Es decir, debemos ver si existen escalares 𝑎𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1, todos
“simultáneamente” nulos tales que:
0⃗⃗ = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 + 𝑎3�⃗�3 + ⋯+ 𝑎𝑛�⃗�𝑛 + 𝑎𝑛+1�⃗�𝑛+1
Reemplazando cada �⃗�𝑗 , con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1, resulta:
0⃗⃗ = 𝑎1 ∑𝑐𝑖,1𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
+ 𝑎2 ∑𝑐𝑖,2𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
+ 𝑎3 ∑𝑐𝑖,3𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
+ ⋯+ 𝑎𝑛 ∑𝑐𝑖,𝑛𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
+ 𝑎𝑛+1 ∑𝑐𝑖,𝑛+1𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
Luego de operar algebraicamente (realizar la serie de operaciones), agrupando los
coeficientes de cada 𝑒𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1, e imponiendo la condición de igualdad al vector
nulo, se arriba a lo siguiente:
𝑎1𝑐1,1 + 𝑎2𝑐1,2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑐1,𝑛 + 𝑎𝑛+1𝑐1,𝑛+1 = 0
𝑎1𝑐2,1 + 𝑎2𝑐2,2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑐2,𝑛 + 𝑎𝑛+1𝑐2,𝑛+1 = 0
𝑎1𝑐3,1 + 𝑎2𝑐3,2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑐3,𝑛 + 𝑎𝑛+1𝑐3,𝑛+1 = 0
⋮
𝑎1𝑐𝑛,1 + 𝑎2𝑐𝑛,2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑐𝑛,𝑛 + 𝑎𝑛+1𝑐𝑛,𝑛+1 = 0
Esta presentación nos induce a tomar lo obtenido como un sistema de n ecuaciones con
n+1 incógnitas. Además, el sistema es homogéneo. Y por el Teorema de
Rouché-Frobenius sabemos que el sistema siempre tendrá una solución no trivial, de donde
se desprende que no todos los 𝑎𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1, son nulos. Es decir, el conjunto de los
vectores �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, …, �⃗�𝑛+1 es linealmente dependiente.
Lema 2:
Sea V un espacio vectorial de dimensión n (dim(V) = n).
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en V es una base de V.
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Demostración:
Sean 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛 vectores linealmente independientes (en el espacio vectorial V).
Tomemos el conjunto de vectores {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛, �⃗⃗�}. Es decir, hay n+1 vectores, y
sabemos por el lema anterior que estos n+1 vectores son linealmente dependientes.
0⃗⃗ = 𝑎0�⃗⃗� + 𝑎1𝑒1 + 𝑎2𝑒2 + 𝑎3𝑒3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑒𝑛
Es fácil ver que 𝑎0 ≠ 0, dado que si fuera igual a 0 los 𝑎𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, serían todos nulos,
porque los 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛 son vectores linealmente independientes. Esto conduce a que el
vector �⃗⃗� puede generarse a partir de los vectores 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛:
�⃗⃗� = − ( 𝑎1
𝑎0𝑒1 +
𝑎2
𝑎0𝑒2 +
𝑎3
𝑎0𝑒3 + ⋯+
𝑎𝑛
𝑎0𝑒𝑛)
�⃗⃗� = 𝑏1𝑒1 + 𝑏2𝑒2 + 𝑏3𝑒3 + ⋯+ 𝑏𝑛𝑒𝑛
De aquí que {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛} es un sistema de generadores de V, y como son linealmente
independientes, por definición, son una base para V.
Lema 3:
Sea V un espacio vectorial de dimensión n (dim(V) = n).
Todo conjunto de m vectores linealmente independientes de V, con m < n, puede completarse
para obtener una base de V.
Demostración:
Es decir, hay que demostrar que dados 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑚 vectores linealmente independientes
existen n – m vectores, 𝑒𝑚+1, 𝑒𝑚+2, 𝑒𝑚+3, …, 𝑒𝑛, tal que el conjunto {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑚,
𝑒𝑚+1, 𝑒𝑚+2, 𝑒𝑚+3, …, 𝑒𝑛} sea una base de V.
Por definición de base y dimensión para un conjunto finito de vectores, la dimensión es el
número de vectores linealmente independientes. Como la dimensión de V, por hipótesis, es
n, implica que debe haber un conjunto con n vectores linealmente independientes (de lo
contrario se contradeciría la definición de dimensión). A partir de esto, y por construcción
pueden obtenerse los n – m vectores restantes para completar una base de V. Ahora bien, los
lemas 1 y 2 precedentes son los que nos garantizan la posibilidad de esta construcción.
Lema 4:
Sea V un espacio vectorial de dimensión n (dim(V) = n).
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Sea G un conjunto de generadores de V. Se puede hallar un subconjunto G1 de G (G1 ⊂ G)
tal que G1 sea una base de V.
Demostración:
Se elige un vector no nulo, �⃗�1que pertenece a G1. Luego se vuelve a elegir otro vector, �⃗�2,
el que también es no nulo y pertenece a G1 de forma que sea linealmente independiente con
�⃗�1. Este procedimiento se continúa hasta hallar el vector no nulo, �⃗�𝑛, que pertenece a G1 y
es linealmente independiente con los n – 1 vectores previamente hallados. Por la hipótesis
dim(V) = n, y el lema 1 sabemos que es el número máximo de vectores linealmente
independientes que podemos construir. Pero, además, G1 es un subconjunto del conjunto de
generadores G, por lo que engendra al espacio V. De esto que cumple con la definición de
base de un espacio vectorial.
Teorema:
Todas las bases de un mismo espacio vectorial poseen el mismo número de
elementos.
Demostración:
Los lemas anteriores son la base para realizar la demostración del teorema.
Otra manera de enunciar, de forma extensiva, el teorema previo es la siguiente: Sea V un
espacio vectorial. Todas las bases de V tienen el mismo cardinal.
Lo importante que nos está indicando este teorema es:
Los espacios vectoriales pueden tener más de una base.
Toda base de un espacio vectorial está caracterizada por un invariante que es un número:
a saber, la cantidad de vectores linealmente independientes que generan el espacio, esto
es la dimensión. Desde el punto de vista de las propiedades algebraicas del espacio, este
número (la dimensión) proporciona toda la información que necesitamos.
Y si hay más de una base, y todas las bases poseen el mismo número de elementos, debe
haber una forma matemática que posibilite la conexión de una base con otra. Y esto se
debe a que todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los
elementos de una base.
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Bases. Coordenadas. Cambios de base.
Un vector dado, �⃗�, tiene una expresión única como combinación lineal de los vectores de la
base canónica {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛}, y la coordenada i-ésima 𝑎𝑖 de �⃗� es el coeficiente de 𝑒𝑖 en
la expresión de la combinación lineal mediante la cual queda definido �⃗�.
�⃗� = ∑𝑎𝑖𝑒𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
Esta manera de identificar coordenada con coeficiente se puede realizar porque se trata de
la base canónica, que es una base ordenada de vectores. Si se tiene una base arbitraria
cualquiera es necesario imponerle un orden a los vectores que componen la base, de forma
de poder asignar la coordenada i-ésima de �⃗� con respecto a la base en cuestión. Dicho de otra
manera, las coordenadas sólo pueden ser definidas respecto a una sucesión de vectores y no
respecto a un conjunto de vectores. Para ello necesitamos la definición de “base ordenada”.
Definición de base ordenada
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita.
Se llamará base ordenada de V a una sucesión finita de vectores linealmente independientes
que generan a V.
Lema:
Dado un ℱ-espacio vectorial V de dimensión finita, y una base ordenada de este espacio, �⃗⃗⃗�1,
�⃗⃗⃗�2, �⃗⃗⃗�3, …, �⃗⃗⃗�𝑛, existe un conjunto único de escalares 𝑐𝑖, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, tales que:
�⃗� = ∑𝑐𝑖 �⃗⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
Demostración:
Supongamos que �⃗� puede escribirse a través de diferentes escalares para una misma base
ordenada, es decir:
�⃗� = ∑𝑐𝑖 �⃗⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
�⃗� = ∑𝑑𝑖 �⃗⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
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A partir de la suma (por el inverso multiplicativo en escalares en el segundo de los casos) se
obtiene:
0⃗⃗ = ∑(𝑐𝑖 − 𝑑𝑖)�⃗⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
Pero dado que los �⃗⃗⃗�𝑖, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, son linealmente independientes, luego 𝑐𝑖 − 𝑑𝑖 = 0. Y
así queda demostrado que 𝑐𝑖 = 𝑑𝑖, para todo i.
Definición de coordenada
Dada la base ordenada Bo = {�⃗⃗⃗�1, �⃗⃗⃗�2, �⃗⃗⃗�3, … , �⃗⃗⃗�𝑛} y el vector �⃗� escrito como combinación lineal
de la sucesión finita de vectores linealmente independientes de Bo
�⃗� = ∑𝑐𝑖 �⃗⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
Se llamará a 𝑐𝑖 la i-ésima coordenada de �⃗� respecto a la base ordenada Bo.
Propiedad:
Cada base ordenada de un espacio vectorial V determina una correspondencia biunívoca
�⃗� → (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛)
Donde (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛) es la n-upla en ℱ𝑛.
Ejemplo:
Dada la base ordenada de versores unitarios en ℝ2, {𝑖̌, 𝑗̌}, todo vector �⃗� puede expresarse a
partir de la combinación lineal de estos dos versores:
�⃗� = 𝑎𝑖̌ + 𝑏𝑗̌ → (𝑎, 𝑏)
Donde (𝑎, 𝑏) es una 2-upla en ℝ2, y a es la primera coordenada de �⃗� en la base ordenada
dada, y b la segunda coordenada.
Es frecuente asociar cada n-upla en ℱ𝑛, (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛), con una matriz columna, C, a la
que se denomina “matriz de coordenadas del vector �⃗� en la base ordenada B”.
16
(𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛) → 𝐶 =
[ 𝑐1
𝑐2
𝑐3
⋮𝑐𝑛]
= [�⃗�]𝐵
Cambios de base
Dadas dos bases ordenadas, B = {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3, …, �⃗⃗�𝑛} y B* = {�⃗⃗⃗�1, �⃗⃗⃗�2, �⃗⃗⃗�3, …, �⃗⃗⃗�𝑛} por
ejemplo, sabemos que cada elemento de B puede ser escrito como combinación lineal de los
elementos de B*:
�⃗⃗�1 = ∑𝑐𝑖,1�⃗⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
= 𝑐1,1�⃗⃗⃗�1 + 𝑐2,1�⃗⃗⃗�2 + 𝑐3,1�⃗⃗⃗�3 + ⋯+ 𝑐𝑛,1�⃗⃗⃗�𝑛
�⃗⃗�2 = ∑𝑐𝑖,2�⃗⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
= 𝑐1,2�⃗⃗⃗�1 + 𝑐2,2�⃗⃗⃗�2 + 𝑐3,2�⃗⃗⃗�3 + ⋯+ 𝑐𝑛,2�⃗⃗⃗�𝑛
�⃗⃗�3 = ∑𝑐𝑖,3�⃗⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
= 𝑐1,3�⃗⃗⃗�1 + 𝑐2,3�⃗⃗⃗�2 + 𝑐3,3�⃗⃗⃗�3 + ⋯+ 𝑐𝑛,3�⃗⃗⃗�𝑛
⋮
�⃗⃗�𝑛 = ∑𝑐𝑖,𝑛�⃗⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
= 𝑐1,𝑛�⃗⃗⃗�1 + 𝑐2,𝑛�⃗⃗⃗�2 + 𝑐3,𝑛�⃗⃗⃗�3 + ⋯+ 𝑐𝑛,𝑛�⃗⃗⃗�𝑛
Es decir:
�⃗⃗�𝑘 = ∑ 𝑐𝑗,𝑘 �⃗⃗⃗�𝑗
𝑗=𝑛
𝑗=1
Sea �⃗� un vector del espacio vectorial V. Su expresión en la base B vendrá dada por la
combinación lineal siguiente:
�⃗� = ∑𝑥𝑖 �⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
Pero sabemos que cada �⃗⃗�𝑖 puede ser escrito como combinación lineal de vectores de la base
B*. Haciendo ello resulta que:
17
�⃗� = ∑𝑥𝑖 ∑ 𝑐𝑗,𝑖 �⃗⃗⃗�𝑗
𝑗=𝑛
𝑗=1
𝑖=𝑛
𝑖=1
= ∑∑ 𝑐𝑗,𝑖
𝑗=𝑛
𝑗=1
𝑖=𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 �⃗⃗⃗�𝑗
Sabemos, además, que al vector �⃗� lo podemos escribir como combinación lineal en la base
B*.
�⃗� = ∑ 𝑥𝑘∗�⃗⃗⃗�𝑘
𝑘=𝑛
𝑘=1
Luego:
�⃗� = ∑ 𝑥𝑗∗�⃗⃗⃗�𝑗
𝑗=𝑛
𝑗=1
= ∑∑ 𝑐𝑗,𝑖
𝑗=𝑛
𝑗=1
𝑖=𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 �⃗⃗⃗�𝑗
Y como vimos, la expresión en una base es única, por lo tanto, las coordenadas son iguales,
de lo que se obtiene:
𝑥𝑗∗ = ∑𝑐𝑗,𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖
Hemos obtenido las coordenadas de la base B* expresadas en relación a las coordenadas de
la base B. De forma análoga puede pasarse de las coordenadas en la base B* a las coordenadas
en la base B.
𝑥𝑘 = ∑ 𝑑𝑘,𝑚
𝑚=𝑛
𝑚=1
𝑥𝑚∗
Hemos utilizado una notación que sugiere la posibilidad del uso de matrices. Pasemos ahora
a vislumbrar esta escritura en términos matriciales.
Podemos escribir el vector �⃗� como matriz columna 𝑋 de coordenadas en la base B, y como
matriz columna 𝑋∗ de coordenadas en la base B*.
𝑋 =
[ 𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮𝑥𝑛]
= [�⃗�]𝐵 𝑋∗ =
[ 𝑥1
∗
𝑥2∗
𝑥3∗
⋮𝑥𝑛
∗ ]
= [�⃗�]𝐵∗
De esta manera podemos postular que existirá una matriz 𝑃 (𝑃𝑛𝑥𝑛) tal que permita obtener
𝑋 a partir de 𝑋∗. Es decir:
𝑋 = 𝑃𝑋∗
[�⃗�]𝐵 = 𝑃[�⃗�]𝐵∗
18
A partir de la relación
𝑥𝑗∗ = ∑𝑐𝑗,𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖
La matriz columna nula 𝑋 = 𝟎 implica que 𝑋∗ sea nula.
Y a partir de la relación
𝑥𝑘 = ∑ 𝑑𝑘,𝑚
𝑚=𝑛
𝑚=1
𝑥𝑚∗
Es fácil ver, también, que la matriz columna nula 𝑋∗ = 𝟎 implica que 𝑋 sea nula.
Estos dos hechos provienen de que B y B* son bases ordenadas del espacio vectorial V, es
decir conjuntos que contienen n vectores linealmente independientes y generan a V. La
independencia lineal garantiza que la única manera de obtener el vector nulo, 0⃗⃗, es a partir
de tener todos coeficientes nulos en la combinación lineal de los vectores de la base.
Además, si 𝑋 = 𝑃𝑋∗ y la única solución a 𝟎 = 𝑃𝑋∗ es la solución trivial 𝑋∗ = 𝟎, lo que es
equivalente a que 𝑃 es invertible1 e indicamos a la inversa de 𝑃 como 𝑃−1.
𝑋 = 𝑃𝑋∗ o también escrito como [�⃗�]𝐵 = 𝑃[�⃗�]𝐵∗
Dado que hemos visto que 𝑃 es invertible (𝑃𝑃−1 = 𝑃−1𝑃 = 𝐼𝑛𝑥𝑛, donde 𝐼𝑛𝑥𝑛 es la matriz
identidad) se obtiene que:
𝑃−1𝑋 = 𝑋∗ o también escrito como 𝑃−1[�⃗�]𝐵 = [�⃗�]𝐵∗
Todo lo anterior puede comprenderse como fundamento y demostración del siguiente
teorema:
Teorema:
Sea V un ℱ-espacio vectorial de dimensión n. Sean B y B* dos bases
ordenadas de V. Entonces existe una única matriz 𝑃, invertible, tal que:
[�⃗�]𝐵 = 𝑃[�⃗�]𝐵∗
[�⃗�]𝐵∗ = 𝑃−1[�⃗�]𝐵
para todo vector �⃗� del espacio V, donde las columnas de 𝑃 están dadas por
𝑃𝑗 = [�⃗�𝑗∗]𝐵 (componentes del vector �⃗�𝑗
∗ en la base B), con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.
1 Recordamos el teorema que indica que “si 𝐴 es una matriz nxn (cuadrada), 𝐴 es equivalente por
filas a la matriz identidad nxn, si, y solo si, el sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝟎
tiene solamente la solución trivial”. Esto es lo mismo que decir que 𝐴 es invertible.
19
Es decir, la base B* se obtiene de la base B mediante la matriz cambio de base 𝑃, que en
general se denota 𝑃𝐵𝐵∗ o 𝑃𝐵→𝐵∗.
Ejemplo:
Supongamos que dos bases de un espacio vectorial V de dimensión finita n son:
𝐵 = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, …, 𝑒𝑛}
𝐵∗ = {𝑒1∗, 𝑒2
∗, 𝑒3∗…, 𝑒𝑛
∗}
Tomemos un vector arbitrario �⃗� y escribámoslo de los vectores de la base B:
�⃗� = 𝑐1𝑒1 + 𝑐2𝑒2 + 𝑐3𝑒3 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑒𝑛
[�⃗�]𝐵 =
[ 𝑐1
𝑐2
𝑐3
⋮𝑐𝑛]
Entonces �⃗� en la base B* podemos pensarlo como:
[�⃗�]𝐵∗ = [𝑐1𝑒1 + 𝑐2𝑒2 + 𝑐3𝑒3 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑒𝑛]𝐵∗
[�⃗�]𝐵∗ = [𝑐1𝑒1]𝐵∗ + [𝑐2𝑒2]𝐵∗ + [𝑐3𝑒3]𝐵∗ + ⋯+ [𝑐𝑛𝑒𝑛]𝐵∗
[�⃗�]𝐵∗ = 𝑐1[𝑒1]𝐵∗ + 𝑐2[𝑒⃗⃗⃗⃗ 2]𝐵∗ + 𝑐3[𝑒⃗⃗⃗⃗ 3]𝐵∗ + ⋯+ 𝑐𝑛[𝑒𝑛]𝐵∗
Ahora denotamos al vector de coordenadas de 𝑒𝑗 con respecto a la base B* de la siguiente
manera:
[𝑒𝑗]𝐵∗ =
[ 𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
𝑎3𝑗
⋮𝑎𝑛𝑗]
De esta forma:
[�⃗�]𝐵∗ = 𝑐1
[ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
⋮𝑎𝑛1]
+ 𝑐2
[ 𝑎12
𝑎22
𝑎32
⋮𝑎𝑛2]
+ 𝑐3
[ 𝑎13
𝑎23
𝑎33
⋮𝑎𝑛3]
+ ⋯+ 𝑐𝑛
[ 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
⋮𝑎𝑛𝑛]
Por lo que [�⃗�]𝐵∗ puede escribirse a través de la multiplicación de las siguientes matrices:
20
[�⃗�]𝐵∗ =
[ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯𝑎2𝑛𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯𝑎𝑛𝑛]
[ 𝑐1
𝑐2
𝑐3
⋮𝑐𝑛]
[�⃗�]𝐵∗ = 𝑃[�⃗�]𝐵
Luego la matriz 𝑃𝐵→𝐵∗ puede escribirse como:
𝑃𝐵→𝐵∗ =
[ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯𝑎2𝑛𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯𝑎𝑛𝑛]
Notemos que es indistinto qué base sea elegida. Alcanza comenzar con una, porque
inmediatamente se tiene el cambio inverso a partir de la matriz inversa.
𝑃𝐵→𝐵∗ = (𝑃𝐵∗→𝐵)−1
21
Ahora retomaremos algunas cuestiones relativas a subespacios vectoriales, debido, entre
otras cosas, a que necesitamos definiciones tales como la de dimensión.
Recordamos que dado un espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀), y S un subconjunto no vacío de
V, i.e. S ⊂ V con S ≠ ∅, se dirá que S es un subespacio vectorial de V(ℱ) si con la misma
suma ⊕ y el mismo producto por un escalar ⨀ definidos para V, S tiene la estructura de
espacio vectorial.
Operaciones entre subespacios vectoriales
La familia de subespacios de un espacio vectorial puede admitir una serie de operaciones
tales como intersección y suma, que a continuación se definirán.
Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀)
Definición de intersección:
𝑆1 ∩ 𝑆2 = {�⃗�: �⃗� ∈ 𝑆1 ∧ �⃗� ∈ 𝑆2}
Definición de suma:
𝑆1 + 𝑆2 = {�⃗�1 + �⃗�2: �⃗�1 ∈ 𝑆1 ∧ �⃗�2 ∈ 𝑆2}
Teorema:
Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀).
La intersección S1∩S2 es un subespacio vectorial de V(ℱ).
Demostración:
Es fácil ver que si los elementos �⃗� y �⃗⃗� pertenecen a la intersección, S1∩S2, cada uno de ellos
pertenece a cada subespacio (por definición de intersección), luego la suma, �⃗� ⊕ �⃗⃗�,
pertenece a cada subespacio (por definición de subespacio), por lo que �⃗� ⊕ �⃗⃗� pertenece a
S1∩S2. El mismo argumento es aplicable a la operación ⨀.
Extensión del teorema anterior:
Sean Si, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, r subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀). La
intersección ⋂ 𝑆𝑖𝑟𝑖=1 es un subespacio vectorial de V(ℱ).
22
La demostración puede realizarse de manera inductiva, donde la base de inducción está
garantizada a través de la demostración previa.
Definición:
Sea S un conjunto de vectores de un espacio vectorial V. El subespacio generado por S se
define como intersección W de todos los subespacios de V que contienen a S.
De manera operativa, puede comprenderse esta definición de la siguiente manera:
𝑆 ⊂ 𝑉, V un ℱ-espacio vectorial.
𝑆 = {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3, … , �⃗⃗�𝑠}, el subespacio de V generado por S puede escribirse como:
𝐿(𝑆) = ⟨𝑆⟩ = {∑𝑎𝑗 �⃗⃗�𝑗:
𝑗=𝑠
𝑗=1
𝑎𝑗 ∈ ℱ}
Sin entrar en detalles, diremos que esta definición es la que posibilita las definiciones de
suma de subespacios vectoriales.
Teorema:
Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀).
La suma S1+S2 es un subespacio vectorial de V(ℱ).
Demostración:
Si �⃗� y �⃗⃗� pertenecen a S1+S2, existen vectores tales que �⃗� = �⃗�1 ⊕ �⃗�2, con �⃗�1 ∈ 𝑆1 y �⃗�2 ∈
𝑆2, y �⃗⃗� = �⃗⃗�1 ⊕ �⃗⃗�2, con �⃗⃗�1 ∈ 𝑆1 y �⃗⃗�2 ∈ 𝑆2, por definición de S1+S2.
Luego �⃗� ⊕ �⃗⃗� = (�⃗�1 ⊕ �⃗�2) ⊕ ( �⃗⃗�1 ⊕ �⃗⃗�2) = (�⃗�1 ⊕ �⃗⃗�1) + (�⃗�2 ⊕ �⃗⃗�2), por asociatividad en
V(ℱ), con (�⃗�1 ⊕ �⃗⃗�1) ∈ 𝑆1 y (�⃗�2 ⊕ �⃗⃗�2) ∈ 𝑆2 por ser 𝑆1 y 𝑆2 subespacios del espacio
vectorial V(ℱ), luego �⃗� + �⃗⃗� ∈ S1+S2.
Si �⃗� pertenece a S1+S2, existen vectores tales que �⃗� = �⃗�1 ⊕ �⃗�2, con �⃗�1 ∈ 𝑆1 y �⃗�2 ∈ 𝑆2. De
donde es inmediato que para 𝑎 ∈ ℱ, 𝑎⨀�⃗� ∈ S1+S2, porque 𝑎⨀�⃗� = 𝑎⨀�⃗�1 ⊕ 𝑎⨀�⃗�2, con
𝑎⨀�⃗�1 ∈ 𝑆1 y 𝑎⨀�⃗�2 ∈ 𝑆2 por ser 𝑆1 y 𝑆2 subespacios del espacio vectorial V(ℱ).
23
Extensión del teorema anterior:
Sean Si, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, r subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀). La
suma ∑ 𝑆𝑖𝑟𝑖=1 es un subespacio vectorial de V(ℱ).
La demostración puede realizarse de manera inductiva, donde la base de inducción está
garantizada a través de la demostración previa.
Teorema de la dimensión para la suma de subespacios S1+S2:
Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀),
de dimensión finita, dim(S1) = s y dim(S2) = t. Entonces:
dim( S1+S2) = dim(S1) + dim(S2) – dim(S1∩S2)
Demostración:
Sea {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3, … , �⃗⃗�𝑟} una base de S1∩S2. De forma que dim(S1∩S2) = r.
Completamos este conjunto de vectores, {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3, … , �⃗⃗�𝑟 , �⃗�𝑟+1, … , �⃗�𝑠} de manera que sea
una base de S1, y {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3, … , �⃗⃗�𝑟 , �⃗⃗⃗�𝑟+1, … , �⃗⃗⃗�𝑡} una base de S2. Ahora lo que hay que ver
es que {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3, … , �⃗⃗�𝑟 , �⃗�𝑟+1, … , �⃗�𝑠, �⃗⃗⃗�𝑟+1, … , �⃗⃗⃗�𝑡} es una base de S1+S2.
Es claro que es un sistema de generadores de S1+S2, por la definición de +. Veamos que
es un conjunto linealmente independiente. Supongamos que:
∑𝑎𝑖 �⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
+ ∑ 𝑏𝑗�⃗�𝑗
𝑗=𝑠
𝑗=𝑟+1
+ ∑ 𝑐𝑘 �⃗⃗⃗�𝑘
𝑘=𝑡
𝑘=𝑟+1
= 0⃗⃗
Entonces
∑𝑎𝑖 �⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
+ ∑ 𝑏𝑗�⃗�𝑗
𝑗=𝑠
𝑗=𝑟+1
= − ∑ 𝑐𝑘 �⃗⃗⃗�𝑘
𝑘=𝑡
𝑘=𝑟+1
∑ 𝑎𝑖 �⃗⃗�𝑖 𝑖=𝑟𝑖=1 + ∑ 𝑏𝑗�⃗�𝑗
𝑗=𝑠𝑗=𝑟+1 es una combinación lineal tal que pertenece a S1, y
∑ 𝑐𝑘 �⃗⃗⃗�𝑘 𝑘=𝑡𝑘=𝑟+1 pertenece a S2. Más aún, como ∑ 𝑎𝑖 �⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑟𝑖=1 + ∑ 𝑏𝑗�⃗�𝑗
𝑗=𝑠𝑗=𝑟+1 = − ∑ 𝑐𝑘 �⃗⃗⃗�𝑘
𝑘=𝑡𝑘=𝑟+1 ,
se desprende que ∑ 𝑐𝑘 �⃗⃗⃗�𝑘 𝑘=𝑡𝑘=𝑟+1 pertenece a S1∩S2. Por lo que puede expresarse como una
combinación lineal de la base de S1∩S2.
− ∑ 𝑐𝑘 �⃗⃗⃗�𝑘
𝑘=𝑡
𝑘=𝑟+1
= ∑𝑑𝑖 �⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
24
Equivalentemente,
∑𝑑𝑖 �⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
+ ∑ 𝑐𝑘 �⃗⃗⃗�𝑘
𝑘=𝑡
𝑘=𝑟+1
= 0⃗⃗
Pero {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3, … , �⃗⃗�𝑟 , �⃗⃗⃗�𝑟+1, … , �⃗⃗⃗�𝑡} es una base de S2. Luego 𝑑𝑖 = 0, ∀𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, y 𝑐𝑘 =
0, ∀𝑘, 𝑟 + 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑡. De esto surge que
∑𝑎𝑖 �⃗⃗�𝑖
𝑖=𝑟
𝑖=1
+ ∑ 𝑏𝑗�⃗�𝑗
𝑗=𝑠
𝑗=𝑟+1
= 0⃗⃗
Pero {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3, … , �⃗⃗�𝑟 , �⃗�𝑟+1, … , �⃗�𝑠} es una base de S1. Luego 𝑎𝑖 = 0, ∀𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, y
𝑏𝑗 = 0, ∀𝑗, 𝑟 + 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑠. Por lo que hemos probado que la colección de vectores
{�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3, … , �⃗⃗�𝑟 , �⃗�𝑟+1, … , �⃗�𝑠, �⃗⃗⃗�𝑟+1, … , �⃗⃗⃗�𝑡} es un conjunto linealmente independiente.
Luego,
dim( S1+S2) = r + (s – r) + (t – r) = s + t – r = dim(S1) + dim(S2) – dim(S1∩S2)
Un caso de singular importancia se da cuando S1∩S2 = {0⃗⃗}, es decir dim(S1∩S2) = 0. En
este caso se dice que se tiene suma directa.
Definición de Suma Directa
Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀). Se dice que V
es suma directa de S1 y S2 y se anota V = S1⊕S2 si se cumple:
1. V = S1+S2
2. S1∩S2 = {0⃗⃗}
Consecuencia de la definición:
Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀), con V = S1⊕S2.
Entonces, para cada �⃗� que pertenece a V existen únicos �⃗�1 que pertenece a S1 y �⃗�2 que
pertenece a S2 tales que �⃗� = �⃗�1 ⊕ �⃗�2.
Demostración:
Como V = S1+S2, para cada �⃗� que pertenece a V existen �⃗�1 que pertenece a S1 y �⃗�2 que
pertenece a S2 tales que �⃗� = �⃗�1 + �⃗�2. Ahora veamos que son únicos los vectores �⃗�1 y �⃗�2.
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Supongamos que �⃗� = �⃗�1 + �⃗�2, con �⃗�1 que pertenece a S1 y �⃗�2 que pertenece a S2 y
también �⃗� = �⃗�1∗ + �⃗�2
∗ con �⃗�1∗ que pertenece a S1 y �⃗�2
∗ que pertenece a S2. Luego, a partir de
�⃗� + (−�⃗�) = 0⃗⃗, se tiene que:
(�⃗�1 − �⃗�1∗) + (�⃗�2 − �⃗�2
∗) = 0⃗⃗
Es decir, �⃗�1 − �⃗�1∗ = −(�⃗�2 − �⃗�2
∗). Pero �⃗�1 − �⃗�1∗ pertenece a S1 de donde se sigue que el
vector �⃗�2 − �⃗�2∗ también pertenece a S1. Y �⃗�2 − �⃗�2
∗ pertenece a S2 de donde se sigue que el
vector �⃗�1 − �⃗�1∗ pertenece a S2. De todo esto surge que �⃗�1 − �⃗�1
∗ pertenece a S1∩S2 y �⃗�2 − �⃗�2∗
pertenece a S1∩S2, con S1∩S2 = {0⃗⃗}. Luego �⃗�1 − �⃗�1∗ = 0⃗⃗ (i.e. �⃗�1 = �⃗�1
∗), y �⃗�2 − �⃗�2∗ = 0⃗⃗ (i.e.
�⃗�2 = �⃗�2∗).
Lo importante de esta consecuencia es que la descomposición es única. Como la
descomposición es única, en este caso (y sólo en el caso de suma directa) se tiene que la base
de V, BV, es la unión de las bases de los subespacios S1 y S2, BS1 y BS2 respectivamente. Por
lo que se puede obtener una definición equivalente para suma directa a partir de las bases.
1. V = S1+S2
2. S1∩S2 = {0⃗⃗} con BV = BS1∪BS2