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Primera edición

Álgebra elementalOmar Eduardo Hernández LópezJessica Milena Martín Jackson

Álgebra elementalOmar Eduardo Hernández LópezJessica Milena Martín Jackson

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Índice general

1 Introducción 1

1.1 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Suma de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Multiplicación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 División de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Potenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Radicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1 Propiedades de la suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2 Propiedades del producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.3 Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.4 Ley de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Polinomios 13

2.1 Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.1 Monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

v

ÍNDICE GENERAL vi

2.1.2 Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Producto de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Producto de polinomio por monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.3 Producto de polinomios por polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.1 Cuadrado de la suma de dos cantidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades . . . . . . . 202.3.3 Binomios con termino común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Método de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Cociente notable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.1 Cocientes de la forma a2−b2a±b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6.2 Cociente de la forma a3±b3a±b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6.3 Cocientes de la suma o diferencia de potencias iguales . . . . . . . . 28

3 Factorización 32

3.1 Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Caso 1: Factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Caso 2: Factor común por agrupación de términos . . 353.4 Caso 3: Trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.1 Como diferenciar un trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.2 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Caso 4: Diferencia de cuadrados perfectos . . . . . . . . . . 383.6 Caso 5: Trinomio de la forma xm + bxn + c . . . . . . . . . . 39

ÍNDICE GENERAL vii

3.7 Caso 6: Trinomios de la forma axm + bxn + c . . . . . . . 413.8 Caso 7: Cubo perfecto de binomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.9 Caso 8: Suma o diferencia de cubos perfectos . . . . . . . 45

4 Ecuaciones 48

4.1 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.1 Ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.1 Ecuaciones de la forma ax+bcx+d = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.2 Ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Inecuaciones 58

5.1 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Propiedades de las desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Solución de inecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3.1 Solución de inecuaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.2 Inecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.3 Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.4 Inecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Sistema de ecuaciones 70

6.1 Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2 Método de eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.3 Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

ÍNDICE GENERAL viii

6.4 Método de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.4.1 Método de Cramer para sistemas 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.4.2 Método de Cramer para sistemas 3× 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7 Funciones 86

7.1 Gráficas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2 Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.3 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3.1 Ejemplos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.3.2 Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.3.3 Operaciones entre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8 Solución de ejercicios 116

8.1 Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.1.1 Ejercicios 2.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.2.1 Ejercicios 3.9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.3 Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.3.1 Ejercicios 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.4 Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.4.1 Ejercicios 5.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.5 Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.5.1 Ejercicios 6.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 2Introducción 1

Cap

ítulo

1.1 Conjuntos numéricos

Iniciaremos haciendo una breve introducción a los conjuntos numéricos que confor-man el sistema de números reales, los cuales están clasificados en los siguientesconjuntos. El primer conjunto es el de los números naturales, el cual surge de lanecesidad del hombre para contar y está denotado de la siguiente formaN := {1, 2, 3, 4, . . .} .

El segundo conjunto es el de los números enteros definido comoZ := {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} .

Es fácil ver que todo número natural es entero pero que no todo número entero esnatural, es decir, N ⊆ Z pero Z * N.El tercer conjunto es el de los números racionales, estos números tienen la siguienteformar = p

q,con p, q números enteros y q 6= 0; dicho de otra forma r es la razón entre dosnúmeros enteros. Podemos definir el conjunto de los números racionales tambiéncomo los números cuya representación decimal sea periódica o finita, por ejemplo:1/4 = 0.25 representación decimal finita.2 = 2.00 representación decimal finita.54/7 = 7.714285 = 7.714285714 . . . representación decimal periódica.a/0, para cualquier a ∈ Z no está definida, es decir, NO se puede dividirpor cero.

El último conjunto que mencionaremos antes de definir los números reales es elconjunto de números irracionales, como su nombre lo indica, son los números que

1.2. FRACCIONES 3

no son racionales, es decir, números que no son razón de dos números enteros oque su representación decimal no es finita o periódica, por ejemplo:√2 = 1.41421 . . . , π = 3.14159 . . . .

Así concluimos que el sistema de números reales, denotado por R, es la uniónentre los números racionales y los números irracionales, además concluimos quetodo número real tiene representación decimal, esto es, su representación decimales finita, infinita ó periódica.Podemos observar en la figura 1.1 que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R y R = Q ∪ I.

Figura 1.1 Conjuntos numéricos.Antes de ver las propiedades de los reales haremos un breve repaso de las opera-ciones de suma y multiplicación de fraccionarios, potenciación y radicación dondese darán algunas definiciones y propiedades importantes.

1.2 Fracciones

Aunque el hombre siempre ha tenido la necesidad de contar, también ha tenidola necesidad de dividir objetos, esto con la idea tan simple de distribuir a variaspersonas un objeto. Pues bien, estas divisiones también podemos expresarlas deforma numérica como una división de dos números enteros que no ha sido efectuada,a estos números se les conoce como fracciones y conforman el conjunto de losnúmeros racionales Q. Normalmente escribimos una fracción comoa/b o a

b.

1.2. FRACCIONES 4

Donde la parte superior la llamamos numerador y la inferior denominador. La formagráfica de ver una fracción es:1. El denominador indica en cuantas partes iguales se divide un objeto.2. El numerador implica cuantas de las partes divididas son tomadas.Veamos el siguiente ejemplo:Ejemplo 1.2.1La fracción 3/4 indica que dividimos el objeto en cuatro partes iguales y tomamostres de ellas (ver figura 1.2).

141414 14Figura 1.2 Representación de 3/4.

1.2.1 Suma de fracciones

A diferencia de los números enteros que la suma es una operación sencilla, enlas fracciones tenemos que tener cuidado con los denominadores, ya que no es lomismo sumar fracciones con denominadores iguales o diferentes, teniendo en cuentalo anterior tenemos dos formas de suma de fracciones.Suma y resta de fracciones homogéneasCuando los denominadores de las fracciones son iguales se dice que son fraccioneshomogéneas, en cuyo caso se suman o restan los numeradores dejando el denomi-nador intacto.Ejemplo 1.2.2Realizar las siguientes sumas:1/5 + 2/5.

3/4− 5/4.Solución.

1.2. FRACCIONES 5

15 + 25 = 1 + 25 = 35 .34 − 54 = 3− 54 = −24 = −12 .

Suma y resta de fracciones heterogéneasCuando los denominadores de las fracciones son diferentes decimos que son frac-ciones heterogéneas y se suman y restan de la siguiente maneraab + c

d = (a× d) + (b× c)b× d . (1.1)

Ejemplo 1.2.3Realizar las siguientes sumas:2/3 + 4/5.5/3− 3/2.

Solución.Aplicando la ecuación 1.1 obtenemos:(2× 5) + (3× 4)3× 5 = 2215 .(5× 2)− (3× 3)3× 2 = 16 .

La ecuación 1.1 es la forma general de sumar dos fracciones cualesquiera.

1.2. FRACCIONES 6

1.2.2 Multiplicación de fracciones

Para dos fracciones a/b y c/d la multiplicación de fracciones esta dada porab ×

cd = a× c

b× d. (1.2)Ejemplo 1.2.4Multiplicar 2/7 con 1/5.Solución.Utilizando la ecuación 1.2 se tiene que27 × 15 = 2× 17× 5 = 235 .

1.2.3 División de fracciones

Para dos fracciones a/b y c/d la división de fracciones esta dada porab ÷

cd = a× d

b× c . (1.3)Ejemplo 1.2.5Dividir 3/5 entre 6/9. Aplicando la ecuación 1.3 se tiene que35 ÷ 69 = 3× 95× 6 = 2730 .En gran parte de los problemas que involucran fracciones, es común ver las opera-ciones anteriores combinadas, veamos el siguiente ejemplo.Ejemplo 1.2.6Resolver las operaciones 53 × 27 + 15 ÷ 67 .

1.3. POTENCIACIÓN 7

Solución.Operemos primero la multiplicación y la división1021 + 730 ,sumando (10× 30) + (21× 7)21× 30 = 149210 .

1.3 Potenciación

Cuando se habla de potenciación nos referimos a una multiplicación repetida deuna cantidad por ella misma, esto esa× a× a× · · · × a︸︷︷︸

n veces ,

donde la cantidad a multiplicar es a la cual llamaremos base y el número de vecesque se repite n lo llamaremos exponente, para simplificar la notación se escribe dela siguiente formaa× a× a× · · · × a︸︷︷︸

n veces = an.

Lo anterior indica que a esta elevado a la n-esima potencia.Ejemplo 1.3.123 = 2× 2× 2 = 8.

42 = 4× 4 = 16.Ahora no se utilizará el símbolo × para denotar el producto, en su lugarusaremos · o simplemente omitiremos el símbolo.

Ahora veamos las propiedades más importantes de la potenciación.

1.4. RADICACIÓN 8

Propiedades 1.3.1Sean x, y ∈ Q y a, b ∈ N

1. (xa)b = xab.2. xaxb = xa+b.3. (xy)a = xaya.4. xaya = ( xy

)a con y 6= 0.5. yayb = ya−b con y 6= 0.6. 1

y = y−1 con y 6= 0.Ejemplo 1.3.2(32)2 = 92 = 81 y 32·2 = 34 = 81.

23 · 22 = 8 · 4 = 32 y 22+3 = 25 = 32.(2 · 3)2 = 62 = 36 y 22 · 32 = 4 · 9 = 36.2232 = 49 y (23

)2 = 49 .2422 = 164 = 4 y 24−2 = 22 = 4.

1.4 Radicación

La radicación esta muy asociada a la potenciación ya que una pregunta naturalque puede surgir a la hora de estudiar la potenciación es ¿cual es el número quemultiplicado por si mismo es igual a 361? la respuesta a esta pregunta es√361 = 19,la pregunta anterior la podemos ver de una de manera mas general, es decir, ¿cuales el número que multiplicado n veces por si mismo es igual a x? la respuesta aesta pregunta es la raíz n-ésima de x , esto es, n√x , veamos algunos ejemplos ypropiedades de esta nueva operación.

1.5. NÚMEROS REALES 9

Ejemplo 1.4.1√4 = 2 pues 2 · 2 = 4.3√27 = 3 pues 3 · 3 · 3 = 27.

Propiedades 1.4.1Sean x, y ∈ Q y además n,m ∈ N

1. n√

m√x = nm√x .2. n√xy = n√x · n

√y.3. n√x

n√y = n√

xy .

4. n√x · m√x = nm√xn+m.Ahora algunos ejemplos de las propiedades de la radicación.Ejemplo 1.4.2

2√4 · 9 = 2√36 = 6 y 2√4 · 2√9 = 2 · 3 = 6.2√ 2√81 = 2√9 = 3 y 2·2√81 = 4√81 = 3.2√812√9 = 93 = 3 y 2√819 = 2√9 = 3.2√64 · 3√64 = 8 · 4 = 32 y 2·3√642+3 = 6√645 = 6√1073741824 = 32.

La base del desarrollo del texto es el conjunto de los números reales, antes deprofundizar más veamos un pequeño resumen de las propiedades más importantes.1.5 Números reales

1.5.1 Propiedades de la suma

1. Conmutativa. Para dos números cualesquiera a, b ∈ R la suma de a + b esla misma que la de b+ a, es decir, a+ b = b+ a.

1.5. NÚMEROS REALES 10

Ejemplo 1.5.13 + 5 = 8 y 5 + 3 = 8.48 + (−12) = 36 y (−12) + 48 = 36.

2. Asociativa. Para tres números cualesquiera a, b, c ∈ R tenemos que (a+b)+c = a+ (b+ c).Ejemplo 1.5.24 + (8 + 15) = 4 + 23 = 27.

(4 + 8) + 15 = 12 + 15 = 27.3. Modulativa. Para cualquier numero a ∈ R tenemos que a+ 0 = a, llamamosal cero el modulo o elemento identidad de la suma.4. Existencia del inverso aditivo. Para todo número a ∈ R existe un númerob ∈ R tal que a + b = 0 y b + a = 0, donde b se conoce como el inversoaditivo.

1.5.2 Propiedades del producto

1. Conmutativa. Para dos números cualesquiera a, b ∈ R el producto de ab esla mismo que ba, es decir, ab = ba.Ejemplo 1.5.33 · 5 = 15 y 5 · 3 = 15.

12(−5) = (−60) y (−5)12 = (−60).2. Asociativa. Para tres números cualesquiera a, b, c ∈ R tenemos que (ab)c =a(bc).Ejemplo 1.5.44 · (8 · 3) = 4 · 24 = 96.

(4 · 8) · 3 = 32 · 3 = 96.3. Modulativa. Para cualquier número a tenemos que a1 = a, llamamos al unoel modulo o elemento neutro del producto.

1.6. VALOR ABSOLUTO 11

4. Existencia de inverso multiplicativo. para todo número a diferente de cero,existe un numero b tal que ab = 1 y ba = 1, donde b se conoce como elinverso multiplicativo.1.5.3 Otras propiedades

1. Distributiva. Para cualesquiera números a, b, c ∈ R se tiene que a(b+ c) =ab+ ac.2. Cancelativa de la suma. Para cualesquiera números a, b, c ∈ R se tiene quea+ b = c + b entonces a = c.3. Cancelativa del producto. Para cualesquiera números a, b, c ∈ R con c 6= 0se tiene que ab = cb entonces a = c.

Observemos que las propiedades de la potenciación y radicación (ver pro-piedades 1.3.1 y 1.4.1) son válidas si el conjunto referencial es el de losreales.1.5.4 Ley de los signos

La ley de los signos nos dice como se comportan los signos de los números frenteal producto, esta ley viene dada por la siguiente tabla··· +++ −−−+++ + −−−− − +

1.6 Valor absoluto

Definición 1.6.1El valor absoluto de un número a es la distancia que hay del número alorigen, el cual lo denotamos por |a|, en otras palabras el valor absoluto paraun número a es:Si a < 0 entonces |a| = −a.

1.6. VALOR ABSOLUTO 12

Si a > 0 entonces |a| = a.Ejemplo 1.6.1Determinar los siguientes valores absolutos

| − 1300000| = 1300000.|3.1416| = 3.1416.|7/5| = 7/5.

2.1. CONCEPTOS PREVIOS 14Polinomios 2

Cap

ítulo

2.1 Conceptos previos

En este capítulo introduciremos las operaciones sobre los polinomios, pero primerodefiniremos todos los conceptos necesarios para su desarrollo.Definición 2.1.1Una variable es una letra, que reserva el lugar de un número.Definición 2.1.2Una expresión que contiene más de una variable se dice que es una expresiónalgebraica, la cual consta de una parte literal (las variables) y una partenumérica (coeficiente o constante).Definición 2.1.3Un término algebraico es una expresión algebraica que no se encuentraseparada por los signos + ó −.

Ejemplo 2.1.1Observemos que la siguiente expresión algebraica 4x − 3y contiene los términos4x , −3y cada uno diferente entre si.Diremos que dos términos son semejantes cuando poseen las mismas variables, simiramos los términos algebraicos 4x y 7x son semejantes pues los dos tienen lamisma variable x ; en cambio los términos 3y y 5yz no son términos semejantes.

2.1. CONCEPTOS PREVIOS 15

Tener en cuenta que no solo deben poseer la misma variable sino que ademásel exponente de esta debe ser el mismo.Definición 2.1.4El grado de un término es la suma de los exponentes de la parte literal deltérmino.

Ejemplo 2.1.2El término 3x su grado es 1 y en el término x2y su grado es tres.Ahora bien podemos clasificar una expresión algebraica por la cantidad de términosque posee de la siguiente manera:2.1.1 Monomio

Una expresión algebraica es un monomio cuando solo consta de un término y losexponentes de las variables son números enteros no negativos, como 5x2y,−3a, 20c.2.1.2 Polinomio

Una expresión algebraica es un polinomio cuando consta de mas de un términoalgebraico y los exponentes de las variables son números enteros no negativos,como 2x + 3m, 3 + 4x + 2x2 + 3y, 5a+ b+ 5c.Binomio Cuando un polinomio tiene dos términos algebraicos se dice que esun binomio como x + y y 4a+ 2.Trinomio Cuando un polinomio tiene tres términos algebraicos se dice que esun trinomio como 4x2 + 3y+ 2 y 2x + 3y3 + 4z .

Dado que hemos clasificado ya el tipo de expresiones algebraicas y teniendo pre-sente las propiedades de la suma y el producto en los números reales, tambiénpodemos aplicar esto en los polinomios, es decir, el orden en que los términos deun polinomio es dado puede ser reagrupado u organizado.

2.1. CONCEPTOS PREVIOS 16

Ejemplo 2.1.3El polinomio 4x + 3y + 2 es el mismo polinomio 3y + 4x + 2 por la propiedadconmutativa de la suma, pero diferente al polinomio 3x + 4y+ 2.Tenga en cuenta que aunque dos polinomios tengan las mismas variables noson necesariamente iguales.

Ordenar un polinomio puede indicar tanto la reducción de términos semejantes comola organización jerárquica en forma descendente de los ordenes de los términos delpolinomio.Ejemplo 2.1.4Si tenemos el polinomio 2x+3y+4x+2 y sumamos los términos semejantesnos daría el polinomio 6x + 3y + 2, este nuevo polinomio es el mismo alanterior organizado de otra forma.

El polinomio −8x3 − 4x + 2 + x2 se puede ordenar de la siguiente forma−8x3 + x2 − 4x + 2.

Observe que para sumar dos términos estos deben de ser semejantes, esdecir, no podemos sumar 1 + 2x dado que el término 1 no tiene la variablex , ni tampoco sumar 2x + 3x2 dado que el grado de cada x es diferente.

Definición 2.1.5El grado de un polinomio es el mismo que el término algebraico con mayorgrado.Ejemplo 2.1.5El polinomio −8x + 3yx − 2y+ 4 es de grado 2 pues el término con mayor gradoes 3xy con grado 2.

Cuando un polinomio de una variable tiene mas de tres términos lo llama-remos por el grado de este, por ejemplo, en el polinomio a4 + a2 + a + 4el termino con mayor grado es a4 y decimos que es un polinomio de gradocuatro.

2.2. PRODUCTO DE POLINOMIOS 17

2.2 Producto de polinomios

Así como en los números reales R se realizan multiplicaciones, bajo las mismaspropiedades de estos podemos efectuar multiplicaciones en el ámbito de los polino-mios. Dividiremos el producto de polinomios en tres casos: producto de monomiospor monomios, polinomios por monomios y polinomios por polinomios siendo esteultimo el caso más general.2.2.1 Producto de monomios

Manejaremos el producto de monomios teniendo en cuenta las siguientes pautas:Operar primero los coeficientes.Si los términos poseen variables iguales sumaremos sus exponentes, es deciraplicaremos las propiedades de la potenciación (ver 1.3.1).Ejemplo 2.2.1Resolver los siguientes productos:4x(3y) = (4 · 3)xy = 12xy.

−5a(7a) = (−5 · 7)a1+1 = −35a2.12lm(−3m4) = (12(−3))lm1+4 = −36lm5.

2.2.2 Producto de polinomio por monomio

Para realizar este producto se debe tener en cuenta la propiedad distributiva y laspautas tomadas en el producto de monomios (ver 2.2.1). Para multiplicar un polino-mio por un monomio, multiplicaremos cada término del polinomio por el monomioteniendo en cuenta la ley de signos. A continuación se exhibe un ejemplo teniendoen cuenta su signo.Ejemplo 2.2.2Resolver los siguientes productos:(3 x + 4 z)(11y) = (11 · 3)xy+ (4 · 11)zy = 33 xy+ 44yz .

(7ab− 5 c)(10ac) = 70a2bc − 50ac2.(−3 l3m+ 45mn)(−2m) = 6 l3m2 − 90m2n.

2.2. PRODUCTO DE POLINOMIOS 18

2.2.3 Producto de polinomios por polinomios

Para realizar el producto de polinomios se multiplica el primer término del primerpolinomio por todos los términos del segundo polinomio, y procederemos a repe-tir esto con todos los términos del primer polinomio, luego reduciremos términossemejantes de ser posible.Ejemplo 2.2.3Resolver los siguiente productos:(4a2 − 5ac)(−7a+ 13c).(x2 + 3y+ 2)(2z − 6w).(a2 − 10a+ 3)(−a2 + a− 1).Solución.

(4a2 − 5ac)(−7a + 13c). Multiplicando los términos del primer polinomiopor los del segundo(4(−7))a3 + (4 · 13)a2c + (−5(−7))a2c + (−5 · 13)ac2reduciendo términos

−28a3 + 52a2c + 35a2c − 65ac2 = −28a3 + 87a2c − 65ac2.(x2 + 3y+ 2)(2z− 6w). Multiplicando los términos del primer polinomio porlos del segundo2x2z − 6x2w + (3 · 2)yz + (3(−6))wy+ (2 · 2)z + (2(−6))wreduciendo términos2x2z − 6x2w + 6yz − 18yw + 4z − 12w.(a2 − 10a+ 3)(−a2 + a− 1). Multiplicando

−a4 + a3 − a2 + 10a3 − 10a2 + 10a− 3a2 + 3a− 3reduciendo términos−a4+(10+1)a3+(−1−10+3)a2+(10+3)a−3 = −a4+11a3−8a2+13a−3.

2.3. PRODUCTOS NOTABLES 19

2.3 Productos notables

Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y dondeel resultado se puede escribir por simple revisión.2.3.1 Cuadrado de la suma de dos cantidades

Teniendo en cuenta lo visto en la sección anterior se realizan los siguientes pro-ductos:(a+ b)2 = (a+ b)(a+ b)= a2 + ab+ ab+ b2

= a2 + 2ab+ b2.(2.1)

(a+ (−b))2 = (a− b)2= (a− b)(a− b)= a2 − ab− ab+ b2= a2 − 2ab+ b2.

(2.2)

De las ecuaciones 2.1 y 2.2 se tiene que el cuadrado de la diferencia o la suma esigual a la primera componente al cuadrado, más o menos el doble de la segundacomponente por la primera, más la segunda componente al cuadrado.Ejemplo 2.3.1Realizar los siguientes productos utilizando las ecuaciones dadas anteriormente.(a2x + by2)2.

(2m− 3n)2.Solución.

(a2x + by2)2.(a2x + by2)2 = a4x2 + 2a2bxy2 + b2y4.

(2m− 3n)2.

2.3. PRODUCTOS NOTABLES 20

(2m− 3n)2 = 4m2 − 12mn+ 9n2.

2.3.2 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

(a+ b)(a− b) = a2 + ab− ab− b2= a2 − b2. (2.3)

De la ecuación 2.3 se tiene que el producto de la suma por la diferencia de doscantidades es igual a la diferencia de las cantidades al cuadrado.Ejemplo 2.3.2Realizar los siguientes productos utilizando la ecuación anterior:(2m+ 9)(2m− 9).

(am + bm)(am − bm).Solución.

(2m+ 9)(2m− 9). (2m− 9)(2m+ 9) = 4m2 − 81.(am + bm)(am − bm).

(am + bm)(am − bm) = a2m − b2m.

2.3.3 Binomios con termino común

Para realizar el producto de dos binomios con algún término en común se aplica lasiguiente ecuación:

2.4. DIVISIÓN 21

(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab= x2 + (a+ b)x + ab.(2.4)

De la ecuación 2.4 se concluye que el producto de dos binomios con un términoen común es igual al término en común al cuadrado, más la suma de los términosdiferentes por el termino común, más el producto de los términos diferentes.Ejemplo 2.3.3Resolver los siguientes productos utilizando la ecuación anterior:(n3 + 3)(n3 − 6).

(a5 − 2)(a5 − 7).Solución.

(n3 + 3)(n3 − 6) = n6 − 3n3 − 18.(a5 − 2)(a5 − 7) = a10 − 9a5 + 14.

2.4 División

Así como a veces es necesario hallar el cociente entre dos números, también existiránocasiones en las que sea necesario hallar el cociente entre polinomios. De estaforma teniendo en cuenta el algoritmo de la división para los enteros trabajaremosde forma análoga para los polinomios. Antes de empezar hay que tener en cuentalas siguientes pautas:Recuerde que:

El grado del dividendo debe ser mayor o igual al del divisor.

2.4. DIVISIÓN 22

Mientras el grado del residuo sea mayor o igual al del divisor se continuaradividiendo.Tanto el dividendo como el divisor se organizan de forma descendente.Sin más preámbulo se mostrará un ejemplo para ver como podemos dividir polino-mios.Ejemplo 2.4.1Dividir 3x2 − 5x − 2 entre x − 2.Solución.

1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del di-visor, es decir, hay que buscar un término que multiplicado por x dé comoresultado 3x2, en este caso el término es 3x .3x2 − 5x − 2 x − 23x2. Realizar el producto entre el polinomio divisor y el término 3x , luego alinearlos términos semejantes. 3x2 − 5x − 2 x − 2

−(3x2 − 6x) 3xLuego operar y bajar el −2 3x2 − 5x − 2 x − 2

−3x2 + 6x 3xx − 2

3. Repetir el primer y segundo paso ahora con el residuo.3x2 − 5x − 2 x − 2−3x2 + 6x 3x + 1

x − 2x − 20

Luego se tiene que la división de los polinomios da un cociente igual a 3x + 1con residuo 0.

2.5. MÉTODO DE RUFFINI 23

Ejemplo 2.4.2Dividir 4a2 − 7a− 22 entre a− 3.Solución.

4a2 − 7a− 22 a− 3−4a2 + 12a 4a+ 55a− 22

−5a+ 15−7Así se tiene que la división de los polinomios da un cociente igual a 4a+ 5 conresiduo -7.

NotaCuando el residuo de la división de dos polinomios sea igual a cero, implicaque el primer polinomio es divisible por el segundo.Sin embargo este no es el único método para la división de polinomios, ahorapresentaremos un método para un caso especial de división.

2.5 Método de Ruffini

Cuando se divide un polinomio que tiene una única variable x , por un binomio de laforma (x − a) donde a es un numero real, se aplica la regla de Ruffini para hallarel cociente y el residuo de la división efectuada.NotaEste proceso es eficiente en el momento de factorizar si deseamos expresarun polinomio como el producto de binomios de la forma x − a, siempre ycuando la constante del primer binomio divisor sea una raíz del polinomio.

Ejemplo 2.5.1Dividir el polinomio x4 + 7x3 − 13x2 + 2x + 9 por el binomio x − 9.Solución.

2.5. MÉTODO DE RUFFINI 24

1. Escribir los coeficientes del polinomio dividendo en la primera fila del se-gundo rectángulo. 1 7 − 13 2 92. En la segunda fila del primer rectángulo escribir la constante del binomiocambiando su signo. 1 7 − 13 2 993. Siempre bajar la primera constante.1 7 − 13 2 99 14. Multiplicar 9 por 1 y escribirlo en la segunda columna del segundo rectán-gulo. 1 7 − 13 2 99 915. Realizar la suma. 1 7 − 13 2 99 91 166. Multiplicar 9 por la suma resultante.1 7 − 13 2 99 9 1441 167. De forma sucesiva se obtiene.1 7 − 13 2 99 9 144 1179 106291 16 131 1181 10638

De lo anterior se concluye que el polinomio cociente que se obtiene de la divisiónentre polinomios es x3 + 16x2 + 131x + 1181 con residuo 10638.

2.6. COCIENTE NOTABLE 25

Ejemplo 2.5.2x3 + 7x2 + 6x + 9 entre x + 3.Solución.

1 7 6 9−3 −3 − 12 181 4 − 6 27Luego, el polinomio resultante de la división es x2 + 4x − 6 con residuo 27.

x3 + 2x + 2 entre x + 2.Solución.

1 0 2 2−2 −2 4 − 121 − 2 6 − 10Luego, el polinomio resultante de la división es x2−2x+ 6 con residuo -10.

NotaCuando no aparezca una variable con un grado menor al del polinomio sig-nifica que esta multiplicada por cero, esto hay que tenerlo en cuenta a lahora de realizar el método de Ruffini, es decir, el polinomio x2 + 5 es igualque el polinomio x2 + 0x + 5.2.6 Cociente notable

Se llaman cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen reglas fijas y quepueden ser escritos por simple inspección.


2.6.1 Cocientes de la forma a2−b2a±b

La división de a2 − b2 entre a− b, da:a2 − b2 a− b−a2 + ab a+ b

ab− b2−ab+ b20

Luego, la división entre la diferencia de cuadrados y la resta de las raíces cuadradasde los términos es igual a la suma de las raíces cuadradas de los términos conresiduo cero. De igual manera, si se divide la diferencia de cuadrados por la sumade las raíces cuadradas de los términos, su resultado es la diferencia de las raícescuadradas de los términos, es decir:a2 − b2a+ b = a− b,

de ésta forma por inspección podemos hallar los cocientes de las divisiones.Ejemplo 2.6.1Hallar los cocientes utilizando las ecuaciones dadas anteriormente:25− 36x4 entre 5 + 6x2. Como se esta dividiendo por la suma de las canti-dades el cociente es la diferencia de estas, luego:

25− 36x45 + 6x2 = 5− 6x2.x2−1 entre x−1. Como se esta dividiendo por la diferencia de las cantidadesel cociente es la suma de estas, luego:

x2 − 1x − 1 = x + 1.

y2− x2 entre y− x . Como se esta dividiendo por la suma de las cantidadesel cociente es la diferencia de estas, luego:y2 − x2y− x = y+ x.


2.6.2 Cociente de la forma a3±b3a±b

1. Dividir a3 + b3 entre a+ b.a3 + b3 a+ b−a3 − a2b a2 − ab+ b2−a2b + b3a2b+ ab2

ab2 + b3−ab2 − b30

Es decir, la suma de cubos dividida entre la suma de las raíces cubicas de lostérminos, tiene como cociente el primer término del divisor al cuadrado, menosel producto de los términos del divisor, más el segundo término del divisor alcuadrado.2. Dividir a3 − b3 entre a− b.

a3 − b3 a− b−a3 + a2b a2 + ab+ b2

a2b − b3−a2b+ ab2

ab2 − b3−ab2 + b30

Es decir, la diferencia de cubos dividida entre la diferencia de las raícescubicas de los términos, tiene como cociente el primer término del divisor alcuadrado, más el producto de los términos del divisor, más el segundo términodel divisor al cuadrado.Ejemplo 2.6.2Resolver las siguientes divisiones utilizando las ecuaciones dadas anteriormente::27m3 − 125n3 entre 3m− 5n.

64a3 + 343 entre 4a+ 7.Solución.


27m3 − 125n3 entre 3m− 5n.27m3 + 125n33m− 5n = 9m2 + 15mn+ 25n264a3 + 343 entre 4a+ 764a3 + 3434a+ 7 = 16a2 − 28a+ 49

2.6.3 Cocientes de la suma o diferencia de potencias iguales

Ahora, de la misma forma que los casos anteriores, podemos darnos cuenta que:1. a4 − b4 entre a − b. Pues bien, como a4 − b4 es divisible por a2 − b2 (porcasos anteriores), y este a su vez por a− b entonces a4 − b4 es divisible pora− b, esto es

a4 − b4a− b = a3 + a2b+ ab2 + b3.

2. a4 − b4 entre a + b. Pues bien como a4 − b4 es divisible por a2 − b2 (porcasos anteriores), y este a su vez por a+ b entonces a4 − b4 es divisible pora+ b, esto es

a4 − b4a+ b = a3 − a2b+ ab2 − b3.

3. a5−b5 entre a−b. Dividiendo de la misma forma que en casos anteriores setiene:a5 − b5a− b = a4 + a3b+ a2b2 + ab3 + b4.

4. a5 +b5 entre a+b. Dividiendo de la misma forma que en casos anteriores setiene:a5 + b5a+ b = a4 − a3b+ a2b2 − ab3 + b4.

Ahora, teniendo en cuenta los casos vistos para cociente notable se puede deducir:


1. an − bn es divisible por a− b, siendo n cualquier número entero.2. an − bn es divisible por a+ b, siendo n par.3. an + bn es divisible por a+ b, siendo n impar.

Se puede verificar que aunque an + bn es divisible por a + b cuando n es impar,no sucede lo mismo cuando n es par pues:a2 + b2 a+ b−a2 − ab a− b−ab+ b2ab+ b22b2

luego, nuestro residuo nunca va a ser cero.Ejemplo 2.6.3Hallar los siguientes cocientes utilizando las ecuaciones dadas anteriormente:1−m8 entre 1 +m.

x6 − 729 entre x − 3.125− 343x15 entre 5− 7x5.1 + a7 entre 1 + a.

Solución.1−m81+m = 1−m+m2 −m3 +m4 −m5 +m6 −m7.x6−729x−3 = x5 + 3x4 + 9x3 + 27x2 + 81x + 243.

125−343x155−7x5 = 25 + 35x5 + 49x10.1+a71+a = 1− a+ a2 − a3 + a4 − a5 + a6.


Ejercicios 2.6.1Reducir los terminos semejantes:1. x5 + 3 x2 + x2 + 2.2. 6 x3 + 4 x3 − 10y3.3. −49y2 + 9 x4 + y2.Indique el grado de los siguientes polinomios:4. 5x2y2 + 3xyz − 4x2.5. 15ab+ a+ 9b.6. 11m4n−mn2 + 13m.Resolver los siguientes productos:7. (20m2)(49m4n2).8. (−9 xy)(−5 xz).9. (4 x − 5y)(3 x2).

10. (−a4b+ a3 − a2 + a)(25a2).11. (a5 −√3b2)(ab+√5).12. (π − π2xy+ πx2)(πy+ x).Resolver los siguientes productos notables:13. (ab− 4 x)2.14. (πx2 + 5 xy)2.15. (√2xm + ym

)2.16. (ax + by)(ax − by).17. (49 z2 + 5m)(49 z2 − 5m).18. (abc + 2 r)(abc + 5 s2).19. (ln5 + 6m)(ln5 + 216m3).20. (12 x2 + xz

)2(3 z − 8).


Realizar las siguientes divisiones:21. x5 − 10x3 + 8 entre x + 2.22. 2y4 − y2 − 17y entre y− 6.23. 16a2 − 9b2 entre 4a− 3b.24. 49x4y2 − 4x2 entre 7x2y+ 2x .25. 27a3 + 1 entre 3a+ 1.26. 125m9 − 8n3 entre 5m3 − 2n.27. m4 − x4 entre m+ x .28. b7c7 + a7 entre bc + a.29. s8 − s5 + 5s2 entre −s3 + s.30. r3 + r2 entre r .

3.1. CONCEPTOS PREVIOS 33Factorización 3

Cap

ítulo

En el capítulo anterior vimos como operar los polinomios con respecto al productoy la división.Ahora se introducirá uno de los temas principales a la hora de trabajarcon polinomios, reducción de términos, el cual se realiza mediante herramientasusadas anteriormente bajo el nombre de reglas fijas en los casos de productos ycocientes notables, pues bien en este capítulo veremos como podemos usarlas.3.1 Conceptos previos

Definición 3.1.1Se llama factor o divisor de una expresión algebraica a las expresiones quemultiplicadas dan como resultado la primera expresión.Ejemplo 3.1.1La expresión 6x2 tiene como factores a 2, 3, y x .

Definición 3.1.2Escribir un polinomio como el producto de sus factores es conocido comofactorizar y la expresión del producto de estos factores se le conoce comofactorización del polinomio base.La factorización se basa principalmente en el uso de la propiedad distributiva quesatisfacen los números reales.

3.2. CASO 1: FACTOR COMÚN 34

Ejemplo 3.1.2El polinomio x2 − 4 se factoriza de la siguiente formax2 − 4 = (x + 2)(x − 2)

luego, el producto de (x + 2)(x − 2) es la factorización del polinomio x2 − 4.NotaAsí como en el conjunto de los números enteros no se pueden escribir losnúmeros primos como el producto de dos números diferentes que el mismoy 1 o -1; existen polinomios que no se pueden factorizar, como por ejemploel polinomio x + 3.

Para comprobar si una factorización es correcta o no, solo basta efec-tuar el producto de los factores.Ejemplo 3.1.3La factorización del polinomio x2 − 9 es (x + 3)(x − 3) ya que

(x + 3)(x − 3) = x2 − 3x + 3x − 9 = x2 − 9.Ahora se mostrarán diferentes métodos que facilitan la reducción o factorización depolinomios.

3.2 Caso 1: Factor común

Se usa cuando todos los términos de un polinomio poseen un factor común.Ejemplo 3.2.1Hallar el factor común de cada polinomio y re-escribirlo.

x2 + x :Factor común x ; luego x2 + x = x(x + 1).4a− 8b+ 10c:Factor común 2; luego 4a− 8b+ 10c = 2(2a− 4b+ 5c).5mn+ 10m− 25m2n3:Factor común 5m; luego 5mn+ 10m− 25m2n3 = 5m(n+ 2− 5mn3).m2n3 + 7m4n:Factor común m2n; luego m2n3 + 7m4n = m2n(n2 + 7m2).

3.3. CASO 2: FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS 35

NotaCuando los términos de un polinomio tiene como factor común una variable,tomaremos la que tenga menor exponente.En los ejemplos anteriores el factor común era un monomio, también hay casos enlos que un factor común puede ser un polinomio.Ejemplo 3.2.22(x + y) +m(x + y) = (2 +m)(x + y).

3y(a− 2b)− 8z(a− 2b) = (3y− 8z)(a− 2b).3x(2x2 − 1) + 2y(2x2 − 1)− 2(2x2 − 1) = (3x + 2y− 2)(2x2 − 1).(a+ b)− 3c(a+ b) = (1− 3c)(a+ b).

3.3 Caso 2: Factor común por agrupación de términos

Así como en el caso anterior se realizo la factorización de un término en común deuna expresión, también se pueden agrupar términos de esta para factorizarla comoel producto de los términos por otra expresión ya en común, como en los siguientesejemplos:Ejemplo 3.3.1Factorizar los siguientes polinomios por agrupación de términos:3a− b2 + 2b2x − 6ax .

x2 − a2 + x − a2x .3x3 + 2axy+ 2ay2 − 3xy2 − 2ax2 − 3x2.Solución.

3a− b2 + 2b2x − 6axReorganizando y agrupando términos(3a− 6ax) + (−b2 + 2xb2)sacando factor común en cada agrupación3a(1− 2x)− b2(1− 2x)

3.4. CASO 3: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 36

factorizando (3a− b2)(1− 2x).x2 − a2 + x − a2x

x2 − a2 + x − a2x = (x − a2)(x + 1).3x3 + 2axy+ 2ay2 − 3xy2 − 2ax2 − 3x2y

3x3 + 2axy+ 2ay2 − 3xy2 − 2ax2 − 3x2 = (3x − 2a)(−xy− y2 + x2).

3.4 Caso 3: Trinomio cuadrado perfecto

Un término es un cuadrado perfecto cuando es el producto de dos términos iguales,por ejemplo 4a2 es el cuadrado perfecto de 2a en el caso de los monomios, ox2 + 4x + 4 es un polinomio que resulta ser cuadrado perfecto de (x + 2).En el capítulo anterior se vio que el cuadrado de la diferencia o suma de doscantidades era igual a un trinomio, ahora con base en esto miremos como diferenciarun trinomio cuadrado perfecto de uno que no lo sea para luego poder efectuar sufactorización.3.4.1 Como diferenciar un trinomio cuadrado perfecto

Definición 3.4.1Un trinomio es un cuadrado perfecto, con relación a una variable, cuando elprimer y tercer término son cuadrados perfectos y el segundo es el dobledel producto de las raíces del primer y tercer término, en otras palabras untrinomio cuadrado perfecto es de la forma:axm ± 2√acxm + c

donde m es un número par y a, c son cuadrados perfectos.

3.4. CASO 3: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 37

Ejemplo 3.4.1Revisar si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos:9x2 + 6x + 1.3x2 − 12x + 5.4x2 − 8x − 1.4x2 − 12x + 1.

Solución.Es un cuadrado perfecto ya que las raíces de 9x2 y 1 son 3x y 1 respec-tivamente, además el segundo término es el doble del producto del primerpor el segundo término, luego el trinomio es cuadrado perfecto.No es cuadrado perfecto ya que 3 y 5 no tienen raíz cuadrada exacta.No es cuadrado perfecto porque el tercer término es negativo, y ningúnnúmero real al elevarlo al cuadrado es negativo.No es cuadrado perfecto porque el segundo término no es el doble delproducto de las raíces.

Una vez conocida la forma de diferenciar si un trinomio es cuadrado perfecto sepuede continuar con su factorización.

3.4.2 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Ejemplo 3.4.2Realizar la factorización del trinomio 4x2 + 4x + 1.Solución.Es sencillo comprobar que el trinomio 4x2 + 4x + 1 es cuadrado perfecto, luego,hallar las raíces del primer y segundo término

2x y 1

3.5. CASO 4: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS 38

separarlos por el signo del segundo término2x + 1

por último se eleva la expresión al cuadrado y se obtiene la factorización deltrinomio (2x + 1)2.Ejemplo 3.4.3Es sencillo comprobar que el trinomio 16x4 − 16x2 + 4 es cuadrado perfecto.Solución.Las raíces del primer y tercer término son

4x2 y 2el signo del segundo término es negativo entonces tenemos

4x2 − 2luego, la factorización del trinomio es (4x2 − 2)2.

3.5 Caso 4: Diferencia de cuadrados perfectos

Teniendo en cuenta lo visto en el capítulo anterior:(a+ b)(a− b) = a2 − 2ab+ 2ab− b2 = a2 − b2.

Se realizará la factorización de diferencia de cuadrados que se muestra en el si-guiente ejemplo.Ejemplo 3.5.1Factorizar el binomio a10 − 49b12.Solución.Primero hay que hallar las raíces de los términos, las cuales son a5 y 7b6 respec-tivamente, luego realizar el producto de la suma y la diferencia de los términos

(a5 + 7b6)(a5 − 7b6).

3.6. CASO 5: TRINOMIO DE LA FORMA xm + bxn + c 39

Ejemplo 3.5.2Factorizar16− n2.256a12 − 289b4m10.

Solución.16− n2 = (4 + n)(4− n).256a12 − 289b4m10 = (16a6 + 17b2m5)(16a6 − 17b2m5).

Nota

Tenga en cuenta que aunque a2 − b2 = (a+ b)(a− b), no sucede lo mismocon la suma de cuadrados.3.6 Caso 5: Trinomio de la forma xm + bxn + c

Un trinomio de la forma xm + bxn + c, con m un número entero par y n la mitad dem,que cumplen las siguientes condiciones:

1. El coeficiente del primer término es 1.2. El exponente de la variable del primer término debe ser par.3. El segundo término tiene la misma variable que el primero y su exponentedebe ser la mitad del exponente del primer término.4. El tercer término es independiente del primero.

Si un polinomio cumple estas condiciones entonces se puede factorizar como elproducto de dos binomios, para ello se tienen en cuenta las siguientes pautas:1. El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término de cadabinomio es la raíz del primer término del trinomio.2. En el primer binomio se pone el signo del segundo término del trinomio.3. En el segundo binomio se ubica el signo que resulta al efectuar el productoentre el signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.

3.6. CASO 5: TRINOMIO DE LA FORMA xm + bxn + c 40

4. Buscar dos números que multiplicados de como resultado el coeficiente deltercer término y sumados el coeficiente del segundo término.5. Se ubican los números hallados en el paso anterior en cada binomio, teniendoen cuenta el signo que se encuentra en cada binomio.NotaTenga en cuenta que aunque un trinomio cumpla las condiciones dadas an-teriormente no siempre se puede hacer esta factorización en términos deenteros, de igual manera es posible que no tenga solución en los reales co-mo en el caso de a2 +7a+13, pues no hay números reales que multiplicadosden 13 y sumados 7.

Ejemplo 3.6.1Factorizar el trinomio x2 + 7x + 12.Solución.

1. La raíz del primer término es x .2. El signo que lleva cada binomio es +.3. Dos números que multiplicados den 12 y sumados 7 son 4 y 3.4. Dado que ambos números tienen el mismo signo no hay inconvenienteen su ubicación en cada binomio, por tanto la factorización del trinomioes (x + 4)(x + 3).

Factorizar el trinomio a4 + 3a2 − 10.Solución.

1. La raíz del primer término es a2.2. Los signos de cada binomio son + y − respectivamente.3. Dos números que multiplicados den −10 y sumados 3 son 5 y −2.4. Teniendo en cuenta los signos de los números de solución, la factori-zación es (a2 + 5)(a2 − 2).

3.7. CASO 6: TRINOMIOS DE LA FORMA axm + bxn + c 41

Factorizar el polinomio m2 − 6m+ 5.Solución.• La raíz del primer término es m.• El signo de cada binomio es −.• Dos números que multiplicados den 5 y sumados −6 son −5 y −1.• Dado que los números tienen el mismo signo no hay inconveniente ensu ubicación en cada binomio, por tanto la factorización del trinomioes (m− 1)(m− 5).

3.7 Caso 6: Trinomios de la forma axm + bxn + c

Tomando los valores de m y n de manera similar al caso anterior y observando quela factorización se realizó cuando el coeficiente del primer término era igual a uno,ahora se introducirá el caso para aquellos polinomios con el coeficiente del primertérmino diferente de uno.Ejemplo 3.7.1Factorizar el polinomio 12x2 − 7x − 12.Solución.Multiplicar y dividir a todo el polinomio por el coeficiente del primer término.121212x2 − 12127x − 121212Reagrupar en el primer y segundo término los coeficientes112(12x)2 − 712(12x)− 14412Se puede observar que el término en los paréntesis del polinomio representala raíz del primer término. Luego, haciendo de forma similar al caso anterior,


se construyen dos binomios donde el primer término de cada uno es la raíz yamencionada (12x)(12x)Ahora, encontrar dos números que multiplicados den −144 y sumados −7, en estecaso son 9 y − 16, luego la factorización es(12x − 16)(12x + 9)12como ningún binomio es divisible por 12, lo descomponemos en sus factores(12x − 16)(12x + 9)4 · 3Así, el primer binomio es divisible por 4 y el segundo por 3. Realizando lasrespectivas divisiones la factorización es(3x − 4)(4x + 3).

Ejemplo 3.7.2Factorizar los siguientes trinomios12m2 − 13m− 35.Solución.Multiplicando por el coeficiente del primer término1212(12)m2 − 1312(12)m− 42012dos números cuyo producto sea −420 y suma −13 son −28 y 15, así lafactorización es (12m− 28)(12m+ 15)12como ningún binomio es divisible por 12 se descompone en sus factores(12m− 28)(12m+ 15)4 · 3Luego, el primer binomio es divisible por 4 y el segundo por 3, haciendo lasdivisiones la factorización resultante es

(3m− 7)(3m+ 5).


9a2 + 10a+ 1.Solución.Multiplicando por el coeficiente del primer término99(9)a2 + 109 (9)a+ 99dos números cuyo producto sea 9 y suma 10 son 9 y 1, luego la factorizaciónes (9a+ 1)(9a+ 9)9como el segundo binomio es divisible por 9, se tiene(9a+ 1)(a+ 1).

6x4 + 5x2 − 6.Solución.Multiplicando y dividiendo por el coeficiente del primer término66(6)x4 + 56(6)x2 − 366dos números cuyo producto sea −36 y suma 5 son 9 y − 4, luego la facto-rización quedaría (6x2 − 4)(6x2 + 9)6como ninguno binomio es divisible por 6, se descompone en sus factores(6x2 − 4)(6x2 + 9)2 · 3el primer binomio es divisible por 2 y el segundo binomio es divisible por3, luego (3x2 − 2)(2x2 + 3).

3.8. CASO 7: CUBO PERFECTO DE BINOMIOS 44

3.8 Caso 7: Cubo perfecto de binomios

Definimos cubo perfecto de manera similar a la definición de cuadrado perfecto, estoes (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3,(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3.De lo anterior se concluye que para polinomios que cumplen las siguientes condi-ciones:1. Tener cuatro términos.2. El primer y último término sean cubos perfectos.3. El segundo sea mas o menos el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primertérmino por la raíz cúbica del último.4. El tercer término sea el triple de la raíz cúbica del primer término por elcuadrado de la raíz cúbica del ultimo término.Se puede factorizar como la suma o diferencia de la raíz cúbica del primer y últimotérmino, todo elevado al cubo.NotaEl signo de la factorización dependerá del signo del segundo término en elpolinomio de cuatro términos.

Ejemplo 3.8.1Factorizar el siguiente polinomio a3 + 3a2 + 3a+ 1.Solución.Primero comprobar si cumple las condiciones:Tiene cuatro términos.

La raíz cúbica de a3 es a y la de 1 es 1, luego el primer y último términoson cubos perfectos.El segundo término es 3a2, luego cumple ser el triple del cuadrado de laraíz cúbica del primer termino por la raíz cubica del último.El tercer término es 3a que es el triple del primer término por el cuadradode la raíz cúbica del último término.Como las raíces cúbicas del primer y último término son a y 1 respectivamente,

3.9. CASO 8: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS 45

y el signo del segundo término es +, tenemos que:a3 + 3a2 + 3a+ 1 = (a+ 1)3.

Ejemplo 3.8.2Factorizar los siguientes polinomiosm3 + 3m2n+ 3mn2 + n3.64x3 − 240x2y+ 300xy2 − 125y3.

Solución.(m+ n)3 = m3 + 3m2n+ 3mn2 + n3.(8x − 5y)3 = 64x3 − 240x2y+ 300xy2 − 125y3.

3.9 Caso 8: Suma o diferencia de cubos perfectos

Realizando el siguiente producto de polinomios(a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 − a2b+ ab2 + a2b− ab2 + b3

reduciendo términos semejantes se obtienea3 + b3

de lo anterior se tiene que(a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3

y de forma análoga (a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3de está forma se puede factorizar la suma o diferencia de cubos perfectos.Ejemplo 3.9.1Factorizar los siguientes binomios

y3 − 1.a3 + 27.a9 − 125b9.


Solución.y3 − 1 = (y− 1)(y2 + y+ 1).a3 + 27 = (a+ 3)(a2 − 3a+ 9).a9 − 125b9 = (a3 − 5b3)(a6 + 5a3b3 + 25b6).

Ejercicios 3.9.1Factorizar los siguientes polinomios:1. −26ab+ 2a.2. 5m13 − lm6 + 15m.3. −n6 + 625m4.4. 9 x2 − y2.5. a3m + 18a2m + 108am + 216.6. −5bx2 + 5axz − 3bxz + 3az2.7. (x4 + 5 x2y+ 25y2)(x2 − 5y).8. a2n + 10an + 25.9. ns+ 35m+ 5n.

10. 10a10n− 5m6nx + am2x3.11. 16a40 − b4x12.12. x8 + 6 x4 + 5.13. x6 − 8 x3 + 15.14. −3 (ax + b)l+ 3 (ax + b)m.15. (4a2 − 6ac + 9 c2)(2a+ 3 c).16. 36a4 + 48a3 + 16a2.17. 5 x2 + 9 x − 2.


18. 16 x4 − 6 x2.19. 9 (4 x8 + 3 x4)(4 x8 − 3 x4).20. x9 + x2 + xy.

4.1. ECUACIONES 49Ecuaciones 4

Cap

ítulo

En el capítulo anterior se trabajó de forma intuitiva el concepto de variable y ex-presión algebraica. En este capítulo se hará uso de lo mencionado para encontraralgún x que cumpla ciertas condiciones. Por ejemplo, encontrar un número que almultiplicarlo con dos y sumarle 3 de como resultado 13, esto se puede plantear dela siguiente manera: 2 ·� + 3 = 13es decir, se necesita un número que al reemplazarlo en el cuadro cumpla la igualdad.Además, se representa con otro símbolo (normalmente una letra), así se tiene2 · x + 3 = 13.

La letra x se denomina variable y el lado derecho de la igualdad la expresiónalgebraica.4.1 Ecuaciones

En la vida diaria nos encontramos frente a problemas matemáticos, por ejemplo, ira una tienda a comprar cierta cantidad de lápices si tenemos 4800 y cada lápizvale 600, ¿cuántos lápices se pueden comprar? Teniendo en cuenta cuánto vale cadalápiz, se realiza el cálculo rápido y de esta forma se concluye que solo se puedencomprar 8 lápices.Muchas veces se realizan este tipo de cálculos de forma rápida e intuitiva, sin em-bargo este tipo de problemas pueden escribirse en forma de ecuaciones y resolversepor medio de propiedades. Continuando con el ejemplo, el problema se escribe dela siguiente forma:

600x = 4800donde x representa la cantidad de lápices que se pueden comprar.Ahora, para hallar el valor de la variable x se despeja (haciendo uso de propiedades

4.1. ECUACIONES 50

vistas anteriormente) y se obtiene como resultado x = 8. De esta forma se puedenmanejar los problemas de la vida cotidiana mediante el uso de ecuaciones.Definición 4.1.1Una ecuación es una igualdad de dos expresiones donde al menos una deellas contiene una variable.

La veracidad ó falsedad de una ecuación depende del valor que tome la variable.Por ejemplo, en la ecuación x + 7 = 3 si toma el valor x = −4 la ecuación esverdadera, pero para un número diferente es falsa. El valor para el que una ecuaciónes verdadera se le llama solución de la ecuación y en el caso de que exista másde una solución al conjunto de todas ellas se le llama conjunto solución, ademásdecimos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.Ejemplo 4.1.1Las ecuaciones x+ 43 = 45 y 9x = 18 son verdaderas cuando x = 2, además sonequivalentes.4.1.1 Ecuación lineal

Diremos una ecuación es lineal si posee la forma ax + b = 0 donde a, b ∈ R.Ejemplo 4.1.23x + 4 = 0 es una ecuación lineal.12z − 3 = 0 es una ecuación lineal.

x2 = 2 no es una ecuación lineal pues x esta elevado a la 2.2x = 8 no es una ecuación lineal pues la variable aparece como exponente.

4.1. ECUACIONES 51

Solución de ecuaciones linealesSolucionar una ecuación es hallar los valores para el cual la ecuación es verdadera,esto se hace despejando la variable, en otras palabras, dejar a un lado de la igualdadúnicamente la variable.NotaPara solucionar ecuaciones es importante recordar las propiedades de lasuma y el producto. Además, hay que tener en cuenta que una ecuacióncontiene una igualdad y esto implica la equivalencia en ambos lados.

Para resolver un ecuación lineal ax+b = 0, podemos aplicar el siguiente algoritmo.1. Sumar en ambos lados el inverso aditivo de b: ax + b+ (−b) = (−b).2. Realizar la suma: ax + 0 = −b.3. Aplicar propiedad modulativa de la suma: ax = −b.4. Multiplicar por el inverso multiplicativo de a: a−1ax = a−1(−b).5. Aplicar propiedad asociativa del producto en el lado izquierdo: (a−1a)x =a−1(−b).6. Usar propiedad del inverso multiplicativo: 1x = a−1(−b).7. Aplicar propiedad del módulo del producto: x = a−1(−b).Observemos el algoritmo anterior en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.1.3Resolver la ecuación 2x + 3 = 7.Solución.

Sumar el inverso aditivo de 3: 2x + 3 + (−3) = 7 + (−3).Realizar la suma 2x + 0 = 4.Propiedad del módulo de la suma: 2x = 4.Multiplicar por el inverso multiplicativo de 2: 12 · 2x = 12 · 4 .Propiedad asociativa del producto: (12 · 2)x = 12 · 4.Propiedad del modulo del producto: x = 12 · 4.

4.2. ECUACIONES NO LINEALES 52

Operando en la parte derecha x = 2.Luego, se tiene que el valor de x para el cual la ecuación es verdadera es 2. Paracomprobar se reemplaza la variable x por 2:

2(2) + 3 = (4 + 3) = 7.Observe que el algoritmo proporciona la solución general para cualquier ecuaciónlineal, en la mayoría de ejercicios lo difícil es llegar a la forma ax + b = 0, porejemplo:Ejemplo 4.1.41. 2x6 + 2x4 + 2x2 + 3x5 + 18x3 + 3x = x6 + 6x4 + x2 + 2x5 + 12x3 + 2xFactorizando en ambos lados por agrupación de terminos se tiene

(2x + 3)(x5 + 6x3 + x) = (x + 2)(x5 + 6x3 + x)aplicando propiedad cancelativa queda la siguiente ecuación

2x + 3 = x + 2y operando se obtiene

x = −1De esta forma se ha reducido una ecuación con términos de grado seis auna ecuación lineal, donde su solución es x = −1.4.2 Ecuaciones no lineales

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, ax+bcx+d = 0 no son ecuaciones linealesy su solución se realiza de forma diferente.4.2.1 Ecuaciones de la forma ax+b

cx+d = 0Cuando se tienen ecuaciones como fracciones donde el denominador contiene va-riables, se debe tener en cuenta que dado que una variable puede tomar cualquiervalor, es posible que para algún valor el denominador se vuelva cero creando unaindeterminación, por tanto no se pueden tener los siguientes casos:

a0 o 00


Ejemplo 4.2.1Solucionar las siguientes ecuaciones:3x+2x−8 = 0−7x+56x−8 = 0

Solución.Si x = 8 se tiene una indeterminación, luego el valor de x debe ser diferentea 8. Además el numerador 3x + 2 es igual a 0 si x = −23 , como la solucióndel numerador es diferente a 8 entonces la solución a la ecuación es −23 .Tenemos que si x = 8 el denominador es igual a cero, formando una inde-terminacion, por lo tanto la ecuación no tiene solución.

4.2.2 Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación se dice cuadrática cuando es de la forma ax2 + bx + c = 0, tambiénse le dice ecuación de segundo grado ya que la variable con mayor exponente esx2.Solución de ecuaciones cuadráticasSe mostrarán tres métodos para solucionar este tipo de ecuaciones.FactorizaciónPara ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 en ocasiones es posible realizarsu factorización para convertirla en el producto de dos polinomios de primer grado,luego se iguala cada una a cero y se enuentran sus soluciones.Ejemplo 4.2.2Resolver la ecuación x2 + 5x + 6 = 0.Solución.


Factorizar la ecuaciónx2 + 5x + 6 = 0(x + 2)(x + 3) = 0igualar a cero cada uno de los polinomios de grado uno

(x + 2) = 0 y (x + 3) = 0luego, la solución para cada una de las ecuaciones es −2 y −3 respectivamente,entonces el conjunto de soluciones para la ecuación de segundo grado x2 + 5x +6 = 0 es {−2,−3}.

Completar cuadradosEl segundo método es el de completar cuadrados, cuyo objetivo es volver la ecuaciónax2 + bx + c = 0 un cuadrado perfecto, es decir el cuadrado de una ecuación deprimer grado.Ejemplo 4.2.3Solucionar la ecuación x2 + 8x = 0 completando cuadrados.Solución.Para completar el cuadrado se suma 16 en ambos lados de la igualdad.

x2 + 8x + 16 = 16en el lado izquierdo se tiene un cuadrado perfecto, luego x2 + 8x + 16 = (x + 4)2y (x + 4)2 = 16ahora, sacando raíz en ambos lados de la igualdad

(x + 4) = ±√16x = −4± 4por tanto, el conjunto de soluciones es {0,−8}.


Ejemplo 4.2.4Resolver la ecuación 5x2 + 16x + 3 = 0.Solución.Pasar la constante al otro lado de la igualdad

5x2 + 16x = −3dividir por el coeficiente de x2

x2 + 165 x = −35ahora, para hallar el coeficiente a sumar se divide entre dos el coeficiente de xy se eleva al cuadrado 165 ÷ 2 = 85elevando al cuadrado queda (85 )2 = 6425 luego, sumando en ambos lados esteresultado se tienex2 + 165 x + 6425 = −35 + 6425en la parte izquierda se factoriza usando el caso de cuadrado perfecto y se opera(

x + 85)2 = 4925

sacando la raízx + 85 = ±75operemos y terminemos de despejar la variablex = −85 ± 75luego, el conjunto de soluciones para la ecuación es {−15 , −155 }.


Formula de la raíz cuadráticaPara ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 se pueden encontrar los valores dex organizando los términos de la siguiente manera:

ax2 + bx = −cmultiplicando por el inverso multiplicativo de a y operandox2 + b

ax = −caahora, para completar el cuadrado en el lado derecho se realiza lo siguiente(12 · ba)2 = b24a2

luego, sumando en ambos lados de la ecuación el término anteriorx2 + b

ax + b24a2 = b24a2 − caoperando y factorizando (

x + b2a)2 = b2 − 4ac4a2sacando raíz

x + b2a = ±√b2 − 4ac4a2y despejando xx = − b2a ±

√b2 − 4ac2afinalmente se obtiene

x = −b±√b2 − 4ac2a .

NotaEsta fórmula es conocida como la fórmula cuadrática. Si el radicando esnegativo se dice que la ecuación tiene solución en el sistema complejo.


Ejemplo 4.2.5Tomar la ecuación 5x2 + 16x + 3 = 0 del ejemplo anterior y aplicar la fórmulacuadrática para encontrar su solución.Solución.De la ecuación se tiene que a = 5, b = 16 y c = 3, reemplazando en la fórmulacuadrática

x = −16±√162 − 4(5)(3)2(5)operandox = −16±√19610= −16± 1410luego, tenemos que el conjunto de soluciones es {−15 , −155 }.

Ejercicios 4.2.1Resolver las siguientes ecuaciones lineales:1. √5x + 9 = 16.2. az−3 z+8abz−15 = 23, a y b constantes.

3. √7y+ 32 y = 4y.4. −2 (5 x+34)

x−50 = 0.5. πx + 9 x − 5 = x .6. −√3m−21mm−2 = 0.

7. √x + 5 = √−6 x + 1.Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:8. 6πx + x2 − 13 = 99. x2 + x + 1 = 2510. 12n2 + 9 = 36n11. √6b2 = b2e+ 47, e constante.12. t2 − 26 t = 5 t + 56

5.1. INTERVALOS 59Inecuaciones 5

Cap

ítulo

Así como para los números reales se usan las desigualdades mayor que (>) ymenor que (<) para decir que son diferentes, de igual manera podemos separardos expresiones con estos símbolos, además del menor o igual que (≤) y mayoro igual que (≥). Las ecuaciones separadas por los símbolos mencionados recibenel nombre de inecuaciones, y a diferencia de las ecuaciones donde se encuentranvalores específicos, como es el caso de las ecuaciones lineales, en las inecuacionesse encuentran intervalos que deben satisfacer las condiciones del problema. Unejemplo de inecuación es:x + 9 < 12.Reemplazando x por diferentes valores como 2,-3,10,3; de esta forma se tiene que:

Valor de x Resultado Veracidad2 11 Verdadero-3 6 Verdadero10 19 Falso3 12 FalsoAsí, se observa que para valores menores a 3 la inecuación es verdadera, además aeste conjunto solución se le conoce como intervalo.

5.1 Intervalos

Sean a y b dos números reales tales que a < b.Un intervalo cerrado, [a, b], son todos los números reales x , tales que a ≤ x ≤b.

5.1. INTERVALOS 60

Un intervalo abierto, (a, b), son todos los números reales x , tales que a < x <b.

Un intervalo semiabierto, (a, b] o [a, b), son todos los números reales x , talesque a < x ≤ b en el caso de (a, b] y a ≤ x < b en el caso de [a, b).

Existe otro tipo de intervalos con símbolos como ∞ o −∞ que representan lacontinuidad del intervalo, es decir, no hay un límite establecido. Estos son:(a,∞), representa todos los valores x , tales que a > x .

[a,∞), representa todos los valores x , tales que a ≤ x .

(−∞, b), representa todos los valores x , tales que x < b.

(−∞, b], representa todos los valores x , tales que x ≤ b.

(−∞,∞), representa todos los valores x , tales que −∞ < x <∞.

NotaCuando se denota un intervalo con algún extremo infinito, se usa siempre elparéntesis donde se encuentre el símbolo −∞ o ∞.

5.2. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES 61

De esta forma se puede escribir el conjunto solución de las inecuaciones.Antes de conocer como solucionar estas ecuaciones se introducirán las propiedadesde las desigualdades.5.2 Propiedades de las desigualdades

Para el correcto desarrollo de las inecuaciones se deben tener en cuenta las si-guientes propiedades:Suma de un númeroSea a un número cualquiera, la suma de a en una inecuación no cambia el sentidode esta, es decir:

Si x b entonces x + a > b+ a.

Ejemplo 5.2.1x < 5, al sumar 4 se tiene x + 4 < 9.x > 2, al sumar (−2) se tiene x − 2 > 0.

Multiplicación de un numero positivoSea a un número tal que a > 0, la multiplicación de a en una inecuación no cambiael sentido de la desigualdad, es decir:Si x b entonces x(a) > b(a).

Ejemplo 5.2.2x ≥ −5, multiplicando por 2 se tiene x(2) ≥ −10.x ≤ 23 , multiplicando por 13 se tiene x(13) ≤ 263 .

5.3. SOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES 62

Multiplicación de un número negativoSea a un número tal que a < 0, la multiplicación de a por una inecuación cambiael sentido de la desigualdad, es decir:x b(a).x > b entonces x(a) < b(a).

Ejemplo 5.2.3x ≤ 35 multiplicando por -2 se tiene x(−2) ≥ −70.x > 2 si multiplicamos por −78 se tiene x(−78 ) < −74 .

5.3 Solución de inecuaciones lineales

Haciendo uso de las propiedades anteriores se puede encontrar la solución de cadainecuación lineal; su desarrollo es semejante que el de las ecuaciones lineales.Ejemplo 5.3.1Resolver 3x + 5 ≤ 7.Solución.Sumando -5 en ambos lados se tiene

3x ≤ 2dividiendo por el inverso multiplicativo de 3

3x (13)≤ 2(13

)realizando las operaciones respectivas

x ≤ 23Así, la solución es el conjunto de todos los valores que puede tomar x menores oigual que 23 , es decir, el intervalo solución es (−∞, 23 ].

Ejemplo 5.3.2Resolver las siguientes inecuaciones:−2x + 3 ≥ 1 Desarrollando de manera similar al ejemplo anterior se tiene

x ≤ 1y el intervalo solución es (−∞, 1].

x + 5 > 8 Desarrollando la inecuación, el resultado esx > 3

y el intervalo solución es (3,∞).

5.3.1 Solución de inecuaciones combinadas

En diferentes casos se pueden encontrar inecuaciones combinadas, es decir, unaexpresión con dos desigualdades. Para encontrar su solución se puede trabajarcomo inecuación combinada ó dividirla en dos inecuaciones.Ejemplo 5.3.3Resolver la siguiente inecuación combinada:8 < x + 6 < 12Solución.Separando en las dos respectivas inecuaciones se tiene8 < x + 6 y x + 6 < 12el resultado de la primera inecuación es

x > 2el resultado de la segunda inecuación esx < 6

luego, los respectivos intervalos son (2,∞) y (−∞, 6).Sin embargo, si se toma un valor del intervalo (−∞, 6) como -1 y se reemplazaen la inecuación, tendríamos que la primera inecuación es falsa, de igual manera,si se toma un valor del intervalo (2,∞) como 7 y se reemplaza, el resultado esque la segunda inecuación es falsa. Entonces, para estos casos, el intervalo deberestringirse, para ello se realiza la intersección de los intervalos encontrados.Para este ejemplo, la solución de la inecuación combinada es el intervalo:

(2,∞) ∩ (−∞, 6) = (2, 6)

NotaCuando la intersección de intervalos es vacío, diremos que la inecuacióncombinada no tiene intervalo de solución, como es el caso siguiente:Para a < b y la inecuación combinada b < x < a, no existe solución, yaque a es menor que b y no es posible encontrar números reales que seanmayores a b y menores que a.

Ejemplo 5.3.4La inecuación 3 < x < −5 no tiene solución, pues -5 es menor a 3 y noexisten valores que sean mayores a 3 y menores a -5.La inecuación 3 < −x > 7 no tiene solución, pues resolviendo cada inecua-ción por separado se tiene

x > −3 y x < −7luego, los intervalos solución son

(−3,∞) y (−∞,−7)pero su intersección es vació y por tanto no hay intervalo solución.

5.3.2 Inecuaciones racionales

Dada la siguiente inecuación 13x+2 > 0, se puede observar que no es lineal, portanto no se comporta de la misma manera pero su método para solucionarla es muysimilar al de las lineales.Para su desarrollo se debe tener en cuenta lo siguiente:Propiedades 5.3.1

1. Si a > 0 entonces 1a > 0.

2. Si a < 0 entonces 1a < 0.

A partir de lo anterior se puede resolver la inecuación de la siguiente manera.Teniendo en cuenta que 13x+2 > 0, entonces:3x + 2 > 0

se observa que la inecuación resultante es lineal, entonces, aplicando lo visto an-teriormentex > −23luego, el intervalo solución es (−23 ,∞).

Al resolver las inecuaciones no lineales, es importante tener cuenta que el denomi-nador debe ser diferente de cero, además si la desigualdad es ≤ 0 o ≥ 0, entoncesse modifica a menor estricto ó mayor estricto, dependiendo de la desigualdad dada.Ejemplo 5.3.5Resolver la inecuación 15−2x ≤ 0.Solución.Como la inecuación es menor o igual que cero, entonces el denominador debe sermenor que cero, así 5− 2x < 0desarrollando la inecuación se tiene

x > 52

con lo cual el intervalo solución es (52 ,∞).

5.3.3 Inecuaciones con valor absoluto

Para inecuaciones con valor absoluto se tienen en cuenta las siguientes propiedades:Propiedades 5.3.2Sea a un número real, entonces:

1. Si |a| b entonces −b > a > b.

De lo anterior se concluye que para inecuaciones con valor absoluto su soluciónse desarrolla con el método para inecuaciones combinadas. Sin embargo, en estoscasos es primordial tener en cuenta la desigualdad pues, a pesar que en las inecua-ciones se usaba la intersección para encontrar el intervalo solución en este casodependiendo de la desigualdad se usa unión o intersección, de la siguiente manera:Sea b un número real positivo y a una expresión algebraica.Si |a| −b y a b entonces a < −b o a > b y para hallar el intervalo soluciónusaremos la unión.Ejemplo 5.3.6Resolver las siguientes inecuaciones:

|3x + 2| ≤ 32Aplicando la propiedad (1) para valor absoluto se tiene

−32 ≤ 3x + 2 ≤ 32resolviendo las dos inecuaciones

−343 ≤ x y x ≤ 10

por tanto, los intervalos son[−343 ,∞) y (−∞, 10]

luego, como el símbolo es ≤, la intersección de los dos intervalos es[−343 ,∞) ∩ (−∞, 10] = [−343 , 10]

|x − 2| ≥ 5Separando por la propiedad (2) de valor absoluto

−5 ≥ x − 2 ≥ 5y resolviendo las inecuaciones de forma separada tenemos

−3 ≥ x o x ≥ 7con lo cual nuestros intervalos quedan

(−∞,−3] o [7,∞)luego como el símbolo es ≥ miramos la unión de los dos intervalos con locual queda (−∞,−3] ∪ [7,∞).

Si b < 0 entonces la solución de las inecuaciones se realiza por simple revisiónpues:Si |a| < b, como el valor absoluto no puede ser negativo entonces la inecua-ción no tiene solución.Si |a| > b, como el valor absoluto siempre es positivo entonces el intervalosolución son todos los reales.


5.3.4 Inecuaciones no lineales

Las inecuaciones polinómicas de grado mayor a uno, se conocen como inecuacionesno lineales. Si las inecuaciones se pueden expresar como producto de factoreslineales ax+b, factores cuadráticos irreducibles (ax2 +bx+c) o en cocientes ax+bcx+d .Su solución se realiza de la siguiente manera:1. Dejar todos los términos a un lado de la inecuación.2. Descomponer el polinomio en producto de sus factores.3. Igualar cada factor a 0 y solucionar.4. Resolver la tabla de signos.5. Hallar el intervalo de solución.

NotaTener en cuenta que el algoritmo solo es funcional para polinomios que sepuedan factorizar, es decir al polinomiox2 + 1

no se le aplica el algoritomo ya que no se puede factorizar.Ejemplo 5.3.7Resolver la inecuación x3 − 4x2 − 11x + 20 > −10.Solución.Dejando todos los términos a un lado

x3 − 4x2 − 11x + 30 > 0factorizando y reescribiendo en sus factores lineales(x + 3)(x − 2)(x − 5) > 0igualando cada factor lineal a 0 y resolviendo se tienex = −3, x = 2, x = 5Tomando valores a la derecha de la solución encontrada de cada factor se obtieneun número positivo, y a la izquierda uno negativo, es decir, evaluando el factor

(x−2) en x = 1, (1 < 2), el resultado es −1 < 0 y para x = 3, (3 > 2) el resultadoes 1 > 0; luego, la tabla de signos es

ahora, como la inecuación debe ser mayor que cero, observando la tabla, losintervalos que dan positivo son (−3, 2) y (5,∞) así, el intervalo solución es:(−3, 2) ∪ (5,∞)

Ejercicios 5.3.1Encontrar la solución de las inecuaciones:1. x + 25 < 3.2. √7t − 12 > (52).3. x2 + 6 x − 7 ≥ 0.4. a3 − 27 ≤ 5.5. y4 − 25 > 0.6. 1x−32 ≤ 5.Hallar la solución para las siguientes inecuaciones combinadas:7. 3 < x − 5 < 10.8. x ≤ 7x + 10 < 23.9. x2 + 5 ≤ x −√6 ≤ x5 .10. |2m+ 5| > −8.11. −9 ≤ |√5a− 5| ≤ 1.12. −t − 1 ≥ t + 11 ≥ √12.

71Sistema deecuaciones 6

Cap

ítulo

En los capítulos anteriores se dio introducción a las ecuaciones, sin embargo enesos casos solo se despejaba la variable. En este capítulo se considerará la soluciónde más de una ecuación y más de una incognita. Para ello se mostrarán unasdefiniciones previas.Definición 6.0.1Un sistema de ecuaciones es una colección de dos o mas ecuaciones, cadaecuación cuenta con una o mas variables.

Así como una ecuación puede ser verdadera para un valor y falsa para otro, de igualforma sucede para un sistema de ecuaciones, es decir, un sistema de ecuaciones esverdadero si para los valores que toman las variables, las ecuaciones del sistemason verdaderas al mismo tiempo.Ejemplo 6.0.1 { 3x + 4y = 0

−3x + 5y = 0Representa un sistema de ecuaciones 2x2, y es verdadero cuando x = 0, y = 0,pues al reemplazar en ambas ecuaciones cumple las condiciones.De esta forma un sistema puede ser verdadero o falso, en otras palabras un sistemade ecuaciones puede tener solución o no.Un sistema de ecuaciones es inconsistente cuando no tiene soluciones. En el casode tener al menos una solución se llama sistema consistente; además un sistemapuede tener una solución ó infinitas soluciones.

6.1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 72

Ejemplo 6.0.2Sistema sin solución {2x + y = 32x + y = 2El sistema no tiene solución para ningún valor de x y y.Sistema con solución única { 5x + y = 2

−3x + y = 1El sistema tiene una única solución cuando x = 18 y y = 118 .Sistema con infinitas soluciones{ 3x + 2y = 415x + 10y = 20El sistema tiene infinitas soluciones para cualquier valor de x y y.

Para poder encontrar la solución a un sistema de ecuaciones, se usan métodosalgebraicos como lo son el método de sustitución, igualación o eliminación.6.1 Método de sustitución

Este método consiste en despejar de las ecuaciones una o más variables y reem-plazar en las ecuaciones restantes hasta hallar valores fijos.Ejemplo 6.1.1Resolver el siguiente sistema: { 5x + y = 2

−3x + y = 1Solución.Tomar la primera ecuación y despejar la variable x

x = 2− y5


reemplazar el valor de x en la segunda ecuacióny− 3(2− y5

) = 1despejar la variable y 8y5 = 1 + 65

y = 118una vez conocido el valor de y, este se reemplaza en la ecuación donde x fuedespejada, y asíx = 18de esta forma hallamos el valor de x y y, es decir, la solucón del sistema deecuaciones.

Ejemplo 6.1.2Resolver los siguientes sistemas:{4x − 5y = 22x + 3y = 3Solución.Despejando la variable y de la primera ecuación

y = −2− 4x5reemplazando en la segunda ecuación3(−2− 4x5 ) + 2x = 3

despejamos la variable xx = 2122reemplazamos en el despeje de y y solucionamosy = 411 .


3x + 2y− z = 2x − y+ 2z = 1x + y+ z = 3

Solución.Despejando x en la segunda ecuaciónx = 1 + y− 2z

reemplazando en la tercera ecuación y despejando y(1 + y− 2z) + y+ z = 3

y = 1 + z2reemplazando el valor de x en la primera ecuación3(1 + y− 2z) + 2y− z = 23 + 5y− 7z = 2

reemplazando el valor de y en la primera ecuación y despejandoz = 43reemplazando el valor de z en el despeje de yy = 53reemplazando los valores de z y y en el despeje de xx = 0.

6.2. MÉTODO DE ELIMINACIÓN 75

6.2 Método de eliminación

El método de eliminación es más efectivo para el sistema de ecuaciones con másde dos variables. Su objetivo es reemplazar el sistema de ecuaciones original poruno equivalente hasta conseguir eliminar variables, se realiza sumando o restandolas ecuaciones dadas o las equivalentes término a término.Ejemplo 6.2.1Resolver los siguientes sistemas:{

x + 3y = 27x − 8y = −3Solución.Multiplicar la primera ecuación por -7 y sumarla a la segunda ecuación(−7)(x + 3y) = −147x − 8y = −3

−29y = −17de esta forma el sistema equivalente esx + 3y = 2−29y = −17luego, despejando y en la segunda ecuacióny = 1729reemplazando y en la primera ecuación y despejando xx = 729 .

2x + y+ z = 1x − 3y+ 5z = 27x + 8y− z = 3

Solución.Cambiando de posición la segunda ecuación por la primerax − 3y+ 5z = 22x + y+ z = 17x + 8y− z = 3

6.2. MÉTODO DE ELIMINACIÓN 76

Multiplicando por -2 la primera ecuación y sumandola a la segunda(−2)(x − 3y+ 5z) = −42x + y+ z = 17y− 9z = −3

Multiplicando la primera ecuación por -7 y sumandola a la tercera(−7)(x − 3y+ 5z) = −147x + 8y− z = 329y− 36z = −11

al resultado anterior sumarle la ecuación 7y− 9z = −3 multiplicada −297(−297 )(7y− 9z) = 87729y− 36z = −1197z = 107De esta forma nuestro sistema de ecuaciones equivalente esx − 3y+ 5z = 27y− 9z = −397z = 107se tiene que

z = 109reemplazando z en la segunda ecuacióny = 1

y reemplazando en la primera ecuación los valores de y y z se tienex = −59 .

6.3. MÉTODO DE GAUSS 77

6.3 Método de Gauss

Definición 6.3.1Una matriz es un arreglo de números de forma bidimensional, donde cadanúmero representa una entrada de la matriz.Para solucionar sistemas de ecuaciones también se pueden implementar matrices,teniendo en cuenta que el número de filas equivale al número de ecuaciones delsistema de ecuaciones, y el número de columnas equivale a la cantidad de variablesde cada ecuación.Las entradas de la matriz son los coeficientes de cada variable, es decir:Ejemplo 6.3.1Dado el siguiente sistema de ecuaciones

x − 3y+ 5z = 22x + y+ z = 17x + 8y− z = 3la matriz que lo representa es 1 −3 5 22 1 1 17 8 −1 3

El método de Gauss es similar al método de eliminación, ya que se realiza inter-cambio de filas y operaciones entre ellas, además cada columna representa unavariable, así su desarrollo es más sencillo.Para resolver los sistemas de ecuaciones por este método se propone el siguientealgoritmo.

1. Convertir la entrada de la columna 1 y fila 1 en 1.2. Convertir los números de la columna 1 a partir de la fila 2 en ceros.3. Convertir la entrada de la columna 2 y fila 2 en 1.4. Convertir los números de la columna 2 a partir de la fila 3 en ceros.

6.3. MÉTODO DE GAUSS 78

5. Convertir la entrada de la columna 3 y fila 3 en 1.6. Analizar la matriz resultante.

Solucionando el ejemplo anterior:Solución. 1 −3 5 22 1 1 17 8 −1 3

Dado que la entrada de la columna 1 y fila 1 es el número 1 se continúa conel paso 2. Para volver el número de la fila 2 a cero, multiplicar por -2 la fila1 y sumarla a la fila 2. 1 −3 5 20 7 −9 −37 8 −1 3

Para volver la entrada de la fila 3 a cero, se multiplica por -7 la fila 1 y sesuma a la fila 3. 1 −3 5 20 7 −9 −30 29 −36 −11

Ahora, para convertir la entrada de la columna 2 y fila 2 en 1 se multiplica lafila 2 por 17 1 −3 5 20 1 −97 −370 29 −36 −11

Como la entrada de la fila 3 y columna 2 debe ser cero, entonces se multiplicapor -29 la fila 2 y se suma a la fila 3. 1 −3 5 20 1 −97 −370 0 97 107

Ahora, para volver 1 la entrada de la columna 3 y fila 3, se multiplica la fila3 por 79 . 1 −3 5 20 1 −97 −370 0 1 109

6.4. MÉTODO DE CRAMER 79

De esta forma, el sistema de ecuaciones esx − 3y+ 5z = 2y− 97z = −37

z = 109El cual es un sistema mas sencillo de resolver, luego la solucion es

x = −59 y = 1 z = 109

6.4 Método de Cramer

En la sección anterior vimos el uso de las matrices para el desarrollo de los sistemasde ecuaciones, ahora con el uso del determinante también se podrá resolver lossistemas teniendo en cuenta que la cantidad de variables debe ser igual al númerode ecuaciones.6.4.1 Método de Cramer para sistemas 2× 2

Determinantes 2× 2Para valores a, b, c, d reales el símbolo:D = ∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣se denomina determinante 2× 2 y su valor es igual a ad− bc, es decir

D = ∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc.

Ejemplo 6.4.1Hallar el valor del determinanteD = ∣∣∣∣ 5 −34 2

∣∣∣∣ = 5(2)− (−3)4 = 22.


Solución de los sistemas 2× 2Aplicando la teoría para los determinantes 2×2 se dará solución al siguiente sistemade ecuaciones lineales 2× 2 de forma general.{ax + by = ecx + dy = fMultiplicando por d la primera ecuación se tieneadx + dby = de

cx + dy = f

ahora, multiplicando la segunda ecuación por −b y adicionandola a la primeraecuación (ad− bc)x + 0y = (de− bf )cx + dy = f

luego, se puede expresar la primera ecuación como∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ x = ∣∣∣∣ e bf d

∣∣∣∣de esta forma, mientras el determinante D de la variable x sea diferente acero entonces

x =∣∣∣∣ e bf d

∣∣∣∣D .

Para hallar el valor de y se parte del sistema original y se multiplica lasegunda ecuación por aax + by = e

acx + ady = af

multiplicando la primera ecuación por −c y adicionandola a la segunda ecua-ciónax + by = e0x + (ad− cb)y = (af − ce)


Reescribiendo la ecuación se tiene∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣y = ∣∣∣∣ a ec f

∣∣∣∣de esta forma

y =∣∣∣∣ a ec f

∣∣∣∣D .

Con lo anterior fueron hallados los valores para x y y en un sistema de ecuaciones2× 2.Al numerador de la división de x lo denotaremos por Dx y el numerador de ladivisión de y lo denotaremos por Dy, de esta formax = Dx

D y = DyD .

Ejemplo 6.4.2Resolver el siguiente sistema {3x + 4y = 52x − y = −3Solución.Aplicando regla de Cramer

x =∣∣∣∣ 5 4−3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 42 −1∣∣∣∣ y =

∣∣∣∣ 3 52 −3∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 42 −1∣∣∣∣

luego, resolviendo los determinantes se obtienex = − 711 y = 1911 .

6.4.2 Método de Cramer para sistemas 3× 3


Determinante 3× 3Ya hemos visto como solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2, ahora parasolucionar sistemas de ecuaciones 3×3 se define primero el comportamiento de losdeterminantes 3× 3.La representación de un determinante 3× 3 es de la siguiente forma:∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣donde aij son números reales con i, j = 1, 2, 3, y el valor del determinante es∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ .A los determinantes 2× 2 se le conoce como menores del determinante 3× 3 y sedenotan por Mij , donde el subíndice es el mismo de la entrada del determinante3× 3 que es multiplicado por el determinante 2× 2.Ejemplo 6.4.3Hallar el valor del determinante∣∣∣∣∣∣

1 −2 4−3 2 01 5 −4

∣∣∣∣∣∣Solución.Usando la formula anterior∣∣∣∣∣∣

1 −2 4−3 2 01 5 −4

∣∣∣∣∣∣ = 1 ∣∣∣∣ 2 05 −4∣∣∣∣− (−2) ∣∣∣∣ −3 01 −4

∣∣∣∣+ 4 ∣∣∣∣ −3 21 5∣∣∣∣

operando obtenemos el resultando∣∣∣∣∣∣1 −2 4−3 2 01 5 −4

∣∣∣∣∣∣ = −8 + 2(12) + 4(−17) = −52.


Solución de los sistemas 3× 3 ax + by+ cz = jdx + ey+ f z = kgx + hy+ iz = lDe la misma manera que se realizó para solucionar un sistema 2×2, para la solucióndel sistema 3× 3 el valor de cada variable se halla de la siguiente forma:

x = DxD y = Dy

D z = DzDDonde los numeradores están dados por

Dx =∣∣∣∣∣∣j b ck e fl h i

∣∣∣∣∣∣ Dy =∣∣∣∣∣∣a j cd k fg l i

∣∣∣∣∣∣ Dz =∣∣∣∣∣∣a b jd e kg h l

∣∣∣∣∣∣ .Ejemplo 6.4.4Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

x + y+ z = 43x − 2z = 0x − y+ z = 2

Solución.Tenemos que:D =

∣∣∣∣∣∣1 1 13 0 −21 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = −10.Dx =

∣∣∣∣∣∣4 1 10 0 −22 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = −12.Dy =

∣∣∣∣∣∣1 4 13 0 −21 2 1

∣∣∣∣∣∣ = −10.Dz =

∣∣∣∣∣∣1 1 43 0 01 −1 2

∣∣∣∣∣∣ = −18.


por tanto, los valores de las variables sonx = 65 y = 1 z = 95

Ejercicios 6.4.1Resolver los siguientes sistemas usando método de sustitución:1. {x + 5 = 40

x − 10 = 20 .2. {18y+ 4 = 013y + 3 = 92 .3. {3x + 1

y = 145y+ 94 = 22 .4.x + y = 115x + 4y− z = 654z − 3 = 23

.Encontrar la solución de los sistemas usando método de eliminación:

5. {7x + y = 35x − 4y = 6 .6. {√3a− b+ 1 = 2

a+ 3b = 1 .7.x + 5y− 6z = 159x − 2y− z = 7x + y− 8z = 21 .

Asociar el sistema de ecuaciones de las siguientes matrices para las variables x ,y, z y encontrar su solución.

8. ( 1 2 54 6 1 ).9. 5 3 11 112 0 1 89 2 7 4

.


10. 14 1 23 016 4 0 20 3 27 6.

Resolver los siguientes sistemas usando el método de Cramer:11. { x + 13y = 127

−17x + y = √6 .12.

l+ m− n = 5l+ 2m+ 3n = 24

−4l+ 23m+ n = 16 .

87Funciones 7

Cap

ítulo

Al ubicar un punto en la recta de números reales, a este se le asigna un único nú-mero real. Ahora, en el caso del plano, un punto es representado con dos númerosreales, a y b, denotados como parejas ordenadas (a, b). De esta forma se introduceel sistema de coordenadas en un plano, que esta dado por medio de dos rectasperpendiculares interceptadas en el punto de origen O, donde la recta horizontal seconoce como eje x y a la recta vertical como eje y. Así se tiene un plano coordenadoo plano xy.Para ubicar una pareja ordenada dentro del plano se hace uso de los ejes coorde-nados, la primera componente respecto al eje x y la segunda respecto al eje y.Los ejes coordenados separan el plano en cuatro cuadrantes:

Figura 7.1 Cuadrantes.

En el primer cuadrante ambascomponentes son positivas.En el segundo cuadrante la primercomponente es negativa y la se-gunda es positiva.En el tercer cuadrante ambas com-ponentes son negativas.En el cuarto cuadrante la primercomponente es positiva y la segun-da negativa.

Ejemplo 7.0.1Observemos la grafica de los siguientes puntos en el plano coordenado:Solución.

7.1. GRÁFICAS DE ECUACIONES 88

(2,3)(5,-2)(-1,5)(-2,-3)

7.1 Gráficas de ecuaciones

En el ámbito financiero se realizan gráficas para comparar el promedio de ventasrespecto a las temporadas. De forma general, se puede decir que las gráficas serealizan con el objetivo de representar algún cambio y estan relacionadas con lasecuaciones de dos variables.Si se tiene una ecuación de dos variables x, y, para cada par ordenado (a, b) decimosque a = x y b = y, sin embargo, los valores de x, y deben cumplir la ecuación dada.Por ejemplo, en la ecuación 2x+3 = y tenemos que para x = 1 y y = 5 la ecuaciónes cierta, así los puntos x y y se representan con la pareja ordenada (1, 5). Todo elconjunto de parejas ordenadas se le llama gráfica de la ecuación (ver figura 7.2).

Figura 7.2 Gráfica de la ecuación.

De esta manera se puede trazar la gráfi-ca de una ecuación, sin embargo, ya exis-ten programas que realizan la construc-ción de gráficas y facilitan el trabajo paraaquellas ecuaciones con mayor grado decomplejidad.

Ejemplo 7.1.1Hallar la gráfica para la ecuación y = 5x + 2.Solución.


Primero se deben hallar los valores para ubicarlos en el plano, para esto sereemplaza x por diferentes números reales en la ecuación, se opera y se obtieneel valor de y. La tabla de datos y la gráfica son

x y0 21 7−1 −3−2 −82 12 -2 -1 1 2

-5

5

10

(0, 2)

(1, 7)

(−1, − 3)

(−2, − 8)

(2, 12)

y= 5x+ 2

Hay que tener en cuenta que la gráfica anterior es solo un boceto que nos permiteobservar el comportamiento de la gráfica en general, dado que tanto x como ypueden tomar infinitos valores, así en el ejemplo, la recta puede ser tan grandecomo valores tome x .

Ejemplo 7.1.2Hallar la gráfica de la ecuación y = x2 + 3.Solución.La tabla de valores de la ecuación y su gráfica son


x y0 31 4−1 4−2 72 7

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

6

7

(0, 3)

(1, 4)(−1, 4)

(−2, 7) (2, 7)

y= x2 + 3

Intersección de las gráficas con los ejesLa intersección de la gráfica con uno de los ejes coordenados es el punto donde secorta el eje (x o y) con la gráfica de la ecuación.

Figura 7.3 Corte con el eje y. Figura 7.4 Corte con el eje x .Para hallar el punto de intersección se procede de la siguiente manera:Punto de intersección con el eje yPara hallar el punto de intersección de la gráfica con el eje y se iguala la variablex a cero.Ejemplo 7.1.3Hallar el punto de intersección con el eje y de la ecuación y = 3x + 2.Solución.

7.2. RECTA 91

Igualando la variable x a cero se tieney = 3(0) + 2y = 2De esta forma, el punto de intersección con el eje y es 2, como se puede observaren la gráfica 7.5.

Punto de intersección con el eje xDe manera similar, para hallar el punto de intersección con el eje x , se iguala y acero.Ejemplo 7.1.4Hallar el punto de intersección con el eje x de la ecuación y = 3x + 2.Solución.Igualando y a cero

0 = 3x + 2despejando x

x = −23Así, se ha encontrado el punto de inter-sección con el eje x y se puede compro-bar en la gráfica 7.5.-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

6

8

(−2/3, 0)

(0, 2)

y= 3x+ 2

Figura 7.5 Corte en los ejes x y y.7.2 Recta

Ahora se introducirán las rectas y su comportamiento en el plano coordenado, paraello se tendrán dos objetivos principales:Dada una ecuación encontrar la correspondiente recta.Dada una recta encontrar su correspondiente ecuación.

7.2. RECTA 92

Definición 7.2.1Dada una recta l, sean P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) dos puntos de la rectal. La pendiente m esta dada por:

m = y2 − y1x2 − x1 .La cual representa la inclinación de la recta.

No importa que puntos se tomen como P1 y P2, pues su resultado no va a cambiarya que:m = y2 − y1

x2 − x1 = y2 − y1x2 − x1

(−1)(−1) = y1 − y2x1 − x2 .Además, si el denominador es cero se dice que m no esta definida y por tanto larecta es paralela al eje y. En el caso que el numerador sea igual a cero no existirápendiente y por tanto la recta sera paralela al eje x .

7.2. RECTA 93

Ejemplo 7.2.1Hallar las siguientes pendientesP1 = (2, 4), P2 = (1, 2)P1 = (1, 5), P2 = (2, 6)

P1 = (1, 4), P2 = (1, 6)P1 = (2, 2), P2 = (1, 2)

Solución.m = 2

-1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

(1, 2)

(2, 4)

y= 2x

m = 1

-2 -1 1 2 3 4 5

-2

2

4

6

8

(1, 5)

(2, 6)

y= x+ 4

m no esta definida.

-1 1 2 3

2

4

6

8

(1, 4)

(1, 6)

x= 3

m = 0

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

(1, 2) (2, 2)

y= 2

7.2. RECTA 94

Trazar una recta con una pendiente determinadaDado un punto P = (2, 1), con m = 23 , para trazar su respectiva recta, primerodebemos hallar otro punto, para ello, como nuestro punto es (2, 1) y dado que lapendiente es 23 , se ubica en el plano dos unidades hacia arriba y tres a la derechadel punto dado, obteniendo el nuevo punto (5, 3) y la recta

-2 2 4 6

-1

1

2

3

4

(2, 1)

(5, 3)

De igual forma, si se tiene el mismo punto y la pendiente −23 entonces, se ubica enel plano dos unidades hacia abajo y tres a la derecha del punto dado, obteniendo(5,−1) y la recta:

-2 2 4 6

-1

1

2

3

(2, 1)

(5, − 1)

7.2. RECTA 95

Ecuación de una rectaCon el conocimiento de como hallar la pendiente de una recta se puede encontrarla ecuación de una recta.Ejemplo 7.2.2Hallar la ecuación para la recta que pasa por los puntos (2,4) y (1,2).Solución.Primero se halla la pendiente

m = 2− 41− 2 = 2ahora, para hallar la ecuación de la recta tomar el punto (x, y) = (x2, y2) y(2,4)=(x1, y1), reemplazarlos en la ecuación de la pendiente y despejar y

(y− 4) = 2(x − 2)y− 4 = 2x − 4

y = 2x

-1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

(1, 2)

(2, 4)

y= 2x

Así, la ecuación de la recta esta dada por y = mx −mx1 +y1, escrito de otra formay = mx + b, donde b = y1 − mx1, es decir, b es el punto de corte con el eje y.Entonces la ecuación de la recta es

y = mx + b.

7.2. RECTA 96

Ejemplo 7.2.3Encontrar la ecuación de la siguiente recta

-2 -1 1 2 3

2

4

6

(0, 5)

(2, 3)

y= − x+ 5

Solución.Se tiene que el punto de corte con el eje y es (0, 5), además como pasa por elpunto (2,3) la pendiente es igual a -1, luego la ecuación de la recta esy = −x + 5

Gráfica de una ecuación linealDesde capítulos anteriores se ha manejado ecuaciones para una recta, ya que estárepresentada por cualquier ecuación lineal ax + by = c.Ejemplo 7.2.4Graficar 2x + 3y = 6.Solución.Despejando la variable y 3y = −2x + 6

y = −23x + 2tomando diferentes valores para x y evaluando se tiene la siguiente figura.

7.2. RECTA 97

x −2 −1 0 1 2y 103 83 2 43 23

Figura 7.6 Ecuación 2x + 3y = 6.

7.3. FUNCIONES 98

7.3 Funciones

Definición 7.3.1Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos A y B, en la cuala un elemento de A le corresponde al menos un elemento de B.Decimos que A es el conjunto de salida, y B el conjunto de llegada. En muchoscasos los conjuntos serán numéricos, por tanto se trabajará con el conjunto de losreales R. La representación de las correspondencias se realiza a partir de diagramassagitales (ver figura 7.7).

Figura 7.7 Diagrama sagital.Definición 7.3.2Una función f es una relación donde a cada elemento del conjunto A lecorresponde un único elemento del conjunto B.

A diferencia de las relaciones, donde a un elemento del conjunto de salida puedecorresponderle mas de un elemento del conjunto de llegada, en las funciones unelemento no puede tener mas de una correspondencia, es decir, toda función es unarelación, pero no toda relación es una función.

Figura 7.8 Función Figura 7.9 Relación

7.3. FUNCIONES 99

Definición 7.3.3Sea f una función de A en B, entonces:1. El elemento x del conjunto A es el argumento o pre-imagen de f .2. El conjunto A es el dominio de la función f y se denota Dom f .3. El elemento y = f (x) del conjunto B es la imagen de x .4. El conjunto de todas las imágenes es el rango de la función f y sedenota Ran f .

Nota

1. En una función f , decimos que x es la variable independiente y y esla variable dependiente.2. El rango de una función f definida de A en B no es necesariamentetodo el conjunto de llegada B.

7.3.1 Ejemplos de funciones

Constante: es una función de la forma f (x) = k , con k un número real.f(x) = k

7.3. FUNCIONES 100

Identidad: es una función de la forma f (x) = x , es decir, x no varia al serevaluada.f(x) = x

Lineal: esta función descrita como f (x) = ax + b, donde a y b son númerosreales.f(x) = ax+ b

7.3. FUNCIONES 101

Valor absoluto: es una función de la forma f (x) = |x|, donde el Ran f es elconjunto de los números reales positivos.

f(x) = |x|

7.3.2 Tipos de funciones

Función linealObservamos en el ejemplo anterior que las funciones lineales descritas como:f (x) = ax + b

representan la ecuacion de una recta donde a es la pendiente y b es el valor decorte con el eje y, de esta manera podemos ver algunos casos particulares de estasfunciones, miremos un ejemplo de una función de este tipo.Ejemplo 7.3.1Graficar la función f (x) = 4x − 2.Solución.Reemplazando a x por diferentes valores, obtenemos la siguiente grafica y surespectiva tabla de valores.

x −2 −1 0 1 2f (x) −10 −6 −2 2 6

7.3. FUNCIONES 102

-3 -2 -1 1 2

-10

-5

5

(1, 2)

(2, 6)

(0, − 2)

(−1, − 6)

(−2, − 10)

f(x) = 4x− 2

De esta manera, tenemos que la función posee como dominio el conjunto Domf =R, y su rango es Ranf = R.TraslaciónSi a la función f (x) = x le sumamos un numero real positivo b, de esta maneraobtenemos una nueva función f (x) = x + b y posee una variación gráfica comosigue:

7.3. FUNCIONES 103

x+ b

Esto sucede cuando b ≥ 0 su movimiento es hacia la izquierda, en el caso deque b ≤ 0 su movimiento va a ser hacia la derecha, observemos que aunque haymovimientos en la función su pendiente va a seguir siendo la misma.HomoteciaAl multiplicar nuestra variable x por un numero real positivo a como vemos en lasiguiente gráfica

ax

7.3. FUNCIONES 104

La gráfica nos representa el cambio que tiene la función cuando a ≥ 1 dejandoa la gráfica por encima de la identidad, si a < 1 su movimiento deja a la gráficapor debajo de la diagonal, en el caso de que a = 0 nos vuelve nuestra función unarecta horizontal, y si a < 0 entonces nuestra gráfica cambia el sentido un cambiode inversión respecto a donde se dirige nuestra gráfica.Funciones cuadráticas

Función cuadrática simpleTenemos que la función cuadrática, es aquella que a cada numero real le asigna sucuadrado, a esta función la denotamos por g(x) = x2 y su gráfica es

g(x) = x2

A esta gráfica la llamamos parábola, al punto (0,0) lo llamamos vértice de la pará-bola, además en este caso decimos que la parábola abre hacia arriba, en el casode que este reflejada respecto al eje x decimos que la parábola abre hacia abajo.TraslaciónSumémosle a la función dos números reales positivos a, f , de la siguiente manerag(x) = (x + d)2 + f haciendo los siguientes cambios en la gráfica.

7.3. FUNCIONES 105

(x+ d)2

x2 + f

De esta forma el numero f crea una traslación hacia arriba si f > 0, en el caso deque f < 0 la gráfica se mueve hacia abajo, de manera similar, si d > 0 la gráficase mueve hacia la izquierda, en el caso de que d < 0 la gráfica se mueve hacia laderecha.HomoteciaSi multiplicamos a nuestra variable por un número real positivo e, esta “alargara"a nuestra parábola acercándola mas al eje y como podemos ver en la siguientegráfica

7.3. FUNCIONES 106

ex2

Esto sucede cuando e ≥ 1, cuando 0 < e < 1 nuestra parábola inicial se “comprimi-rá" acercándose mas al eje x , en el caso de que e = 0 nos dará una recta horizontaly si e < 0 esta invertirá a la parábola inicial, volviéndola una parábola que abrehacia abajo.Ecuación de una función cuadráticaPodemos llegar a la ecuación de una función cuadrática por medio de sus trasla-ciones y homotecia. Pues si tenemos la función g(x) = (ex + d)2 + f desarrollandoel cuadrado tenemos

(ax + d)2 + f = e2x2 + 2edx + d2 + f = ax2 + bx + c

Con a = e2, b = 2ad, c = d2 + f , debemos tener en cuenta de que en la funcióncuadrática el rango ya no son todos los reales, este ya depende de hacia dondeabra la parábola y el punto de vértice de la parábola.ahora miremos el siguienteejemplo.

Ejemplo 7.3.2Trazar la gráfica de la función f (x) = x2 + 1.Solución.Reemplazando a x por distintos valores tenemos la siguiente tabla y grafica.

7.3. FUNCIONES 107

x f (x)0 11 2−1 2−2 52 5

De esta forma tenemos que la función tiene dominio Domf = R, y rangoRanf = {x ∈ R|x ≥ 1}.

Funciones racionalesDenotamos a las funciones racionales como la división de polinomios teniendo encuenta que el polinomio del denominador debe ser diferente al nulo.Función racional simpleLa función f (x) = 1

x es la función racional simple y su gráfica viene dada por

Si observamos la función racional se compone de dos partes a esta gráfica la llama-mos hipérbola además la gráfica se acerca tanto al eje y como al eje x , pero nuncase interceptan esto es debido a que la división por cero no esta definida como enel caso del eje y, y que entre mas grande sea el denominador la división va a sermas cercana a cero, pero nunca igual como en el caso del eje x en estos casos a

7.3. FUNCIONES 108

los ejes los llamamos las asíntotas de la función. De esta forma tenemos que paraesta función su dominio es Domf = R− {0}, y rango Ranf = R− {0}, luego tantosu dominio como rango son los números reales a excepción del cero.TraslaciónSea a, b dos números reales positivos, si los sumamos a la función racional de lasiguiente forma f (x) = 1

x+a + b tenemos la siguiente gráfica

De esta forma si a > 0 la gráfica se corre hacia la izquierda y si a < 0 la gráficase corre hacia la derecha, si b > 0 la gráfica se mueve hacia arriba y si b < 0 lagráfica se moverá hacia abajo.HomoteciaSi multiplicamos a la función por un numero positivo a nos da la siguiente gráfica

7.3. FUNCIONES 109

Con esto si multiplicamos a la función por a con a ≥ 1 tenemos que la distanciaentre ambas graficas aumenta, en el caso de que 0 < a < 1 las gráficas su distanciadisminuye, si a < 0 las gráficas cambian de sentido.Hemos dicho que podemos expresar una función racional como la división de dospolinomios, esto influye en el momento de trazar las gráficas pues si en una funciónracional el numerador tiene mayor grado que el denominador la gráfica tendrá asín-totas verticales, pero si el grado del numerador es mayor o igual al del numeradorla gráfica tendrá asíntotas verticales, horizontales o oblicuas.Ejemplo 7.3.3Encontrar las gráficas de las siguientes funciones

−3x3x + 2

x2 − 1x3x + 2

Solución.Comencemos haciendo su tabla de valores de −3

x .x −4 −2 −1 0 1 2 4f (x) 34 32 3 Ind. −3 −32 −34

7.3. FUNCIONES 110

Ahora bien como el polinomio del denominador es x sus asíntotas son losejes, con lo cual su gráfica es

-10 -5 5 10

-4

-2

2

4

luego su dominio es Domf = R− {0}, y rango Ranf = R− {0}.Comencemos haciendo su tabla de valores 3x+2

x2−1 .Ahora bien debemos hallar los ceros del denominador para esto dado quees una polinomio de grado dos usando la formula de la raíz tenemos quesus asíntotas verticales son en -1 o 1 y no tiene asíntotas horizontales:

-10 -5 5 10

-4

-2

2

4

luego su dominio es Domf = R− {−1, 1}, y rango Ranf = R.

7.3. FUNCIONES 111

Comencemos haciendo su tabla de valores x3x+2 .Ahora bien debemos hallar las asíntotas. Para la asíntota vertical tenemosque si x = −2 el denominador es cero luego la asíntota es en -2, ademásno tiene asíntotas horizontales de esta forma su gráfica queda:

-4 -2 2 4

-40

-20

20

40

luego su dominio es Domf = R− {−2}, y rango Ranf = R.7.3.3 Operaciones entre funciones

Al igual que en los números reales o en los polinomios las funciones también laspodemos dotar de operaciones binarias como lo son la suma, producto y el cocienteentre funciones, sin embargo debemos tener bastante cuidado con lo que respecta asu dominio y rango, pues, podemos operar funciones mientras estas tengan el mismodominio, de no ser así trabajaremos con la intersección de sus dominios.Definición 7.3.4Sea f , g dos funciones definidas en el mismo dominio, la suma y el productoentre funciones viene dado por

f (x) + g(x) = (f + g)(x)f (x) · g(x) = (f · g)(x)

7.3. FUNCIONES 112

Ejemplo 7.3.4Dada las funcionesf (x) = x2 + 2g(x) = x3 + x − 2h(x) = x

Realizar las operaciones f + g, f · h, (f + g)h.Solución.

(f + g)(x) = (x2 + 2) + (x3 + x − 2) = x3 + x2 + x

(f · h) = (x2 + 2)(x) = (x3 + 2x)(f + g)h = (x3 + x2 + x)x = x4 + x3 + x2

De esta forma tenemos que las propiedades algebraicas de la suma y el productoen los números reales las podemos manejar en las funciones.Propiedades 7.3.1Sea f , g, h funciones en los reales tales que se tienen las siguientes propie-dades:

1. Conmutatividad f + g = g+ f .2. Asociatividad (f + g) + h = f + (g+ h), (f · g)h = f (g · h).3. Distributiva (f + g)h = f · h+ g · h.

En el caso de los cocientes entre funciones debemos tener cuidado respecto aldenominador pues este no debe ser cero de esta forma definimos el cocientes entrefunciones de la siguiente manera:

7.3. FUNCIONES 113

Definición 7.3.5Sea f , g dos funciones tales que el cociente de f por g viene dada porf (x)g(x) = ( fg

) (x)Donde Dom(f /g) = Dom(f ∩ g)− {x ∈ Dom(f ∩ g) | g(x) 6= 0}.

Ejemplo 7.3.5Dadas las funcionesf (x) = x2 + 3.g(x) = x − 8.h(x) = x2 − 9.

Hallar las gráficas, dominios y rango de f /g, f /h.Solución.

fg (x) = x2+3

x−8 .Tenemos que g(x) = 0 cuando x = 8 tenemos que Dom(f /g) = R − {8},ahora su tabla y gráfica serian

-100 -50 50 100

-100

-50

50

100

de este modo su rango es Ran(f /g) = (−∞,−0.37] ∪ [32.37,∞)

7.3. FUNCIONES 114

fh (x) = x2+3

x2−9Tenemos que g(x) = x2 − 9 = (x + 3)(x − 3) luego sus ceros son 3 y -3 deesta forma Dom(f /h) = R− {−3, 3}, ahora la tabla y gráfica de la funciónes

-20 -10 10 20

-20

-10

10

20

De esta forma su rango es Ran(f /h) = (−∞− 0.33] ∪ (1,∞)Definición 7.3.6Dadas dos funciones f y g, la composición de f con g viene dada por

(f ◦ g)(x) = f (g(x))De esta forma para hallar la función analíticamente miremos el siguiente ejemplo

Definición 7.3.7Sea f (x) = x2 y g(x) = x + 3,la composición f ◦ g = (x + 3)2 = x2 + 6x + 9la composición g ◦ f = x2 + 3

Podemos observar que f ◦ g es diferente a g ◦ f de esta forma la composición nocumple la conmutatividad, como en el producto o la suma de funciones, sin embargosi cumple la asociatividad.

7. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS 115

Ejemplo 7.3.6Sean f , g las funciones definidas anteriormente y h(x) = x + 1(f ◦ g) ◦ h = (x + 1)2 + 6(x + 1) + 9 = x2 + 8x + 16.f ◦ (g ◦ h) = (x + 4)2 = x2 + 8x + 16.

Ejemplo 7.3.7Hallar el dominio, rango y la gráfica de la composición de f ◦ g conf (x) = 2x3 − x + 3, g(x) = −3x + 1

Solución.Tenemos que f ◦ g = 2(−3x + 1)3 − (−3x + 1) + 3 = −27x3 + 27x2 + 12x + 3de esta forma su dominio y rango son todos los reales y su gráfica es

-3 -2 -1 1 2 3

-40

-20

20

40

8. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS 117Solución deejercicios 8

Cap

ítulo

8.1 Capítulo 2

8.1.1 Ejercicios 2.6.1

1. x5 + 4 x2 + 22. 10 x3 − 10y33. 9 x4 − 48y24. 45. 26. 57. 980m6n28. 45 x2yz9. 12 x3 − 15 x2y10. −25a6b+ 25a5 − 25a4 + 25a311. a6b+√5a5 −√3ab3 −√5√3b212. −π3xy2 + πx3 + π2y+ πx

13. a2b2 − 8abx + 16 x214. π2x4 + 10πx3y+ 25 x2y215. 2√2xmym + 2 x2m + y2m


16. a2x2 − b2y217. 2401 z4 − 25m218. a2b2c2 + 5abcs2 + 2abcr + 10 rs219. l2n10 + 216 lm3n5 + 6 lmn5 + 1296m420. 432 x4z + 72 x3z2 + 3 x2z3 − 1152 x4 − 192 x3z − 8 x2z221. x4 − 2x3 − 6x2 + 12x − 24, residuo 5622. 2y3 + 12y2 + 71y+ 409, residuo 2454.23. 4a+ 3b, residuo 024. 7x2y− 2x , residuo 025. 9a2 − 3a+ 1, residuo 026. 25m6 + 10m3n+ 4n2, residuo 027. m3 −m2x +mx2 − x3, residuo 028. b6c6 − ab5c5 + a2b4c4 − a3b3c3 + a4b2c2 − a5bc + a6, residuo 029. −s5 − s3 + s2 − s+ 1, residuo 6s2 − s30. r2 + r , residuo 08.2 Capítulo 3


1. −2a(13b− 1)2. (5m12 − lm5 + 15)m3. −(n3 + 25m2)(n3 − 25m2)4. (3 x + y)(3 x − y)5. (am + 6)3


6. −(bx − az)(5 x + 3 z)7. x6 − 125y38. (an + 5)29. ns+ 35m+ 5n10. 10a10n− 5m6nx + am2x311. (4a20 + b2x6)(2a10 + bx3)(2a10 − bx3)12. (x4 + 5)(x4 + 1)13. (x3 − 3)(x3 − 5)14. −3 (ax + b)(l−m)15. 8a3 + 27 c316. 4 (3a+ 2)2a217. (5 x − 1)(x + 2)18. 2 (8 x2 − 3)x219. 9 (4 x4 + 3)(4 x4 − 3)x820. (x8 + x + y

)x

8.3 Capítulo 4


1. x = 75 √52. z = 35323ab−a+33. y = 04. x = (−345 )

5. x = 5π+86. m = 0

7. x = (−47)8. x = −3π −√9π2 + 22, x = −3π +√9π2 + 229. x = −12 √97− 12 , x = 12 √97− 1210. n = −12 √6 + 32 , n = 12 √6 + 3211. b = −√47√− 1

e−√6 , b = √47√− 1

e−√6

12. t = −12 √1185 + 312 , t = 12 √1185 + 3128.4 Capítulo 5


1. x < (−22)2. t > 37 √73. x ≤ (−7), x ≥ 14. a ≤ 3.174802110825. y < −√5, y >

√56. x < 32, x ≥

(1615 )7. 8 < z , z < 158. (−53) < x , x <

(137 )9. 2√6 + 10 < x , x <(137 ).10. m < +∞

11. [[45 √5 < a, a < 65 √5] , [a = 45 √5] , [a = 65 √5]]12. [[2√3− 11 < t, t < (−6)] , [t = (−6)] , [t = 2√3− 11]]


8.5 Capítulo 6


1. x = 352. y = (−29)3. x = (36279 ), y = (7920)4. x = (−52615 ), y = (69115 ), z = (4415)5. x = ( 611), y = (− 911)6. a = 613 √3− 213 , b = − 213 √3 + 5137. x = (25), y = (−2985), z = (−23185 ).11. x = 13220 √6− 3385 , y = − 1220 √6 + 5138512. m = (60365 ), n = (15865 ), l = (−2413)

Índice alfabéticoBinomio, 15División, 21Expresión, 14Gradode un polinomio, 16de un término, 15Inversoaditivo, 10multiplicativo, 11Monomio, 15Polinomio, 15Productode monomios, 17de polinomio por monomio, 17de polinomios, 17

de polinomios por polinomios, 18Productos notables, 19Propiedadasociativa de la suma, 10asociativa del producto, 10conmutativa de la suma, 9conmutativa del producto, 10distributiva del producto respectoa la suma, 11modulativa de la suma, 10modulativa del producto, 10Propiedad cancelativade la suma, 11del producto, 11Término algebraico, 14Trinomio, 15Valor absoluto, 11Variable, 14

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Bibliografía[1] W. Swokowski, J.A. Cole, and P.S. Gómez. Álgebra Y Trigonometría Con Geometría

Analítica. CENGAGE Learning, 2011.[2] B. Kolman and D.R. Hill. Algebra lineal. Área: Universitarios. Pearson Educación,2006.[3] J. Sullivan. Algebra y Trigonometria. Pearson Educación, 2006.

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