.I

-■

ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

Noviembre - Diciembre 1964Año II N9 9

Ante un hecho auspicioso.*

Temas de nuestro tiempo: Las estructuras matemáticas y

las estructuras operatorias de la inteligencia, (concl.)

por Jean PIAGET

La Reunión de Bogotá, (cont.)Panorama:

Cuestiones didácticas: Medios y técnicas para expo­

ner los conceptos de matemá­tica moderna.

por GEORGE PAPYi;

t

Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correo

;■

ELEMENTOS '*OBRAS FUNDAMENTALES DE

MATEMATICAREVISTA DE MATEMATICA PARA DA ENSEÑANZA MEDIA

Publicación bimestral

Editores: José Banfi - Alfredo I». Besio

Consultor: José BabiniCorresponsales: Andrés Valeiras (Latinoamérica)

Nélida I. Melani (Córdoba)José A. Peírocelli (La Plata)

I

álgebra elemental moderna,por M. O. González y J. D. Mandil

$ 1.170.—

GEOMETRÍA ANALITICA, por J. Rey Pastor, L. A. Santaló y M. Balanza! .................................. $ 920.—

BUENOS AIRES (Sucursal 31) ARGENTINASede: Fernández Blanco 2045 (2 tomes

ÁLGEBRA Y CÁLCULO NUMÉRICO, LEXICÓN KAPELUSZ: MATEMÁTICA,por F. Vera ................

MATEMÁTICA GENERAL, por C. A. Trejo:

Vol. I. Elementos de Álgebra, de Geometría Analítica y de Trigonometría $ 600.—

Vol. II. Cálculo diferencial e inte-$ 600.-

por A Sagastume Berra y G. Fernán­dez

$ 2.150.-$ 1.300.-

ANÁLISIS MATEMÁTICO,por J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C. A. Trejo:

Suscripción anual: (G números), Argentina: 300— m$n.Exterior: 2,50 dólares.

Ejemplar suelto: 00— m$n. (Números atrasados: SO —m$n.)

(En venta en la sede de la Revista o en la Librería del Colegio, AIsina y

Bolívar, Buenos Aires.)

Para colaboraciones, suscripciones y avisos, dirigirse directamente a los

Editores.

Vol. I. Análisis algebraico. Teoría de ecua­ciones. Cálculo infinitesimal de una va­riable gral$ 1.400.-t

Vol. II. Cálculo infinitesimal de varias va­riables. Aplicaciones .... $ 1 200.—

Vol. III. Análisis funcional y aplicacio-$ 1.300.-

(6a, 4a y 2? edición respectivamente).

ANÁLISIS VECTORIAL, por C. A. Trejo

... y, también, la más completa serie de TEXTOS de matemática, por Celina H. Repetto, Marcela E. Lins’kens e Hilda B. Fesquet:nes

® Para ciclo básico y comercial;

$ 600.-• Para Escuelas de Comercio;

En el próximo número: ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA,$ 1.050.-por F. I. Toranzos • Para el Bachillerato;

La Reunión de Bogotá (conclusión).

Medios y técnicas para exponer los conceptos de mate­mática moderna (conclusión).

Una presentación actualizada del cálculo de longitudes, áreas y volúmenes.

La matemática en el mundo moderno.

ESTADÍSTICA,por F. I. Toranzos • Pora Escuelas Normales... $ 650.-

Son obras que conciencia recomienda

Buenos AiresT. E. 34-6451/59 con 50 internosMoreno 372Registro Propiedad Intelectual N<? 827.169

Tarifa Reducida Concesión N9 7267

Franqueo Pagado | Concesión N9 609 j

I

INTIMAMENTE ELEGANTE

INTIMAlinea s.riiLNO DECIDA SIN CONSULTAR

80 AÑOS

DE EXPERIENCIA

RESPALDAN

SU CONSEJO

Creada para

satisfacción de la

mujer argentina

BUENOS AIRESEL CANO 3353i

íSIN CARGO NI COMPROMISO LC OFRCCC

NCR ACOMPLETO ASCSORAMICNTO PARA LA RACIONALIZACION ADMINISTRATIVA - CONTADLE FABRICANTE

DE PRODUCTOS DE CAUCHO

HUINCAElidd t sCOMPUTADORES ELECTRONICOSCALCULADORAS Y CONTABILIZADO RAS ELECTRONICAS MAQUINAS DE CONTABILIDAD EQUIPOS DE CONTROL MAQUINAS DE SUMARPERFORADORES DE CINTA Y TARJETAS IMPRESORES OPTICOS Y MAGNETICOS LECTORES OPTICOSCLASIFICADORES DE CARACTERES MAGNETICOSCAJAS REGISTRADORASEQUIPOS DE OFICINA E IMPRENTA

s. a. C. i. f. e i.

CASA CENTRAL: ADMINISTRACION Y VENTAS:***» -i?&ftffALSINA 902 - Cap. Fed. - Tel. 37-1173 y 1174

CHARLONE 1664 - V. INSUPERABLE - MATANZA Pela. Bs. As. - Tel. 68-6724 y 8123

DEPOSITO: ALSINA 921 - Cap. Federal• ROSARIO: Entre Ríos 333 - Tel. 69597• CORDOBA: Humberto 19 347 - Tel. 24550

• TUCUMAN: 24 de Septiembre 900 - Tel. 13436• MENDOZA: San Juan 570 - Tel. 33168• BAHIA BLANCA: Chiclana 548 - Tel. 31524• TANDIL: Gral. Rodríguez 299 - Tel. 2831

FA8RICA:

r 1SOUCirO TNfOKMAClOH SOIKÍ AUTOMATIZACION CONUllf

Señor

Impida

Dirección

localidad SUCURSALES:L J f«A. DE CAJAS REGISTRADORAS NATIONAL ARGENTINA S ACORRIENTES 1615 - BUENOS AIRES

NT©SREVISTA DÉ MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA:• j

Noviembre - Diciembre 1964 A •Año II N? 9

En breve:

MATEMATICA MODERNA

MATEMATICA VIVA Ante un hecho auspicioso i1

por ANDRÉ REVUZ... El descubrimiento de las grandes est/ucturas ha cambiado la ur­dimbre y la trama de la fexlura de nuestro mundo; en vez de fibras horizontales vemos fibras ve ticales* Una revolución tal no puede quedar enclaustrada en el ámbito de la investigación. Hay que revisar la ense­ñanza en tedes los niveles — primaria, secundaria, tec ha, universitaria, etc. — a la luz c'.el descubrimiento de las grandes est^ucluras.

con el siguiente

SUMARIO:

I. Desconocimiento de la matemática.

La elaboración de la matemática contemporánea.

El porvenir.

Gustavo CHOQUET, Reunión de Bogotá (1961)

II.

III.El ministerio de Educación y Justicia acaba de crear la Comisión Nacional

para la Enseñanza de la Matemática que ha de cumplir con las recomendaciones de la reunión de Bogotá. Consideramos que la Resolución Ministerial es auspiciosa, tanto por el hecho en sí, en cuanto reconoce una necesidad innegable, como por la r-per­cusión que podrá tener en la futura labor docente.

Se reconoce en los considerandos el notable impulso de la matemática en los últimos años y su importancia para la vida humana, lo que obliga a enseña/ la de acuerdo con sus estructuras propias. Esto implica catnbios en los contenidos d^ los programas, actualización de conocimientos en los docentes, publicación de normas y textos, realización de ensayos y evaluación de resultados, tareas que, por su trascen­dencia. requieren la consulta, la colaboración y el consejo de matemáticos, pedagogos y funcionarios de la enseñanza".

No podemos dejar de expresar nuestra satisfacción por la medida adoptada, pues concuerda con lo que sugeríamos en un editorial reciente: Si la expci inicia

en una edición de ELEMENTOS

1i

- 59 -

au;ere encauzarse seriamente, se debe constituir una comisión permanente, integrada ,or matemáticos, psicólogos y educadores que la siga de cerca y resuelva sus dificul­

tades sin demora, Y además, la extienda adecuadamente”. No importa que pueda ob­jetarse la integración de la comisión, que pueda señalarse, por ejemplo, la ausencia de profesores secundarios que estén en cortado directo con los alumnos, destinatarios finales de la labor, y que serán los encargados de poner en ejecución lo que la Comi­sión resuelva; lo que importa es que el organismo haya sido constituido, lo que im­porta _ Como decía Gattegno en oportunidad semejante — es que el Ministerio la adopte “seriamente” bajo sus auspicios y que ella se disponga “seriamente” a tra-

bajar.Nos sentimos muy alentados porque advertimos que nuestra prédica no ha sido

Vana, aunque no la estimemos factor preponderante de lo resuelto. Nos alegraría mu cho que por obra de la Comisión se cumplan los fines par a los cuales lia sido ci cada Sabemos muy bien que la tarea por realizar es vasta y que costará alcanzar resulta dos satisfactorios inmediatos. Pero si todos ponen manos a la obra y el quehacer armónico del grupo prevalece sobre la acción individual, el éxito coronará los es- fuerzos y la enseñanza de la asignatura se beneficiará.

Paralelamente, deberá cundir el ejemplo de otros países en los cuales menta­lidades prestigiosas, tanto en el terreno científico como en el pedagógico, no han va­cilado en afrontar resueltamente la tarea, reuniéndose continuamente con los docentes secundarios para discutir mano a mano las posibilidades y las dificultades, descen­diendo — ¿o ascendiendo? — a la publicación de textos para la enseñanza, dic­tando cursos de actualización matemática y de perfeccionamiento didáctico, respon­diendo a todas las cuestiones que se les formulan.

TEMAS DE NUESTRO TIEMPO

Las estructuras matemáticas y las

estructuras operatorias de la inteligencia''JEAN PIAGET

(Ginebra, Suiza)

VI dos aspectos concilla por su parte la in­versión propia de las estructuras algébri­cas con la reciprocidad propia de las es­tructuras de orden.

El grupo que entra asi en juego com­porta cuatro transformaciones (grupo de Klein), que pueden definirse de la ma­nera siguiente, en el caso particular de las operaciones interproposicionales:

1) La inversa o negación N de una ope­ración es su complementaria en el con­junto de las asociaciones de base; p. ej.,

«(;»?) = pv? = (p.q) o N ip 3 q) _ (p 3 q) -

2) La recíproca R de una operación es la misma operación, pero entre proposi­ciones negadas; p. ej.,

R{pv </) - Ip v q) = (P / q) O R (p J q) _ {p W q¡ _ lq i

Advirtamos que la recíproca equivale así a permutar el orden de los términos de la implicación, lo que ofrece una sig­nificación general, ya que toda operación proporcional puede tomar la forma de la implicación.

Ejemplo:

0> v q) = (PO q). O A (p 9 f) s (y 3 £) b (p / f),

3) La correlativa C de una operación resulta de la permutación de las (V) y de los (.) en la forma normal de esta opera­ción; p. ej.,

C'(p V q) - (P V q)Ap v q).(p v q) * (p q).C (p 0 q) = (p v q).(p v q).(p v?)= (p.qX

No es exagerado, por tanto, sostener que las estructuras operatorias de la in­teligencia en formación manifiestan desde el principio la presencia de los tres gran­des tipos de organización que correspon­den a lo que serán en matemáticas las estructuras algébricas, las estructuras de orden y las estructuras topológicas. Pero conviene, por otra parte, señalar que las estructuras madres se coordinan muy rá­pidamente entre sí y engendran, mediante sus composiciones interestructurales, al­gunas estructuras más tardías cuya im­portancia no es menor para la construc­ción de las nociones lógicas y matemá­ticas.

Al nivel de las operaciones concretas, ligadas a la manipulación de los objeios y no entrañando, por ello, sino ciertas operaciones de clases y de relaciones (agrupamientos elementales), no existe todavía ninguna estructura de conjunto que fusione en un mismo sistema de transformaciones las inversiones propias de las estructuras algébricas y las reci­procidades propias de las estructuras de orden. Pero hacia los 11-12 años, por tér­mino medio, se sobreañade a estas ope­raciones concretas un conjunto de opera­ciones nuevas, relativas ahora ya a pro­posiciones y no a objetos, y estas opera­ciones interpropcsicionales constituyen entonces una doble estructura de grupo y de red, pero en le. que cada uno de estos

»

Éste es el panorama que todos esperamos observar. Estamos seguros de que, entonces, los profesores secundarios de matemática, han de poder responder satis­factoriamente a los reclamos que se les hagan, porque se sentirán respaldados por una información eficiente y una orientación segura.

Que no se nos defraude, que ésta no sea “una comisión más”.i

LOS EDITORES

ooo

. Ja reforma actual entiende, fundamentalmente, defender la dadera formación espiritual. Su finalidad esencial es hacer que el joven se sienta capaz de examinar objetiva y metódicamente todos los proble­mas que tenga que resolver, no sólo en la enseñanza universitaria, a la cual llega apenas una minoría, sino también en la vida diaria. Por eso debemos suscitar en él el espíritu crítico y desarrollar sus preciosas capacidades de análisis y síntesis. Una buena capacidad matemática debe extenderse más en profundidad que en superficie y dirigirse al raciocinio más que a la memoria”.

ver-

t

♦

GIOVANNI GOZZER Didattica della Matemática, Roma, 1956. (*) Véase ELEMENTOS, año II, pp. 31/34. (N. de los E.)

- 61- 60 -

sificación, etc., la red sustituye un con­junto de partes, por combinación n a n de estas partes entre sí. Pero tal compo­sición combinatoria es por sí msima la generalización de una clasificación: el conjunto de las partes, que constituye la doble estructura de red y de grupo de que aquí se trata, resulta en definitiva del conjunto de las clasificaciones posibles aplicadas a los elementos del agrupa- miento, traducidas al lenguaje proposi- cional.

la misma manera, una operación terna­ria como:

[p>. q. r) Y (p . q. r) v (p . q . r) v (£. q . 7) — [(47 3 p). (p 3 /■)]

puede concebirse como compuevsta de dos operaciones binaiias (q } p) y (p 0 r), ligadas por la operación compo- ponente (.). Llamaremos entonces la. Na, Ra y Ca a las transformaciones I, N, R y C aplicadas a la operación componente.

t Dicho esto, si designamos por x e y dos operaciones cualesquiera de una red, BI su cota inferior y BS su cota superior, se tiene el grupo (s).

(la) x . y ( = BJ) y (Na) x I y = xwy (Ra) x. y(Ca) x y y ( = BS)

comprobaciones de hecho y.las ley^s ló­gicas proceden de la necesidad deductiva o normativa.

Recíprocamente, el ''logicismo" es. una intrusión de la reflexión del lógico en el dominio de los hechos. Consistirá, p. ej., en afirmar que la inteligencia de indivi­duos de carne y hueso (ya se trata de sa­bios o de estudiantes de matemáticas) só­lo alcanza el rigor lógico siguiendo deter­minados caminos: intuición de esencias o sumisión del individuo, a la? reglas de un lenguaje adquirido del exterior, etc.

Pero si convenimos en dejar .a la Psi­cología el estudio de los hechos y a la Lógica el análisis de los fundamentos, mos que estas dos ciencias presentan en­tre sí más contactos que las filosofías en ismos, de las que se las ha qyeiido hacer solidarias. Ahora bien: al educador le más útiles los contactos que las oposicio-

doctrinales, extrañas a la propia cha de tales ciencias.

La Psicología, en efecto, tiende una ma­la Lógica mostrando que la*inteli­

gencia se orienta espontáneamente, hacia la organización de ciertas estructuras ope­ratorias, que son isomorfgs.de aquéllas, o de algunas partes de qquéKas que los matemáticos colocan al principio de su construcción o de las que ios lógicos cuenrtan en los sistemas que' elaboran. Pero este isomorfismo parcial río significa que las reglas lógicas sean leyes del pen­samiento. Las estructuras de conjunto hacia las que se orienta la inteligencia en el curso de su desarrollo.no correspon­den ni a estructuras; nerviosas preforma­das (o a formas a priori) ni a estructuras físicas empíricamente regi'strádas: no son más que leyes de equilibrio que se presentan bajo la forma de sistemas de operaciones posibles, de las que solamen­te algunas son actualizadas en. función de las condiciones físicas y sociales am­bientes. La lógica estudia los conjuntos completos de estas posibilidades y les pro­porciona los fundamentos que estima con­venientes: no pueden existir punios de fricción entre el análisis- deductivo y ex­haustivo de las posibles lógicas, por una parte, y por otra, la determinación .expe­rimental de las posibilidades o de las im­posibilidades que caracterizan las formas de equilibrio que corresponden.a los. dife-

4) La transformación idéntica I deja in­tacta la operación. Entonces se tiene el grupo conmutativo:

NR = C; NC = R\ RC = N y NRC = /.

En el caso de p ) q, p. ej., se tiene:

N {q 3 p) ~ (p q) * C (p 5 í) o je* NR — CIV O . í) - {<? 3 p) •=• R (p o q) o sea NC — R* O <?)•=■ (P q) - N (p 3 q) o sea RC - NK ÍP í) - (P q)' y N (p q) - [p O q) u jcu NRC -

Lo mismo ocurre en las operaciones ter­narias, etc. (7). Pero en ciertos casos (dia­gonales de lq. tabla de las operaciones binarias, terciarias, etc.) se tiene R = N yC = IoR = IyC = N, aunque la in­versa N es, naturalmente, siempre distin­ta de I.

Se cotoprúeb'a, pues, que este grupo INRC, que constituye una estructura al­gebraica, se incorpora, no obstante, las re­ciprocidades, que constituyen la forma de reversibilidad de las estructuras de orden. Psicológicamente, este grupo constituye así a la vez la síntesis y la forma de equi­librio final de las dos series de estructu­ras operatorias hasta allí distintas y fun­dadas la una sobre la inversión y la otra sobre la reciprocidad.

Pero el sistema de las operaciones in­terproposicionales constituye al mismo tiempo una red: todo par de operaciones tiene una cota inferior definida por su parte común (.) p. ej.: (p = q). (p V q) = (P • q); y una cota superior definida por su reunión (V): p. ej., (p • q) V (~ p. ^ q) = (p = q) Aunque, por el hecho mismo de ser complementada, esta red admite operaciones inversas. Además, y es im­portante-subrayar esto, en dos operacio­nes cualesquiera su cota inferior (= BI) y su cota superior (= BS) constituyen juntamente un grupo, que no es el grupo INRC, pero que es isomorfo con él y ori­gina las transfoi mociones que llamaremos la Na Ra Ca, y definiremos de la siguien­te forma:

Sea una operación binatria tal como p V q. Puede concebirse como formada por dos operaciones unitarias p y q uni­das por la operación componente (V). De

VII

Nos falta concluir, y es lo que haremos desde el punto de vsita de la interpre­tación general de las matemáticas, influye necesariamente sobre el educa­dor —quiéralo o no— y desde el punto de vista de las aplicaciones prácticas.

En lo que se refiere a la primera de de estas dos cuestiones, el problema esencial es saber si el educador, para ser fiel al espíritu de las matemáticas con­temporáneas, debe inspirarse en un logi­cismo riguroso de tendencia platónica, o si puede considerar el pensamiento ma­temático como una prolongación de las construcciones espontáneas de la inteli­gencia, y recurrir así a las enseñanzas de la Psicología tanto como a las de la Ló­gica.

Ahora bien: si los datos psicogenéticos que preceden sen exactos, el conflicto entre el logicismo y el psicologismo pare­ce susceptible de alguna atenuación, a condición, sin embargo, de introducir al­gunas distinciones que equivalen simple­mente a disociar la Psicología del psico­logismo y la Lógica del logicismo.

El psicologismo es una tentativa de fundar la Lógica sobre leyes psicológi­cas: "Para el psicologismo -—dice L. Após­tol—, las leyes lógicas son leyes psicoló­gicas y describen el razonamiento real, ya el más frecuente, ya el más normal, ya el más eficaz prácticamente" (“). Dicho más familiarmente, el psicologismo es una manera de aplicar la Psicología a un do­minio en el que no es competente, puesto que las leyes psicológicas se apoyan en

ila) x v y ( = BS) (Na) x. y(Ra) x I y = xv y (Ca) x . y ( = BJ)

ve-

que

sonSe tiene, por tanto:

Ca (BJ) = BS y Ca (BS) = BI nes mar-Además,Na (BJ) = Ra (BS) y Na (BS) = Ra (BJ).Y todas las transfoimociones habituales no adel grupo:

Na (x . y) — Ra Ca (xy);Na Ra Ca (x . y) = x . y; etc.

En otros términos, si el grupo INRC se incorpora la reciprocidad, la red de las operaciones interproposicionales se añade la inve’sión y admite una estruc­tura de grupo en cuanto a la relación fundamental entre las cotas y las ope­raciones que unen.

Ahora bien: desde el punto de vista genético, esta doble estructura de grupo y de red que constituyen las operacio­nes interproposicionales no es otra cosa que el término de las estructuras ele­mentales de agrupamientos (que repre­sentan, como hemos visto, grupos imper­fectos, a falta de asociatividad completa, y semirredes). El paso de los agrupa­mientos de clases y de relaciones a la estructura de grupo y de red de las ope­raciones preposicionales puede, en efecto, concebirse como resultado de la interven­ción de operaciones combinatorias que sustituyen a las operaciones simplemente aditivas o multiplicativas. En otras pala­bras, a los encajes simples de una cla-

en-

•í'i

t

*

(8; Véase PIAGET: Essai sur les transformutions des opérations logiques, página 159, prop. 247. Véanse también las proposiciones siguientes a la 2Ó3.

(9) L. APOSTEL, Logique et preuve, Methodos, vol. 5, pág. 303, 1953.

(7) Véase PIAGFT: Essai sur les trensformations des opérations logiques. París, P. U. F., 1952.

- 63 -- 62 -

una experiencia física con lectura de los resultados obtenidos. Pero cuando la ex­periencia sirve de ocasión a la coordina­ción de las acciones y la abstracción se refiere a estas acciones (ll) y no al objeto, la experiencia prepara el espíritu deduc­tivo, en vez de contrarrestarlo. Si en el niño todo conocimiento supone una par­ticipación de la experiencia para consti­tuirse, esta comprobación psicológica no justifica en nada al empirismo, porque hay, por tanto, dos clases de experiencias: la experiencia física, que conduce

que la lengua misma, precisamente en la medida en que sus estructuras refle­jan las de la Lógica, hunde sus raíces en sistemas operatorios más profundos que las conexiones existentes entre los meros signos verbales.

En una palabra, el porvenir de las re- lociones entre la Psicología y la Lógica quedan ampliamente abierto y no puede ser prejuzgado en función de los errores pretéritos. Desde el punto de vista prác­tico, no se trata para el educador de ele­gir entre los métodos formalistas funda­dos en la Lógica y los métodos activos fundados en la Psicología: el objeto de la enseñanza de las matemáticas será siem­pre alcanzar el rigor lógico lo mismo que la comprensión de un formalismo sufi­ciente, pero sólo la Psicología está en condiciones de proporcionar a los peda­gogos datos sobre el modo de conseguir con mayor seguridad este rigor y este for­malismo. Pero nada prueba que colocan­do el formalismo al principio lo encontre­mos al final bajo sus especies auténticas, y los estragos de un seudoformalismo o un formalismo puramente verbal por de-

, masiado precoz muestran, por el contra­rio, los peligros de un método que ignora las leyes del desarrollo mental.

En realidad, si el edificio de las mate­máticas reposa sobre estructuras, que co­rresponden, por otra parte, a las estruc­turas de la inteligencia, es necesario ba­sar la didáctica matemática en la organi­zación progresiva de estas estructuras operatorias. Ahora bien: psicológicamente, las operaciones derivan de acciones que se interiorizan coordinándose en estructu­ras. Es vano, pues, imaginar que le re­curso inicial a las acciones compromete el rigor ulterior y favorece el empirismo. Hay empirismo cuando el educador sus­tituye la demostración matemática por

rentes niveles de organización de la inte­ligencia. Sin duda, las técnicas algébricas del lógico pueden ser útiles al psicólogo en su descripción de ias formas de equi­librio o estructuras, pero esto no significa que tenga el candor de asimilar sin más las leyes de la Lógica a las del pensa­miento.

En cuanto a saber si la Lógica, por su parte, buscará algún contacto con la Psi­cología, la historia de las futuras inves­tigaciones lo demostrará. Algunos lógicos parecen dominados por la desconfianza respecto del psicologismo en general, co­mo nuestro amigo Beth, cuyo interesante capítulo precisa su posición. Pero la cues­tión es saber si el temor del psicologismo es efecto de la actitud lógica en sí misma o de un residuo de logicismo que condut­al lógico, sin saberlo, a optar en el terre­no psicológico en favor de una concep­ción más bien que de otra sobre la ma­nera de alcanzar las conexiones lógicas. Otros lógicos, como Apostel, distinguen entre el psicologismo tradicional y un re­curso más sutil a la Psicología: ".. .nos­otros no afirmamos, como los psicologis- tás del siglo XIX (Siwart, Heymans, Wundt, Erdman), que las reglas lógicas son leyes del pensamiento. Decimos sola­mente: hay leyes del pensamiento tales, qué en una determinada estructura so­cial y joara individuos que poseen cier­tas propiedades^ podemos infaliblemente (con necesidad física) constreñir a estos individuos a aceptar nuestras conclusio­nes si aceptan nuestras premisas, y con tal que ejecutemos ciertas operaciones, cuyas etapas son descritas mediante las reglas de la demostración correcta" (10). De una manera general, es muy posible que los trabajos actuales sobre las rela­ciones entre la Lógica y el lenguaje ter­minen por conducir a la comprobación de

abstracción de las propiedades del gbjeto mismo, y la experiencia lógico-matemáti­ca, con abstracción a partir de las accio­nes u operaciones efectuadas sobre el ob­jeto y no a partir del objeto como tal. Así, el recurso a la experiencia y a la acción y, de una manera general, la pe­dagogía llamada activa, en cuanto pro­cedimiento de iniciación matemática, no comprometen en nada al ulterior rigor de­ductivo, sino que, por el contrario; lo pre­paran proporcionándole bases reales y no simplemente verbales.a una

o oo

CRUC1NUMER0ROSARIO RUSSO (h.) (Stgo. del Estero)

:

b d fex c eCUADROS VACIOS: le, 2c, 3e, 3b, 4o, 4f, 5d, 6c, 6e.i

1DIAGONALES: la, sucesión fundamental de los números

naturales; lf, los seis primeros divisores (en orden creciente) de 24.2.

HORIZONTALES: la, coeficientes del cubo de un bino­mio; 2a, la quinta potencia de 2; 2d, número de días de los cuatro primeros meses de un año bisiesto,- 3a, raíz de la ecuación 3x — 6 = 0; 3c, la "edad de Cristo"; 3f, ordenada al origen do la recta y = 5x,- 4b, proporción continua de razón 2; 5a, pri­meros términos de la sucesión Un = 2n + 2; 5e, factor común de 104 a + 52 b 4- 156; 6a, cubos perfectos menores que 27 (en orden decreciente); 6d, raíz positiva de la ecuación xs — x — 6 — 0; 6f, resultado de 9 — (5 — 3) — 6.

3■

4 ■

!5

I6

VERTICALES: la, raíz cuadrada de 17424; lf, múltiplo de 11 de tres cifras; 3c, la suma es 15; 4b, ídem; 5a, noventa y seis medios. r

(10) L. APOSTEL. loe. cit., pág. 305. La postura de Apostel tiende así a apelar a los "concomitantes psicosociales de las operaciones lógicas" (página 395). lo que constituye un terreno de colaboración en el cual los trabajos psicológicos no son, por otra parte, tan inexistentes como se supone. La dificul­tad para el psicólogo será, por el contrario, ad­mitir en el campo de as operaciones reales una necesidad física, distinta de la necesidad psicoló­gica, a menos que esta noción se reduzca, a fin de cuentas, a lo que nosotros llamamos (con la teoría de la Gcstalt) leyes de equilibrio.

(11) En las experiencias sobre el orden (orden directo, orden inverso, debido a un recorrido en sentido contrario o a una rotación del dispositivo, etcétera), p. ej., el niño abstrae el orden, no do los objetos

como tales, sino de los acciones u operaciones gracias a las cuales han sido ordenados. La com­prensión del tema será entonces de modo natural tanto mejor cuanto más haya intervenido la acti­vidad y no se haya limitado el niño a la contem­plación pasiva del resultado de las acciones eje­cutadas por otro.

i ¡ooo

Los matemáticos estudian su ciencia porque les jascina con su magia; pero ¿cuándo llega a nuestros alumnos esta, magia?

T. /. FLETCHER

- 65 -- 64 -

aqu:, y que pueda emplearse en alguna forma parp unificarlos? Fácil-es ver" que ello es posible: el concepto unificador es el de función, tal como lo entienden hoy día los matemáticos y los lógicos. Este concepto se conoce con muchos nombres diferentes (función, operación, transfor­mación, aplicación), lo cual refleja las circunstancias históricas en que surgió independientemente en otras tantas ra­mas diferentes de la matemática. Sin bcurgo, ha ganado reconocimiento un concepto unitario y su omnipresencia es un formidable factor de unificación, no solamente en el álgebra, sino en. la totalidad de la matemática. En el del álgebra, como sabemos, las opera­ciones, los homorfismos y los isomorfismos son todos funciones; pero el concepto de función pertenece verdaderamente a la lógica pura: allí tiene su puesto como una innovación esencialmente moderna y de las pocas ideas básicas de la lógica actual que no procede de Aristóteles.

"En la enseñanza de la matemática es evidentemente necesario dar una po­sición prominente a cualquier noción central como el concepto de función, ilustrando con muchos ejemplos su fre­cuente presencia en asuntos matemáti­cos o de otra índole. Ha sido costumbre introducir este concepto en una etapa relativamente tardía y en forma frag­mentaria y poco coordinada, retrasando demasiado su presentación como una singular idea unificadora. No creo que haya ninguna base psicológica real pa­ra este proceder vacilante, aun cuando la enseñanza temprana del concepto de función plantee problemas psicológicos oscuros y complejos que deberemos en­carar con valor a causa de la impor­tancia 'fundamental de esta tarea. Es muy'probable que necesitemos aprender más acerca de la formación de concep­tos en los niños y los adolescentes antes de* poder comprender estos problemas en su verdadera dimensión y hallar una for­ma realmente satisfactoria de abordar- los. Sin embargo, no hay razón para que no podamos presentar a los niños, aún a los rhuy niños, situaciones aritméticas y geométricas a las cuales el concepto de función es inherente y así conducirlos por'una temprana familiarización a una percepción precoz del principio subya­

cente común. Con un conocimiento más profundo de estos problemas psicológi­cos podremos seguramente obtener re­sultados mucho mejores a este respecto, aunque ninguno será mejor, probable­mente que los que puede lograr un maes­tro excepcionalmente dotado. Si tuviera que señalar el problema pedagógico de la matemática elemental que pone más a prueba nuestra idoneidad como profe­sores y que merece la más cuidadosa investigación, indicaría, sin vacilar, el que estamos tratando aquí, que, a mi juicio, debe ser objeto, sin demora, de una investigación fundamental.

"Desde el punto de vista lógico, función es simplemente un tipo especial de relación, y un sistema algebraico es un ejemplo particular de un tipo más ge­neral de sistemas que puede definirse prescribiendo sus elementos y algunas relaciones, no necesariamente operacio­nes, entre ellas. Un poco de reflexión nos indicará pronto que todas y cualquie­ra de las situaciones que estudia la temática puede formularse en términos de estos sistemas más generales. Por lo tanto, podremos referirnos a ellas como a "sistemas matemáticos" y enunciar las siguientes conclusiones, de gran interés e importancia. Primero, que la matemá­tica no es sino el estudio de "sistemas matemáticos", en el sentido aquí descri­to; segundo, que la totalidad de la mate­máticas puede expresarse en términos puramente lógicos. Así, en pocas líneas, nos ha sido posible alcanzar analtica- mente una posición cuyo descubrimien­to y valoración costó a la especie huma­na siglos de experiencia matemática. Y la única razón por la cual nos vimos obli­gados a reconocer que la matemática es completamente abstracta y debe acep­tarse como una actividad intelectual to­talmente separada de las realidades físi­cas en que se originó, fue el descubri­miento de la geometría no-euclidiana a principios del siglo pasado. Hasta momento, los matemáticos habían consi­derado que la geometría y el cálculo in­finitesimal estaban tratando necesaria v directamente los aspectos concretos del mundo físico. Pero cuando se descubrió que para describir el espacio en el cual vivimos, disponíamos de dos geometrías diferentes e incompatibles, resultó claro

PANORAMA

La Reunión de Bogotá"Hoy por hoy, el punto de vista com­

parativo está suscitando un gran interé* nivel de abstracción aún más re-

"Parte considerable del álgebra moder­na está dirigida, no hacia el estudio de sistemas algebraicos individuales, sino hacia la comparación y composición de varios de dichos sistemas. Las nociones •de subsistema, homomorfismo, isornor- fismo, suma o producto directos y siste­ma-cociente se destacan en es'.as inves­tigaciones; puesto que tenemos a mano ejemplos bastante elementales de estos conceptos, no cabe duda de que se po­drán Introducir algunos de ellos incluso en el nivel secundario; por ejemplo, no hay razón por la cual los estudiantes secundarios no puedan entender que la propiedad más significativa de los lo­garitmos es la de introducir un ísomor- fisno entre el grupo multiplicativo de los números reales positivos y el aditivo de todos los reales. Desde un punto de vista moderno, el uso de ios -logaritmos en el cálculo numérico está desapare­ciendo rápidamente debido a la apari­ción de las máquinas calculadoras, mientras que aumenta el significado de sus propiedades algebraicas.

"Puesto que no es buena piácticá pe­dagógica enseñar definiciones sin mos­trar su utilidad en cierto número de pro­posiciones o teoremas importantes, al­gunos de los resultados elementales de la teoría de grupos deberán induda­blemente presentarse en cualquier cur­so donde se trate el punto de vista com­parativo. La visualización o representa­ción. de un grupo abstracto como un gru­po de permutaciones o transformaciones, la identificación de los homomoríos do un grupo arbitrario con sus grupos-co cíente y los nexos entre los anillos abs­tractos y los endomorfismos de los grupos abelianos, se cuentan entre ios resulta­dos de esta especie que no deben per­manecer inasequibles a estudiantes de 17 a 18 años, razonablemente buenos.

em­comopor un

finado: el estudio de los sistemes alge­braicos en los cuales los objetos puedes interpretarse como sistemas algebraicos y las operaciones como operaciones de estos sistemas (tales como la construc­ción de un homomorfo o de un produc­to directo). Esta nueva "teoría de las ca­tegorías", como se la Lama, ya está re­sultando muy útil en el estudio de la geo­metría algebraica abstracta y en forma bastante natural nos está conduciendo también a situaciones análogas a las /a familiares desde hace mucho en la teo­ría de los números cardinales. Menciono este aspecto reciente del'álgebra, no por su interés inmediato en relación con loa prob.emas de la enseñanza de la mate­mática, sino porque ilustra conveniente­mente la forma en que el álgebra se ha­ce cada vez más abstracta, más refina da y más versátil con el andar del tiem­po. ¿Quién sabe cuándo habrá que ense­ñar en los cursos elementales la teoría de las categorías, que ya se está abrien­do paso en 'los seminarios de investiga­ción y en los cursos avanzados de post­graduados? Por lo menos observamos que no debe ser demasiado difícil hacer comprender, aun a alumnos relativamen­te neófitos, que si el álgebra se alimen­ta de otras ramas de la matemática pa­ra producir sistemas algebraicos, tam­bién puede alimentarse de sí misma con el mismo propósito y con resultados igualmennte interesantes.

"Retrocedamos un poco y reflexionemos más profundamente sobre las observa­ciones que acabamos de hacer acerca de algunos lineamientos particularmente característicos del álgebra moderna. ¿Podremos encontrar algún concepto central que sirva de substracto a los pun­tos de vista tanto operacional como com­parativo, tal como los hemos descrito

caso una

una

ma-

í¡

1

esei

i*

(-) Véase ELEMENTOS, año II, pp. 35/41. (N. de los E.)

- 66 - - 67 -

i/ \\

binar tales estados simbólicos y así lo­grar la inferencia, la abstracción, la es- pecialización y demás operaciones ca­racterísticas del pensamiento abstracto. No se emprendió un tratamiento simbóli­co sistemático de la lógica y de la mate­mática sino hacia el final del siglo XIX. Desde entonces, el desarrollo de diversos lenguajes especializados, completos y estrictamente adaptados a Cos requisitos de los lógicos y los matemáticos, nos ha permitido basar nuestros estudios de es­tos temas en operaciones formales con cadenas de símbolos. Esto significa que en el fondo debemos tratar con un álge­bra en cuyos términos se puedan expre-

tanto la lógica como la matemática; por ejemplo, con el álgebra de Boole, que también tiene relaciones con la teo­ría de los conjuntos y, lo que es más sor­prendente, con la teoría de los circuitos eléctricos; en otras palabras, la lógica misma se convierte en una rama de la matemática o, más específicamente, del álgebra. Así, y en é sentido preciso de este breve examen, llegamos a la con­clusión de que la matemática y la lógica son coextensivas y reductibles ambas a un álgebra de símbolos. Esta afirmación pone de relieve en forma perfectamente clara y definida la naturaleza abstracta de la matemática tal como hemos trata­do de describirla aquí.

"Al mismo tiempo, esta aserción nos permite plantear otras preguntas acerca de la naturaleza de la lógica y de la matemática que tienen importantes re­percusiones filosóficas y pedagógicas. Ya en 1900, David Hilbert había incluido en su célebre lista de importantes pro­blemas matemáticos no resueltos, el de hallar una teoría de la prueba matemá­tica que permitiese establecer el carác­ter congruente y completo de la matemá­tica, esto es, decidir sin contradicciones, la verdad o falsedad de toda proposi­ción matemática correctamente formula­da. Unos veinte años más tarde, Hilbert inició el estudio de este problema en for­ma sistemática con referencia especial a los fundamentos de la aritmética. Poco tiempo después, Gódel mostró que los problemas lógicos de la aritmética, en la forma precisa planteada, por Hilbert y su escuela, únicamente tienen soluciones negativas que tenazmente implican im-

-perfeccioné En efecto, demostró 'la exis­tencia de proposiciones "indecidibles" en aritmética o, más precisamente, de pro­posiciones cuya verdad o falsedad no puede probarse en función de las pre­misas lógicas dadas. Además, Gódel de­mostró que este fenómeno es de secuencia tan, general que obviamente difícilmente se lo puede eludir, con lo cual dio fin a la ilusión de Hilbert. Casi inmediatamente, Church y Turing descu­brieron una dificultad cfigo parecida en la teoría de la prueba, mostrando que aun si existiera una prueba de alguna proposición aritmética, ella podría no encajar en esquema alguno de prue­ba proscripto de antemano. En suma, nin­gún procedimiento rutinario o mecánico para construir pruebas en aritmética comprenderá todos los casos en los que es posible encontrar una prueba.

"También los resultados de Church y Turing son muy generales y pueden apli­carse aún más allá de «los límites de la aritmética; dos creencias abrigadas im­plícitamente por todos o casi todos los matemáticos desde los primeros tiempos de los griegos hasta el presente, se ven así en una nueva y difícil situación. Ya no es posible confiar en poder encontrar, pa­ra una disciplina matemática dada, organización lógica completa de proposiciones en verdaderas y falsas, o en poder hallar en forma mecánica tomática pruebas formales de aquellas proposiciones demostrables. Esto no quie­re decir que para alguna especie res­tringida de proposiciones de una disci­plina particular no sea posible una orga­nización lógica completa, o que la cons< trucción sistemática de pruebas para las proposiciones verdaderas entre las so­metidas a consideración, se halle fue­ra de nuestro alcance. Por el contrario, Tarski ha demostrado que para una am­plia categoría: de proposiciones de la geo­metría endlidiana basadas en un conjun­to particular de axiomas existe un proce­dimiento de decisión. Esta categoría abarca las proposiciones que uno consi­deraría normalmente como las más na­turales e interesantes de la geometría- plana. Sin embargo, en el tratamiento axiomático de sistemas matemáticos de­be esperarse que los conjuntos de axio­mas de esa categoría sean escasos. La

que por lo menos una de ellas debía te­ner la categoría de creación puramente intelectual. Así aprendimos la lección de

cierto sentido, la matemática trasciende la experiencia y llegamos a sostener luego el punto de vista actual de que la matemática no guarda una relación necesaria e inmediata con- lo concreto. Esto no quiere decir que las apli­caciones de la matemática o su interpre­tación en términos concretos no inspiren y guíen en forma muy valiosa su des­arrollo. Nuestra experiencia nos muestra claramente que, si 'bien es cierto que oca­sionalmente la matemática nos suminis­tra por adelantado el andamiaje para al­guna aplicación nueva y fundamental, hay también veces en que el abordar desde un punto de vista concreto un pro­blema matemático, nos da la clave de su

situación general será tal que pueda au­mentarse el esquema de los axiomas agregando ilimitadamente otros nuevos, sin que esto nos conduzca a una contra­dicción o a su categoricidad. Por otra parte, los resultados de Churh y Turing dejan a'i matemático un campo mucho más amplio que el que tendría si existie­ra algún método mecánico para construir pruebas de todas las proposiciones ver­daderas de una disciplina matemática dada. El hecho de que la construcción de pruebas deba continuar siendo un ar­te, en vez de un. procedimiento de rutina, muestra la importancia del papel que desempeñará siempre el matemático con talento creador.

"Desde un punto de vista pedagógi­co, existe una antítesis entre los aspectos manipulativos de la matemática, es decir el cálculo correcto y, en el fondo, mecá­nico, con símbolos matemáticos, y la bús­queda intuitiva de modelos o caracterís­ticas estructurales latentes en determina­do sistema matemático. En el pasado se dio mucha importancia en la enseñanza de la matemática, al dominio de las ha­bilidades manipúlativas y a los artificios ingeniosos. Los ejercicios, con excesiva frecuencia del tipo más aburrido, llegaron por lo tanto a ocupar un sitio demasiado prominente en los programas de mate­mática. Actualmente existe una fuerte tendencia a prestar mayor atención al aspecto estructural, para que los estu­diantes comprendan mejor la base de los procedimientos manipulativos que deben aprender y al mismo tiempo penetren dentro de la estructura de los principales sistemas matemáticos que se ^encuentran en el álgebra, la geometría y otras ra­mas de la matemática. Con la enseñanza de esa manipulación como tal, se corre el riesgo de extinguir el interés, aun de los mejores estudiantes, en una maraña de pesada rutina y de trabajo inútiL Hay muchas razones para creer que la adqui­sición de una habilidad manipulativa se •logra mejor con el cultivo de la com­prensión estructural, que utilizando exclu­sivamente ejercicios sistemáticos, por muy necesarios que éstos sean. En resumen, un programa moderno de matemática de­be resolver la antítesis entre la manipu­lación y la visión intuitiva, dando a cada una de ellas su posición apropiada y lo-

¡

que, en

¡

una con-

sar

solución."Sin embargo, es un hecho que la ma­

temática también puede considerarse co­mo un juego que ha de jugarse con pie­zas sin ningún sentido y de acuerdo con reglas puramente formales y esencial­mente arbitrarias; pero que resulta in­trínsecamente interesante debido a la fascinación que se experimenta al descu­brir y explorar la compleja trama que permiten las reglas del juego. Los mate­máticos tienden cada vez más a atacar

problemas con un espíritu que refle­ja este punto de vista.

"Para compernder más acabadamente las relaciones entre la matemática y la lógica, es necesario examinar el papel que desempeña el simbolismo en el pro-

del pensamiento. Cuando introdu­cimos símbolos especiales para repre­sentar números y otros objetos matemá- cos, podemos reconocer fácilmente el carácter arbitrario de lo que estamos ha­ciendo; pero no es tan fácil ver que todo lenguaje tiene el mismo carácter arbitra­rio y no es menos simbólico que ese len­guaje especial que creamos para nues­tra conveniencia matemática. Es aún me-

fácil comprender que todo el proce-

4

t* una

sussus

o au-

ceso

4nosso del pensamiento es simbólico por su propia naturaleza, puesto que no opera en el mundo exterior sino en estados es­pecíficos del cerebro que representan y simbolizan las experiencias de la reali­dad. La memoria y la retención permi­ten a la mente comparar, separar y com-

l

-ó 8 -- 69 -

/

poder dar una descripción mas completa del estado presente de la matemática es necesario señalar algo de lo que se co­

sistemas matemáticos, pero estrictamente sistemas algebrai-

Podemos observar inmediatamente

XX se- encuentra, por ejemplo, en. el re­conocimiento'del papel desempeñado en el análisis matemático por los conceptos abstractos del" álgebra topológica y el desarrollo del \análisis funcional como instrumento poderoso para el estudio de los problemas del análisis clásico. Sería bastante exacto afirmar que el análisis ha llegado a ser una parte del álgebra to­pológica y mientras no investiguemos las demás posibilidades ocultas tras el álge­bra y la teoría de los conjuntos ordena­dos, parece claro que la matemática pura consistirá en el estudio del álgebra to­pológica, tomada en el sentido más am­plio de la palabra.

"De estas consideraciones

grando que se apoyen mutuamente. No podemos contentarnos con adiestrar a nuestros estudiantes en el cálculo rápido y preciso o en. la solución de una serie interminable de artificiosos problemas geométricos, aun cuando, por razones obvias, no debemos despreciar este as­pecto de su educación matemática. El éxito, tanto en la matemática pura como en la aplicada, depende de la habilidad para manipular y calcular con los sím­bolos matemáticos. Debemos también luchar para desarrollar una habilidad igual en la búsqueda de modelos y es­tructuras, comenzando cuanto antes en el programa escolar.

"En los últimos iiempos, el desarrolle de máquinas calculadoras electrónicas, notablemente versáiiles y veloces, ha cambiado completamente el arte del cálculo numérico y como consecuencia modificado también la clase de prepara­ción en este tipo de cálculo que debe darse en escuelas y universidades. En principio, es ahora posible ejecutar toda clase de manipulación matemática o ló­gica por procesos mecánicos mucho más rápidos y eficaces que los del más hábi'I matemático. Cálculos muy complicados, imposibles anteriormente, se han vuelto practicables; por lo tanto, en muchos cam­pos donde se aplica la matemática existe una fuerte y creciente demanda de com­putadoras electrónicas de alta velocidad y de especialistas matemáticos capaces de' Utilizarlas con habilidad y eficacia. Al enseñar el arte del cálculo numérico a nuestros alumnos, se debería entonces dar mucho menos importancia a su pre­paración para que funcionen como má­quinas calculadoras y reforzar su capa­citación para utilizar consciente e inteli­gentemente los diversos auxiliares mecá­nicos y electrónicos disponibles, comen­zando con la regía de cálculo y las calcu­ladoras manuales de mesa. Naturalmente, los matemáticos que van a dirigir y pervisar el uso de las computadoras electrónicas de alta velocidad necesitan un extenso conocimiento de matemática superior y de lógica, y deben recibir esta preparación técnica en la universidad.

"En este examen de ios desarrollos ac­tuales de la matemática se ha prestado hasta- el momento atención, especial a los aspectos algebraico y lógico. Pero, para

con un espíritu nuevo acorde con el que inspira el trabajo de los matemáticos mo­dernos, ya sea que se dediquen a la matemática para su propia satisfacción o como un instrumento para comprender el mur.do en que vivimos. Debemos, pues, reorganizar y enriquecer los programas de matemática haciendo accesible a nuestros estudiantes, t'an pronto y fácilmente com'e sea posible, nuestro crecido bagaje de conocimientos tanto de la matemática pu­ra como de la aplicada, lo cual requiere un análisis cuidadoso de estos progra­mas a la luz de nuestras necesidades actuales y de nuestra mejor comprensión de las diferentes ramas de la matemática y las relaciones entre ellas. Así, por ejem­plo, hemos señalado ya cuán.importante

. es comenzar la enseñanza de los concep­tos del álgebra moderna en una etapa mucho más temprana. Desde el -punto de vista de las aplicaciones, debemos tam­bién señalar que es de similar imporiári- cia introducir en una etapa igualmente precoz los conceptos fundamentales de probabilidad y de estadística, que deben ser reconocidos como la piedra angular de la matemática aplicada y aun de la física moderna, que ha tenido que aban­donar los puntos de vista deterministas de tiempos pasados. Un comentario casi obligado que debe hacerse sobre los aná­lisis contemporáneos de los programas de matemática, es la considerable im­portancia que dan a un desarrollo más explícito y detallado de los aspectos ló­gicos de la matemática como parte de lá instrucción elemental y secundaria. Este enfoque es absolutamente necesario. Es importante para los jóvenes estudiantes de matemática comprender la necesidad de la precisión y la naturaleza de una prueba. En última instancia, todos los ma­temáticos necesitarán de una compren­sión dara de la naturaleza de la lógica y de su relación con la matemática; pero esto deberá llegar, en mi opinión, en una etapa bastante posterior a la de las es­cuelas secundarias. Por último, es impor­tante que aun el neófito en matemática capte el método axiomático. Esto es tan cierto para el futuro especialista en ma­temática aplicada co.mo pa:a el mate­mático puro.

"En realidad, la construcción de mo­delos matemáticos de diversos fragmen-

noce comoque son eos. . .que todavía no hemos avanzado mucho en ía exploración de las posibilidades inherentes a la definición extraordinaria­mente amplia de sistema matemático que se ha dado aquí; el hecho es que las únicas especies de estructuras no alge­braicas que han sido investigadas en forma sistemática son las caracterizadas por la presencia de una relación de or­den. El estudio de los conjuntos ordena­dos y su papel en la matemática es un campo esencialmente reciente, aún cuan­do eí concepto de orden haya sido p'OTle del equipaje intelectual del hombre des­de las épocas prehistóricas y reconocido desde el principio como básico tanto en la geometría como en la aritmética. -La to­pología, con sus nociones centrales de lí­mite y de continuidad, puede definirse en su forma más sencilla en términos de

muy gene­rales sobre la naturaleza de la matemá­tica tal como la entendemos hoy, en la mitad del siglo XX, surge una visión no­toriamente clara de la unidad esencial de la matemática. Si en este examen fuese posibje analizar en detalle el progreso técnico de las diferentes ramas de la ma­temática desde el año 1900 y la forma como, se han entretejido cada vez más íntinjlomente como resultado de la inves­tigación moderna, no haríamos más que que ilustrar y confirma: lo que "a prio- ri" ya resulta evidente. Al .enseñar ma­temática, aun en los niveíes más elemen­tales, uno de nuestros principales objeti­vos debe ser el de conducir a nuestros estudiantes a una pronta comprensión de esta unidad subyacente. Y el peor servi­cio q.ue podríamos hacerles sería el de conservar la separación de la matemá­tica en disciplinas no relacionadas entre sí, concentrando nuestros esfuerzos en inculcarles habilidades técnicas y de ma­nipulación aisladas.

"Habiendo revisado con algún detalle las tendencias características de la ma­temática moderna —su abstracción, su unidad, su unión con la lógica y su as­pecto actual como estudio del álgebra topológica— y habiéndonos referido, aunque con pocos detalles a sus avan­ces técnicos y a la extraordinaria proli­feración de sus aplicaciones durante el siglo XX, quisiera terminar con unas po­cas palabras sobre 'las consecuencias de esta ojeada a vuelo de pájaro en la ense­ñanza de la matemática. Al hacerlo, qui­siera observar especialmente que se ha vuelto necesario enseñar la matemática

orden y no puede comprenderse sin utili­zar las propiedades de los conjuntos or­denados. Eí descubrimiento y desarrollo de la topología en este siglo muestra en forma notable cuán1 ricas e intrincadas puedan ser ias consecuencias de concep­tos aparentemente muy simples y primi­tivos, tal como el de orden. ¿Qué mara­villas nos esperarán . cuando intentemos explorar otras relaciones también apa­rentemente simples y primitivas, y los 'sis­temas matemáticos que en sí involucren? Sólo podemos entrever que ía matemática tal como la conocemos hoy, parecerá mañana juego de niños.

"Cuando las posibilidades de estruc­turas algebraicas y ordinales se combi­nan, como se hace con el estudio dé los grupos topológicos y de las álgebras to- pológicas, se echan los fundamentos de un extenso desarrollo cuyos principios son un fruto característico de ía matemá­tica del siglo XX. Indudablemente, un recuento detallado de lo que se ha al­canzado durante los últimos cincuenta •años sólo en este campo; nos daría una buena idea de la naturaleza de la mate­mática moderna y del progreso 'técnico que le debemos. Uno dé los adelantos más significativos de la materática en el siglo

i*

¡

i

su-

I■ - 70 - - 71 -

•//

/

CUESTIONES DIDACTICASMedios y técnicas para exponer los

conceptos de matemática moderna'*1

• i*tos del mundo real, que constituye la ocupación principal del matemático apli­cado. no es sino un ejercicio de axiomá­tica. Una razón muy importante para in­sistir en un tratamiento axiomático de la geometría en la escuela secundaria es que éste es el único tema de la matemá­tica elemental que guarda una relación palpable con el mundo real y nos sumi­nistra un buen ejemplo de construcción de un modelo. No puede decirse otro tanto de la aritmética o del álgebra, co­mo podemos ver si reflexionamos un po­co. En la mayor parte de los estudios sobre el tratamiento axiomático de la geometría no se ha destacado suficiente­mente ese aspecto del asunto, probable­mente porque los matemáticos se intere­san principalmente en. el lado lógico de la cuestión, como lo muestra claramente la frecuente insistencia en el uso de la palabra "postulado" en lugar de "axio­ma".

rienda, aun en el plano físico, de los cua­les nuestros jóvenes alumnos puedan 'lle­gar prontamente a ideas tan abstractas como las de función o transformación. Además de preocupamos por estos aspec­tos característicos de la matemática derna, también debemos presentar la ma­temática como una actividad creadora y artística del espíritu humano, porque, a pesar de las extraordinarias realizaciones de nuestras máquinas matemáticas, no hay que olvidar que se trata de nuestras propias creaciones y que tales seguirán siéndolo como lo sugieren los resultados de Gódel, Church y Turing. En segundo 'lugar, parte muy importante, y acaso la más importante, de nuestra tarea como maestros, es fomentar en nuestros alum­nos, desde el primer día de clase, ese es­píritu creador sin el cual la matemática se volvería estéril y perecería.

"Unas palabras más, para terminar. Es una profunda verdad de la psicología humana, que el pensamiento infantil tien­de a ser más abstracto, más imaginativo y más creador que el de los adolescentes en muchos aspectos; deberíamos, enton­ces, aprovechar la maravillosa ocasión que esto nos brinda para iniciar a los niños, aun desde tierna edad, en el verda­dero espíritu de la matemática moderna y para guiarlos por entre los elementos de la aritmética, del álgebra y de la geo­metría intuitiva, antes de que 'lleguen al nivel secundario. Aunque en esta Con­ferencia nos interesa ante todo la mate­mática de la escuela secundaria y de la universidad, no olvidemos que todo lo que se haga en estos niveles superiores ha de basarse en lo logrado en la es­cuela elemental para dirigir los pasos de nuestros alumnos por la senda de la temática".

mo-

GEORGE PAPY(Bruselas, Bélgica)

1. LA PEDAGOGIA DE LAS SITUACIO­NES. PREPARACION PARA LA MA­TEMATICA APLICADA.

debido al ritmo acelerado del progreso y de la matematización de las ciencias, nuestros alumnos, en una etapa poste­rior, tendrán que asimilar nuevos concep­tos matemáticos enlazados a situaciones reales. Importa, pues, prepararlos para esta continua apertura del espíritu, a la que la pedagogía de das situaciones fa­vorece.

La elección de situaciones es de gran importancia; ellas deben constituir 'un soporte válido para los conceptos intro­ducidos al mismo tiempo que no pueden,

naturaleza demasiado especial,

iEs muy probable que los muchachos

de 12 a 15 años tengan que usar la matemática más adelante, en las disci­plinas más diversas, como medio de comprensión, de investigación y de re­solución de problemas.

Para poder usar fecundamente la matemática en situaciones reales, no es suficiente poseer una herramienta per­feccionada que resuelva automáticamente los problemas planteados. La primera y mayor dificultad es reconocer que una situación se presta a un tratamiento ma­temático y decidir cuál es dicho trata­miento. A ese efecto, la situación con­creta que se encara, debe ser idealizada y matematizada. Anotemos que la ma­yoría de los ejercicios tradicionales de la matemática aplicada no prepara a los alumnos para esta marcha del espíritu, tan esencial sin embargo.

Por consiguiente, la matemática no debe enseñarse como una asignatura aislada que se presenta a alumnos con­templativos. Por lo contrario, tal como lo ha señalado a menudo Caleb Gatteg- no, el objetivo, desde el principio, es ha­cerla surgir de situaciones bien elegidas que sean creativas para los alumnos.

A través de sus estudios se tratará de preparar a los alumnos para que reaccio­nen con mente abierta frente a situacio­nes dadas. Esta actitud es indispensable para abordar todo problema real don­de se quiera aplicar la matemática ya adquirida. Y también es esencial para asimilar cualquier nuevo conocimiento matemático. Ahora bien, sabemos que

"Una vez planeado un programa acep­tablemente moderno en función de su contenido matemático, hay que tener en cuenta el espíritu que anima la materia que se ha de ver, así como la en que ha de enseñarse. Cabe aquí justa­mente preguntarse si no debería hacerse, un esfuerzo, aun en los niveles elemen­tales, para subrayar la unidad y el carác­ter abstracto de la matemática. Desde lue­go, ni la unificación ni la abstracción, co mo estos mismos términos lo indican, pue­den surgir de otra cosa que n.o sea la experiencia, si bien esta experiencia pue­de ser intelectual o física. Así, pues, en la elaboración de lo unificado y de lo abstracto, hemos de comenzar justamente ofreciendo a nuestros jóvenes alumnos ta­les experiencias. En verdad, gran responsabilidad para nosotros, como maestros, hallar nuevos tipos de expe-

i por sulimitar el alcance de los mismos. Deben ser atrayentes, acogedoras y susceptibles de desarrollos.

El maestro debe introducir las situacio- someterlas a Gas reacciones de los

manera'V

nes yalumnos. Serán presentadas en forma de permitir la génesis de una matemática unificada y estructurada, de la cual los alumnos deben tomar conciencia.

2. CONJUNTOS Y DIAGRAMAS DE VENN.

Todo aquél que enseñe matemática debe comenzar por reconocer un hecho fundamental: la matemática de hoy ha reencontrado su unidad en el universo conjuntista. La noción de conjunto, tan común, debe, pues, ser introducida y ela­borada tan rápido como sea posible.

Todos los alumnos a quienes he dado lecciones sobre conjuntos —y algunos sólo tenían 8 años— poseían una idea

es una ma-

(Concluirá)

O O O*

Ila OCDE habernos autorizado laEl fin de la educación matemática no se limita al desarrollo de la lógica del

alumno. Incluso opino que este desarrollo no ha de ocupar el primer plano de nutstra enseñanza, al menos del modo que conciben la lógica los matemáticos.

(*) Agradecemos a publicación de la exposición del Prof. PAPY en la reunión de Atenas de noviembre de 1963. (N, delos E.)

P. PUIG ADAM- 73 - .

- 72 -l

//

ciencia de este hecho .medicrfte ejercicios y ejemplos; en ese momento, ellos han efectivamente reemplazado por una no­ción precisa su vaga noción anterior de conjunto. Cuidémonos de creer .que la batalla está definitivamente ganada. En ese caso muy simple se producirá el fe­nómeno que se presenta cada vez que una noción perfeccionada sustituye a una noción anterior vaga y familiar. Cuando los alumnos están fatigados o cuando su atención está solicitada por otro tema, la noción anterior persiste, tal como lo ha señalado muy justamente Ana Sofía Krigowska. Para evitar ese proceso, emplearemos, como se verá más adelante, e1! método del "choque psicoló­gico" preconizado por Caleb Gattegno.

Como un conjunto puede ser determi­nado respondiendo "sí" para ciertos ob­jetos y "no" para todos los demás, nos encontramos en una situación pedagó­gica favorable en la cual los alumnos pueden deleitarse fabricando conjuntos tan caprichosos como divertidos. Obser­vemos que de esa manera los alumnos construyen por sí mismos el material so­bre el cual se razonará: ese material les resultará perfectamente familiar. La acti­vidad de los alumnos es literalmente agresiva. Están atacando de frente el problema planteado y lo manifiestan su­giriendo como conjunto "ese pedazo de tiza, esa esponja, ese cacto y usted mis­mo, señor profesor".

"De acuerdo, consideremos ese con­junto. Dispongamos sus elementos sobre el estrado. Una chinita que entrara sú­bitamente en la clase, ¿podría imaginarse que nosotros hemos decidido formar un conjunto con esos cuatro objetos?".

La clase es formal. La chinita no-podría imaginar nunca que el profesor es un elemento del conjunto.

"Entonces, ¿cómo informárselo?".Con toda naturalidad, los alumnos co­

mienzan por preguntar si la chinita co­noce francés, holandés, inglés, alemán y, en seguida, si el profesor conoce chino.

Siendo negativas las respuestas a estas cuestiones previas, ¿cómo comunicar a nuestra chinita que hemos formado un conjunto con esos cuatro objetos?

Los alumnos proponen colocar- los ob­jetos en una gran bolsa o en un: cofre.

Afortunadamente, nuestras autoridades

inicial de esta noción. Cuando en ur.a ciase de alumnos de 12 años, se piden palabras que sugieran con diversos ma­tices la idea de conjunto, en algunos mi­nutos se obtiene una cincuentena de res­puestas. De acuerdo con mi experiencia, el resultado es menos favorable con alumnos de 17 años que han recibido una enseñanza matemática tradicional intensiva.

Para alumr.os de 12 años, o menos, no se trata, pues, de enseñar la noción de conjunto, que pertenece al conocimiento común. Sólo conviene —lo que es muy importante y a veces muy delicado— afinar el concepto común, bastante vago, y hacer aparecer el concepto matemá­tico.

!escolares no han previste aún la inclusión en el material didáctico de nuestras cla- ces.de una bd.sa o de un cofre destinados a encerrar el profesor (lo que, sin embar­go, sería muy útil en clases donde los profesores continúan enseñando la temática tradicional).

Los alumnos continúan con su idea y proponen una cuerda.

No tenemos cuerda, pero nos limitamos a arrojar una tiza a uno de los alumnos, el cual sin otra explicación va valiente­mente a trazar alrededor del conjunto la imagen de una cuerda.

Se pide en seguida a los alumnos que dibujen el conjunto en sus cuadernos o en-el pizarrón, y lo que ellos dibujan es simplemente el diagrama de Venn.

Se pide ahora a un alumno que repre­sente sobre este dibujo los elementos de ese conjunto.

Mientras que el alumno del pizarrón duda y se pregunta por dónde comenzar el dibujo, surgen sugestiones de la clase, acordes con las edades de los c'iumnos. "Dibuja circulitos, cuadraditos, cruceciias, puntos".

Cuando el alumno se apresta a dibujar los puntos o las cruces, yo generalmente se lo impido gritando: "iAlto ahí!". Sabe­mos que podríamos dibujar puntos. Pero no lo haremos. Nos limitaremos a repre­sentar, mediante puntos, ciertos objetos del'conjunto cuando sea útil para acla­rarlos. Si dibujáramos sistemáticamente todos los puntos de los conjuntos finitos considerados, ' condicionaríamos a los ctumnos a restringir el concepto de con­junto tan sólo a los conjuntos finitos y los expondríamos a dificultades suple­mentarias cuando los conjuntos son infi­nitos. Ahora bien, encontraremos inevita­blemente, y desde el comienzo, conjuntos infinitos.

He aquí un conjunto formado por cua­tro objetos: la Torre Eiffel, mi reloj, el rey de Eélgica y esta regla. Se dibuja e. conjunto' en el pizarrón y después se hace representar toda una serie de objetos, el general De Gaul'le, la ciudad de París, mi reloj, el director del colegio, etc. Para cada objeto se coloca un punto, en el in­terior o en el exterior del diagrama, nun­ca en el contorno. Si se prosigue el ejer­cicio después que se han colocado cuatro ountds en el interior del diagrama, los

alumnos observarán, después de algunas preguntas suplementarias: "Ahora todos ios nuevos puntos deberán ser colocados en el exterior del recinto". Es el momento de pedir que representen el horario de mi reloj. Con cierta reticencia, lentitud y vacilación, el alumno dibuja también el punto fuera del diagrama. |Éste es el choque! En realidad, el horario es un fragmento del reloj, pero gracias a nues­tra imaginación creadora, los hemos se­parado, lo que el dibujo muestra intui­tivamente.

Como la mayoría de los enseñantes, hemos comenzado por emplear el som­breado o el colorido de las partes inte­riores del diagrama. Hemos abandonado este método porque conduce a errores a los alumnos. El diagrama de Venn es una cuerda colocada alrededor de ciertos ob­jetos, sin alterarlos en nada. Con poste­rioridad, convendrá considerar simultá­neamente muchos conjuntos. Para peder reencontrarlos, los mismos alumnos pro­ponen representarlos por siglas, iniciales o letras.

Cuando debemos representar simultá­neamente dos conjuntos, representaremos al primero, por ejemplo, con una cuerda amarilla y al segundo con una cuerda azul, y anotaremos A en amarillo y B en azul.

El diagrama permite introducir fácil­mente el conjunto vacío y particularmen­te mediante un conjunto que quizás sea vacío. He aquí una clase de alumnos de 15 años.

"Dibujen en seguida el diagrama del conjunto de los alumnos de más de 1,50 metros y el de los alumnos de más de 1,75 metros".

Sin saber nada más sobre la clase, podemos razonar sobre esos conjuntos. Si se nos señala que ninguno de los alumnos de esa clase mide más de 1,75 metros entonces dicho conjunto es vacío. Llevaremos dicha información di gráfico adoptando una convención que me ha sido sugerida por algunos alumnos , y que consiste en sombrear la parte vacía.

Pido a un alumno que piense en un conjunto Aya otro alumno que piense

conjunto B. Sin saber nada más, puedo representar simultáneamente a los dos conjuntos mediante el esquema:

ma-

Los primeros ejemplos son siempre co­lecciones preestablecidas: escuadrólos de aviones, clases de alumnos, atlas de mapas geográficos, rebaños de ovejas, enjambres de abejas. Sobre estos ejem­plos podemos ya comenzar a reconocer cuáles son los elementos de tales o cua­les conjuntos.

-•"¿Es mi pipa un elemento de ese re­baño de ovejas?’'.

-—■"No".--"¿Por qué?".—"Porque su pipa no es una oveja.

Sólo ovejas pueden ser elementos del rebaño de ovejas".

~"La cola de esa oveja, ¿es una ove­ja?'^

—"No, la cola de una oveja no es una oveja".

—"La cola de esa oveja, ¿es un ele­mento del rebaño de ovejas?".

La respuesta es negativa.Procediendo de esta manera hemos re­

emplazado por una noción más precisa la idea vaga de conjunto nacida del co­nocimiento común.

Cuando las abejas de un enjambre es­tán en una colmena, tanto las abejas como sus alas están en la colmena. De acuerdo con el sentido común, los frag­mentos de los elementos de un conjunto a menudo son como miembros del con­junto.

En matemática, un conjunto está deter­minado cuando, para todo objeto, existe una respuesta clara para la pregunta: ¿Pertenece este objeto al conjunto? Se hace que Cos muchachos adquieran con-

V

;

en un

- 75 -- 74

.

:i:parte, enseñando la geometría y el álge­

bra, en la tediosa manera habitual. Esto es traicionar deliberadamente el espíritu de la matemática de hoy y falsificar las concepciones de los alumnos.

Sugerimos, pues, comenzar el estudio de la geometría por los métodos conjun- tistas. Los ejemplos fundamentales que proporciona Ca geometría son, por otra parte, de tal naturaleza que vivifican la primera enseñanza sobre conjuntos. Tal como lo ha subrayado Krygowska, es esencial hacer representar mediante dia- gramos de Venn conjuntos no limitados y no compactos, como por ejemplo el conjunto de los puntos exteriores a un círculo o a un triángulo o, más simple­mente, el conjunto de los puntos de una recta.

Es necesario no olvidar más que la en­señanza tradicional de la geometría, que es muda o confusa con respecto a tos puntos fronteras, impone a los aCumnos un condicionamiento no espontáneo que deberá detruirse a toda costa cuando co­mience el estudio del análisis. Esto me ha ocurrido en forma sorprendente, hace unos veinte años, cuando por una suce­sión de circunstancias, debí dar dos lec­ciones consecutivas a niños de 11 años y a jóvenes de 19. En la primera lección, hice "descomponer" un cuadrado en cua­tro cuadrados iguales trazando las bases medias. Uno de los alumnos me pregun­tó dónde "iban" los punios de las bases medias. Asombrado por la pregunta, res­pondí estúpidamente que eso no tenía importancia e hice alusión al recorte de un cuadrado siguiendo las bases medias. De esa manera, yo había constreñido a los alumnos a no plantearse preguntas sobre los puntos fronteras, en el momen­to en que esa preocupación les resultaba natural.

En la lección siguiente explicaba los comienzos del análisis y tenía las ma­yores dificultades para-hacer entender la diferencia entre un cuadrado cerrado y otro abierto.

Es necesario comprender que la tar­jeta postal es un material intuitivo insu­ficiente para hacer resaltar la distinción entre rectángulo abierto, rectángulo ce­rrado e, incluso, rectángulo ni abierto ni cerrado.

También aquí, para poner en eviden-

1cia estas nociones, he adoptado suges­tiones de algunos de mis alumnos de las clases experimentales. Adoptando la con­vención de los colores de las señales lu­minosas, trazamos en verde los puntos comprendidos en el conjunto y en rojo los puntos fronteras eliminados. Esto lle­va, además, muy naturalmente a proble­mas prodigiosamente interesentes sobre los conjuntos convexos. (Aquí también, para mayores detalles, recurrir a "Ma- thématique Moderne - I", Caps. 6 y 11).

Limitémonos a señalar la importancia de la doble visión:

1. Visión intuitiva en el plano.2. Visión iniuitiva de la estructura ló­

gica mediante los diagramas de Venn.

Por importante que sea, la visión es­pacial intuitiva no pone en evidencia la estructura lógica en las situaciones sim­ples, porque la respuesta a las preguntas planteadas surge a menudo sin razona­miento. La ayuda del diagrama de Venn es entonces saludable.

Los ejercicios que consisten en pasar de una representación a otra, y vicever­sa, interesan prodigiosamente a los alum­nos porque la respuesta a las cuestiones planteadas nunca se conoce de ante­mano.

Tomar conciencia de esta doble repre­sentación posible es un hecho funda­mental y enriquecedor.

universalmente que el análisis matemá­tico es particularmente importante por las aplicaciones. Y bien, el análisis concier­ne esencialmente a las funciones.

¿Continuaremos en la enseñanza si­guiendo la vía histórica esperando, para introducir las funciones, haber llegado a la situación crucial, crítica y difícil en que ya no es posible continuar sin usar explícitamente la noción de función? Eso equivaldría a superponer deliberadamen­te las dificultades y a privarse de una herramienta maravillosa para la elabo­ración de la matemática anterior.

La noción de función pertenece al co­nocimiento común y es fácil hacerla sur­gir de él. Pero no se podrá circunscribir esta noción más que colocándola en su marco natural y, por otra parte, inevita­ble, el de las relaciones. Las relaciones intervienen de manera constante y más o menos precisa, prácticamente en todas las actividades racionales.

Históricamente, ha habido dificultades para poner en evidencia la noción de función porque al comienzo no se toma­ban en cuenta más que las funciones definidas analíticamente. Tanto que co­mo todas las funciones con derecho de ciudadanía en matemática eran conti­nuas, no se había puesto en evidencia le noción de continuidad.

De la misma manera, las propiedades especiales de las relaciones como la re- flexividad, la simetría, la antisimetría, la transiiividad, no pueden comprenderse más que en presencia de relaciones que no tienen tales propiedades.

El psicólogo Wittmann ha subrayado que en una clase escolar, uno de los cen­tros de interés espontáneo hacia los 10 años o menos, es el conjunto de los nom­bres y apellidos de los alumnos de la clase.

He aquí una clase de alumnos de 9 años. Sin decir una palabra, dibujemos en el pizarrón puntos ¿loramente dispues­tos como los alumnos en el aula. Ni una palabra se ha pronunciado, pero se ha presentado una situación a los alumnos y ella debe haberles sugerido preguntas porque levantan las manos para dar res­puestas.

"Son los bancos"."Pero no, no son los bancos, porque

!Es todavía muy fundamental que los

alumnos comprendan que tres conjuntos A, B, C pueden siempre ser representados por la hoja de trébol, que se convertirá posteriormente en una verdadera máqui­na de pensar.

i

i

Es muy fructífero, en casos particula­res de los conjuntos A, B y C, sombrear las partes vacías.

Muy rápidamente, los alumnos se fa­miliarizan con los conjuntos, tanto que los consideran como datos concretos. A par­tir de dos conjuntos A y B se les pide que dibujen los conjuntos que sugiere el esquema, lo que introduce el álgebra de conjuntos. Esto les permitirá poner en evidencia un nuevo cálculo cuyas reglas se Gsemejan a las del cálculo usual, pero que difieren notablemente én lo que con­cierne a la distributividad mutua de D y (j. (Para más detalles sobre el álgebra de conjuntos véase "Mathématique Mo­derne - I", Caps. 3 y 4).

Para terminar, quiero subrayar que los alumnos comprenden mejor la razón de las reglas usuales del cálculo algebraico con números naturales, por ejemplo, cuando se les ha presentado un álgebra cuyas reglas son diferentes.

*

f

4 RELACIONES Y GRAFICOS

La matemática se presenta hoy bajo un aspecto explícita y conscientemente relacional. La matemática siempre ha usado relaciones como la igualdad, el paralelismo, la perpendicularidad, la relación "mayor que" y relaciones que son funciones como la adición, la multi-

i

plicación.Antes era posible desarrollar la mate­

mática sin extenderse sobre la noción de relación. Las relaciones regían los enla-

entre los objetos matemáticos, pero sí mismas objetos de la ma-

i3. LA DOBLE VISION EN GEOMETRIA

Y LA PREPARACION PARA LOS COMIENZOS DEL ANALISIS. 1

cesLo más lamentable de ciertos esfuerzos

de renovación de la enseñanza de la ma­temática reside en la introducción de ciertas nociones conjuntistas y relacióna­les como una especie de rama nueva e independiente y en continuar por otra

no eran entemática. Euclides pudo desarrollar Elementos sin usar explícitamente la no­ción de función. Por el contrario, la vi­sión moderna de las geometrías utiliza de manera sistemática las transformacio-

funciones. En fin, se admite

sus

r.es, que son- 76 - - 77 -

'>:

Conrado está ausente y no hay ningún punto en su lugar".

Júbilo: "Somos nosotros".Obsérvese que de repente hemos re­

presentado por puntos, personajes tan importantes como los alumnos. Después de .un hecho ta., ellos están prontos para representar por puntos todo lo que se ve, particularmente algunas rectas.

—"Somos nosotros".—"Ah, son ustedes.. Y usted ¿dónde

está?".Los niños tienen una tendencia natu­

ral a la abstracción. Ninguno de ellos ha respondido nunca "Yo estoy en Zoute- naia" o “en la escuela primaria de Vla- divostock".

No, el alumno va al pizarrón e indica el punto que lo representa ... equivocán­dose a veces. Es muy interesante compro­bar. que algunos alumnos cometen res sistemáticos efectuando una simetría con respecto a uno u otro de los ejes del auía o con respecto al centro de la misma. Esta información es valiosa con respecto a los alumnos, pues se verifica ulterior­mente en geometría que ciertos alumnos continúan cometiendo esos errores sis­temáticos y proporcionan respuestas que desconcertarían a un docente sin expe­riencia.

Ahora pido a cada alumno que señale a todos los alumnos de la clase cuyo nombre comience por la misma letra que comienza su apellido. He aquí una frase larga, más larga y complicada que la mayoría de las que emplea usualmente la matemática. Será preciso repetir esta frase, será preciso comprenderla. Si su estructura es bastante complicada, al me­nos su comprensión está facilitada por­que todas las nociones que encierra son familiares a los alumnos.

Sin demora, algunos alumnos indican a otros en la clase. Se verifican las puestas, se ha comprendido la pregunta, se observan cada vez más dedos indi­cando alumnos. Mi papel es reunir la información. ¿Cómo hacerlo? Pido a 'los alumnos que me ayuden y hagan suges­tiones. Las respuestas varían mucho de una clase a otra. A menudo los alumnos proponen rápidamente' dibujar una fle­cha, que es la imagen del dedo extendi­do. A veces se limitan a proponer línea. Se trata, en este caso, de compro­

bar, como dican los alumnos, que. "con una línea no se ve quién señala a quién". A veces los alumnos proponen otros, mé­todos que se revelan insuficientes. Pero siempre la flecha es propuesta finalmente por algún alumno, y la clase la adopta de inmediato.

Ahora conviene hacer el gráfico. Poco a poco, como el pájaro que construye su nido, los alumnos acuden uno a uno a trazar las flechas que le conciernen. Ade­más, se les pide que las iracen de ma­nera de no estropear el dibujo, lo que constituye un ejercicio excelente e inte­resante.

La experiencia nos ha revelado que este ejercicio era mejor realizado en ge­neral por alumnos de 9 a 12 años, que por los de 15 a 18, maltrechos por la ma­temática euclidiana.

Los alumnos de 9 años nc están toda­vía condicionados por la línea recta. Con su despierto espíritu de juegc, nos mues­tran con candor, que sólo importan el origen y el extremo de la flecha presen­tándonos esquemas como el siguiente:

gunos alumnos (de 8 años) dan respues­tas buenos una media hora después que los más rápidos.

Hecho este ejercicio, es inútil pregun­tarse qué hacer después, pues los alum­nos patalean y proponen:

"Señor, de nuevo un juego como ése", y algunos precisan:

"Juguemos al juego del apellido-ape­llido".

Lo que provoca la exclamación" de otros alumnos:

• "Eso será mucho más fácil".Tal como se ve, la ‘ley del menor-es­

fuerzo conduce espontáneamente a los alumnos a una relación de equivalencia. Les preguntamos rápidamente:

"Por qué el nuevo juego será más fá­cil".

A B C

Respuesta del alumno: "Esta vez es im­posible".

—"Pero, sin embargo, en la vida exis­ten. otras cosas que líneas rectas".

Resultado:

;! A Ci

Es verdad que la matemática tradicional estudia no sólo las rectas sino también las circunferencias....

Una alumna que había pasado hasta entonces totalmente inadvertida en la clase, traza el bucle que se ve a conti­nuación:

Y los alumnos indican sucesivamente, en su lenguaje ingenuo, que la nueva relación es simétrica ("si yo te señalo, tú me señalas"), reflexiva (un bucle en to­das partes) y transitiva.

Jugaremos cfl nuevo juego y haremos muchos ejercicios. Gracias a los gráficos, los alumnos de 9 y 10 años son capaces de razonamientos considerados, a me­nudo, como abstractos.

Nos liberaremos de la representación de la clase haciendo ejercicios relativos a conjuntos de niños desconocidos y re­ferentes a otras situaciones. Se pedirá particularmente q u e se completen los gráficos no terminados. Queda entendido que las relaciones de parentesco se in­troducen cquí muy naturalmente y con­ducen a la composición de relaciones.

No podemos extendernos sobre los nu­merosos ejercicios que sugiere la apari­ción de los gráficos en «la enseñanza y

les cuales remitimos a "Mathémati-

erro-

o!

Se trataba de la señorita Brigitte Bar-

Obsérvese que ninguna flecha adorna ese bucle. En un caso análogo, Claudia Cardinale había dibujado-

dot.

Con alumnos de 15 años, i ay de mí!, esas fantasías han desaparecido. En el pizarrón no figura ningún rectángulo, pero '.a clase es, grosso mcác, rectangu­lar. También conforme a los deplorables hábitos de la enseñanza tradicional, se sale del rectángulo y el gráfico se vuelve cada vez más enredado y confu­so. Antes de trazar cada flecha, repeti­mos imperturbable e infatigablemente:

"Traza la flecha como quieras, pero de manera de no estropear el dibujo".

Pero he aquí que, por fin, un alumno tiene la originalidad de trazar una flecha por el exterior. Se ha roto

Las dos convenciones son admisibles, pero es divertido comprobar que en las clases donde se ha adquirido el hábito de colocar una flecha sobre el bucle, este último, como un órgano sin función, se atrofia y finalmente desaparece.

Se observa que a veces el gráfico se realiza olvidando los bucles; los alum­nos reemplazan la noción "todos los alumnos de la clase" por la noción "to­dos los alumnos de la clase distintos de mí".

no

para'que Moderne - I" (cap. 7). Esos ejercicios deben ser hechos por los alumnos en hojas grandes y usando los lápices de minas multicolores, llamados "magicolo- res".

Cuando los alumnos tienen una colec­ción bastante importante de gráficos, ellos esbozan una especie de clasificación. Dicen, por ejemplo, la relación "+ 5V es

la relación "tiene como madre". Ha llegado el momento de ayudarlos a hacer esa clasificación poniendo en Evi­dencia las nociones de reflexividad; si­metría, antisimetría, transitividad y fun-

jres-

Esta observación no es, sin embargo, general, y en una de mis clases demos­trativas, uno de mis alumnos me ha res­pondido: "Yo debo señalarme".

Anotemos que el ejercicio anterior se adapta a la pedagogía colectiva. Cada alumno debe dibujar las flechas que par­ten de él. En este ejercicio, las respuestas de los buenos alumnos no anulan el pro­blema para los alumnos más lentos. Al-

u.n marco, y ahora todas las nuevas flechas siguen el camino de la evasión.

Con alumnos de 17 años, pertenecien­tes a clases científicas, me he hallado frente a situaciones más asombrosas to­davía. Todas las flechas eran bien recias, como vectores rígidos. He aquí que “a" debe señalar a "c":

ir como

una

- 73 - - 79 -

chachos contemporáneos del arte abs­tracto.

He aquí uno de los teoremas funda­mentales de toda la matemática: "La composición de relaciones es asociativa".

Este teorema se usará, muy a menudo, en su forma más general y en particular en el caso de funciones Importa, pues, dar su demostración en lá forma más simple, es decir por las relaciones. Como la compuesta de dos funciones es una función, este teorema es aplicable en par­ticular para las funciones. (Véase "Ma- thématique Modeme - I", caps. 9 y 10).

cióri. Esas propiedades son muy difíciles cuando se las presenta en forma alge­braica abstracta y muy fáciles, por el contrario, cuando se utilizan los gráficos. Dibujos llamativos permitirán a [os alum­nos recordar estas definiciones. En par­ticular, la antisimetría, que exposiciones infortunadas han podido hacer aparecer como temible, es muy fácil.

Una relación es antisimétrica si entre dos puntos distintos no hay jamás ida y vuelta.

Queda entendido que se estudiarán, en particular, las equivalencias y, sobre todo, las relaciones de orden.

El estudio de la relación de orden debe ser el objeto de la solicitud particular de los docentes. Por razones históricas, ha sido muy descuidada en la enseñanza tradicional. Con respecto a las relaciones de orden, como Pasch lo puso en eviden­cia, la construcción euclidiana deja más que desear. Gracias a ciertas ideas de Artin, hoy es posible introducir las no­ciones relativas al orden desde el co­mienzo de la geometiía (véase "Mathé- matique Modeme - I", cap. 15).

Las nociones de parentesco han intro­ducido la composición de relaciones, Co mismo, por otra parte, que ciertos ejem­plos del álgebra. Al cabo de cierto tism- co, la noción de relación como objeio se ha vuelto muy familiar a los alumnos que dibujan voluntarios una relación amari­lla y una relación azul definidas en el mismo conjunto. Componer esas dos re­laciones y dibujar en rojo la compuesta de la relación amarilla y la relación azul, es entonces un juego a la vez abstracto y apasionante que necesita atención y organización. Es bien claro que la com­posición no es conmutativa (“mi abuela paterna no ss mi abuelo materno") pero es muy agradable confirmarlo dibujando en verde la compuesta de la relación azul y la relación amarilla.

Todos los docentes que han usado grá­ficos han señalado la reacción afectiva positiva de los alumnos ante esos dibujo' multicolores. La mayoría de los alumnos son, por otra parte, sensibles a la belleza del dibujo. Eligen con cuidado los colo­res y prestan mucha atención a la forma del dibujo.

Es sorprendente que esos gráficos es­tén en concordancia de fase con los mu-

C. BREARD., Mathématiques. Clases de ó9 (1961), 5* 4? y 3q (1962). Ed. L'ECOLE, París.

evita repeticiones y muestra la unidad de la matemática", dice con cierta ingenuidad el autor—. Anotamos de paso algunos curiosos enunciados: "Todas las rectas son iguales", "todas las semirrectas son iguales", apoyán­dose en que es posible la "superposición". Y también que "un axioma es un teorema que se admite sin demostración". Se desarrollan las operaciones aritméticas con números na­turales, pudiéndose advertir que se evita el inconveniente de la trasposición de un miem­bro a otro de una igualdad acudiendo a la aplicación de "nuestras" propiedades unifor­mes; siempre se señala la conmutatividad, la asociatividad y el elemento neutro. En las operaciones con segmentos se introduce el concepto de "operador", noción "tan simple y tan natural que en relación con la de apfí- cación permite en seguida introducir las frac­ciones arquimedianas, primero y las fracciones, luego". En este tomo se denomina indistinta­mente "circulo" o "circunferencia" a la curva y se adelanta que "el interior de un círculo es un dominio convexo". Al considerar los polí­gonos leemos: "Un polígono es una línea poli­gonal cerrada"; para salvar el escollo consi­guiente se introdrce la noción de "dominio po­ligonal" pero se sigue pidiendo el área de un polígono. La simetría se considera con mucho interés y se señala "la facilidad con que los alumnos comprenden las demostraciones por simetría". También merece especial atención la noción de "correspondencia o aplicación" y su representación gráfica. Se insiste en los tra­bajos prácticos y en el cálculo mental.

El manual de también comienza con ge­neralidades sobre conjuntos, el que es toda­vía "toda colección de objetos", sin precisar cuáles. Entre las definiciones y axiomas lee­mos: "polígono es una línea poligonal cerra­da"; "círculo es una circunferencia", pero "segmento de círculo no es arco sino porción del dominio interior al círculo". Se estudian las "aplicaciones y funciones" aunque "se de­signa a veces la aplicación f por el vocablo función". "El paralelismo precede a la ortogo- naiidad como la geometría afin precede a la métrica." Ahora leemos: "un axioma es una propiedad admitida sin demostración". Se ¡n-

El primer ciclo de la enseñanza francesa comprende las clases de 6°, 59, 4° y 3°, pa­ra los alumnos de 11 a 14 años. Estos difun­didos textos están destinados a ellos.

En el prólogo del texto de ó® el autor afir­ma: "Una tendencia, acentuada en los últimos años, procura reemplazar el curso completo por un resumen, por un extracto condensado". Advierte los inconvenientes de ellos porque lle­gan a hacer creer a los alumnos que no hay razonamiento matemático y afirma que "hemos ensayado darle más que "recetas de cocina", el medio de comprender, presentándoles ra­zonamientos accesibles y apelando a la intui­ción".

Con ese criterio se tratan los distintos asjntos, por ejemplo, regla, escuadra, compás, medi­ciones de longitudes y ángulos, construcciones geométricas elementales, áreas y volúmenes, tiempo, densidad, velocidad, regla de tres sim­ple, etc. Los trabajos prácticos acompañan a cada lección, con aplicaciones del cálculo men­tal, dibujo ornamental y diseño de letras, pro­blemas y uso de tablas.

Como en otros textos franceses el autor lla­ma "círculo" a una línea —nuestra circunfe­rencia— e introduce la noción de "perímetro del círculo" rodeándolo con un hilo — pr:mera contradicción— y después trata el "área del circulo" —segunda contradicción—. Resulta in­comprensible este defecto en un texto donde tanto se cuida la precisión del lenguaje. El libro está lleno de sugestiones útiles para nues­tros grados primarios superiores y para los dos primeros años de nuestra escuela secundaria. La fórmula del interés simple |j=C.t.n, rara­mente usada entre nosotros, es mucho más inmediata que la clásica.

. En el texto de 5° se trata de abstraer la no­ción de número natural —entero según la cos­tumbre francesa— de la noción de conjunto y de correspondencia biunívoca,- al mismo tiem­po se estudian recta, semirrecta y segmento, y. la convexidad, pues la geometría se estudia simultáneamente con la aritmética —"lo que

5. UN SOSTEN INTUITIVO DE LA NO­CION DE CONJUNTO INFINITO.

Un conjunto E se dice infinito si exis­ten: a e E. b £ E \ -{a ¡ , c £ E \ -¡ a,b }, d e E \ -j a,b,c , etc.

Tracemos flechas desde a hasta b, des­de b hasta c, desde c hasta d> etc. Ha­bremos diseñado así el gráfico de una relación que llamamos "retahila". 0)

l

La noción de retahila es muy simple y el lenguaje gráfico la traduce clara­mente.

La definición más formalizada y algo­rítmica de las retahilas es más bien difí­cil. También el lenguaje gráfico será de gran utilidad para todo lo que concierne a los conjuntos infinitos.

Un conjunto es infinito si en él se puede definir una retahila. A partir de esio se demuestra fácilmente la propiedad de De- dekind: un conjunto es infinito si es co- ordinable con una de sus pactes propias.

Señalemos, en fin, que con alumnos de 15 años se demostrará fácilmente el Teo­rema de Bernstein (-’) por la consideración de retahilas definidas en partes disjuntas dos a dos (ver "Mathématique Modeme, I", cap. 16).

i

I

(Continuará)1J tn e* original francés: "ribambelle". (N. de los E.) ( > También llamado "de Cantor-Bernstein": Si cada

de los conjuntos es coordinable con parte • del otro, ambos son coordinabas entre sí. (N. de los E.)uno

- 80 - - 81

í

prácticas pueden obtenerse de la consulta de las series de ejercicios de todos los lextos co­mentados.

En la primera se examinan las razones que fundamentan "la ¡n’roducción del material concreto o semiconcreto en la actividad del alumno"' C. Gcittegno considera la percep­ción y la acción como bases del pensamiento matemático, ' sosteniendo que "cada pensa- m¡enfo’: matemático utiliza las imágenes de modv explícito (por tanto, las percepciones y las acciones, ambas íntimamente ligadas) y cada operación matemático conserva los ves­tigios ele su origen activo". Su exposición es una fundamentada introducción desde el pun­to degista psicológico en la que se insiste en que "debemos reconocer que el pensa­miento' abstracto puede desarrollarse mucho más allá de lo que hemos tomado por norma al aceptar que el niño es incapaz de pensar de cierta manera antes de una edad deter-

siste en la aplicación de la simetra en el estudio de las propiedades geométricas y se retoma el concepto de vector, siempre intuiti-• vamente como "segmento orientado" y se es­tudian las propiedades-elementales del cálculo vectorial, geometría algebraica rectilínea, ope­raciones con polinomios, identidades algebrai­cas notables, propiedades de los cuadriláteros, cuadriláteros inscritos y circunscritos, ecuaciones con una incógnita, polígonos regulares, tangen­tes, problemas de primer grado. En todo el libro se destaca el papel asignado a los vectores. "Las operaciones vectoriales son más fácilmen­te asimiladas por los alumnos. Ya no es nece­sario' defender la causa del cálculo vectorial. Está causa ya está ganada." "Los colegas que dudan son cada vez menos y una única tenta­tiva leal los traerá a nuestras filas." Se insiste en la ejercitación abundante y se advierte que es absolutamente necesario dar ejercicios de fácil comprensión sobre simetría y vectores. Se proponen ejercicios de demostración y otros de exámenes finales.

El texto de 3? es el final del primer ciclo y preparatorio para el segundo. "Las nociones de álgebra moderna (conjuntos, aplicaciones...) se relacionan con cuestiones de lógica elemen­tal, con condiciones de equvalencia y con lu­gares geométricos." Luego de una serie de temas se vuelve a los vectores, nociones de trigonometría, ecuaciones con varias incógni­tas, nociones de geometría analítica, variación de funciones, áreas de figuras poligona'es—re­salta aquí la inconveniencia de haber desig­nado como polígono lo que es su contorno, pues por área del rectángulo,' por ejemplo, se entiende el área del dominio o superficie plana por él limitada—, área de figuras circulares —vuelve a repetirse la contradicción antes se­ñalada, esto es, el círcjlo —línea— tiene área—, movimiento uniforme, problemas algebraicos y cuestiones de geometría del espacio. Todo ello con la misma abundante ejercitación de los otros textos y el empleo de tablas.

De la ojeada de estos textos surge f'exió.i final: si el estudiante francés termina su primer ciclo a los 15 años con todo este bagaje de conocimientos, debemos rendirle nuestro homenaje, porque entendemos que es mucho más de lo que suele hccerse entre ctros. Justamente, este extenso comentario tie­ne como objeto ser un toque de atención por lo que so hace en otras .partes del. mundo en este campo de la educación.

•Cumple agregar que. muchas sugerencias

y la acción en la enseñanza de la geometría intuitiva". Ya hemos expresado nuestra admi­ración por la forma atrayente con que la profesora italiana aborda estos temas, reve­ladora de una experiencia didáctica original y fecunda. E. Castelnuovo —como es sabido- preconiza un método "constructivo", no mera­mente "descriptivo", en la enseñanza de ’lü geometría intuitiva. Pues bien, la lectura del trabajo da cabal idea del sentido que atri­buye al término "constructivo", mostrahdo comparativamente en diversos temas su dife­rencia con lo tradicional. Ocasionalmente, hemos recomendado su consulta; ahora vol­vemos a hacerlo. Son muchas las sugest.iofies para el decente interesado en estas cuestio­nes' Sobre todo es esclarecedor.

La segunda sección se consagra al filme matemático; se suceden los nombres de reali­zadores conocidos en este campo-. J. L. Nicólét ("Intuición matemática y dibujos animados")/ T. J. Fletcher ("Los problemas del filme mate­mático") y L. Motard ("Las técnicas del dibujo animado matemático"/; Gattsgno cierra la sección con un comentario basedo en su pro­pia experienc.a sobre "La enseñanza por e! filme matemático".

!Alian LYTEL, ABC's of Boolean Algebra. Ed.-

H. W. SAMS; Indianapolis, '-963. W. FOUL- SHAM, Slough, 1954.

En sólo poco más de cien páginas, muy bien impresas e ilustradas con claras y nume­rosas figuras, el autor —a qu<en se deben otros textos similares sobre computadoras, programación, motores eléctricos y generado­res— se propone ofrecer a los ingenieros que deseen entender y saber trazar circuitos repre­sentativos de funciones lógicas, a los técnicos electrónicos que aún sean neófitos en la ló­gica de las computadoras, a los estudiantes y a los legos que se interesen por esos asun­tos, las nociones del cálculo proposicional y del cálculo de clases que se requieren para conocer el fundamento de las oplicaciones téc­nicas del Algebra de Boole. Para ello se vale de cuadros comparativos que muestran fas semejanzas y las diferencias de las operacio­nes de esa álgebra con las correspondientes de la ordinaria o clásica. Logrado ese pro­pósito, en forma más práctica que rigurosa, presenta los distintos tipos de circuitos que se utilizan en la electrónica. También se ocupa de la numeración binaria y su intervención en los circuitos que se emplean en los con­tadores.

En nuestras columnas se acaba de exponer esta teoría matemática considerada como "el lenguaje de los sistemas digitales de hoy día"; la lectura del ABC que comentamos muestra claramente su importancia práctica. Aconse­jamos su consulta a quienes se interesen por estes temas.

minada a menos que sea un prodigio". Mos­trando, una notable coincidencia con otros integrantes del grupo lenovador, añade que "el desarrollo histórico de la cultera, aunque tenga algo que aportar a nuestra compren­sión del momento presente, tal vez sea abso­lutamente extraño a lo que es o sería capaz de lograr el espíritu, solicitado de manera nueva". Más aún: "Un deterninismo rígido en exceso, ayudado por un historicismo algo sentimental, puede hacernos caer en e! peli­gro de ignorar continentes enteros potencial­mente presentes en nuestro universo mental".

W. Serváis trata luego "el problema de las relaciones entre lo concreto y lo abstracto". Esto le permite extenderse sobre la ¡dea de la abstracción, cuya posesión es requerida

enseñanza como la de la matemá-

Son contados los docentes que en el mun­do se ayudan con oelículas cinematog-'áficas para enseñar nuestra asignatura —lo reconoce el mismo Gattegno—; no sabemos de nadie que lo haga en nuestro país. Indudablemente es material de disponibilidad muy restringida. Las experiencias son escasas y "corren el ries­go de no convencer a nadie". Pero, aún sin compartir plenamente el optimismo ajeno, no podemos negar que "en la dinamización de la enseñanza hay un lugar para este mate­rial" que puede llegar a ser muy útil. El entu­siasmo de sus pioneros merece que se los atienda y conozca debidamente. En el libro se consignan películas recomendadas sobre temas de matemática.

La tercera sección se dedica al material didáctico conocido como "modelos". L. Cqm- pedelli se ocupa de los "modelos geométri­cos"; parte de la "génesis" y el "sigiificad.o" de este material que luegD analiza para dis­tintos niveles de enseñanza. A. Biguenet des­cribe les "modelos animados para la ense­ñanza de la geometría": planchas plásticas deslizables, sistemas articulados tipo "rnecca- no". J. W. Peskett expone "Métodos de fabri­cación de modelos y materiales necesarias"

f

por un.atica, basada en símbolos y modelos. Así se ocupa primero de su naturaleza y posibilidad según distintas posturas filosóficas y matemá­ticas, y luego pasa revista a la abs*racción espontánea, el apoyo concreto de les símbolos la abstracción conceptual y la abstracción axiomática. Y excluye: "La abstracción nc se extrae simplemente de aquellas cosas pre­sentes a nuestro conocimiento, sin importar el nivel a que estén. Es, a fin de cuentas, la toma.,de conciencia, en esta actividad, de ciertas, permanencias independientes de las contingencias que ya son indiferentes, puesto que se las desecha, bien espontáneamente, bien deliberadamente". .

C. GATTEGNO y otros. El material para la enseñanza de las matemáticas. AG'JILAR, Madrid, 1964,una re-

!Tuvimos hace poco —véase ELEMENTOS,

año I, pág. 153— oportunidad de ocuparnos de otra publicación semejante.- ae la CIEMEM También en ésta que hoy comentamos se han reunido contribuciones de destacados especia­listas en trabajes que se han agrupado en tres secciones, precedidas por un ilustrativo prólogo escrito por la misma Comisión para orientar al lector.

nos-f

Si las contribuciones anteriores apuntan a la fundamentación de una didáctica, la cola­boración de E. Castelnuovo desarrolla un aspecto concreto de osa didáctica: "El objeto (Sigue en la pág. *SóJ

- 83 -- 82 -

JI

Correo de ELEMENTOSEditores

José Banfi — Alfredo B. Besiocional celebrada en Atenas (Grecia) en viembre del año pasado. Esta publicación es la cuarta de la serie que sobre la enseñanza de la matemática moderna edita la referida organización europea por medio de su Direc­ción de Asuntos Científicos. Más adelante ha­bremos de ocuparnos también sobre el des­arrollo y las conclusiones de esta importante reunión internacional, a la que acudieron re­presentantes de Grecia, Alemania, Bélgica, Noruega, Estados Unidos, Francia, España, Islandia, Holanda, Turquía, Canadá, Lcxem- burgo, Suiza, Suecia, Dinamarca, Austria, Por­tugal, Irlanda, Gran Bretaña e Italia.

7. Convocado por NSF/AID, se acaba de reunir, en Río de Janeiro, entre el 30 de noviembre y el 2 de diciembre, el grupo con­sultivo integrado por Oscar ABUAUAD, Ber­nardo ALFARO S , José BABINI, Alfredo PE- REIRA GOMEZ, Carlos IMAZ J., Burton W. JONES, Rafael LAGUARDIA, Marshal! H. STONE y José TOLA P., para estudiar diver­sas cuestiones relacionadas con la enseñanza de la matemática en América Latina. Hubo acuerdo en la conveniencia de actualizar los programas de matemática de enseñanza me­dia, adoptando medidas para que los cam­bios y modificaciones se realicen por etapas facilitando así la adaptación del profesorado, cuyo perfeccionamiento es parte esencial de la tarea. Se recomienda poner en práctica a la mayor brevedad lo acordado en México en marzo de 1963, referente a la edición de monografías sobre temas de matemática mo­derna. Asimismo se sugiere la preparación de cortos fascículos sobre nuevos tratamientos de algunos puntos de los programas, la ela­boración de textos actualizados para- los alumnos y la edición de un boletín informa­tivo latinoamericano sobre actividades y pu­blicaciones tendientes a mejorar la enseñanza de la asignatura. Aunque en esta oportu­nidad "se recuerda que actualmente el GEEM de Sao Paulo edita un boletín informativo que, convenientemente ampliado, podría plir esa finalidad", los editores de ELEMENTOS advertimos complacidos que la necesidad de órganos periódicos de información sigue sien­do reconocida en las recniones internaciona­les de especialistas.

1. Con fecha 15 de diciembre, el Ministerio de Educación y Justicia de la Nación ha re­suelto "crear la COMISION NACIONAL PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA, con el objeto de llevar a la práctica las recomenda­ciones de la Primera Conferencia Interameri- cana sobre Educación Matemática". Estará integrada por Luis A. SANTALO, Alberto GON­ZALEZ DOMINGUEZ, José BABINI, Oscar VARSAVSKY, Mario A. CASTAGNINO, Celina REPETTO, Roberto P. J. HERNANDEZ, Hellmut R. VÓLKER y Atilio PIAÑA, además de los re­presentantes que designen la Facultad de Ingeniería, el Consejo Nacional de Educación Técnica y el Servicio Nacional de la Ense­ñanza Privada.

2. El Consejo de Edccación de San Luis dispuso la difusión de las nuevas concepcio­nes sobre la enseñanza de la matemática, organizando una serie de charlas que estu­vieron a cargo de las profesoras Irma Bustos, Nidia Sosa, Emma Flores y Dora Lopresti, concurrentes al curso de enero último en esa misma provincia.

3. La profesora María Z. Larrea ha publi­cado, con el auspicio del Colegio Nacional de La Plata, una síntesis del desarrollo del último curso de perfeccionamiento de San Luis.

no-

Fernández Blanco 2045 Buenos Aires (Argentina)

No podemos evitar referirnos nuevamente a la difícil situación económica de la Revista. Necesitamos urgentemente aumentar el núme­ro de suscriptores. De no lograrlo, tendremos que dejar de publicarla, porque los gastos su­peran considerablemente a los recursos. Nues­tros colegas, los profesores de matemática argentinos, tienen en sus manos la posibilidad de evitar la desaparición de una publicación —la única en su género en Hispanoamérica— dedicada específicamente a su quehacer coti­diano, que procura mantenerlos al corriente de las novedades en ese campo y aspira a convertirse en el vehículo de sus opiniones e inquietudes. Pese a la aparente evidencia, nos negamos a admitir su indiferencia profesional.

Habíamos anunciado para este número "Una presentación actualizada del cálculo de lon­gitudes, áreas y volúmenes". Lamentables ra­zones de espacio nos impidieron incluir esta colaboración del licenciado H. Merklen,- que­da, pues, para el próximo.

Recogemos las opiniones del profesor Al­fredo S. LARA (Santos Lugares, B. A.):

"Temas como "El álgebra de Boole" no son convenientes para una revista de apari­ción tan espaciada. Creo que muchos lectores hubieran preferido que se editara un folleto sobre el mismo, y el autor, el siempre ¡oven profesor Jaime, también hubiera podido tener la oportunidad de extenderse más ampliamen­te, valorizando más su valioso trabajo".

"Si bien la reforma de los planes de estudio merece nuestra atención y es necesario ganar adeptos a la reforma entre el profesorado, ¿no creen que los profesores en ejercicio ne­cesitan una guía para desarrollar los temas actuales? (¡Y en qué forma la necesitan!). Mu­chos son solamente maestros, otros técnicos y algunos ingenieros sin ninguna preparación docente. Estimo que, aun en los temas más conocidos, ellos necesitan una orientación so­bre el enfoque y amplitud con que deben tra­

tarse. Recuerden que en muchísimas escuelas los "DEP. de MAT." no tienen existencia real, y que los regentes de estudio apenas pueden cumplir las tareas administrativas".

Contestamos:

"Compartimos plenamente su opinión acer­ca de la colaboración del profesor Jaime,- ne­cesitamos aclararle que le solicitamos ese tra­bajo a nuestro ex-profesor del Instituto por­que estábamos convencidos de la convenien­cia de su difusión a ámbitos más extensos que los de los cursos en que lo expuse. Seguimos creyéndolo así y además entendemos que en el año del centenario de la muerte de George Boole debíamos a nuestros lectores una ex­posición didáctica y accesible sobre un tema que los profesores secundarios de matemá­tica no pueden dejar de conocer, dada su enorme trascendencia actual “como muy bien lo expresa Santaló en la nota bibliográfica reproducida en el N9 3 de !a Revista—. Su aparición en ELEMENTOS no ha excluido su posible publicación en otra forma; pero nos parece que el profesor Jaime no había pen­sado hacerlo, por lo que de esa manera ha dejado de permanecer inédito y ha podido ser conocido más ampliamente".

"En cuanto a la segunda parte de sus su­gestiones, también concordamos con Ud. res­pecto de la insuficiencia profesional de algu­nos colegas. Sin pretender tener la clave de la solución, ELEMENTOS quiere contribuir al mejoramiento de nuestra escuela secundaria ayudando a sus profesores en su superación. Aunque su objetivo fundamental es el de in­formar sobre el movimiento mundial de reno­vación en la enseñanza de la asignatura —pa­ra "meditar sobre esa exigencia y capacitar­nos para enfrentarla"—, no queremos descui­dar el real momento presente ocupándonos de un futuro por materializarse; pero indu­dablemente deben ser los mismos lectores los

I

1

í

\

4. El día 6 de octubre, en el College de la Florence de Ginebra, el prestigioso mate­mático belga, George PAPY, reformador de la enseñanza de la matemática en su país y director del Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, dio dos clases experimentales ante un nutrido grupo de profesores suizos.

5. Desde el 8 hasta el 10 de octubre, se realizó en Villa Falconieri, Frascati, Italia, el "Seminario sobre las matemáticas en el in­greso a la Universidad. Situación actual y situación deseable", convocado por el "Cen­tro Europeo de Educación". Concurrieron de­legaciones de Alemania, Bélgica, Francia, Holanda e Italia, encabezadas por Heinrich Behncke, George Papy, André Lichnerowitz, L. Kuipers, E. A. Kjellberg Bo y Luigi Campe'- delli. También estuvieron presentes los

Icum-

fesores argentinos Cristina Verdaguer de Banfi y José Banfi, coeditor de ELEMENTOS.

6. La OCDE acaba de poner en circula­ción e! informe sobre la conferencia interna-

- 85 -- 84 -

f

los que deseen exponer los frutos de su expe­riencia docente y los que quieran trasmitir sus conocimientos matemáticos. Pceden tener la seguridad de que serán recibidos con todo agrado, porque la Revista no está al servicio de unos pocos; se la ha concebido con un espíritu altruista".

que planteen con precisión los temas que de­searían ver tratados. De otra manera corre­mos el riesgo de incurrir en repeticiones de cosas sabidas, insinuando una subestimación de los colegas que leen la Revista".

"Además, no debe olvidarse que las pági­nas de la Revista están abiertas para todos

ELEMENTOS debe continuarapareciendo.no lo olvide

"Materiales multiva'entes', esto es, materiales deliberadamente sirven para diversos Dos ejemplos ha escogido: el geoplano

(Viene de la pág. 83)

para alumnos comprendidos entre "4 y 94 años".

La penúltima colaboración se debe a P. Puig Adam y versa sobre "Modelos prepara­dos y modelos hechos". Destaca certeramente la. finalidad: "los modelos debieran traducir ("hechos") o suger¡<- ("preparados") ¡deas matemáticas, creando situaciones activas de aprendizaje '. Como la misión de los modelos es provocar la abstracción y la concreción, Puig Adam hace atinadas observaciones sobre estos dos actividades en el aprendizaje. Se refiere luego a la ventaja de los modelos "hechos" sobre los "preparados" y a la con­fección y uso de modelos en la escuela. Pero, la confección de modelos no debe hacer ol­vidar "la fuente más rica e instructiva de los modelos preparados, el ambiente externo, la vida misma". Describe así modelos insosoecha- dos "que saltan a la vista" una ventana, una falleba, una cortina enrollada, un juguete para armar mosaicos, un trozo de vidrio, desechos en general. Este artículo muestra la aptited didáctica que siempre se reconoció a su autor.

A Gattegno se debe un tercer artículo:

queusos.y las regletas. Huelga el comentario ante su autoridad consagrada. Como le preocupan las situaciones dinámicas, el material multiva- lente debe tender a provocarlas; describe de­talladamente cómo lograrlo en el diálogo- per­manente con las mentes más jóvenes de los alumnos. Acompaña al artículo una nómina bibliográfica sobre el tema, especialmente acerca del material Cuisenaire.

De Usted depende

Oportunamente elogiamos el esfuerzo edi­torial que supone la publicación de libros de esta clase. Hoy debemos reiterarlo y ampliar­lo, si se puede, porque, además la obra está muy bien ¡lustrada. Esta compilación es digno complemento de la ya citada. No tiene la misma densidad conceptual, es obvio, pero abunda en aspectos concretos de la labor docente y, lo que es más, orienta debida­mente en el empleo y el uso del material didáctico más en boga en la actualidad-

Esta obra fue recomendada en la circular 19/63; sería conveniente que también la tu­vieran en cuenta los que tienen a su cargo la formación de los futuros profesores. '

SugieraColaborer

Difúndala

i-jHEMOS RECIBIDO:¡ IMPORTANTEC. BRÉARD: Mothémotjques. Classts de 6«. (1963); Clames de 5*. (1962); Classes de 4° (1962); Classes

de 3e. (2962.1. l'ECOLE; París.C- B,R! :̂r Af>rIthmé,iclüe-A,9ébre- Classes de 5®., 4c. ef 3® Géomélrie. Classes de 5c, 4c. e» 3°.

L'ECOLE; París.C. BRÉARD: Mafhématíquos. Classes de 2c. A, B. (1961); Classes de 2®. A', C, M, M'. (1962); Classes

de le. A, B (1962;,- Classes de le. A', C, M, M'. (1962.. L'ÉCOLc- París L M' P- C * 8- " Á-^e. Gíométrie et Mó-

L LESblimé;JALE™:pc“fr964qUe!' M- P- C * Spécia,es B- Tome "* A"°^' S.o.b.inuo o. Pro-

^\n^ícN.NE: A,9ébr°- M- G- p- et Spéciales A. A. COLIN; París, 1964 J. NICOLLE: La symélrie. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1957.f' RnrTPioEup Lr n|G,)¡Se ma.,bémat^ue- PRESSEs UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1964 (5®. édiHon).

' TaS S, Tr - ÍESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1963 Í2e. éditían). -A DF AfH r |qT et theor.e des nombres. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1963.

* (5* édrtión) ‘ r'e C0,Cul ,ensorIel- PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1963

i'dbacm? robrcp;0mIe;;cRESSES ud“,taires de france'- p°^ 1953 (2e.M QUEYSANNE A DE ACHPT '“ u ’ RE5SES UNIVERS,TA'RpS DE FRANCE;. París, 1964.............

Q(5eY¿d!«on) ’ CHET' La!9ebro Pódeme. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1963

La elevación de los costos de imprenta, papel, grabados, etc., nos ha provocado una difícil situación que puede determinar que "ELEMENTOS" pueda dejar de aparecer. Pero han sido tantas las voces de aliento que hemos recibido desde nuestra aparición, que no vacilamos en recurrir a nuestros lectores en búsqueda de cola­boración.

.!

f

Si se consigue elevar el número de suscriptores —puesto que no queremos elevar el precio de la revista— el problema quedará re­suelto. Si Ud. es amigo de "ELEMENTOS" contribuirá seguramente a esta solución, consiguiendo suscriptores entre sus amigos.

LOS EDITORES

- 86 -

P I La velocidad del sonido parecía un limite extremo... Sin embargo la ciencia y la técnica, enL"“ un esfuerzo extra, lograron alcanzarlo y aún sobrepasarlo. Así se fueron superando las veloci­

dades MACH 1... MACH 2... ¡Siempre un Mach extra, cuando todo parece logrado!ESSO está presente en todas estas conquistas de la voluntad humana. ESSO contribuye con sus investigaciones, con los nuevos productos que crea y desarrolla: combustibles, lubrican-

t/v I PvM tes y servicios que se ejecutan mediante las más modernas instalaciones (tales como las recien­temente inauguradas en el Aeropuerto Internacional de Ezeiza). ESSO participa activamente en todas las^realizaciones del progreso y muy particularmente en el ámbito del transporte te­rrestre, marítimo, aéreo y... ¡sí, también en la conquista del espacio exterior!... ¡Para ESSO siempre hay algo extra por lograr!... Por eso, también...

MACH

en el transporte, ESSO es SERVICIO EXTRA

(ísso)INVESTIGANDO LAS EXIGENCIAS DEL MARAÑA ESSO SIRVE LAS NECESIDADES DE HOY