leyesdeexponentes
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8/6/2019 Leyesdeexponentes
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LEYES DE EXPONENTES Mathema
Prof.: Christiam Huertas R. www.xhuertas.blogspot.com 1
Historia del lgebraSabas que el lgebra que se estudia ensecundaria es muy antigua?Aqu encontrars algunos pasajes de suhistoria.
Desde el siglo XVII ANE los matemticosde Mesopotmia y de Babilonia ya saban
resolver ecuaciones de primero y segundogrado. Adems resolvan tambin, algunossistemas de ecuaciones con dos ecuacionesy dos incgnitas.
En el siglo XVI ANE los egipciosdesarrollaron un lgebra muy elementalque usaron para resolver problemascotidianos que tenan que ver con lareparticin de vveres, de cosechas y demateriales. Ya para entonces tenan unmtodo para resolver ecuaciones de primergrado que se llamaba el "mtodo de la falsaposicin". No tenan notacin simblica
pero utilizaron el jeroglfico hau (que quieredecir montn o pila) para designar laincgnita.
Alrededor del siglo I DNE los matemticoschinos escribieron el libro Jiu zhang suan
shu (que significa El Arte del clculo), en elque plantearon diversos mtodos pararesolver ecuaciones de primero y segundogrado, as como sistemas de dos ecuacionescon dos incgnitas. Con su baco (suan z)tenan la posibilidad de representarnmeros positivos y negativos.
En el siglo II, el matemtico griego
Nicmaco de Gerasa public su Introduccin a la Aritmtica y en ellaexpuso varias reglas para el buen uso de losnmeros.En el siglo III el matemtico griego Diofantode Alejandra public su Aritmtica en lacual, por primera vez en la historia de lasmatemticas griegas, se trataron de unaforma rigurosa no slo las ecuaciones deprimer grado, sino tambin las de segundo.Introdujo un simbolismo algebraico muyelemental al designar la incgnita con unsigno que es la primera slaba de la palabra
griega arithmos, que significa nmero. Losproblemas de lgebra que propusoprepararon el terreno de lo que siglos mstarde sera "la teora de ecuaciones". Apesar de lo rudimentario de su notacinsimblica y de lo poco elegantes que eranlos mtodos que usaba, se le puedeconsiderar como uno de los precursores dellgebra moderna.
En el siglo VII los hindes habandesarrollado ya las reglas algebraicasfundamentales para manejar nmerospositivos y negativos.Siglo IX. poca en la que trabaj elmatemtico y astrnomo musulmn Al-
Jwarizmi, cuyas obras fueronfundamentales para el conocimiento y el
desarrollo del lgebra. Al - Jwarizmiinvestig y escribi acerca de los nmeros,de los mtodos de clculo y de losprocedimientos algebraicos para resolverecuaciones y sistemas de ecuaciones. Sunombre latinizado dio origen a la palabraalgoritmo que, usada primero para referirsea los mtodos de clculos numricos enoposicin a los mtodos de clculo conbaco, adquiri finalmente su sentidoactual de"procedimientosistemtico declculo". En cuanto ala palabra lgebra,deriva del ttulo desu obra msimportante, quepresenta las reglasfundamentales dellgebra, Al-jabr wal muqabala.
En el siglo X vivi el gran algebristamusulmn Abu Kamil, quien continu lostrabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances enel lgebra seran aprovechados en el sigloXIII por el matemtico italiano Fibonacci.Durante este mismo siglo, el matemticomusulmn Abul Wafa al Bujzani, hizocomentarios sobre los trabajos de Diofantoy Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeosconocieron la Arithmetica de Diofanto.1202. Despus de viajar al norte de frica ya Oriente, donde aprendi el manejo delsistema de numeracin indoarbigo,
Leonardo de Pisa, mejor conocido comoFibonacci, public el Liber Abaci (Tratadodel baco) obra que en los siguientes tressiglos fue la fuente principal para todosaquellos estudiosos de la aritmtica y ellgebra.
En el siglo XV, el matemtico francsNicols Chuquet introdujo en Europaoccidental el uso de los nmeros negativos,introdujo adems una notacin exponencialmuy parecida a la que usamos hoy en da,en la cual se utilizan indistintamenteexponentes positivos o negativos.
En 1489 el matemtico alemn JohannWidmann dEger invent los smbolos "+"y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que asu vez eran las iniciales de las palabras piu(ms) y minus (menos) que se utilizabanpara expresar la suma y la resta.
En 1525, el matemtico alemn ChristophRudolff introdujo el smbolo de la razcuadrada que usamos hoy en da:Este smbolo era una forma estilizada de laletra r de radical o raz.
Entre 1545 y 1560, los matemticositalianos Girolamo Cardano y RafaelBombelli se dieron cuenta de que el uso delos nmeros imaginarios era indispensable
para poder resolver todas las ecuaciones desegundo, tercero y cuarto grado.
En 1557 el matemtico ingls RobertRecorde invent el smbolo de la igualdad,.
En 1591 el matemtico francs Franois
Vite desarroll una notacin algebraicamuy cmoda, representaba las incgnitascon vocales y las constantes conconsonantes.
En 1637 el matemtico francs RenDescartes fusion la geometra y el lgebrainventando la "geometra analtica". Inventla notacin algebraica moderna, en la cuallas constantes estn representadas por lasprimeras letras del alfabeto, , , , y las
variables o incgnitas por las ltimas, , ,. Introdujo tambin la notacinexponencial que usamos hoy en da.
PROBLEMAS
1. Al reducir la siguiente expresin4 3
2 2
2 3 2 2
4 ( 3) 12
( ) . .
. .
x x x
x x x; 0x , se obtiene nx .
Calcule el valor de 3+n .
Rpta: 12
2. Indique el exponente final de x en( 7 7 7
10 veces
. . . x x x )( 7 7 7
10 veces
+ + + x x x ).
Rpta: 77
3. Si 2=ba y 3=ab , reduzca.2 . .3
6( )
+ +a b a a b b
ab
a b
ab.
4. Si A =2.22.23. . .210 y B =3210, calcule
el valor de4
A
B.
Rpta: 8
5. Si 1+ =x y y 2=xy , halle el valor de( ) .( ) . ( )
y x y x x y x y x y x .
Rpta: 4
6. Halle el valor de 3 8+ x , si1
264
x
=1
28
+x
.
Rpta: 7
7. Si 2=xa , halle el valor de2 3 4
1
( ) ( )
( .2 )
+ + x x x
xx
a a a
a
.
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LEYES DE EXPONENTES Mathema
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8. Si ab = 2=bb . Reduzca 2( )
+
ab
b
ab
b
ab
b.
Rpta: 1
9. Si 2=xx , calcule el valor de1+x
xx .
Rpta: 4
Si 2=xx , determine el valor de ( )1
xx xxx
Rpta: 2
10.Si 22
=x
x , calcule el valor de2
( )xx
xx
Rpta: 2
11.Reduzca la expresin
{ }
1 22
( )( )
xx x
x xx si
0x .
Rpta: x
12.Si 2 =a b y 2 =b
a , calcule el valor de
aa bb +
222
2a
a+
1
ab .
Rpta: 3
13.Si 3+ =m n mn , halle el valor de8 8
2 2
m n
m n
n m
.
14.Simplifique la expresin
4 9 50 72 2 324. .2 18
+
.
15.Simplifique
23
27 3 9
27 . 3
.
16.Halle el valor de +a b , si se sabe quea a = 9 3 y b b = 4 2 .
Rpta: 43
17.Determine el exponente final de x en
3 4 8 2 3
3 2
. . .( )
( )
x x x x
x; 0>x .
18.Calcule
0,53 2 1
1 2 4
2 5 7
+ +
.
19.Reduzca la expresin
4 2
3
4. 4
2 .
Rpta: 8 7x
20.Reducir la expresinx x x x
x
21.Si7
8=x y ademsn
x
x = ( )x
nx , halleel valor 2n .
Rpta: 64
22. Si3x
x = 3 4 , calcule el valor de 6x .
Rpta: 4
23.Indique el valor de x en1
16xx = 0,5(0,5)
Rpta: 1/ 2
24.Si xx =50
1
10, calcule el valor de
1x + 1/ 2x .
Rpta: 110
25.Si . .n n nn n nn n n = 27 1327 , halle el valor
de 3 3 1n .
26.Simplifique las siguientes expresiones.
1 5 5 .2
555 5
5 5
+ +
+
n n
nn y
55
55 5 5
5
555
+
27.Al efectuar
{1 11 2 2
82 4 9
9 36 8 + + +
22 42
+
se obtiene
28. Simplifique1
1 ..
+
x x xx x x xx
x.
29.Si =n a b , simplifique2 1
1
.
+ +
+
n n
n n
b
a a
.
30.Si 6 20 30 34212 1+=n
nx x x x x x x , halleel valor de n .
31.Dar el valor reducido de2
2 1.
+
x
x x xxx
,
cuando 11=x .
32.Reduzca la expresin
( )2
21 1
1 .
+ +
x
x xxx
x xx x x .
33.Segn la condicin1
2
( 1)+
x
xx = x ,
calcule el valor de1
+xx
.
34.Calcule el valor de 3x , si se sabe que
( )
1 233
3
xx
= ( )
11 33
3
+x
.
35.Si1
2xx =1
2, donde
1
4x ; halle el valor
de 8x .Rpta: 1/2
36.Halle el valor de x en 9.12 x = 6x . Decmo respuesta el valor de 2x .
37.Calcule el valor aproximado de
30 30 306 6 6
+ + +
.
38.Calcule el valor aproximado de
34 3 8 2 2 2 .
Rpta: 2
39.Halle el valor de A si se sabe que3 3 3= + + + A E E E
24 24 24= E .
Rpta: 3
40.Si se cumple6
xx =1/ 2
2
2 y y = xy
yx ,
halle el valor de 4xy .
41.Dada la condicin 2xx = 11 x , halle
el valor de 1xxx x xx .
42.Encuentre el valor de x en:
2(3 2)+x =( 2 9+x )2
5 6+ x xx , si 1>x .