LEYES DEL MOVIMIENTO PLANETARIO

Aldo Emmanuel Valero

8 de Marzo de 2010

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Índice general Pág.

1-Introducción………………………………………………………………........... 3

2- Leyes de Kepler……………...…………………………………………………. 4

3- Deducción de la primera ley de Kepler………………………………………….4

4- Deducción de la segunda ley de Kepler…………………………………………11

5- Deducción de la tercera ley de Kepler…………………………………………..13

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1 Introducción

Johannes Kepler (1571-1630), astrónomo y filósofo alemán, enunció las tres leyes que llevan su nombre del movimiento planetario, apoyándose en la extensa cantidad de datos obtenidos durante sus años de observación de los planetas. Estas leyes se ajustaban de manera perfecta a la información astronómica obtenida por Kepler, pero carecían de una demostración matemática formal ya que para la época aun no se contaba aun con las leyes del movimiento en general, si bien ya había un avance grande en Física, faltaba resolver algunos problemas importantes como lo era esa fuerza misteriosa llamada Gravedad. No fue sino hasta que sir Isaac Newton publico unos de los documentos mas importantes de la historia de la ciencia, Principios matemáticos de la filosofía natural de 1687. En esta publicación estaban enunciadas las tres leyes del movimiento, las que ahora llamamos Leyes de Newton y la más importante y de un logro intelectual sin precedentes para la época, la Ley de gravedad o Ley de gravitación universal. Gracias a que ahora se contaba con una demostración matemática de la fuerza de gravedad y de la fuerza en si, Newton logro describir las leyes de Kepler de forma cuantitativa y dar un paso muy importante en la comprensión del Universo en el que vivimos.Hoy en día se sabe mucho más de la Gravedad de lo que Newton logro demostrar. El sabia perfectamente que las masas de atraían y que esa fuerza de atracción mantenía a los planetas en orbita alrededor del Sol y hasta encontró una ecuación matemática que describía dicha fuerza, la cual es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia que separaba a las masas (1/r2). Pero lo que Newton no lograba comprender era el por qué de dicha fuerza de gravedad, no había manera de explicarlo cualitativamente, físicamente, solo se tenia la ecuación, pero por qué existía esa fuerza, era un misterio hasta la llegada de Einstein el cual demostró la nueva y mas aceptada Ley de gravedad donde interviene lo que llamamos curvatura del espacio tiempo producida por objetos masivos como los planetas o el Sol.Ahora bien, este documento solo trata las Leyes de Kepler partiendo del uso de la segunda ley del movimiento de Newton y de la ley de gravitación universal. Las ecuaciones obtenidas a través de este análisis son muy precisas y explican el movimiento planetario de forma casi perfecta. Una de las falencias que se descubrieron en el estudio del movimiento planetario empleando la Física Clásica fue lo que hoy se conoce como precesión del perihelio del planeta Mercurio. Esta perturbación en la orbita de Mercurio de se debe a su proximidad al Sol en la cual la curvatura del espacio tiempo es muy notoria. Para este problema se hayo la solución en la teoría de la relatividad general de Einstein.Mencionamos esto ya que debe quedar claro que las Leyes de Kepler o las Leyes de Newton son precisas dentro de un cierto margen de aplicación y por lo tanto no son universales. Si bien esto es así, los trabajos de Newton, Kepler, Galileo, etc. son, en mi opinión, los más importantes en la historia de la ciencia, estos hombres encontraron una forma de describir el Universo y sentaron las bases del conocimiento científico para que luego los avances y la evolución de las observaciones sigan dando explicación al comportamiento de la naturaleza.

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2 Leyes de Kepler.

En el año 1596, Kepler publica Mysterium Cosmographicum, un trabajo en el cual demuestra la ventaja geométrica de la teoría copernicana y las leyes que llevan su nombre. Estas leyes del movimiento planetario se enuncian de la siguiente manera:

1. Un planeta gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica con el Sol ubicado en uno de los focos.

2. Una recta imaginaria que une al Sol con el planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales.

3. El cuadrado del periodo orbital del planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita.

3 Deducción de la primera ley

Ponemos como título deducción y no demostración porque queremos tratar de explicar el movimiento planetario teniendo en cuenta de que no sabemos nada acerca de su naturaleza. Luego haremos la comparación con las leyes de Kepler, afirmando su veracidad.Primero vamos a partir de la ley de gravitación universal de Newton ya que vamos a estudiar la interacción entre dos cuerpos, en este caso el Sol y un planeta cualquiera que orbita alrededor de el. Vamos a tener en cuenta que no existe interacción entre estos cuerpos con el resto de los objetos del Universo, dicho de otra manera que la fuerza de atracción producida por los demás objetos es despreciable.

Colocando cada término como corresponde definimos la fuerza de gravedad actuante sobre el planeta (y sobre el propio Sol) en forma escalar y en forma vectorial. Para ello consideramos el siguiente sistema de coordenadas donde el Sol esta ubicado en el origen, esto nos permitirá visualizar los vectores que entran en juego y definir la ecuación vectorial de la fuerza gravitatoria.

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Lo primero que puede llamar la atención es que usamos las tres dimensiones, o sea los ejes X, Y, Z. Esto es porque la finalidad de este trabajo es demostrar las leyes del movimiento haciendo de cuenta que no sabemos nada de cómo se mueven en realidad los astros. Por este motivo, aun no podemos afirmar si la orbita de un planeta es plana o no. ¿Por que lo planteo así? Por el simple hecho de sentir al menos una pequeña sensación de lo que pudo sentir Isaac Newton al aplicar sus leyes a los planetas y demostrar las de Kepler.En el grafico tenemos:

Ahora podemos escribir la fuerza de gravedad sobre el planeta en forma escalar y vectorial, esta última será multiplicando la fuerza escalar por el vector unitario negativo. Ordenando, tenemos:

La fuerza neta sobre el planeta es igual a esta última y a su vez es igual a la segunda ley del movimiento de Newton, igualando nos queda la aceleración actuante:

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Como podemos observar, la aceleración actuante es paralela al vector unitario y por lo tanto, también al vector posición.Teniendo en cuenta esto último, podemos demostrar que la orbita es una curva plana. Empezaremos por hacer la derivada del producto vectorial entre la aceleración y la velocidad del planeta, esto nos da la conclusión que buscamos:

Si el vector posición y el vector velocidad son multiplicados en forma vectorial, siempre dan el mismo valor (vector k). No importa en que posición de la orbita se encuentre el planeta, siempre el producto vectorial es el mismo, lo que nos indica que la curva descripta en su trayectoria es plana. Por lo tanto el planeta se mueve sobre un mismo plano a lo largo de todo su periodo orbital.

Nota:

La forma de entender esta demostración es conocer sobre Álgebra Vectorial. Como los vectores están contenidos en un mismo plano en todo momento, su producto vectorial dará un vector perpendicular a dicho plano. Si este último es constante quiere decir que tanto vector posición como vector velocidad, siempre están en el mismo plano y por ende la órbita es una curva plana.

Ecuación de la órbita:

Sabemos que: , trabajando esta ecuación obtenemos:

Multiplicamos (3) por el vector aceleración:

Considerando la regla del triple producto vectorial:

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A este producto también lo podemos escribir así:

Igualando estas dos formas vectoriales e integrando, tenemos:

Donde c es la constante de integración, mejor dicho, vector constante.Ahora bien, todas estas deducciones y trabajos matemáticos nos servirán para lo siguiente. Vamos a plantear un sistema de coordenadas X, Y, Z, O con el Sol en el origen y colocando al vector k alineado con el eje Z, el planeta describirá su órbita sobre el plano XY.

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En el grafico podemos observar que el resultado del producto vectorial esta en el mismo plano que , esto nos dice que el vector c debe ser coplanar (estar en el mismo

plano) con estos dos últimos. Entonces los tres quedan contenidos en el plano XY.Ahora bien, supongamos, como esta en el gráfico, al vector c alineado con el eje X en todo momento (recordemos que es constante). Como el vector posición r se desplaza en torno a O, formará un ángulo θ con el vector c.Con esta situación podemos intentar hallar una ecuación de la orbita si tenemos en cuenta que |r| y θ son las coordenadas polares de la curva en el plano XY con origen en O donde esta ubicado el Sol. El origen de los ángulos θ será el vector constante c que siempre esta ubicado en el eje X.Dicho esto, tomemos la ecuación (4) y multipliquémosla escalarmente en ambos miembros por el vector r

Dividamos numerador y denominador por Ms .G y ordenemos:

Finalmente aquí tenemos la ecuación de la orbita planetaria. Por lo que podemos ver corresponde a una sección cónica en coordenadas polares donde e es la excentricidad y d es la distancia desde el foco a la directriz:

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De las cónicas, sabemos que la única curva cerrada es la elipse, lo cual coincide con las observaciones del movimiento de los astros que mantienen un periodo y repiten sus posiciones en el cielo de acuerdo a este. Vale decir que la excentricidad de la elipse es menor a 1 y se aproxima a cero cuando la cónica tiende al círculo, lo cual implica que una órbita alargada posee una excentricidad cercana a 1 y una orbita casi circular tiene una excentricidad cerca de cero.Podemos agregar que la mayoría de los planetas del sistema solar tienen órbitas casi circulares, la Tierra por ejemplo, tiene e = 0.017 aproximadamente y ha variado a los largo de los milenios tomando valores de 0.000483 a 0.060791 en los últimos 5 millones de años. A estas variaciones se las suele relacionar como causantes (en parte) de los cambios en el clima global según la teoría de Milancovitch debida a las fluctuaciones de la radiación solar recibida.Por otro lado, el ejemplo mas común de orbitas con excentricidades cercanas a 1 son los cometas, generalmente poseen órbitas alargadas con grandes diferencias de distancia al Sol en afelio y perihelio. En la imagen siguiente tenemos algunos ejemplos de órbitas:

Ecuación canónica o en coordenadas cartesianas de la órbita.

Del el grafico anterior tenemos:

F: foco.P: punto de la curva considerado.l: recta directriz.d: distancia del foco a la directriz

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La ecuación de la cónica en coordenadas polares es:

La ecuación canónica de una elipse con origen en el centro de la misma es la siguiente:

Para dejar la ecuación (6) en función de los parámetros de la (5); hacemos lo siguiente:

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Como el origen de coordenadas esta en uno de los focos de la elipse, la ecuación (7) presenta un desplazamiento h sobre el eje X igual a la distancia entre focos sobre dos.Finalmente hemos demostrado la primera ley de Kepler confirmando que:

Un planeta gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica con el Sol ubicado en uno de los focos.

4 Deducción de la segunda ley.

Concebido ya que los planetas orbitan en curvas elípticas alrededor del Sol, vamos a determinar una segunda consecuencia importante, la cual nos llevara a demostrar la segunda ley de Kepler.Supongamos que un planeta orbita alrededor del Sol y que pasa de la posición P a la posición P’ barriendo un ángulo elemental dθ en un tiempo dt.

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Aproximando el sector elíptico elemental a un triangulo, tenemos que su área es:

La velocidad del sector es:

Descomponiendo el vector velocidad respecto a r, tenemos:

Reemplazando (9) en (8) queda:

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El momento angular del planeta viene dado por:

En forma escalar el momento angular vale:

Reemplazando (11) en (10), resulta:

Esta última ecuación afirma la segunda ley de Kepler que nos dice que la velocidad del sector es constante:

Una recta imaginaria que une al Sol con el planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales.

5 Deducción de la tercera ley.

La tercera ley de Kepler del movimiento planetario nos da una relación entre el periodo orbital y el semieje mayor de la elipse. Para encontrar dicha relación, tengamos en cuenta lo deducido hasta ahora:Sabemos que Vimos que:

El área total la obtendremos integrando desde un tiempo igual a cero hasta un tiempo igual al periodo orbital T. Sabemos a demás que el área de una elipse es igual a A = π a b, de manera que:

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El área barrida en un periodo completo es el área total encerrada en la elipse, entonces:

Ahora debemos encontrar el valor de k para dejar el periodo en función de parámetros más manejables.De la deducción de la ecuación de la orbita, sabemos que:

Esta última ecuación nos da la tercera ley de Kepler:

El cuadrado del periodo orbital del planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita e independiente de la excentricidad de la misma.

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