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Ley de Propagación del Error

- Ejemplos -

Planteo del problema:

2

MEDICIONES ELÉCTRICAS IDepartamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica

Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata

EI

A

Medida Directa Medida Indirecta

EI

A

VR

¿Cual será el error máximo en la medida de R?

I I Em limA

= ±I I Em limA

= ±

U U Em limV

= ±𝑅 =

𝑈𝑚

𝐼𝑚

• Se mide I directamente: • Se miden U e I de forma directa y con ellosse saca R:

Ley de propagación del error

3



• La deducción de la ley de propagación del error esta basada en la serie de Taylor.

Ejemplo: Serie de Taylor para una función f(x) entorno a un punto “a”

(Permite estimar el error de una medida indirecta)

• La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una

función en un punto “x” en términos del valor de la función en otro punto “a” y de sus

derivadas en ese punto “a”.

Donde :n! es el factorial de n

es la enésima derivada de f en el punto a.

Función exponencial

Ejemplo:

Serie de Taylor para valores de “a” entorno al punto 0, con n=3

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥 𝑎

𝑥 − 𝑎 +1

2 𝑑𝑓2 𝑥

𝑑𝑥2 𝑎

(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +1

𝑛! 𝑑𝑓𝑛 𝑥

𝑑𝑥𝑛 𝑎

(𝑥 − 𝑎)𝑛

𝑑𝑓𝑛 𝑥

𝑑𝑥𝑛 𝑎


4



(Permite estimar el error de una medida indirecta)

Supóngase que se tiene una función w = f(u). Considere que la variable “u” se

mide y se obtiene un valor medido “um” que es una aproximación del verdadero

valor de u (“uv”).

Por lo tanto, como um y uv son valores próximos se podría aplicar la serie de

Taylor, entonces:

𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 +1

2 𝑑𝑓2 𝑢

𝑑𝑢2 𝑢𝑚

(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )2 + ⋯ +1

𝑛! 𝑑𝑓𝑛 𝑢

𝑑𝑢𝑛 𝑢𝑚

(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )𝑛

Luego, si es pequeño, entonces es aún más pequeño.

Si se desprecian los términos de 2do orden y superior se tendría:

𝑓 𝑢𝑚 − 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑑𝑓 𝑢

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝑢𝑚 − 𝑢𝑣

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑤 = 𝑑𝑓 𝑢

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢

𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 2

𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 +𝑑𝑓 𝑢

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝑢𝑣 − 𝑢𝑚

Expresión general de la ley de propagación del error

para una función de una variable


5



w f u v ( , )

De manera similar, si W es función de dos variables:

𝑓 𝑢𝑣 , 𝑣𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 , 𝑣𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣

𝑑𝑣 𝑣𝑚

𝑣𝑣 − 𝑣𝑚

+1

2 𝑑𝑓2 𝑢, 𝑣

𝑑𝑢2 𝑢𝑚

(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )2 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝑑𝑓 𝑢, 𝑣

𝑑𝑣 𝑣𝑚

(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )(𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 ) + 𝑑𝑓2 𝑢, 𝑣

𝑑𝑣2 𝑢𝑚

(𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 )2 + ⋯

La serie de Taylor sería:

Y despreciando los términos de segundo orden y superior se tiene:

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = 𝜕𝑊

𝜕𝑢 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢 + 𝜕𝑊

𝜕𝑣 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑣

Expresión general de la ley de propagación del error para funciones de dos variables


6



Si se aplica para propagar errores donde se conozca el signo de cada uno de

ellos, tanto los errores como las derivadas parciales se escriben con el signo

correspondiente. (Tal cual la expresión general de la transparencia anterior)

Si se aplica para propagar errores donde no se conozca su signo (por ejemplo

para propagar errores límite de instrumentos), se puede adoptar un criterio

pesimista usando las derivadas y los errores en módulo, quedando la expresión

de la siguiente forma:

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = 𝜕𝑊





±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = ± 𝜕𝑊






7



Ejemplo 1:

Se quiere medir la superficie “S” de una placa calefactora cuyas dimensiones

verdaderas son 200 mm de ancho y 100 mm de largo.

Un operario usa una regla y obtiene un valor medido para el ancho de 201 mm y

para el largo de 99 mm. ¿Cuál sería el error en la medida de la superficie?

S

Ancho (a)

Largo (l)

Solución sin usar la ley de

propagación del error𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑎𝑣 = 200 𝑚𝑚

𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = 201 𝑚𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 = 𝑎𝑚 − 𝑎𝑣 = +1 𝑚𝑚

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑙𝑣 = 100 𝑚𝑚

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = 99 𝑚𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙 = 𝑙𝑚 − 𝑙𝑣 = −1 𝑚𝑚

𝑆𝑣 = 𝑎𝑣 . 𝑙𝑣 = 20000 𝑚𝑚2

𝑆𝑚 = 𝑎𝑚 . 𝑙𝑚 = 19899 𝑚𝑚2

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = 𝑆𝑚 − 𝑆𝑣 = −101 𝑚𝑚2

Veamos si llegamos a este mismo resultado aplicando la ley de propagación


8



Ejemplo 1:

S

Ancho (a)

Largo (l)

Solución usando la ley de propagación del error𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑎𝑣 = 200 𝑚𝑚

𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = 201 𝑚𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 = 𝑎𝑚 − 𝑎𝑣 = +1 𝑚𝑚

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑙𝑣 = 100 𝑚𝑚

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = 99 𝑚𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙 = 𝑙𝑚 − 𝑙𝑣 = −1 𝑚𝑚

Comentario:En lugar de dar -101mm2 dio -102mm2

La diferencia se debe a que en la deducción de la ley de propagación del error se

despreciaron términos de la serie de Taylor.La diferencia es mínima por lo que no

invalida su uso.

𝑆 = 𝑎 . 𝑙

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = 𝑙𝑚 . 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝑎𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = 99𝑚𝑚 . +1𝑚𝑚 + 201𝑚𝑚 . (−1𝑚𝑚)

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = −102 𝑚𝑚2

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = 𝜕𝑆

𝜕𝑎 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝜕𝑆

𝜕𝑙 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙


9



Ejemplo 2:

Se quiere medir la misma superficie “S” de una placa calefactora pero ahora los

datos son:

Ancho medido 201 mm ± 1 mm

Largo medido 99 mm ± 1 mm

¿Cuál sería la superficie y el error en la medida de la superficie?

S

Ancho (a)

Largo (l)

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = (99 ± 1) 𝑚𝑚

𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = (201 ± 1)𝑚𝑚

Solución usando la ley de propagación del error

𝑆 = 𝑎 . 𝑙

±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = ± 99𝑚𝑚 . 1𝑚𝑚 + 201𝑚𝑚 . 1𝑚𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = ±300 𝑚𝑚2

𝑆 = (19899 ± 300) 𝑚𝑚2

±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = ± 𝜕𝑆

𝜕𝑎 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝜕𝑆

𝜕𝑙 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙

Clasificación de los Errores

- Ejemplos -


11



Groseros Sistemáticos Accidentaleso fortuitos

Clasificación de los errores

Errores Groseros:

Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación

fallida de la medición.

Errores Sistemáticos:

Son aquellos que se repiten en magnitud y signo en una serie de

mediciones equivalentes (en igualdad de condiciones). Son desafectables

del resultado, bajo ciertas condiciones.

Errores Accidentales:

Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo

sino que siguen leyes del azar. Se los suele llamar residuales. No se

pueden desafectar del resultado.

Resumen de cómo tratar errores

12





Se deben detectar y eliminar.

De ser posible se deben determinar y

desafectar de la medida usando

alguna corrección.

De no ser posible desafectarlos

contribuirán a la incertidumbre.

Se deben estimar y

considerar en la

incertidumbre.

Entonces una medición tendrá esta forma general:

Valor medido + Corrección ± Incertidumbre

(por errores sistemáticos)

(por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos

por falta de alguna información)


13



Ejemplos:

Groseros

Método

Instrumento

Tendencia del Operador

Condiciones ambientales

Sistemáticos

Paralaje

Poder separador del ojo

Apreciación

Accidentales o fortuitos


•Transposición de cifras: 21.5 25.1

•Leer en escalas incorrectas

•Utilizar fórmula inapropiada

•No efectuar el ajuste del cero mecánico o infinito previo a la medición

Inserción

Error sistemático de inserción

14



E=300V

R1=2000 R1

R2

Veamos un ejemplo: Se quiere medir la caída de tensión en R2

R2=2000

𝑉2 = 𝐼 𝑅2 =𝐸

(𝑅1 + 𝑅2)𝑅2 = 150 𝑉

Podríamos decir que V2 es el valor verdadero

de la magnitud que queremos medir.

𝑉𝑣 = 𝑉2 = 150 𝑉

I

Es el error que se produce al incorporar un instrumento en un circuito, producto de

su resistencia interna (o impedancia), que modifica el circuito original que se quiso

medir.


15



E=300V

R1=2000

R2=2000

Supongamos que usamos un voltímetro

cuya resistencia interna (Rv) es 2000 Ω.

Entonces (si el instrumento fuera exacto) la

tensión medida será:

I

V Rv=2000

1000 1003000

med

EV V

VVVVVE vmedinserciónabs 50150100

33,0150

50

V

V

V

Ee

V

inserciónabs%33100.

V

inserciónabs

V

Ee

Cuanto más resistencia interna tenga el voltímetro menos error de inserción.


16



E=300VR=100

Veamos otro ejemplo: Se quiere medir la corriente en el siguiente circuito:

Podríamos decir que el valor verdadero de la

magnitud que queremos medir es 3A.

I

𝐼 =𝐸

𝑅=

300𝑉

100Ω= 3𝐴


17



E=300VR=100

I

Supongamos que usamos un amperímetro

cuya resistencia interna (RA) es 0,5 Ω.

Entonces (si el instrumento fuera exacto) la

corriente medida será:

A

𝐼 =𝐸

𝑅 + 𝑅𝐴=

300𝑉

100Ω + 0,5Ω= 2,985𝐴

AAAIIE vmedabs 0149,03985,2

0049,03

0149,0

A

A

I

Ee

V

inserciónabs%49,0100.

V

inserciónabs

I

Ee

Cuanto menos resistencia interna tenga el amperímetro menos error de inserción.


18



¿Cómo determinar las resistencias internas de los instrumentos a partir de los consumos específicos?

AA

A

2

AA

A

AA IR

I

IR

I

Pp

V

A

v

v

v U

R

pVS

1

V

V

2

VV

2

V

V

VV

R

U

RU

U

U

Pp Alcance

Potenciap

Consumo específico


19



Existen técnicas para “eliminar” el error de inserción: LA TECNICA DE OPOSICION

La técnica de oposición permite construir por ejemplo un voltímetro de

resistencia interna “infinita”

• Se varía la resistencia variable

hasta lograr que el galvanómetro

indique cero.

• Cuando eso ocurra el potencial

del punto A es igual al potencial del

punto B.

•Entonces, el voltímetro indica la

tensión en R2 pero sin tomar

corriente del circuito que se quiere

medir sino de la fuente auxiliar, no

cometiendo error de inserción.

Ig = 0

-

V+

G

E=300V

I

R variable

Iaux

Fuente

auxiliar

+

-

R1=2000

R2=2000

AB


20



Existen técnicas para “eliminar” el error de inserción: LA TECNICA DE OPOSICION

La técnica de oposición permite construir por ejemplo un amperímetro de

resistencia interna “nula”

• Se varía la resistencia variable hasta lograr

que el galvanómetro indique cero.

• Cuando eso ocurra el punto A está al mismo

potencial que B (como si no se hubiese

conectado ningún amperímetro allí). Entonces:

• Esto quiere decir que la caída de tensión en el

amperímetro (I x RA) se igualó a una subida de

tensión en Rp producto de la presencia de Iaux.

• Entonces la corriente I se mide en el

amperímetro sin cometer error de inserción.Fuente auxiliar

RA

Ig = 0

E=300VR=100

I

+

G

-

ARP

R variable

II

I

Iaux

A B

𝐼 𝑅𝐴 + 𝐼𝑅𝑝 − 𝐼𝑎𝑢𝑥 𝑅𝑝 = 0𝑉

AAAIIE vmedabs 0149,03985,2

0049,03

0149,0

A

A

V

Ee

V

inserciónabs%49,0100.

V

inserciónabs

V

Ee

Error sistemático de método

21



a) Método Corto

b)Método Largo

Veamos un ejemplo: Se quiere medir la resistencia Rx con un voltímetro y un

amperímetro. Existen dos alternativas:

Es el error que se produce de acuerdo a donde se conecten los instrumentos que

se usen.


22



a) Método Corto

E R

mA

V I I Im v r

R Rm

Es el valor verdadero

Es el valor

medido

Ir

Iv

Im

𝑅 =𝑈𝑟

𝐼𝑟

𝑈𝑚 = 𝑈𝑟

𝑅𝑚 =𝑈𝑚

𝐼𝑚=

𝑈𝑟

𝐼𝑟 + 𝐼𝑣

Ur


23



a) Método LargoEs el valor verdadero

Es el valor

medidoIm

E R

mA

V IrIv I Im r

R Rm

𝑅 =𝑈𝑟

𝐼𝑟

𝑅𝑚 =𝑈𝑚

𝐼𝑚=

𝑈𝑟 + 𝑈𝑎

𝐼𝑟

Ur

U U I R m r a m


24



a) Método CortoE R

mA

V IrIv

Im

vr

rm

II

UR

r

r

I

UR

m

v

mr

vr

vrr

vrrrrr

r

r

vr

rmcortométodoabs

I

IR

II

IU

III

IUIUUI

I

U

II

URRE

)(

m

v

m

vcortométodoabs

I

I

R

R

I

I

R

Ee

v

m

r

r

m

vcortométodoabs

R

R

U

U

I

I

R

Ee

v

mmcortométodoabs

m

cortométodoabs

R

RReE

R

Ee

2

O bien:

Rv = Resistencia del voltímetro

25



Error sistemático de métodoa) Método Largo

Im

E R

mA

V IrIv

a

r

arm RR

I

UUR

𝑒 =𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

𝑅=

𝑅𝑎

𝑅𝑚 − 𝑅𝑎=

1

𝑅𝑚

𝑅𝑎− 1

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 𝑅 + 𝑅𝑎 − 𝑅 = 𝑅𝑎

26



¿Que método conviene?

RmRo

v

m

R

R

sce

1R

R

1e

a

msl

R R Ro a v

e

Error del instrumento

27


Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata.

Condiciones:

• Temperatura ambiente constante,llamada de calibración (20 a 25ºC)

• Reducción de campos magnéticosexternos

• Posición normal de trabajo• cc ó c.a (sinusoidal, 50 Hz) según

corresponda.• Permanencia de las lecturas • Constancia del cero• Relación de exactitud (RE) > 3:1

Se puede estimar el error de un instrumento con un gráfico llamado “quebrada

de calibración” que surge de un ensayo en el cual se compararon las lecturas

de ese instrumento con otro que actúa como elemento patrón.

Circuito para estimar el error de un amperímetro:

AcAp

RU

𝑅𝐸 =𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑐

𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑝

Es el error del propio instrumento (también se lo llama intrínseco).


28



Condiciones:

• Temperatura ambiente constante,llamada de calibración (20 a 25ºC).

• Reducción de campos magnéticosexternos.

• Posición normal de trabajo.• cc ó c.a (sinusoidal, 50 Hz) según

corresponda.• Permanencia de las lecturas • Constancia del cero• Relación de exactitud (RE) > 3:1

Se puede estimar el error de un instrumento con un gráfico llamado “quebrada

de calibración” que surge de un ensayo en el cual se compararon las lecturas

de ese instrumento con otro que actúa como elemento patrón.

Circuito para estimar el error de un voltímetro:

Vp

UR

Vc

𝑅𝐸 =𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑐

𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑝


29



Construcción de la quebrada de calibración. Se toman valores de Vp y Vc y se

los compara:

Vc [V]

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

Vp [V]

9,98

20,05

31,02

39,50

51,80

59,00

69,70

81,10

89,50

99,60

110,95

119,95

129,20

140,80

148,75

Eabs inst [V]

0,02

-0,05

-1,02

0,50

-1,80

1,00

0,30

-1,10

0,50

0,40

-0,95

0,05

0,80

-0,80

1,25

Cr [V]

-0,02

0,05

1,02

-0,50

1,80

-1,00

-0,30

1,10

-0,50

-0,40

0,95

-0,05

-0,80

0,80

-1,25

Ejemplo:

Vc es un IPBM de

alcance 150V

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑐 − 𝑉𝑝

𝐶𝑟 = − 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡

corrección

Se obtiene así una

corrección que se

puede aplicar a cada

valor medido




-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Valor Medido

Co

rrecció

n

145 V-0.25

Quebrada de CalibraciónVc [V]

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

Cr [V]

-0,02

0,05

1,02

-0,50

1,80

-1,00

-0,30

1,10

-0,50

-0,40

0,95

-0,05

-0,80

0,80

-1,25

VVV 75,14425,0145 Ejemplo:

si con Vc mido 145V lo corrijo a:

El objetivo de una quebrada de calibración sería poder saber

que error se comete en cada punto de la escala, para poder así

hacer una corrección sobre un valor medido cualquiera:

31



Error del instrumentoLa quebrada de calibración también sirve para

detectar el error máximo cometido por Vc y con él la clase.

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Valor Medido

Co

rrecció

n145 V

-0.25

Vc [V]

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

Cr [V]

-0,02

0,05

1,02

-0,50

1,80

-1,00

-0,30

1,10

-0,50

-0,40

0,95

-0,05

-0,80

0,80

-1,25

100.)(

Alcance

VVclase

máximopm

Para el ejemplo:

Vc era un IPBM de alcance 150V

%2,1100.150

8.1

V

V

5,1clase

32



Error del instrumento1. Sin embargo, hay algunas consideraciones sobre todo lo anterior que

convendría aclarar ahora…

Se consideró que el instrumento patrón indica el valor verdadero (y eso

sabemos que puede no ser cierto).

Tampoco se consideró ningún error de lectura, en ningún instrumento.

No sabemos que si al repetir la experiencia obtendríamos los mismos

valores.

Todo ello hace que tengamos que considerar también otros aspectos como

veremos más adelante, para mejorar nuestras conclusiones respecto del

error del instrumento.

2. Si el ensayo realizado que determinó la quebrada de calibración tuvo por

objetivo calcular la clase del instrumento, entonces el ensayo se llama de

“calibración” o de “contraste”.

En cambio, si tuvo por objetivo determinar si el error máximo del instrumento

está dentro del margen especificado por la clase que declaró un fabricante por

ejemplo, se denomina ensayo de “verificación”.

33



Error del instrumento3. No siempre para calcular la clase se usa el alcance. En realidad, la clase se

calcula como:

100.FiduciarioValor

Eclase máximo

donde:

Valor fiduciario: es el valor que por convención se toma en un instrumento para

especificar su exactitud.

Ejemplos de valores fiduciarios:

• El límite superior del campo de medida (el alcance), en aparatos con „0‟ en un

extremo no fuera de escala.

• La suma absoluta de los valores extremos de la escala, en aparatos con „0‟

dentro de la escala.

• 90° eléctricos para cofímetros y fasímetros.

• La longitud total de la escala para aparatos con escala no lineal contraída

34



Error del instrumentoEjemplos de valores fiduciarios:

Valor fiduciario: 1 A y 100 V

respectivamente

Valor fiduciario: 240V

0 +35-15

mV

Valor fiduciario: 50mV Valor fiduciario: 53Hz

35



Error por tendencia del observador

Se refiere a la técnica experimental que posee el operador que se repite siempre

con la misma intensidad y signo.

Error por efectos circundantesSe refiere a los errores que se repiten en magnitud y signo al repetirse las mismas

condiciones experimentales ajenas al instrumento.

Ejemplos:Modificación de una resistencia interna de un instrumento alcambiar la temperatura.Modificación de una impedancia interna de un instrumento alcambiar la frecuencia. Presencia de vibraciones, presión, humedad, etc.

Volviendo a la Clasificación de los Errores

36





Errores Groseros:

Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación

fallida de la medición.

Errores Sistemáticos:

Son aquellos que se repiten en magnitud y signo en una serie de

mediciones equivalentes (en igualdad de condiciones). Son desafectables

del resultado, bajo ciertas condiciones.

Errores Accidentales:

Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo

sino que siguen leyes del azar. Se los suele llamar residuales. No se

pueden desafectar del resultado.

37



Errores accidentales o fortuitos

Se refiere a los errores que inevitablemente están presentes, pero que siguen las

leyes del azar. No se los puede eliminar por eso se los llama “residuales”.

Estos errores no se repiten ni en magnitud ni en signo aunque se repitan las

condiciones experimentales, entonces solo un estudio estadístico puede

caracterizarlos.

Si se tiene información sobre mediciones repetidas se podrá conocer la

distribución de frecuencia de ocurrencia de esas mediciones. En general, dentro

de las mediciones eléctricas hay tres distribuciones que se usan comúnmente:

La distribución de Gauss La distribución rectangularo uniforme

La distribución triangular

38



Errores accidentales o fortuitos

Al no repetirse en magnitud y signo no se puede hacer ninguna corrección, pero

sí gracias a la teoría estadística se puede encontrar algún índice de dispersión,

que con alguna probabilidad (también llamado nivel de confianza), defina un

intervalo dentro del cual se encuentre el valor verdadero de la medición.

Un índice de dispersión es sinónimo de incertidumbre

Valor verdadero

Índice de dispersión (con bajo nivel de confianza)

Índice de dispersión

(con alto nivel de confianza)

Índice de dispersión

(con medio nivel de confianza)

Recordando lo visto…

39





Se deben detectar y eliminar.

De ser posible se deben determinar y

desafectar de la medida usando

alguna corrección.

De no ser posible desafectarlos

contribuirán a la incertidumbre.

Se deben estimar y

considerar en la

incertidumbre.

Entonces una medición tendrá esta forma general:

Valor medido + Corrección ± Incertidumbre

(por errores sistemáticos)

(por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos

por falta de alguna información)

Ejemplo integrador

40



Ejemplo:

Se mide una resistencia por el método corto con voltímetro y amperímetro.

El voltímetro indica 22,3 V es de clase 0,5 y alcance 25 V.

El amperímetro indica 145,5 mA es de clase 0,2 y alcance 150mA.

La resistencia interna del voltímetro (Rv)es 100 kΩ con un error límite de 0,5 kΩ.

Suponga además que no se comete error de lectura en ningún instrumento.

Determine el valor de la resistencia y su error límite.

Solución: En este caso tendremos las siguientes

fuentes de error relevantes:

1. El método empleado (error sistemático)

2. Inexactitud en la medida de V

(lo vamos a tratar como si fuese accidental

porque no tenemos la quebrada de calibración)

3. Inexactitud en la medida de I

(lo vamos a tratar como si fuese accidental

porque no tenemos la quebrada de calibración)

41



Solución:

1. Ya vimos que para este caso:

I I Im v r 𝑈𝑚 = 𝑈𝑟

3. Necesitamos calcular la corrección por método para aplicarla al valor medido.

Podemos usar la expresión del error sistemático de método deducida en la

transparencia 24 o recalcularlo usando por ejemplo la ley de propagación del error:

m

mm

I

UR

𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚= 𝑈𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝑈𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝑈𝑚 − 𝑈𝑟 = 𝑈𝑟 − 𝑈𝑟 = 0

𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚 = 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝐼𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝐼𝑚 − 𝐼𝑟 = (𝐼𝑣 + 𝐼𝑟 ) − 𝐼𝑟 = 𝐼𝑣

Aplicamos la ley

de propagación:

(con signo en este

caso)

𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 𝜕𝑅𝑚

𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚

+ 𝜕𝑅𝑚

𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚

Ejemplo integrador

2. Vimos que se comete un error sistemático de método ya que:

R Rm Por ende

42



Solución:

Calculamos las derivadas parciales de

Entonces:

m

mm

I

UR

𝜕𝑅𝑚

𝜕𝑈𝑚=

1

𝐼𝑚

𝜕𝑅𝑚

𝜕𝐼𝑚= −

𝑈𝑚

𝐼𝑚2

(expresión que ya habíamos obtenido en la transparencia 24 por otro camino)

= −0,236692 Ω

𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 1

𝐼𝑚 0 + −

𝑈𝑚

𝐼𝑚2 𝐼v

𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = −𝑈𝑚

𝐼𝑚2

𝑈𝑚

𝑅𝑣= −

𝑅𝑚2

𝑅𝑣

𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 𝜕𝑅𝑚

𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚

+ 𝜕𝑅𝑚

𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = −

22,3 𝑉145,5 𝑚𝐴

2

100 𝑘Ω

Ejemplo integrador

43



Solución:

4. Usando la ley de propagación del error determinamos como influyen los errores

de los instrumentos. Como no tenemos sus quebradas de calibración como para

corregir los valores medidos, calculamos el error límite de cada medida y lo

propagamos para calcular el error límite de R:

Aplicamos la ley

de propagación:

(sin signo definido en este caso)

𝐸𝑙í𝑚 𝑈𝑚=

𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑉𝐴𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑉

100=

0,5 25𝑉

100= 0,125𝑉

𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚 =𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝐼𝐴𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝐼

100=

0,2 150 𝑚𝐴

100= 0,3 𝑚𝐴

±𝐸𝑙í𝑚 𝑅𝑚= ±

𝜕𝑅𝑚

𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑙í𝑚 𝑈𝑚 +

𝜕𝑅𝑚

𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚

Ejemplo integrador

44



Solución:

Entonces:

Finalmente, la resistencia R valdría:

𝐸lím 𝑅𝑚= ±

1

𝐼𝑚 𝐸𝑙í𝑚 𝑈𝑚 + −

𝑈𝑚

𝐼𝑚2 𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚

𝐸lím 𝑅𝑚= ±

1

145,5 𝑚𝐴 0,125 𝑉 +

22,3 𝑉

(145,5𝑚𝐴)2 0,3𝑚𝐴

𝐸lím 𝑅𝑚= ± 0,859106 Ω + 0,316009 Ω = ± 1,175115 Ω

𝑅 =𝑈𝑚

𝐼𝑚+ 𝐶𝑜𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 sistemática de método 𝑅𝑚

± 𝐸lím 𝑅𝑚

Ejemplo integrador

(Es el error de método cambiado de signo)

45



Solución:

𝑅 =𝑈𝑚

𝐼𝑚+ 𝐶sistemática 𝑅𝑚

± 𝐸lím 𝑅𝑚

𝑅 =22,3𝑉

145,5𝑚𝐴+ 0,236692 Ω ± 1,175115 Ω

𝑅 = 153,264604 Ω + 0,236692 Ω ± 1,175115 Ω

𝑅 = 153,501296 Ω ± 1,175115 Ω

𝑅 = 153,5 ± 1,2 Ω

Ejemplo integrador

¿Pero la corrección sistemática por el método es a su vez exacta? : No

¿Entonces como se tendría que haber resuelto realmente?



Solución considerando la influencia de la corrección:

Función completa que habría que propagar sería:

Ejemplo integrador

v

m

m

m

m

v

m

m

mCm

R

I

U

I

U

R

R

I

UR

2

2

vmmCm Rlím

v

Cm

Ilím

m

Cm

Ulím

m

Cm

Rlím ER

RE

I

RE

U

RE

Cmm RlímRmétododeasistemátic

m

m ECorrecciónI

UR

Donde:

46

Y el resultado debería ser:




Ejemplo integrador

v

m

m

m

mCm

R

I

U

I

UR

2

ARI

U

IU

R

vm

m

mm

Cm 1...8939,6

212

23

2

2...5938,1056

2

A

V

RI

U

I

U

I

R

vm

m

m

m

m

Cm

6

2

2

10349,21

vm

m

v

Cm

RI

U

R

R

47

Resolviendo:




Ejemplo integrador

179889,1236692,05,145

3,22

mA

VR

50010349,23,059,1056125,0

18939,6 6

2mA

A

VV

AE

CmRlím

179889,1CmRlímE

Finalmente:

𝑅 = 153,5 ± 1,2 Ω 48

vmmCm Rlím

v

Cm

Ilím

m

Cm

Ulím

m

Cm

Rlím ER

RE

I

RE

U

RE

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