LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Ecuaciones diferenciales y en diferencia

Andrys Buelvas Cardenas

Pablo Cristancho Rico

Leidis Morales Simancas

Carlos Paba Camargo

Lorena Salgado Salgado

Grupo J

Cartagena de Indias D.T y c Marzo de 2012

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

PLANTEAMIENTO DEL MODELO:

La rapidez con la que un cuerpo se enfría es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del medio circundante, la llamada temperatura ambiente.

Suponiendo que T (t) es la temperatura del cuerpo en cualquier instante t,

Entonces:

T: temperatura del cuerpo.t: tiempo dTdt

= Rapidez a la cual cambia la temperatura del cuerpo

k = constante de proporcionalidadT a= temperatura ambiente.

DESARROLLO DEL MODELO

La ecuación diferencial que modela el problema es en donde es la temperatura del cuerpo, que varía en función del tiempo y es la temperatura del exterior, que se considera constante.  Resolviendo la ecuación por separación de variables tenemos: 

  Integrando:

y aplicando propiedades de logaritmos: 

Por tanto: 

 

EJEMPLO 1.

Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 90°C., se mide también la temperatura del medio, la cual es de 27°C. El sistema se empieza a enfriar y 2 horas después se encuentra que el termómetro marca 60°C.  ¿ cuál será la temperatura marcada por el termómetro transcurridas 3 horas ?.

Solución/

T(o)=90 Ta=27 T (2)=60 T(3)=?

RESOLVIENDO LA ECUACION DEFERENCIAL POR EL METODO DE SEPARACION DE VARIABLE NOS QUEDA QUE:

Reemplazando:

90 - 27= Ce-K(0)

C=63

Cuando t=2

60 – 27=63 e-k (2)

3363

=e−k (2 )

ln ( 3363

)

2=−k

K= 0.32

Teniendo los valores la constante c y k, podemos hallar la temperatura marcada por el termómetro transcurridas 3 horas.

T (3 )−27=63 e−0.32(3)

T (3 )=63 e−0.32(3)⁺27

T (3) = 51.1

Esta será la temperatura del termómetro después de tres horas por lo cual comprobamos con los datos proporcionados por el ejemplo, que efectivamente la temperatura está disminuyendo.

EJEMPLO 2

Un recipiente con agua hirviendo (100°C) se retira del fuego en el instante t=0 y se deja enfriar en una habitación grande a 30°C. Sabiendo que pasados 5 minutos la temperatura del agua se ha enfriado hasta 80°C, ¿cuánto tiempo deberá transcurrir para que la temperatura del agua sea de 40°C?

SOLUCION:

En este caso hallaremos T (t)=40°C

Datos:

T (0) =100; T(5)=80 ;T(t) =40 , Tm=30.

T (t) –Tm= C e-k(t

Para hallar C:

100−30=c e−k (0 ).

C= 70

Teniendo C, aplicamos T (5)=80 y hallamos el valor de k

80−30=70e−K (5 ).

ln (50 )=ln e−k (5).

ln (50 )5

=−k .

K =- 0.78

Ahora procedemos a hallar el tiempo t cuando la temperatura del agua es 20°C

40−30=70 e−(0.78)(t ).

ln1070

=−0.78( t).

−1.94−0.78

=t.

t = 2.49

TIEMPO EN EL QUE EL AGUA ESTARA A 40°C.

EJERCICIO 1

Si la diferencia entre la temperatura de un cuerpo y la del medio ambiente es grados, se considera que la disminución de con respecto al tiempo es proporcional a . Si esta

diferencia era al principio de grados y después de un minuto de grados, ¿cuál será

después de dos minutos?, ¿ en cuántos minutos será de grados?

.          

Solución/  Según el enunciado del problema, dado que “x” representa la diferencia de temperaturas, la ecuación diferencial que modela el caso es:

  ecuación que se resuelve separando variables, es decir: 

por lo que integrando, tenemos::

  o sea:

  Considerando que es función de , la solución general de la ecuación propuesta se puede expresar como: 

  Ahora bien, considerando la condición inicial:

  y sustituyendo:

 

por tanto , de manera que la ecuación se puede expresar como: 

 

a continuación considerando la condición:

y sustituyendo en la ecuación tenemos: 

 

por lo que despejando :

  Entonces la forma de la ecuación es:

 

Así que para min:

 

Finalmente vemos que una diferencia de temperatura s , se alcanzará en:

 

EJERCICIO 2

Un termómetro se lleva al exterior de una casa donde la temperatura ambiente es de 70° Fahrenheit. Al cabo de 5 minutos el termómetro registra y 5 minutos después registra

Fahrenheit.¿Cuál es la temperatura del exterior?

 

Solución/

La ecuación diferencial que modela el problema es en donde es la temperatura del termómetro, que varía en función del tiempo y es la temperatura del exterior, que se considera constante.

Resolviendo la ecuación por separación de variables tenemos:

 

  Integrando:

y aplicando propiedades de logaritmos: 

por tanto: 

  A continuación, considerando la condición inicial vemos que: 

es decir:

  por lo que la solución general toma la forma: 

y ahora tomando en cuenta que: 

en la expresión anterior tenemos: 

  Manipulando algebraicamente la primera ecuación para despejar  

y la segunda ecuación:

y aplicando el método de igualación: 

  es decir:

  por tanto, simplificando: 

 

ecuación cuadrática de la forma que podemos resolver por la fórmula

general, considerando .  Es decir:

entonces con

con

  Sustituyendo este valor en cualquiera de la expresiones de :