UNIVERSIDAD NACIONAL ANDRES BELLODEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS

Curso: FMF 241 Electromagnetismo

Guıa de Problemas #1“Ley de Coulomb y campo electrico”

Indicacion:

Los ejercicios de esta guıa deben ser preferentemente resueltos por integracion di-recta, mas adelante aprendera metodos alternativos (Gauss).

Tenga cuidado de diferenciar bien el vector posicion del punto de observacion ~r,aquel en el cual le piden calcular el campo electrico por ejemplo, y el punto donde seencuentra el elemento diferencial de carga dq, usualmente denominado ~r ′. Recuerdeque al integrar sobre la distribucion de carga el vector posicion de dq se ira moviendo.Por lo mismo, escoja una posicion arbitraria para dq, evitando situarlo en el origenpor ejemplo.

Para lo anterior sera muy util usar un sistema de coordenadas con respecto al cualescribir los vectores, que respete la geometrıa de la distribucion de carga responsablede generar campo electrico.

El principio de superposicion es de suma importancia en electromagnetismo. Enpalabras simples, este dice que si tiene varios agentes de campo, el efecto neto deestos en un punto es la suma de los efectos que cada una de los agentes genera endicho punto por separado. Tıpicamente los agentes son distintas distribuciones decarga y los efectos a calcular son el campo electrico, la fuerza o el potencial electrico.Si el efecto a calcular es un vector, entonces la suma es una suma vectorial y si elefecto es un escalar, entonces la suma es escalar.

Distribuciones discretas de carga

1. Dos cargas puntuales estan colocadas sobre el eje x. Q1 = q en x = a y Q2 = −4q enx = −a. Encuentre una expresion vectorial en coordenadas cartesianas para la fuerzaque actua sobre una carga de prueba Q, ubicada en un punto cualquiera del plano xy.Encuentre las coordenadas (x, y) de todos los puntos en los cuales la carga de pruebaesta en equilibrio. Discuta si el equilibrio es estable o inestable.

2. Tres cargas puntuales, cada una de valor q, estan ubicadas en los vertices de un triangu-lo equilatero de lado L. Determine la fuerza ejercida sobre una de las cargas por laaccion de las otras dos cargas y su magnitud.

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Distribuciones lineales de carga

3. Considere una densidad de carga lineal que coincide con el eje z. Calcule el campoelectrico en un punto cualquiera del espacio (r, θ, z) en los siguientes casos:

a) La densidad de carga es uniforme λ = λ0 y se extiende desde z = −H hastaz = H.

b) La densidad de carga es uniforme λ = λ0 y se extiende desde z = ∞ hasta z = 0.

c) La densidad de carga es uniforme y se extiende desde z = −∞ hasta z = ∞.

4. Un alambre infinito tiene densidad de carga −λ para z < 0 y +λ para z > 0. Demuestreque la magnitud del campo electrico, ~E, en un punto cualquiera fuera del alambre es:

E =λ

2πε0r

donde r es la distancia medida perpendicularmente desde el alambre. Bosqueje laslıneas de campo.

5. Un anillo de radio a tiene carga total +Q, uniformemente distribuida sobre el.

a) Calcule el campo electrico en el eje del anillo.

b) Considere una carga −Q restringida a moverse sobre el eje del anillo. Demuestreque la carga describe un movimiento armonico simple, para pequenos desplaza-mientos perpendiculares al plano del anillo, medidos desde el centro de este.

Distribuciones superficiales de carga

6. Un plano infinito tiene densidad superficial de carga constante σ0. Pruebe que la mitadde la magnitud del campo electrico en un punto situado a z metros sobre el plano sedebe a la carga encerrada en un cırculo de radio

√3z, centrado perpendicularmente

debajo del punto z.

7. Un cascaron cilındrico de radio R y espesor despreciable tiene densidad de carga su-perficial σ constante. Calcule por integracion directa el campo eleectrico dentro y fueradel cascaron.

8. Para algunos efectos, la superficie de la Tierra puede considerarse cargada con unadensidad superficial uniforme σ. A partir de una altura b por sobre la superficie seencuentra la inosfera, que se extiende hasta un altura c. La ionosfera contiene unadensidad de carga volumetrica uniforme, cuya carga total es igual y de signo contrarioa la carga superficial de la Tierra.

a) Calcule la carga total de la superficie Terrestre y la densidad volumetrica de cargade la ionosfera.

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b) Calcule el campo electrico en todo el espacio, es decir, al interior de la Tierra,entre la superficie y la ionosfera, en la ionosfera, y fuera de la Tierra. Supongaque la Tierra tiene un radio R.

9. Se dispone sobre el piso una placa cuadrada de lados de longitud b y carga neta Q.Determine el campo electrico a una distancia z del centro de la placa, ubicada a lolargo de una perpendicular que pasa por su centro. Analice e interprete su resultadopara los casos: b À z y z À b.

Distribuciones volumetricas de carga

10. Una semiesfera de radio R esta uniformemente cargada. La carga Q de la semiesfera sedistribuye volumetricamente. Calcule el campo electrico en el centro de su cara plana.

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