Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder popular para la Educación Superior

I.U. P “Santiago Mariño”Sección SV

Profesor: Bachiller:

Asdrúbal Rodríguez John PerazaC.I: 23.3734.386

Barcelona, marzo del 2016

Ley de Conjuntos

Ley de la Idempotencia

Ley de idempotencia: Dado cualquier conjunto A en un universal arbitrario U, se verifica:

1. A U A = A2. A ∩ A = A

Sea X un elemento arbitrario del Universal U, Sucede,

1. X Є (A U A) x Є A V x Є A (Definición de Unión)

x Є A (Idempotencia de V)

De la arbitrariedad de x si sigue

x [x Ɐ Є(A U A) x Є A]

De aquí: A U A = A

2. Analógicamente se prueba que A ∩ A= A

Ley ConmutativaLey Conmutativa: Dados dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U, se verifica:

1. A U B = B U A2. A ∩ B = B ∩ A

Sea x cualquier elemento de U. Entonces

3. x Є(A U B) x Є A V x Є B (Definición de unión)

x Є B V x Є A (Conmutatividad de V)

x Є (B U A) ( Definición de Unión)

Como x es cualquiera de U, se sigue

x[ x Ɐ Є A U B x Є B U A]

Por lo tanto A U B = B U A

De una forma similar se demuestra que A ∩ B = B ∩ A

Ley AsociativaLey Asociativa: Dado tres conjuntos A, B y C de un universal arbitrario, U se verifica:

1. A U (B U C) = (A U B) U C

2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Sea x un elemento arbitrario de U

X Є A U (B U C) x Є A V [x Є(B U C) (Definición de Unión) x Є A V [x Є B V Є C) (Definición de Unión) (x Є A V x Є B) V x Є C (Asociatividad de V) (x Є A U B) V x Є C (Definición de Unión) x Є (A V B) U C (Definición de Unión)

De la arbitrariedad de x se sigue que

x [x Ɐ Є A U (B U C) x Є (A U B) U C]

De aquí que A U (B U C) = (A U B) U C

2. Analógicamente se demuestra que A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Ley IdentidadLey de identidad: dado un conjunto de cualquiera de un universal arbitrario, U se comprueba:

1. A U ø = A 2. A U U = U

3. A ∩ ø= ø 4. A ∩ U = A

1. A U ø = A Sea x un elemento arbitrario de U.

X Є (A U ø) x Є A V x Є ø (Definición de Unión)

x Є A (x Є ø es falso siempre)

Luego x [x Ɐ Є (A U ø) x Є A]

De aqui que

A U ø= A

2. A U U = U. Sea x un elemento cualquiera de U.

X Є (A U U) x Є A V x Є U ( Definición de unión) x Є A U (x Є U es verdad siempre)

Luego x [x Ɐ Є (A U U) x Є U]

Es decir:

3. A ∩ ø = ø. Si x cualquiera de U, entonces:

X Є (A ∩ ø) x Є A Λ x Є ø (Definición de Unión)

x Є ø (x Є ø es falso siempre)

Luego

4. A ∩ U = A. Sea x un elemento arbitrario de U. Entonces,

X Є A ∩ U x Є A Λ x Є U (Definición de intersección) x Є A (x Є U es verdad siempre)

Luego, A ∩ U = A

Ley del ComplementoLeyes del Complementario: dado un conjunto cualquiera A de un universal arbitrario U, se verifica:

1. A U Ac= U 2. U c = ø3. A ∩ Ac= ø 4. øc = U

4. A U Ac= U. Sea x cualquier elemento de U.

Entonces x Є (A U Ac) x Є A V x Є Ac (Definición de Unión) x Є A V x /Є A (Complementario) x Є A V ¬(x Є A) (Negación) x Є U (Tautología)

Luego, x [xⱯ Є (A U Ac) x Є U]

Por lo tanto A U Ac = U

2.Uc= ø. En Efecto, Uc = {x Є U: x Є Uc} = {x Є U Λ x/ Є U} = ø

3. A ∩ Ac = ø. En efecto A ∩ Ac = {x Є U: x Є A Λ x Є Ac}= {x Є U: x Є A Λ x/ Є A} = ø

4. Øc = U. En efecto, øc= {x Є U: x Є øc} = {x Є U: x/ Є ø} = {x Є U} = U

Fin.

gracias