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LENGUAJE ALGEBRAICOClase
1
Muchas veces has escuchado la palabra Algebra
En esta Unidad estudiaremos por qué es tan importante y para qué sirve
LENGUAJE ALGEBRAICO
APRENDIZAJE 01MAT020001 Utilizan letras para representar números. Evalúan expresiones algebraicas.APRENDIZAJE 01MAT020002 Representan categorías de números por medio de expresiones algebraicas: múltiplos de ... ; factores de ... ; mayores que ... ; números pares, etc.
Objetivos de la clase : Valorar la importancia del lenguaje algebraico Expresar en lenguaje algebraico expresiones dadas en lenguaje común
2
En Física, Química y en el área científica has visto el uso de fórmulas
Es precisamente en ellas donde las letras cobran una importancia vital, pues sirven para generalizar situaciones. Usando letras podemos representar una medida de longitud o distintas magnitudes en una fórmula
En álgebra se trabaja con un sistema de letras, conocido como Lenguaje Algebraico. Al trabajar con fórmulas has trabajado con el lenguaje algebraico son saberlo
Expresar en lenguaje común expresiones dadas en lenguaje algebraico Valorizar expresiones algebraicas
El Lenguaje Algebraico es el lenguaje del Algebra. El Lenguaje Algebraico permite expresar nuestro lenguaje común mediante operaciones con números y letras
EJEMPLO Calculemos el perímetro del rectángulo dado
Como el perímetro de una figura es la suma de todos los lados que forman el contorna de la figura, tenemos que el perímetro de este rectángulo es P = a + a + b + b
P = 2a + 2b
Esta es la fórmula de perímetro del rectángulo, es decir, la suma de todos los lados del rectángulo, pero expresado en Lenguaje Algebraico
¿Por qué utilizamos este lenguaje?
1º) Por su universalidad, pues esta simbología es usada en todo el mundo
2º) Por su poder de síntesisLas fórmulas pueden representarse en forma reducida
EJEMPLOS
Lenguaje Común Lenguaje Algebraico
El volumen de un cubo de arista a es igual a la arista elevada a tres
V = a3 ,
La velocidad media es igual al cuociente entre la distancia recorrida, y el tiempo que se ocupa en recorrer dicha distancia
3º) Por su poder de generalización
Permite representar sólo con una expresión relaciones o características que poseen algunos números
3
a
b
EJEMPLOLos Números 3, 5, 7, 9,........tienen la forma general 2n + 1, n N¿Notas que la secuencia de números dados son los números impares?
EJEMPLOS1) Expresar en lenguaje algebraico las siguientes frases
Lenguaje Común Lenguaje algebraico
Un número xEl doble de un número
2x
El triple de un número
3x
El doble de un número, aumentado en tres
2x + 3
El doble de, un número disminuido en 1
2( x – 1 )
La mitad de un número x o
El cuadrado de un número
x2
El producto de dos números
xy
La diferencia de dos números
x - y
a aumentado en el doble de b
a + 2b
El sucesor de un número x + 1
El antecesor de un número
x - 1
Es igual, es equivalente a, da lo mismo que
=
La suma de dos números es ocho
x + y = 8
La diferencia de los cuadrados de dos números es mayor que cuarenta
x2 - y2 40
APLICAExpresa en lenguaje algebraico
1) El triple de un número aumentado en uno2) Siete veces un número disminuido en dos3) La tercera parte de un número disminuido en diez4) El triple del sucesor de un número5) El sucesor del doble de un número6) Un número par
4
7) Un número impar8) La suma de un número par y un número impar9) La suma de tres números pares10)La suma de tres números impares11)Dos números consecutivos12)La suma de dos números pares consecutivos13)La suma de dos números impares consecutivos14)La suma de tres números enteros consecutivos
Expresa en lenguaje común
1) x = y + 12) a 3b3) m – n = 64) 2a - 1 = 3a5) 2(u + v) = 5
6)
7)
8) 5 + x
9) 5 – x
10)5x
11)
12)2x + 1
13)
14)x -
15)x -
5
VALORIZANDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Valorizar una expresión algebraica, es calcular el valor de ellas
¿Cómo valorizamos una expresión algebraica?
Reemplazando las variables (letras) por los números o valores que correspondan, según los datos dados, y
Efectuando las operaciones indicadas
IMPORTANTE Para valorizar expresiones algebraicas, es fundamental la operatoria con números, la concentración y el orden
EJEMPLOS¿ Cuál es el valor de la expresión 5a2 – 2bc – 3d , si a = 2, b = 5, c = -3 d = -1?
SOLUCION Reemplazamos los valores de las variables (letras) en la expresión dada y hacemos los
cálculos 5a2 – 2bc – 3d 522 - 25-3 - 3-1 54 + 30 + 3 20 + 33 = 53Luego el valor de la expresión para los valores dados es 53 APLICA Calcula el valor de las siguientes expresiones si a = 2 , b = 5, c = -3 , d = -1 f = 0
1) 7a + 2b – 8c =
2) ( b + a) a =
3)
6
4)
5) R = a2 + b2 – c2
6) X = 2(a + b) + c2
7) A = c2 (a + b)
Resuelve valorizando
1) El área de un círculo se calcula con la fórmula A = r2. Si el radio es r = 5 cm ¿Qué área tiene el círculo?
2) ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm?
3 cm
4 cm
3) El volumen V de un cilindro recto de altura h y radio basal r es V = r2 h ¿Qué volumen tiene un cilindro recto de radio basal 10 cm y altura 0,3 cm?
7
r
r
h = 0,3 cm
APRENDIZAJE 01MAT020004 Conjeturan y generalizan acerca de patrones numéricos o geométricos utilizando expresiones literales.Objetivo de la clase : Definir concepto de sucesión numérica Dada la expresión algebraica que representa una sucesión, escribir los primeros términos
de la sucesión Dado los primeros términos de una sucesión, escribir la expresión algebraica que
representa o genera la sucesión Resolver problemas sencillos donde se pueden observar regularidades numéricas o
geométricas Generalizar patrones geométricos usando expresiones algebraicas
SUCESIONES
¿ Cuál será el trabajo que haremos ahora con las sucesiones?
Dado los elementos de una sucesión, encontraremos su patrón de formación para escribir la fórmula o la expresión algebraica que la representa y el conjunto al que pertenece la variable
EJEMPLOS
1) ¿Qué expresión algebraica representa la sucesión 5, 8, 11, 14, 17,......?
En esta sucesión se puede observar que Comienza con el número 5 La diferencia entre un término y el anterior es 3, luego una fórmula que expresa esta
sucesión involucra a los múltiplos de 3 La expresión algebraica que la representa es 3n + 2, n N
2) Encuentra la fórmula que representa la sucesión
En esta sucesión se observa que Sus términos son fracciones, por tanto observamos el numerador y el denominador por
separado El primer término del numerador es 3
8
Recordemos que una sucesión es un conjunto de números en un orden definido y construido de acuerdo a una cierta regla preestablecida
Esta característica común que tienen los elementos de una sucesión, permite representarla por medio de una expresión algebraica o fórmula o término general, con la que es posible obtener cualquier elemento de ella.
Sus términos son números impares En el numerador la diferencia entre un término y el anterior es 2, luego la expresión que
representa esta sucesión involucra a los múltiplos de 2 En el numerador el término general es 2n + 1 , n N
El primer término del denominador es 4 En el denominador la diferencia entre un término y el anterior es 3, luego la expresión que
representa esta sucesión involucra a los múltiplos de 3 En el denominador el término general es 3n + 1, n N
Por tanto la expresión que representa la sucesión dada es n N
APLICA
En cada una de las siguientes sucesiones, escribe la expresión algebraica que las representa y el conjunto al que pertenece la variable
1) 1, 8, 15, 22, ....
2) 3, 7, 11, 15, ...
3)
4)
Ahora trabajaremos al revés
Dada la expresión algebraica que representa una sucesión, escribiremos sus primeros cuatro elementos
EJEMPLOS
1) ¿Cuáles son los primeros cuatro términos de la sucesión 4n – 9, n N? ¿Cómo encontramos los términos de una sucesión?
Valorizando la expresión dada en ORDEN, es decir, reemplazando el valor de la variable por los elementos del conjunto en el ORDEN que éstos aparecen
9
Sabemos que N = 1, 2, 3, 4.....Valoricemos la expresión 4n – 9Si n = 1 4n – 9 = 41 – 9 = -5Si n = 2 4n – 9 = 42 – 9 = -1Si n = 3 4n – 9 = 43– 9 = 3Si n = 4 4n – 9 = 44– 9 = 7
Luego los términos de las sucesión son –5, -1, 3, 7, ..... Con puntos suspensivos pues la variable pertenece a un conjunto infinito
2) ¿Qué sucesión genera para x -1, 0, 1, 2?
¿Cuál es el menor y el mayor término de esta sucesión?
Para encontrar la sucesión valorizamos
Si x = -1
Si x = 0 =
Si x = 1
Si x = 2
La sucesión es 3, 1, Sin puntos suspensivos, pues el conjunto al que
pertenece la variable es finito
APLICA
Encuentra los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones
1) 34 – 7x , x 1, 2, 3, 4
2) n 10-n , n N¿Cuál es el menor y el mayor término?
10
3) 1 – 4x , x
4) x 2, 3, 4, 5
¿Es posible para todos los valores? Justifica
REGULARIDADES GEOMETRICAS
Recordemos que las regularidades geométricas son secuencias de figuras que se van formando de acuerdo a un patrón o regla de formación
¿ Cuál será el trabajo que haremos ahora con las regularidades geométricas?
Dada una regularidad geométrica, encontraremos su patrón de formación para escribir la fórmula o la expresión algebraica que la representa
EJEMPLOS
Observa la siguiente sucesión de figuras ¿Cuántos lados tiene la figura número 100?
fig 1 fig 2 fig 3
Para contestar, podemos dibujar las figuras que siguen del patrón hasta llegar a la número cien, afortunadamente no es necesario ya que podemos estudiar la regularidad y encontrar la fórmula que relacione el número de cuadrados de cada figura con el número de lados que tiene, así bastará con valorizar la fórmula para la figura 100 y obtener la respuesta
SOLUCION
Confeccionamos una tabla de datos, de esta forma es más simple descubrir la regularidad y encontrar la fórmula
11
Números de cuadrados C
Número de lados L
1 42 73 104 ¿?5 ¿?6 ¿?
Te habrás dado cuenta que para obtener una nueva figura se va agregando 3 lados o que cada figura debe tener 3 lados más que la anterior
Matemáticamente lo expresamos así
4 = 31 + 17 = 32 + 110 = 33 + 113 = 34 + 116 = 35 + 119 = 36 + 1
Observamos que número de lados = número de cuadrados + 1 En general con n lados se forman 3n + 1 cuadrados La fórmula es L = 3C + 1
En particular cuando C = 100 se necesitan L = 3 100 + 1 = 301RESPUESTA : La figura número 100 tiene 301 lados
APLICA
1) Dada la secuencia de figuras
fig 1 fig 2 fig 3
a) Busca la fórmula que indique la cantidad de pinceles necesarios para formar la enésima figura
b) ¿Cuántos pinceles se necesitan para formar la figura número 534?
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2) Observa el siguiente patrón y responde
fig 1 fig 2 f ig 3
¿Cuál es la fórmula que relaciona la cantidad de puntos y el número de la figura?
3) Observa la siguiente regularidad geométrica o O o o
O o o o o O o o o o o o
O o o o o o o o o o o o o o fig 1 fig 2 fig 3 fig 4
a) Realiza una tabla relacionando la cantidad de círculos y el número de triángulos
b) Expresa la fórmula que establece la cantidad de círculos para la enésima figura
APRENDIZAJE 01MAT020006 Suman y restan monomios, binomios y polinomios. Reducen términos semejantes y aplican la convención de uso de paréntesis
Objetivos de la clase :
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Reconocer una expresión algebraica Identificar un término algebraico Encontrar el coeficiente numérico, la parte literal y el grado de un término Clasificar expresiones algebraicas de acuerdo al número de términos que poseen Identificar términos semejantes Reducir términos semejantes en expresiones sin paréntesis Sumar polinomios Encontrar el inverso aditivo de un polinomio Reducir términos semejantes con paréntesis Restar polinomios
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una cadena de letras, números y símbolos unidos por sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potencias
EJEMPLOS
a, 2x, y, b2, a + b, 2x + y, , , etc son expresiones
algebraicas
Los números representan (o son) las constantes (tienen sólo un valor) Las letras representan (o son) las variables (pueden tomar distintos valores, no son
constantes) Una expresión algebraica está formada por términos Cada término está compuesto de un grado, un coeficiente numérico y un factor literal
agrupados sólo por la multiplicación o división
EJEMPLO
factor literal (letras) grado = 6
-3x2y4 término coeficiente (número con su signo)
Grado de un término es la suma de los exponentes del factor literal Grado de una expresión algebraica corresponde al mayor grado entre los términos que la
forman
EJEMPLO
La expresión tiene grado tiene grado 9
Para separar los términos usamos el signo + o -
En Algebra no se escribe el signo de la multiplicación el coeficiente 1 el signo positivo al inicio de una expresión algebraica
EJEMPLOS
14
1) pq = + 1pq2) 2a = + 2a
3)
APLICA
I) Define con tus palabras
1) Coeficiente2) Factor literal3) Término algebraico4) Grado de un término
II) En cada una de las siguientes expresiones, indica el número de operaciones matemáticas involucradas ( suma, resta, multiplicación, etc) y el número que ellas aparecenExpresión Operacio -
nesNúmero de operaciones
c =
A =
III) Señala el número de términos que tiene cada una de las siguientes expresiones
1) 2a
2) 3a(x+y)
3) 5m – 3abc
4)
5)
6)
7) 4x + 2ab + 5
15
8)
9)
10)
IV) Identifica el coeficiente numérico y la parte literal de los siguientes términos
Término Coeficiente Numérico
Factor literal
7mx
-
Una expresión algebraica esta formada por términosSegún el número de términos que posee una expresión algebraica, la podemos clasificar en:
nº de términos
nombre ejemplo
1 Monomio2 Binomio3 Trinomio
4 o más
Polinomio
Los Binomios y Trinomios también son Polinomios
TERMINOS SEMEJANTES
Son aquellos términos o monomios que tienen exactamente igual su parte literal, aún cuando sus coeficientes sean distintos
EJEMPLOS
1) 5ab 12ab son términos semejantes
16
2) -2x2y son términos semejantes
3) ¿Son semejantes los términos 17mx mx ?
4) 6a2x 6ax2 no son términos semejantes
5) 10m2n -4m2ñ ¿Son términos semejantes?
APLICA
1) En cada caso encierra en un círculo las parejas de términos semejantes
a) 5ab 3a2 7ac 2ab
b) 0,5a a2 a 2,8a3
c) 9xy 16xy2 x2y
d) –bx-4 x3a x-4b x4b
2) Escribe tres términos que sean semejantes y tres que no lo sean
3) Escribe una expresión que cumpla con las siguientes condicionesa) Tiene cuatro términosb) Tres términos semejantesc) Un término tiene coeficiente uno
REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES
Una expresión está en su forma más simple o reducida, cuando no tiene términos semejantes ni paréntesis
Para reducir términos semejantes, se suman o restan sus coeficientes (según corresponda) y se conserva el factor literal comúnLos términos no semejantes no se pueden reducir a un solo término
EJERCICIOS
Reduce las siguientes expresiones
1) 7x + 2x + 3x + 8x = (7+2+3+8)x = 20x
17
x
x + 14
2) 7x – 2y + 4x – 2xy + y = (7+4)x +(-2+1)y – 2xy = 11x – y –2xy
3) 4x2 + 2xy – 2x2 + 3 + 5xy + 4 =
4) 0,2r + 3t – 2,5t + 0,5r – 4r + 2,5t =
5)
6) Escribe una expresión para calcular el perímetro de la pantalla de cine dada
a) Simplifica la expresiónb) Evalúa la expresión para x = 17c) Calcula el área de la pantalla si x= 2,2
7) ¿Es posible que al sumar dos monomios se obtenga un binomio? Justifica tu respuesta
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La reducción de términos semejantes se puede considerar como la suma de expresiones algebraicas y sólo como la resta de monomios
Usamos paréntesis para restar un polinomio, de lo contrario no restamos todos sus términos
Restar significa sumar el aditivo inverso, por eso se produce el cambio de signo en el paréntesis
En la práctica decimos que un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todos los términos que están dentro de él
RESTA DE POLINOMIOS
EJEMPLOS
1) Al trinomio 4x + 2xy -y, restar el binomio x – 2xy
SOLUCION4x + 2xy - y – (x –2xy) El paréntesis es INDISPENSABLE, ya que se resta el binomio completo, y como restar es equivalente a sumar el aditivo inverso, nos queda : 4x + 2xy - y + (-x + 2xy) , reduciendo los términos semejantes, obtenemos 3x + 4xy – yPor tanto4x + 2xy - y – (x –2xy) = 3x + 4xy – y
2) Al monomio 5a2, restar el polinomio -a + 2b – 3a2 – b2
SOLUCION5a2 – (-a + 2b – 3a2 – b2) = 5a2 + ( a - 2b + 3a2 + b2) = a – 2b + 8a2 + b2
IMPORTANTE
REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES Y USO DE PARENTESIS
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El uso de paréntesis es frecuente en Algebra. Los paréntesis sirven para agrupar términos y separar operaciones
Si una expresión algebraica tiene paréntesis, primero debemos eliminarlos y luego reducir los términos semejantes
Los paréntesis, se eliminan así
1) Si está precedido de un signo + o no tiene signo escrito, se elimina sin hacer ningún cambio
EJEMPLOSReduce las siguientes expresiones
a) 5m + ( 3m – 7n ) – 2n5m + 3m – 7n – 2n = 8m – 9n
b) (3x2y – x2y + 3xy2) + 2xy2
2) Si está precedido de un signo -, se elimina cambiando todos los signos de los términos que están dentro de él, y eliminado también el signo – que lo antecede
EJEMPLOS
Escribe la expresión reducida de
a) 2a - ( 2a - 3b) – b 2a - 2a + 3b – b = 2b
b) - (a + b – c) – (-a –b +c) +(a – b +c)
3) Si hay paréntesis que están dentro de otros paréntesis, se eliminan desde adentro hacía afuera, teniendo en cuenta las reglas anterioresEJEMPLOSReduce las siguientes expresiones
a) 2ab - 3a - ( -2ab + 3a) - ab b) 2m – 3n - -2m + n – (m – n) 2ab - 3a + 2ab – 3a - ab 2ab - ab 2ab – ab ab
EJERCICIOS
Reduce las siguientes expresiones
1) ( a + b) + (a + b) =
2) 5a + ( a+b) – 6b =
3) 2a - (2a-3b) + (4a-b) =
4) a - 2a - (a+b) – 3b - 5a =
20
II) Calcula y expresa en forma reducida el resultado
1) Si P = x2 +3x-2 y Q = 2x2 –5x+7. Calcula P + Q
2) Si P = 3x-x2 y Q = 3x2-x. Obtenga Q - P y P – Q
3) Si M = 2a2 + 3a3+ a4 y N = a4 – 3a2 + 2a. Obtenga M + N y M – N
4) Si A = ab+2b, B = a - ab y C = a + b + ab Encuentre A+B+C, A+B-C y A-(B+C)
APRENDIZAJE 01MAT020005 Generalizan la notación de potencias y utilizan procedimientos convencionales para el cálculo de multiplicación y división de potencias.
Objetivo de la clase : Aplicar las propiedades de las potencias en expresiones algebraicas Multiplicar monomios
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recordemos
Toda expresión de la forma an, se llama potencia o representa una potencia ¿Qué significa 103? ¿Qué nos indica el exponente? El signo = se debe mirar en los dos sentidos
Propiedades de las potencias 20 = 1 21 = 2
2-4 =
2325 = 28
23 25 = 2-2 =
( 24)3 = 212
POTENCIAS EN ALGEBRA
Las propiedades de las potencias estudiadas se cumplen para todas las potencias, ahora las usaremos en potencias cuyas bases y exponentes son expresiones algebraicas
Toda expresión de la forma an, se llama potencia o representa a una potencia
¿Qué significa an?
an significa que el factor a se repite n veces, por lo tanto, an = aaaa........a (n veces)
EJEMPLOS
1) 24 = 22222) 555 = 53
3) m2 = mm4) (ab)3 = ababab5) (m+n)(m+n)(m+n)(m+n) = (6) (2,5x)2 =
22
7)
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS POTENCIAS DE EXPONENTE 0
Para todo a 0 , a0 = 1
EJEMPLOS
1) 1320 = 1
2) (u3v2)0 = 1 u 0 v 0
POTENCIAS DE EXPONENTE 1
Toda expresión tiene exponente 1, pero no se escribe a1 = a
POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO
Para todo a b 0 se cumple :
Una base de exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base, elevada a exponente positivo
EJEMPLOS
1) a-5 =
2) x-8 =
3)
4)
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5)
POTENCIA DE POTENCIA
( am )n = am n
Una potencia elevada a otro exponente, es igual a la base elevada al producto de los exponentes
EJEMPLOS
1) (a3)-2 = a-6
2) (2x +2y)102 = (2x+2y)20
3) (5x2y3)2 =
MULTIPLICACION POTENCIAS DE IGUAL BASE
am an = am + n
EJEMPLOS
1) x8 + b x5 + 3b xb - 6 =
2) (x-2)(x-2)2(x-2)3 =
3) a5 (a7)3 =
DIVISION POTENCIAS IGUAL BASE
am : an = am-n
EJEMPLOS
1)
2) (a-b)5 : (a-b) =
3) (x10a )3 : x7a =
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Para dividir potencias de igual base, conservamos la base común, y restamos los exponentes
Para multiplicar potencias de igual base, conservamos la base común, y sumamos los exponentes
MULTIPLICACION POTENCIA IGUAL EXPONENTE am bm = (a b)m
POTENCIA DE UN PRODUCTO (a b)m = am bm
EJEMPLOS
1) m4 n4 = (mn)4
2)
3) ( 2x)7a + 5 (xy) 7a + 5 =
DIVISION POTENCIA IGUAL EXPONENTE am : bm = (a : b)m
POTENCIA DE UN CUOCIENTE (a : b)m = am : bm
EJEMPLOS
1) (9q)m : (3ab)m =
2) =
3)
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Para multiplicar potencias de igual exponente, multiplicamos las bases, y las elevamos al exponente común
Para dividir potencias de igual exponente, dividimos las bases, y las elevamos al exponente común
EJERCICIOS
I) Expresa como un producto de tres factores
1) ma + b + c =
2) x3 =
3) p4 =
4) y4x =
5) x2a + b + c + 5 =
II) Simplifica las siguientes expresiones y escribe el resultado sólo con exponentes positivos
1) ( m-1)-10 = 2) b2 b3 b4 b5 b b-18 = 3) (4m-3n2)2 =
4) (4m-3n2)2
5) 5) p2x - 2y : p2y - 2x =
6) (3x)2 - m (3x)m + 7 =
7) (x + 2y)2 + a (x + 2y)4 + 5a =
8) 2m + 3n 2 8n - 13m =
9) (a + 2b)2n : ( a +2b)4n + 8 =
10)x p + 2 (x p + 4 : x 5 – 2p )
III) ¿Son ciertas las siguientes igualdades? Justifica tu respuesta
1) a2 + a = a3
26
1) (a3)5 = a8
2) a4 b4 = (ab)4
4)
5)
6) 2m + 3 22 – m = 32
7) (3ab)2 = 9a2b2
IV) ¿Cuál de las siguientes desigualdades son verdaderas?
1) a0 < (2a)0
2) 17 > 1-3
3) <
4) a-5 > a-7
MULTIPLICACION DE MONOMIOS
Para multiplicar monomios, multiplicamos Signos Coeficientes (números) Factores literales (letras)
Los signos con la regla de los signos Los números sabes multiplicarlos Los factores literales (letras) con la propiedad para multiplicar potencias de igual base
EJEMPLOS
27
1) 5a 6b = 30ab
2) -5a 7a7 = - 35a1+7 = -35a8
3) 8m3n 9m7np =
4)
EJERCICIOS
Multiplica los siguientes monomios
1) 2x2 -5x6 =
2) –3a2b -9a3b7 =
3) 0,6q9r 10q2 + qr =
4)
5) x6m + 3n -8x7m 5xm – 3n =
6)
MULTIPLICACION DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
La multiplicación de un monomio por un polinomio es una consecuencia de la distributividad de la multiplicación sobre la adición
¿Cómo se multiplica un monomio por un polinomio?
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo presente que se multiplican los signos, los números y las potencias
EJEMPLOS 1) 2x(3x + 5x2) = 2x3x + 2x5x2
= 6x2 + 10x3
2) –3a2(a4 – c – d2) =
3) 2b5(b4 – 6ab3 – 8b) =
4) Calcula el área de la siguiente figura
28
3x2+2x-9
APRENDIZAJE 01MAT020008 Resuelven ecuaciones con coeficientes numéricos y literales. Analizan la existencia de sus soluciones.APRENDIZAJE 01MAT020003 Traducen al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas en las que utilizan letras como incógnita. Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Objetivos de la clase : Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y con coeficientes enteros Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y con coeficientes fraccionarios Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y con coeficientes literales Resolver problemas usando ecuaciones de primer grado con una incógnita
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad, que tiene por lo menos una cantidad desconocida, llamada incógnita. Esta igualdad se cumple, se verifica o es verdadera para un determinado valor de la incógnita
La incógnita generalmente se representa con las últimas letras del abecedario x , y , z, u, v, etc
Resolver una ecuación, es encontrar el valor de la incógnita que verifica la igualdad. Este valor se llama solución de la ecuación
¿Cómo resolvemos una ecuación?
Lo fundamental es aislar la incógnita o despejar la incógnita a un lado de la igualdad y tener un método de soluciónUsaremos todo lo que conocemos sobre las operaciones con números reales y las siguientes propiedades de las igualdades para resolverlas
29
5x2
5x2
RESOLUCION ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
CON COEFICIENTES ENTEROS
Resuelve las siguientes ecuaciones, comprobando la solución e indicando el conjunto al que pertenece
1) 3x = 48
2) 5x + 3 = 21 – x
3) 2x + 8 = 16
4) 3x – 5 = 2
5) x – 5 = 3x – 25
6) 7x = -2x + 8
7) 5x-2x-(x-6) = 18-(-7-6-3x+24)
8) 3x-(2x-1) = 7x-(3-5x)+(-x+24)
9) 3(x –3) = 5x + 2
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Al sumar o restar una cantidad a ambos lados de una igualdad, ésta se mantiene
Al multiplicar o dividir ambos lados de la igualdad por un número distinto de cero, la igualdad se mantiene
5x2
10) 10(x-9) – 9(5-6x) = 2(4x-1)+5(1+2x)
CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS
Para resolver una ecuación con coeficientes fraccionarios la convertimos a ecuación con coeficientes enteros , eliminado sus denominadores
¿ Cómo eliminamos los denominadores?
1º) Calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores2º) Multiplicando por él cada uno de los términos de la ecuación 3º) Resolvemos una ecuación con coeficientes enteros
EJERCICIOS
Resuelve las siguientes ecuaciones, comprobando la solución e indicando el conjunto al que pertenece
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RESOLUCION DE PROBLEMAS USANDO o PLANTEANDO UNA ECUACION
Son muchos los problemas que podemos resolver planteando con sus datos una ecuación de primer grado
¿Cómo resolver un problema usando ecuaciones?
Lo más importante es tu “actitud” frente al problema, ésta debe ser positiva, sin prejuicios. Ten siempre presente que todo lo que se propone para que desarrolles lo puedes hacer, si no pudieses hacerlo, no estaría propuesto
1º) Lee atenta y comprensivamente el problema, si es necesario varias veces
2º) Identificar la incógnita (lo que se pide o pregunta) y los datos que nos aporta el problema
3º) Relaciona los datos con la incógnita x y forma la ecuación
4º) Resuelve la ecuación
5º) Comprueba que la solución de la ecuación es coherente con lo pedido en el problema
6º) Dar la respuesta al problema
EJEMPLO 1
¿Cuál es el número que aumentado en 20, equivale al triple del mismo número?
El número : xAumentado en 20 : x + 20Equivale : =Triple del mismo número : 3x
Por lo tanto la ecuación que representa el problema es x + 20 = 3x x – 3x = -20 -2x = -20 x = 10
Comprobamos : 10 + 20 = 30 y 310 = 30. Luego la solución hallada verifica la igualdad y las condiciones del problema
Respuesta : El número es 10
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¿Qué es plantear una ecuación?
Es expresar en una ecuación las relaciones que existen entre los datos y la pregunta de un problema, en donde la incógnita x representa lo que se pide
EJEMPLO 2 Inténtalo tú
Pienso en un número. Si le resto 8 y luego multiplico esa diferencia por 3, obtengo como resultado 15 ¿Cuál es el número que pensé?
EJEMPLO 3
Después de cortar de una tabla quedan 30 cm ¿Cuál era el largo de la tabla?
Largo de la tabla : x
La parte cortada : x
Lo que queda es la diferencia ente el largo de la tabla y lo que se corto : x - x
La ecuación es :
x - x = 30 cm 4
4x – 3x = 120 cm x = 120 cm
Respuesta : El largo de la tabla era de 120 cm o 1,2 m
EJEMPLO 4 ( Lo realizas con ayuda de tu profesor)
Después de ocupar los de un depósito de agua aún quedan 250 litros ¿cuántos litros de
agua tenía el depósito?
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EJEMPLO 5La suma de tres números naturales consecutivos es 87 ¿Cuál es el número del medio?
Primer número : xSegundo número : x + 1Tercer número : x + 1 + 1 = x + 2
La ecuación es x + x + 1 + x+2 = 81 3x + 3 = 81 3x = 78 x = 26
El número del medio es x+1 = 26+1=27Respuesta : el número es 27Comprobación 26 + 27 + 28 = 81
EJEMPLO 6El lado de un triángulo es la tercera parte del perímetro, el segundo lado mide 7 cm y el tercer lado es un quinto del perímetro ¿Cuál es el perímetro del triángulo?
Recordemos que el perímetro de una figura es la suma de todos sus lados
Perímetro : x
Primer lado : x
Segundo lado : 7cm
Tercer lado : x
1erlado + 2ºlado + 3erlado = Perímetro
x + 7 + x = x 15
5x + 105 + 3x = 15 x 8x + 105 = 15x 8x – 15x = - 105 -7x = -105 x = 15
Respuesta : el perímetro del triángulo es 15 cm
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EJEMPLO 7 (Lo realizas con ayuda de t profesora)
9) ¿Cuál es la medida de los ángulos en el triángulo dado?
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x x+10
3x+10
RESUMEN
Para encontrar la fórmula, expresión algebraica o término general de las regularidades numéricas, lo fundamental es descubrir el patrón, regla o ley de formación de la sucesión
Las potencias algebraicas generalizan las propiedades de las potencias vistas con bases numéricas
Una expresión algebraica es una cadena de signos, letras y operaciones matemáticas
Un término algebraico está formado por un coeficiente (número) y un factor literal (letras o variables). Los términos se separan unos de otros con el signo + o con el signo –
Una expresión algebraica se llama Monomio, si tiene 1 término Polinomio si tiene más de 1 término, pero hay polinomios que reciben nombres
especiales como : Los Binomios y los Trinomios
El grado de un término es la suma de los exponentes de cada factor literal
El grado de un polinomio es el mayor exponente entre todos los términos que la forman
Valorizar una expresión algebraica, valorar una expresión o el valor de una expresión algebraica, se calcula reemplazando en la expresión los valores dados de las variables y luego efectuando las operaciones numéricas correspondientes
Términos semejantes son los que tienen igual o idéntica su parte literal. Sólo los términos semejantes se pueden reducir
Los términos semejantes se reducen sumando o restando sus coeficientes, según corresponda.
Reducir términos semejantes equivale a sumar y restar monomios
Los monomios se multiplican : multiplicando signos, números y letras Los signos con la regla de los signos Los números como ya sabes Las letras con la propiedad para multiplicar potencias de igual base
La división de monomios es análoga a la multiplicación de monomios
Para multiplicar un monomio por un polinomio, usamos la propiedad distributiva, o sea, multiplicamos el monomio por cada término del polinomio
Para multiplicar polinomios, también usamos la propiedad distributiva, multiplicando ordenadamente todos los términos de la expresión
Una ecuación, es una igualdad que contienen al menos un valor desconocido llamado incógnita
Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que verifica o cumple la igualdad . Lo fundamental para resolver una ecuación es aislar la incógnita a un lado de la igualdad
Las ecuaciones nos ayudan a resolver problemas. Para resolver problemas con ecuaciones, transformamos a lenguaje algebraico los datos y condiciones del problema, para escribir una ecuación que lo represente
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