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Philosophy of mathematics: 5 questions. editado por Vincent F. Hendricks y Hannes leitgeb, automatic Press V P, reino unido y estados unidos, 2008, vi + 342 pp, us$ 36.00, isBn: 978 -87- 991013-5- 1

recibido: 13/04/10revisado: 18/04/10aprobado: 02/06/10

el libro del que se ocupa esta resea consiste en la compilacin de entrevistas a 28 lsofos de la matemtica hecha por Hendricks y leitgeb. los entrevistados son considerados como los expertos ms inuyentes en el rea de las ltimas dcadas. Los mismos compiladores lo consideran un proyecto bastante inusual y forma parte de una coleccin de la misma editorial con volmenes de entrevistas sobre losofa poltica, tica, losofa de la fsica, losofa de la tecnologa, entre otras reas. El objetivo de este volumen es dar forma a la discusin de cmo los lsofos de la matemtica entienden su propia empresa y por qu estas luminarias decidieron convertir a la interseccin entre losofa y matemticas el centro de su obra (p. iii). este objetivo impone cierto criterio de seleccin de los entrevistados. en casi todos los casos se trata de pensadores actualmente activos en el rea que han investigado en algn rea de la matemtica o al menos han tenido una formacin acadmica en matemticas.

los entrevistados (en orden alfabtico, tal como aparece en el libro) son: Jeremy avigad, steve awodey, John l. Bell, Johan van Benthem, Douglas Bridges, charles chihara, Mark colyvan, e. Brian Davies, Michael Detlefsen, solomon Feferman, Bob Hale, Geoffrey Hellman, Jaakko Hintikka, thomas Jech, H. Jerome Keisler, ulrich Kohlenbach, Penelope Maddy, Paolo Mancosu, charles Parsons, Michael D. resnik, stewart shapiro, Wilfried sieg, William tait, albert Visser, alan Weir, Philip Welch, crispin Wright, edgard n. Zalta. Probablemente, surja en la mente del lector la pregunta de si son exactamente ellos los expertos ms inuyentes en el rea;

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algunos tal vez crean advertir alguna ausencia, y, asimismo, hay quienes ubicaran a alguno de los entrevistados en otro volumen de la coleccin. una parte importante de los entrevistados ensea en departamentos de matemtica y la gran mayora vive en pases de habla inglesa (Holanda y alemania son las excepciones). no hay casos provenientes de pases eslavos o latinos que cuentan con una tradicin en el rea.

en todo caso, el volumen abarca desde el estructuralismo (Hellman, Resnik, Shapiro), hasta la discusin losca en teora de la demostracin (Sieg), pasando por el nitismo (Tait) o el naturalismo (Maddy). Ninguno de los entrevistados deende perspectivas ms alejadas de la tradicin analtica en cualquiera de sus vertientes, o puntos de vista ms heterodoxos como el del segundo Wittgenstein.

en la mayora de las entrevistas se formulan las siguientes cinco preguntas:

1) Por qu se sinti ud. inicialmente atrado por los fundamentos de la matemtica y/o la losofa de la matemtica?

2) Qu ejemplos de su obra (o de la obra de otros) ejemplican el uso de la matemtica en la losofa?

3) Cul es el papel adecuado de la losofa de la matemtica respecto de la lgica, de los fundamentos de la matemtica, de las reas centrales tradicionales de la matemtica y de la ciencia?

4) cules considera ud. los temas y/o contribuciones ms des-cuidadas en la losofa de la matemtica de nes del siglo XX?

5) cules son los problemas abiertos ms importantes en la losofa de la matemtica y cules son las perspectivas de progreso en ellos?

en otros casos, las preguntas se formulan con una ligera variacin (de la que no se dan razones). en todo caso, estas son lo sucientemente amplias como para que el entrevistado pueda organizar su respuesta libremente, si bien le otorgan un sesgo denido al libro. Pinsese, por ejemplo, en la atencin que reciben

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los fundamentos de la matemtica. tal vez la pregunta menos esperable sea la segunda, que apunta a un tema que, en rigor, no compete a la losofa de la matemtica, sino a la inuencia de la ltima en la primera. Pero esto responde al especial inters de los compiladores por el uso de formalismos en losofa.

en algunos casos (como los de chihara, Hintikka o Zalta) el resultado es un texto inde pendiente con forma de artculo. en otros casos, las respuestas adoptan un tono coloquial y directo (un ejemplo claro es van Benthem). Desde luego, puede discutirse la pertinen cia de las preguntas (y por qu justamente cinco), pero, en lneas generales, permiten a los entrevistados ofrecer su punto de vista sobre la situacin actual de la disciplina. la primera de las preguntas provoca en algunos casos respuestas con un tono de relatos de iniciacin. en todo caso, las respuestas marcan diferencias en la formacin y el lugar de la matemtica en ella queda puesto de relieve; resulta interesante advertir la inuencia en varios de los entrevistados de los docentes de matemtica durante el nivel medio. las respuestas dan un panorama fresco y vivo de las variadas motivaciones para dedicarse a la losofa de la matemtica. algunos estudiaron originariamente matemtica y slo despus se orientaron a la losofa, otros estudiaron ambas disciplinas simultneamente, y algunos pocos casos comenzaron primero con losofa para luego estudiar matemtica.

El cuestionario provoca en los entrevistados la reexin general sobre la naturaleza de la losofa de la matemtica: su relacin con la matemtica misma, y la distincin entre un problema losco y un problema estrictamente matemtico. en este contexto, se destaca la dicultad de separar ntidamente los tres campos de la lgica, la losofa de la matemtica y los fundamentos de la matemtica. Enfrentados con esta dicultad, algunos se pronuncian por una separacin total (Davies) o una fusin de hecho (Feferman). Para otros, la lgica matemtica es un elemento indispensable (por ejemplo, van Benthem y sieg). as, avigad seala que la lgica es interesante slo en la medida en que nos dice algo acerca de la matemtica que nosotros practicamos realmente (p. 6). Por su

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parte, Hintikka seala que sus ideas acerca de la matemtica se derivan de su trabajo en lgica y en losofa de la lgica (vase p. 165).

en lo que sigue, se comentarn las entrevistas ms impactantes para el autor de esta resea y algunos pasajes polmicos. el captulo 13 transcribe el texto con el que Hintikka respondi al cuestionario, y que es una encendida defensa de la IF- logic (por Independence friendly logic, traducible al castellano como lgica favorable a la independencia) como la lgica apropiada para expresar teoras matemticas.

en la IF- logic los cuanticadores que aparecen en un enunciado dejan de tener las relaciones de dependencia habituales en frmulas de la lgica de primer orden con cuanticacin mltiple. ahora bien, esta lgica carece de muchas propiedades tpicas de la lgica de primer orden: no es nitamente axiomatizable, ni es completa. Sin embargo, permite denir el concepto de verdad en el mismo lenguaje y demostrar la consistencia de teoras dentro del mismo lenguaje. estas son las razones que llevan a Hintikka a armar que la adopcin de la IF- logic implica una reevaluacin de los fundamentos de la matemtica (p. 166). Por ejemplo, el segundo teorema de incompletitud de Gdel no se cumple y el programa de Hilbert renace con nuevas vestiduras. adems, el principio de tercero excluido no es universalmente vlido. Hintikka remite a su libro The Principles of Mathematics Revisited de 1996, donde desarrolla esta fundamentacin de la matemtica y sus consecuencias. como se ha demostrado, la IF -logic resulta equivalente a la llamada lgica existencial de segundo orden, de modo que va ms all de la lgica de primer orden usual (y aqu surgen ciertas dudas sobre su utilidad). la idea de que la lgica sea incompleta no deja de ser atractiva y propicia una tesis anterior de Hintikka: que la lgica es informativa.

la exposicin de Hintikka ofrece una nueva versin de una actitud preponderante en la losofa de la matemtica de la pri-mera mitad del siglo XX: la preocupacin por los fundamentos de la matemtica y por la funcin de la lgica en ellos. W. sieg es otro

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de los entrevistados que sigue esta perspectiva, si bien a partir de un marco diferente. Para sieg, es prcticamente imposible distin-guir entre losofa y fundamentos de la matem tica (p. 240). Como ejemplos de problemas loscos menciona el de la aritmetizacin del anlisis en el siglo XiX, que dio origen a gran parte de los pro-blemas y la teoras fundacionales (pp. 235 s.), y la formulacin ri-gurosa de conceptos tales como formalidad o computabilidad (pp. 237 s.). (no resulta extrao entonces que sieg destaque especial-mente la obra de Paul Bernays como una contribucin a la que se le ha brindado poca atencin.) otra forma de renovacin de los fundamentos de la matemtica consiste en recurrir a la teora de las categoras, como propone, J. l. Bell: una pluralidad de marcos matemticos conceptuales pueden denirse en trminos de teora de las categoras de un modo que resulta compatible con una des-cripcin estructuralista de la matemtica (p. 18).

esta perspectiva basada en los fundamentos ha sido central en la losofa de la mate mtica del siglo XX; su riqueza y enjundia son innegables. sin embargo, en la actualidad se encuentra tambin seriamente cuestionada. en el libro aparecen algunos ejemplos de este cuestionamiento. Por ejemplo, J. avigad critica directamente el uso de la lgica matemtica para resolver problemas loscos y maniesta la necesidad de superar los modelos basados en lgica matemtica para caracterizar el concepto de demostracin (p. 9). P. Mancosu deende una losofa de la matemtica que est ms prxima a la prctica matemtica, que se base en un conocimiento a la vez extenso y profundo de la mate mtica y que no ignore su aspectos diacrnica (p. 200). As, para Mancosu, la losofa de la matemtica se ha desarrollado tradicionalmente como un conjunto de tesis acerca de diferentes reas de la matemtica. a comienzos del siglo XX, el poder unicador de la teora de conjuntos condujo a que la losofa de la matemtica se redujera a una losofa de la teora de conjuntos (p. 198). Para Mancosu, una lnea ms prxima a la prctica matemtica se encuentra, por ejemplo, en la clsica obra de imre lakatos Proofs and Refutations.

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En sntesis, el libro ofrece un colorido panorama de la losofa de la matemtica ac tual. Queda claro que la distincin entre las tres clsicas escuelas de fundamentos de matemticas: logicismo, intuicionismo y formalismo, que era usual hasta nes del siglo XX, no puede ser tomada como hilo conductor de la losofa de la matemtica. la discu sin es conducida por otros problemas, tales como dar cuenta de la matemtica real, lo que exige el estudio de casos histricos concretos. as, la historia de la matemtica es considerada como un input indispensable para hacer una satisfactoria losofa de la matemtica.

Por lo dems, la mayora de los entrevistados destaca como un problema y una mo tivacin el clebre reto formulado por Paul Benacerraf en su artculo Mathematical truth de 1973: construir una teora que d cuenta a la vez de la semntica de los enun ciados matemticos y del conocimiento matemtico. como consecuencia de este reto, la discusin se articula mejor en trminos de los problemas ontolgicos, gnoseolgicos y semnticos que plantean la teora y la prctica matemtica. a esto se aade, como un problema crucial, la aplicacin de la matemtica en las ciencias empricas.

Para resumir, puede armarse que de las entrevistas emergen dos lneas diferentes: una que puede llamarse ms tradicional (por ejemplo, Hintikka, Parsons, tait), que est enfocada en fundamentos de la matemtica y en la construccin de teoras formales para diferentes reas de la matemtica, y otra lnea, tal vez ms innovadora, centrada en la prc tica matemtica y ms interesada en estudiar los conceptos informales que se han dado en el desarrollo histrico (Davies y Mancosu son casos claros). as, puede hablarse de una losofa formal de la matemtica y otra losofa de la prctica matemtica como dos pers pectivas que coexisten en la reexin losca actual de la matemtica. Simplicando las cosas, la primera se centra directamente en la naturaleza de las entidades matemticas y en el modo de acceso que tenemos a ellas, mientras que la segunda se ocupa de la manera en que los matemticos construyen la disciplina en su desarrollo histrico. esta distincin tiene analogas con la situacin actual en la losofa de las ciencias

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fcticas, al punto tal que algunos de sus debates se reproducen en la losofa de la matemtica. No cabe duda de que, luego del intenso y profundo debate sobre fundamentos desarrollado en el siglo pasado, la reexin basada en la prctica matemtica tiene por delante mucho terreno donde avanzar.

Pese a las ausencias mencionadas al comienzo, el libro sirve como un excelente su plemento para un estudio sistemtico de la losofa actual de la matemtica. Muchos de los entrevistados tienen oportunidad de aclarar mejor sus teoras, hacer explcitas las motivaciones de las mismas y referirse al contexto en que surgieron (ejemplos: la IF-Logic de Hintikka, el estructuralismo matemtico, el neofregeanismo, etc.). tomadas en su totalidad, las referencias bibliogrcas de cada una de las entrevistas constituyen una rica bibliografa sobre el tema.

Javier legrisuniversidad de Buenos aires y ceF conicet. correo electrnico: [email protected]

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