FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

DPTO. DE MATEM'ATICAS

UNIVERSIDAD ANDRS BELLO

FMM212: CLCULO INTEGRAL

LECTURA 1Segundo Semestre 2015

Antiderivada

Un fsico que conoce la velocidad de una partcula podra desear conocer su posicin en un instante dado. Un ingeniero que puede medir lacantidad variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un bilogo queconoce la rapidez a la que crece una poblacin de bacterias puede interesarse en deducir el tamao de la poblacin en algn momento futuro. Encada caso, el problema es hallar una funcin F cuya derivada es una funcin conocida. Si tal funcin F existe, se llama antiderivada de f .

Una funcin F recibe el nombre de antiderivada de f sobre un intervalo I si F (x) = f(x) para todo x I

Definicin 1.

Por ejemplo, sea f(x) = x2. No es difcil descubrir una antiderivada de f si utiliza la regla de la potencia. En efecto, si F (x) = 13x3,

despus de F (x) = x2 = f(x). Pero la funcin G(x) = 13x3 + 100 tambin satisface G(x) = x2. Por lo tanto, F y G son

antiderivadas de f . De hecho, cualquier funcin de la forma H(x) = 13x3 +C , donde C es una constante, es una antiderivada de f . Surge

la pregunta hay otras?

Para contestar la pregunta, podemos hacer referencia al teorema del valor medio el cual establece que si dos funciones tienen derivadasidnticas en un intervalo, entonces su diferencia es constante. Por esto, si F y G son dos antiderivadas cualquiera de f , entonces

F (x) = f(x) = G(x)

de modo que G(x) F (x) = C , donde C es una constante. Puede escribir esto como G(x) = F (x) + C , de modo que tiene el resultadosiguiente.

Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I , entonces la antiderivada ms general de f sobre I es:

F (x) + C

donde C es una constante arbitraria.

Teorema 1.

De nuevo con la funcin f(x) = x2, se ve que la antiderivada general de f es 13x3 +C . Al asignar valores especficos a la constante C ,

obtiene una familia de funciones cuyas grficas son traslaciones verticales de una a otra (vase figura 1). Esto tiene sentido porque cada curvadebe tener la misma pendiente en cualquier valor conocido de x

1

XYy = x3 + 2y = x3 + 1y = x3y = x3 1y = x3 2

Ejemplo 1: Encuentre la antiderivada ms general de cada una de las funciones siguientes.

(a) f(x) = sinx (b) f(x) = 1/x (c) f(x) = xn n 6= 1

SOLUCIN

(a) Si F (x) = cosx por lo tanto F (x) = sinx, de manera que una antiderivada de sinx es cosx. Por el teorema 1, laantiderivada ms general es G(x) = cosx+ C .

(b) Recuerde qued

dx(lnx) =

1

x

Por consiguiente, en el intervalo (0,) la antiderivada general de 1/x es lnx+ C . Asi mismo,d

dx(ln |x|) = 1

x

para todo x 6= 0. El teorema 1 en tal caso afirma que la antiderivada general de f(x) = 1/x es ln |x| + C sobre cualquierintervalo que no contenga 0. En particular, esto es verdadero sobre cada uno de los intervalor (, 0) y (0,+). Por consiguiente,la antiderivada general de f es

F (x) =

{lnx+ C1 si x > 0ln(x) + C2 si x < 0

(c) Use la regla de la potencia para descubrir una antiderivada de xn. De hecho, si n 6= 1, despus

d

dx

(xn+1

n+ 1

)=

(n+ 1)xn

n+ 1= xn

As, la antiderivada general de f(x) = xn es

F (x) =xn + 1

n+ 1+ C

Esto es vlido para n 0 ya que despus f(x) = xn est definida sobre el intervalo. Si n es negativo (pero n 6= 1), slo es vlidasobre cualquier intervalo que no contenga a 0.

2

Como en el ejemplo 1, toda frmula de derivacin leda de derecha a izquierda da lugar a una frmula de antiderivacin. En la tablasiguiente se enumeran algunas antiderivadas. Cada frmula de la tabla es verdadera, puesto que la derivada de la funcin de la columna de laderecha aparece en la columna de la izquierda. En particular, en la primera frmula se afirma que la antiderivada de una constante multiplicadapor una funcin es una constante multiplicada por la antiderivada de la funcin. En la segunda se expresa que la antiderivada de una suma esla suma de las antiderivadas. (Se usa la notacin F = f , G = g)

Funcin Antiderivada particular Funcin Antiderivada particular

cf(x) cF (x) sinx cosxf(x) + g(x) F (x) +G(x) sec2 x tanx

xn (n 6= 1) xn+1n+1 secx tanx secx1/x ln |x| cosx sinx

ex ex1

1 + x2arctanx

Ejemplo 2: Encuentre todas las funciones g tales que

g(x) = 4 sinx+2x5 x

x

SOLUCIN

Primero, escriba de nuevo la funcin dada en la forma siguiente:

g(x) = 4 sinx+2x5

xx

x= 4 sinx+ 2x4 1

x

De esta manera, desea hallar la antiderivada deg(x) = 4 sinx+ 2x4 x1/2

Al usar las frmulas de la tabla anterior, se obtiene que:

g(x) = 4 cosx+ 25x5 2x+ C

En las aplicaciones del clculo es muy comn tener una situacin como la del ejemplo 2, donde se requiere hallar una funcin, dado elconocimiento acerca de sus derivadas. Una ecuacin que comprende las derivadas se llama ecuacin diferencial. stas se estudian con ciertodetallle en la asignatura Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales pero, por el momento, es posible resolver algunas ecuaciones diferencialeselementales. La solucin general de una ecuacin diferencial contiene una constante arbitraria (o varias constantes arbitrarias), como en elejemplo 2. Sin embargo, pueden haber algunas condiciones adicionales que determinan las constantes y, por tanto, especifican de manera nicala solucin.

3

Movimiento rectilineo

La antiderivacin es en particular til al analizar el movimiento de un objeto que se mueve en lnea recta. Recuerde que si el objeto tienela funcin de posicin s = f(t), en tal caso la funcin de velocidad es v(t) = s(t). Esto significa que la funcin de posicin es unaantiderivada de la funcin de velocidad. Del mismo modo, la funcin de aceleracin es a(t) = v(t), de suerte que la funcin de velocidad esuna antiderivada de la aceleracin. Si se conocen la aceleracin y los valores iniciales s(0) y v(0), por lo tanto se puede hallar la funcin deposicin al antiderivar dos veces

Ejemplo 3 Una particula se mueve en linea recta y tiene la aceleracin dada por a(t)) = 6t+ 4. Su velocidad inicial es v(0) = 6 cm/s ysu desplazamiento inicial es S(0) = 9 cm. Encuentre su funcin de posicin s(t).

SOLUCIN

Dado que v(t) = a(t) = 6t+ 4, la antiderivada da

v(t) = 6 t2

2+ 4t+ C = 3t2 + 4t+ C

Observe que v(0) = C , pero V (0) = 6, de tal manera que C = 6 y

v(t) = 3t2 + 4t 6

Como v(t) = s(t), s es la antiderivada de v:

s(t) = 3 t3

3+ 4 t

2

2 6t+D = t3 + 2t2 6t+D

Esto da s(0) = D. Si s(0) = 9, esto implica que D = 9 y funcin de posicin requerida es

s(t) = t3 + 2t2 6t+ 9

Un objeto cerca de la superficie de la tierra est sujeto a una funerza gravitacional que produce una aceleracin hacia abajo denotada cong. Para el movimiento cercano a la tierra supone que g es constante y su valor es de unos 9,8 m/s2

Ejemplo 4 Se lanza una pelota hacia arriba a una rapidez de 48 pies/s desde el borde de un acantilado a 432 pies por arriba del nivel de latierra. Encuentre su altura sobre el nivel de la tierra t segundos ms tarde. Cundo alcanza su altura mxima? Cundo choca contra el nivelde la tierra?

SOLUCIN

El movimiento es vertical y se elige la direccin positiva como la correspondiente hacia arriba. En un instante t, la distancia arriba del nivel dela tierra s(t) y la velocidad v(t) es decreciente. Por consiguiente, la aceleracin debe ser negativa y

a(t) =dv

dt= 32

con antiderivadasv(t) = 32t+ C

Para determinar C , use la informacin dada de que v(0) = 48. Esto implica que C = 48, de manera que

v(t) = 32t+ 48

4

La altura mxima se alcanza cuando v(t) = 0; es decir, despus de 1.5 s. Como s(t) = v(t), antiderive una vez ms y obtiene

s(t) = 16t2 + 48t+D

Aplique s(0) = 432 y 432 = 0 +D; por consiguiente

s(t) = 16t2 + 48t+ 432

La expresin para s(t) es vlida hasta que la pelota choca contra el nivel de la tierra. Esto sucede cuando s(t) = 0; o sea cuando

16t2 + 48t+ 432 = 0

Con la frmula cuadrtica para resolver esta ecuacin obtiene

t =3 313

2

Rechace la solucin con signo menos, ya que da un valor negativo para t. En consecuencia, la pelota choca contra el nivel de la tierra despusde 3(1 +

13)/2 6, 9 seg.

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