las7herramientasestadísticasbásicas

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LAS 7 HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

BASICAS

“No aprendas nada hoy y tu mañana será igual a tu pasado” -R. Bach

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Las siete Herramientas Estadísticas Básicas

Título original : THE STATICAL BASIC Editor original ; Atlantic International University. Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares de Copyrigth, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier medio o procedimiento, incluidos la reprografía y el tratamiento informático, así como la distribución de ejemplares mediante alquiler o préstamo públicos. © 2002 by Atlantic International University.

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RECOMENDACIÓN PARA EL AUTOAPRENDIZAJE

Antes de iniciar su autocapacitación revise su apéndice

“Guía de estudio, Aplicación y Evaluación”

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Objetivos

Identificar el fundamento y aplicación de las 7 Herramientas Estadísticas Básicas

Al terminar el Seminario, el participante: 1. Identificará la importancia del uso de métodos estadísticos como un medio para el

mejoramiento y control de los procesos. 2. Diferenciará la Variables Continuas de la s Variables Discretas, así como la técnica

estadística a utilizar de acuerdo al tipo de variables. 3. Empleará los métodos estadísticos para representar datos. 4. Analizará, con ayuda de los métodos estadísticos, la problemática de un proceso. 5. Evaluará el control y estabilidad de un proceso.

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Recomendaciones para Estudiar este Manual Este manual de autocapacitación está diseñado especialmente tomando en cuenta las necesidades del lector y comunicando de la manera más sencilla los contenidos. Por lo que, mediante un estudio cuidadoso usted puede identificar la información para aplicarla a su situación personal, con la seguridad de que este documento es suficiente para avanzar en el estudio. No hay necesidad de consultar otros materiales de apoyo para la resolución de anexos y evaluaciones. Es muy importante entender que para que el aprendizaje sea efectivo se necesitan dos cosas; una, este manual y la otra, responsabilidad por parte de usted para con el mismo, tomando en cuenta que el aprendizaje es un proceso activo y no precisamente de “absorción”. El aprendizaje será directamente proporcional a la cantidad de reacción que se ofrezca ante una situación, dependerá del vigor con que se ponga la mente a pensar y a trabajar efectivamente en las ideas en que se van a aprender. Claro está que para aumentar la capacidad de estudio, la reacción correctiva ha de reemplazar a los consejos, el lector debe pensar positivamente y encaminarse a una acción constructiva. Pensando de modo positivo, este manual se convertirá en una experiencia estimulante. Para el logro de las metas planeadas, le recomendamos lo siguiente:

Escoger para estudiar, un lugar que está bien iluminado y ventilado procurando que en éste no haya distracciones tales como radio, T.V., niños jugando, etc.:

Dedicar el tiempo fijo para el estudio. Una o dos horas diarias serían

suficientes para un aprendizaje rápido y provechoso; pero siempre a la misma hora. Si para estudiar se emplean breves períodos, desligados entre sí, no se sigue un plan sistemático de estudio, el tiempo empleado no dará buenos resultados.

Leer los textos tomando en cuenta que el leer no implica pasar la mirada

por los textos, sino razonarlos y comprenderlos. Aprenda el significado, no sólo las palabras.

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Leer los módulos buscando su significado, ¡lea activamente!, subraye las palabras y frases clave, para ayudarse a recordar los puntos fundamentales y a reconstruir el tema en la imaginación. Con esto, al realizar un repaso no lleva tanto tiempo buscar y describir detalles importantes.

Dividir el tiempo de estudio entre la lectura y la medición.

Escribir ideas clave con sus propias palabras en el margen del manual, es

una manera de estimular la acción mental; recuerde que la participación activa en el proceso de lectura le hará comprender mejor lo leído.

Nunca suspenda una lectura una vez comenzada, de preferencia termine

por completo el módulo.

Leer con cuidado todas las hojas del manual. No importa si cree que ya sabe lo que está exponiendo, léalo y compruebe si realmente lo sabía.

NO inicie el estudio de un módulo hasta que no esté bien seguro de que

comprendió perfectamente el módulo anterior.

Resuelva todos los anexos y realice todas las actividades sin eludir ninguna; éste es el único camino por el que usted mismo podrá saber cuánto aprendió.

Tenga a la; lápiz, color rojo, goma de borrar y hojas para tomar notas.

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Evaluación Al finalizar el manual se incluye una evaluación, la cuál servirá para identificar el grado de aprendizaje alcanzado. El lector deberá resolver dicha evaluación antes de iniciar la lectura del manual, posteriormente al finalizarla. Si al realizar la segunda evaluación y comparar sus respuestas con las correctas, notará diferencias, le recomendamos dar una segunda lectura a el o los módulos correspondientes. No se conforme jamás con un aprendizaje mediocre. Recuerde que la pruebe de toque de un verdadero aprendizaje es la aplicación, alcance dicha prueba durante su evaluación en el aspecto teórico y con la resolución de ANEXOS en el aspecto práctico.

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Estructura del manual E l manual del participante está dividido en dos partes, en la primera encontramos lo siguiente: Presentación: que resume a grandes rasgos el propósito del manual. Meta de aprendizaje y objetivos: se refieren a los logros o grados de aprendizaje que se requiere por parte del lector al finalizar la lectura del manual. Bibliografía: completa y enumerada en orden alfabético para su fácil manejo, en caso de que alguno del os lectores quisiera ahondar en algún tema específico . Contenido temático: engloba los módulos con sus respectivas unidades temáticas, es importante revisarlo para tener idea clara de lo que vamos a enfrentar. La segunda parte del manual la conforman los módulos identificados con número romano y título. La estructura interna de cada módulo presenta en primera instancia una serie de objetivos particulares que indican el grado de aprendizaje que se requiere por parte del lector, al concluir la lectura del módulo correspondiente. Continuando con la descripción nos encontramos con las unidades temáticas, identificables con números arábigos y desarrolladas brevemente para facilitar su estudio., aclarando que el principal objetivo del manual en general no es proporcionar un tratado teórico de autores, sino una herramienta teórica – práctica para aplicar a un caso particular. A medida que el lector avance en su lectura se encontrará de una serie de notas que hacen referencia al correcto uso de cuadros y anexos. Cabe aclarar que los cuadros presentan de manera esquemática los diferentes contenidos y los anexos permiten plasmar la realidad para relacionarla con la teoría revisada. Se recomienda seguir al pie de la letra dichas notas.

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CONTENIDO TEMATICO I INTRODUCCION II ESTRATIFICACION III DIAGRAMA DE CAUSA Y EFECTO

1. Introducción. 2. Elaboración del diagrama.

3. Recomendaciones para

elaborar el diagrama.

4. Beneficios. IV DIAGRAMA DE PARETO.

1. Introducción. 2. Construcción del diagrama.

3. Beneficios.

V VARIABLES CONTINUAS Y DISCRETAS. VI MEDIDAS DE TENDENCIAS CENTRAL Y DISPERSION

1. Introducción 2. Media aritmética o promedio

3. Mediana

4. Rango.

5. Desviación estándar.

VII HISTOGRAMA.

1. Introducción. 2. Análisis de interpretación.

3. Cómo agrupar datos.

4. Construcción del

histograma. VIII CURVA NORMAL

1. Conceptos fundamentales. 2. Características de la curva

normal. IX HOJA DE VERIFICACION X GRAFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES CONTINUAS.

1. Introducción 2. Fundamentos estadísticos.

XI GRAFICOS POR ATRIBUTOS.

1. Introducción. 2. Gráfica p

3. Gráfica np

4. Gráfica c

5. Gráfica u

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I. Introducción

OBJETIVOS: Al finalizar este módulo el capacitando: 1.1 Identificará la importancia de la

aplicación de los métodos estadísticos en los procesos para su control y mejoramiento.

En la actualidad, muchas

empresas están interesadas en mejorar la calidad del producto con base en el control estadístico de procesos. Sin embargo, la mejora de la calidad se obtiene por medio de modificar los diversos sistemas

operativos de una empresa con base en el control estadístico de procesos. Las diversas técnicas estadísticas son de utilidad para evaluar, diagnosticar, analizar y priorizar los procesos de calidad. Pero la aplicación, interpretación y solución de los problemas lo define el recurso humano de una empresa. Las “Siete Herramientas Estadísticas Básicas” permiten que una empresa sea consistente en su propósito de mejorar la calidad del producto, ya que intrínsecamente son técnicas que son utilizadas por el Hombre para crear la función de prevención.

Fig 1-1

Problema de

Calidad

Acción Resultado Mejorar

y conservar la Calidad

11

Muchas empresas confunden la función de prevención, ya que piensan que es mejorar o controlar la calidad. Sin embargo, la prevención comprende: a) Planificar la Calidad. b) Controlar la Calidad. c) Mejorar la calidad.

La función de prevención se contrapone con los esquemas tradicionales que son utilizados para evaluar la calidad del producto al finalizar el sistema productivo, en el cual, solamente se separa el producto bueno del malo.

Modelo Tradicional Detección

Fig. 1-2

Modelo actual Prevención

Fig. 1-3

Los esquemas tradicionales, definen que la responsabilidad en la calidad de un producto radica en un departamento de la empresa, al contrario e la función de prevención en la cual para mejorar y planificar la calidad se requiere de un trabajo de los diversos departamentos y para el control de requiere que el personal se encuentre en un estado de auto – control, esto es: a) Querer hacerlo. b) Saber lo que se tiene que hacer. c) Conocer lo que está haciendo. d) Medios para regular lo que está

haciendo.

Como se observa, todos los departamentos de la empresa deben estar involucrados en la función de prevención, para que con esta forma se rompa el esquema tradicional de detección.

La fuerza de los métodos

estadísticos, no radica en utilizarlos como técnicas para conocer qué es lo que está mal, ya que todo el mundo de alguna forma la conoce, sino en aplicarlos como guías para mejorar, conocer y planificar la calidad del producto, a través de modificar los diversos sistemas operativos.

INSUMOS 1 2 3 4 5 6 PRODUCT

BUENOCLIENTEPROCESO

SI

NO

CEP

Mejorar y Conservar la

Calidad

Resultado

INSUMO CLIENTE

PROCESO

INSUMO

REPROCESO RETRABAJO, ETC.

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II. Estratificación

OBJETIVO: Al finalizar este módulo, el capacitando. 2.1 Definirá el concepto de estratificación y su aplicación. La aplicación de esta técnica, tiene como finalidad la clasificación del material defectuoso, de acuerdo a los factores casuales que lo originan. En todos los procesos los materiales sujetos a una serie de sistemas operativos para obtener el producto final. Dentro de los diversos sistemas, siempre existe un sistema predominante que provoca la mayor cantidad de material defectuoso. La identificación de estos sistemas de utilidad para mejorar los procesos, debido a que la mayor fuente de progreso se encuentra en dichos procesos.

Algunos de los sistemas predominantes más comunes son:

1. PREDOMINIO DEL PROCESO En este sistema la principal causa de defectos es debido a la destreza y capacidad de cada operario. 2. PREDOMINIO DE LAS MATERIAS

PRIMAS La causa de los defectos se debe a las operaciones anteriores de la fábrica o al material procedente de proveedores.

3. PREDOMINIO DE LA MAQUINA Básicamente se tiene: 3.1 Preparación de la máquina 3.2 Incremento del material defectuoso con respecto al tiempo.

Ver cuadro 2.1

13

PROVEEDOR 1 3% PROVEEDOR 2 5% PROVEEDOR 3 7%

M - I M - II M - III M - I M - II M - III M - I M - II M – III 0.5% 0.5% 2% 1.5% 1% 2.5% 1.5% 2% 3.5% Operador A

Operador B

Operador C

Operador A

Operador B

Operador C

Operador A

Operador B

Operador C

Operador A

Operador B

Operador C

Operador A

Operador B

Operador C

Operador A

Operador B

Operador C

Operador A

Operador B

Operador C

Operador A

Operador B

Operador C

Operador A

Operador B

Operador C

0.1

0.3

0.1

0.1

0.3

0.1

0.3

1. 4

0.3

0.3

0.9

0.3

0.2

0.5

0.3

0.6

1.2

0.7

0.3

0.7

0.5

0.4

1.3

0.3

0.5

2.3

0.7

MAQUINARIA MAQUINA

I II III

MATERIAS PRIMASPROVEEDOR

1 2 3

MANO DE OBRA OPERARIO

A B C

PROCESO Producto

XY - 21

Material Defectuoso

15%

Estratificación

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III. Diagrama de Causa y Efecto

OBJETIVO: Al finalizar este modulo, el capacitando: 3.1 Empleará la técnica del Diagrama de Causa – Efecto para analizar y plantear la solución de una problemática de calidad.

3.1 Introducción El diagrama Causa – Efecto es una metodología para la solución de problemas donde a partir de un efecto observado, uno retrocede a los factores causales que lo provocaron.

Esta metodología fue desarrollada en 1953 por el señor Kaoru Ishikawa y su popularidad ahora ha alcanzado grandes magnitudes al aplicarlo como una técnica de solución de problemas.

3.2 Elaboración del Diagrama Causa - Efecto

1) Elegir el proyecto. 2) Representar la característica de

calidad en el extremo derecho de la flecha horizontal.

3) Dibujar las flechas principales para

cada factor con base en las 5 M’s. 4) Anotar las causas que originan el

problema.

5) Verificar y anotar si todas las

causas de variación están inscritas en el diagrama.

6) Al analizar el diagrama deberá

decirse las causas más importantes que serán atacadas.

7) Realizar un programa de acciones

a realizar para corregir la causa del problema.

3.3 Recomendaciones al elaborar

el Diagrama Causa - Efecto 1) Reunir a todos los miembros que

estén involucrados o relacionados con el proyecto, con la finalidad de reflejar todas las opiniones.

2) Definir a un líder o coordinador del

grupo. 3) Todos los miembro deben

comprender totalmente la definición del proyecto.

4) El diagrama causa – efecto se

deberá escribir en hojas de rotafolio o pizarrón.

5) Se deberán discutir libremente las

causas usando el método “tormenta de ideas”, el cual consiste en:

5.1 Todos los participantes aportarán ideas para el proyecto. 5.2 Ningún participante deberá desconocer la opinión de los demás por más absurda que ésta parezca. En algunas ocasiones estas opiniones pueden resolver el problema.

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5.3 El coordinador deberá enfatizar que al emitirse una opinión, se debe evitar que se forme una polémica, pues el objetivo no es contradecir, sino vaciar todas las ideas.

6) No discutir cómo o por qué ocurrió

el problema; pero debe discutirse cómo eliminar el problema.

7) Se deben identificar las causas más

importantes por concenso. 8) Hacer el compromiso con los

responsables de los departamentos involucrados en la realización de las acciones.

3.4 Beneficios 1) Se estrechan la relaciones

humanas y se mejora la comunicación.

2) El grupo se compromete a llevar e

seguimiento de la solución propuesta.

3) Se adquieren nuevos

conocimientos. 4) Facilita a un grupo de personas

trabajar hacia un fin común.

Ver cuadro 3.1

16

CUADRO 3.1

Problema

17

IV Diagrama de Pareto OBJETIVO: Al finalizar este módulo, el capacitando: 4.1 Empleará este método para

evaluar y determinar los principales factores causales en los problemas de calidad en su empresa.

4.1 Introducción El diagrama de pareto es una gráfica de barras de causas identificadas que se muestran en orden descendente (de izquierda a derecha) de magnitud. Estas causas pueden ser debidas a defectos de producción y constituyen una base en la toma de decisiones para mejorar el producto. Para la elaboración de este diagrama se necesita: 1) Clasificar los defectos. 2) Determinar el período de

recopilación de datos. 3) Obtener en dicho período, los datos

sobre la ocurrencia de cada causa o tipo de defecto, utilizando una hoja de registro y especificando el número total de piezas o casos inspeccionados.

4.2 Construcción del Diagrama de

Pareto Paso 1 En la tabla siguiente se muestra el formato para la recolección de información:

Producto: Total Pzas. Insp.

Periodo: RESPONSABLE

Tipo de efecto Ocurrencia No. de Piezas

TOTAL Con base en esta tabla se construirá el diagrama de pareto. Paso 2 Ordenar los datos de mayor a menor ocurrencia en la siguiente tabla.

Tipo de defecto

No. de Piezas

% Absoluto

% Relativo

% Acumulado

Relativo

El porcentaje absoluto nos indica la cantidad de defectivo resultante del total de artículos elaborados durante el período de análisis y colección de datos. Donde: % Abs = ni X 100 N

El porcentaje relativo quiere decir que el defecto inferido (ni) entre el total de defectos (ni) indica el por ciento que representa.

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Donde: % Rel = ni ni El porcentaje acumulado relativo es la sumatoria parcial de cada defecto,

Paso 3 Representamos con el eje de las ordenadas los defectos colocados de mayor a menor ocurrencia (de izquierda a derecha).

En al eje de las abcisas representaremos el número de ocurrencia por cada defecto.

En el otro eje de las abcisas (opuesto al primero) representaremos el porcentaje relativo.

A continuación se muestra el diagrama:

Paso 4

El porcentaje acumulado relativo nos sirve para trazar la ojiva. El diagrama, representa el porcentaje acumulado relativo iniciando con el primer defecto hasta terminar con el 100%.

Ver cuadro 4.1

4.3 Beneficios 1) Canaliza los esfuerzos a causas

importantes. 2) Permite la comparación del antes

con el después, ayudando a cuantificar el impacto de las acciones tomadas.

3) Facilita la comunicación entre las

personas que participan en el análisis del problema.

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CUADRO 4.1

Defectos (ni) OCURRENCIA % Abs % Rel % Acum

Rel.

A 5 16.7 33.3 33.3

B 4 13.3 26.6 59.9

C 3 10.0 20.0 79.9

D 1 3.3 6.7 86.6

E 1 3.3 6.7 93.3

F 1 3.3 6.7 100.0

N = 30 15 50.0 100.0

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V Variables Continuas y Discretas

OBJETIVO: Al finalizar este módulo, el capacitando: 5.1 Definirá la diferencia entre los tipos

de variables de un proceso y la técnica estadística a emplear.

Es importante definir la diferencia que existe entre las variables continuas y discretas, ya que el tratamiento estadístico difiere según el caso. Las variables continuas provienen de datos, donde las características de calidad de un producto se han medido, mientras que las variables discretas provienen de datos que nos indican si la características de calidad de un

producto cumplen o no con una cualidad establecida.

Algunos ejemplos de variables continuas son:

Dureza Tensión Temperatura Espesor Presión

Volumen Peso Elongación Longitud Ancho

Composición Química Etc.

Algunos ejemplos de variables discretas son: pasa – no pasa sirve – no sirve 20 piezas malas de 100

En la tabla 5-1 se presenta una síntesis de las diferentes técnicas estadísticas a utilizar de acuerdo al tipo de variable que se quiere estudiar.

VARIABLE CONTINUA VARIABLE DISCRETA

Gráfica X-R de Control Gráfica “p” de Control

Gráfica X-R Gráfica “np”

Gráfica X- Gráfica “c”

Gráfica X- Gráfica “u”

Estratificación Estratificación

Diagrama Causa - Efecto Diagrama Causa - Efecto

Histograma Diagrama de Pareto

Diagrama de Dispersión

Tabla 5.1

21

VI. Medidas de Tendencia Central y Dispersión

OBJETIVO: Al finalizar el módulo, el capacitando: 6.1 Calculará las medidas de tendencia

central y dispersión de un conjunto de datos.

6.1 Introducción Dentro de las variables continuas existen diversos términos estadísticos que son de mucha utilidad en la aplicación práctica de los métodos estadísticos, tales como: Media, Mediana, Desviación Estándar, Rango. Estos conceptos se calculan a partir de una muestra tomada de la población y se denominan estadísticas de las muestras. Su utilidad práctica radica en que podemos invertir los parámetros poblacionales desconocidos. Las estadísticas X, y R nos permiten conocer la tendencia central y dispersión de los datos. El cálculo de las medidas centrales y de dispersión se presenta a continuación:

6.2 Media Aritmética o Promedio

Se presenta por X y se calcula por: X = EXi = X1+ X2 + X3 + ,,,Xn

N n

Donde: EXi Es la sumatoria de todos los datos desde 1 = 1 hasta n. Ejemplo: Se han tomado siete muestras de un proceso y se mide cierta característica de calidad, obteniendo los siguientes resultados:

2.5, 2.6, 2.5, 2.4, 2.7, 2.5, 2.3

Determine la media de estos datos. X = 2.5, 2.6, 2.5, 2.4, 2.7, 2.5, 2.3 = 2.5 7

6.3 Mediana Se represente por X y se determina de acuerdo a: 1) Sise cuenta con un número impar

de datos, ordenados de mayor a menor (o viceversa), el dato que ocupa la posición central de éstos es la mediana.

2) Si se cuenta con un número par de

datos, ordenados de mayor a menor (o viceversa), el promedio de los datos centrales es la mediana.

Ejemplo:

Datos Orden X

10, 6, 1, 9, 7,, 2, 5

20, 23, 30, 18, 15, 26

1, 2, 5, 6, 7, 9, 10

15, 18, 20, 23, 25, 30

6

20 + 23 ------------ = 21.5 2

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6.4 Rango Se representa por R y se calcula de acuerdo a: Rango = Valor mayor – Valor menor Ejemplo:

Datos Rango

18, 20, 19, 20, 19. 19

15, 20, 25, 17, 18, 21

R = 20 – 18 = 2

R = 25 – 15 = 10

6.5 Desviación Estándar

Se representa por (forma minúscula de la letra griega sigma), y se calcula de acuerdo a:

Ejemplo: Calcule la desviación estándar

de los datos que se presentan a continuación:

4, 4.42, 3.6, 2.5, 3.8,

La media de los datos es:3.62

De donde es:

Resolver ejercicio 6.1

23

Ejercicio 6.1

Determine la Media, Mediana, Rango y Desviación Estándar de los datos que se presentan a continuación: a) 2, 3, 4, 6 b) 0.23, 0.24, 0.22, 0.26, 1.21 c) 40, 23, 35, 36, 38, 42 d) 30, 50, 20, 35 e) 60, 70, 50, 100

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VII. Histograma

OBJETIVOS: Al finalizar este módulo, el capacitando: 7.1 Aplicará el histograma para

describir un conjunto de datos. 7.2 Interpretará el histograma.

7.1 Introducción El histograma es una técnica que es utilizada para datos que provienen de mediciones realizadas sobre ciertas características de calidad del producto. Los histogramas nos permiten describir los datos obtenidos y observar la tendencia central o dispersión de los mismos con respecto a una especificación dada. El análisis, interpretación y construcción es muy sencillo en comparación con otros métodos estadísticos.

7.2 Análisis e Interpretación En primera instancia analizaremos las partes que componen un histograma, tomando como base la

figura 7.1

Esta herramienta estadística para agrupar datos de alguna característica de calidad sólo será usada cuando se cuente con un número de datos mayor a 30. A continuación daremos una pequeña definición de los conceptos usados en la figura 7.1. Intervalo de Clase (K): nos representa el número de barras que tendrá nuestro intervalo, se encuentra en la tabla 7.1 dependiendo el número de datos de la muestra o población.

Muestra o

Población (N)

X (No de intervalos)

Menor a 50 De 5 a 7

De 50 a 100 De 6 a 10

De 100 a 200 De 7 a 12

Mayor de 250 De 10 a 20

Tabla 7.1

Donde: (N) es un número de datos de la muestra o población que este analizando (K) es un número de intervalos de clase con que contará el histograma a construir. Se sugiere que al selecciona (K) deba usarse un número mayor del rango. Amplitud (A).- Se define como el rango que tendrá cada uno de los intervalos de clase Se determina por la relación: A = R K R = Rango K = Intervalo de clase

Donde: R = VM – Vm

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VM = Valor máximo de los datos.

Vm = Valor mínimo de los datos.

definiendo el rango de los datos como la diferencia de los valores.

Cabe aclarar que la amplitud se

expresará siempre a la unidad mínima decimal de los datos de las muestras. Además la unidad mínima decimal se incrementará a la amplitud (u).

Fronteras de clase (Xi): Como

su nombre lo indica son los límites de la amplitud de cada intervalo de clase.

Para determinar la primera

frontera de clase se utiliza la siguiente fórmula:

Xi = Vm – ½ (u) Las demás fronteras de clase se determinan por la tabla 7.2 Donde: LFS – Límite de la frontera Superior. LFI – Límite de la frontera Inferior.

LFI LFS

Xi

Xi + A

Xi + 2 A

- - -

Xi + (k – 1) A

Tabla 7.2

Marca de Clases: Se define

como el promedio de los datos Se determina por la formula: Xi = LFS - LFI 2

7.3 Como agrupar datos A continuación se encuentra la tabla 7.3 para la representación de datos agrupados.

Tabla de Distribución de Frecuencias

Intervalo (k) Límite de la

frontera inferior (LFI)

Límite de la frontera

Superior (LFS)

Marca de Clase (Xi) Conteo Frecuencia Frecuencia

acumulada

Tabla 7.3

En esta tabla podemos saber que el promedio de los datos agrupados debe

estar en el intervalo intermedio

26

Para determinar el promedio (X) de estos datos, nos basaremos en la siguiente fórmula. X = Xi – A (E Fi - 1) N Donde: Xi : Es la última marca de clase. A : Es la amplitud del intervalo. Para determinar la desviación estándar de los datos agrupados, usaremos la siguiente fórmula:

Donde N: es un número de datos. Siendo: b = Fi N y C = Gi N Donde: Fi = Es al sumatoria total de las frecuencias acumuladas. Gi = Es la sumatoria total del acumulado de las frecuencias.

7.4 Construcción del Histograma La fig. 7.2 nos servirá para construir el histograma: Paso 1

En una hoja cuadriculada, trazamos una línea horizontal que tenga como escala las fronteras de clase y las marcas de clase. Paso 2: En la parte izquierda de la escala dibujamos una línea vertical que tenga una escala con valor máximo igual a la frecuencia más alta. Paso 3: Listas las escalas, dibujamos un rectángulo en cada intervalo. La altura del rectángulo es igual a su frecuencia y el ancho a los límites de sus fronteras (Inferior y Superior). Paso 4: Para trazar el polígono de frecuencias, se le resta la amplitud a la primera marca de clase, en este punto se inicia el polígono de frecuencias y continúa a través de cada una de las marcas de clase y termina a la derecha de la frontera superior, más una amplitud.


Fig. 7.2

27

EJERCICIO 7.1

1. Los siguientes datos representan los días cartera TELMEX:

31

34

33

33

35

29

37

32

28

31

31

30

29

30

36

33

35

30

32

33

31

32

33

29

32

34

33

36

30

28

37

32

32

29

34

32

32

35

30

31

Considerando que la política de la empresa es que, en promedio, los días cartera no sean mayores de 30 días, ¿Cómo se sentiría después de haber analizado la información? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

28

EJECICIO 7.2

1. Durante algunos meses se han suministrado un mismo producto a tres clientes diferentes, los cuales han establecido diferentes especificaciones sobre una característica de calidad especial. A últimas fechas los clientes se han quejado por el producto, en lo que se refiere a la característica de calidad especial. Debido a esto, el proveedor decide realizar un muestreo de su producto para observar el comportamiento del mismo por medio de un histograma. Los datos del muestreo y las especificaciones de los clientes se presentan a continuación.

DATOS DEL MUESTREO

60 77 81 73 84 77

65 76 86 80 72 67

77 70 78 68 78 73

81 62 76 79 74 78

68 93 83 75 82 83

Especificaciones del Cliente

Cliente Especificación

A 75 ± 10

B 90 ± 20

C 76 ± 16

Una vez analizada la información, ¿qué haría usted en ese caso?

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VIII Curva Normal OBJETIVOS: Al finalizar el módulo el capacitando: 8.1 Aplicará el fundamento de la curva normal para determinar el área bajo la curva dentro de especificación. 8.2 Interpretará la curva normal.

8.1 Conceptos fundamentales de la curva normal.

En el tema de los histogramas, se expuso su construcción y análisis. Se comentó que a medida que se agrega el número de datos o muestras (n) el número de intervalos (k) se incrementa. En la medida de que (n) se incremente la amplitud de los intervalos disminuye debido a la relación R/k. En las figuras 8-1 (a y b) se presentan dos histogramas, con un mismo número de datos. Podemos observar que la fig. 8-1 b presenta una amplitud más cerrada y además tiende a conformar una curva. La fig. 8-1 a representa otro histograma de la misma distribución.

Observando estas dos figuras podemos decir que, a medida de que n tienda a infinito, se suaviza a tal grado el histograma que llega a conformar una curva. Esta curva recibe los nombres de: Ley Normal, Curva Normal, Curva de probabilidades, Curva de Gaus y Curva de Distribución Normal. En la figura 8-2 se representa su forma.

Fig. 8-2

30

La curva normal esta desfinida por los parametros poblaciones y ’ (El aposrofe indica qe es un parametro pobalcional). Los limites ’ acotados en la fig 8-2 nos idican que a + 1 ’ el 68.27% de los datos estan comprendidos en este rango, que a +2 ’ esl 95.45% y que a+3 ’ el 99.73% de los datos estan comprendidos en este rango. Es importante mencionar que la curva se distribuye semetricamente, correspondiendo a cada lado de la media el 50% y que se extiende desde –∞ (menos infinito) hasta + ∞ (mas infinito). Sin embargo, para fines practicos se considera que aų + 3 ’ se concentran el 100% de los datos. Como se menciono con anterioridad, la curva normal esta definida por los parametros problaciones ų y ’ , pero en la realidad estos parametros son desconocidos y hay que estimarlos a partir de los datos numericos obtenidos de un a muestra, tales como: media, mediana, desviacion estandar, rango, etc. A estos estimadores se les denomina Estadisticos de las Muestras y nos sirven para inferir los parametros de la poblacion, universo o espacio muestral desconocido. Muchos de las acciones, encaminadas a modificar los procesos, estan en funcion de los estadisticos de las muestras. Sin embargo, estas acciones estan relacinadas con la produccion futura,mas que con la produccion ya terminada de donde se extrajo la muestra. La utilidad practica de la curva normal radica en que sirve como fundamento de las graficas de Control por Variables y en la evaluacion de la habilidad de procesos. Otra variante importante es su uso para estimar el procentaje probabilistico que tenemos dentro y fuera de especificacion.

Para manejar este tipo de problemas se requiere del uso de las tablas estandar de probabilidad (Tabla 8.1) Para la utilizacion de estas tablas es necesario estandarizar los estadisitcos de las muestras a la curva normal estandar, bajo la siguiente formula: Z= X1 – X Donde: Z= La variable con distribucion normal estandar. X1= Es el valor de la variable X. X= Es la medida de los datos.

= Es la desviacion estandar ¿A que nos referimos con estandarizar los estadisticos de las muestras a la curva normal estandar? Esta pregunta se contesta con el siguiente ejem plo: Durante un mes se han extraido 120 muestraqs de los lotes terminados de un producto “X”. Se ha medido un a caracteristica de calidad en especial, encontrandose que su media y desviacion estandar son 45 y 5 respectivamente. Construya la curva normal estandar. Si construimos la curva normal con los estadisiticos de la muestras, tenemos lo siguiente (Fig. 8-3).

31

La forma para estandarizar nos dice:

Z = X1 – X T

Para los puntos (a), (b), (c)... (g), aplicando la fórmula tenemos: a) Z = 30 – 45 = -3

5 b) Z = 35 – 45 = -2 5 c) Z = 40 – 45 = -1

5

d) Z = 45 – 45 = 0 5

e) Z = 50 – 45 = +1

5 f) Z = 55 – 45 = +2

5 g) Z = 60 – 45 = +3

5 Por tanto la curva normal estándar está representada por la figura 8-4

Fig. 8-4

Suponiendo que se tiene una especificación mínima de 40, ¿qué porcentaje del material no cumple con la especificación? Para X1 = 40 implica que Z = -1 buscando Z = -1 en la tabla 8-1 tenemos que el porcentaje del área bajo la curva que no cumple la especificación es: 0.1587 ó 15.87%. Representado esto en la figura 8-5, tenemos:


Fig. 8-5

32

EJERCICIO 8.1

a) ¿ Qué porcentaje del área bajo la curva, cumple con la especificación?

b) Suponiendo que se tiene solamente una especificación máxima, igual a 53 ¿ qué porcentaje del área bajo la curva cumple con la especificación?

c) Suponiendo que se tiene una especificación de 45+-9 ¿ qué porcentaje se tiene dentro de la especificación?

33

8.2 Características de la Curva Normal

a) La media y la desviación estándar

describen totalmente a esta distribución.

Si la desviación se mantiene fija la media toma diferentes valores, se tiene:

Fig. 8-6

Si la media se mantiene constante y T’ cambia, se tiene:

Fig. 8-7

b) El 100% de las frecuencias de las

mediciones están representadas mediante el área bajo la curva normal. Lo que equivale a decir que el área bajo la curva es igual a 1.

c) La curva normal se distribuye

simétricamente, correspondiendo a cada lado de la media del 50%.

d) La curva normal se extiende desde

menos infinito hasta más infinito. Aunque para efectos prácticos se considera que a +-3T están comprendidos el 100% de los datos.


34

AREA BAJO LA CURVA NORMAL

z 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.0

-3.5 -3.4 -3.3 -3.2 -3.1

0.00017 0.00024 0.00035 0.00050 0.00071

0.00017 0.00025 0.00036 0.00052 0.00074

0.00018 0.00026 0.00038 0.00054 0.00076

0.00019 0.00027 0.00039 0.00056 0.00079

0.00019 0.00028 0.00040 0.00058 0.00082

0.00020 0.00029 0.00042 0.00060 0.00085

0.00021 0.00030 0.00043 0.00062 0.00087

0.00022 0.00031 0.00045 0.00064 0.00090

0.00022 0.00033 0.00047 0.00066 0.00094

0.00023 0.00034 0.00048 0.00069 0.00097

-3.0 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6

0.00100 0.0014 0.0019 0.0026 0.0036

0.00104 0.0014 0.0020 0.0027 0.0037

0.00107 0.0015 0.0021 0.0028 0.0038

0.00111 0.0015 0.0021 0.0029 0.0039

0.00114 0.0016 0.0022 0.0030 0.0040

0.00118 0.0016 0.0023 0.0031 0.0041

0.00122 0.0017 0.0023 0.0032 0.0043

0.00126 0.0017 0.0024 0.0033 0.0044

0.00131 0.0018 0.0025 0.0034 0.0045

0.00135 0.0019 0.0026 0.0035 0.0047

-2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1

0.0048 0.0064 0.0084 0.0110 0.0143

0.0049 0.0066 0.0087 0.0113 0.0146

0.0051 0.0068 0.0089 0.0116 0.0150

0.0052 0.0069 0.0091 0.0119 0.0154

0.0054 0.0071 0.0094 0.0122 0.0158

0.0055 0.0072 0.0096 0.0125 0.0162

0.0057 0.0075 0.0099 0.0129 0.0166

0.0059 0.0078 0.0102 0.0132 0.0170

0.0060 0.0080 0.0104 0.0136 0.0174

0.0062 0.0082 0.0107 0.0139 0.0179

-2.0 -19 -1.8 -1.7 -1.6

0.0183 0.0233 0.0294 0.0367 0.0455

0.0188 0.0239 0.0301 0.0375 0.0465

0.0192 0.0244 0.0307 0.0384 0.0475

0.0197 0.0250 0.0314 0.0392 0.0485

0.0202 0.0256 0.0322 0.0401 0.0495

0.0207 0.0262 0.0329 0.0409 0.0505

0.0212 0.0268 0.0336 0.0418 0.0516

0.0217 0.0274 0.0344 0.0427 0.0526

0.0222 0.0281 0.0351 0.0436 0.0537

0.0228 0.0287 0.259 0.446

0.0548 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1

0.0559 0.0681 0.0823 0.0985 0.1170

0.0571 0.0694 0.0838 0.1003 0.1190

0.0582 0.0708 0.0853 0.1020 0.1210

0.0594 0.0721 0.0869 0.1038 0.1230

0.0606 0.0735 0.0885 0.1057 0.1251

0.0618 0.0749 0.0901 0.1075 0.1271

0.0630 0.0764 0.0918 0.1093 0.1292

0.0643 0.0778 0.0934 0.1112 0.1314

0.0655 0.0793 0.0951 0.1131 0.1335

0.0668 0.0808 0.0968 0.1151 0.1357

-1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6

0.1379 0.1611 0.1867 0.2148 0.2451

0.1401 0.1635 0.1894 0.2177 0.2483

0.1423 0.1660 0.1922 0.2207 0.2514

0.1446 0.1685 0.1949 0.2236 0.2546

0.1469 0.1711 0.1977 0.2266 0.2578

0.1492 0.1736 0.2005 0.2297 0.2611

0.1515 0.1762 0.2033 0.2327 0.2643

0.1539 0.1788 0.0261 0.2358 0.2676

0.1562 0.1814 0.2090 0.2389 0.2709

0.1587 0.1841 0.2119 0.2420 0.2743

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.0

0.2776 0.3121 0.3483 0.3859 0.4247 0.4641

0.2810 0.3156 0.3520 0.3897 0.4286 0.4681

0.2843 0.3192 0.3557 0.3936 0.4325 0.4721

0.2877 0.3228 0.3594 0.3974 0.4364 0.4761

0.2912 0.3264 0.3632 0.4013 0.4404 0.4801

0.2946 0.3300 0.2669 0.4052 0.4443 0.4840

0.2981 0.3336 0.3707 0.4090 0.4483 0.4880

0.3015 0.3372 0.3745 0.4129 0.4522 0.4920

0.3050 0.3409 0.3783 0.4168 0.4562 0.4960

0.3085 0.3446 0.3821 0.4207 0.4602 0.5000

Tabla 8-1 Tomado de Control Estadístico de Procesos Gran-Leavenworth.

35

AREA BAJO LA CURVA NORMAL *

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

+0.0 +0.1 +0.2 +0.3 +0.4 +0.5

0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915

0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950

0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985

0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019

0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054

0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088

0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123

0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157

0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190

0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224

+0.6 +0.7 +0.8 +0.9 +1.0

0.7257 0.7580 0.7881 0.8186 0.8413

0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438

0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461

0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485

0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508

0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8521

0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554

0.7486 0.7794 0.8079 0.8340 0.8577

0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599

0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621

+1.1 +1.2 +1.3 +1.4 +1.5

0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332

0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345

0.0886 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357

0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370

0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382

0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394

0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406

0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418

0.8810 0.8897 0.9162 0.9307 0.9429

0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441

+1.6 +1.7 +1.8 +1.9 +2.0

0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772

0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778

0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783

0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788

0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793

0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798

0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803

0.9525 0.9618 0.9693 0.9756 0.9808

0.9535 0.9626 0.9699 0.9761 0.9812

0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817

+2.1 +2.2 +2.3 +2.4 +2.5

0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938

0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940

0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941

0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943

0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945

0.9843 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946

0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948

0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949

0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951

0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952

+2.6 +2.7 +2.8 +2.9 +3.0

0.9953 0.9965 0.9974 0.9981

0.99865

0.9955 0.9966 0.9975 0.9982

0.99869

0.9956 0.9967 0.9976 0.9983 0.99874

0.9957 0.9968 0.9977 0.9983

0.99878

0.9959 0.9969 0.9977 0.9984

0.99882

0.9960 0.9970 0.9978 0.9984

0.99886

0.9961 0.9971 0.9979 0.9985

0.99899

0.9962 0.9972 0.9979 0.9985

0.99893

0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.99896

0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.99900

+3.1 +3.2 +3.3 +3.4 +3.5

0.99903 0.99931 0.99952 0.99966 0.99977

0.99906 0.99934 0.99953 0.99967 0.99978

0.99910 0.99936 0.99955 0.99969 0.99978

0.99913 0.99938 0.99957 0.99970 0.99979

0.99915 0.99940 0.99958 0.99971 0.99980

0.99918 0.99942 0.99960 0.99972 0.99981

0.99921 0.99944 0.99961 0.99973 0.99981

0.99924 0.99946 0.99962 0.99974 0.99982

0.99926 0.99948 0.99964 0.99975 0.99983

0.99929 0.99950 0.99964 0.99976 0.99983

Tabla 8-1 (continuación)

36

IX Hoja de Verificación OBJETIVO: Al finalizar el módulo, el capacitando: 9.1 Analizará la importancia y aplicación de las hojas de verificación.

Una hoja de verificación es un formato especialmente diseñado para la recolección de datos de un acto productivo. El formato obedece a un perfil de problemas y a los factores causales que lo originan.

La información que se recopila

es útil para: Ver figura 9.1

Básicamente una hoja de verificación está constituida por tres zonas de trabajo: 1) Zona de Verificación 2) Zona de trabajo

3) Zona de instrucciones Ver cuadros 9.1 – 9.2

Hoja de verificación

37

C. E. P. CUADRO 9.1 Gráficos de Control

DESCRiPCION: OPERACIÓN: FECHA: FRECUENCIA: MAQUINA: UNIDAD DE MEDIDA: MUESTRA: ESPECIFICACION: CLIENTE: REALIZO: LSCx=X+(A2R) LICx+=x-(A2R)

__ __ X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 LICR=D3(R) LSCR=D4(R)

__ R

LE

CTU

RA

S

X R

FECHA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

IX - 2

38

Gráficos de Control CUADRO 9.2

DEPARTAMENTO PARTE GRAFICA MUESTREO p np

c u

MAQUINA O EQUIPO CLIENTE FRECUENCIA FECHA

FECHA

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

MUESTRA

CANTIDAD (np, c)

RECHAZOS

PROPORCION

(p, u)

IX - 3

39

X. Gráficos de Control para Variables Continuas

OBJETIVOS: Al finalizar el módulo, el capacitando: 10.1 Identificará el funcionamiento de gráfico de Control. 10.2 Aplicará los gráficos de Control. 10.3 Interpretará los gráficos de control para variables continuas.

10.1. Introducción Los gráficos de Control es otra de las técnicas estadísticas que es aplicable a las variables continuas. Los gráficos de Control son unas de las técnicas más poderosas dentro de los diversos métodos estadísticos. Sin embargo, esta función del gráfico de control en muchas ocasiones no es aplicada correctamente, debido a que el personal no ha comprendido el fundamento en que se basa. Partiendo de este hecho consideramos necesario exponer en este módulo los fundamentos, aplicación y análisis de los gráficos de control.

10.2 Fundamentos Estadísticos del Gráfico de

Control

B. Ferrel hace una distinción interesante entre tres problemas estadísticos.

1. La estadística Descriptiva. Que

trata de la sintetización de un conjunto de valores de las muestras tomadas de una población y los resume en unos pocos números; por ejemplo, una media y una desviación estándar.

2. Introducción Estadística, Mediante

la cual se estiman los parámetros de una población a partir de datos de una muestra tomada de la misma.

3. Aunque, muchas veces, las

personas se encuentran con los problemas anteriores, uno de sus problemas básicos es determinar la ausencia o presencia de control estadístico. En otras palabras la persona desea conocer si las muestras tomadas pertenecen a una misma población.

Como se mencionó con

anterioridad “u” y “T” son parámetros poblacionales que definen a una curva normal. Sin embargo, estos parámetros poblacionales en cualquier proceso son desconocidos y es necesario estimarlos a través de los estadísticos de las muestras.

Para observar cómo las

estadísticas de las muestras pueden ser estimadores confiables de los parámetros poblacionales, se desarrollará un ejercicio basado en una población conocida a fin de definir los fundamentos del gráfico de control.

En la tabla 10-1 se presenta la

distribución de la población conocida, en la cual u es igual a 30 canicas y T es igual a 4.0645.

40

DISTRIBUCION DE CANICAS

No marcados

Cantidad Canicas

No marcados

Cantidad Canicas

20 1 36 11

21 2 37 7

22 4 38 6

23 8 39 3

24 13 40 2

25 16

26 19

27 23

28 25

29 26

30 29

31 27

32 24

33 21

34 18

35 15

Tabla 10-1

El ejercicio consiste en extraer una canica de la urna, anotar su valor en el gráfico de control, regresar la canica a la urna, mezclarlas bien y volver a extraer otra canica y así sucesivamente.

Para poder comprobar la

confiabilidad de los parámetros trabajaremos con dos gráficos de control:

De promedios y Rangos (X-R) y

promedios – desviación estándar (X-T).

(Ver gráficos del módulo anterior)

Podemos concluir que, cuantas más extracciones se promedien, mayor probabilidad existe de que su media se acerque a la media de la distribución. Como en términos más generales, cuanto mayor sea la muestra que se tome de una población, más probable

es que su media se acerque a la media de esa población.

Una distribución de una población puede no ser normal, sin embargo, la distribución de los promedios tiende a serlo. Esto tiene una amplia explicación práctica, ya que las distribuciones de las medias de las muestras tienden a ser aproximadamente normales, aunque no lo sean las poblaciones de que procedan.

La teoría estadística define para el gráfico de control de promedios y rangos una desviación estándar poblacional con la siguiente fórmula:

T’ ‘ = R d2

donde: T ‘ = Desviación estándar poblacional. R = Promedio de rangos. d2 = Constante. y para el gráfico de control de promedios – desviación estándar: T’ ‘ = T’ ‘ C2 donde: T’ ‘ =Desviación estándar poblacional. T’ = Promedio de desviación estándar. C2 = Constante.

De la misma manera definiremos las fórmulas para el cálculo de límites en ambos gráficos de control.

Para el gráfico de Promedio y

Rangos se tiene: Para X

LSCX = X + A2 R LICX = X – A2 R

41

Para R LSCR D4R LICR D3R Para el gráfico de control de promedio – desviación estándar, se tiene: Para X: LSCX = X + A1T LICX = X - A1T Para T LSCT = B4T LICT = B3T donde: X = Promedio de promedios. R = Promedio de Rango. T = Promedio de desviación estándar. A1, A2, D3, D4, B3 y B4 son constantes. Hasta este punto, se han desarrollado dos tipos de gráficos de control para variables continuas, que son promedio – rango y Promedio – desviación estándar. En la práctica es más fácil calcular R que efectuar las operaciones necesarias para obtener T. Trabajando con gráficos de control, normalmente esta facilidad de cálculo de R, es mucho más importante que cualquier pequeña ventaja teórica que pueda derivarse del uso de T.

Resolver ejercicio 10.1, 10.2, 10.3.

42

EJERCICIO 10.1

1. En la fabricación de cristal flotado, se tiene que una característica de calidad debe

estar entre 230+-10 milésima de pulgada de espesor. Por medio del gráfico de control se ha determinado que X = 230 y T = 3.333 a) Los límites de control de un tamaño de subgrupo igual a 4. b) El área bajo la curva dentro de la especificación 2. Se iniciará la fabricación de un nuevo producto, cuyo comprador ha especificado 0.29

+-0.04 pulg. Para una característica en especial. a) Suponiendo que la distribución del proceso es normal ¿cuáles tendrían que ser su

Media y Desviación Estándar para que los valores externos de X+-3T ‘ Coincidan con la especificación.

43

EJERCICIO 10.2 1. Se ha introducido un gráfico de control en un proceso determinado para una

característica de calidad dada. El tamaño de muestra fue de 3 y las estadísticas de cada subgrupo se muestran a continuación. La especificación es 24 milésimas +- 3 milésimas.

a) ¿Considera usted que la introducción del gráfico ejercio alguna influencia en el

proceso? b) Determine los límites de control de prueba. ¿Qué conclusiones preliminares puede

dar? c) Determine el área bajo la curva dentro de la especificación. d) Suponiendo que X = 36 y T ‘ = 1.5 y además se sabe que el producto que se

encuentre por debajo de la especificación se desecha y el que se encuentra por encima se reprocesa. ¿Qué sugiere hacer?

SUBGRUPO X R SUBGRUPO X R

1 26 5 11 24.6 3

2 25.6 4 12 24.8 2

3 25.4 2 13 25.0 2

4 26.1 6 14 25.5 3

5 26.2 1 15 25.7 2

6 26.0 2 16 25.8 1

7 25.8 3 17 25.0 2

8 25.8 4 18 26.0 3

9 25.4 1 19 26.2 2

10 26.3 2 20 26.3 1

44

EJERCICIO 10.3

1. Durante algunos meses se ha mantenido un gráfico de control para una

característica determinada. El tamaño de subgrupo es de 3, encontrándose que la X y el R fueron respectivamente 0.320 y 0.020. Esto indicó que los límites 3T ‘ eran de 0.355 y 0.285.

La especificación establecida por el cliente fue 0.320 +- 0.036. Se pensó entonces que si mantenía el control toda la producción caería bajo la especificación. Sin embargo, de pronto el cliente modificó su especificación a 0.320 +- 0.006. No exigía que toda la producción cumpliera con la especificación pero sí una buena parte. Una de las personas que había estado trabajando con el gráfico de control tuvo una idea que resolverá el problema. Según él, no era preciso modificar los métodos de producción y podía mantenerse le mismo gráfico de control de antes. Su proposición consistía en añadir en el gráfico de control dos nuevos límites interiores, los cuales se colocarían a una distancia de X igual a la tolerancia dividida por n con lo que su valor quedó establecido a 0.320 + 0.006/ 3, es decir 0.3235 y 0.3165. Propuso, que siempre que la media de una muestra se encontrara dentro de los límites inferiores, se considera que el lote cumplía con las especificaciones más rigurosas. ¿Considera que este planteamiento es correcto? ¿Por qué?

45

XI. Gráficos por Atributos OBJETIVO: Al finalizar el módulo, el capacitando 11.1 Construirá e interpretará los diversos tipos de gráficos por atributos.

11.1 Introducción

A pesar de las ventajas en el uso de los gráficos de control por variables, su aplicación se restringe a un cierto número de características de calidad del producto, las cuales pueden medirse y expresarse en números.

Las gráficas de control para variables discretas o atributos son otras técnicas estadísticas que nos ofrecen las siguientes ventajas: 1. Son aplicables a cualquier proceso

o a variables continuas o discretas. 2. Rápidas y simples de obtener. 3. Fáciles de interpretar. 4. Contribuyen a dar prioridad o áreas

con problemas.

La clasificación de gráficos por atributos es: 1. Gráfica “p”, para fracción de

unidades defectuosas (tamaño de muestra variable).

2. Gráfica “np”, para números de

unidades defectuosas (tamaño de muestra constante).

3. Gráfica “c”, para números de

defectos (tamaño de muestra constante).

4. Gráfica “u”, para número de defectos por unidad (tamaño de muestra variable).

11.2 Gráfica p

El gráfico p mide la fracción defectuosa, esto es, el número de productos defectuosos entre el número total de producto inspeccionado. El tamaño de muestra recomendado es arriba de 50, ya que permite una mejor estimación de la fracción defectuosa de la población, además de ser más sensibles a pequeñas variaciones.

Objetivos del Gráfico p. 1. Conocer la proporción media de

piezas defectuosas sometidas a inspección.

2. Conocer cualquier cambio en el

nivel o medio de calidad. 3. Utilizar el gráfico de identificar y

corregir las causas de mala calidad.

Construcción del Gráfico p

La tabla 11.1 presenta los resultados obtenidos de la inspección de cierto proceso, en el mes de enero.

Para este tipo de gráficos de control p se deberá calcular la fracción defectuosa y los límites de control de cada uno de los datos, cuando el tamaño de la muestra mayor y la menor distan de más de un 25%del tamaño medio.

46

Se eliminan los datos de aquellos subgrupos en que se tengan puntos fuera de control (por arriba de LSCp) y se calcula p. A este nuevo promedio se le conoce como po, que será nuestro nivel medio defectuoso permitido para futuras gráficas de control.

Fig. 11.1

47

Sub Fecha Piezas Inspeccionadas

Piezas Defectuosas

Fracción Defectuosa

Desviación Estándar LSC LIC

N x p 1 3 120 15 0.125 0.189 0.021 2 7 450 85 0.189 3 10 630 65 0.103 a 4 17 210 10 0.048 5 19 750 50 0.067 6 20 615 140 0.228 7 23 806 55 0.068 8 26 175 10 0.057 9 27 500 35 0.070

10 30 320 17 0.053 Total 4576 482

Tabla11-1

Por ejemplo, para el día 3 se calcularán los límites de control.

La fracción defectuosa es: P = x

n donde: X = Piezas defectuosas n = Piezas inspeccionadas La fracción media defectuosa es: p = Ex En Para calcular la p no se deben obtener promediando la fracción defectuosa.

Para calcular la desviación

estándar tenemos:

donde: p = Fracción media defectuosa. p = Fracción defectuosa. n = Piezas inspeccionadas. Los límites de control son:

LSCp = p + 3T LICp = p - 3T


48

EJERCICIO 11.1a) Calcule los límites de control del 3 al 30 y exprese sus resultados en la tabla 11.1. Una vez calculados los límites de control de cada subgrupo, se representan los resultados en el gráfico de control. Normalmente en el gráfico se representa el porcentaje defectuoso en lugar de la fracción defectuosa, debido a que es más comprensible para el personal. Si todos los puntos del gráfico se encuentran bajo control se puede suponer que p ‘ = p. En caso contrario se deben eliminar los puntos fuera de control (por arriba) con la finalidad de estimar la fracción medio defectuoso que se pueda mantener a futuro. A esto se le conoce como Po (fracción defectuosa revisada). b) Determine la Po para el ejercicio anterior. c) ¿Para qué nos sirve calcular la Po?

49

Cabe aclarar que la posición correcta de los límites +-3 T en el gráfico depende del tamaño de subgrupo. Sin embargo, para efectos prácticos, cuando los subgrupos máximo y mínimo no distan más de un 25% del tamaño medio, puede ser suficiente preciso establecer un único conjunto de límites de control, basados en el tamaño medio esperado. Cuando se hace esto, aquellos puntos que se encuentran cerca o muy cercanos a los límites de control requieren un examen más crítico, para ver si los límites son aplicables a estos puntos.

11.3 Gráfica np

Los gráficos np miden la cantidad de unidades defectuosas en una muestra inspeccionada, para elaborar esta gráfica los tamaños de muestra deben ser constantes y se recomienda que sean mayores a 50, por las razones descritas con anterioridad. Para el cálculo de los límites de control se utilizan las siguientes fórmulas:

Donde: np = Número de piezas defectuosas entre el número de subgrupos. P = Es el número de piezas defectuosas entre el total de piezas inspeccionadas.


EJERCICIO 11.2 Determine los límites de control para los datos que se muestran en la tabla siguiente. Construya el gráfico y analícelo.

Sub Tamaño de la muestra

No de piezas defectuosas

1 225 12 2 225 13 3 225 15 4 225 9 5 225 8

A6 225 16 7 225 15 8 225 10 9 225 9

10 225 6 11 225 8 12 225 9

50

En forma general los objetivos y análisis del gráfico np son similares al p. Se pueden considerar dos ventajas del gráfico np frente al p: la simplicidad de los cálculos y la compresión del gráfico. Sin embargo, el aspecto práctico ocurre que el tamaño del subgrupo normalmente es variable.

11.4 Gráfico c

Un artículo es defectuoso si no cumple con una o más especificaciones dadas, cada una de estas formas de disconformidad de un artículo, constituyen un defecto.

Un artículo defectuoso contiene

uno a más defectos. El gráfico c se aplica al número

de defectos que se producen en subgrupos de tamaño constante.

En el gráfico c, cada subgrupo

está constituido por un sólo artículo y la variable c es el número de defectos observados en un artículo. Por ejemplo:

a) c es un número de remaches

defectuosos en un avión.

b) c es el número de defectos observados en un avión.

c) c es el número de burbujas

observadas en una botella

Los límites de control se determinan por:

C = Ec n

Donde c: es el número de defectos

entre el número de subgrupos.


EJERCICIO 11.3Determine los límites de control para los datos que se muestran en la tabla siguiente


Número de defectos

1 1 5

2 1 7

3 1 3

4 1 4

5 1 5

6 1 3

7 1 7

8 1 8

9 1 10

Muchos de los comentarios relativos al gráfico p, son aplicables a este gráficos

51

11.5 Gráfica u

La gráfica u mide la cantidad de

defectos por unidad de inspección en subgrupos cuyo tamaño puede ser variable.

El cálculo de los límites de

control se basa en:

Se recomienda que el tamaño

de la muestra no exceda el 25% del tamaño de muestra promedio, con la finalidad de obtener más límites de control únicos.


EJERCICIO 11.4

Determine los límites de control, para los datos de la tabla siguiente:


Número de defectos (c)

Defectos por unidad

(u) 3T LSC

u + 3T LIC

u - 3T

1 6 13

2 7 14

3 3 10

4 9 7

5 10 5

6 4 4

7 5 13

8 6 10

52

Respuestas de los ejercicios del manual

53

Módulo VI

Ejercicio 6.1 Determine la media, mediana, rango y desviación estándar: a) 2, 3, 4, 6 Media:

X = 2 + 3 + 4 + 6 = 15 = 3.75 4 4

Mediana: X = 3 + 4 = 7 = 3.5 2 2

Rango R = 6 – 2 = 4 Desv. Std:

b) 0.23, 0.24, 0.22, 0.26, 0.21 Media:

X = 0.23 + 0.24 + 0.22 + 0.26 + 0.21 = 1.16 = 0.232 5 5

Mediana: 0.21, 0.22, 0.23, 0.24, 0.26 X = 0.23 Rango: R = 0.26 – 0.21 = 0.5 Desv. Std:

54

c) 40, 23, 35, 36, 38, 42 Media:

X = 40 + 23 + 35 + 36 + 38 + 42 = 214 = 35.6 6 6

Mediana:

X = 36 + 38 = 37 2

Rango: R = 42 – 23 = 19 Desv. Std:

d) 60, 70, 50,100 Media:

X = 60 + 70 + 50 + 100 = 280 = 70 4 4

Mediana:

X = 60 + 70 = 130 = 65 2 2

Rango: R = 100 – 50 = 50 Desv. Std:

55

Módulo VII Ejercicio 7.1 Paso 1. Rango (R) R = 37 – 28 = 9 Paso 2. Intervalo (k) n = 40 datos Ver tabla 7.1

Menor que 50 de 5 a 7

k = 5

Paso 3. Amplitud (A) Datos: R = 9 k = 5 Sust. A ≈ 9 ≈ 1.8 5 Si u = 1

A = 2

Paso 4. Fronteras de clase Primera frontera Fórmula: X = 1 u 2 Datos: Vm = 28 u = 1 Sust. X = 28 – 1 (1) 2

X = 27.5

56

Paso 5. Agrupar datos

k Frontera Inferior

Frontera Superior

Marca de Clase Conteo F Fi Gi

1 27.5 29.5 28.5 IIIII I 6 6 6

2 29.5 31.5 30.5 IIIII IIIII 10 16 22

3 31.5 33.5 32.5 IIIII IIIII IIII 14 30 52

4 33.5 35.5 34.5 IIIII I 6 36 88

5 35.5 37.5 36.5 IIII 4 40 128

128 296

Con la tabla 7.2 se determinan las demás fronteras de clase. Como sabemos las marcas de clase son el promedio de cada intervalo. Para el primer intervalo:

Xk1 = 37.5 + 39.5 = 38.5 2

Por comodidad para los siguientes intervalos se le agregará la amplitud. El conteo es la base del histograma, para determinarlo no existe una fórmula

matemática, al no haberla, se involucra el factor humano susceptible de erro. La frecuencia es la sumatoria del conteo; para determinar Fi y Gi, es el

acumulado de la frecuencia y el acumulado del acumulado, respectivamente.

57

Paso 6. Cálculo del promedio y la desviación estándar

Promedio: Fórmula:

X = X1 – A (EFi -1) n

Datos: X1 = 36.5 A = 2 EFi = 128 n = 40 Sust. X = 36.5 - 2 128 - 1 40 X = 36.5 - 4.4 X = 32.1 Desviación estándar: Fórmulas:

b = Fi c = Gi

n n

Datos: A = 2 n = 40 Fi = 128 Gi = 296

58

Sustituyendo: b = 128 = 3.2 40 c = 296 = 7.4 40

Como conclusión podemos decir que estamos fuera de la política de 30 días,

nuestro promedio es de 32 días. La desviación nos confirma que nuestros datos se encuentran dispersos en

±1T, es común que los datos se dispersen a ±3T. Ejercicio 7.2 Paso 1. Rango (R) R = 93 – 60 = 33 Paso 2. Intervalo (k) n = 30 Ver tabla 7.1

Menor que 50 De 5 a 7

k = 5

59

Paso 3. Amplitud (A) Fórmula A = R k

Datos:

R = 33 k = 5

Sust: A = 33 ≈ 6.6 5 Si u = 1 A = 6 + 1 = 7

A = 7

Paso 4. Fronteras de clase

Primera frontera Fórmula: X = Vm – 1 u

2

Datos:

Vm = 60 u = 1

Sust. X = 60 – 1 (1) 2 X = 59.5

60

Paso 5. Agrupamos datos

k Frontera Inferior

Frontera Superior

Marca de Clase Conteo F Fi Gi

1 59.5 66.5 63 III 3 3 3

2 66.5 73.5 70 IIIII I 6 9 12

3 73.5 80.5 77 IIIII IIIII II 12 21 33

4 80.5 87.5 84 IIIII II 7 28 61

5 87.5 94.5 91 II 2 30 91

91 200

Fronteras de clase Fórmula:

FS = Fi + A Datos: FI = 589.5 A = 7 Sust. FS4 = 59.5 + 7 = 66.5 Agregando la amplitud, se pueden determinar las demás fronteras de clase de

cada uno de los intervalos. Marcas de clase Fórmula: Xk2 = FS + Fi

2 Datos:

FSk-2 = 73.5 Fik-2 = 66.5

Sust. X k-2 = 73.5 + 66.5 = 70 2 Como podemos apreciar la deferencia entre marcas de clase es el valor de la

amplitud.

61

Paso 6. Cálculo de promedio y desviación estándar.

Promedio: Fórmula:

X = X1 - A (EFi – 1) n Datos:

Xk-5 = 91 A = 7 EFi = 91 n = 30

Sust.

X = 91 – 7 ( 91 -1 ) 30

X = 76.73 Desviación estándar: Formula:

b = Fi n

c = Gi n

Datos: A = 7 n = 30 Fi = 91 Gi = 200 Sust.

b = 91 = 3.03 30

c = 200 = 6.6 30

T = 7.08

62

Para concluir, el cliente B encuentra el producto fuera de la especificación del

cliente Con los otros dos clientes (A y C) estamos en el promedio. Sólo que para el

primer cliente nos encontramos que ± 2 T.

63

Módulo VIII EJERCICIO 8.1 a) Para resolver esta pregunta, debemos regresar al planteamiento del problema.

Fórmula: Z = X1 – X T

Datos: X1 = 40 X = 45 T = 5

Sustituyendo: Z = 40 – 45 = -1 5 Leyendo la tabla 8-1 el valor de Z = -1 tenemos 0.1587. Por tanto, el área bajo

la curva normal que no cumple será del 15.87%. De donde podemos concluir que el área donde no cumple será:

100% - 15.87% =84.13% El 84.13% si cumple con la especificación.

b) Combinando la especificación a 53, tendríamos:

Sustituyendo la fórmula: Z = 53 – 45 = 1.6 5 Leyendo la tabla 8.1 tenemos: Para Z = 1.6 un 0.9452 el área bajo la curva será del 94.52% si cumple con la especificación.

64

c)

Fórmula: Z = X1 – X T

Datos: X1 = 45 - 9 = 36 X2 = 45 + 9 = 54 T = 5

Sustituyendo: Z1 = 36 – 45 = -1.8 5 Z1 = 54 – 45 = 1.8 5

Leyendo en tablas tenemos que para: Z1 = -1.8 es igual a 0.0359 Y Z2 = 1.8 es igual a 0.9641 Por lo tanto, se restarán estos valores: 0.9641 – 0.0359 = 0.9282 El área bajo la curva será del 92.82% que sí cumple con la especificación. Ejercicio 8.2

1. a) tenemos

Fórmula: Z = X1 – X T Datos:

X1 = 0.29 – 0.03 = 0.26 X = 0.28 T = 0.03

Sustituyendo: Z = 0.26 – 0.28 = -0.6 0.03

65

Para un valor de Z = -06 tenemos 27.43% que no cumple. b) tenemos Fórmula: Z = X1 – X T Datos: X1 = 0.29 + 0.03 = 0.32 X = 0.28 T = 0.03 Sustituyendo: Z= 0.32 - .028 = 1.3 0.03 leyendo en tablas el valor de Z = 1.3 tenemos que: De un 100% - 90.32% = 9.68% El 9.68% no cumple por arriba de la especificación c) Con los datos anteriores podemos determinar el área bajo de la curva dentro de la

especificación.

Sumando los porcentajes que no cumplen, la especificación es de:

27.43% + 9.68% = 37.11% Si del 100% le restamos el 37.11 que no cumple tenemos que el 62.89% cumple dentro de la especificación.

66

Ejercicio 8.2 2. a):

Fórmula: Z = X – X T Datos: X = 68 X1 = 57 X2 = 79 T = 4 Sust.

Z1 = 57 – 68 = -2.7 4 Z2 = 79 – 68 = 2.7 4

Lectura en tablas: 0.00347 0.9965 0.9965 – 0.00347 = 0.99303

Siempre se evalúa el área bajo la curva en porciento y será de izquierda a derecha, es por eso que a 0.9965 del punto X2 le restamos 0.00347 del punto X1

67

b)

Como podemos detectar en la figura, para cumplir el100% a ± 3T el valor de T deberá ser menor de 4.

Fórmula: Z = X – X T Despejando T: T = X – X Z Datos:

X1 = 57 X2 = 79 Z = 3 X = 68

Sustituyendo: T = 57 – 68 = -3.6 3 T = 79 – 68 = 3.6 3 Debemos aclarar que el área bajo la curva es de menos infinito (-∞) a más infinito (+∞). Por lo anterior no podremos concluir al 100%.

68

Ejercicio 8.2 3.

Primeramente buscaremos en tablas el valor de Z que nos represente el 10% en el área de valores negativos, posteriormente localizaremos del lado positivo el 7%. Encontrando que para 10.03% tenemos Z1 = -1.28 y para 93.06% el valor Z2 = 1.48, encontrando los valores de X1 y X2, tenemos: Fórmula:

Z = X – X T Despejando:

Z T = X – X Z T + X = X

Datos:

X = 0.024 T = 0.0007 Z1 = -1.28 Z2 = 1.48

Sustituyendo:

X1 = Z1T + X X1 = (-1.28) (0.0007) + (0.024) X1 = 0.0231 X2 = (1.48) (0.0007) + (0.024) X2 = 0.0250

Podemos determinar que la especificación será 0.024 ± 0.001

69

Módulo X Ejercicio 10.1 1. a) Fórmula:

LCX = X ± A1T LSCR = B4T LICR = B3T

Datos: X = 230 T = 3.333 A1 = 2.394 B4 = 2.568 B3 = 0

Sustituyendo: LCSx = 230 + (2.394) (3.333) = 237 LICx = 230 – (2.394) (3.333) = 222 LSCR = 2.568 (3.3339) =9 LICR = 0

b)

Fórmula:

Z = Xi – Xi T

Datos:

X1 = 220 X2 = 240 X = 230 T = 3.333

Sustituyendo:

Z1 = 220 – 230 = -3 3.333 Z2 = 240 – 230 = 3 3.333

70

Leyendo en tablas, tenemos que para Z1 = 0.00135, realizando la diferencia

aritmética. Area bajo la curva Z2 – Z1 = 0.99865 – 0.00135 = 0.9973. Podemos determinar que el 99.73% de la población se encuentra dentro de la

especificación. Ejercicio 10.1

2. a) La media de los datos deberá ser igual o muy cercana al valor especificado,

0.29 pulg.

b)

Si la condición es que coincidan la especificación a ± 3T, se deberá dividir la tolerancia entre 3. Si 3T = 0.04 Por lo tanto

T = 0.04 = 0.013 3

Ejercicio 10.2 Si este problema nos indica los estadísticos, es decir, el promedio de cada sub – grupo y el rango del mismo. a) Si ejerció una influencia considerable el gráfico de control en el proceso, ya que si comparamos la media de cada sub – grupo, éstas están dentro de la especificación

71

b) Fórmula: Datos:

LCx = X ± A1R A1 = 2.394 LSCR = D4R n = 20 LICR = D3R D4 = 2.575 X = EXi X = Eri D3 = 0

n n Sustituyendo:

X = 513.5 = 25.675 20 R = 51 = 2.6 20 LSCX = 25.675 – (2.394) 2.6 = 31.9 LICX = +25.675 – (2.394) 2.6 = 19.5 LSCR = 2.575 (2.6) = 6.695. LICR = 0 Al conocer los límites de control, podemos concluir que el proceso está

cotrolado, aunque no conocemos los elementos de las muestras. c)

Fórmula :

Z = LE – M T T = R d2

Datos:

d2 = 1.693 X = 25.675 LIE = 21 LSE = 27 R = 2.6

72

Sustituyendo:

T 2.6 = 1.5 1.693 Zinf = LIE – X = 21 – 25 .675 = -3.12 T 1.5 Zsup = LSE – X = 27 – 25.675 = 0.88 T 1.5 Leyendo en tablas los valores de Zinf = 0.00090 y Zsup = 0.8106; por lo tanto: Area bajo la curva = Zsup – Zinf 0 0.8106 – 0.00090 = 0.8097 Concluyendo, podemos determinar que en el área bajo la curva se encuentran

el 80.97% de la población que cumple con la especificación.

d)

Fórmula:

Z = LSC – X T Z1 = 30.5 –26 = 4.5 = 3

1.5 1.5 Z2 = LSE – X = 27 – 26 = 0.6 T 1.5

Datos:

LSC = 30.5 X = 26 T = 1.5

Area de desecho

Area de reproceso

73

Leyendo en tablas, podremos determinar que para Z1 = 0.99865 y Z2 = 0.7257,

realizando la resta aritmética, tenemos:

Z1 – Z2 = 0.99865 – 0.7257 = 0.27295

Por lo anterior, concluimos que el 27.295% de la población es reprocesada y el producto que se desechará será:

Z1 = LIE – X = 21 – 36 = -3.33

T 1.5 Z2 = LIC – X = 21.5 – 26 = -3

T 1.5

Viendo en tablas, tenemos que:

Z1 = 0.00048 y Z2 = 0.00135 Realizando la operación aritmética, tenemos:

Z2 – Z1 = 0.00135 – 0.00048 = 0.00087 Concluyendo, podemos afirmar que el 0.087% del producto se desecha, siendo esta parte desperdiciable comparada con el porcentaje de reproceso. Se recomienda que para estos casos se realiza un movimiento en el promedio de promedios hacia la izquierda de nuestro gráfico, para reducir el porcentaje del reproceso. Ejercicio 10.3 1. El planteamiento es incorrecto, ya que la distribución del producto con respecto a

la primera especificación:

Como podemos apreciar en la gráfica, el proceso está dentro de la especificación. Cuando el cliente modifica la especificación de 0.320 ± 0.036 a 0.320 ± 0.006, se tiene la siguiente gráfica:

74

En estas lecturas podemos determinar el porcentaje bajo la curva que cumple

con la nueva especificación. Area bajo la curva = Z2 – Z1 = 0.6179 –03821 = 0.2358. El 23.58% de la población cumpliría con la mueva especificación, que no

representa una buena parte. Al aplicar la proposición, que nos dice que a esta nueva especificación dividir

entre , la tolerancia, obteniendo lo siguiente:

75

Fórmula:

Z = Xi – X T

Datos:

X1 = 0.314 X2 = 0.326 T = 0.020 X = 0.320

Sustituyendo:

Z1 = 0.314 – 0.320 = -0.3 ≈ 0.3821 0.020 Z2 = 0.326 –0.320 = 0.3 ≈ 0.6179 0.020

Sustituyendo:

Z1 = 0.3165 – 0.320 = -0.175 ≈ 0.4325 0.020 Z2 = 0.3235 – 0.320 = 0.175 ≈ 5675 0.020

Por lo cual, haciendo la diferencia aritmética, tenemos: Area bajo la curva = Z2 – Z1 = 0.5675 –0.4325 = 0.135

El 13.5% de la población estará dentro de la especificación. Con estos resultados podemos concluir que el planteamiento es incorrecto. Por lo tanto, para cumplir la especificación nueva se deberá reducir la desviación estándar de 0.020 a 0.002 lo cual sería casi imposible. Se recomienda utilizar límites de precontrol y en algunos meses alcanzar la especificación.

76

Módulo XI Ejercicio 11.1 a) TABLA 11.1

SUBGRUPO FECHA PIEZAS INSPECCIONADSAS

PIEZAS DEFECTUOSAS

FRACCION DEFECTUOSA 3T LSC LIC

1 3 120 75 0.125 0.034 0.189 0.021

2 7 450 * 85 0.189 0.043 0.148 0.062

3 10 630 65 0.103 0.037 0.142 0.068

4 17 210 10 0.048 0.063 0.168 0.042

5 19 750 * 50 0.067 0.034 0.139 0.071

6 20 615 * 140 0.228 0.037 0.142 0.068

7 23 806 * 55 0.068 0.032 0.137 0.073

8 26 175 10 0.057 0.069 0.174 0.036

9 27 500 35 0.070 0.041 0.146 0.064

10 30 320 17 0.053 0.051 0.156 0.054

E 4576 482

* Se eliminan para calcular p.

78

b) Cancelando los sub – grupos 2, 5, 6, 7 y 10 y recalculando P, que sería Po. Fórmula:

P = Po = Exi En

Datos: Exi = 1995 En = 152

Sustituyendo: Po = 1995 = 0.077 152

c) Nos representará el porcentaje o fracción defectuosa a mantener en un futuro. Ejercicio 11.2 Fórmula:

np = Enp = 10.83 P = Enp

k En

Datos:

k = 12 Enp = 130 En = 2700

Sustituyendo:

np = 130 = 10.83 12 p = 130 = 0.048 2700

80

Ejercicio 11.3 Fórmula: Datos:

c = Ec Ec = 52 n n = 9

Sustituyendo:

c = 52 = 5.7 9

Como no podemos representar menos uno o dos defectos se considera como

LIC = 0.

82

DEPARTAMENTO PARTE GRAFICA MUESTREO

p np c u

MAQUINA O EQUIPO CLIENTE FRECUENCIA FECHA

83

Ejercicio 11.4

SUBGRUPO TAMAÑO DE LA MUESTRA

NUMERO DE DEFECTOS

DEFECTOS POR UNIDAD 3T LSC LIC

1 6 13 2.16 0.34 1.86 1.18

2 7 14 2.00 0.33 1.85 1.19

3 3 10 3.33 0.39 1.91 1.13

4 9 7 0.77 0.47 1.99 1.05

5 10 5 0.50 0.55 2.07 0.97

6 4 4 1.00 0.62 2.14 0.90

7 5 13 2.60 0.34 1.86 1.18

8 6 10 1.66 0.039 1.91 1.13

TOTAL 50 76

85

Ejercicio 11.4 Fórmula:

u = c n

u = Ec En

Sustituyendo:

u = 76 = 1.52 50

86

“Guía de Estudio, Aplicación y Evaluación”

87

Control Estadístico de Procesos

CEP –I

Guía de Evaluación inicial – final

Módulo I

1. ¿Cuál es el promedio para modificar los sistemas operativos de una empresa? ___________________________________________________________________ 2. Mencione alguna utilidad de las técnicas estadísticas. ___________________________________________________________________ 3. ¿Por qué es importante el recurso humano para el control estadístico de procesos? ___________________________________________________________________ 4. ¿Cuáles son las etapas de la función de prevención? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 5. Mencione las fases del Autocontrol del recurso humano. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

Valor por módulo: 5 puntos

88

Módulo II 1. ¿Cuáles la utilidad de identificar un sistema predominante? _________________________________________________________________ 2. Mencione los 5 factores Causales más comunes.

__________________ _________________ __________________ _________________ _____________________________

3. Defina la utilidad o finalidad de la técnica “Estratificación”. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________


89

Módulo III 1. ¿Cuál es la utilidad primordial de la técnica del diagrama de Causa – Efecto? _________________________________________________________________ 2. Defina la metodología a seguir para la elaboración del diagrama. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 3. Mencione los pasos a seguir para la elaboración del diagrama de Causa – Efecto. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________


90

Módulo IV 1. Con la siguiente tabla, realizar el diagrama de Pareto.

EMPRESA: TAMEX S:A: PRODUCTO/SERVIVIO: REP. de Automóviles

DIVISION: ARNACIONES PERIODO: ENE-MAR-90

RESPONSABLE: Ing. JUAN HERNANDEZ TOTAL PZAS: INSP: 100

Tipo de Defecto Ocurrencia No. de Piezas Bujías quemadas IIIII IIII 5

Ajuste de platinas IIIII IIIII I 11

Cambio de condensador IIII 4

Cambio filtro de gasolina IIIII I 6

Labado de carburador IIIII IIII 9

Regular Espreas IIIII II 7

91

2. En una fábrica de cerraduras se listarán los accidentes de trabajo de los meses de

mayo a septiembre del año anterior, siendo un total de 75 personas accidentadas de un total de 450 trabajadores y empleados.

Tipo de Accidente Ocurrencia No. de personas

Cortaduras IIIII IIIII II 12

Machucones IIIII IIIII IIIII II 17

Quemaduras IIIII IIIII IIIII 16

Intoxicaciones IIIII IIIII 10

Torceduras IIIII IIIII I 11

Fracturas IIIII IIII 9


92

Módulo V 1. Marcar dentro del paréntesis con una “X” las variables continuas. ( ) Temperatura ( ) Peso ( ) Color ( ) Longitud

( ) Sabor ( ) Volumen ( ) Presión ( ) Hijos

2. Marcar dentro del paréntesis con una “X” las variables discretas. ( ) Tono ( ) Elongación ( ) Consistencia ( ) Acidez

( ) Resistencia ( ) Madurez ( ) Amor ( ) Espesor


93

Módulo VII 1. Calcular la media y la mediana de los siguientes datos.

65, 64, 72, 84, 70, 79, 67, 62, 64, 67, 65, 81, 75, 74 2. Determinar el rango de la siguiente serie númerica.

22 27 24 21 22 27 24

23 27 24 21 27 26 25

26 27 23 24 22 21 24

23 27 29 26 21 24 28

26 24 29 24 23 26 27

24 21 27 24 23 24 25

26 24 27 28 21 23 24

25 27 21 22 24 26 23

27 24 26 23 21 24 22

22 28 24 26 28 21 27

3. Determinar la desviación estándar de los siguientes números.

7, 9, 12, 6, 15, 17, 11, 8, 13, 15


94

Módulo VII 1. Los siguientes datos representan el espesor de cristal flotado en le proceso de

fabricación, del período de mayo a junio. Una muestra diaria en milímetros.

MAYO 1990

5.82 5.97 6.01 6.13 5.96 5.97

6.09 5.83 5.84 8.91 5.87 5.92

6.07 5.93 5.96 6.04 6.07 6.13

5.84 5.95 5.96 5.87 5.98 6.04

6.15 6.22 6.03 6.07 5.96 6.04

6.07 5.82 5.94 5.87 5.84 5.93

5.96 5.87 5.94 6.02 5.93 5.89

5.07 5.97 6.23 6.22 6.16 6.05

a) Realizar el histograma, graficando el polígono de frecuencias. b) Determine el promedio de los datos. c) Calcular la desviación estándar de los datos agrupados.


95

Módulo VIII 1. En la fabricación de tubería de cobre para diversas instalaciones, se controla el

diámetro interior, donde el promedio es 25.1 mm y la desviación estándar es de 0.4 mm.

a) Calcular el área bajo la curva normal que se encuentre dentro de la especificación

(25.1 mm). b) Calcular el porcentaje de los datos que se encuentran por abajo del punto de

control (-3T). c) ¿Cuál será el área bajo la curva que esté por arriba del punto de control (+3T).


96

Módulo IX 1. ¿Cuál es la finalidad de la hoja de verificación? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 2. Mencione la utilidad de una hoja de verificación. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 3. Mencione cuántas y cuáles son las zonas especificadas dentro de una hoja de

verificación. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________


97

Módulo X 1. En la fabricación de shampoo es necesario controlar la acidez del colorante.

Se aplicará un gráfico de control de promedios y rangos, haciéndose pruebas cada hora y registrándolos en grupo de 5 muestras. a) Calcular la media y el rango para cada muestra.

b) Calcular la media de medias, el promedio de rangos y los límites de control.

c) Realice la gráfica.


98

Departamento Característica de Calidad Sistema de medida Frecuencia Fecha PREPARACION ACIDEZ COLORANTE INGLES 1 Hora

Maquina o Equipo Especificación Cliente Muestreo M - 017 4.15 + 0.2 WELLA 5

Agosto 90’

FECHA

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 4.22 4.25 4.20 4.20 4.15 4.18 4.22 4.00 4.10 4.20 4.35 4.13 4.20 4.27 4.21 4.30 4.21 4.15 4.08 4.09 2 4.20 4.22 4.22 4.25 4.20 4.17 4.24 4.15 4.15 4.25 4.20 4.20 4.16 4.09 4.08 4.03 4.27 4.19 4.27 4.13 3 4.08 4.15 4.17 4.05 4.15 4.30 4.07 4.10 4.36 4.30 4.12 4.09 4.22 4.10 4.12 4.09 4.19 4.22 4.12 4.19 4 4.15 4.10 4.18 4.17 4.31 4.15 4.19 4.30 4.15 4.15 4.30 4.15 4.18 4.17 4.20 4.13 4.11 4.27 4.21 4.22 5 4.15 4.15 4.30 4.10 4.25 4.10 4.25 4.20 4.10 4.10 4.10 4.22 4.25 4.12 4.29 4.25 4.25 4.10 4.13 4.27

SUM SUMA X R

99

Módulo X

2. En la industria de plástico, se fabrica envase para productos lácteos.

En el envase para yoghurt el peso es una característica a controlar debido al control de peso en el producto final (contenido neto). Debido al control tan estricto, se aplica una carta control X – T, con los siguientes datos (ver gráfico). a) Calcular la media y la desviación estándar de cada una de las muestras.

b) Calcular la media de medias y la desviación estándar promedio.

c) Realice el gráfico.


100

Departamento Característica de Calidad Sistema de medida Frecuencia Fecha MODELADO PESO INGLES 2 HRS

Maquina o Equipo Especificación Cliente Muestreo ZX - 03 22 GR + 1 ALPURA 3

Junio 90’

FECHA

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 21.3 22.3 21.0 22.2 21.3 22.0 21.2 22.2 21.0 21.6 21.7 22.1 21.9 21.8 21.6 22.0 22.1 21.8 21.8 2 22.1 22.6 22.3 21.8 21.8 21.9 21.8 22.4 21.6 21.5 21.9 21.8 22.0 21.6 21.5 21.8 21.9 22.3 21.9 3 21.8 21.9 22.0 22.0 21.9 22.3 21.5 21.9 22.3 22.0 22.0 21.6 22.3 21.9 21.9 22.2 21.6 21.6 22.0 4 5

SUM SUMA X R

101

Módulo XI

1. En la fábrica de dispositivos electrónicos para computadoras, se establece el

gráfico de Control p, teniendo los siguientes datos

LOTE Tamaño Muestra Piezas Defectuosas

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

5220 3842 4325 4257 5350 4760 4237 7490 9375 8371 5932 9371 5943

16 14 31 51 62 59

109 65 75 57 39

121 40

a) Elabore el gráfico de Control p y obtenga conclusiones.

102

2. En el departamento de control de calidad de la fábrica de lápices “La Corona” se

implantó el gráfico de Control np, teniendo la siguiente tabla:


1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

450 450 450 450 450 450 450 450 450 450 450 450 450 450 450

27 21 24 25 31 29 26 32 27 29 23 28 32 26 29

b) Elabore el gráfica de Control np y dé sus conclusiones.

103

3. En la planta ensambladora de automóviles “Toyota”, se controla la producción con

gráficos de Control c, encontrando el número de defectos por unidades representadas en la siguiente tabla.


1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

16 11 9

12 8

10 13 16 9 3 7

12 15 10 9

c) Elabore el gráfico de Control y dé sus conclusiones.

104

4. En la planta de motores Millán S:A: se produce bajo gráficos de Control u, para

controlar el número de defectos por lote de producción, teniendo la siguiente información.


1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

121 137 127 119 139 132 122 128 132 127 119 131 138 128 125

13 15 9

12 15 13 11 16 13 10 8

15 13 12 10

d) Elabore el gráfico de Control u y dé sus conclusiones.

105

Control Estadístico de Procesos

CEP – I

Guía de Respuestas

Módulo I 1. El control estadístico de procesos.

(1 punto) 2. Son necesarias para: analizar, diagnosticar, evaluar y priorizar.

(1 punto) 3. Es el recurso humano el que aplica, interpreta y soluciona los problemas de calidad

con las técnicas estadísticas.

(1 punto) 4. Son tres etapas, que son las siguientes.

1) Planificar 2) Controlar 3) Mejorar

(1 punto) 5. Se define el auto - control en el personal, cuando se encuentre motivado y

presente las siguientes características:

a) El quererlo hacer. b) Saber lo que se hace. c) Conocer lo que se hace. d) Tener medios para evaluar lo que se hace.

(1 punto)

106

Módulo II 1. La mejora de los procesos.

(2 puntos) 2.

I) El predominio del operario. II) El predominio de las materias primas. III) El predominio de la máquina. IV) El predominio de los métodos. V) El predominio del medio ambiente.

2. La utilidad práctica dentro de los sistemas operativos es que podemos:

evaluar, diagnosticar y analizar los procesos.

(1 punto)

Módulo III 1. Es la solución de problemas.

(2 puntos) 2. A partir de un efecto o problema observado, identificar el predominio de los

factores causales.

(1 punto) 3. Los pasos son los siguientes:

1) Elegir el proyecto. 2) Representar la característica de calidad en el extremo derecho de la

flecha horizontal. 3) Dibujar las flechas principales para cada factor. 4) Anotar las causas que originan el problema. 5) Verificar y anotar todas las causas de variación en el diagrama. 6) Analizar el diagrama para identificar la causa más importante. 7) Realizar el programa a ejecutar para corregir la causa problema.

(2 puntos)

107

Módulo IV 1.

DEFECTOS Ocurrencia % Absoluto % Relativo % Acum. Relativo

Ajuste de platinas 11 11 24.44 24.44

Lavado de Carburador 9 9 20 44.44

Bujías Quemadas 8 8 17.78 62.22

Regular Espreas 7 7 15.56 77.78

Cambio de Filtro 6 6 13.33 91.11

Cambio de Condensador 4 4 8.89 100

TOTAL 45 45% 100%

(5puntos)

108

2.

Tipo de Accidente

No. de Personas % Absoluto % Relativo % Acum. Relativo

Machucones 17 3.78 22.67 22.67

Quemaduras 16 3.56 21.33 44.0

Cortaduras 12 2.67 16.0 60.0

Torceduras 11 2.44 14.57 74.67

Intoxicaciones 10 2.22 13.33 88.0

Fracturas 9 2.00 12.0 100.0

TOTAL 75 16.67% 100%

(5 puntos)

109

Módulo V 1. Marcar

( ) Temperatura ( ) Peso ( ) Longitud ( ) Volumen ( ) Presión

(2.5 puntos)

2. Marcar

( ) Tono ( ) Consistencia ( ) Madurez ( ) Amor

(2.5 puntos)

Módulo VI 1. Media = 70.64

Mediana = 67 + 70 = 68.5 2

(3 puntos) 2. R = 29 – 21 = 8

(2 puntos) 3.

T = 3.55

(5 puntos)

110

Módulo VII a) K = 5 R = 0.41 A = 6.09

K LFI LFS XI CONTEO fi Fi Gi 1 5.815 5.905 5.86 IIIIIIIIIIIIIIII 12 12 12

2 2.905 5.995 5.95 IIIIIIIIIIIIIIIIIIII 17 29 41

3 5.995 6.085 6.04 IIIIIIIIIIIII 11 40 81

4 6.085 6.175 6.13 IIIII 5 45 126

5 6.175 6.265 6.22 III 3 48 174

48 174 434

(5 puntos)

111

Promedio

Fórmula: Datos:

Xi = 6.22

X = Xi – A (EFi - 1) A = 0.09 N N = 48

EFi = 174 Sustituyendo:

X = 6.22 – 0.09 (174 -1) X = 6.22 – 0.23625 48

X = 5.98

(2.5 puntos) b) Desviación estándar: Fórmula: Datos:

b = EFi c = EGi N N

Sustituyendo:

b = 174 = 3.625 48 c = 434 = 9.04 48

Por lo tanto:

T = 0.27

(2.5 puntos)

EFi = 174 Egi = 434 N = 48 A = 0.0

112

Módulo VIII

Curva Normal a)

Fórmula:

Z = X1 – X1 T

Datos: X = 25.1mm T = 0.4mm

Sustituyendo:

Z1 = 24 – 25.1 ≈ -2.75 = 0.0122 0.4 Z2 = 26 – 25.1 ≈ 2.25 = 0.9878 0.4

Area bajo la curva = Z2 – Z1 = 0.9878 – 0.172 = 0.9756 El área bajo la curva normal es de 97.56%

(15 puntos)

113

b)

Fórmula:

Z = X1 – X1 T

Datos:

X = 25.1mm T = 0.4mm

X1 = 23.9MM Sustituyendo:

Z = 23.9 – 25.1 = -3 + 0.00135 0.4

El 0.135% de los datos se encontrará por debajo del punto de Control (-3T)

(2.5 puntos)

114

c)

Fórmula:

Z = X1 – X1 T

Datos:

X = 25.1mm T = 0.4mm

X2 = 26.3mm Sustituyendo:

Z = 26.3 – 25.1 = 3 ≈ 0.99865 0.4 100 – 99.865 = 0.135%

Podemos decir que el 0.135% será el área bajo la curva por arriba del punto de control (+3T)

(2.5 puntos)

115

Módulo IX

Hoja de Verificación 1. Recolectar la información.

(1 punto) 2. Siendo un formato para recolectar información, su utilidad será para aplicar las 7

herramientas estadísticas:

1. Diagrama de Pareto. 2. Diagrama de causa – efecto. 3. Histograma. 4. Curva normal. 5. Gráficos de control.

(2 puntos)

3. Son tres sonas:

a) Zona de identificación. b) Zona de trabajo. c) Zona de instrucciones.

(2 puntos)

116

Módulo X 1.

a) (Ver gráfico)

(2.5 puntos)

b) X = 4.1.81. R = 0.1895

(2.5 puntos)

Para los límites de Control

(Gráfico X) Fórmula: Datos: LC = z = -A2R A2 = 0.577 Sustituyendo:

LIC = 4.181 - (0.577) 0.1895 = 4.07 LSC = 4.181 + (0.577) 0.1895 = 4.29

Gráfico R Fórmula: Datos: LSCR = D4R D3 = 0 LICR = D3R D4 = 2.115 LICR = 0 LSCR = 2.115 (0.1895) = 0.4

118

2.

a) (Ver gráfico)

(2.5 puntos)

b) X = 21.89 T = 0.3

(2.5 puntos) Para los límites de Control

Gráfico X

Fórmula: Datos: LSx = X = A1T A1 = 1.596 Sustituyendo:

LICx = 21.89 – (1.596) 0.3 = 21.412 LSCx = 21.89 + (1.596) 0.3 = 22.368

Gráfico T Fórmula: Datos: LICT = B3T B3 = 0 LSCT = B4T B4 = 2.089 Sustituyendo: LICT = 0 LSCT = 2.089 (0.3) = 0.63

c) (Ver gráfico)

(10 puntos)

120

Módulo XI

LOTE TAMAÑO DE LA MUESTRA

PIEZAS DEFECTUOSAS

FRACCION DEFECTUOSA

DESVIACION ESTANDAR LSC LIC

1 5220 16 0.0031 0.0013 0.0107 0.0081 2 3842 14 0.0036 0.0016 0.0110 0.0078 3 4325 31 0.0072 0.0015 0.0109 0.0079 4 4257 51 0.0119 0.0015 0.0109 0.0079 5 5350 62 0.0116 0.0014 0.0108 0.0080 6 4760 59 0.0124 0.0014 0.0108 0.0080 7 4237 109 0.0257 0.0015 0.0109 0.0079 8 7490 65 0.0087 0.0012 0.0106 0.0082 9 9375 75 0.0080 0.0010 0.0104 0.0084

10 8371 57 0.0068 0.0011 0.0105 0.0083 11 5932 39 0.0066 0.0013 0.0107 0.0081 12 9371 121 0..0129 0.0010 0.0104 0.0084

13 5943 40 0.0067 0.0013 0.0107 0.0081

122

Módulo XI 1. Fórmulas:

p = Xi n

LSCp = p + 3T LICp = p – 3T

Sustituyendo:

p = 739 = 0.0094 78437

Conclusión:

“Fuera de Control”

(Valor 5 puntos)

124

2.Fórmula:

np = Enp LSCnp = k

np + 3

LICnp = np - 3

Sustituyendo:

np = 419 = 27.93 15 p = 419 =0.052 6750

Con estos datos determinaremos los límites del de control.

Conclusión:

El proceso está bajo control”

(Valor 5 puntos)

126

3.Fórmula:

c = Ec n

Sustituyendo:

c = 160 =10.67 15

Los límites serán:

Conclusión:

“Proceso dentro de control”

(Valor 5 puntos)

128

Módulo XI

LOTE TAMAÑO DE MUESTRA

No. DE DEFECTOS

DEFECTOS POR UNIDAD 3T LSC LIC

1 121 13 0.107 0.085 0.181 0.011 2 137 15 0.109 0.079 0.175 0.017 3 127 9 0.071 0.082 0.178 0.014 4 119 12 0.101 0.085 0.181 0.011 5 139 15 0.108 0.079 0.175 0.017 6 132 13 0.098 0.081 0.177 0.015 7 122 11 0.090 0.084 0.180 0.012 8 128 16 0.125 0.082 0.178 0.014 9 132 13 0..098 0.081 0.177 0.015 10 127 10 0.079 0.082 0.178 0.014 11 119 8 0.067 0.085 0.181 0.011 12 131 15 0.115 0.081 0.177 0.015 13 138 13 0.094 0.079 0.175 0.017 14 128 12 0.094 0.082 0.178 0.014 15 125 10 0.080 0.083 0.179 0.013

TOTAL 1925 185

130

4. Fórmula:

u = Ec En

Sustituyendo:

u = 185 = 0.096 1925

Conclusión:

“Proceso Controlado”

(Valor 5 puntos)

131

Mida su avance a lo largo de un par de meses de estudio

1ª. Evaluación 2ª. Evaluación 3ª. Evaluación 4ª. Evaluación

FECHAS

MODILO I

MODULO II

MODULO III

MODULO IV

MODULO V

MODULO VI

MODULO VII

MODULO VIII

MODULO IX

MODULO X

MODULO XI

TOTAL

132

Las Siete Herramientas Estadísticas

Guía de Respuestas

MODULO VALOR

I 5 puntos

II 5 puntos

III 5 puntos

IV 10 puntos

V 5 puntos

VI 10 puntos

VII 10 puntos

VIII 10 puntos

IX 5 puntos

X 15 puntos

XI 20 puntos

TOTAL 100 puntos

133

BIBLIOGRAFIA

Introduction to Statistical Quality Control, by Douglas C. Montgomery

4th edition November 2000..

Quality Planning and Analysis: From Product Development through

Use by Frank M. Gryna, J. M. Quality Planning and Analysis Juran 4th

edition, November 2, 2000.

New Rules for the New Economy : 10 Radical Strategies for a

Connected World by Kevin Kelly October 1999.

Managing Six Sigma : A Practical Guide to Understanding, Assessing,

and Implementing the Strategy That Yields Bottom-Line Success by

Forrest W. Breyfogle III, October 2000.

ISO 9001: 2000 Document Development Compliance Manual: A

Complete Guide and CD-ROM by Syed Imtiaz Haider Bk&Cd-Rom

edition, June 27, 2001.

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