I. Las preferencias regulares

Las preferencias regulares satisfacen los siguientes supuestos (además de los 3 axiomas de las preferencias):

i. Monotonicidad.a) Débilb) Fuerte

Suponemos que cuanto más, mejor; es decir, que hablamos de bienes y no de males.

El supuesto de la monotonicidad débil quiere decir que una cesta que contenga como mínimo la misma cantidad de ambos bienes que otra es como mínimo igual de buena que la ésta.

En palabras matemáticas, si (x1 , x2 )≧ ( y1 , y2 )⟹ (x1, x2 )≳ ( y1, y2 ).

La monotonicidad fuerte quiere decir que una cesta que contenga como mínimo la misma cantidad de todos los bienes que otra y más de alguno de ellos es estrictamente mejor que ésta. En otras palabras:

(x1 , x2 )≥ ( y1 , y2 )⟹ (x1 , x2 )≻ ( y1 , y2)

Donde ≥ implica ¿ y por lo tanto (x1 , x2 )≻ ( y1 , y2 ). (No implica =)

En el libro de Varian el supuesto de preferencias monótonas se refiere a monotinicidad fuerte.

Este supuesto de “cuanto más, mejor” probablemente solo se cumpla hasta un determinado punto. Por lo tanto, el supuesto de que las preferencias son monótonas indica que solo vamos a examinar las situaciones que se encuentren antes de alcanzar el punto de saciedad.

La monotonicidad estricta implica monotonicidad pero si sólo hay monotonía no hay monotonía estricta.

La monotonicidad o monotonía fuerte implica que las curvas de indiferencia tienen

pendiente negativa. Si partimos de la cesta (x1 , x2 ) y nos desplazamos en sentido

ascendente y hacia la derecha, nos desplazamos necesariamente a una posición mejor. Si nos desplazamos hacia abajo y hacia la izquierda nos desplazamos a una posición peor.

Por lo tanto, para desplazarnos a una posición indiferente, debemos desplazarnos o bien, hacia la izquierda y en sentido ascendente, o bien hacia la derecha y en sentido descendente; la curva de indiferencia debe tener pendiente negativa.

A continuación más supuestos que suelen utilizarse para garantizar que las funciones de demanda de consumo se comportarán correctamente:

ii. Convexidad no estrictaVamos a suponer que se prefieren los medios a los extremos. Es decir, si tenemos

dos cestas de bienes extremos (x1 , x2 ) y ( y1 , y2) en la misma curva de indiferencia

y tomamos una media ponderada de las dos cestas:

( 12 x1+ 12 y1, 12 x2+ 12 y2)La cesta media será al menos tan buena como cada una de las dos cestas extremas. Esta cesta media ponderada contiene la cantidad media del bien 1 y la cantidad media del 2 presente en las 2 cestas.

De hecho, vamos a adoptar este supuesto en el caso de cualquier peso t situado

entre 0 y 1 y no sólo cuando es 12

. Supondremos por lo tanto, que si

(x1 , x2 )∼ ( y1 , y2 ) (1)………………[ t x1 (1−t ) y1 , t x2+(1−t ) y2 ]≿ (x1 , x2)

Para cualquier t tal que 0≤ t ≤1. Ejemplo: Chocolates y manzanas

Datos: (6,2 ) , (4,3 ) , t=13, (1−t )=2

3La canasta media ponderada sería:

[6( 13 )+4( 23 ) ,2( 13 )+3 ( 23 )][2+83 , 23 +2][ 6+83 ,

2+63 ]

[ 143 , 83 ]Entonces:

( 143 , 83 )≿ (6,2 )

( 143 , 83 )≿ (4,3 )

Notar que en (1), la media ponderada de las dos cestas asigna un peso t a la cesta x y un peso 1-t a la cesta y. Por consiguiente, la distancia que hay entre la cesta x y la cesta media es una proporción t de la distancia que hay entre la cesta y y la x, a lo largo de la recta que une las 2 cestas.

¿Qué significa este supuesto sobre las preferencias desde el punto de vista

geométrico? Significa que el conjunto de cestas preferidas débilmente a la (x1 , x2 ) es un conjunto convexo, pues suponemos que ( y1 , y2) y (x1 , x2 ) son cestas

indiferentes. Si se prefieren las medias a los extremos, todas las medias

ponderadas de (x1 , x2 ) y ( y1 , y2) se prefieren débilmente a (x1 , x2 ) y ( y1 , y2). Un

conjunto convexo tiene la propiedad de que si se toman dos puntos cualesquiera del conjunto y se traza el segmento que los une, este segmento pertenece en su totalidad al conjunto.

Las preferencias convexas son aquellas cuyas curvas de indiferencia tienen segmentos rectilíneos.

iii. Convexidad estrictaSignifica que la media ponderada de dos cestas indiferentes se prefiere estrictamente a las dos cestas extremas. En términos matemáticos:

[ t x1 (1−t ) y1 , t x2+(1−t ) y2 ]≻ (x1 , x2)Las preferencias estrictamente convexas deben tener curvas de indiferencia que

sean curvilíneas. Ejemplo: Sea t=13, (1−t )=2

3, (6,2 ) , (4,3 ). Entonces:

( 143 , 83 )≻ (6,2 )

( 143 , 83 )≻ (4,3 )

La convexidad estricta implica convexidad pero no al revés.Vamos a verificar qué curvas de indiferencia satisfacen: monotonía, monotonía estricta, convexidad y convexidad estricta. Es decir, qué preferencias son regulares (que satisfacen monotonía estricta y convexidad).

Nota: antes de explicar, señalar cuál es el conjunto débilmente preferido.

Cumple con monotonía estricta y convexidad estricta.

∴ Las preferencias son regulares

Cumple con monotonía estricta y convexidad, mas no hay convexidad estricta.

∴ Las preferencias son regulares

No hay monotonicidad estricta, existe monotonía porque existe preferencia débil. Hay preferencia débil cuando hay indiferencia.

iv. Preferencias cóncavas Son aquellas en la que al individuo no le gusta consumir los bienes juntos. (prefiere los extremos que combinar los bienes)

Cumple sólo con monotonía y convexidad, ninguna de las 2 en forma estricta.

∴ Las preferencias no son regulares

II. Preferencias no convexas

NOTA: Con sólo encontrar un punto que satisfaga la monotonicidad fuerte, entonces se dice que las preferencias son regulares.

Para los bienes neutrales:

Cumple con monotonicidad estricta (todas las curvas de indiferencia que tengan pendiente negativa cumplen monotonía estricta).

No existe convexidad ni convexidad estricta

∴ Las preferencias no son regulares

Hay monotonía estricta pero no hay convexidad estricta ni convexidad

∴ Las preferencias no son regulares

Para los males:

Satisface monotonicidad y convexidad, pero no convexidad estricta ni monotonía estricta.

∴ Las preferencias no son regulares

Tarea:

Hay convexidad pero no hay monotonía estricta ni monotonía. No hay convexidad estricta sólo convexidad.

∴ Las preferencias no son regulares

Las preferencias convexas implican bienes que se consumen juntos.

III. Relación marginal de sustitución

La pendiente de las curvas de indiferencia en un determinado punto se llama la RMS. La RMS mide la relación en que el consumidor está dispuesto a sustituir un bien por otro.

La pendiente de la curva de indiferencia se expresa de la siguiente forma: Δ x2Δ x1

.

No hay monotonía estricta pero sí monotonía. No hay convexidad estricta pero si convexidad.

∴ Las preferencias no son regulares

Nos indica la cantidad del bien 2 que se está dispuesto a renunciar por unidad adicional del bien 1, y de esta forma seguir disfrutando del mismo bienestar que antes. (Es decir, permanecer indiferente). Suponemos que la pendiente de la curva de indiferencia se puede aproximar de la siguiente forma:

d x2d x1

=limΔ→0 ( Δ x2Δ x1 )

*La pendiente de una curva en un punto es su derivada

Es decir, cuando se escriba el cociente Δ x2Δ x1

, siempre supondremos que tanto el

numerador como el denominador son cifras pequeñas, que representan variaciones marginales con respecto a la cesta de consumo inicial. Por lo tanto, el cociente que define la RMS siempre describirá la pendiente de la curva de indiferencia, es decir, la relación en la que el consumidor está dispuesta a sacrificar una pequeña cantidad del bien 1 a cambio de un pequeño aumento del consumo del bien 2.

Para que quede más claro, vamos a distinguir 2 conceptos diferentes:1) Relación de sustitución (RS)2) Relación marginal de sustitución (RMS)

La relación de sustitución es la pendiente de la curva de indiferencia en un intervalo.

La RMS es la pendiente de la curva de indiferencia en un determinado punto.

Relación de sustitución del bien 2 por el bien 1:

Unidades de x2 al que se está dispuesto a renunciar por 1 unidad adicional de x1

La RMS también representa la máxima cantidad del bien que estoy dispuesto a renunciar por unidad adicional de x1.

Nosotros siempre nos referimos a la RMS y no a la RS.

En la figura se muestra como calcular la RMS. Veamos nuevamente el ejemplo de Elisa. Suponga que Elisa consume 6 hamburguesas y 2 películas en el punto c. Su RMS se calcula midiendo la magnitud de la pendiente de la curva de indiferencia en el punto c. Para medir esta magnitud, coloque una línea recta que sea tangente a la curva de indiferencia en el punto c.

RMS:

Δ x2Δ x1

Cuando Δ x1→0

Unidades de x2 al que se está dispuesto a renunciar por 1 unidad adicional de x1

A lo largo de la línea, a medida que el consumidor de hamburguesas disminuye en 10 unidades, el consumo de películas aumenta en 5. Por lo tanto, en el punto c, Elisa está dispuesta a renunciar al consumo de 2 hamburguesas por unidad adicional de películas. Es decir, su RMS es 2. (De otra forma, Elisa está dispuesta a renunciar a una película por 2 hamburguesas adicionales)

Tenemos que: 2 p1+6 p2=30 y 4 p1+2 p2=30

Entonces:

x2=mp2

−p1p2x1

6=30p2

−2 p1p2

2=30p2

−4 p1p2

Resolviendo el sistema:

4 p1+2 p2=30

−(2 p1+6 p2=30)

4 p1+2 p2=30

−2 p1−6 p2=−30

2 p1−4 p2=0

De donde se obtiene:

2 p1=4 p2

p1=2 p2

Además

4 (2 p2)+2 p2=30

8 p2+2 p2=30

10 p2=30

Finalmente:

p2=3 y p1=6

mp2

=10 , mp1

=5

Suponga ahora que Elisa consume 6 películas y una hamburguesa y media en el punto g. Su RMS se mide ahora mediante la pendiente de la curva de indiferencia en el punto g. Esa pendiente es la misma que la pendiente de la tangente a la curva de indiferencia en el punto g. Aquí, a medida que el consumo de hamburguesas disminuye en 4.5 unidades, el consumo de películas aumenta en 9. Por lo tanto, en el punto g, Elisa está dispuesta a renunciar a media hamburguesa para incrementar su consumo de películas en una unidad adicional.

En este ejemplo, nuestra curva de indiferencia es convexa al origen. Cuando las curvas de indiferencia son convexas en sentido estricto, la RMS (la pendiente de la curva) disminuye cuando aumenta el consumo del bien 1 (a medida que nos movemos a la derecha y descendemos sobre la curva).

A medida que aumenta el consumo de películas de Elisa y disminuye su consumo de hamburguesas, su RMS disminuye, De una RMS de 2 a una RMS de ½.

En el caso de las preferencias estrictamente monótonas, las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa. Por lo tanto, la RMS siempre implica reducir el consumo de un bien para conseguir una mayor cantidad del otro bien. En realidad, la RMS es el valor absoluto de la pendiente de las curvas de indiferencia.

Las preferencias que son estrictamente monótonas y convexas estrictas, tienen una RMS negativa y decreciente en valor absoluto. (Ejemplo, la curva de una función Cobb-Douglas)

Las curvas de indiferencia de los sustitutos perfectos se caracterizan por el hecho de que la RMS es constante. (Es la misma en todos los puntos)

La RMS de las curvas de indiferencia de bienes complementarios perfectos no existe, pues no existe la derivada en el vértice. Es decir, tampoco nos interesa la RMS de curvas de indiferencia con pendientes positiva (males).

La pendiente de la curva de indiferencia tiene otra interpretación, mide: la disposición marginal a pagar.

Si el bien 2 representa el consumo de todos los demás bienes y se mide en pesos o en cantidad de pesos que podemos gastar en ellos, la RMS del buen 2 por el bien 1 es la cantidad de pesos que estamos dispuestos a reducir del gasto en todos los demás bienes para consumir una unidad adicional del bien 1.

Por lo tanto, mide la disposición marginal a parar para consumir una unidad adicional del bien 1.

Nota: Disposición marginal a pagar es diferente a lo que tengamos que pagar realmente, con una cantidad dada de consumo adicional. Lo que tengamos que pagar dependerá del precio del bien en cuestión y lo que estemos dispuestos a pagar no dependerá del precio sino de las preferencias.