las matrices y sus propiedades fundamentales
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Todo lo que tiene que saber sobre varias operaciones de matricesTRANSCRIPT
Las matrices consisten en un arreglo bidimen-
sional formado por filas (también llamado
renglones) y columnas. Estas matrices vienen
en ciertos tamaños y se utilizan para describir
un sistema de ecuaciones lineales de muchas
variables o también lo podemos aplicar para
una situación de la vida real. Los renglones
representan una ecuación lineal en específico.
La forma que nosotros podemos representar a una
matriz se define así:
Donde la letra mayúscula es el nombre de la
matriz, la letra m representa el numero de ren-
glones que tiene y la letra n significa la canti-
dad de columnas. Mientras que en las entradas
los representamos así:
Donde la letra minúscula es la entrada ó tam-
bién el número que va dentro mientras que el
1 representa el renglón en el que está y el 2
significa la columna en donde está colocada.
Le mostraremos un par de ejemplos para
que construya una idea de como son las
matrices.
Ahora para la siguiente parte de esta revista
les mostraremos algunas de las propiedades
importantes que puede contener las matri-
ces, formas de operar y que restricciones
pueden contener en ellas.
Ya que hemos visto un poco
de que tratan las matrices y
algunas cosas básicas vamos a
conocer y aprender matrices
mas especializadas y que sig-
nifican cada una de ellas.
Comencemos primero con las
matrices en diagonal.
Matriz Diagonal
Simplemente consiste en
aquellas entradas de una ma-
triz cuadrada cuyos valores
son diferentes de cero. No hay
que confundirlas con la matriz
escalar, que lo veremos en un
momento. He aquí una
demostración de como es una
matriz diagonal.
Bastante simple. Pero tenga
cuidado, no la podemos traba-
¿Qué son las matrices?
Algunas propiedades básicas de las matrices
que nosotros podemos aprender
A L G E B R A L I N E A L Las matrices y sus propiedades
fundamentales. M I E R C O L E S 1 9 D E S E P T I E M B R E D E 2 0 1 2
U N A R E -
V I S T A
E L A B O R A D A
P O R :
José Carlos
Leiva
Quintero
Rodrigo
Morales
Vela
Amanda
Amado
Jorge
Mario
Galvez
P A G I N A 2
Había una vez una
matriz escalonada
que entró a robar
a una tienda de
vectores (quería
tener mas
columnas y luego
llegaron los
carabineros y
quedó reducida.
Operaciones de Matrices
jar con una matriz rectangu-
lar. Aunque tenga su propia
diagonal, esta no aplica de
ninguna manera. Ahora
observemos que diferencia
tiene este tipo de matriz con
una de tipo escalar.
Matriz Escalar
A diferencia de su con-
traparte, la matriz diagonal,
la matriz cuadrada tiene sus
entradas en diagonal el
mismo valor. Observen el
siguiente ejemplo para tener
una mejor idea a lo que se
quiere llegar a entender.
Observen que en
, ,
tienen las mismas entradas.
Identidad
Esta es un caso especial de
matrices ya que en su di-
agonal, las entradas tienen
el valor de 1 y en todas las
demás entradas tienen
valores 0.
Matriz Cero
Un caso de matriz real-
mente sencillo y todas sus
entradas tienen valor 0
Igualdad de matrices
Este otro caso de matrices
consiste que dos matrices
sus correspondientes posi-
ciones de una matriz con
otra. Vea el siguiente ejem-
plo:
Sumas, restas y pro-
ductos escalares de
matrices
Suma de matrices
Es una operación
realmente sencilla.
Consiste básicamente
en sumar cada en-
trada individual en
Resta de matrices
Al igual que la suma, esta
operación consiste en resta
cada entrada individual de
una matriz con la otra. Uti-
lizaremos las mismas matri-
A=B
(Esta respuesta es correcta)
A≠C
(No es correcta, son los
mismos datos pero tienen
posiciones diferentes)
Ahora que hemos estudiado
algunas propiedades básicas
de como pueden ser las
matrices, ha llegado el mo-
mento de que estudiemos
con mucho detalle las difer-
entes formas de poder ope-
rar las matrices. Entre este
contenido incluiremos que
consiste esa operación, re-
stricciones e incluso ejem-
plos.
tienen las mismas entradas.
Pero un error común de la
igualdad es que a pesar de
tener los mismos datos en
posiciones diferentes,
aseguran ser correctas las
respuestas pero no es cierto.
Estas dos matrices deben de
tener los datos en las mis-
mas posiciones. Observe el
siguiente ejemplo.
“Algebra
Lienal: Una
Introduccion
Moderna”
- David Poole
Las matrices y sus propiedades fundamentales.
P A G I N A 3
ces del ejemplo anterior para
demostrar la resta.
¡Ten cuidado! Para estas dos
operaciones, las matrices de-
ben de tener el mismo tamaño,
de lo contrario no existe re-
spuesta porque no están de-
finidas.
Ahora para estas dos opera-
ciones podemos enlistar sus
diferentes propiedades.
Propiedades de suma de ma-
trices
1. A + B = B + A
(Conmutatividad)
2. (A + B) + C = A + (B + C)
(Asociatividad)
3. A + 0 = A
4. A + (-A) = 0
También existen multiplica-
ciones escalares de matrices.
Estas simplemente son modifi-
car las entradas individuales de
las matrices al multiplicarlas por
una constante cualquiera y se
representan como letras minús-
culas.
Propiedades de multiplicación
escalar de matrices
1. k(A + B) = kA + kB
2. (c + d)A = cA + dA
Productos de matrices
Ahora tenemos otro tipo de op-
eraciones que son los productos.
Estas operaciones ya son mucho
más complejas de manejarlas y
se requieren de especial cuidado
al momento de trabajarlas.
Además ya no se debe de pre-
ocupar en cuanto a que deben de
ser del mismo tamaño para op-
erarlas. Pero eso no significa
que puede operarlas simple-
mente. También existen sus
restricciones.
confunda durante este proceso,
es ideal que diseñe la siguiente
matriz preliminar.
El primer dígito representa el
renglón a ser multiplicado por el
segundo dígito que representa la
columna por la que se multipli-
cará. Se deben de multiplicar
términos en igual posición, el
primero de la columna con el
El número de columnas de A y
el número de renglones de C
deberán ser iguales para poder
multiplicarse. El número de
renglones de A y el número de
columnas de C formarán la ma-
triz resultante, éstas serán sus
dimensiones.
Ahora viene el siguiente paso.
Para obtener cada entrada indi-
vidual, tenemos que hacer pro-
ducto punto de un renglón con
una columna. Para que no se
primero del renglón y sumarle la
multiplicación del segundo tér-
mino del renglón con el segundo
término de la columna correspon-
diente y así sucesivamente.
Ahora le presentamos varios ejem-
plos:
A) A*B (es 2x2 por 2x2, la resul-
tante será una matriz de 2x2)
Preste mucha atención a lo siguiente. Recuerde
los pequeños subíndices a la par de las letras
mayúsculas, estos representan el tamaño. Como
vamos a hacer el producto de dos matrices, el
número de columnas que contiene la matriz A
debe de coincidir con el número de renglones que
contiene la matriz C.
A 2 x 3 ; C 3 x 3
“Cada entrada Ci j se obtiene al hacer el pro-
ducto escalar entre renglón i de A con la col-
umna de B”
Observemos este ejemplo sobre productos.
Tenemos las siguientes matrices. Vamos a ope-
rar la matriz A con la matriz C
P A G I N A 4
¿Cómo llegamos a la solución?
Renglón 1 y Columna 1:
(1)(2) + (2)(4) = 10
Renglón 1 y Columna 2:
(1)(5) + (2)(2) = 9
Renglón 2 y Columna 1:
(3)(2) + (1)(4) = 10
Renglón 2 y Columna 2:
(3)(5) + (1)(2) = 17
La restricción: Si intentamos multiplicar la
matriz B con la matriz C o con la matriz A,
podemos darnos cuenta que el numero de
columnas de la matriz B con el de la matriz
C o A no coinciden. A partir de este mo-
mento se dice que no existe respuesta
porque no está definida.
A) A*C (es de 2x2 por 3x2, 2≠3. (No
puede multiplicarse)
A 2 x 2 ; C 3 x 2
Ahora les enseñaremos las propiedades que
pueden contener los productos de las ma-
trices. A partir de ahora se trabajará con las
siguientes matrices:
Probando de la otra forma
El producto de matrices también se rige de
propiedades tales como:
1. Asociativa:
- Ejemplo: demostraremos que
Las matrices y sus propiedades fundamentales.
P A G I N A 5
2. Distributiva del producto respecto a la suma:
- Ejemplo, demostraremos que
Probando con
3. Distributiva del producto:
- Ejemplo: demostraremos que
2.
- Ejemplo:
3.
- Ejemplo:
- Ejemplo: demostraremos que
Potencia de las matrices
1.
- Ejemplo:
5. Elemento neutro:
Donde I es la matriz identidad, del mismo orden de A.
4. No es conmutativa:
- Ejemplo: demostraremos que
P A G I N A 6
Donde se traza una
diagonal en cada
diagonal posible (las
diagonales deben ser
del mismo tamaño
todas) se hace el
producto de las
diagonales, las
diagonales que se
dirigen hacia abajo
son sumadas y las
diagonales que se
dirigen hacia arriba
son restadas para
obtener un solo valor
real.
Las matrices pueden clasificarse de la
siguiente manera:
Matriz simétrica (únicamente si la ma-
triz es cuadrada), es aquella cuyos
números sobre y bajo la diagonal son
iguales, reflejados en espejo a través de
la diagonal. Ejemplo:
Matriz asimétrica: (únicamente si la
matriz es cuadrada), es aquella cuyos
números sobre y bajo la diagonal son
iguales, con signo diferente, reflejados
en espejo a través de la diagonal.
Ejemplo:
Matriz transpuesta: es la matriz Cij
cuyos renglones son intercambiados
por columnas para quedar una matriz
Cji, su notación es ZT . Ejemplo:
Determinante de una matriz de 3x3 :
Paso 1: se copia la primera y segunda columna y
se coloca al final de la matriz.
Determinante de una matriz: es aquel
número que se obtiene de todos los pro-
ductos de una matriz de acuerdo a una
serie de pasos .
Determinante de una matriz de 1x1:
Determinante de una matriz de 2x2 :
una matriz simétrica.
Traza de una matriz: es aquel dígito
que se obtiene de la suma de la diago-
nal de una matriz, SÓLO puede en-
contrarse traza de matrices cuadradas
que, al trazar una diagonal tenga igual
cantidad de dígitos sobre y bajo ésta.
Su notación es W(T). Ejemplo:
La matriz transpuesta tiene 4
propiedades:
1.
2.
3.
4.
Teorema de la matriz transpuesta:
Si A es una matriz cuadrada y
puede decirse que A es
Las matrices y sus propiedades fundamentales.
P A G I N A 7 Se trazan las diagonales o se considera :
Expansión de Laplace :
Se utiliza para encontrar el determinante y se usa el cofactor (i,j )
Donde Aij encuentra al eliminar el i-ésimo renglón y j-ésima columna de A.
Ejemplo: considere la matriz
Matriz adjunta: se denota por adjA y está de-
finida como la transpuesta de la matriz de cofac-
tors.
- Ejemplo, sea A la matriz encuentre la matriz
adjunta
Cofactores:
Ejemplo:
Matriz asociada:
Cofactor
Cofactor
Cofactor
Regla de Cramer: permite resolver sistemas de
ecuaciones lineales usando determinantes.
Toda matriz tiene asociada la matriz aumentada [Ab].
Se abre el telón
y aparecen tres
vectores
linealmente
independientes,
se cierra el
telón. ¿Cuál era
el nombre de la
película? Rango
3.
P A G I N A 8
Estaba una matriz de
3x3 y se encuentra
una de 3x1, y le
pregunta…cual es la
dieta que estas
haciendo? Eres tan
delgada!
Queda la matriz de cofactores que sería:
Y luego se escribe la transpuesta de la ma-
triz de cofactores que sera:
Las matrices y sus propiedades fundamentales.
Crucigrama:
1. Circule la matriz identidad de 3x3.
2. Circule la matriz transpuesta de
3. Encuentre una matriz simétrica de
2x2.
4. Circule la matriz transpuesta de
5. Encuentre la matriz transpuesta de
6. Circule el orden de datos en una
matriz de multiplicación si R es de 5x5
(numeración Cij, 11, 12)
7. Circule una matriz cualquiera I
asimétrica de 4x4.
8. Encuentra la matriz transpuesta
9. Encuentre una matriz 01 siendo
P A G I N A 9
6
9
4 -3 7 5 23 5 8 4 6 41 11 12 21 23 56 4 8 6 7
3 4 8 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5
4 5 3 34 7 21 5
1
43 7 8 9 5 9 15 12 13 14 4 5 6
1 2 6 8 9 7 0 3 2 1 5 22 7 9 8 6 1 1 2 7
1
1
12 13 14 15 6 4 1 21 0 8 6 41 6 8 7 5 4 3 8
2
1
22 23 24 25 5 2 2 3 4 5 6 3 1 1 3 9 4 0 9
3
1
32 33 34 35 0 1
2
3 2 9 8 7 14 3 2 5 0 3 9 1
0
4
1
42 43 44 45 46 2
1
4 10 9 9 3 6 5 9 7 6 7 8 2
5
1
52 53 54 55 67 2 8 6 8 8 2 7 8 1 6 5 1 5 1
2
0 0 0 9 6 0 1 0 7 7 9 6 56 3 5 1 2 5 0 1
3
8 2 0 0 15 2 9 0 5 8 9 76 8 7 4 3 1 0 5 0
2 9 0 6 3 4 5 0 6 9 1 0 0 0 9 6 4 0 2 6
3 4 7 3 5 8 6 0 5 11 0 1 0 0 2 11 0 0 4 9
2 5 6 4 8 4 7 9 3 12 0 0 1 8 23 2 3 0 3 0
1 0 8 5 6 7 6 36 34 21 3 1 7 24 12 9 2 0 5 3