todo matrices propiedades
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matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
Matriz tranpuestaMatriz inversa
Raúl UresGAL 1
IMERL
14 de marzo de 2013
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
matriz traspuesta
matriz traspuesta
matriz traspuestasi A ∈Mm×n(K) matriz m × nA = (aij) i = 1, . . . ,m
j = 1, . . . , n
llamamos matriz traspuesta de Aa la matriz n ×m
At = (atji) j = i, . . . , n
i = 1, . . . ,m
con atji = aij
At ∈Mn×m(K)
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
matriz traspuesta
ejemplo
ejemplo
A =
(1 2 3 45 6 7 8
)
At =
1 52 63 74 8
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
propiedades de la matriz traspuesta
propiedades de la matriz traspuesta
propiedades de la matriz traspuesta1 (At)t = A2 (A + B)t = At + Bt
3 (αA)t = αAt
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
propiedades de la matriz traspuesta
demostración
demostración 1
A = (aij) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n
At = (atji) j = i, . . . , n
i = 1, . . . ,m
= (aij) j = i, . . . , ni = 1, . . . ,m
(At)t = (atji) i = 1, . . . ,m
j = 1, . . . , n
= (aij) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n
= A
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
propiedades de la matriz traspuesta
demostración
demostración 2
A = (aij) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n
y B = (bij) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n
A + B = (aij + bij) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n
(A + B)t = (atji + bt
ji) j = i, . . . , ni = 1, . . . ,m
por otro lado At = (aji) j = i, . . . , ni = 1, . . . ,m
y Bt = (bji) j = i, . . . , ni = 1, . . . ,m
⇒ At + Bt = (atji + bt
ji) j = i, . . . , ni = 1, . . . ,m
= (A + B)t
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
propiedades de la matriz traspuesta
demostración
demostración 3
ejercicio
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
trasposición del producto
trasposición del producto
trasposición del productoA ∈Mm×k (K)
B ∈Mk×n(K)
⇒(AB)t = BtAt
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
trasposición del producto
demostración
demostraciónA = (air ) i = 1, . . . ,m
r = 1, . . . , k
At = (air ) r = 1, . . . , ki = 1, . . . ,m
B = (arj) r = 1, . . . , kj = 1, . . . , n
Bt = (brj) j = 1, . . . , nr = 1, . . . , k
AB =(∑k
r=1 air brj
)i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n
= (cij) = i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n
(AB)t = (cij) j = 1, . . . , ni = 1, . . . ,m
=(∑k
r=1 air brj
)j = 1, . . . , ni = 1, . . . ,m
BtAt =(∑k
r=1 brjair
)j = 1, . . . , ni = 1, . . . ,m
= (AB)t
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
inversa de una matriz
inversa de una matriz
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
introducción
recordar
clase pasadadefinimos 3 operaciones
suma entre matrices: A + Bproducto de un escalar por una matriz: αAproducto entre matrices: AB = BA
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
introducción
elemento neutro
elemento neutroel elemento neutro de cada una de estas operaciones es:
suma A + O = Aproducto por un escalar 1A = Aproducto entre matrices:
I =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
...0 0 . . . 1
matriz identidad
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
elementos inversos
opuesto
opuestoel opuesto de A = (aij)
es−A = (−aij)
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
elementos inversos
inversa respecto del producto
inversa respecto del productoA ∈Mn(K) matriz cuadrada n × nllamamos inversa de Aa una matriz A−1 que cumpla:
A−1A = AA−1 = I
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
elementos inversos
ejemplo
existe la inversa? (1 00 0
)tiene inversa?
veamos:
1 00 0
a b a 0c d c 0
6= I ∀a, c
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elementos inversos
observación
existe la inversa?aunque A 6= Opuede no existir A−1
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elementos inversos
propiedad
unicidad de la inversasi A tiene una inversa A−1
la inversa es única
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elementos inversos
demostración
demostraciónsupongamos que A−1
1 es una inversa
y A−12 es otra inversa de A
⇒
A−1 = A−11 I = A−1
1 (AA−12 ) = (A−1A)A−1
2 = IA−12 = A−1
2
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elementos inversos
inversa a derecha y a izquierda
inversa a derecha y a izquierdaB es inversa a derecha de Asi
AB = I
C es inversa a izquierda de Asi
CA = I
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elementos inversos
propiedad
inversas lateralessi B es inversa a derecha de A⇒ B es inversa de AAB = BA = Ilo mismo con la inversa a izquierda
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
cálculo de la inversa
cálculo de la inversa
A =
(1 32 5
)cómo sabemos si existe A−1?si existe, cómo la calculamos?
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
cálculo de la inversa
cálculo de la inversaequivale a encontrar los coeficientes tales que
x11 x12x21 x22
1 3 1 02 5 0 1
quedan dos sistemas de ecuaciones
(S1)
{x11 + 3x21 = 1
2x11 + 5x21 = 0(S1)
{x12 + 3x22 = 0
2x12 + 5x22 = 1
misma matriz de coeficientes, distintos términosindependientes
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
cálculo de la inversa
cálculo de la inversalos escalerizamos en simultáneo(
1 3 1 02 5 0 1
)← F2 − 2F1
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
cálculo de la inversa
cálculo de la inversalos escalerizamos en simultáneo(
1 3 1 00 −1 −2 1
)← F2 − 2F1
podemos despejar directamente, o usar el siguiente truco
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
cálculo de la inversa
cálculo de la inversalos escalerizamos en simultáneo(
1 3 1 00 1 2 −1
)← x − 1
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
cálculo de la inversa
cálculo de la inversalos escalerizamos en simultáneo(
1 3 1 00 1 2 −1
)← F1 − 3F2
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
cálculo de la inversa
cálculo de la inversalos escalerizamos en simultáneo(
1 0 −5 30 1 2 −1
)← F1 − 3F2
⇒ A−1 =
(−5 3
2 −1
)
verificaraveriguar por qué el truco da la matriz inversa
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
otro ejemplo
otro ejemplo
A =
1 0 11 1 11 −1 1
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cáclulo de la inversa
otro ejemploplanteamos 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 01 −1 1 0 0 1
← F2 − F1
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
otro ejemploplanteamos 1 0 1 1 0 0
0 1 0 −1 1 01 −1 1 0 0 1
← F2 − F1← F3 − F1
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
otro ejemploplanteamos 1 0 1 1 0 0
0 1 0 −1 1 00 −1 0 −1 0 1
← F2 − F1← F3 − F1
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
otro ejemploplanteamos 1 0 1 1 0 0
0 1 0 −1 1 00 −1 0 −1 0 1
← F2 − F1← F3 − F1
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
cáclulo de la inversa
otro ejemploplanteamos 1 0 1 1 0 0
0 1 0 −1 1 00 0 0 −2 0 1
← F3 + F2
⇒ sistema incompatible⇒ no existe A−1
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más propiedades
inversa de la inversa
inversa de la inversaA ∈Mn(K)
si existe la inversa A−1 de A,entonces existe la inversa A(−1)−1 de A−1
y(A−1)−1 = A
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más propiedades
demostración
demostraciónejercicio
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inversa del producto
propiedad
inversa del productoA,B ∈Mn(K) matrices cuadradassi existen A−1 y B−1
entonces existe la inversa del producto AB: (AB)−1
y(AB)−1 = B−1A−1
matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades
inversa del producto
demostración
demostraciónalcanza con ver que B−1A−1 es inversa a derecha de ABes decir con probar (AB)B−1A−1 = Ipero
(AB)B−1A−1 = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I
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inversa del producto
inversa de la traspuesta
inversa de la traspuestasi A ∈Mn(K) es invertibleentonces At también es invertibley
(At)−1 = (A−1)t
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inversa del producto
demostración
demostraciónalcanza ver que (A−1)t es inversa a derecha de At
At(A−1)t = (A−1A)t = I t = I
propiedad que vimos hoy: AtBt = (BA)t