las matemÁticas en la arquitectura de santa...

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Colegio Alemán Alexander Von Humboldt

LAS MATEMÁTICAS EN LA ARQUITECTURA DE SANTA MARÍA DEL FIORE EN FLORENCIA

Autores: Ana Lucia Arias García y Paola Ramírez de Nova

Asesores: Carlos Prieto de Castro y Susana Ochoterena Booth

Clave del proyecto: CIN2014A20083

Área de Conocimiento: Ciencias Fisicomatemáticas y de las Ingenierías

Disciplina: Matemáticas

Modalidad: Cartel

México, D. F. a 4 de febrero del 2014

Con formato: Izquierda: 2 cm,

Derecha: 2 cm, Arriba: 2 cm, Abajo:

2 cm, Distancia del encabezado desde

el borde: 1.25 cm, Distancia del pie de

página desde el borde: 1.25 cm

Con formato: Fuente: Century Gothic,

12 pto, Negrita, Mayúsculas

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RESUMEN

Brunelleschi logró construir una cúpula que se convirtió en la más grande y más alta de su época.

Basándose en estudios que realizó al Panteón de Agripa en Roma y usando métodos matemáticos

clásicos, el florentino completó la construcción de Santa María del Fiore con una cúpula que

revolucionó la manera de construir bóvedas.

Pretendemos demostrar la relevancia que tuvo la construcción de esta cúpula para la

arquitectura de la época renacentista y su trascendencia, revisar el contexto histórico de la

construcción de este recinto, describir los componentes arquitectónicos renacentistas de la

catedral, explicar, a través de un contexto matemático, los polígonos regulares; la construcción a

través de regla y compás y la construcción del octágono, identificar obras arquitectónicas que

tengan las mismas características de la cúpula.

Consultamos libros como Die Kunst der Renaissance: Wie erkenne ich? de Astrid Huth y Thomas

Hoffman, el cual contiene un análisis de la cúpula, al igual que una proyección

arquitectónicadibujo en el que se puede ver el domo con la base octagonal. Otro libro sobre

arquitectura que empleamos es de Rolf Toman, cuyo nombre es El Arte en la Italia del

Renacimiento, en el que el autor describe el contexto histórico y la vida del arquitecto y muestra

algunos planos. En la página de internet Quattrocento, el autor del artículo “Brunelleschi: La

Cúpula de Santa María del Fiore”, habla sobreexplica la manera en la que la cúpula está

construida y las características más importantes de ésta.

Palabras Claves: Brunelleschi, Cúpula, Panteón de Agripa, Métodos matemáticos, clásicos, Santa

María del Fiore, Epoca renacentista, Polígonos regulares, Regla y compás, Octágono, Base

octagonal.

SUMMARY

Brunelleschi managed to build a dome, which became the largest and tallest of its time. Being

based on the Pantheon and using classical mathematical methods, the Florentine completed

Santa Maria del Fiore’s construction with a dome that represented a revolution in the way of

constructing of domes.

We want to prove the relevance that this dome’s construction had for the Renaissance’s

architecture and its importance, examine the construction’s historical background, describe the

cathedral components. Explain, using the mathematical context, the regular polygons, the

construction with ruler and compass and the octagon’s construction, identify buildings with similar

characteristics as the dome’s.

We consulted books like Astrid Huth and Thomas Hoffman’s Die Kunst der Renaissance: Wie erkenne

ich? Which contains a dome’s analysis, as well as a drawing where we can see the octagonal

base? Another book we used is Rolf Toman’s El Arte en la Italia Del Renacimiento, in which the

author describes the historical background, Brunelleschi’s biography and plans. On the Internet

page Quattrocento, the author of the article “Brunelleschi: La Cúpula de Santa María del Fiore”,

mentions the way the dome was built and its important characteristics.


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Key words: Brunelleschi, Dome, Pantheon, Classical mathematical methods, Santa Maria del

Fiore, Renaissance’s architecture, Regular polygons, Ruler and compass, Octagon, Octagonal

base.

INTRODUCCIÓN

La presente investigación se refiere al tema de las matemáticas en la arquitectura de Santa Maria

del Fiore en Florencia. Brunelleschi, un arquitecto, orfebre y escultor renacentista italiano diseño la

cúpula de Santa María del Fiore de Florencia, en ese entonces tuvo un gran impacto, ya que fue

la más grande y la más alta de la época desde la edificación del Panteón. Basándose en

antiguas construcciones romanas, Brunelleschi logro resolver los problemas de ingeniería para

colocar un domo en una base octogonal. Debido al impacto que esta cúpula tuvo, hubo una

gran influencia sobre otros edificios con cúpulas.

La Hipótesis de este trabajo es confirmar sí el diseño y la estructura de la cúpula de la catedral

Santa María del Fiore en Florencia, revoluciono la forma de construcción de bóvedas en otros

recintos, debido al empleo de cálculos matemáticos en la construcción.

El interés hacia este trabajo radica en que es un edificio construido en la época del Renacimiento,

que ha marcado las pautas arquitectónicas de otras épocas alrededor del mundo, usando como

base las matemáticas, que empleaban los griegos y romanos en sus construcciones, técnicas que

se perdieron durante la Edad Media y se retomaron en la época de Filippo Brunelleschi, arquitecto

que construyó la cúpula. Santa María del Fiore es uno de los recintos religiosos más importantes de

Italia, al igual que del mundo. Al año la visitan miles de personas de todos los países, siendo esta

catedral uno de los símbolos más emblemáticos de la ciudad de Florencia que se encuentra en la

región de la Toscana.

OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS

Los objetivos generales de este trabajo son analizar el florecimiento que tuvieron la matemáticas

en el Renacimiento, en la cuestión arquitectónica. Los objetivos particulares son demostrar la

relevancia que tuvo la construcción de esta cúpula para la arquitectura de la época renacentista

y su trascendencia, revisar el contexto histórico de la construcción de este recinto, describir los

componentes arquitectónicos renacentistas de la catedral, explicar, a través de un contexto

matemático, los polígonos regulares en la arquitectura; la construcción a través de regla y

compás y la construcción del octágono, identificar obras arquitectónicas que tengan las mismas

características de la cúpula.

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

Varios autores han hablado de Brunelleschi, tal es el caso de Astrid Huth y Thomas Hoffman en el

libro Wie erkenne ich? , quienes lo mencionan como un gran innovador en la cuestión

arquitectónica y presentan la manera en la que la cúpula está diseñada. El autor Marco Bussagli

explica la manera en la que se construyó la cúpula de Santa María del Fiore y las técnicas

arquitectónicas que Brunelleschi usó para la edificación de tal elemento. En el libro El Arte en la

Italia del Renacimiento de Rolf Toman, se habla del contexto histórico, al igual que de los estilos

arquitectónicos que se presentaron antes y después de Brunelleschi.

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En la cuestión matemática, se puede apreciar el teorema de Gauss, el cual comprueba que

polígonos regulares son construibles con regla y compás, basándose en los números primos de

Fermat.

METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

Por las características de la investigación, revisaremos el libro de Marco Bussagli, Comprender la

Arquitectura, el autor menciona cómo fue construida la cúpula de Santa María del Fiore. Otro libro

que consultamos fue Die Kunst der Renaissance: Wie erkenne ich? De Astrid Huth y Thomas

Hoffman, el cual contiene un análisis más detallado de la cúpula, al igual que un dibujo en el que

se puede ver el interior del domo con la base octagonal. El tercer libro sobre arquitectura que

usamos es de Rolf Toman, el cual se llama El Arte en la Italia del Renacimiento, explica el contexto

histórico de la construcción, la vida del arquitecto Brunelleschi y muestra algunos planos

arquitectónicos. En la página de internet Quattrocento, el autor del artículo “Brunelleschi: La

Cúpula de Santa María del Fiore”, habla sobre la manera en la que la cúpula está construida y las

características más importantes de ésta. Después de leer varias fuentes, nos dimos cuenta de que

ninguno de los trabajos que consultamos abarca los temas desde punto de vista matemático y

arquitectónico al mismo tiempo.

Capítulo I: Contexto histórico y biografía de Brunelleschi

Un poco de historia:

El Renacimiento. Época que marcó el antes y el después en la historia europea. Época en la que

no sólo cambiaron los sistemas políticos, sino también las artes como la arquitectura y escultura

cambiaron, bajo la influencia de obras clásicas. En este periodo resaltaron nombres, familias,

actos, conflictos y ciudades.

A finales del siglo XIII y principios del XIV, Florencia vivió un apogeo económico que la ciudad no

había presenciado en toda su historia. A pesar de la Peste Negra de 1347 y la inestabilidad social

que había, debido al estado oligárquico, la capital de la República de Florencia se benefició

conde la caída de ciudades contiguas. (Arte Historia) Ciudades como Luca y Siena cayeron en

bancarrota en la primera década del siglo XIV y Pisa perdió su popularidad debido a un

enfrentamiento contra Génova. Esto ayudó a que Florencia se viera impulsada tanto económica

como culturalmente. (Bussagli, 2001, p.220Wikipedia)

Florencia pasó de ser una ciudad medieval, a una dividida en gremios y la riqueza de la ciudad se

incrementó gracias a la producción textil de lana. Varias compañías comerciales y financieras se

establecieron en esta ciudad, lo que causó que las rutas comerciales incrementaran, obteniendo

influencias en cuestiones culturales. (Wikipedia) Desde Egipto y otras regiones del Mediterráneo, al

igual que del Oriente, llegaron distintas personalidades al norte de Italia. Científicos, matemáticos

y filósofos arribaron a Florencia y con ellos, ideas y nuevos pensamientos. Esto ayudó a que se

integraran textos griegos e impulsó la curiosidad de las personas, gracias a la cual, se dedicaron a

estudiar obras clásicas, entre las cuales se puede mencionar el redescubrimiento de Vitrubio,

hecho que introdujo los principios arquitectónicos de la antigüedad a la nueva sociedad italiana.

(Arte HistoriaToman, 1994, pp. 98-104)

La disminución de la población debido a la peste negra, ayudó a que mercaderes, artesanos y

banqueros crecieran económicamente, gracias a esto florecieron los Médici. (Bussagli, 2001,

p.221Wikipedia) Sin embargo, en Florencia había varios problemas: conflictos entre Gibelinos

y Güelfos; alianzas entre los diferentes condotieros de la época. La inestabilidad social hizo que

los Médicis crearan una alianza con los inmigrantes florentinos que poco a poco iban

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aumentando, aparte con el paso de los años fueron obteniendo importancia como banqueros,

tanto así, que se convirtieron en los banqueros del Papa. (Wikipedia) Después de una serie de

disputas con la familia Albizzi, quienes gobernaban la ciudad en esa época, Cosme de Médici se

colocó a la cabeza del gobierno florentino en 1434. (Arte Historia)

El hecho de que los Médici gobernaran Florencia no significó que estuvieran absueltos de

conflictos bélicos; siempre hubo tensiones entre Venecia, Milán y Venecia. No obstante, en 1454,

los tres principados firmaron el Tratado de Lodi, con el cual asegurarían la paz en el norte italiano

por varios años. Este pacto hizo que los gobiernos se centraran más en solucionar problemas e

impulsar las ciudades. (Arte Historia) Cosme de Médici consolidó la inestabilidad social y otorgó los

puestos del gobierno a empleados o aliados suyos, para que así no tuviera malentendidos con el

personal gubernamental. Una de las aportaciones más grandes de Cosme fue el encargo que le

hizo a Filippo Brunelleschi de terminar la construcción de Santa María del Fiore, finalizada en 1436.

(Toman, 1994, pp. 98-104Wikipedia)

En 1469, Lorenzo de Médici sucede a Pedro, hijo de Cosme. El gobierno de Lorenzo destacó por su

apoyo e impulso a las artes, encargando trabajos a personajes como Miguel Ángel, Botticelli y

Leonardo Da Vinci. Fue durante el mando de Lorenzo que Florencia tuvo muchos conflictos con

los Estados Pontificios, lo cual causó la muerte de su hermano Julián. Lorenzo se dedicó, una vez

superados los problemas con Roma, a reforzar el estado bancario florentino y reestructuró la

banca Médici. (Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-100Arte Historia)

Hasta 1494, la ciudad estuvo bajo el mando de los Médicis. Sin embargo, mientras el hijo de

Lorenzo, Pedro II, era gonfaloniero de Florencia, Carlos VIII de Francia invade el norte de Italia y

Pedro decide no resistirse y acepta las condiciones humillantes del monarca francés. Esto

ocasiona que los florentinos se rebelen y expulsen a los Médici. (Arte Historia)

Durante el exilio de la familia bancaria, el fraile Jerónimo Savonarola se dedicó a predicar en

contra de los Médicis, diciendo que su exilio era un castigo justo, otorgado por Dios. Este hombre

tuvo muchos seguidores, ya que realizó reformas que llevarían a un gobierno más democrático.

Tanto fue el fanatismo de este hombre que mandó quemar obras de personajes tales como

Botticelli. (Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-100Wikipedia) La decadencia de Savonarola comienza en

el momento de predicar en contra del Papa Alejandro VI, lo cual ocasiona que le prohíban el

discurso público y que lo excomulguen. Sin embargo, el fraile no cesó con sus discursos, por lo que

los florentinos lo arrestaron y entregaron a Roma. Savonarola fue declarado hereje y quemado en

la hoguera en 1498. (Bussagli, 2001, p.220Arte Historia)

Con el apoyo del Papa, los Médicis regresan al poder en 1537 como duques hereditarios de

Florencia, el cual conservaron por más de dos siglos. Otros personajes que destacaron en esta

época fueron: Filippo Brunelleschi, Botticelli, Miguel Ángel, Leonardo Da Vinci y Nicolás

Maquiavelo. (Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-100Wikipedia)

Arquitectura de la época

Brunelleschi comienza la edificación de la cúpula de Santa María del Fiore a finales de la segunda

década de 1400. En la historia, este siglo se conoce como Quattrocento, época de transición de

la Edad Media al Renacimiento. (Tom, Historia del Arte)

A finales de la Edad Media, las construcciones se edificaban bajo un estilo gótico, que influyó

mayormente a recintos religiosos. Los dos elementos principales del gótico fueron el arco



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apuntado1 y la bóveda de crucería, lo cual permitió que el peso se distribuyera mejor y que los

edificios tuvieran una altura mayor.

Durante el Renacimiento, los arquitectos se concentraron en crear edificios simétricos y unitarios. El

muro recupera su función de sustento, para lo cual, durante el gótico, fungían las columnas.

(Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-100Wikipedia) La arquitectura de la época se caracteriza por

volverse racional, ya que se intenta recuperar la noción del orden arquitectónico, utilizando

nuevas soluciones matemáticas. (Slide Share)

Otro factor, es que las construcciones deben serson simples, basándose en una geometría sencilla

y comprensible, ya que se consideraba que la belleza recaía en lo sencillo y no lo ostentoso. Las

construcciones horizontales resaltan en contra de las góticas que eran verticales. (Tom, Historia

del Arte)

A pesar de que los mecenas encargaban trabajos a distintos arquitectos, éstos insistían en dejar un

toque personal en las obras.

Los Médicis, quienes fueron grandes mecenas (patronos de las artes), encargaron trabajos a

arquitectos como Michelozzo di Bartolommeo, quien edificó un Palazzo para la familia bancaria

en Florencia. (Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-100Hoffman y Huth). Brunelleschi y Alberti fueron los

arquitectos más importantes del Renacimiento Temprano.

Filippo Brunelleschi

El italiano Filippo Brunelleschi fue uno de los arquitectos e ingenieros más sobresalientes de la

época renacentista. Además de la arquitectura e ingeniería, Brunelleschi también practicaba la

orfebrería y la escultura. (Bussagli, 2001, p.222)

Filippo Brunelleschi nació en 1377 en Florencia, Italia. Los primeros años de la vida de Brunelleschi

son un misterio. Se sabe que fue el segundo hijo de tres, su padre era un distinguido notario en

Florencia (Biography). Tras unos estudios que lo pusieron en contacto con filósofos y matemáticos

árabes medievales, cuando tenía 21 años, prestó juramento en el Arte della Seta, el más poderoso

gremio florentino del que también formaba parte los orfebres, conocido bajo el nombre de Por

Santa María. Al año siguiente, entró al taller del maestro orfebre Lunardo Di Matteo Ducci. Con

esta experiencia, participo en un concurso contra un joven rival, Lorenzo Ghiberti y otros cinco

escultores, para realizar las puertas del baptisterio de Florencia, que marcarían el inicio del

renacimiento (Bussagli, 2001, p.222libro de arquitectura). Sin embargo Brunelleschi no gano la

comisión. Tres años mas tarde fue declarado maestro orfebre y, al mismo tiempo, empezó a

trabajar como arquitecto. A ese periodo se remonta su primer viaje a Roma. (Biography)

Hacia 1417, cuando tenía alrededor de 30 años, realizo los famosos estudios de perspectiva de

dos tablas, hoy perdidas, que mostraban las vistas del baptisterio florentino y del palacio dei Priori

desde via dei Calzaiuoli. (Bussagli, 2001, p.222libro). Usando los principios de perspectiva de

Brunelleschi, artistas de su generación fueron capaces de utilizar lienzos de dos dimensiones para

crear ilusiones de espacio tridimensional, así elaborando un realismo no visto anteriormente.

(Biography)

Hacia 1420, Brunelleschi era una personalidad artística ampliamente reconocida, que recibía

multitud de encargos arquitectónicos por parte de la Signiora florentina (el gobierno) (Toman,

1994,98-104Biography).

(APA)

1 De acuerdo al Diccionario manual ilustrado de arquitectura ,el arco apuntado es aquel cuyo intradós forma ángulo en la clave.



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La fama de Brunelleschi está ligada a la cúpula de Santa Maria del Fiore, pero realizóo otras

muchas otras obras, puesto que también destacó como ingeniero militar. Trabajó en otras

ciudades de Toscana, como Pisa, donde tuvo que reparar Monte a Mare, lamentablemente

destruido en el siglo XIX. (APABio)

En 1418 realizó el proyecto para San Lorenzo, el primer intento de construir una nueva sintaxis

arquitectónica con elementos procedentes de la arquitectura de la antigüedad, y trabajó en la

Sacristía Vieja, adyacente a la Basílica de San Lorenzo, donde aplicó sus ideales de simplicidad

geométrica y armonía de las proporciones (la sala de la cúpula tiene el doble de longitud que la

del altar, que a su vez se divide en tres ambientes, de los que el central posee cúpula). A los 47

años fue nombrado director de las obras del Hospital de los Inocentes. En 1433, empezó la

construcción de la Capella dei Pazzi de Santo Spirito, donde se desarrollaron las premisas

proporcionales de San Lorenzo repitiendo rigurosamente el modulo cuadrado de las campatas.

También son suyas la inacabada Rotonda degli Angeli (1434), donde aplico la experiencia

acumulada en el estudio de los monumentos romanos, y el núcleo original del Palacio Pitti (1440),

devenido en modelo de palacio aristocrático. (Bussagli, 2001, p.222APA)

Brunelleschi murió en Florencia el 15 de abril de 1446, y fue enterrado en el Duomo. Es recordado

como uno de los gigantes de la arquitectura renacentista, es uno de los fundadores del lenguaje

arquitectónico del Renacimiento y hombre muy culto, estudió problemas que parecían

colaterales a su profesión. Fue el primero en determinar la <<perspectiva de los pintores>> y se

interesó por la aritmética y la física. La inscripción de su tumba en la Basílica dice: "Tanto la

magnífica cúpula de esta famosa iglesia como muchos otros dispositivos inventados por Filippo,

dan testimonio de su excelente habilidad. Por lo tanto, en homenaje a su talento excepcional, un

país agradecido que siempre lo recordará, lo entierra aquí.” (Toman, 1994, pp. 98-104APA)

Comentario [C1]: ¿Qué es Monte a Mare?



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Ilustración 1: Imagen sin título de descripción del trabajo. Recuperada de

http://www.biography.com/imported/images/Biography/Images/Profiles/B/Filippo-

Brunelleschi-9229632-1-402.jpg



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Capítulo 2: ¿Cómo está construida la cúpula?

¿Qué es una cúpula?

“Puede definirse como un techo en forma de bóveda de particular complejidad. La cúpula es el

cierre del edificio. Se dice que es trasdosada cuando el trasdós queda visible: también puede

quedar escondida por un prisma exterior, es cimborrio, cubierto por un techo. Desde un punto de

vista teórico se trata de la rotación de un arco alrededor de su propia clave de bóveda” (Libro de

arquitectura). Muchas formas de cúpulas derivan de un arco, aunque éstas pueden ser

perfectamente hemisféricas, como por ejemplo, se puede apreciar en el Panteón y en la basílica

de San Pedro en el Vaticano, o bien presentar una sección ojival como la cúpula de Brunelleschi.

(Libro)

Polígonos regulares

Definición. Se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son

congruentes entre sí. (Wikipedia)

El de 3 lados es el triángulo equilátero; el de 4 es el cuadrado. A los polígonos de más de 4

lados, se hace explícito el término regular (por ejemplo: pentágono regular). No todos los

polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás. (Wikipedia)

Los polígonos regulares constan de los siguientes elementos: Lado (L) el cual es cada uno de los

segmentos que lo integran. El vértice, representado en la Imagen III con V , es el punto en el que

dos lados consecutivos se unen; otro punto importante es el centro C, que como lo dice su

nombre, es el punto central , que tiene la misma distancia entre todos los vértices. El radio R unifica

el centro con uno de los vértices y la diagonal D une dos vértices que no son contiguos. Figura II.

La innovación de Brunelleschi

La construcción de la cúpula de Santa Maria del Fiore marcó una nueva época en la

arquitectura. El 19 de agosto de 1418 se abrió un concurso para solucionar el problema de la

cúpula. (HOFFMANN, HUTH, Die Überwindung der Gotik: Brunelleschi Domkuppel, pp.97-100) El

problema consistía en construir una cúpula sin recurrir a los arcos exteriores de descarga.

Brunelleschi lo consiguió empleando las técnicas de los romanos, colocando los ladrillos en forma

de espina de pescado, con lo que actuaba como estructura de carga. (BUSSAGLI, Filippo

Brunelleschi, p.222) Además, la cúpula tenía que ser adaptada al estilo gótico de la catedral.

(HOFFMANN, HUTH, Die Überwindung der Gotik: Brunelleschi Domkuppel, pp.97-100) La maqueta

de Brunelleschi ganó el concurso gracias a que fue el único de todos los competidores que afirmó

poder realizar el proyecto sin necesitar la habitual cimbra. Mientras los demás concursantes

construyeron sus maquetas con versiones a escala del andamiaje destinado a sustentar y centrar

la cúpula desde el centro, Brunelleschi desarrollo un sistema para hacer que se sustentara por sí

misma. A ese efecto, diseñó un sistema que contaba con cuatro elementos: en primer lugar, la

cúpula octagonal con un doble cascarón, debiendo ser el interior lo suficientemente consistente

para sustentar el exterior, más ligero. Luego reforzó cada uno de los ocho lados de la misma con

una combinación de hileras de sillares y nervaduras resaltadas, cuya curvatura hacia la cúspide

aseguró mediante una serie de escantillones o maestras. Luego hizo que el espesor de ambos

cascarones fuera el suficiente para poder inscribir en ellos un círculo, dado que era de planta

octagonal. Por los estudios que había realizado sobre las construcciones con cúpulas históricas,

Brunelleschi sabía que una forma circular inscrita en una cúpula octagonal le confería a ésta las

mismas características que las propias de una esférica. Con ello se compensaba la presión hacia

el interior, de forma que, aparte del empuje hacia el exterior que se registraba en su base, se

trataba de una estructura autoportante. El mismo método lo aplicó luego también a menor

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Comentario [C2]: ¿qué es?



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Comentario [C3]: No se entiende



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Comentario [C4]: No es hemisférica



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sencillo

Comentario [C5]: Este apartado debería estar antes del de los primos.



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escala, es decir, en cada una de las hiladas de ladrillos, que concibió como una serie de círculos

perfectos que descansaban sucesivamente unos sobre otros. Intercalando tramos regulares de

ladrillos verticales en cada hilada, se sirvió de la fuerza de sustentación de la hilada ya concluida,

para que soportara la siguiente en construcción Los intervalos eran tan cortos que los ladrillos

dispuestos verticalmente podían soportar el peso de las hiladas horizontales dispuestas entre ellos

hasta el momento en que la siguiente hilada, provista a su vez de sus correspondientes ladrillos en

posición vertical, estuviese concluida y fuese, a su vez, autoportante. El efecto óptico de esta

técnica se denominó: en espina de pez”, aunque inapropiadamente, ya que el cambio

alternativo de dirección solo se produce en determinados puntos y no alternadamente en cada

hilera y pieza. El resultado práctico fue que se ahorraron los enormes cortes y pérdidas de tiempo

que entrañaban la estructura de madera –cimbra- entonces usual para sustentar cúpulas durante

su construcción. (MCLEAN, La Arquitectura del Renacimiento Temprano en Florencia e Italia

central, pp. 100-102). Brunelleschi construyo la cúpula sin usar un andamio al interior de la

construcción, más bien coloco los andamios fuera de la catedral, que le sirvieron de plataforma.

Sobre este andamio le era posible transportar los materiales de construcción con ayuda de grúas

y cabrestantes. Pero la pregunta más importante era: ¿Cómo se podía construir una cúpula de

enormes dimensiones sin que se derrumbara? Brunelleschi decidió construir una cúpula de dos

capas, una cúpula interior y una exterior. Entre las dos cúpulas se construyeron costillas de arco, en

la que la cúpula se “colgaba”. En el exterior se pueden apreciar ocho costillas, para que el

interior no sea visible. Otro de los factores importantes para la construcción era el material de

construcción; tenía que ser ligero, para que la presión del arco y la carga en el área del muro

aguantaran la carga. Al mismo tiempo el material tenía que ser resistente, para soportar la presión.

La respuesta fue el ladrillo. Brunelleschi uso el ladrillo en el exterior de la espiga, ya que era más

estable, para que la mampostería se pudiera soportar por ella misma. Con esta nueva técnica, a

Brunelleschi le fue posible colocar una “corona del renacimiento” a una construcción sagrada del

gótico, que fue la cúpula más grande de ese tiempo. (HOFFMANN,HUTH, Die Überwindung der

Gotik: Brunelleschi Domkuppel, pp.97-100)

Los números primos de Fermat

Un número primo de Fermat, así llamado en honor a Pierre de Fermat, hombre que formuló e

investigó estos números primos, es un número primo, cuya forma es la siguiente (Wikipedia):

Donde n es un número natural.

Fermat planteó la conjetura de que todos los números de la forma

con t natural eran números primos (los números primos de Fermat, Wikipedia).

Esto no es cierto en general, como lo muestra el caso t = 5:

,

Comentario [C6]: Me parece que se repite



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Comentario [C7]: Hay que pensar cómo pasar de la muy prolija arquitectura a las matemáticas. Este salto se siente muy forzado. Hay que introducir primero el concepto de polígono regular construible con regla y compás



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Ilustración II: Imagen o

fotografía sin título de

descripción del trabajo.

Recuperada de

http://es.wikipedia.o

rg/wiki/Pol%C3%AD

gono_regular

Con formato: Centrado

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular



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Descubierto por Leonhard Euler. Ya desde Euclides se conocía la construcción de los polígonos

regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, al igual que la de los polígonos que se obtienen de éstos al

multiplicar la cantidad de lados por una potencia de dos. (Prieto, Libro en proceso).

Sin embargo, Carl-Friedrich Gauss demostró que se puede construir con regla y compás un

polígono regular de 17 lados, al igual que halló que si p es un número primo de Fermat, el polígono

regular de p lados es construible con regla y compás (Prieto, Libro en proceso). De hecho, p es

el número primo de Fermat correspondiente a t = 2

Si t = 0, 1, 2, 3, 4, los primos de Fermat que le corresponden a cada uno de manera respectiva son

3, 5, 17, 257 y 65537.

Gauss demostró que un polígono regular de n lados inscrito en un círculo puede dibujarse usando

regla y compás si y sólo si

n = 2a ·p1·p2···pk,

donde p1 < p2 < ···< pk son números primos de Fermat (Prieto, Libro en desarrollo)

Gracias a esto podemos ver qué polígonos son cosntruibles con regla y compás, los siguientes son

algunos ejemplos:

Cuadrado

1. Realizar un círculo con un compás y con una regla hacer una línea horizontal que pase

por el centro del círculo. Esta línea debe ser lo suficientemente larga para intersectar el

círculo en dos puntos, los cuales se llamaran “A” y “B”.

2. Establecer la abertura del compás aproximadamente a ¾ del largo del diámetro. Colocar

el compás en el punto A y dibujar medio círculo que intersecte el círculo inicial, otra vez

por dos lados. Colocar el compás en el punto B y realizar el paso anterior. Dibujar una línea

a través de los semicírculos en intersección y marcar los puntos “C” y “D”, donde esta línea

intersecte el círculo.

3. Conectar los puntos C y D con A y B, lo cual crea un cuadrado perfecto. (eHow).

Polígonos regulares

Definición. Se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son

congruentes entre sí. (Wikipedia)

El de 3 lados es el triángulo equilátero; el de 4 es el cuadrado. A los polígonos de más de 4

lados, se hace explícito el término regular (por ejemplo: pentágono regular). No todo los polígonos

regulares pueden ser construidos con regla y compás. (Wikipedia)

Los polígonos regulares constan de los siguientes elementos: Lado ( L) el cual es cada uno de los

segmentos que lo integran . El vértice, representado en la Imagen III con V , es el punto en el que

dos lados consecutivos se unen; otro punto importante es el centro C, que como lo dice su

nombre, es el punto central , que tiene la misma distancia entre todos los vértices. El radio R unifica

el centro con uno de los vértices y la diagonal D une dos vértices que no son contiguos.

(Wikipedia)



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Con formato: Fuente: Century Gothic,10 pto, Sin subrayado


10 pto, Subrayado



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Con formato: Párrafo de lista,

Interlineado: sencillo, Numerado +

Nivel: 1 + Estilo de numeración: 1, 2,3, … + Iniciar en: 1 + Alineación:

Izquierda + Alineación: 0.63 cm +

Sangría: 1.27 cm


10 pto, Sin subrayado

Comentario [C8]: Este apartado debería estar antes del de los primos.



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10 pto, Sin subrayado

Con formato: Interlineado: sencillo

Con formato: Interlineado: sencillo

14



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Con formato: Justificado, Espacio


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Hexágono

Un hexágono es un polígono de seis lados y seis vértices. (Wikipedia)

El hexágono regular es un polígono que se puede construir solamente con regla y compás, como

podremos ver a continuación:

1. Trazar un círculo, al igual que una recta que horizontal por el centro de éste. Esta línea

debe ser lo suficientemente larga para que intersecte el círculo por dos puntos, los cuales

llamaremos “A” y “B”.

2. Con el mismo radio del círculo y apoyando la punta del compás en A, trazar medio círculo

que pase por el centro e intersecte el círculo inicial en dos puntos, los cuales llamaremos

“C” y “D”.

3. Utilizando nuevamente el mismo radio, se apoya el compás en B y se realiza la misma

acción, creando esta vez, los puntos “E” y “F”.

4. Los puntos A, B , C, D ,E , F son los vértices del hexágono regular.

(Prieto, Libro en desarrollo) Ver Imagen IV

Triangulo inscrito

Para trazar un triangulo inscrito se realiza lo mismo que al momento de dibujar un hexágono, con

la excepción de que sólo se traza un semicírculo. Así los puntos A, B y C son los vértices del

triángulo . Imagen V . (Prieto, Libro en desarrollo)Hexágono

Un hexágono es un polígono de seis lados y seis vértices.

El hexágono regular es un polígono que se puede construir solamente con regla y compás, como

podremos ver a continuación:

1. Trazar un círculo, al igual que una recta que horizontal por el centro de éste. Esta línea

debe ser lo suficientemente larga para que intersecte el círculo por dos puntos, los cuales

llamaremos “A” y “B”.

2. Con el mismo radio del círculo y apoyando la punta del compás en A, trazar medio círculo

que pase por el centro e intersecte el círculo inicial en dos puntos, los cuales llamaremos

“C” y “D”.

3. Utilizando nuevamente el mismo radio, se apoya el compás en B y se realiza la misma

acción, creando esta vez, los puntos “E” y “F”.

4. Los puntos A, B , C, D ,E , F son los vértices del hexágono regular.

(Prieto, Libro en desarrollo) Ver Imagen IV

Triangulo inscrito

Para trazar un triangulo inscrito se realiza lo mismo que al momento de dibujar un hexágono, con

la excepción de que sólo se traza un semicírculo. Así los puntos A, B y C son los vértices del

triángulo . Imagen V. (Prieto, Libro en desarrollo)

Heptágono

Un heptágono no se puede construir con regla y compás porque siete no es un número primo de

Fermat. Gauss mostró que para que un polígono fuera construible con regla y compás debía tener

una cantidad de lados que fuera un número primo de la forma

Así que sólo podemos construir estos polígonos, o bien, polígonos cuya cantidad de lados sea una

potencia de 2 multiplicada por uno de los 5 números primos. Siete y nueve no son de esta forma

así que no puedes construir heptágonos ni eneágonos regulares



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Color de fuente: Automático


10 pto, Color de fuente: Automático





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Figura III: Imagen o fotografía sin título de

descripción del trabajo. Recuperada de

www.functionmixer.blogspot.com



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pto, Español (España - alfab.

tradicional), Diseño: Claro (Blanco)

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Figura IV



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Octágono

Un octágono es una figura plana con ocho lados y ocho vértices. Si el octágono es regular todos

sus lados y ángulos son congruentes. Dos lados forman un ángulo de 135º.

Al igual que los otros dos polígonos, el octágono se puede construir con regla y compás:

1.4. Realizar un círculo con un compás y con una regla hacer una línea horizontal que

pase por el centro del círculo. Esta línea debe ser lo suficientemente larga para intersectar

el círculo en dos puntos, los cuales se llamaran “A” y “B”.(eHow)

2.5. Establecer la abertura del compás aproximadamente a ¾ del largo del diámetro.

Colocar el compás en el punto A y dibujar medio círculo que intersecte el círculo inicial,

otra vez por dos lados. Colocar el compás en el punto B y realizar el paso anterior. Dibujar

una línea a través de los semicírculos en intersección y marcar los puntos “C” y “D”, donde

esta línea intersecte el círculo. (eHow)

3.6. Conectar los puntos C y D con A y B, lo cual crea un cuadrado perfecto. (eHow)

4.7. Abrir el compás con la distancia entre A y el centro, colocar la punta del artefacto

en A y dibujar dos arcos intersectando los segmentos AC y AD. Mover el compás a los

puntos B, C y D y hacer lo mismo cada vez, haciendo arcos intersectantes en cada lado

de los vértices del cuadrado. Los lados del diamante deberían ahora tener un total de

ocho puntos en intersección. (eHow)

5.8. Conectar el par de puntos de intersección más cercanos a A, luego a B, C y D.

Formar el octágono regular con los segmentos conectando los ocho puntos de

intersección. (eHow) (Figura VI)

functionmixer.blogspot.com

Figura V

C



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pto, Subrayado

http://functionmixer.blogspot.com/2011/08/demostracion-de-la-imposibilidad-de.html

19

La innovación de Brunelleschi

La construcción de la cúpula de Santa Maria del Fiore marcó una nueva época en la

arquitectura. El 19 de agosto de 1418 se abrió un concurso para solucionar el problema de la

cúpula. (HOFFMANN, HUTH, Die Überwindung der Gotik: Brunelleschi Domkuppel, pp.97-100) El

problema consistía en construir una cúpula sin recurrir a los arcos exteriores de descarga.

Brunelleschi lo consiguió empleando las técnicas de los romanos, colocando los ladrillos en forma

de espina de pescado, con lo que actuaba como estructura de carga. (BUSSAGLI, Filippo

Brunelleschi, p.222) Además, la cúpula tenía que ser adaptada al estilo gótico de la catedral.

(HOFFMANN, HUTH, Die Überwindung der Gotik: Brunelleschi Domkuppel, pp.97-100)

La maqueta de Brunelleschi ganó el concurso gracias a que fue el único de todos los

competidores que afirmó poder realizar el proyecto sin necesitar la habitual cimbra. Mientras los

demás concursantes construyeron sus maquetas con versiones a escala del andamiaje destinado

a sustentar y centrar la cúpula desde el centro, Brunelleschi desarrollo un sistema para hacer que

se sustentara por sí misma.

A ese efecto, diseñó un sistema que contaba con cuatro elementos: en primer lugar, la cúpula

octagonal con un doble cascarón, debiendo ser el interior lo suficientemente consistente para

sustentar el exterior, más ligero. Luego reforzó cada uno de los ocho lados de la misma con una

combinación de hileras de sillares y nervaduras resaltadas, cuya curvatura hacia la cúspide

aseguró mediante una serie de escantillones o maestras2. Luego hizo que el espesor de ambos

cascarones fuera el suficiente para poder inscribir en ellos un círculo, dado que era de planta

octagonal. Por los estudios que había realizado sobre las construcciones con cúpulas históricas,

Brunelleschi sabía que una forma circular inscrita en una cúpula octagonal le confería a ésta las

mismas características que las propias de una esférica.

Con ello se compensaba la presión hacia el interior, de forma que, aparte del empuje hacia el

exterior que se registraba en su base, se trataba de una estructura autoportante. El mismo método

lo aplicó luego también a menor escala, es decir, en cada una de las hiladas de ladrillos, que

concibió como una serie de círculos perfectos que descansaban sucesivamente unos sobre otros.

Intercalando tramos regulares de ladrillos verticales en cada hilada, se sirvió de la fuerza de

sustentación de la hilada ya concluida, para que soportara la siguiente en construcción Los

intervalos eran tan cortos que los ladrillos dispuestos verticalmente podían soportar el peso de las

hiladas horizontales dispuestas entre ellos hasta el momento en que la siguiente hilada, provista a

su vez de sus correspondientes ladrillos en posición vertical, estuviese concluida y fuese, a su vez,

autoportante.

El efecto óptico de esta técnica se denominó: en espina de pez”, aunque inapropiadamente, ya

que el cambio alternativo de dirección solo se produce en determinados puntos y no

alternadamente en cada hilera y pieza. El resultado práctico fue que se ahorraron los enormes

cortes y pérdidas de tiempo que entrañaban la estructura de madera –cimbra- entonces usual

para sustentar cúpulas durante su construcción. (MCLEAN, La Arquitectura del Renacimiento

Temprano en Florencia e Italia central, pp. 100-102). Brunelleschi construyo la cúpula sin usar un

andamio al interior de la construcción, más bien coloco los andamios fuera de la catedral, que le

sirvieron de plataforma. Sobre este andamio le era posible transportar los materiales de

construcción con ayuda de grúas y cabrestantes.

Pero la pregunta más importante era: ¿Cómo se podía construir una cúpula de enormes

dimensiones sin que se derrumbara? Brunelleschi decidió construir una cúpula de dos capas, una

2 De acuerdo al Diccionario manual ilustrado de arquitectura , la maestra es un listón de madera que se coloca a plomo u horizontal para que sirva de guía al construir una pared o pavimento.



Con formato: Fuente: 11 pto

Con formato: Fuente: 11 pto, Cursiva

Con formato: Fuente: 11 pto

Con formato: Español (España -

alfab. tradicional)

20

cúpula interior y una exterior. Entre las dos cúpulas se construyeron costillas de arco, en la que la

cúpula se “colgaba”. En el exterior se pueden apreciar ocho costillas, para que el interior no sea

visible.

Otro de los factores importantes para la construcción era el material de construcción; tenía que

ser ligero, para que la presión del arco y la carga en el área del muro aguantaran la carga. Al

mismo tiempo el material tenía que ser resistente, para soportar la presión. La respuesta fue el

ladrillo. Brunelleschi uso el ladrillo en el exterior de la espiga, ya que era más estable, para que la

mampostería se pudiera soportar por ella misma. Con esta nueva técnica, a Brunelleschi le fue

posible colocar una “corona del renacimiento” a una construcción sagrada del gótico, que fue la

cúpula más grande de ese tiempo. (Hoffmann,Huth, Die Überwindung der Gotik: Brunelleschi

Domkuppel, pp.97-100)

Capítulo III: Otras cúpulas con técnicas de construcción similares

Basílica de San Pedro

A lo largo de la historia se han construido al menos seis basílicas de San Pedro en el Vaticano. La

primera basílica fue la de Constantino, erigida entre el año 319 y el año 350. La estructura del

edificio, aunque con modificaciones y mejoras, permaneció básicamente inalterada, hasta que

en 1452, Nicolás V decidió renovarla parcialmente y encargo este proyecto a Bernardo Rossellino.

Pero poco pudo hacerse antes de la elección de Julio II, quien convoco a Donato Bramante,

quien optó por la planta de cruz griega. Su proyecto no se realizó. Hasta que, en el otoño de 1545,

tras una prolífica carrera en la corte de Mantua, Giulio Romano es nombrado arquitecto de las

obras de San Pedro. Acepta complacido el cargo, pero fallece pocos meses después.

Así, el anciano Miguel Ángel, que cuenta ya con 72 años de edad, recibe inesperadamente el

encargo de proseguir los trabajos en la basílica. Como punto de partida, Miguel Ángel recurrió al

primer plan de Bramante, aunque adaptado con su sensibilidad. (Libro renacimiento). Miguel

Ángel con su gran sensibilidad artística, decidió que San Pedro tenía que tener una planta central

con la cúpula en el centro para ser Jerusalén Celeste en piedra. (Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-

100Libro arquitectura)). Los exteriores se elevaron hasta la cúpula, enrasando el tambor.

Para la planeación de la misma, Miguel Ángel recurrió, a poco de iniciar las obras, a los diseños de

la cúpula de Brunelleschi para Santa Maria del Fiore. A partir de ellos elaboró numerosas veces la

solución de la cúpula para optar finalmente por una curvatura realmente achatada, aunque

rematada con una alta linterna.

“Siguió con el esquema de Brunelleschi de dos cúpulas concéntricas, una al interior y otra al

exterior, unidas entre sí por tirantes y que contrapesan los empujes. En su parte interior se destaca

una luz surgida de las ventanas del tambor que dan una sensación de ingravidez, a pesar de su

monumentalidad. La del interior es más esférica, contribuyen a la sensación de altura su división en

especie de gallones pintados en franjas que guardan una perfecta simetría con bandas

horizontales concéntricas, con un fondo dorado que culmina en la gran apertura de luz situada en

la clave u óculo.” (Iesjorgejuan )

Diseñó una cúpula de grandes dimensiones con 131 metros de altura y 42 metros de diámetro.

(Masarteaun) Reducida en su anchura, los cargos exteriores de carga habrían creado la ilusión de

un alargamiento excesivo, mientras que la esfera en sí se habría convertido en un pesado

contrapunto. Esta interacción de momentos estáticos y dinámicos se habría prolongado en la

linterna. Y si, como subraya Alberti, la cúpula florentina “acogía bajo sí a todos los pueblos de la

Toscana”, la cúpula de Miguel Ángel lo habría hecho “con todos los cristianos”. (Hoffmann, Huth,

2004, pp.97-100libro)

Comentario [C9]: Me parece que se repite



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10 pto, Sin Negrita, Sin subrayado




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“Pero su grandiosidad se nota en el exterior. Para elevarla sitúa la cúpula sobre un gran tambor

esférico reforzado con contrafuertes o pilastras a las que se le adosan pares de columnas de

orden clásico a modo de adorno, el espacio comprendido entre dos contrafuertes es ocupado

por una ventana que como único adorno se le coloca un frontón triangular y curvo,

respectivamente. Sobre ella se monta la magistral cúpula, con mucha más nervatura que las ocho

de Brunelleschi. Nervios que sube desde cada uno de los respectivos contrafuertes. Para romper la

monotonía sitúa ventanales a lo largo de todo el casquete de la cúpula, de forma simétrica en

tres franjas horizontales paralelas entre sí. Remata la cúpula una enorme linterna que reproduce

de una forma parecida la disposición de la cúpula, alargando la linterna con pares de columnas

que sostienen la linterna” (Iesjorgejuan)

La base de la cúpula es un polígono regular de 16 lados, que de acuerdo con el teorema de

Gauss, es construible con regla y compas. Su sucesor, Giacomo della Porta, empero, realizaráa la

cúpula más empinada y reducirá en altura la linterna (lHoffmann, Huth, 2004, pp.97-100ibro).

La cúpula de Miguel Ángel sirvió de modelo a otras obras construidas con técnicas diferentes,

entre las cuales se encuentra la cúpula de Saint Paul en Londres (1675), la de Les Invalides en París

(1680-1691) y la neoclásica del Capitolio de Washington (1794-1817). (Iesjorgejuan)

Imagen VI: fotografía sin título de

descripción del trabajo, recuperada de

http://www.historiadelartemgm.com.ar/c

upulabasilicasanpedro.htm


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Catedral de San Pablo de Londres

La catedral de San Pablo de Londres se construyó entre los años de 1676 y 1710, con la dirección

de Christopher Wren, arquitecto de origen inglés, famoso por sus trabajos de reconstrucción de las

iglesias de Londres tras el Gran Incendio de 1666.(Wikipedia). Esta iglesia es de las pocas iglesias

inglesas construidas después de la Edad Media y la única de estilo renacentista de todo el país.

(Wikipedia)

Wren se enfrentó a un gran desafío: tenía que construir un domo que resaltara igual que lo hacía

el pico de la catedral en el cielo de Londres antes del incendio. Sin embargo, necesitaba crear un

sistema que se sostuviera entre sí, sin utilizar una cimbra. (Plus Magazine). Lo que hizo, fue lo que ya

dos siglos antes había logrado Brunelleschi y un siglo antes Miguel Ángel. (Wikipedia)

Para poder construir una cúpula que resaltara por su altura optó por edificar un domo que por

dentro estaba sostenido por otra bóveda. Se inspiró en el diseño de la Basílica de San Pedro de

Miguel Ángel. (Wikipedia) Agrandó la distancia entre los dos domos, creando en ambos una curva

catenaria. La cúpula exterior destaca en los cielos de Londres, pero la interior tiene un tamaño

proporcionado al diseño del edificio. (Plus Magazine) Entre ambas curvas construyó una tercera,

la cual uniera la exterior con la interior y, aparte, sostuviera el peso dela linterna. (Wikipedia)

Imagen VII: fotografía sin título de descripción del

trabajo, recuperada de

http://www.historiadelartemgm.com.ar/cupulabasilica

sanpedro.htm


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23

Imagen VIII: fotografía sin título de descripción del trabajo,

recuperada de http://www.explore-

stpauls.net/oct03/textMM/DomeConstructionN.htm





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25

Basílica de Santa Maria della Salute

La cúpula principal de la Basílica de Santa Maria della Salute fue construida por el arquitecto

Baldassare Longhena a mitades del siglo XVII. La construcción supuso un reto técnico para la

arquitectura de ese tiempo, pero además significo un avance en las construcciones de cúpulas

de madera exteriores. (DomesInTheWorld) Es un edificio de planta octogonal, cubierto por una

majestuosa cúpula enlazada al tambor por medio de grandes y enrolladas volutas, con un

presbiterio regido por otra cúpula menor, como la cúpula de Brunelleschi (ArteHistoria). La

mampostería de la cúpula es extraordinariamente delgada. Está estaba formada por noventa y

seis costillas delgadas, hechas de capas de placas con juntas de dos niveles, pasando de un anillo

de madera situada en la cornisa exterior de la mampostería de obra, rodeada por un anillo de

metal en una altura que corresponde aproximadamente a las ancas de las costillas y que

convergen en un anillo superior en donde esta colocada la gran linterna. (DomesInTheWorld)

Imagen IX: fotografía sin título de descripción del trabajo,

recuperada de http://www.seminariovenezia.it/informazioni


10 pto, Color de fuente: Automático


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10 pto

http://www.seminariovenezia.it/informazioni

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RESULTADOS GRAFICADOS

Cúpulas Semejanzas Diferencias

Santa Maria del

Fiore de Fillipo

Brunelleschi

Ladrillos en forma de espina

de pescado

Cúpula octagonal con un

doble cascaron

El interior era lo

suficientemente consistente

para sustentar el exterior, más

ligero.

Reforzó cada uno de los ocho

lados de la misma con una

combinación de hileras de

sillares y nervaduras

resaltadas, cuya curvatura

hacia la cúspide aseguro

mediante una serie de

escantillones

Estructura autoportante.

Se ahorraron los enormes

cortes y pérdidas de tiempo

que entrañaban la estructura

de madera –cimbra-.

El Renacimiento

1420-1433

Florencia

Basílica de San

Pedro de

Miguel Ángel

Dos cúpulas concéntricas, una

al interior y otra al exterior,

unidas entre sí por tirantes y

que contrapesan los empujes.

El Renacimiento

1547

El Vaticano

131 metros de

altura y 42 metros

de diámetro.

Mucha más

nervatura que las

ocho de

Brunelleschi

La base de la

cúpula es un

polígono regular de

16 lados

Catedral de

San Pablo de

Christopher

Wren

Un domo que por dentro

estaba sostenido por otra

bóveda,.

El Barroco

1675-1720

Londres

curva catenaria

Entre ambas curvas

construyó una

tercera, la cual

uniera la exterior

con la interior y,

aparte, sostuviera

el peso dela

linterna.

Basílica de Base octagonal El Barroco


10 pto, Negrita, Mayúsculas


10 pto

















27

Santa Maria

della Salute de

Baldassare

Longhena

La cúpula esta enlazada al tambor

por medio de grandes y enrolladas

volutas, con un presbiterio regido por

otra cúpula menor

1631-1687

Venecia

La cúpula esta

formada por

noventa y seis

costillas delgadas

CONCLUSIÓN

Como conclusión del presente trabajo de investigación sobre las matemáticas en la arquitectura

de Santa Maria del Fiore en Florencia es importante mencionar que Filippo Brunelleschi fue uno de

los más grandes arquitectos de la época renacentista, gracias a sus innovadoras técnicas de

construcción. Brunelleschi logró construir una cúpula sobre un octágono. El octágono es un

polígono regular, que se puede construir, gracias a la prueba que se obtiene a través de los

números primos de Fermat; los cuales definen que un polígono regular se puede construir con

regla y compás .

Al concluir la investigación, se cumplió el objetivo general, el cual fue analizar el florecimiento que

tuvieron la matemáticas en el Renacimiento, en la cuestión arquitectónica. Asimismo cabe

recalcar que los objetivos específicos fueron también cumplidos, los cuales implicaban demostrar

la relevancia que tuvo la construcción de esta cúpula para la arquitectura de la época

renacentista y su trascendencia, revisar el contexto histórico de la construcción de este recinto,

describir los componentes arquitectónicos renacentistas de la catedral, explicar, a través de un

contexto matemático, los polígonos regulares en la arquitectura; la construcción a través de regla

y compás y la construcción del octágono e identificar obras arquitectónicas que tengan las

mismas características de la cúpula.

Tras revisar los antecedentes matemáticos del octágono y la arquitectura de Santa Maria del

Fiore, además de investigar y comparar la arquitectura de la cúpula de San Pablo en Londres, San

Pedro en el Vaticano y Santa Maria della Salute en Venecia, es posible confirmar la hipótesis de

que el diseño y la estructura de la cúpula de la catedral Santa María del Fiore en Florencia,

revoluciono la forma de construcción de bóvedas en otros recintos, debido al empleo de cálculos

matemáticos en la construcción.

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Huth, A., Hoffman, T. (2004), Die Kunst der Renaissance,Stuttgart, Belser

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10 pto

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http://www.iesjorgejuan.es/sites/default/files/apuntes/sociales/historiadelarte2/tema9renacimiento/comentarios_tema9/Comentario%20_t9_%20Cupula%20de%20San%20Pedro%20Miguel%20Angel.pdf



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las matemÁticas en la arquitectura de santa...

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