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El propósito fundamental de este contenido es que aprendas de forma

independiente a través de actividades que te permitan obtener conocimientos y

desarrollar habilidades, actitudes y valores del campo de las Matemáticas, como el

lenguaje técnico, propiciar el desarrollo de tu pensamiento lógico y crítico, mediante

procesos de razonamiento, argumentación y estructuración de ideas que faciliten tu

formación como ciudadano reflexivo y participativo.

Esto contribuye a fortalecer tu formación en estudios posteriores, o bien, a afrontar

retos del día a día. Su estructura y diseño forman parte de una estrategia didáctica

encaminada a que construyas por ti mismo tus conocimientos, desarrolles

competencias y te apropies de aprendizajes significativos que produzcan en tu

pensamiento cambios de organización continuos.

Las matemáticas es uno de los conocimientos más antiguos que el ser humano ha

estudiado e investigado y están presentes en todos los ámbitos de nuestra vida

cotidiana. Aprender matemáticas es importante porque: son un medio de

comunicación: son un lenguaje.

Son importantes para otros campos del conocimiento contribuyen, junto con otras

materias, al desarrollo del pensamiento lógico y a la precisión y visión espacial.

Suscitan un interés intrínseco en muchas personas. Aunque es uno de los

conocimientos más valorados en nuestra sociedad también es uno de los más

inaccesibles para los alumnos.

Los índices de fracaso son altos, sobre todo en los años de escolaridad las primeras

dificultades surgen durante la adquisición de las nociones básicas que son

imprescindibles para la compresión del número como son: clasificación, seriación,

correspondencia, valor cardinal, reversibilidad, etc.

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Las matemáticas en la antigüedad.

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer

milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la

aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de

conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema

de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10

(1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se

representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el

número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y

así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades,

las decenas, las centenas de cada número. La multiplicación estaba basada en

duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fracción B, para

expresar todas las fracciones. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces

de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos

elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de

triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros

y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban

un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene

utilizando la constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el

babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña

(cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha

representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos

símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El

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número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir

de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo.

Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y

terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este mismo principio

fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el ejemplo anterior

podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 × (â€), o 2 + 27 × (â€) + 10 × (â€)-2.

Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema

decimal (base 10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que

les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo

grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de

tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de

Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas

de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto.

Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas

geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados.

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Las matemáticas en Grecia

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los

egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas

abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y

demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI

a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos.

Principales Exponentes.

Arquímedes. Inició el estudio de la estática, anticipó métodos del cálculo

infinitesimal y sentó las bases de la hidrostática. El espiral de Arquímedes

era una curva cuyo radio vector es proporcional al ángulo girado. Mientras

que en su postulado afirmó que, dados dos segmentos sobre una recta,

cualquiera de ellos puede ser recubierto con un número entero de segmentos

iguales al otro. Pero en su Principio avaló que todo cuerpo sumergido en un

líquido experimenta un empuje hacia arriba igual que el peso del fluido que

desaloja.

Galileo Galilei. Llevo a la práctica el concepto de método científico de Bacon,

extensible a toda ciencia experimental. Demostró que la caída libre de los

graves se produce según un movimiento uniformemente acelerado.

Sufrió procesos inquisitorios por su libro “Diálogos acerca de los Sistemas

Máximos”.

Galois Afirmó que "Una ecuación irreducible de grado primo es resoluble por

radicales si y solo si todas sus raíces son funciones racionales de dos

cualesquiera de las raíces"

Abel. Declaró en su Memoria "Sobre la Resolución Algebraica de Ecuaciones",

que "No existe una fórmula general expresada en términos de operaciones

algebraicas explícitas entre los coeficientes que nos dé las raíces de la

ecuación si el grado es mayor que 4"

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Lobatchesky y Bolyai Eran dos jóvenes matemáticos, uno húngaro János

Bolyai, y otro ruso Nokolai Lobachevsky, publicaron casi simultáneamente su

descubrimiento de la geometría hiperbólica, a pesar de que veinte años

antes, Gauss había llegado a esos mismos resultados, aunque nunca se

atrevió a publicarlos.

Riemann Dio los fundamentos para una teoría general de las funciones de una

variable compleja, afirmándolo en "Las Hipótesis que sirven de fundamento

a la Geometría" Las geometrías no euclídeas son no elementales, la

conjetura de Riemann es : "Todos los ceros complejos de la función zeta

tienen parte real igual a 1/2"

David Hilbert. En sus “Fundamentos de Geometría” abordó la cuestión de la

independencia y coherencia lógica de los diversos sistemas de axiomas de

la geometría.

Isaac Newton. Descubrió las leyes de la gravitación universal. Se le debe el

cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos en óptica. Construyó los

anillos de Newton, que eran un fenómeno óptico que se observaba al poner

en contacto una superficie plana con una cóncava de gran radio, ambas de

vidrio.

Finalidad de las Matemáticas.

La finalidad fundamental de la enseñanza de las matemáticas es el desarrollo del

razonamiento y la abstracción, así como su carácter instrumental. Las matemáticas

están vinculadas a los avances que la civilización ha ido alcanzando y contribuyen

al desarrollo y a la formalización de las Ciencias Experimentales y Sociales.

Por otra parte, el lenguaje matemático, es un instrumento eficaz que nos ayuda a

comprender mejor la realidad que nos rodea y adaptamos a un entorno cotidiano en

continua evolución. En consecuencia, el aprendizaje de las matemáticas

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proporciona la oportunidad de descubrir las posibilidades de nuestro propio

entendimiento y afianzar nuestra personalidad, además de un fondo cultural

necesario para manejarse en aspectos prácticos de la vida diaria, así como para

acceder a otras ramas de la ciencia.

La resolución de problemas debe contemplarse como una práctica habitual, que no

puede tratarse de forma aislada, sino integrada en todas y cada una de las facetas

que conforman el proceso de enseñanza y aprendizaje.

El ciudadano del siglo XXI no podrá ignorar el funcionamiento de una calculadora,

con el fin de poder servirse de ella, pero debe dársele un trato racional que evite su

indefensión ante la necesidad, por ejemplo, de realizar un cálculo sencillo

mentalmente. El uso indiscriminado de la calculadora en los primeros años de la

vida de las personas impedirá que los alumnos adquieran las destrezas de cálculo

básicas que necesitan en cursos posteriores. Por otra parte, la calculadora y ciertos

programas informáticos, resultan ser recursos investigadores de primer orden en el

análisis de propiedades y relaciones numéricas y gráficas y en este sentido debe

potenciarse su empleo.

Las matemáticas etimológicamente derivadas del griego de la palabra

“conocimiento” se le llama de las ciencias debidas a la necesidad de citarla

obligatoriamente en otras ciencias esta

OBJETIVOS DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS.

1. Utilizar las formas de pensamiento lógico en los distintos ámbitos de la

actividad humana.

2. Aplicar adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a

situaciones de la vida diaria.

3. Utilizar correctamente el lenguaje matemático con el fin de comunicarse de

manera clara, concisa, precisa y rigurosa.

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4. Utilizar con sentido crítico los distintos recursos tecnológicos (calculadoras,

programas informáticos) de forma que supongan una ayuda en el aprendizaje

y en la aplicación instrumental de las Matemáticas.

5. Resolver problemas matemáticos utilizando diferentes estrategias,

procedimientos y recursos, desde la intuición hasta los algoritmos.

6. Aplicar los conocimientos geométricos para comprender y analizar el mundo

físico que nos rodea.

7. Utilizar los métodos y procedimientos estadísticos y probabilísticos para

obtener conclusiones a partir de datos recogidos en el mundo de la

información.

8. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de discernimientos

que el alumno debe adquirir a lo largo de su educación.

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Matemáticas

Aritmética

Algebra

Geometría plana y del espacio

Matemática aplicada

Calculo

Estadistica

Probabilidad

Lógica

Geometría Analítica

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Ramas de las matemáticas.

Aritmética:

Es la rama que estudia los números y las situaciones modeladas por ellos. Su

nombre proveniente del arithmos, significa habilidad con los números.

Álgebra:

Es la rama que estudia las cantidades generales, es decir, es una ampliación

considerable a los estudios realizados por la aritmética, basado en ella.

Es considerada una de las ramas esenciales y más importantes de la matemática,

considero que es por el nivel de abstracción que permite enfrentarse a otras ramas

de la matemática con mucha más facilidad.

Geometría plana y del espacio:

Es la rama que estudia las figuras y sus propiedades, basado en las mediciones, y

caracterizaciones de su parte a través de la construcción. También procede en un

orden estricto a base de demostraciones de todas las propiedades. Y tiene una

estructura piramidal.

Geometría analítica:

Es la rama que estudia las curvas y sus propiedades a través de su caracterización

algebraica correspondiente en un plano o espacio cartesiano (u otros).

Lógica:

Es la rama que estudia los valores de verdad de situaciones y sus equivalencias. En

general estudia las formas validas de inferencia. Es la que entrega la base para el

pensamiento matemático.

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Probabilidad:

Es la rama que estudia "el orden del azar", busca de cierta manera expresar de

forma numérica las posibilidades de ocurrencia de un evento en que está envuelto

el azar. También estudia sus propiedades y complementa con teoría de conjuntos.

Estadística:

Muchos consideran la probabilidad y estadística como una sola rama, pero la

estadística es una rama por si misma y estudia la recolección, análisis e

interpretación de datos.

Cálculo:

Que es quien estudia las funciones y las consecuencias de los cambios en ellas

consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una

acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar

de unos datos previamente conocidos.

Matemática aplicada.

Y por último las matemáticas aplicadas como un resumen de las demás ramas, pero

que hace referencia a todos los métodos y herramientas matemáticas que pueden

ser utilizados en el análisis o solución de problemas pertenecientes al área de las

ciencias aplicadas o sociales

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Números reales.

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica

que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere

decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a

los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros

que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).

Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los

números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen

reglas complejas para hacerlo. Estos son los números enteros y los fraccionarios,

como por ejemplo el número 6767 que viene a ser un entero, o también el 3434, que

es un número fraccionario compuesto de dos enteros, cuyo numerador es 33 y su

denominador es 44. Sin embargo, también existen otros números que pueden ser

expresados bajo diferentes reglas matemáticas más complejas como números

cuyos decimales son infinitos como el número ππ o 2–

√2 y que sirven para realizar cálculos matemáticos, pero no pueden ser

representados como un símbolo numérico único.

Los números fraccionarios por su parte, fueron utilizados por los egipcios para la

resolución de diferentes problemas. Pero es en la cultura griega de donde se extrae

el actual uso de los racionales, de raciones de números, ya que los utilizaban para

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definir el espacio entre las notas musicales con relaciones de armonía que

correspondían a divisiones en las melodías del sonido. Así se empezó a ver

fracciones en otras cosas y sustancias.

Circunferencia: conjunto de todos los puntos de un

plano que equidistan de otro punto llamado centro. El

segmento de recta que une al centro con cualquiera

de los puntos de la circunferencia recibe el nombre

de radio.

La circunferencia y sus propiedades han sido tema de discusión, reflexión y estudio

durante muchos años. Desde la antigüedad, los dedicados a realizar cálculos

observaron una relación estrecha entre el perímetro de una circunferencia y su

diámetro. En el siglo XVII dicha relación recibió el nombre de Pi (π), el cual proviene

del vocablo que los antiguos griegos le daban al perímetro del círculo: peripheria.

Seguramente en cursos básicos de Matemáticas tuviste contacto con este término

e incluso lo empleaste para realizar algunos cálculos; sin embargo, sólo para

descubrir su comportamiento, comprender el tema y la dinámica de la evolución del

número.

Ahora que ya te has dado cuenta de tus fortalezas y oportunidades, refuerza tus

conocimientos consultando los siguientes conceptos: teorema de Pitágoras, áreas

de polígonos, congruencia, semejanza y ecuaciones de primer grado.

Empleas la circunferencia

En este bloque además abordaremos el tema de la circunferencia con el propósito

de comprender la importancia y la gran utilidad que ha representado para la

humanidad.

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El segmento CB se denomina radio, los radios

de una circunferencia son congruentes entre sí.

El segmento AB se denomina cuerda de la

circunferencia.

Diámetro AB . Es la recta que une dos puntos

de la circunferencia pasando por el centro de

ésta y mide dos radios.

D 2r = . En la circunferencia hay infinidad de

diámetros y todos son congruentes entre sí.

El diámetro divide la circunferencia en dos

arcos congruentes que se llaman

semicircunferencias.

Secante. Es la línea recta que tiene dos puntos

comunes con la circunferencia. sin pasar por el

centro.

Tangente. Si la recta tiene un solo punto en

común con la circunferencia, se dice que es

tangente y al punto se le llama punto de

tangencia o punto de contacto.

Eje.

El término eje, que viene del latín (axis o axe) posee múltiples usos, definiciones y

aplicaciones. En sus orígenes representaba la barra que unía las ruedas de las

carretas y, más adelante, la línea imaginaria que cruza el planeta Tierra de polo a

polo. En el campo de la mecánica, por ejemplo, un eje está considerado como una

pieza constructiva que resulta útil a la hora de dirigir el desplazamiento de rotación

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de un elemento o de un grupo de piezas, como puede ocurrir al trabajar sobre una

rueda o un engranaje.

Los ejes de un vehículo, en cambio, representan líneas imaginarias de dirección

transversal frente a las cuales giran las ruedas cuando el coche avanza de forma

recta. En los vehículos que tienen ruedas a ambos lados, el eje es la recta

transversal que permite unir los centros de dos de ellas.

En matemática, asimismo, los ejes nos permiten ubicar una figura geométrica en el

espacio, para luego transformarla de acuerdo a nuestras necesidades. Por

convención, el eje horizontal se referencia con la letra X, el vertical con la letra Y, y

el que representa la profundidad, con la Z. Sin la existencia de este concepto que

sirve de base para infinidad de cálculos, siendo la rotación el más popularmente

asociado con él, no sólo las matemáticas serían una ciencia mucho menos compleja

y abarcativa, sino que el impacto alcanzaría el ámbito del entretenimiento, ya que

no existirían videojuegos, películas de animación así como la mayoría de los efectos

especiales.

Entre los tipos conocidos de ejes, encontramos los de simetría. Estas líneas

imaginarias, representan rectas que cortan una figura de manera tal que los vértices

que se ubican a cada lado tienen un equivalente del otro. En pocas palabras, un eje

de simetría corta un objeto en dos partes idénticas. Una vez más, solemos ver

efectos de video que se basan en este principio, y que generan imágenes

caleidoscópicas.

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Rotación: es muy complejo y existen diversos caminos para obtener el mismo

resultado. Básicamente, un eje utilizado para realizar este cálculo sirve de referencia

para cambiar la orientación de una figura u objeto sin alterar su forma.

En la vida cotidiana, estamos acostumbrados a que la materia no se deforme y no

necesitamos conocimientos técnicos para, por ejemplo, girar una manzana que

sostenemos con una mano. Pero si tuviéramos que representar esa simple acción

y la consiguiente transformación de la fruta en números, todo sería más complejo.

En primer lugar, necesitaríamos convertir la manzana a una serie de puntos o

vértices y ubicarlos en un sistema de ejes. Su posición no podría ser aleatoria, ya

que dependería de ella el resultado obtenido y tendríamos que tomar este recaudo

para cada uno de los 3 ejes. Para dar un ejemplo simple, si quisiéramos que la

manzana rotase hacia la derecha y que no se desplazara al hacerlo, deberíamos

ubicarla de manera tal que el eje vertical la cortara por su centro exacto.

Este vocablo es relevante además en el ámbito de la anatomía, donde hace

referencia a la segunda vértebra del cuello, la cual actúa como eje en el movimiento

de rotación de la cabeza del ser humano. Otros usos relacionados, dividen el cuerpo

en varios hemisferios: uno lo corta verticalmente de la cabeza a los pies (el eje

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cráneo-caudal), otro horizontalmente (el latero-lateral) y uno que atraviesa el cuerpo

de atrás hacia adelante (el eje ventro-dorsal).

Tipos de ejes.

Eje Simple: Se denomina eje simple al elemento constituido por un solo eje no

articulado a otro, puede ser: motriz o no, direccional o no, anterior, central o

posterior. El peso máximo admisible para un eje simple de 2 neumáticos es de 7.000

Kg. (15 Kips).

El peso máximo admisible para un eje simple de 4 neumáticos es de 11.000 Kg.

(24 Kips).

Eje Tándem: Se denomina eje Tándem al elemento constituido por dos ejes

articulados al vehículo por dispositivos comunes, separados por una distancia

menor a 2,4 metros. Estos reparten la carga, en partes iguales, sobre los dos ejes.

Los ejes de este tipo pueden ser motrices, portantes o combinados.

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El peso máximo admisible para un eje tándem de 4 neumáticos es de 10.000 Kg.

(22 Kips).

Eje Tridem: Se denomina eje Tridem al elemento constituido por tres ejes

articulados al vehículo por dispositivos comunes, separados por distancias menores

a 2,4 metros. Estos reparten la carga sobre los tres ejes. Los ejes de este tipo

pueden ser motrices, portantes o combinados.

Eje Doble: Se denomina eje doble a una combinación de dos ejes separados por

una distancia mayor de 2,4 metros. Para la determinación de su peso máximo

admisible se considera como dos ejes simples (11 Ton. por eje).

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Eje Triple: Se denomina eje triple a una combinación de tres ejes separados por

una distancia mayor de 2,4 metros. Para la determinación de su peso máximo

admisible se considera como tres ejes simples (11 Ton. por eje).

Teorema de Pitágoras.

Un matemático Griego llamado Pitágoras descubrió y probó una propiedad

interesante de los triángulos rectángulos: la suma de los cuadrados de los catetos,

los lados que forman el ángulo recto, es igual al cuadrado de la hipotenusa del

triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Este Teorema de Pitágoras tiene muchas

aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura.

Este simple pero poderosa ecuación nos puede ayudar a mejorar nuestro

conocimiento de la manipulación de números con exponentes. Y como los triángulos

rectángulos son tan comunes, nos ayudará a entender lo útil que es manejar

términos con exponenciales.

La mejor parte es — ni siquiera tenemos que hablar Griego.

Pitágoras estudió los triángulos rectángulos, y las relaciones entre los catetos y la

hipotenusa antes de probar su teoría.

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El Teorema de Pitágoras

Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la

longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes

de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

Parece simple, pero intentemos con un triángulo rectángulo para ver si es cierto.

El teorema es válido para este triángulo — la suma de los cuadrados de los catetos

es la misma cantidad que el cuadrado de la hipotenusa. Y, de hecho, es válido para

todos los triángulos rectángulos (aunque, como puedes ver, no todas las medidas

son número enteros como 3, 4, y 5).

Nota que el Teorema de Pitágoras no puede ser usado con cualquier triángulo —

sólo aplica a los triángulos rectángulos.

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Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa

de un triángulo rectángulo si conocemos la longitud de sus catetos. Es decir, si

conocemos las longitudes de a y b, podemos encontrar c.

En el triángulo de arriba, nos dan las medidas de los catetos a y b: 5 y 12,

respectivamente. Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de

la longitud de c, la hipotenusa.

Usando la fórmula, encontramos que la longitud e de c, la hipotenusa, debe ser

13. (Aunque existen dos valores posibles de c que satisfacen la ecuación, 13 y 13,

las longitudes son siempre positivas, por lo que podemos ignorar el valor negativo.)

Ejemplo:

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a)

b)

c)

d)

a) Incorrecto. Este no es el triángulo correcto, por lo que no puedes aplicar el

Teorema de Pitágoras para encontrar r. La respuesta correcta es B.

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b) Correcto. El Teorema de Pitágoras sólo aplica a triángulos rectángulos,

Como este triángulo tiene un ángulo recto, la suma del cuadrado de los otros

2 lados puede ser usada para encontrar r.

c) Incorrecto. Este no es el triángulo correcto, por lo que no puedes aplicar el

Teorema de Pitágoras para encontrar r. La respuesta correcta es B.

d) Incorrecto. Este no es el triángulo correcto, por lo que no puedes aplicar el

Teorema de Pitágoras para encontrar r. La respuesta correcta es B.